Quimica_Quantica_P1_Resolucao_2009

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO – UNIFESP –CAMPUS DIADEMA 
 
Química Quântica 4º Termo – 2º Sem/2009 Avaliação 1 15.10.2009 
Prof. Fabricio R. Sensato 
Nome:________________________________________________Matricula:_________Termo:_________ 
• Avaliação individual, sem consulta; 
• É permitido o uso de calculadora (mas não é permitido o uso de calculadoras contidas em celulares ou palmtops); 
• O empréstimo de qualquer material não é permitido; 
• Todos os dados necessários para a resolução da prova figuram na folha de questões; 
• Certamente não há qualquer armadilha na formulação das questões 
• Não desate o maço que lhe foi entregue; 
• Empregue o número correto de algarismos significativos; 
• Resolução e respostas podem ser dadas a lápis ou caneta; 
• Apresente pormenorizadamente cálculos, passagens e justifique qualque consideração assumida; 
• Apresente explicitamente todas as unidades ao longo do desenvolvimento dos cálculos. 
 
Dados 
h = 6,626 × 10-34 J s ħ= h/2 c = 2,988 ×108 ms-1 
1J = 1kgm2s-2 1m=1012 pm me: 9,110 ×10-31 kg λ=c/ν 
Função de onda para uma partícula de confinada em uma caixa unidimensional de comprimento l: 
ψ = ��� ��� �	� 
 Energias permitidas: E = (n2h2)/(8ml2) 
Elemento de volume em coordenadas esféricas polares: dτ = r2senθdrdθdφ 
Soluções conhecidas: 
 � 
���
��� �
 = �!
��� � �����
 �
 = �� − ��� ���(2�
) 
 
1) (2,0 pontos) Conceitue o que se segue. Se necessário, faça uso adicional de equações ou expressões 
matemáticas. Se aplidável, forneça exemplos. 
1.a) (0,2 pontos) O que é uma equação de autovalor? Dê um exemplo. 
1.b) (0,2 pontos) Que principais critérios uma função de onda deve obedecer para ser considerada 
aceitável? 
1.c) (0,2 pontos) Qual é a interpretação de Born para a função de onda? 
1.d) (0,2 pontos) Por que a função de onda deve estar normalizada para o cálculo das probabilidades de 
localização de partículas? 
1.e) (0,2 pontos) O que são as denominadas “condições de contorno”? 
1.f) (0,2 pontos) O que é o princípio da incerteza de Heisenberg? 
1.g) (0,2 pontos) O que são observáveis complementares? Dê um exemplo de duas observáveis que sejam 
complementares e duas que não o sejam. 
1.h) (0,2 pontos) O que é o princípio da correspondência? 
1.i) (0,2 pontos) O que são funções de onda degeneradas? 
1.j) (0,2 pontos) O que é tunelamento? 
 
 
As respostas para as questões teóricas podem ser encontradas em qualquer livro texto de química quântica 
dentre os quais aqueles que fazem parte da bibliografia básica do curso, a saber, P.W. Atkins (Capítulo 8 e 
9) e David Ball (Capítulo 10) 
 
2) (2,0 pontos) Quando o β-caroteno é oxidado nos seres vivos, ele se quebra pela metade e forma duas 
moléculas de retinal (vitamina A), que é um precursor do pigmento na retina responsável pela visão. O 
sistema retinal consiste em 11 átomos de carbono e um átomo de oxigênio. No estado fundamental do 
retinal, cada nível até n = 6 é ocupado por dois elétrons. Supondo uma distância média internuclear de 140 
pm, calcule (a) a separação de energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado, em que 
um eletrón ocupa o estado com n = 7; (b) a frequência e o correspondente comprimento de onda da 
radiação necessária para produzir uma transição entre esses dois estados. (c) Escolha dentre as palavras 
entre parênteses (abaixo) as necessárias para gerar uma regra para a predição dos deslocamentos de 
frequência nos espectros de absorção de polienos lineares. (d) Explique suas escolhas. 
“O espectro de absorção de um polieno linear se desloca para uma (maior/menor) frequência quando o 
número de átomos conjugados (aumenta/diminui)” 
Resolução a) 
∆ = ! − " 
A molécula é constituída por 12 átomos (11 de carbono e 1 de oxigênio) e, portanto, a “caixa molecular” 
pode ser considerada como formada por 11 ligações, cujas distâncias médias internucleares (entre núcleos 
atômicos) é 140 pm. Assim, o comprimento da molécula é dado por 11 × 140 pm, ou seja, 1,54 × 103 pm 
 ! = 7�ℎ�8&'(� ⇒ ! = 7
�(6,626 × 10�.� J s)�8 × 9,109 × 10�.�kg × (1,54 × 10. pm)� 91kg m�s��1J : 910�� pm1 m : 910�� pm1 m : 
 ! = 1,24 × 10��; < 
 " = 6�ℎ�8&'(� ⇒ " = 6
�(6,626 × 10�.� J s)�8 × 9,109 × 10�.�kg × (1,54 × 10. pm)� 91kg m�s��1J : 910�� pm1 m : 910�� pm1 m : 
 " = 9,15 × 10��= < 
∆ = ! − " = ∆ = 1,24 × 10��; J − 9,15 × 10��= J = 3,25 × 10��= J 
Resolução b) 
∆ = ℎ? ⇒ ? = ∆ ℎ ⇒ ? = 3,25 × 10��=J6,626 × 10�.� J s = 4,90 × 10�� s�� 
@ = A? ⇒ @ = 2,988 × 10; ms��4,90× 10�� s�� ⇒ @ = 6,10 × 10�! m 
Resolução c) 
menor/aumenta ou maior/diminui 
Resolução d) 
A diferença em energia, ∆E, entre os estados En+1 e En (no exercício proposto n seria igual a 6) é, 
genericamente calculada como: 
 
∆ = �B� − � = (� + 1)�ℎ�8&D� − ��ℎ�8&D� = (2� + 1) ℎ�8&D� 
Isto significa que ∆E, a diferença entre En+1 e En, é inversalmente proporcional a L2. Assim, se L aumenta (o 
que equivale dizer que o número de átomos conjugados aumenta), ∆E diminui. Como ∆E = hν, a frequência 
necessária para produzir a mesma transição também diminui. O inverso é verdadeiro para o caso em que o 
número de átomos conjugados diminui. 
3) (2,0 pontos) A equação de Schrödinger para o cálculo da energia rotacional bidimensional (uma partícula 
percorrendo um círculo de raio r) é dada pela seguinte equação de autovalor: 
− ħ�2F G�Gφ� ψ = ψ 
I é o momento de inércia (I = mr2) e é uma constante. Ainda, φ é a coordenada angular da rotação. 
Uma possível solução para ψ nesta equação é: ψ = Aeimφ (“A” e “m” são constantes) 
a) Mostre que a função ψ = Aeimφ é uma autofunção do operador hamiltoniano supracitado e encontre o 
correspondente autovalor. 
b) Encontre o valor de A normalizando a função (dτ=dφ; e todo o espaço de φ é de 0 (zero) a 2pi). 
Resolução a) 
− ħ�2F G�Gφ� (H�IJ∅) = (H�IJ∅) 
− ħ�2F H�IJ∅ × L& × L& = (H�IJ∅) 
ħ�2F &�(H�IJ∅) = (H�IJ∅) 
ħ�&�2F = 
Resolução b) 
M N∗N �P = 1�	� 
M H��IJ∅ H�IJ∅ �P = 1�	� 
H� M ��IJ∅ �IJ∅ �P = 1�	� 
H� M �P = 1�	� 
H� × [P]��	 = 1 
H = 1√2 
 
 
4) (2,0 pontos) A função de onda, ψ, para o elétron em seu estado de energia mais baixa no íon He+ é 
proporcional a e-2r/ao (a0 é uma constante e r é a distância entre o elétron e o núcleo). (a) Normalize a 
referida função de onda; (b) calcule o valor médio da distância do elétron ao núcleo. 
Resolução a) 
Limites da integração: r varia de 0 a ∞; θ varia de 0 a pi; e φ varia de 0 a 2pi 
M M M N∗�pi
�
	
�
�
�
N T� sen W�T�W�P = 1 
M M M XY���Z/
\]∗�pi
�
	
�
�
�
Y���Z/
\ T� sen W�T�W�P = 1 
Y� M M M ���Z 
\^ T�sen W�T�W�P�pi
�
	
�
�
�
= 1 
Y� _M T����Z 
\^�
�
M sen W�W	
�
M �P�	
�
` = 1 
Y� _M T����Z 
\^�
�
M sen W�W	
�
M �P�	
�
` = 1 
Y� _ 2!X4 a�^ ]. × [(−)cos]�
	 × [P]��	` = 1 
Y = d 8ea�.f
��
 
N = d 8ea�.f
�� ���Z/
\ 
Resolução b) 
gTh = M M M N∗�pi
�
	
�
T̂�
�
N T� sen W�T�W�P 
gTh = M M M jd 8ea�.f
�� ���Z/
\k
∗�pi
�
	
�
T�
�
d 8ea�.f
�� ���Z/
\ T� sen W�T�W�P 
gTh = d 8ea�.f M M M T.���Z/
\
�pi
�
	
�
�
�
sen W�T�W�P 
 
gTh = d 8ea�.f _M T.���Z 
\^
�
�
M sen W�W	
�
M �P�	
�
` 
gTh = d 8ea�.f _ 3!X4 a�^ ]� × [(−)cos]�
	 × [P]��	` 
gTh = 34 a� 
5) (2,0 pontos) Empregando a função de onda de uma partícula confinada na caixa de comprimento l = 
10nm, calcule a probabilidade de a partícula estar entre (a) x = 4,95 nm e 5,05 nm; (b) x = 1,95 nm e 2,05 
nm; (c) 9,90 nm e 10,00 nm; (d) na metade direita da caixa; e (e) no terço central da caixa. Faça os cálculos 
para n = 1 e n = 2. Organize seus resultados convenientemente em uma tabela e discuta as principais 
diferenças encontradas (entre os resultados de um mesmo “n” e entre os resultados dos distintos “n”s). 
Resoluçãol = M N∗N �m 
l = M jn2( ��� �e( 
k
∗ n2( ��� �e( 
 �
 
l = 2( M o��� �e( 
p o��� �e( 
p �
 
l = 2( M ���� �e( 
 �
 
Solução conhecida: � �����
 �
 = �� − ��� ���(2�
). Identificando � = �	� tem-se: 
l = 2( q
2 − 14 (�e ���(2 �e( 
)r sL 
l = 210 nm q
2 − 14 10 nm�e ���(2 �e10 nm 
)r 
�
� 
As probabilidades calculadas para os correspondentes pares x1 e x2, são sumariadas na Tabela abaixo 
 x1 /nm X2 /nm P(n = 1) P(n = 2) 
a 4,95 5,05 0,020 6,6 × 10-6 
b 1,95 2,05 6,9 × 10-3 1,8 × 10-2 
c 9,90 10,00 6,6 × 10-6 2,6 × 10-5 
d 0 5,0 0,50 0,50 
e 10/3 20/3 0,61 0,20 
 
 
 
 
 Em particular, quando se compara os casos a, b e c, verifica-se que todos se referem ao mesmo 
intervalo de espaço, ∆x = 0,1 nm. Entretando, cado intervalo está posicionado em distintas regiões do 
espaço e, portanto, a amplitude da função de onda (e também a densidade de probabilidade) é distinta em 
cada caso. A variação de ψ2 em função de x para n =1 e n = 2 é mostrada na figura abaixo 
 
 Uma análise da Figura para n = 1, revela que o máximo da densidade de probabilidade, ψ2, ocorre 
na metade da caixa e, portanto, para um mesmo ∆x = 0,1 nm, a probabilidade de encontrar a partícula 
entre 4,95 e 5,05 nm (caso a) deve ser maior que em qualquer outra região. Pelos mesmos argumentos, 
verifica-se que a probabilidade de encontrar a partícula na região compreendida entre 1,95 e 2,05 nm deve 
ser maior que a de encontrar a partícula na região intervalada entre 9,90 e 10,0 nm. Ainda para n = 1, 
verifica-se por simples inspeção que a área sob a curva (ψ2) no intervalo 0<x<5 é menor que a área no 
intervalo (10/3<x<20/3). Isto é consistente com o fato da probabilidade para o caso d ser menor que no 
caso e. 
 Para n = 2, verifica-se que o intervalo 4,95-5,50 inclui o nó da função de onda, onde a probabilidade 
de encontrar o elétron é zero. A vinhança deste ponto (dentro do intervalo ∆x = 0,1 nm) é responsável pela 
baixíssima probabilidade de encontrar a partícula naquela região (P = 6,6 × 10-6, caso a ; n= 2). Verifica-se 
também que o máximo da densidade de probabilidade ocorre em 2,5 e em 7,5 nm. Examinando a Figura 
para n = 2 observa-se que a probabilidade de encontrar a partícula entre 1,95 e 2,05 é maior que a de 
encontrá-la entre 9,90 e 10,0 nm, corroborando os resultados encontrados para os casos b e c. Ainda para 
n = 2, observa-se que a área sob a curva ψ2(x) no intervalo 0<x<5 é bem maior que aquela correspondente 
à região compreendida entre 10/3 e 20/3 nm e, assim, a probabilidade calculada em d é maior que aquela 
para o caso e. 
 
6) (1,0 ponto: bônus) Um elétron é confinado em uma caixa de dimensões 2Å × 3Å × 5Å (em x, y e z, 
respectivamente). Escreva as funções de onda, ψn, para os cincos estados de menor energia. Apresente-as em 
ordem crescente de energia. Justifique. 
Resolução 
A função de onda de uma partícula em uma caixa tridimensional é dada como o produto das funções em x, y 
e z: 
N(
, t, u) = � ;
�v ��� �w	�
 × ��� �x	y� × ��� �z	{v 
A energia total da partícula é dada por: 
 = |};J o�w}
} + �x}�} + �z}v}p, e para o problema em tela = |};J o�w}�} + �x}.} + �z}~}p 
 As cinco funções de onda de menor energia são aquelas cujos números quânticos nx, ny e nz 
conduzem aos menores valores de E. Assim, por inspeção da expressão acima e considerando possíveis 
 
combinações com os menores valores para nx, ny e nz, obtém-se o seguinte ordenamento crescente de E e 
as correspondentes funções de onda (a×b×c = 30): 
N�,�,� = � ;.� ��� �	�� × ��� �	y. × ��� �	{~ = |};J (0,40) 
N�,�,� = � ;.� ��� �	�� × ��� �	y. × ��� �	{~ = |};J (0,52) 
N�,�,. = � ;.� ��� �	�� × ��� �	y. × ��� .	{~ = |};J (0,72) 
N�,�,� = � ;.� ��� �	�� × ��� �	y. × ��� �	{~ = |};J (0,73) 
N�,�,� = � ;.� ��� �	�� × ��� �	y. × ��� �	{~ = |};J (0,85)