Limite Conceitos, Propriedades e Exemplos

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Limites: conceitos, propriedades e
exemplos
Limite de uma função real, seus conceitos e suas propriedades.
Prof. Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
1. Itens iniciais
Propósito
Descrever o conceito de limite de uma função real por meio de uma abordagem intuitiva e analítica. Aplicar
essa definição na continuidade e na obtenção das retas assíntotas.
Objetivos
Aplicar abordagem intuitiva e definições de uma função real.
Identificar as funções bem-comportadas e as técnicas para o cálculo de limites.
Calcular limites no infinito, limites infinitos e assíntotas.
Introdução
Olá! Antes de começar, assista ao vídeo a seguir para ter uma visão geral sobre o conceito de limite,
aplicações, bem como técnicas para seu cálculo e o conceito de continuidade de uma função.
Conteúdo interativo
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1. O limite de uma função real
Vamos começar!
A definição intuitiva de limite
Assista ao vídeo a seguir para conhecer alguns conceitos iniciais importantes sobre a definição intuitiva de
limite.
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Noção intuitiva de uma função real
Em muitas aplicações da matemática, será necessário conhecer o comportamento de uma função quando a
variável independente se aproximar de determinado valor. Em outras palavras, será importante saber para que
valor essa função tende (ou se aproxima) quando o valor do seu domínio tender (ou se aproximar) de um
número dado.
Essa análise do comportamento de uma função real de variável real é obtida por meio da operação
matemática denominada de limite de uma função.
Vamos analisar, a seguir, a função h, cujo gráfico, intuitivamente, não pode ser desenhado sem tirar o lápis do
papel, ou seja, há um salto, uma descontinuidade no desenho do gráfico.
Gráfico de função h.
Então, não existe um único valor do qual se aproxime, quando se aproxima de 1. Note o
comportamento da função nas proximidades de :
Quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, por valores inferiores a 1, o valor de se
aproxima de 5.
Quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, por valores superiores a 1, o valor de se
aproxima de 6.
Tais valores, 5 e 6 , são chamados de limites laterais de quando tende a 1: ou seja, seu limite à esquerda
e limite à direita, respectivamente. Escrevemos:
Assim, a função possui limites laterais quando tende a 1, mas não possui limite em .
Exemplo 1
Aplicando o conceito intuitivo de limite, determine, caso exista, o valor do limite de 
para tendendo a 2 e para tendendo a 3.
Assista ao vídeo para conferir a solução.
Investigando um limite algebricamente
Neste vídeo, vamos realizar uma investigação, sobre o limite de uma função, de forma algébrica, Vamos ver
como as propriedades de limites se aplicam, em uma função.
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Exemplo 2
Seja g a função cujo gráfico está indicado, determine, caso existam, os limites de g quando:
x tende a -1 por valores inferiores.
x tende a -1 por valores superiores.
x tende a -1.
• 
• 
1. 
2. 
3. 
Solução
Pelo gráfico, verifica-se que:
a) Quando x tende a -1, pela esquerda(ou seja, por valores inferiores a -1) – escrevemos x→−1−, a
função f se aproxima de 5,5; assim, o limite de f quando x tende a -1, por valores inferiores, vale 5,5.
b) Quando x tende a -1, pela direita, ou seja, por valores superiores a -1, escrevemos x→−1+, a função
f se aproxima de 3; assim, o limite de f quando x tende a -1, por valores superiores, vale 3.
c) Não existe limite de f(x) quando x tende a −1, pois dependendo de como a variável se aproxima de
-1, o valor de f(x) tende a valores diferentes.
Abordagem simbólica do limite: notação
Exemplo 3
Represente simbolicamente a seguinte afirmativa: "O limite de quando tende ao número -2 é igual a
zero".
Solução
Exemplo 4
Represente simbolicamente a seguinte afirmativa: "O limite de quando tende ao número 3 por valores
superiores é igual a dez".
Solução
Definiçao formal de limite
Até aqui, foi utilizada uma definição apenas intuitiva de limite apesar de já termos visto a representação
simbólica. Afirmativas do tipo “se aproxima de” ou “tende a” são bastante vagas e necessitam de uma
definição matemática mais rigorosa. 
É necessário, portanto, determinar formalmente o limite de uma função real quando a variável independente
tende a um número real.
Para isso, é útil explorarmos o conceito de vizinhança de um número real.
Conceito de vizinhança de um número real
Como o nome sugere, vizinhança remete à proximidade, concorda? Pois é, a vizinhança de um número real 
e de raio é o conjunto dos números reais que distam de menos do que .
Ora, mas veja a imagem! Note que, se um número real ou dista de menos do que , a ou 
pertence ao intervalo aberto ] [, chamado sugestivamente de vizinhança de centro em e raio 
. Ou seja, metaforicamente, os vizinhos de (de raio ) são os que estão relativamente perto dele – que
distam dele menos do que .
Exemplo de números reais vizinhos.
Podemos estender os conceitos de vizinhança como vizinhança à direita e vizinhança à esquerda de um
número real , com raio . Parece natural que tais vizinhanças se restrinjam, respectivamente, aos números
maiores ou iguais a e menores ou iguais a e que, naturalmente, distem de menos do que .
Veja as imagens!
Vizinhança à direita: 
Exemplo de vizinhança à direita.
Vizinhança à esquerda: 
Exemplo de vizinhança à esquerda.
Definição formal de limite
Neste vídeo, você entenderá melhor como podemos definir, formalmente, o conceito de limite via épsilons e
deltas.
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Mão na massa
Questão 1
Qual é a representação simbólica correta para representar o limite da função quando tende a um
valor , por valores inferiores?
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Como se deseja apenas tendendo a por valores inferiores (à esquerda), a representação correta será 
. Complementando: se fosse pedido o limite de quando a variável se aproxima do
número por valores superiores (à direita), a simbologia seria .
Por fim, para o limite de quando tende a , adotam-se os dois sentidos; assim, a simbologia é 
.
Questão 2
Aplicando o conceito intuitivo de limite, determine, caso exista, o valor do limite de:
, respectivamente, para quando a variável independente tende para 3 e para
quando tende para 
A
5 e 6
B
7 e 8
C
4 e 5
D
2 e 3
E
1 e 2
A alternativa B está correta.
Verifica-se que .
Assim:
Esboçando o gráfico de , se tem:
Dessa forma, quando tende para o número 3, a função tende para o número 7, que, nesse caso, é
o valor de . Assim, o limite de é igual a 7 quando tende a 3. Quando tende para o número
4, a função tende para o número 8, que é diferente de . Logo, o limite de é igual a 8
quando tende a 
Questão 3
Seja , cujo gráfico é dado a seguir. Utilizando o conceito intuitivo de limite, determine, caso exista, o
valor do limite de quando tende 
A
7,5
B
4
C
2,5
D
Não existe.
E
A alternativa D está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
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Questão 4
Utilizando o conceito intuitivo de limite, determine, caso exista, o limite de...
... respectivamente quando x tende a 0 por valores superiores e por inferiores.
A
– 1 e 3
B
12 e 12
C
3 e – 1
D
12 e – 1
E
6 e -1
A alternativa C está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
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Questão 5
Veja a função a seguir:
 
Determine o valor real de para que exista .
A
– 2
B
– 1
C
1
D
2
E
0
A alternativa B está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
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Questão 6
Dada a função real definida por , prove, utilizando a definição formal de limite, que 
.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Confiraa solução no vídeo a seguir:
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Teoria na prática
Utilizando um aplicativo gráfico, analise os gráficos das funções reais definidas por 
e , e verifique, intuitivamente, se existem seus limites quando tende a zero.
Chave de resposta
Assista ao vídeo a seguir para conhecer a solução do problema.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Seja . Aplicando o conceito intuitivo de limite, marque a alternativa que apresenta o do .
A
1
B
3
C
4
D
O limite não existe.
E
O limite tende a .
A alternativa C está correta.
Quando se aproxima de 2 por valores inferiores, é definida por . Assim, vai tender
para 4 . Quando se aproxima de 2 por valores superiores, é definida por . Logo, vai
tender para 4 também. Portanto, o limite de tende para 4 quando tende para 2. Pode ser feita uma
análise gráfica para solucionar também essa questão.
Questão 2
Qual das alternativas abaixo representa simbolicamente o limite de g(x) quando x tende para m apenas por
valores superiores?
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Como se deseja apenas tendendo a por valores à direita (superiores), representamos por 
.
Caso se deseje o limite de quando a variável se aproximar do número por valores à esquerda
(inferiores), a simbologia será .
Para o limite de quando tende a , adotam-se os dois sentidos; assim, a simbologia é 
.
2. Continuidade e cálculo de limites
Vamos começar!
Funções contínuas e cálculo de limites
Assista ao vídeo a seguir para entender o conceito de função contínua e conhecer as técnicas básicas para o
cálculo de limites.
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O conceito de função contínua para \(x=x_0\)
Está relacionado ao comportamento de nas proximidades de .
Intuitivamente, uma função (não muito esquisita) é contínua em se o gráfico de é suave nas
proximidades de , ou seja, se podemos traçar o gráfico de sem tirar o lápis do papel.
Formalmente, uma função é contínua para caso ocorram duas condições:
A função é definida para .
O limite de quando tende a existe e é igual a .
Atenção
Se o domínio da função é um intervalo fechado, devemos utilizar o limite lateral nos extremos. Se uma
função é contínua em todo seu domínio, dizemos simplesmente que é uma função contínua. 
As funções (usuais) a seguir são contínuas em respectivos domínios:
As funções polinomiais.
As funções seno e cosseno.
A função exponencial, dada por , em que e .
A função logaritmo, dada por , em que e .
Finalmente as funções racionais, ou seja, da forma , que são quocientes de dois
polinômios, são contínuas, em que .
Exemplo 5
Verifique que a função definida pela seguinte fórmula é contínua para todo x real.
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Solução
Veja que o gráfico de se parece com uma letra , pois:
Partimos da reta 
Tomamos o módulo desse gráfico - o que significa rebater a parte
negativa do gráfico; 
Subtraímos 1 do gráfico de , o que é equivalente a
deslocar verticalmente de uma unidade o gráfico anterior: 
Finalmente tomamos outra vez o módulo, ou seja, rebatemos as
partes negativas: 
Usando o aplicativo Desmos, obtemos a seguinte imagem. 
Note que o gráfico de possui uma continuidade, sem sobressaltos.
Propriedades operatórias de limites
São extremamente intuitivas. Imagine que duas grandezas e se aproximem, respectivamente, de 
e . É razoável supor que a grandeza:
 se aproxime de 
 se aproxime de 
 se aproxime de 
 se aproxima de caso 
 se aproxime de caso 
 se aproxime de caso seja um inteiro positivo
Essas observações podem ser reescritas sob a forma de propriedades operatórias dos limites. Veja!
Se e são funções tais que e , valem as seguintes
propriedades:
, caso 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
, caso 
Exemplo 6
Determine os limites indicados:
a. 
b. 
c. 
d. 
Solução
a) A função é uma função polinomial e, portanto, uma função contínua.
Logo, .
b) Da mesma forma a função é uma função contínua. Logo, .
c) A função é uma função da forma , em que . Logo,
Exemplo 7
Determine 
 
Confira a solução no vídeo a seguir:
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Exemplo 8
Determine 
 
Confira a solução no vídeo a seguir:
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Teorema do sanduiche (ou do confronto)
Imagine a seguinte situação curiosa: temos três funções e , em que, no entorno de ,
vale a desigualdade 
Veja, graficamente, a situação descrita:
• 
• 
Representação gráfica do teorema de sanduiche.
Exemplo
Se e são iguais e valem , o que você acha que ocorre com ? A função está espremida entre e (daí o
sugestivo nome de teorema do sanduiche). Então, se e se aproximarem de quando está próximo de , a
função não tem alternativa. Também se aproxima de quando se aproxima de . 
Exemplo 9
Determine 
Solução
Note que está entre como consequência, 
.
Como e valem zero, segue-se pelo teorema do
sanduiche, que o limite desejado vale zero.
Veja o gráfico da função , delimitado pelas retas e .
Mão na massa
Questão 1
Sabe-se que a função é contínua em todo seu domínio. Seja um ponto do domínio de . Marque
a alternativa correta. Os limites laterais de quando tende a .
A
Podem ser diferentes entre si, desde que o limite de quando tende a p seja igual a .
B
Devem ser obrigatoriamente iguais, mas podem ter valores diferentes do que .
C
Devem ser iguais ao limite de tendendo a , mas podem ser diferentes de .
D
Devem ser iguais entre si e obrigatoriamente iguais a .
E
Devem ser iguais entre si e tendem a infinito.
A alternativa D está correta.
Para uma função ser contínua, o limite deve existir em ; para isso, os limites laterais devem existir e ser
iguais entre si. Mas o limite de tendendo a deve ser igual a para a função ser contínua;
portanto, os limites laterais também serão obrigatoriamente iguais a . 
Questão 2
Seja a função . Determine o valor de para que a função seja contínua em .
A
-2
B
-8
C
-5
D
-13
E
-12
A alternativa D está correta.
Para ser contínua em , os limites laterais devem ser iguais, além de terem o mesmo valor que h(3).
Dessa forma, .
Questão 3
Determine, caso exista, .
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A alternativa C está correta.
Usando a propriedade algébrica:
A função é uma função polinomial, contínua em todo seu domínio; portanto, podemos usar
o teorema da substituição para executar o cálculo.
A função é uma função logarítmica, contínua em todo seu domínio; portanto, podemos
usar o teorema da substituição para executar o cálculo.
Assim:
Questão 4
Calcule 
A
-1
B
0
C
1
D
2
E
-8
A alternativa B está correta.
Note que o denominador da expressão é um polinômio que não se anula para , mas o numerador,
sim. Então, 
Questão 5
Calcule 
A
-1
B
C
1
D
0
E
Não existe
A alternativa D está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
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Questão 6
Determine 
A
0
B
1
C
-1
D
3
E
-3
A alternativa E está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
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Teoria na prática
Uma importante função, utilizada na modelagem de diversos problemas, em particular o crescimento
populacional e a teoria de resposta ao item (TRI) – usada na correção das provas do ENEM –, é a chamada
função logística. A fórmula a seguir representa um exemplo em que A e k são constantes.
Analise o comportamento dessa função (com ) para as seguintes situações:
Quando x se aproxima de zero.
Quando x cresce indefinidamente (positivamente).
Quando x decresce indefinidamente (negativamente).
Use um aplicativo gráfico para visualizar o gráfico dessa função.
Chave de resposta
Assista ao vídeo a seguir para conhecer a solução do problema.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Calcule o limite de quando tende para 1.
A
-1
B
3
C
-4
1. 
2. 
3. 
4. 
D
2
E
-3
A alternativa C está correta.
Você entendeu o cálculo do limite por meio dos teoremas.
Pode-se usar a substituição direta, pois é uma função racional e, para , seu denominador não
se anula.
Assim:
Questão 2
Determine 
A
0
B
1
C
-1
D
2
E
-2
A alternativa E está correta.
Observe que e 
Logo, se a expressão dada torna-se equivalente a:
Então, o limite desejado vale:
3. O infinito e a análise do comportamento de funções
Vamos começar!
O infinito na jogada
Assista ao vídeo a seguir para perceber os conceitos que envolvem um passeio pelo infinito, na análise do
comportamento das funções: limites no infinito, limites infinitos e assíntotas.
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Limites no infinito
Até este ponto, definimos e calculamos os limites de uma função quando a variável independente de seu
domínio tende a um número real . Contudo, poderemos estender esse cálculo do limite para quando 
tender ao infinito ou ao menos infinito.
Atenção
Um número real tenderá para infinito, , sempre que real, . Um número real tenderá para menos infinito, ,
sempre que real, . 
Esse tipo de limite será utilizado para se obter o comportamento da função quando assumir valores cada
vez maiores, ou seja, crescer sem limitação, representado por , ou quando assumir valores cada
vez menores ou decrescer sem limitação, representado por .
Veja o gráfico da função a seguir:
Gráfico da função.
Quando tende para infinito, o gráfico da função tende para a reta y . Isso quer dizer que o valor
de fica cada vez mais próximo de 2; portanto, o limite de quando tende ao infinito vale 2 . De
forma análoga, quando tende para menos infinito, o gráfico da função tende para a reta .
Assim, o valor de fica cada vez mais próximo de 1; consequentemente, o limite de , quando 
tende a menos infinito, vale .
Utiliza-se, portanto, a simbologia para indicar o comportamento de se
aproximando cada vez mais de , sem nunca alcançar, quando tende ao infinito. No gráfico
anterior, vale 2.
De forma análoga, há a notação para o caso em que tende ao menos
infinito. No caso anterior, vale 1.
Exemplo 10
Determine o comportamento da função quando tende a e . 
Solução
Dividindo numerador e denominador da expressão de por ,
obtemos:
Note que, se aproxima-se de ou , a fração tende a
zero. Logo, se aproxima de .
Limites infinitos
Até este ponto, obtivemos os valores de limites da função iguais a um número real tanto quanto tende a
um número real ou ao infinito.
Outra extensão que pode ser feita é quando determinada função tem um comportamento de tender não a um
número, e sim ao infinito, quando se aproxima de um número real ou até mesmo do infinito. Veja o gráfico
da função :
Gráfico da função.
Observe que, quando tende a zero tanto por valores superiores quanto por inferiores, a função assume
valores que tendem para o infinito. o infinito não é um número. Porém, ao usarmos a notação 
, estamos representando o comportamento da função ao assumirmos valores tão grandes
quanto quisermos, ou seja, crescendo sem limitações.
 
O conceito de limites laterais também pode ser aplicado nesse caso. Podemos afirmar que:
Teorema de Leibniz
Um teorema que também pode ser usado para calcular limites de funções polinomiais quando tende a zero
ou a é o teorema de Leibniz.
Exemplo 11
Calcule o valor de .
Solução
Por meio do teorema de Leibniz, como está tendendo ao infinito, há e 
, que são seus termos, respectivamente, de maior grau.
Assim:
Como está tendendo para infinito, , então .
Assim, .
Exemplo 12
Calcule o valor de .
Solução
Solução análoga à anterior pelo teorema de Leibniz.
A diferença é que está tendendo para menos infinito, ; então, .
Logo, .
Exemplo 13
Calcule o valor de .
Todo polinômio é equivalente ao seu termo
de maior grau, em que a sua variável
independente tende para mais ou menos
infinito.
Todo polinômio é equivalente ao seu
termo de menor grau, em que a sua
variável independente tende para zero.
Solução
Graças ao teorema de Leibniz, como está tendendo a zero, sabe-se que e 
Assim, 
Você pode perceber que esse limite também poderia ter sido resolvido pelo teorema da substituição
direta, mostrando que não existe apenas um caminho para resolver o mesmo limite.
Assíntotas
Assíntota é uma reta imaginária tal que a distância entre a curva que descreve o gráfico da função e essa reta
tende para zero, mas sem nunca ser zero. Podemos defini-la também como uma reta tangente à curva de 
 no infinito.
Existem três tipos de assíntotas:
Assíntota vertical
A assíntota vertical é uma reta vertical do tipo que pode ocorrer nos pontos interiores do
domínio da função em que existe a descontinuidade. Para verificar se existe essa assíntota, devem
ser calculados os dois limites laterais de quando tende para , em que é um ponto de
descontinuidade.
Se pelo menos um dos limites tiver um resultado mais ou menos infinito, existirá a assíntota vertical e
sua equação será dada por . Basta que um tenha resultado .
Assíntota vertical 
Assíntota horizontal
A assíntota horizontal é uma reta horizontal do tipo que pode ocorrer quando tende a mais
infinito e a menos infinito.
Para existir essa assíntota, a função vai tender a um número quando tender a mais ou menos
infinito.
Para verificar se existe a assíntota horizontal para tendendo ao infinito, deve ser calculado o limite
de quando tende para . Se o resultado for um número real , existirá a assíntota
horizontal de equação .
Para verificar se existe a assíntota horizontal para tendendo ao menos infinito, deve ser calculado
o limite de quando tende para . Se o resultado for um número real , existirá a
assíntota horizontal de equação y .
Assintota horizontal 
Lembre-se de que uma função pode ter assíntotas horizontais nos dois lados com a mesma equação,
nos dois lados com equações diferentes, em um lado só ou até mesmo não ter assíntota horizontal.
Assíntota inclinada
A assíntota inclinada é uma reta inclinada do tipo . Ela pode ocorrer quando tende ao
infinito ou ao menos infinito.
Na verdade, a assíntota horizontal é um caso particular da assíntota inclinada. Quando , a reta
inclinada vira uma reta horizontal.
Para existir a assíntota inclinada na região em que tende para o infinito, deve haver valores de 
e de reais que satisfaçam à seguinte propriedade:
Se alguns dos limites acima não existirem ou não derem, ambos, números reais, não haverá a
assíntota inclinada.
Para existir a assíntota inclinada na região em que tende para o menos infinito, deve haver valores
de e de reais que satisfaçam à seguinte propriedade:
Se alguns dos limites acima não existirem ou não derem, ambos, números reais, não existirá a
assíntota inclinada.
Exemplo 14
Analise as eventuais assíntotas das funções e 
 
Confira a solução no vídeo a seguir:
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Exemplo 15
Obtenha, caso existam, as assíntotas inclinadas para quando tende ao infinito.
Solução
Vamos calcular os limites necessários:
Portanto 
Portanto, como os dois limites tiveram como resultados números reais, existe uma assíntota inclinada de
equação .
Exemplo 16
Obter, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais da função 
Solução
A função tem uma descontinuidade para , sendo, portanto, o único ponto possível para
se ter uma assíntota vertical.
Assim, como em pelo menos um dos limites o resultado foi , existe uma assíntota vertical em 
.
Analisaremos agora e para a verificação das assíntotas horizontais.
Desse modo, existe uma assíntota horizontal para tendendo a menos infinito com a equação 
.
Dessa forma, existe uma assíntota horizontal para tendendo a mais infinito com a equação .
Mão na massa
Questão 1
Calcule o valor de 
A
0
B
1
C
2
D
3
E
Aalternativa B está correta.
Pelo teorema de Leibniz:
Quando está tendendo para menos infinito, , então 
Assim, 
Questão 2
Calcule o valor de 
A
0
B
1
C
2
D
3
E
4
A alternativa A está correta.
Por meio teorema de Leibniz, como está tendendo a zero, tem-se e ,
que são seus termos, respectivamente, de menor grau.
Assim:
Você pode perceber que esse limite também poderia ter sido resolvido pelo teorema da substituição direta.
Questão 3
Calcule o valor de 
A
0
B
1
C
2
D
E
A alternativa D está correta.
No cálculo do limite, é preciso conhecer as funções envolvidas. Nesse caso, por exemplo, conhecer a
função e usando as propriedades algébricas e a substituição direta, pois as funções envolvidas são
contínuas.
Quando tender a menos infinito, a função tenderá a zero.
Assim, 
Questão 4
Obtenha, caso exista, a equação da assíntota vertical para a função 
A
B
C
D
Não existe assíntota vertical.
E
A alternativa D está correta.
A função tem uma descontinuidade para , sendo, portanto, o único ponto possível para se ter
uma assíntota vertical.
Logo, como nenhum dos dois limites tiveram o resultado , não existe uma assíntota vertical em 
.
Questão 5
Dada a função , definida como , se , e definida como se . Marque a
alternativa correta.
A
Há uma assíntota vertical e uma horizontal para x tendendo a mais infinito.
B
Há uma assíntota vertical e duas assíntotas horizontais diferentes.
C
Não tem assíntota vertical, mas existem duas assíntotas horizontais com a mesma equação.
D
Há uma assíntota vertical e uma horizontal para x tendendo a menos infinito.
E
Não existem assíntotas.
A alternativa B está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
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Questão 6
A função logística , definida por possui:
A
Duas assíntotas horizontais.
B
Uma única, que é inclinada.
C
Uma única assíntota, que é horizontal.
D
Uma assíntota inclinada e uma assíntota horizontal.
E
Uma única assíntota, que é vertical.
A alternativa A está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir:
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Teoria na prática
A função definida por possui uma assíntota inclinada que intersecta seu gráfico! Determine as
coordenadas desse ponto.
Chave de resposta
Assista ao vídeo a seguir para conhecer a solução do problema.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Calcule :
A
0
B
C
-1
D
2
E
A alternativa D está correta.
O limite é:
Utilizando o teorema de Libiniz, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Veja que o denominador pode ser reescrito devido à raiz cúbica, logo:
Substituindo temos:
Questão 2
Obtenha a equação da assíntota vertical, se existir, do gráfico da função 
A
B
C
D
Não existe.
E
A alternativa B está correta.
Você entendeu a obtenção das assíntotas verticais. O ponto de descontinuidade para é para 
.
Então, como os resultados dos dois limites foram , existe uma assíntota vertical, que vale .
4. Conclusão
Considerações finais
Ao longo do conteúdo, descrevemos a abordagem do conceito de limite de forma intuitiva, como também com
a formalidade matemática necessária.
Analisamos o conceito de continuidade de uma função de limites e situações que envolvem o conceito de
infinito, ou seja, limites quando a variável tende a ou quando o valor da função cresce (ou decresce)
indefinidamente para (ou ). Finalmente, analisamos o conceito de assíntota, em essência, a
situação do gráfico de uma função se aproximar indefinidamente de uma reta (vertical, horizontal ou
inclinada).
Esperamos que, ao final deste material, você tenha ampliado seus recursos para analisar o comportamento
das funções.
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Para entender melhor o conceito de limite, pesquise na internet sobre Arquimedes, o mais belo exemplo de
genialidade. Ele aplicou de forma intuitiva o conceito de limite, que sequer existia formalmente para inúmeras
de suas descobertas no campo da física e da matemática. Vale conferir!
 Referências
HALLET H. et al.; Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011.
 
LARSON, R.; EDWARDS, B.H. Cálculo, com aplicações. 6. ed. São Paulo: LTC, 2003.
 
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
	Limites: conceitos, propriedades e exemplos
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. O limite de uma função real
	Vamos começar!
	A definição intuitiva de limite
	Conteúdo interativo
	Noção intuitiva de uma função real
	Exemplo 1
	Investigando um limite algebricamente
	Conteúdo interativo
	Exemplo 2
	Solução
	Abordagem simbólica do limite: notação
	Exemplo 3
	Solução
	Exemplo 4
	Solução
	Definiçao formal de limite
	Conceito de vizinhança de um número real
	Definição formal de limite
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Questão 3
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	2. Continuidade e cálculo de limites
	Vamos começar!
	Funções contínuas e cálculo de limites
	Conteúdo interativo
	O conceito de função contínua para \(x=x_0\)
	Atenção
	Exemplo 5
	Solução
	Propriedades operatórias de limites
	Exemplo 6
	Solução
	Exemplo 7
	Conteúdo interativo
	Exemplo 8
	Conteúdo interativo
	Teorema do sanduiche (ou do confronto)
	Exemplo
	Exemplo 9
	Solução
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	3. O infinito e a análise do comportamento de funções
	Vamos começar!
	O infinito na jogada
	Conteúdo interativo
	Limites no infinito
	Atenção
	Exemplo 10
	Solução
	Limites infinitos
	Teorema de Leibniz
	Exemplo 11
	Solução
	Exemplo 12
	Solução
	Exemplo 13
	Solução
	Assíntotas
	Assíntota vertical
	Assíntota horizontal
	Assíntota inclinada
	Exemplo 14
	Conteúdo interativo
	Exemplo 15
	Solução
	Exemplo 16
	Solução
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	4. Conclusão
	Considerações finais
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	Referências