O estudo geométrico dos vetores

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DISCIPLINAS A DISTÂNCIA DA GRADUAÇÃO 
Geometria Analítica 
O estudo geométrico dos vetores 
Roney Rachide Nunes 
 
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Sumário 
 
 
Estudo Geométrico dos Vetor ................................................................ 4 
Equivalência de vetores ................................................................................................ 4 
Adição de vetores ........................................................................................................ 5 
Multiplicação de um vetor por um escalar .................................................................... 6 
Subtração de vetores .................................................................................................... 6 
Exercícios propostos .................................................................................................... 8 
 
 
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Antes de iniciarmos o estudo de vetores, faz-se necessário identificar a diferença entre grandezas 
escalares e grandezas vetoriais. 
 
 
Grandezas Escalares: São grandezas que estão bem definidas a partir de sua magnitude e unidade 
de medida. São exemplos de grandeza escalar a massa, o volume, a área, o tempo, a temperatura 
e o comprimento. 
 
Grandezas Vetoriais: São grandezas que estão bem definidas a partir de sua magnitude, sua 
direção e seu sentido, além da unidade de medida. São exemplos de grandezas vetoriais o 
deslocamento, a velocidade, a aceleração e a força. 
 
 
 
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O Estudo Geométrico dos Vetores 
 
Geometricamente um vetor é representado por um segmento de reta orientado, ou seja, um 
segmento de reta em que uma das extremidades é tomada como ponto inicial, enquanto a outra 
extremidade (acompanhada da flecha) é tomada como ponto final. 
Notação: As três principais notações utilizadas para indicar um vetor são 
 
�⃗� : uma letra, sobrescrito por uma flecha; 
 
𝒖 : uma letra em negrito; 
 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ : ponto inicial e final sobrescritos por uma flecha. 
 
 
 
 
A direção de um vetor é dada pela reta suporte do segmento orientado que representa o vetor. 
O sentido do vetor é indicado pela flecha em uma de suas extremidades. 
O módulo, norma ou ou magnitude, denotado por |�⃗� |, é o comprimento do segmento orientado que o representa. 
 
O vetor nulo, denotado por 0⃗ , é representado pelo segmento orientado nulo, isto é, o segmento 
orientado em que a origem coincide com a extremidade. Ele é o único vetor que não possui direção. 
 
EQUIVALÊNCIA DE VETORES 
Dois segmentos orientados com a mesma direção, mesmo sentido e o mesmo comprimento são ditos 
equivalentes, e são representantes do mesmo vetor – independentemente de sua posição no espaço. 
Sendo assim, um mesmo vetor possui infinitos representantes. Dado um vetor não nulo �⃗� , para cada ponto 
𝐴 fixado, existe um ponto 𝐵 tal que �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ (o que nos dá os infinitos representantes do vetor �⃗� ). 
 
 
 
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Não deixe de acessar o vídeo Igualdade de vetores, disponíveis na página da disciplina. 
O próximo passo é definir operações com vetores. Definiremos a seguir duas operações: a adição de 
vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar. 
 
ADIÇÃO DE VETORES 
Dados dois vetores �⃗� e 𝑣 , definimos o vetor 𝑢 ⃗⃗ ⃗ + 𝑣 da seguinte maneira: 
1) Marque um ponto 𝐴 no plano (ou no espaço) e construa um representante do vetor �⃗� com origem no 
ponto 𝐴. Marque o ponto 𝐵 no plano (ou no espaço), extremidade do vetor �⃗� . 
2) Construa um representante do vetor 𝑣 com origem no ponto 𝐵 . Marque o ponto 𝐶 no plano (ou no 
espaço), extremidade do vetor 𝑣 . 
3) O vetor 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ é um representante do vetor 𝑢 ⃗⃗ ⃗ + 𝑣 
 
 
 
No caso em que �⃗� e 𝑣 não tem a mesma direção, o vetor 𝑢 ⃗⃗ ⃗ + 𝑣 pode ser obtido a partir da seguinte 
construção: 
 
1) Represente os vetores �⃗� e 𝑣 com origem em um mesmo ponto comum; 
2) Construa um paralelogramo de modo que dois de seus lados sejam definidos pelos vetores �⃗� e 𝑣 ; 
3) O vetor �⃗� + 𝑣 é um vetor com a mesma origem que �⃗� e 𝑣 , e tem módulo, sentido e direção dados pela 
diagonal do paralelogramo. 
 
 
 
No vídeo Soma de vetores é ilustrado como se dá a soma entre vetores em cada uma das situações 
descritas. 
http://pvbps-sambavideos.akamaized.net/account/671/1/2016-02-01/video/7cbb82a04ac389645ba3feb1e4aa7774/16001Unidade1.28.mp4
http://pvbps-sambavideos.akamaized.net/account/671/1/2016-02-01/video/65ea2ac15a407135622890272ec9e18d/16001Unidade1.25.mp4
 
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MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR 
Dado um vetor não nulo �⃗� e um escalar (número real) não nulo 𝑘, o vetor 𝑘�⃗� é o vetor definido da 
seguinte maneira: 
1) 𝑘�⃗� tem a mesma direção do vetor �⃗� 
2) �⃗� e 𝑘�⃗� têm o mesmo sentido, se 𝑘 > 0 
3) �⃗� e 𝑘�⃗� têm sentidos opostos, se 𝑘