Aula 4 Determinantes 1 2016

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“Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do 
desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 1 
 
Curso: Engenharia de produção Ano: 2016-1° semestre 
Disciplina: Vetores e Geometria Analítica Turma: PRO215AN/MEC215AN 
Professor: Alice Lima de Souza da Cruz 
 
AULA 04 
 
DETERMINANTES 
 
A toda matriz quadrada de ordem n, associaremos um número real segundo uma determinada lei, ou seja, 
definiremos uma função 
𝑑𝑒𝑡: 𝑀𝑛 → 𝑅 
do conjunto das matrizes quadradas de ordem n, Mn, no conjunto dos números reais. Chamaremos esta função de 
determinante. 
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: 
 Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; 
 Cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos 
seus vértices. 
Começaremos com uma matriz de ordem 1, A=[a11]. Neste caso, definimos o determinante de A da seguinte forma: 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = |𝐴| = 𝑎11 
ou seja, o determinante de uma matriz que contém apenas um elemento é o próprio elemento. 
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de 
módulo. 
Determinante de 2ª ordem 
Dada a matriz quadrada de ordem 2, A=[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
], chama-se determinante da matriz A o número o real obtido pela 
diferença da diagonal principal e da secundária: 
det A=[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21 
Indica-se 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = |𝐴| = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21 
Exercício: Calcular os seguintes determinantes: 
a) [
−5 −2
3 1
] 
b) [
1 0
0 1
] 
c) [
5 0
2 0
] 
 
 
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Menor complementar 
O menor complementar Dij relativo ao elemento aij , é o determinante da matriz quadrada, de ordem n>1, que se 
obtém de M retirando-se a linha i e a coluna j. 
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir: 
Sendo M=[
𝑎11 𝑎12 𝑎31
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
], de ordem 3, temos: 
 
D11 = [
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
] = 𝑎22𝑎33 − 𝑎23𝑎32 
D12 = [
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
] = 𝑎21𝑎33 − 𝑎23𝑎31 
Exercício: Dada a matriz 𝐴 = [
2 −1 3
0 1 4
5 −2 1
], calcule o D11, D12, D21, D32. 
Cofator 
Dada a matriz A = (aij )3, o cofator de aij é o número Aij que se obtém multiplicando-se (−1)i+j pelo menor 
complementar de aij. Ou seja, 
𝐴𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗. 𝐷𝑖𝑗 
Desta forma para o exercício anterior, temos: 
𝐴11 = (−1)
1+1. 𝐷11 = (−1)
2. 9 = 0 
𝐴12 = (−1)
1+2. 𝐷12 = (−1)
3. (−20) = 20 
Exercício: Calcule 𝐴21e 𝐴32, onde A é a matriz anterior. 
Teorema de Laplace para matrizes de 4ª ordem ou superior 
O cálculo de determinantes de ordem n ≥ 4 pela definição é muito trabalhoso. É por este motivo que vamos tratar 
agora do teorema de Laplace, um método muito mais prático de calcular determinantes. Seja B=(aij) uma matriz de 
ordem n=3. 
Para aplicar o teorema de Laplace devemos escolher uma fila (linha ou coluna da matriz) e adicionar os produtos dos 
elementos desta fila aos respectivos cofatores. 
𝐵𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗. 𝐷𝑖𝑗 
Exemplo : Calcular com o auxílio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes: 
 
 
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a) 
3 2 0 1
1 1 13 
0 2 0 0 
14 3 2 
D b) 
6 5 0 
2 1 2
43 2 
D 21





 
Solução: 
a) 
 
6 5 0 
2 1 2
43 2 
D1 


 
 
Aplicando Laplace na coluna 1, temos: 
 
   2 1
43
(-1)0
6 5
43
(-1))2(
65
21
(-1)2D
31
31
21
21
11
11
CofatorA
13
a
CofatorA
12
a
)11cofator(A
11
a
1 



 

 
 0
6 5
43
2
65
21
2D1 


 
 2(38)2(-4)20)2(1810)-2(6D1 
 
 68768D1 
 
b) Como três dos quatro elementos da a2 linha são nulos, convém aplicar Laplace nessa linha. 
 
3 2 0 1
1 1 13 
0 2 0 0 
14 3 2 
D 2



 




  
3 0 1
1 13 
13 2 
)1(200D
23MC
D 
32
2

 OBS.: Então podemos rescrever 
2D 
 como: 
 
(I) D2D 2 
 
 
 
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Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos Laplace na 

a
3
 linha (mais 
conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos: 
 

3331 MC
33
MC
13
1-3
3 2
)1(3
1 1-
1-3 
)1(1D 
 
 332)11(3)2(1)92(3)13(1D 
 
35D 
 
 
Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos: 
 
 -2(-35)DD2D 22 
 
 
70D 2 
 
Determinante de 3ª ordem pela regra de Sarrus 
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de 
Sarrus. 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira. 
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela 
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo): 
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela 
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo): 
D=[
−2 1 5
1 −1 2
0 4 1
] → [
−2 1 5
1 −1 2
0 4 1
] |
−2 1
1 −1
0 4
| 
𝐷 = ((−2 ∗ −1 ∗ 1) + (1 ∗ 2 ∗ 0) + (5 ∗ 1 ∗ 4)) − ((5 ∗ −1 ∗ 0) + (−2 ∗ 2 ∗) + (1 ∗ 1 ∗ 1)) 
= (2 + 0 + 20) − (0 + (−16) + 1) 
= (22) − (−15) 
= 37 
Cálculo da determinante por meio de escalonamento (Eliminação de Gauss) 
Escalonamos a matriz até chegar em uma matriz triangular, pois o determinante de uma matriz triangular é facilmente 
calculado: ele é simplesmente o produto dos elementos na diagonal principal: 
 
 
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Proposição: Se 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 
det 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 … 𝑎𝑚𝑛. 
Ao escalonar a matriz, realizamos uma operação elementar nas linhas ou colunas da matriz. 
1) Somar múltiplo de outra linha: Equivale a somar múltiplo da outra equação que também não altera a solução do 
sistema. 
2) Troca de linhas: A troca de linhas corresponde a troca da posição das equações, o que não influencia na solução do 
sistema. 
 3) Multiplicar uma linha por número não nulo: Equivale a multiplicar um número não nulo na equação correspondente 
que também não altera a solução. Esta operação não é necessário na eliminação de Gauss, mas faz-se necessário no 
Gauss-Jordan. 
Exemplo: Calcular o determinante da matriz abaixo usando o método de eliminação de Gauss 
𝑑𝑒𝑡 [
0 2 5
3 −6 9
2 6 1
] 
*Troca-se a linha 1 e 2 de posição para ter um número diferente de zero na posição 𝑎11, ao qual chama-se de pivô. 
𝐿1 ↔ 𝐿2 𝑑𝑒𝑡 [
3 −6 9
0 2 5
2 6 1
] 
* Deseja-se que abaixo do pivô, todos os elementos sejam nulos, então subtraio da linha 3 o valor doelemento que 
deseja-se eliminar, dividido pelo elemento da linha que se escolheu como base subtração(
𝑎31
𝑎11
), ou seja 
𝐿3 −
2
3
𝐿1 𝑑𝑒𝑡 [
3 −6 9
0 2 5
0 10 −5
] 
* Completou-se a primeira coluna com zeros abaixo do pivô. Agora deve-se seguir para a direita e encontrar o 
elemento não nulo da segunda coluna. Abaixo dele deve-se ter elementos nulos, portanto, faremos (
𝑎32
𝑎22
) 
𝐿3 −
10
2
𝐿2 𝑑𝑒𝑡 [
3 −6 9
0 2 5
0 0 −30
] 
det = (−1) × 3 × 2 × (−30) = 180 
* Obs.: Quando trocamos linhas de posição, se o número de permutações for ímpar devemos multiplicar o 
determinante por -1, como no exemplo anterior. Se o número de permutações for par, não é necessário realizar 
nenhuma operação. 
Exemplo: Calcular o determinante da matriz a seguir. 
 
 
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𝑑𝑒𝑡 |
1 2 −1 0
0 −1 1 −1
−2 −1 4 2
4 3 0 1
| 
* Não há necessidade de realizar nenhuma operação nas duas primeiras linhas, portanto deve-se preencher com 
elementos nulos a linha 3 e 4 da primeira coluna. 
Para zerar os elementos de posição 𝑎31e 𝑎41 
𝑚31 = 𝐿2 + 2 × 𝐿1 
𝑚41 = 𝐿4 − 4 × 𝐿1 
𝑑𝑒𝑡 |
1 2 −1 0
0 −1 1 −1
0 3 2 2
0 −5 4 1
| 
Para zerar os elementos de posição 𝑎32e 𝑎42: 
𝑚32 = 𝐿3 + 3 × 𝐿2 
𝑚41 = 𝐿4 − 5 × 𝐿2 
𝑑𝑒𝑡 |
1 2 −1 0
0 −1 1 −1
0 0 5 −1
0 0 −1 6
| 
Para zerar o elemento de posição 𝑎43: 
𝑚41 = 𝐿4 − (−
1
5
) × 𝐿3 
𝑑𝑒𝑡 ||
1 2 −1 0
0 −1 1 −1
0 0 5 −1
0 0 0 29 5⁄
|| 
* Neste caso não houve permutação entre linhas, então 
det = 1 × (−1) × 5 × (29 5⁄ ) = −29 
Mais informações e exemplos: 
http://docentes.fe.unl.pt/~pchaves/1303/ficheiros/Apontamentos_2_-_Matrizes.pdf 
http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/determinantes.pdf 
http://www.mat.uc.pt/~meresa/ALGA(Civil)05-06/cap1.pdf 
 
 
 
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Lista de Exercícios 4 
1) Calcular o valor dos determinantes das seguintes matrizes: 
a) A=






83
3,02
1 
b) D=
  .a onde , ij22 jia xij 
 
c) 𝐵 = [
1 2 3
9 7 4
2 3 1
] 
d) 𝐶 = [
1 2 0
7 3 0
4 −4 1
] 
 
2) Calcule os seguintes determinantes aplicando Sarrus. 
a) A=










231
210
032
 b) 𝐵 = [
2 5 7
3 −1 2
4 7 5
] 
 
b) Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema de Laplace: 
a) A= 
987
654
321
 b) D=
0010
1000
2002
3110
 c) 𝐵 = [
𝑖 𝑗 𝑘
2 1 1
−1 0 3
] 
3) Calcule os determinantes aplicando o método de eliminação de Gauss. 
a) 𝐵 = [
1 0 3
3 2 1
−1 4 7
] b) 𝑂 = [
3 0 1 0
−2 0 2 0
0 1 0 1
0 −1 0 1
]