determinantes

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ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Determinantes 31
Determinantes
Permutações
Seja n 2 N. Uma permutação p = (p1; p2; : : : ; pn) dos elementos do conjunto f1; 2; � � � ; ng
é um arranjo dos n números em alguma ordem, sem repetições ou omissões. Denota-se por
Sn o conjunto de todas as permutações do conjunto f1; 2; � � � ; ng. É fácil veri…car que este
conjunto tem n! = n � (n� 1) � (n� 2) � : : : � 2 � 1 elementos. (Note-se que p é uma
aplicação bijectiva de f1; 2; � � � ; ng em f1; 2; � � � ; ng). À permutação (1; 2; : : : ; n) chama-se
permutação identidade.
Considerando uma permutação p, chama-se paridade da permutação à paridade do número
de trocas que é necessário efectuar em p para voltar a pôr os números na ordem inicial. Esse
número não é único, mas a sua paridade é sempre a mesma. Diz-se que a permutação é par
se o número de trocas for par e ímpar se o número de trocas for ímpar.
De…ne-se o sinal de uma permutação p; sgn (p) ; da seguinte forma:
sgn (p) =
(
+1 se p é par
�1 se p é ímpar
Claramente, a permutação identidade tem sinal +1 e qualquer permutação que só troque
dois números tem sinal �1:
Alternativamente a paridade da permutação pode ser encontrada da seguinte forma:
Diz-se que ocorre uma inversão na permutação sempre que um número maior precede
um menor. O número total de inversões que ocorre numa permutação p = (p1; p2; : : : ; pn)
calcula-se do seguinte modo:
1) Contam-se os números menores que p1 que estão à sua frente na permutação.
2) Contam-se os números menores que p2 que estão à sua frente na permutação.
3) Continua-se esta contagem para p3; : : : ; pn�1:
4) Somam-se os números obtidos em cada passo, o que dá o número total de inversões. Como
o número total de inversões corresponde a um possível número de trocas para transformar a
permutação na identidade, a paridade desse número é a paridade da permutação.
Exemplos:
1. A permutação identidade (1; 2; : : : ; n) tem sinal mais +1; pois efectuam-se 0 trocas.
2. Qualquer permutação que só troque dois números tem sinal �1: Por exemplo, em S3; as
permutações (2; 1; 3) e (3; 2; 1) têm sinal �1:
3. A permutação em S6; (6; 1; 3; 4; 5; 2) é par pois ocorrem 8 inversões (5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8) :
4. A permutação em S6; (2; 1; 4; 3; 6; 5) é ímpar, pois são necessárias 3 trocas para obter a
ordem usual (1 + 0 + 1 + 0 + 1).
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Produtos elementares
Seja A = [ai;j]n�n uma matriz quadrada de ordem n.
Chama-se produto elementar de A a um produto de n entradas da matriz A que contenha
exactamente uma entrada de cada linha e de cada coluna de A; isto é, um produto da forma
a1;p1a2;p2 � � � an;pn ; em que p = (p1; p2; : : : ; pn) é uma permutação.
A cada produto elementar está, portanto, associada uma permutação e vice-versa. Conse-
quentemente, para uma matriz de ordem n, há n! produtos elementares.
Exemplos:
1. Numa matriz n � n; a1;1a2;2 : : : an;n é o produto elementar associado à permutação
identidade (1; 2; : : : ; n) :
2. Numa matriz de ordem 6, a1;6a2;1a3;3a4;4a5;5a6;2 é o produto elementar associado à
permutação (6; 1; 3; 4; 5; 2) :
3. Numa matriz de ordem 6, a1;2a2;1a3;4a4;3a5;6a6;5 é o produto elementar associado à
permutação (2; 1; 4; 3; 6; 5) :
4. Na matriz
264 2 3 45 3 1
7 4 5
375 ; de ordem 3, há 6 produtos elementares:
2� 3� 5 = 30 associado a (1; 2; 3) ; 3� 1� 7 = 21 associado a (2; 3; 1) ; 4� 5� 4 = 80
associado a (3; 1; 2) ; 4 � 3 � 7 = 84 associado a (3; 2; 1), 3 � 5 � 5 = 75 associado a
(2; 1; 3) e 2� 1� 4 = 8 associado a (1; 3; 2) :
Um produto elementar assinalado ou produto elementar com sinal é um produto ele-
mentar multiplicado pelo sinal da permutação que lhe está associada, ou seja+a1;p1a2;p2 � � � an;pn
ou �a1;p1a2;p2 � � � an;pn :
Exemplos:
1. +a1;1a2;2 : : : an;n porque sgn (1; 2; : : : ; n) = +1
2. Numa matriz de ordem 6, +a1;6a2;1a3;3a4;4a5;5a6;2 é o produto elementar assinalado
associado à permutação (6; 1; 3; 4; 5; 2) ; que tem sinal +1:
3. Numa matriz de ordem 6, �a1;2a2;1a3;4a4;3a5;6a6;5 é o produto elementar assinalado
associado à permutação (2; 1; 4; 3; 6; 5) ; que tem sinal �1:
4. Na matriz do exemplo 4, os produtos elementares assinalados são:
+30 associado a (1; 2; 3) ; +21 associado a (2; 3; 1) ; +80 associado a (3; 1; 2) ; �84
associado a (3; 2; 1), �75 associado a (2; 1; 3) e �8 associado a (1; 3; 2) :
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De…nição de determinante de uma matriz quadrada
O determinante da matriz A (detA) 1 é a soma de todos os produtos elementares
assinalados de A; isto é:
detA =
X
p2Sn
sgn (p) a1;p1a2;p2 � � � an;pn :
Exemplo: O determinante da matriz dos exemplos 4 da página anterior é a soma dos seus
produtos elementares assinalados, isto é,
det
264 2 3 45 3 1
7 4 5
375 = +30 + 21 + 80 + (�84) + (�75) + (�8) = �36
Determinantes de ordem 1, 2 e 3
Ordem 1: A = [a11]
det (A) = a1;1:
Ordem 2: Para A =
"
a1;1 a1;2
a2;1 a2;2
#
; tem-se:
Produtos elementares Permutação associada Paridade Prod. elem. assinalado
a1;1a2;2 (1; 2) par +a1;1a2;2
a1;2a2;1 (2; 1) ímpar �a1;2a2;1
Assim:
det (A) = a1;1a2;2 � a1;2a2;1:
Ordem 3: Para A =
264 a1;1 a1;2 a1;3a2;1 a2;2 a2;3
a3;1 a3;2 a3;3
375 tem-se:
Produtos elementares Permutação associada Paridade Prod. elem. assinalado
a1;1a2;2a3;3 (1; 2; 3) par +a1;1a2;2a3;3
a1;2a2;3a3;1 (2; 3; 1) par +a1;2a2;3a3;1
a1;3a2;1a3;2 (3; 1; 2) par +a1;3a2;1a3;2
a1;3a2;2a3;1 (3; 2; 1) ímpar �a1;3a2;2a3;1
a1;2a2;1a3;3 (2; 1; 3) ímpar �a1;2a2;1a3;3
a1;1a2;3a3;2 (1; 3; 2) ímpar �a1;1a2;3a3;2
Assim:
det (A) = a1;1a2;2a3;3 + a1;2a2;3a3;1 + a1;3a2;1a3;2 � a1;3a2;2a3;1 � a1;2a2;1a3;3 � a1;1a2;3a3;2:
1Também se pode encontrar a notação jAj, sobretudo em textos antigos. Esta notação está a cair em
desuso.
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Regra prática para o cálculo de determinantes de matrizes de
ordem 3 (Regra de Sarrus)
Na tabela atrás estão especi…cadas as seis parcelas que se têm de calcular para obter um
determinante de ordem três, cada uma composta pelo produto de três entradas da matriz,
situadas em linhas e colunas diferentes e das quais três são afectadas do sinal positivo e
três do sinal negativo. Para calcular estes produtos e o sinal de que são afectados, costuma
utilizar-se uma regra prática, conhecida como regra de Sarrus2:
1- Repetem-se as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira:264 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
375 a11 a12a21 a22
a31 a32
2 - Os produtos afectados com o sinal + obtêm-se multiplicando os elementos que se situam
ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte:
a11a22a33; a12a23a31 e a13a21a32
3 - Os produtos afectados com sinal � obtêm-se multiplicando os elementos que se situam
ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte:
a13a22a31, a11a23a32 e a12a21a33
Exemplo: Cálculo do determinante da matriz
264 1 2 34 5 6
7 8 9
375
Parcelas com sinal + :
1� 5� 9; 2� 6� 7 e 3� 4� 8
2Pierre Frederic Sarrus (1798 - 1861) foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de
Sarrus foi provavelmente escrita no ano de 1833.
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Parcelas com sinal � :
3� 5� 7; 1� 6� 8 e 2� 4� 9
det
264 1 2 34 5 6
7 8 9
375 = 1� 5� 9 + 2� 6� 7 + 3� 4� 8� 3� 5� 7� 1� 6� 8� 2� 4� 9 = 0
Nota: Esta regra SÓ se aplica a determinantes de matrizes de ordem 3
Determinantes de matrizes de ordem superior a 3
Por razões óbvias, os determinantes de ordem superior a três não se calculam, em geral,
por de…nição, uma vez que tal implicaria o cálculo de muitas parcelas (para uma matriz de
ordem n é preciso considerar n! parcelas - por exemplo se n = 5 são 120 parcelas e se n= 6;
720 parcelas). Vamos estudar de seguida métodos alternativos para efectuar o cálculo.
Felizmente que quando muitas entradas da matriz são nulas, também muitas dessas parcelas
se anulam e o cálculo …ca bastante menos moroso.
Comecemos com alguns casos particulares:
Determinantes de matrizes de tipo especial
Seja A = [ai;j]n�n uma matriz quadrada de ordem n:
Matriz diagonal: Se A é uma matriz diagonal, então
det (A) = a1;1 � a2;2 � � � � � an;n:
Como casos particulares tem-se que:
1. det (In) = 1
2. det (On) = 0.
3. Se A é escalar e o elemento da diagonal é k, então, det (A) = kn:
Matriz triangular: Se A = é uma matriz triangular (inferior ou superior), então
det (A) = a1;1 � a2;2 � � � � � an;n:
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Propriedades dos determinantes
Seja A = [ai;j]n�n uma matriz quadrada de ordem n :
1. det (A) = det
�
AT
�
.
2. Se A é uma matriz com uma linha (ou com uma coluna) de zeros, então det (A) = 0.
3. Se a matriz A0 pode ser obtida da matriz A por troca de duas linhas (ou duas colunas),
então det (A0) = � det (A).
4. Se a matriz A tem duas linhas iguais (ou duas colunas iguais), então det (A) = 0.
5. Se L1; : : : ; Li; : : : ; Ln designam as linhas da matriz A e Li = �L0i, � 2 R, então
det (A) = � det
266666664
L1
...
L0i
...
Ln
377777775
6. Se C1; : : : ; Ci; : : : ; Cn designam as colunas da matriz A e Ci = �C 0i; � 2 R, então
det (A) = � det
h
C1 � � � C 0i : : : Cn
i
:
7. Se a matriz A tem uma linha (ou uma coluna) múltipla de outra, então det (A) = 0.
8. Se � 2 R, então det (�A) = �n det (A).
9. Se L1; : : : ; Li; : : : ; Ln designam as linhas da matriz A e Li = L0i + L
00
i então
det (A) = det
266666664
L1
...
L0i
...
Ln
377777775
+ det
266666664
L1
...
L00i
...
Ln
377777775
:
10. Se C1; : : : ; Ci; : : : ; Cn designam as colunas da matriz A e Ci = C 0i + C
00
i então
det (A) = det
h
C1 � � � C 0i : : : Cn
i
+ det
h
C1 � � � C 00i : : : Cn
i
.
11. Se B é também uma matriz de ordem n, então det (AB) = det (A)� det (B).
12. A matriz A é invertível se e só se det (A) 6= 0 (e se e só se car (A) = n).
13. Se A é invertível, então det (A�1) = (detA)�1.
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Efeitos das operações elementares no determinante
Das propriedades anteriores pode-se deduzir de que modo o determinante de uma matriz é
afectado quando se efectuam operações elementares nas linhas da matriz:
Tipo I: Se a matriz B foi obtida da matriz A por troca de duas linhas, então
det (B) = � det (A).
Exemplo: det
264 0 1 53 �6 9
2 6 1
375 ="
L1 $ L2
� det
264 3 �6 90 1 5
2 6 1
375
Tipo II: Se a matriz B foi obtida da matriz A multiplicando uma linha de A por um
número � diferente de zero, então det (B) = � det (A). Na prática, se multiplicarmos uma
linha da matriz por � 6= 0, multiplica-se o determinante por 1
�
. (Se det (B) = � det (A),
então det (A) =
1
�
det (B))
Exemplo: det
264 3 �6 90 1 5
2 6 1
375 ="
1
3
L1
3 det
264 1 �2 30 1 5
2 6 1
375
Tipo III: Se Se a matriz B foi obtida da matriz A adicionando a uma linha de A outra
linha multiplicada por um número real, então det (B) = det (A)
Exemplo: det
264 1 �2 30 1 5
2 6 1
375 ="
L3 � �2L1 + L3
det
264 1 �2 30 1 5
0 10 �5
375
Cálculo do determinante através do método de eliminação
Foi visto atrás qual o efeito no determinante das operações elementares nas linhas da matriz.
Assim, o método de eliminação de Gauss fornece um método para o cálculo do determinante:
Para calcular o determinante de uma matriz começa-se por reduzir a matriz a uma forma
de escada, assinalando as alterações que ocorram no determinante. Como a forma de escada
de uma matriz quadrada é uma matriz triangular, o determinante desta obtém-se, como foi
visto atrás, multiplicando os elementos da diagonal principal.
Exemplos:
1.
det
264 0 1 53 �6 9
2 6 1
375 ="
L1 $ L2
ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Determinantes 38
= � det
264 3 �6 90 1 5
2 6 1
375 ="
L1 13L1
= �3 det
264 1 �2 30 1 5
2 6 1
375 ="
L3 �2L1 + L3
= �3 det
264 1 �2 30 1 5
0 10 �5
375 ="
L3 �10L2 + L3
= �3 det
264 1 �2 30 1 5
0 0 �55
375 =
= (�3)� (�55) =
= 165
2.
det
266664
1 �1 �1 1
2 1 �1 1
�1 2 �1 1
1 1 2 1
377775 ="
L2 �2L1 + L2
L3 L1 + L3
L4 �L1 + L2
= det
266664
1 �1 �1 1
0 3 1 �1
0 1 �2 2
0 2 3 0
377775 ="
L2 $ L3
= � det
266664
1 �1 �1 1
0 1 �2 2
0 3 1 �1
0 2 3 0
377775 ="
L3 �3L2 + L3
L4 �2L2 + L4
= � det
266664
1 �1 �1 1
0 1 �2 2
0 0 7 �7
0 0 7 �4
377775 ="
L4 �L3 + L4
ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Determinantes 39
= � det
266664
1 �1 �1 1
0 1 �2 2
0 0 7 �7
0 0 0 3
377775 =
= �21
Cálculo do determinante através do Teorema de Laplace
O teorema de Laplace3 fornece outro método de cálculo de determinantes, útil, sobretudo,
para o cálculo de determinantes de ordem superior a 3.
Seja A = [ai;j]n�n uma matriz quadrada de ordem n.
Chama-se Menor (i; j) da matriz A; Ai;j; ao determinante da matriz que se obtém de A
retirando-lhe a linha i e a coluna j. Chama-se complemento algébrico de ai;j ao número
(�1)i+j Ai;j; que se designa por A^i;j:
Exemplo:
Sendo A =
264 �2 3 5�1 8 2
2 �2 �7
375 ; temos, por exemplo:
A1;2 = det
"
�1 2
2 �7
#
= 3 e A^1;2 = (�1)1+2A1;2 = �3:
A3;1 = det
"
3 5
8 2
#
= �34 e A^1;2 = (�1)3+1A1;2 = �34:
Teorema de Laplace: Seja A = [ai;j]n�n uma matriz quadrada de ordem n: Então:
(i) Para cada linha l, l 2 f1; 2; :::; ng, tem-se:
det (A) = al;1A^l;1 + al;2A^l;2 + � � �+ al;nA^l;n:(Desenvolvimento ao longo da linha l)
(ii) Para cada coluna c; c 2 f1; 2; :::; ng, tem-se:
det (A) = a1;cA^1;c + a2;cA^2;c + � � �+ an;cA^n;c:(Desenvolvimento ao longo da coluna c)
Notas:
1. O Teorema de Laplace estabelece que o determinante de uma matriz se pode obter
efectuando a soma do produto dos elementos de uma linha ou coluna pelos respectivos
complementos algébricos e reduz o cálculo de um determinante de ordem n ao cálculo
de determinantes de ordem n� 1:
3Pierre Simon, Marquis de Laplace (Beaumont-en-Auge, 23 de março de 1749 - Paris, 5 de março de
1827) foi um matemático, astrónomo e físico francês.
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2. Para aplicação do Teorema de Laplace convém escolher uma linha ou coluna da matriz
com o maior número possível de zeros.
3. Muitas vezes, para calcular o determinante de uma matriz, usam-se simultaneamente
o método de eliminação e o teorema de Laplace. Começa-se o método de eliminação
para obter, por exemplo na 1a coluna, apenas um elemento não nulo e aplica-se de
seguida o desenvolvimento de Laplace ao longo dessa coluna.
Exemplos:
1.
det
2666666664
2 0 � 0 0
�2 2 9
5
0 2
4 5 5 �2 5�
4
�1 1 � 0 0
� 0 �2 0 0
3777777775
="
Desenv.
4a coluna
= �2� (�1)3+4 det
2666664
2 0 � 0
�2 2 9
5
2
�1 1 � 0
� 0 �2 0
3777775 ="
Desenv.
4a coluna
= 2� 2� (�1)2+4 det
264 2 0 ��1 1 �
� 0 �2
375 ="
Desenv.
2a coluna
= 2� 2� (�1)2+2 det
"
2 �
� �2
#
="
Det.
ordem 2
= 2� 2� ��4� �2� =
= �4�2 � 16
2.
det
264 0 1 53 �6 9
2 6 1
375 ="
L1 $ L2
= � det
264 3 �6 90 1 5
2 6 1
375 ="
1
3
L1
ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Determinantes 41
= �3 det
264 1 �2 30 1 5
2 6 1
375 ="
�2L1 + L3
= �3 det
264 1 �2 30 1 5
0 10 �5
375 ="
Desenv.
1a coluna
= �3� 1� (�1)1+1 � det
"
1 5
10 �5
#
="
Det.
ordem 2
= �3� (�55) = 165
3.
det
266664
1 �1 �1 1
2 1 �1 1
�1 2 �1 1
1 1 21
377775 ="
L2 �2L1 + L2
L3 L1 + L3
L4 �L1 + L2
= det
266664
1 �1 �1 1
0 3 1 �1
0 1 �2 2
0 2 3 0
377775 ="
Desenv.
1a coluna
= (�1)1+1 � 1� det
264 3 1 �11 �2 2
2 3 0
375 ="
L1 $ L2
= � det
264 1 �2 23 1 �1
2 3 0
375 ="
L2 �3L1 + L2
L3 �2L1 + L3
= � det
264 1 �2 20 7 �7
0 7 �4
375 ="
Desenv.
1a coluna
ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Determinantes 42
= �
 
(�1)1+1 � 1 det
"
7 �7
7 �4
#!
="
Det.
ordem 2
= � (�28 + 49) = �21
4.
det
266664
k 0 �1 7
1 �1 0 1
0 1 1 0
1 0 1 k
377775 ="
Desenv.
3a linha
= 1� (�1)3+2 det
264 k �1 71 0 1
1 1 k
375+ 1� (�1)3+3 det
264 k 0 71 �1 1
1 0 k
375 ="
Det.
ordem 3
= �6 + ��k2 + 7� =
= �k2 + 1
Inversa de uma matriz usando determinantes
Os determinantes aplicam-se também ao cálculo da matriz inversa. Sendo A = [ai;j]n�n uma
matriz de ordem n, de…ninem-se as seguintes matrizes:
� Matriz dos co-factores ou dos complementos algébricos:
A^ =
h
A^i;j
i
n�n
� Matriz adjunta da matriz A:
Adj (A) = A^T .
Exemplo:
Seja A =
264 � �1 30 1 �3
�1 �2 �
375 : Para esta matriz temos:
A^1;1 = (�1)1+1 det
"
1 �3
�2 �
#
= � � 6
A^1;2 = (�1)1+2 det
"
0 �3
�1 �
#
= 3
ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Determinantes 43
A^1;3 = (�1)1+3 det
"
0 1
�1 �2
#
= 1
A^2;1 = (�1)2+1 det
"
�1 3
�2 �
#
= � � 6
A^2;2 = (�1)2+2 det
"
� 3
�1 �
#
= �� + 3
A^2;3 = (�1)2+3 det
"
� �1
�1 �2
#
= 2�+ 1
A^3;1 = (�1)3+1 det
"
�1 3
1 �3
#
= 0
A^3;2 = (�1)3+2 det
"
� 3
0 �3
#
= 3�
A^3;3 = (�1)3+3 det
"
� �1
0 1
#
= �
Então A^ =
264 � � 6 3 1� � 6 �� + 3 2�+ 1
0 3� �
375e adj (A) = A^T =
264 � � 6 � � 6 03 �� + 3 3�
1 2�+ 1 �
375
Teorema: Seja A uma matriz de ordem n. Então A� Adj (A) = det (A) In.
Demonstração:
SendoA =
266666666664
a1;1 a1;2 � � � a1;n
a2;1 a2;2 � � � a2;n
...
...
...
ai;1 ai;2 � � � ai;n
...
...
...
an;1 an;2 � � � an;n
377777777775
eAdj (A) =
266664
A^11 A^21 � � � A^j;1 � � � A^n;1
A^12 A^22 � � � A^j;2 � � � A^n;2
...
...
...
. . .
...
A^1;n A^2;n � � � A^j;n � � � A^n;n
377775
e sendo
C = [ci;j]n�n = A� Adj (A) ; veri…ca-se que:
ci;j = ai;1A^j;1 + ai;2A^j;2 + � � �+ ai;nA^j;n
� Se i = j obtemos ci;i = ai;1A^i;1 + ai;2A^i;2 + � � � + ai;nA^i;n, valor que, pelo teorema de
Laplace, é igual a det (A) :
� Se i 6= j, o valor que se obtém para ci;j corresponde, pelo teorema de Laplace, ao
desenvolvimento do determinante ao longo da linha j da matriz que se obtém de A
substituindo a linha j pela linha i: Como essa matriz tem duas linhas iguais, o seu
determinante é igual a 0:
ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ…ca - ISE - 2010/2011 - Determinantes 44
Conclui-se que A� Adj (A) = det (A) In.
Corolário: Seja A uma matriz de ordem n.
(a) Se A não é invertível, então A� Adj (A) é a matriz nula de ordem n.
(b) Se A é invertível, então A�1 =
1
detA
Adj (A).
Notas:
1. A alínea (b) do corolário fornece um novo método de cálculo da matriz inversa.
2. Este método indica explicitamente cada entrada da matriz inversa:
Se B = A�1; então bi;j =
1
detA
A^j;i: Isto permite calcular entradas da matriz inversa
de uma matriz, sem ter de calcular toda a matriz inversa.
3. Este método é também útil para o cálculo de inversas de matrizes em que algumas
entradas sejam parâmetros e para as quais o método de eliminação se torna de difícil
aplicação.
Exemplo:
Para a matriz do exemplo da página 42,
A =
264 � �1 30 1 �3
�1 �2 �
375 ;
det (A) = �� � 6�.
Tem-se, então:
1.
A� adj (A) =
=
264 � �1 30 1 �3
�1 �2 �
375
264 � � 6 � � 6 03 �� + 3 3�
1 2�+ 1 �
375 =
=
264 �� � 6� 0 00 �� � 6� 0
0 0 �� � 6�
375 =
= det (A) I3
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2. A matriz A é invertível se e só se det (A) 6= 0; isto é se e só se � 6= 0 e � 6= 6.
Para estes valores tem-se, usando a alínea (b) do corolário:
A�1 =
1
det (A)
adj (A) =
=
1
�� � 6�
264 � � 6 � � 6 03 �� + 3 3�
1 2�+ 1 �
375 =
=
2666666664
� � 6
�� � 6�
� � 6
�� � 6� 0
3
�� � 6�
�� + 3
�� � 6�
3�
�� � 6�
1
�� � 6�
2�+ 1
�� � 6�
�
�� � 6�
3777777775
=
=
2666666664
1
�
1
�
0
3
�� � 6�
�� + 3
�� � 6�
3
� � 6
1
�� � 6�
2�+ 1
�� � 6�
1
� � 6
3777777775