Modulo matematica Ingreso 2011

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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC 
INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO 
 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INGRESO 2011 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO DE CONTENIDOS BÁSICOS 
 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
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Módulo de contenidos básicos 
Matemática 
 
 
 
 
Graciela Recabarren 
Silvia Butigué 
Nancy Scattolini 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Río Cuarto 
Río Cuarto - Argentina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Recabarren, Graciela 
 Módulo de contenidos básicos. Matemática / Graciela Recabarren ; Silvia Butigué ; Nancy 
Scattolini. - 1a ed. - Río Cuarto : Universidad Nacional de Río Cuarto, 2010. 
 64 p. ; 30x21 cm. 
 
 ISBN 978-950-665-605-8 
 
 1. Matemática. 2. Enseñanza Universitaria. I. Butigué, Silvia II. Scattolini, Nancy III. Título 
 CDD 507.11 
 
Fecha de catalogación: 20/05/2010 
 
 
 
Módulo de contenidos básicos. Matemática 
Graciela Recabarren, Silvia Butigué y Nancy Scattolini 
 
 
2010 © by Universidad Nacional de Río Cuarto 
Ruta Nacional 36 Km. 601 – (X5804) Río Cuarto – Argentina 
Tel.: 54 (0358) 467 6332 – Fax.: 54 (0358) 468 0280 
E-mail.: editorial@rec.unrc.edu.ar 
Web: http://www.unrc.edu.ar 
 
 
 
Primera Edición: Mayo de 2010 
 
ISBN 978-950-665-605-8 
 
 
Editorial Universidad Nacional de Río Cuarto 
Equipo de Producción Editorial 
Coordinador: Lic. Miguel A. Tréspidi 
Asistencia editorial: Maximiliano Brito 
Registro: Lic. Daniel Ferniot 
 
 
Queda hecho el depósito que marca la ley 11.723 
Impreso en Argentina – Printed in Argentina 
 
Queda prohibida la reproducción total o parcial del texto de la presente obra en cualquiera de sus formas, electrónica o 
mecánica, sin el consentimiento previo y escrito del Autor. 
 
 
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Estimado lector: 
 
 La obra que Usted tiene en sus manos 
posee un valor singular, porque es el fruto de conocimientos, 
experiencia y mucho esfuerzo por parte de sus autores. La 
Universidad Nacional de Río Cuarto ha procurado una 
presentación digna y espera concretar su amplia difusión y 
comercialización a precios accesibles. 
 
 
Usted podrá fotocopiar parte de su 
contenido para su uso personal. Pero rehuse cualquier ejemplar 
fotocopiado ilegalmente, porque ello implicaría un uso ilegítimo 
del esfuerzo de los autores y del editor. 
 
 
La reproducción ilegal, además de estar 
penada por los Art. Nº 71 y 72 de la Ley 11.723 y Art. Nº 
172 del Código Penal, es una práctica que atenta contra la 
creación del conocimiento y la difusión de la cultura. 
 
 
El respeto a los derechos intelectuales hace 
posible que existan mejores libros y más económicos. 
 
 
 
Editorial Universidad Nacional de Río Cuarto 
 
 
 
 
 
 
 
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INDICE 
 
CONTENIDOS BÁSICOS. DISCIPLINA MATEMÁTICA 6 
Introducción 6 
I - LOS NÚMEROS REALES 8 
Objetivos 8 
¿Con qué conjunto de números trabajaremos? 9 
Representación de números reales en la recta 12 
Esquema del campo numérico real 12 
Actividad 1 13 
Actividad 2 13 
Características del conjunto de números reales: 13 
Propiedades de las operaciones con números reales 14 
Actividad 3 26 
Actividad 4 27 
Exponentes y Radicales 27 
Propiedades básicas de los exponentes 27 
Propiedades básicas de los radicales 31 
Actividad 5 33 
Actividad 6 33 
II – EXPRESIONES ALGEBRAICAS 35 
Objetivos 35 
Expresiones algebraicas enteras 36 
Operaciones con expresiones algebraicas enteras 36 
Actividad 7 38 
Actividad 8 38 
Actividad 9 38 
Productos Notables 39 
Actividad 10 40 
Reglas de Factorización 40 
Actividad 11 41 
Actividad 12 42 
Actividad 13 42 
Actividad 14 43 
Actividad 15 43 
Expresiones algebraicas racionales 44 
Actividad 16 45 
III – ECUACIONES 46 
Objetivos 46 
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 5
Ecuaciones con una incógnita 47 
Ecuaciones lineales con una incógnita 47 
Actividad 17 49 
Actividad 18 49 
Ecuaciones Cuadráticas 50 
Actividad 19 51 
Ecuaciones con Módulo 52 
Actividad 20 53 
Inecuaciones 54 
Actividad 21 56 
Ecuaciones con dos incógnitas 56 
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 57 
Métodos de igualación 58 
Método por sustitución 59 
Interpretación gráfica 60 
Clasificación de ecuaciones lineales con dos incógnitas 61 
Actividad 22 61 
Símbolos y notaciones usados en matemática. Sus correspondientes 
significados 
 
63 
Bibliografía 64 
 
 
 
 
 
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CONTENIDOS BÁSICOS - DISCIPLINA MATEMÁTICA 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
No puede haber un lenguaje más universal ni más simple que el del análisis: más 
exento de errores y de oscuridades, es decir más digno de expresar las 
relaciones de los seres naturales. 
 
Relaciona los fenómenos más diversos y descubre las analogías secretas que 
los une ...” Fragmento tomado de la “Introducción de la teoría analítica del 
calor” FOURIER (1822) 
 
El análisis matemático moderno que comprende el estudio de funciones, límites, 
derivadas e integrales y que surgió con el propósito de medir y cuantificar el 
cambio, serán temas de estudio en la asignatura ANÁLISIS MATEMÁTICO I 
que cursarás en el primer cuatrimestre del primer año de estudio de las carreras 
de Ciencias Económicas. 
 
En su transcurso, aprenderás a medir y cuantificar los cambios producidos en 
funciones económicas de manera de efectuar diagnósticos certeros que 
posibiliten la oportuna toma de decisiones. 
 
Como recurrentemente apelaremos a herramental matemático, que suponemos ya 
fue estudiado en el Nivel Medio, hemos preparado un breve repaso de aquellos 
que, a través de los años detectamos que no son suficientemente recordados y 
que por dicho motivo generan confusión y provocan errores en los 
procedimientos. 
 
Los temas que desarrollaremos darán respuesta a los siguientes 
cuestionamientos: 
¿Con qué conjunto numérico trabajaremos? 
¿qué propiedades tiene? 
¿qué operaciones podemos hacer con ese conjunto de números? 
¿Cuáles son las propiedades que más aplicaremos? 
¡Atención con los signos! 
¡Qué pasa si aparece el cero? 
¡Cuidado al simplificar! 
¿Operamos con fracciones? 
¿Y si aparecen Exponentes y radicales? 
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¿Incorporamos símbolos? Expresiones algebraicas 
Operaciones con expresiones algebraicas 
Productos notables y reglas de factorización 
Resolución de ecuaciones e inecuaciones 
Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 
Representaciones gráficas 
 
Esperamos que esta breve revisión te posibilite recordar esos conceptos, pero si 
adviertes que están muy olvidados o si los recuerdas pero quieres ampliarlos, 
durante el mes de Febrero tendremos oportunidad de trabajarlos en conjunto de 
manera que puedas aplicarlos sin dificultad cuando en el transcurso de la materia 
debamos recurrir a ellos. 
 
Los temas que se incluyen en este repaso están presentes en cualquier texto del 
ciclo secundario, por lo que si quieres ampliarlos o reforzar la ejercitación, 
podrás ubicarlos fácilmente. 
 
Hemosseleccionado para esta oportunidad temas que, en base a nuestra 
experiencia, detectamos que no son suficientemente recordados. 
 
Nos avocaremos específicamente a su repaso. El Cronograma propuesto es el 
siguiente: 
 
PRIMERA SEMANA: REPASO DE ALGEBRA 
Comenzaremos repasando cómo se forma el conjunto de los números reales, 
veremos las operaciones que pueden realizarse con ese conjunto, revisando 
algunas de las propiedades que más aplicaremos, también trabajaremos con 
expresiones algebraicas. Concluiremos la semana recordando las reglas de 
factorización y su aplicación para factorizar expresiones y simplificar 
fracciones. 
SEGUNDA SEMANA: REPASO DE ECUACIONES 
Trabajaremos con ecuaciones lineales y cuadráticas, resolveremos inecuaciones 
lineales sencillas, con y sin módulo, introduciendo la notación de intervalo, para 
culminar con sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y métodos 
de resolución. 
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I 
LOS NUMEROS REALES 
 
• CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS REALES 
 
• OPERACIONES ARITMETICAS CON NÚMEROS REALES 
PROPIEDADES 
 
• EXPONENTES Y RADICALES - PROPIEDADES 
 
OBJETIVOS 
 
• Familiarizarse con el campo numérico real y la recta de los 
números reales. 
 
• Operar con números reales y aplicar sus propiedades. 
• Enlistar e ilustrar las propiedades que con más frecuencia se 
aplican erróneamente en la resolución de las operaciones con 
reales. 
• Revisar particularmente los exponentes enteros positivos, el 
exponente cero, los exponentes enteros negativos, los 
exponentes racionales, las raíces principales y las propiedades 
básicas de los exponentes y radicales. 
 
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¿CON QUÉ CONJUNTO DE NÚMEROS TRABAJAREMOS? 
 
Recordemos que, cuando mencionamos un conjunto, nos estamos refiriendo a un 
grupo de objetos. 
A su vez, cada objeto que se encuentra en un conjunto se denomina elemento. 
 
Un conjunto puede especificarse listando sus elementos en cualquier orden 
dentro de llaves, en este caso, se dice que el conjunto está definido por 
extensión o enumeración: 
 
Por ejemplo: A = {a, e, i, o, u} 
 
Pero, como frecuentemente trabajaremos con conjuntos que tienen infinitos 
elementos, en vez de listarlos, generalmente, describiremos las características 
de sus elementos, que es otra manera de designarlo; en este caso, se dice que 
está definido por comprensión: 
 
En nuestro ejemplo: A = {x/x sea una vocal} indica que sus elementos cumplen 
la condición o característica común de ser vocales. 
 
Volviendo a nuestro interrogante: ¿Con qué conjunto de números 
trabajaremos? 
 
 Con el CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES 
 
En símbolos podemos indicarlo 
 
ℜℜℜℜ ==== {{{{x/x pertenece al conjunto de los números reales}}}}={ }ℜ∈x/x 
 
esta expresión indica que los reales son un conjunto formado por los elementos 
“x” que cumplen la condición de pertenecer al conjunto de los números reales. 
 
Se llega al conjunto de los números reales a través de sucesivas ampliaciones de 
los conjuntos numéricos, debido a la necesidad de ir resolviendo más 
operaciones. 
 
Con el conjunto de los números naturales, } }{{ ΝεΝ x/xó.,3,2,1: L , que se 
utilizan para contar, y que lo simbolizamos entre llaves, nombrando los primeros 
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elementos y escribiendo tres puntos suspensivos, dado que el listado continúa sin 
fin, pues siempre es posible nombrar el número natural que le sigue, podemos 
sumar y multiplicar, obteniendo como resultado otro número natural, pero no 
siempre es posible restar y dividir dos números naturales y obtener como 
resultado otro número natural. Además, no todas las raíces de números naturales 
da como resultado otro número natural, por ejemplo 24 = , siendo 2 un número 
natural, pero 3 no da como resultado otro número natural. 
 
Surge entonces, el conjunto de los enteros negativos, { }1,2,3,4,:Z −−−−− L , que 
junto al cero y a los naturales (también llamados enteros positivos, NZ ≡+ ), 
forman el conjunto de los números enteros, { } −+ ∪∪= Z0ZZ , donde es posible 
resolver, además de la suma y multiplicación, la resta y obtener como resultado 
otro número entero. 
 
Como dentro del conjunto de los números enteros, no todas las divisiones de dos 
números enteros dan como resultado otro número entero y esto ocurre cuando el 
dividendo no es múltiplo del divisor, aparecen los números fraccionarios, F, que 
dan solución a esta situación y que junto a los enteros forman el conjunto de los 
números racionales, simbolizado con una Q. Comprende a todo número que 
pueda expresarse como un cociente 
q
p , donde tanto """" qcomop son enteros y 
0≠q (IMPORTANTE no existe la división por cero). 
Son ejemplos de números racionales: 
3
4 ; 0,5 (ya que puede expresarse como 
10
5 ); 2 (ya que puede expresarse como 
1
2 ); 
etc.. 
Existen dos maneras de escribir un mismo número racional, como fracción o en 
forma decimal resolviendo el cociente. 
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En éste último caso podemos obtener una expresión decimal exacta (la división 
tiene resto cero), por ejemplo: 1,5 que se obtiene de 
2
3 ; o una expresión con 
infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente (la división no tiene 
resto cero, dando lugar a los números decimales periódicos puros o mixtos, según 
si las cifras decimales que se repiten comienzan inmediatamente después de la 
coma o no, respectivamente), por ejemplo: ...22222222,02,0 =
)
 que proviene de 
9
2 , 
y ...1444444444,041,0 =
)
 que proviene de 
90
13 . 
Completa el conjunto de los números reales,ℜ , el subconjunto de los números 
irracionales, I. La particularidad de los números irracionales es que no pueden 
ser escritos como una división entre enteros y se expresan con infinitas cifras 
decimales NO periódicas. Es decir, los números irracionales son decimales cuya 
forma no es finita ni periódica. Algunos provienen de raíces no exactas. 
Veamos por ejemplo, algunos de los números irracionales más conocidos: 
 e = 2,7182818… (Número base del logaritmo natural) 
 pi = 3,141592654... ; ...73205080,13 = ; etc. 
 
Los números racionales y los números irracionales, forman el conjunto de los 
números reales: IQ ∪=ℜ 
 
Pueden ser representados por puntos en una recta. 
Para ello, primero se selecciona un punto en la recta que representa el cero, 
llamado origen, luego se elige un segmento unidad, cuya medida se marca 
sucesivamente a la derecha y a la izquierda del cero. Con cada punto sobre la 
recta asociamos un número con signo, que depende de la posición del punto con 
respecto al origen. Las posiciones a la derecha del origen son consideradas 
positivas y a la izquierda negativas. De esta manera, a cada punto sobre la recta 
le corresponde un número real único, y a cada número real le corresponde un 
único punto sobre la recta. De allí que la llamamos recta de números reales. 
Observa en la siguiente recta real la representación de algunos números 
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REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EN LA RECTA 
 
 
Las sucesivas ampliaciones se muestran en el cuadro siguiente: 
Las sucesivas ampliaciones se muestran en el cuadro siguiente: 
 
LOS NÚMEROS REALES 
 
Números naturales (N) o enteros positivos ( +Z ) 
 
Lo simbolizamos } }{{ ΝεΝ x/xó.,3,2,1: L 
El cero 0Enteros negativos ( −Z ) { }1,2,3,4,:Z −−−−− L 
 
Enteros (Z), formado por la unión de los números naturales, el cero y los números enteros 
negativos: 
Lo simbolizamos { } −+ ∪∪= Z0ZZ 
 
} }{{ Zx/xó.,3,2,1,0,1,2,3,:Z ε−−− LL 
 
Números racionales (Q) formado por la unión de los números enteros (Z) con los 
fraccionarios (F). FZQ ∪= 
 
Es decir, todos los números de la forma p/q, donde p y q son enteros, con q ≠0, cuya 
representación decimal es un número exacto o poseen infinitas cifras decimales que se 
repiten periódicamente. 
 
Números irracionales ( I ), aquellos representados por números decimales que poseen 
infinitas cifras que no se repiten periódicamente. 
 
Números reales (ℜ ), formado por la unión de los racionales e irracionales 
IQ ∪=ℜ 
 
Podemos realizar el siguiente ESQUEMA DEL CAMPO NUMÉRICO REAL 
 
ℜ





















−
+
I 
Q
F 
Z
Z
)cero(0
)Zó(N
 
 -2 -1 0 1 2 2 25 3 
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Con este conjunto de números que nos permite sumar, restar, multiplicar, dividir, 
resolver potencias y raíces (excepto raíces de índice par de números negativos 
para cuya resolución deberíamos ampliar más el conjunto numérico), 
trabajaremos en este curso. 
 
 
Actividad 1 
Escribe a qué conjunto numérico Q (racional) o I (irracional) pertenece cada uno 
de los siguientes números: 
2 ∈ ; - 2 ∈ ; 1,434343... ∈ ; 0,123456 ... ∈ ; 1,1415 ∈ ; 
5
3
∈ ; 
3
5
− ∈ ; 132 ∈ ; 
∩
98,1 ∈ ; -2,565758... ∈ ; 3 7 ∈ ; 81 ∈ 
 
 
Actividad 2 
Traza una recta, selecciona un punto para representar el origen, elige una unidad 
de medida y representa los siguientes números reales: 
-3 ; 2,5 ; 
3
4
 ; -
2
1
 ; pi 
 
 
Nombremos las principales CARACTERÍSTICAS del conjunto de números reales: 
 
• Es infinito 
• No tiene primer ni último elemento 
• Es un conjunto denso, pues entre dos números reales existe siempre un número 
infinito de números reales 
• El conjunto de números reales completa la recta numérica ya que si sobre una 
recta fijamos un origen y un segmento unidad, a cada número real corresponde 
un punto en la recta y a todo punto de la recta corresponde un número real. 
 
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Para trabajar con un conjunto numérico debemos tener presente las propiedades 
de las operaciones que se verifican en él, por ello repasaremos brevemente las 
que se verifican en el conjunto de los números reales. 
 
Muchos de los errores que se cometen al operar con números reales surgen por 
desconocimiento u olvido de algunas de ellas. 
 
 
 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES 
 
Damos a continuación las propiedades básicas importantes de las operaciones con 
números reales. 
Comencemos con las PROPIEDADES DE LA SUMA Y EL PRODUCTO DE 
NÚMEROS REALES. 
 
Para todos los números reales a, b y c, se cumplen las siguientes propiedades 
 
PROPIEDADES EJEMPLO 
abba +=+ ; 
abba ⋅=⋅ 
2332 +=+ ; 
( ) ( ) 155335 −=⋅−=−⋅ 
( ) ( )cbacba ++=++ 
( ) ( )cbacba ⋅⋅=⋅⋅ 
( ) ( )532532 ++=++ 
( ) ( )543543 ⋅⋅=⋅⋅ 
a0a =+ y aa0 =+ 303 =+ y 330 =+ 
00a =⋅ y 0a0 =⋅ 002 =⋅ y 020 =⋅ 
a1a =⋅ y aa1 =⋅ 515 =⋅ y 551 =⋅ 
( ) ( ) 0aaaa =+−=−+ ( ) ( ) 04444 =+−=−+ 
1
a
1
a =⋅ y 1a
a
1
=⋅ si 0a ≠ 1
7
17 =⋅ y 17
7
1
=⋅ 
( ) cabacba ⋅+⋅=+⋅ ( ) 4232432 ⋅+⋅=+⋅ 
( ) cabacba ⋅−⋅=−⋅ ( ) 4525425 ⋅−⋅=−⋅ 
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De todas las propiedades que hemos enunciado, trataremos especialmente 
algunas de las que ocasionan más errores al operar con dicho conjunto de 
números. 
Comenzaremos con la: 
 
• Propiedad asociativa de la suma y el producto 
 
Establecen que si a, b y c son números reales, entonces 
 
 ( ) ( )cbacba ++=++ y ( ) ( )cbacba ⋅⋅=⋅⋅ 
 
Significa, que tanto en la suma como en el producto, los números pueden 
agruparse en cualquier orden 
 
Veamos estos ejemplos: 
 
� ( ) ( ) 9432432432 =++=++=++ 
 
� ( ) 15
2
1310
2
1310
2
1310 =⋅⋅=





⋅⋅=⋅⋅ 
 
 
¡ATENCIÓN! Advierte que ni la resta ni la división tienen esta propiedad, y 
esto es porque el orden en que se agrupan los números alteran el resultado 
 
Veamos estos ejemplos: 
 
� (16 : 4) : 2 = ≠ 16 : (4 : 2) = 
 4 : 2 = 2 16 : 2 = 8 
 
 
� (10 – 5) – 3 = ≠ 10 – (5 – 3) = 
 5 – 3 = 2 10 – 2 = 8 
 
 
Otra de las propiedades de las operaciones con números reales que aplicaremos 
frecuentemente es la: 
 
• Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la 
resta 
 
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Como su nombre lo indica, “distribuye” la operación producto “dentro” de la suma 
o la resta. 
 
Se simboliza ∈∀ cyb,a ℜℜℜℜ: a . ( b + c) = a b + a c ó (b + c) . a = b a + c a 
 
 a . (b – c) = a b – a c ó (b – c) . a = b a – c a 
 
 
Establece que si un número multiplica la suma (ó resta) de otros, es posible 
resolver la suma (ó resta) y luego multiplicar el resultado por el factor ó 
multiplicar el factor por cada término de la suma (ó resta) y por último sumar (ó 
restar) los resultados parciales. 
Esta última opción es la que aplica la propiedad distributiva del producto 
respecto de la suma de números reales. 
 
Veamos dos ejemplos en los que efectuamos ambas opciones para que se aprecie 
que el resultado al que se arriba es el mismo. 
 
Por ejemplo: 
 
� 2 ( 3 + 5) = 2 . 3 + 2 . 5 = 16 (Distribuimos el factor 2) 
 
 2 . 8 = 6 + 10 = 16 (Resolvimos primero el paréntesis) 
 
 
Otro ejemplo: 
 
� ( ) 6138
4
4
4
12
4
3241232
4
1
=+−=+−=+−⋅ (Distribuimos 
4
1 ) 
 
 ( ) 6
4
2424
4
1
==⋅ (Resolvimos primero el paréntesis) 
 
 
¡ADVIERTE! En este último ejemplo se incluyeron más de dos términos en el 
paréntesis para mostrar que también es aplicable la propiedad distributiva 
del producto a la suma algebraica. 
Además el número real que multiplica al paréntesis es un número fraccionario 
por lo que, recuerda que su numerador multiplica a cada término del 
paréntesis y su denominador lo divide. 
 
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La propiedad establece que el producto es distributivo con respecto a la suma, 
por lo que no hay que confundir la propiedad en el otro sentido: La suma NO es 
distributiva con respecto al producto. 
 
Es decir que si la operación a realizar es 2 + ( 3 . 5), no confundirse queriendo 
aplicar la propiedad. 
 
Veamos a través de los dos procedimientos (uno correcto y el otro incorrecto) 
que los resultados a los que se arriba son diferentes. 
 
 Procedimiento correcto Procedimiento incorrecto 
 
� 2 + (3 . 5) ≠(2 + 3) . (2 + 5) (Se distribuyó la suma) 
 
 2 + 15 ≠ 5 . 7 
 
 17 ≠ 35 
 
En estos casos primero se debe resolver la operación indicada dentro del 
paréntesis y luego se le suma el término que está fuera del paréntesis. 
 
Otras propiedades que podemos recordar. Si a, b, c y d son números reales, 
(distintos de cero cuando figuran como denominador): 
 
PROPIEDADES EJEMPLO 
a - ( - b) = a + b 2 - ( - 3 ) = 2 + 3 = 5 
(-1) a = - a ( -1 ) . 4 = - 4 
- (a + b) = - a – b - ( 2 + 5) = - 2 – 5 = -7 
- (a – b) = -a + b - ( 3 – 4 ) = - 3 + 4 = 1 
- (-a) = a - ( - 9 ) = 9 
 (-a) b = - ab (- 8 ) . 6 = - 8.6 = - 48 
(-a) (-b) = ab ( - 2 ) . ( - 4 ) = 2 . 4 = 8 
b
a
b
1
a =





 
4
3
4
13 =





⋅ 
b
a
b
a
b
a
−=
−
=
−
 
3
2
3
2
3
2
−=
−
=
−
 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC 
INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 18
0acon0
a
0
≠= 0
3
0
= 
b
a
b
a =





 5
4
54 =





 
bd
ac
d
c
.
b
a
= 
45
32
4
3
.
5
2
⋅
⋅
= 
b
a
bc
ac
c
c
.
b
a
== 
5
2
35
32
3
3
.
5
2
=
⋅
⋅
= 
 
Esta última propiedad constituye la 
 
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES según la cual, si 
multiplicamos o dividimos numerador y denominador de una fracción por un 
mismo número (excepto el 0), obtenemos una fracción equivalente a la dada. 
 
Por último, recordamos estas tres propiedades 
 
c
ba
c
b
c
a ±
=± 
4
32
4
3
4
2 ±
=± 
bd
bcad
d
c
b
a ±
=± 
54
4352
5
3
4
2
⋅
⋅±⋅
=± 
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
=⋅=÷= 
43
52
4
5
3
2
5
4
3
2
5
4
3
2
⋅
⋅
=⋅=÷= 
 
OBSERVA la última propiedad, corresponde a un cociente de fracciones, que 
se resuelve realizando el producto de extremos sobre producto de medios, o 
también convirtiendo el cociente en multiplicación de la fracción que figura 
como numerador por la fracción inversa que figura en el denominador. 
 
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INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 19
Hemos recordado al conjunto de los números reales, sabemos qué operaciones 
podemos hacer con ellos y repasamos algunas de las propiedades más 
importantes. 
 
¿Estamos en condiciones de comenzar a realizar operaciones con ellos y aplicar 
sus propiedades? 
 
Creemos que sí, no obstante, nos parece importante que previo a ello te 
advirtamos sobre errores que por su frecuencia justifican que nos detengamos a 
considerarlos. 
 
La revisión de algunos procedimientos que frecuentemente ocasionan errores, 
permitirá que reflexionemos sobre ellos para que puedas evitarlos. 
 
La manipulación de números reales es esencial 
para tener éxito en matemáticas 
 
 
RECOMENDACIONES AL OPERAR CON NÚMEROS REALES 
 
 
 
 
 
 
En muchos casos la aparición del signo menos (-) requiere un poco más de 
atención, por ello a través de algunos ejemplos te plantearemos situaciones que 
suelen provocar errores: 
 
Si la operación a realizar es: 
 
� 3 + (5 – 2) = 3 + 5 - 2 = 6 
 
 3 + 3 = 6 
 
 
En cambio, si el paréntesis está precedido de un signo menos (-), para suprimirlo 
debe cambiarse el signo de todos los términos de la expresión que figura dentro 
del paréntesis: 
 
¡ATENCIÓN CON LOS 
SIGNOS! 
 
(El paréntesis puede suprimirse sin 
ninguna consecuencia) 
(Obtenemos lo mismo si resolvemos 
dentro del paréntesis) 
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 20
� 3 - (5 – 2) = 3 – 5 + 2 = 0 
 
 3 - 3 = 0 
 
 
¡ADVIERTE lo que hubiera sucedido si eliminamos el paréntesis sin cambiar 
los signos! 
 
Procedimiento incorrecto 
 
� 3 - 5 - 2 = - 4 
 
 
ACLARACIÓN: Este procedimiento surge de aplicar la propiedad distributiva 
del producto respecto de la suma, ya que el signo menos representa el 
factor (-1) que al multiplicar a cada término del paréntesis le cambia el 
signo por aplicación de la ley de los signos. 
La llamada Ley de los signos se aplica tanto para el producto como para el 
cociente de números reales 
 
 
LEY DE LOS SIGNOS 
 Producto Cociente 
(+) .( +) = + (+) : (+) = + 
(-) .( -) = + (-) : (-) = + 
 (+) .( -) = - (+) : (-) = - 
 (-) .( +) = - (-) : (+) = - 
 
 
Ejemplos: 
 
� (-3) (-5) = 15 
 
� ( ) ( ) ( ) 153
2
1251 −=−⋅⋅−⋅⋅− 
 
¡PRECAUCIÓN! Cuando intervienen más de dos factores se debe prestar 
atención a los signos que van asumiendo los resultados parciales. 
Si hay un número impar de factores negativos el resultado será negativo, si 
el número de factores con signo negativo es par, el resultado será positivo. 
(Si resolvemos dentro del paréntesis 
obtenemos el mismo resultado) 
(El paréntesis puede suprimirse 
cambiando signos) 
(No se cambiaron los signos 
al suprimir el paréntesis) 
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 21
Veamos otro ejemplo en el que se combinan productos con cocientes: 
 
� 4)6(
)2(3.)4(
−=
−
−−
 
 
Tener cuidado con los signos es importante, sobre todo en aplicaciones donde un 
signo erróneo nos estaría informando, por ejemplo, de la existencia de Ganancias 
cuando en realidad hay Pérdidas o viceversa. 
 
Otro elemento que suele provocar errores es la aparición del cero, por ello 
también te decimos: 
 
 
 
 
 
Si aparece el cero como factor de un producto, cualquiera sea el número o el 
signo de los demás factores, anula todo el resultado 
 
Ejemplo: 
� ( ) 0
3
202503 =





−⋅⋅−⋅⋅ 
 
Si aparece en un cociente como dividendo, también el resultado es nulo 
 
Ejemplo: 
� 0 : 3 = =
3
0 0 
 
En general el cero dividido por cualquier otro número, da como resultado 0, 
con la sola excepción de que el denominador también sea cero, ya que la 
expresión 
0
0
 no tiene solución. 
Si el cero aparece como divisor de un cociente, la operación NO tiene 
solución. 
 
Ejemplo: 
 
� 
0
2− NO TIENE SOLUCION 
¡CUIDADO CON EL 
CERO! 
 
(No hay ningún real que 
multiplicado por cero nos de -2) 
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 22
Veamos otro ejemplo: 
 
� )4.(0.2
15).3).(1(
−
−−
 NO TIENE SOLUCION 
 
No pudimos resolver ese cociente porque el cero anula el denominador y como la 
división por cero no existe, el cociente no puede resolverse. 
 
Otro error muy frecuente se comete al intentar simplificar, es por ello que 
también te recomendamos: 
 
 
 
 
 
Las simplificaciones suelen complicarse cuando trabajamos con números 
fraccionarios. Esto es a causa de que la aparición de numeradores y 
denominadores combinados en distintas operaciones, promueven simplificaciones 
de la expresión que no siempre son las correctas. 
 
Para ello, reunamos nuevamente las reglas básicas de las fracciones. 
Si a, b, c y d son números reales, (siendo éstos distintos de cero cuando figuran 
como denominador): 
 
PROPIEDADES EJEMPLO 
bd
ac
d
c
.
b
a
= 
45
32
4
3
.
5
2
⋅
⋅
= 
b
a
bc
ac
c
c
.
b
a
== (Prop. Fundamental) 
5
2
35
32
3
3
.
5
2
=
⋅
⋅= 
c
ba
c
b
c
a ±
=± 
4
32
4
3
4
2 ±
=± 
bd
bcad
d
c
b
a ±
=± 
54
4352
5
3
4
2
⋅
⋅±⋅
=± 
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
=⋅=÷= 
43
52
4
5
3
2
5
4
3
2
5
4
3
2
⋅
⋅
=⋅=÷= 
¡ PRECAUCION AL 
SIMPLIFICAR! 
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 23
Como regla general, en cuanto a la simplificación de fracciones, podemos afirmar 
que en la multiplicación de fracciones es posible simplificar numeradores con 
denominadores, y que si se las divide es posible simplificar numeradores y 
denominadores entre sí 
 
Ejemplo: 
� 
3
4
5
4
3
5
=
/
⋅
/ 
 
Recuerda que al multiplicar fracciones se obtiene una nueva fracción cuyo 
numerador es el resultado de multiplicar los numeradores y su denominador, el 
producto de los denominadores. 
Resolvemos 
 
� =
5.3
4.5
3
4
15
20
3
4
= 
 
 
 También se pudo haber simplificado antes de efectuar la operación: 
 
 =⋅
1
1
5
4
3
5 
3
4
 
 
Los dos procedimientos de simplificación fueron correctos y permitieron arribar 
a igual resultado 
 
 
Si se trata de una división de fracciones, se resuelve multiplicando el numerador 
de la primera fracción por el denominador de la segunda para formar el 
numerador del resultado y dividiéndola por el producto entre el denominador de 
la primera fracción por el numerador de la segunda 
 
Ejemplo: 
� 
2
3
12
18
4.3
9.2
9
4
:
3
2
== = 
2
3
 
 
También, se pudo haber simplificado numeradores y denominadores entre sí, 
previo a efectuar el cociente y el resultado hubiese sido el mismo. 
(Hemos simplificado por 5, 
numerador y denominador) 
(Hemos simplificado por 6, 
numerador y denominador) 
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 24
� 
2
3
2.1
3.1
9
4
:
3
2
3
2
1
1
== 
 
La misma operación pudo estar indicada con línea de fracción 
� 
2
3
12
18
9
4
3
2
= = 
2
3 
 
También se pudo haber simplificado antes de efectuar el cociente, extremos con 
medios. 
 
Estas simplificaciones que redujeron en forma correcta, multiplicaciones y 
divisiones de fracciones, suelen trasladarse, erróneamente a operaciones de 
suma y resta de fracciones. 
 
Veamos un ejemplo de suma de fracciones en donde cometimos un error muy 
común: 
 
Procedimiento incorrecto 
� =+
5
4
2
1
2
1
 
 
Es frecuente, el tratar de simplificar el 2 con el 4 por ser ambos divisibles por 2 
y aparecen como numerador y denominador respectivamente, sin advertir que en 
esta caso las fracciones están sumadas y que deberá resolverse sacando común 
denominador 
 
La única simplificación válida en operaciones de suma y resta de fracciones es 
cuando es posible reducir el numerador con el denominador de la misma fracción, 
y luego se resuelve a través del procedimiento de suma o resta de fracciones. 
 
Veamos el procedimiento correcto del ejemplo dado: 
 
� 
105
4
2
1
=+ 
 
(10 : 2) . 1 = 5 y (10 : 5) . 4 = 8 
 
(Multiplicamos extremos y lo dividimos 
por el producto de los medios, por último 
simplificamos por 6, numerador y 
denominador) 
(Primero buscar un denominador 
común que sea divisible por ambos 
denominadores) 
(Segundo, dividir ese denominador 
común por cada denominador para 
luego multiplicarlo por el numerador 
respectivo) 
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 25
 
10
13
10
85
5
4
2
1
=
+
=+ 
 
 
El proceso inverso también puede realizarse 
 
Si tenemos operaciones de suma o resta en el numerador con un denominador en 
común, podemos distribuir ese denominador en cada término del numerador 
 
Ejemplo: 
 
� 
5
2
5
11
5
3
5
1
5
21131
−++−=
−++− 
 
Pero si en el numerador tenemos un producto con un denominador común 
¡CUIDADO!, el denominador no se distribuye en ese producto. 
 
Observa: 
� 
100
40
10
8
.
10
5
10
40
10
8.5
=≠= 
Hemos visto que podemos distribuir un mismo denominador en una suma, pero 
si la suma está en el denominador, es posible distribuir ese numerador? 
¡ATENCIÓN! Tampoco es posible efectuar esa distribución 
 
Ejemplo: 
 
� 
10
21
10
615
5
3
2
3
7
3
52
3
=
+
=+≠=
+
 
 
RECUERDA: siempre debemos prestar atención cuando operemos con 
números, pero PRESTEMOS ESPECIAL ATENCIÓN cuando advirtamos signos 
negativos, el cero, cuando queramos simplificar y cuando aparezcan 
fracciones. 
 
(Resolvemos la suma en el 
numerador) 
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 26
Teniendo en cuenta las propiedades que repasamos, resolveremos las actividades 
siguientes, comenzando con operaciones combinadas sencillas, hasta incrementar 
el grado de dificultad. 
 
Actividad 3 
Resolver las siguientes operaciones con números reales 
a) =+ 9
3
2 
 
ATENCIÓN: a veces elegimos simplificar la expresión, para facilitar el cálculo, pero 
cuidado en este caso NO SE PUEDEN SIMPLICAR el 3 con el 9 
Para resolver la operación se debe sacar común denominador ó también se puede 
resolver el cociente 
3
2 expresándolo como decimal y recién sumarle el 9. 
 
b) =−− )
4
1(9.
3
5
 
 
RECUERDA que los signos + y – separan términos, por lo que se debe resolver 
primero lo que está encerrado entre paréntesis. El signo menos delante del 
paréntesis cambia el signo de lo que aparece adentro y por último, en este caso el 
3 puede simplificarse con el 9. 
c) =+− )52(.4 
 
Existe un factor: el 4 que multiplica una suma, esta es una de las propiedades que 
más se utilizan en las operaciones con números reales, la PROPIEDAD 
DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA. 
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 27
Actividad 4 
Identifica el error que se cometió en cada caso para arribar al resultado 
indicado y obtiene el resultado correcto 
a) 
7
3
4
1
3
2
=+ b) - 2 . ( 3 – 5) = -11 
 
 
Avanzando un poco más con las operaciones con números reales, incluimos en este 
repaso los exponentes y radicales 
 
EXPONENTES Y RADICALES 
 
¿Recuerdas qué operación indica una potencia con exponente entero? 
 
La expresión 23 es una potencia de base 2 y exponente 3 que se resuelve 
multiplicando tantas veces la base como lo indica el exponente. 
 
Por ello 82222
2el
veces3
mosmultiplica
3
=⋅⋅= 321 
 
¡ CUIDADO ! A veces suele confundirse la potencia con un simple producto y 
se resuelve 23 INCORRECTAMENTE como 2 . 3 = 6 . 
 
 
Recordemos las PROPIEDADES BASICAS DE LOS EXPONENTES 
 
PROPIEDADES EJEMPLO 
43421 L
 factoresn 
.x x. x . x
n
x = 43421
factores 5
2.2.2 . 2 . 225 = 
nmmn xxx +=⋅
 
53232 xxxx ==⋅ + ; 256222 853 ==⋅ 
0xsi1x0 ≠= 120 = 
44 344 21 L
 factoresn 
.x x.. x . x
1
nx
1nx ==−
 
8
1
2
12 3
3
==
−
 
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 28
PROPIEDADES EJEMPLO 
n
n
x
x
1
=
−
 
5
5 xx1
=
−
; 33 22
1
=
−
 
mn
nm
n
m
x
1
x
x
x
−
−
==
 
162
2
12
2
2 4
128
812
8
12
====
−
−
 
16
12
2
1
2
12
2
2 4
4812
128
12
8
=====
−
−
−
 
1xx
x
x 0mm
m
m
===
−
 
1
2
2
4
4
=
 
( ) n.mnm xx = 
 
( ) 153.535 xxx == ; ( ) 64222 62.323 === 
( ) nnn yxxy = 
 
( ) 333 4242 ⋅=⋅ 
n
nn
y
x
y
x
=





 
27
8
3
2
3
2
3
33
==





 
nn
x
y
y
x






=





−
 
9
16
3
4
4
3 22
=





=





−
 
 
Veamos un ejemplo en el que aparece una potencia en uno de los factores de un 
producto: 
 
� ( )
4
2
1
.8 





− = 
 
 
ADVIERTE que en este producto no es posible simplificar el 2 con el (-8) ya 
que el 2 está afectado por el exponente 4 y el (-8) no lo está. 
 
( ) =− 4
4
2
1
.8 
( ) =−
16
1
.8 
( ) =−
16
1
.8 
2
1
− 
 
 
Hemos recordado cómo se resuelven las potencias de exponente entero positivo, 
pero ¿qué sucede si el exponente es cero o un número entero negativo? 
(Como el exponente afecta solo a uno de los factores, 
primero se debe resolver potencia y luego multiplicar ese 
resultado por el otro factor (-8)) 
(La potencia es distributiva respecto del cociente y del 
producto, por lo que, podemos distribuir el exponente 4 
en el numerador y en el denominador de la fracción, 
resolver las potencias obtenidas y por último simplificar) 
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 29
Retomemos algunas de las propiedades mencionadas en el cuadro anterior 
 
TODO número (excepto el cero) elevado al exponente 0, da por resultado 1. 
 
Ejemplos: 
 
� 1150 = , 
� 1
2
3 0
=




 −
 
� 
00 NO TIENE SOLUCIÓN 
 
Si, en cambio, el exponente de la potencia es un número entero negativo: 
 
PROCEDIMIENTO CORRECTO para resolverlo consiste en elevar al inverso 
multiplicativo de la base al mismo exponente pero con signo positivo. 
 
¿Recuerdas cómo se obtienen los inversos multiplicativos o recíprocos? 
 
El recíproco de 
5
4
es
4
5 
El de 3 es 
3
1 
El de -3 es 
3
1
− (advierte que no cambiamos el signo) 
El de 1 es 1
1
1
= 
El de 0 NO EXISTE porque sería 
0
1 y la división entre cero no está definida. 
 
Por ejemplo: Resolvamos una potencia con exponente negativo. 
 
� 4
25
2
5
2
5
5
2
2
222
==





=





−
 
 
Veamos otro ejemplo combinando el producto y el exponente negativo. 
 
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 30
� ( )
2
3
27
−




⋅− 
 
( )
( )
196
9
4
9
49
1
2
3
7
1
3
2
.7
3
27
22
2
2
2
=⋅=
=





⋅





−=
=





−=
=



⋅−
−
−
−
 
 
Aclaración: también se pudo haber resuelto de esta otra forma: 
 
( ) =



⋅−
−2
3
27 
 
 
196
9
14
3
3
14 22
=





−=





−=
−
 
 
RECOMENDACIÓN: a medida que se van combinando operaciones, se 
acrecienta la posibilidad de cometer errores, sobre todo al operar con signos 
y al efectuar simplificaciones incorrectas, por ello es conveniente realizar 
paso a paso cada operación, por lo menos hasta adquirir la práctica 
suficiente. 
 
Hemos recordado cómo se resuelve una potencia que tiene por base un número 
entero, pero ¿qué sucede si en la potencia aparece un exponente fraccionario? 
 
¿Cómo resolvemos, por ejemplo, la potencia 2
3
4 ? 
 
PROCEDIMIENTO: una potencia de exponente fraccionario da origen a una 
raíz de índice igual al denominador de la fracción y que tiene como radicando 
a la base de la potencia, que queda elevada a un exponente igual al 
numerador de la fracción. 
 
En nuestro ejemplo 2
3
4 = 2 34 = 2 64 = 8 
 
(Como la potencia es distributiva respecto del 
producto, primero se distribuyó el exponente (-2) 
en cada uno de los factores de la base. 
 
Como el exponente de las potencias tiene signo 
negativo se tomó el recíproco de cada factor y se lo 
elevó al exponente 2. 
 
 
Por último se multiplicaron los resultados 
parciales) 
(Primero se resuelve el producto dentro del 
corchete, luego se eleva a (-2) este resultado parcial; 
como el exponente (-2) es negativo, se eleva al 
exponente 2 el recíproco del resultado parcial y por 
último se calcula la potencia. 
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 31
La potencia de exponente fraccionario da origen a una raíz 
RECUERDA: Extraer la raíz a un número es encontrar otro, tal que elevado 
al índice de la raíz permita obtener el radicando. 
 
Es decir que para resolver estas potencias de exponentes fraccionarios debemos 
saber resolver raíces. 
 
Recordemos, entonces, las PROPIEDADES BASICAS DE LOS RADICALES 
 
PROPIEDADES EJEMPLO 
n xX n
1
= 
5 33 5
1
= ; 288 33
1
== 
n x
1
x
1
x
n
1
n
1
==
−
 2
1
4
1
4
14
2
1
2
1
===
−
 
nnn yxyx ⋅=⋅ 
3333 182929 =⋅=⋅ ; 
3273939 3333 ==⋅=⋅ 
n
n
n
y
x
y
x
= 28
10
80
10
80 33
3
3
=== 
nmm n xx ⋅= 123 4 22 = 
( )mnn m xxx nm ==
 
( ) 42888 2233 232 ==== 
( ) xx mm = ( ) 77 88 = 
 
Resolvamos mentalmente algunas raíces sencillas 
 
� 
3 8 = 2 porque 823 = 
� 3814 = 
� 115 = 
� 
5
2
25
4
25
4
== 
 
Del último ejemplo planteado se puede deducir que: 
 
 
• Cuando no se indica el índice de la raíz, se interpreta que el índice es 
2 (también se la conoce como raíz cuadrada) y 
• La radicación al igual que la potencia es distributiva con respecto al 
producto y al cociente. 
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INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 32
Veamos un ejemplo de combinaciones sencillas de exponentes y radicales: 
� =
+






−
6
1
. 
4
51
4
1
. 
8
1 2
3
 
 
Iremos resolviendo paso a paso las operaciones, para que se adviertan los pasos 
que vamos ejecutando: 
 
 
 
 
 
 
 
¡ATENCIÓN! La radicación al igual que la potenciación NO es distributiva 
respecto de la suma, por lo que primero se debe resolver la suma y luego 
extraerle la raíz al resultado parcial. 
 
Con estos resultados parciales obtenemos: 
 
 32
4
1
8
6
1
2
3
61
2
1
6
1
4
51
4
1
.
8
1
2
1
8
1
2
3
==
/
⋅
/
/⋅
/
=
⋅+






−
 
 
 
Hasta aquí hemos desarrollado un breve repaso de las operaciones con números 
reales, describiendo a través de ejemplos los procedimientos más comunes y 
advirtiendo sobre los errores más frecuentes. 
 
Para que ejerciten los temas vistos, les proponemos las siguientes actividades: 
 
 
(Para resolver el producto del numerador, primero se debe 
extraer la raíz cúbica de uno de los factores 
2
1
8
1
3 = y 
resolver la potencia del otro factor 16
1
4
4
1 22
=





=





−
. 
Mientras tanto, en el denominador se deberá resolver la 
raíz cuadrada de la suma 
2
3
4
9
4
54
4
51 ==+=+ y 
luego multiplicar el resultado por 
6
1 ) 
6
1
2
3
16
2
1
6
1. 
4
51
4
1
. 
8
1 2
3
⋅
⋅
=
+






−
(Simplificando los productos de fracciones 
y resolviendo la última fracción obtenida, se 
llega al resultado definitivo) 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC 
INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 33
 
Actividad 5 
Resolver las siguientes operaciones. 
a) 






−−
−
2
3
2
2
13
 = b) =
−






−−
5
11
3
1
5
2
 c) =
−






−−
1
3
1
2
3
3
2
 
 
¡ A SEGUIR TRABAJANDO ! 
Actividad 6 
Resolver las siguientes operaciones combinadas, aplicando propiedades.
a) =−+ 5.
5
13:
5
1
3
5
.
3
2
 
 
b) =−+− )
4
3
.(
2
1
3
7
.
7
1
2
3
.
9
1
 
 
c) =+−+− 1
7
2
14
5
7
1
2
1
 
 
d) =−+





−−
4
1
6
5
2
7
2
1
12
5
 
 
e) =

















−− 221
4
3
:
4
3
.
3
4
 
 
f) ( ) ( ) ( ) =−−− −−− 132 2:2.2 
 
g) ( ) =
−
7254
347
2:2.2
2:2:2 
 
h) ( ) ( ) ( ) =−−− −4 286 2.2.2 
i) =





−
−1
22
7
.4
4
25
.
121
49 
j) 
=





−−











+





−−− 4
3
121
2
1
.
8
1
5
9
.
5
9
5
9 
k) =






+
−





−
−1
2
2
4
3
1
3
4
32
 
l) =+






−






+
9
7
12
113
3
4
2
1 2
 
 
m) 
=−
+






−
)12.(
1
25
11
1
3
1 2
 
 
n) =−
−






−
−
−
1
2
3
3
1
)2(
)3(
.)2()3(
1
.
4
3 
 
o) =





+





+−−





+−
− 3
1
2
1
8
1
9
4
8
71
7
6
:
3
5
2
1 3
2
 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC 
INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 34
Si combinamos los conjuntos numéricos vistos anteriormente, con la idea de 
variable (una letra como número generalizado) llegamos al concepto de 
ÁLGEBRA. 
El cálculo algebraico nace como una generalización del modelo numérico. 
Así como para trabajar con modelos aritméticos ó numéricos tuvimos que 
aprender a realizar cálculos con números, para trabajar con un modelo algebraico 
debemos ser hábiles en cálculos con variables. Por ello en esta segunda parte se 
combinarán números representados con símbolos, a través de operaciones de 
adición, sustracción, multiplicación, división ó extracción de raíces. 
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INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 35
II 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
• OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
ENTERAS 
 
• PRODUCTOS NOTABLES. REGLAS DE FACTORIZACIÓN 
 
• OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
RACIONALES 
 
OBJETIVOS 
 
• Operar con expresiones algebraicas. 
• Utilizar productos especiales. 
• Establecer las reglas básicas de factorización y aplicarlas para 
factorizar expresiones. 
• Simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. 
 
 
 
 
 
 
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INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 36
(Asociamos los términos semejantes: 
3con 1 ; x6con x2 ; yx4con yx3 22 −−
 y los sumamos. 
Obtenemos el resultado final, al no poder 
seguir operando con la expresión. 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS 
 
Ejemplos de expresiones algebraicas: 
 
� 1x3x2x3 23 +−+ es una expresión algebraica entera en la variable x 
 
� ( ) xyyx 3 −+ es una expresión algebraica entera en las variables x e y 
 
Las expresiones algebraicas pueden sumarse, multiplicarse, dividirse, elevarlas a 
potencias o extraerles raíces, aplicando las mismas propiedades que vimos en los 
modelos numéricos. 
 
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS 
 
Comencemos con las SUMAS ALGEBRAICAS 
 
PROCEDIMIENTO: se suman los términos semejantes, que son aquellos que 
tienen la misma parte literal y difieren sólo en sus coeficientes. 
 
Por ejemplo: 
 
� 
333 752 yxyxyx =+ 
 
Resolvamos otro ejemplo: 
 
� =−+++− )364()123( 22 xyxxyx
 
 
 
 
 
 
 
=−+++−= 3x6yx41x2yx3 22 
 
2x4yx7 2 −+= 
 
 
 
(Como en este caso existen paréntesis que 
agrupan términos, lo primero que debemos 
hacer es suprimirlos, recordando que si 
están precedidos por el signo más (+) las 
operaciones indicadas dentro del paréntesis 
siguen igual y si las precede un signo menos 
(-) se deberán cambiar los signos 
comprendidos dentro del paréntesis) 
(Sumamos los términos semejantes) 
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INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 37
Observen otro ejemplo: 
 
� =++−++− xxyyyxy )3(52 22 
 
 
=+−−++−= xxyy35yxy2 22 
 
 
 
x5y2xy3 2 ++−−= 
 
 
 
Avanzando con otras operaciones, veremos la MULTIPLICACIÓN DE 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
PROCEDIMIENTO: la propiedad distributiva es la herramienta clave para 
multiplicar expresiones algebraicas. Se las resuelve multiplicando término a 
término y por último se suman los términos semejantes. 
 
Veamos un ejemplo en el que se multiplican dos expresiones algebraicas: 
 
� =+−++−=+−+ yx)y(yxx2)y(x2)xy)(yx2(
 
 
 
 
=+−+−= yxyx2xy2 22 
 
 
222 yxxy −+−= 
 
 
Veamos otro ejemplo: 
 
� =+−− ))(1( 3 xyyxx 
 
 
(Suprimimos el paréntesis cambiando 
el signo de los términos que figuran 
dentro de él) 
(Sumamos o restamos los términos 
equivalentes) 
(Este último es el resultado final ya que 
no es posible realizar ningún otro cálculo 
con términos que NO son semejantes). 
(Se realiza el producto de una de las 
sumas por la otra, aplicando la 
propiedad distributiva del producto 
respecto a la suma). 
(Se aplica regla de signos del 
producto y propiedades del producto 
de potencias de igual base). 
(Se Asocian y suman o restan los 
términos semejantes) 
(Comenzamos multiplicando los 
términos del primer paréntesis por los 
del segundo o a la inversa porque el 
orden de los factores NO altera el 
producto) 
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 38
xy1y1x1xxyxyxx)xyyx)(1x( 333 −+−+−=+−− 
 
 
 
 
 
yxyxxy2x
xyyxyxxyx
324
324
+−+−=
=−+−+−=
 
 
 
Actividad 7 
 
Actividad 8 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad 9 
Dados los polinomios: 2423 xxx3)x(Qyx4x25)x(P −+=++−= 
Calcula: P(x) . Q(x) 
M N M + N M - N M . N 
 
32x 
 
3
2
5
x− 
 
 
 
 
 
 
55a 
 
25a 
 
 
 
 
Resuelve las siguientes operaciones con expresiones algebraicas: 
=−−++=+−⋅+
=⋅=
==⋅
=+=+
=+=+
)x3x4(2x5x2)j )4x8()5x2)(i
x2x2)h g)2x.2x
 .x xf) xx)e
x2x2)dx2x2)c
xx)b xx)a
22
22
22
22
22
 
Completa el siguiente cuadro, con las operaciones indicadas: 
(Efectuamos el producto de la x del 
primer paréntesis por cada término 
del segundo paréntesis (prestar 
atención a los signos) y luego hacemos 
lo mismo con el -1). 
(Se resuelven los productos de cada 
término, cuando sea posible: 
43 xxx = ; yxxxy 2= , sumando o 
restando los términos semejantes). 
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 39
(Porque la potenciaNO es 
distributiva con respecto a la 
suma (ó la resta) ) 
PRODUCTOS NOTABLES 
 
Hay productos de expresiones algebraicas que por la frecuencia con que 
aparecen se los denomina ESPECIALES ó NOTABLES y que por el mismo motivo 
es muy conveniente incluirlos en este repaso. 
 
CUADRADO DE UN BINOMIO 
 
222 2)( aaxxax ++=+ 
222 2)( aaxxax +−=− 
 
Binomio: porque es la suma (ó resta) de dos términos. 
Cuadrado: porque aparece elevado al exponente 2. 
 
PROCEDIMIENTO: el resultado es el cuadrado del primer término más (ó 
menos) el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado 
del segundo término. 
 
¡CUIDADO! Un error muy frecuente es distribuir el exponente en la suma 
(ó resta) del binomio. 
 
Procedimiento correcto Procedimiento incorrecto 
 
� 
222 2)( aaxxax ++=+ 222)( axax +=+ 
 
 
El procedimiento correcto surge de multiplicar término a término la expresión 
algebraica de la base por sí misma: 
 
222 aax2x)ax)(ax()ax( ++=++=+ 
 
222 aax2x)ax)(ax()ax( +−=−−=− 
 
 
Desarrollemos el cuadrado del siguiente binomio: 
 
� 2510552)5( 2222 +−=+−=− xxxxx 
 
 
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 40
Actividad 10 
Desarrolla las siguientes expresiones 
a) ( ) =− 2x2 
b) ( ) =+ 21x2 
 
Otro de los productos notables que repasaremos en esta ocasión es el: 
 
PRODUCTO DE UNA SUMA Y UNA DIFERENCIA 
 
22 ax)ax)(ax( −=−+ 
 
PROCEDIMIENTO: La suma por la diferencia de dos bases es igual a la 
diferencia de los cuadrados de las bases 
 
Esta igualdad puede verificarse efectuando la multiplicación y cancelando los 
términos iguales con signos opuestos 
 
2222 axaaxxax)ax)(ax( −=−+−=−+ 
Por ejemplo: 
 
� 4x)2x)(2x( 2 −=−+ 
 
También es frecuente que se deba desarrollar el procedimiento inverso de 
escribir la expresión algebraica como producto de sus factores utilizando. 
 
REGLAS DE FACTORIZACIÓN 
 
Las más utilizadas son: 
 
FACTOR COMÚN 
)yx(aayax +⋅=+ 
 
Es decir, se trata de la recíproca de la propiedad distributiva del producto 
respecto a la suma (ó a la resta). 
 
 
 
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 41
Por ejemplo: 
 
� ( )2xx2x4x2 2 +⋅=+ 
 
 
 
 
FACTOR COMÚN EN GRUPOS 
 
( ) ( ) ( ) ( )baxdcxdcxbdcxaxbdbcxadxacx 2223 +⋅+=+⋅++⋅=+++ 
 
En lugar de presentar un factor común en toda la expresión, se presenta el 
factor común en grupos de igual número de términos. 
 
Por ejemplo: 
 
� 
)2y3).(4y(
)4y(2)4y(y3
8y2y12y3
2
2
23
−+=
=+−+=
=−−+
 
 
 
Actividad 11 
Factoriza las siguientes expresiones. 
 
a) =+ x4x4 5 
 
b) =−+− x4x2416x6 23 
 
 
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
 
222 )(2 axaaxx +=++ 
 
222 )(2 axaaxx −=+− 
 
Es decir que, si identificamos un trinomio cuadrado perfecto, podemos indicarlo 
como el cuadrado de la suma (o resta) de sus bases. 
Como la expresión 2x se repite en los dos 
términos, se extrae como factor común, 
que multiplica a (x+2). 
La expresión (x+2) se obtiene de dividir 
cada término del primer miembro por el 
factor común, así: xx2x2 2 =÷ y 
2x2x4 =÷ 
(En este caso, de los dos primeros términos se 
extrae como factor común 2y3 , y de los dos 
últimos términos el factor común es (–2). Si 
observamos los paréntesis, queda la misma 
expresión (y + 4), la que ahora pasa a ser 
factor común de los dos términos, 
obteniéndose el producto final). 
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 42
 
Por ejemplo, la expresión: 
 
� 
22 )2(44 zzz +=++ 
 
 
Por ejemplo, la siguiente expresión, NO es trinomio cuadrado perfecto: 
 
� =++ 229 yy 
 
Actividad 12 
Factoriza las siguientes expresiones. 
a) =+− 1x2x 2 b) =++ 16x16x4 2 
 
 
Otra de las reglas de factorización que utilizamos con frecuencia es la 
 
DIFERENCIA DE CUADRADOS 
 
)ax)(ax(ax 22 −+=− 
 
La diferencia (¡atención!, NO la suma) de dos términos cuadrados pueden 
expresarse como el producto de la suma por la diferencia de sus bases 
 
Ejemplo: 
� )x4)(x4(x16 2 −+=− 
 
Actividad 13 
 Decir si es Verdadero (V) o Falso (F): 
 
a. ( ) ( ) ( )bababa 2 +⋅−=− 
b. ( ) ( ) ( )bababa 2 −⋅−=− 
c. ( ) 222 bab2aba +−=− 
d. ( ) 222 baba −=− 
e. ( ) ( )bababa 22 −⋅−=− 
f. ( ) ( )bababa 22 −⋅+=− 
g. ( ) 1x2x1x 22 +−=+− 
h. ( )22 1x1x2x +=+− 
i. ( )22 4x216x16x4 +=++ 
j. ( ) ( )bxbxbx 22 +⋅+−=+− 
(Es un trinomio cuadrado perfecto, porque 
tenemos dos términos elevados al cuadrado: 2 y 
z y un tercer término que es el doble producto 
de los otros dos: 2 . 2 z = 4z ) 
(Porque a pesar de que tiene tres términos y 
existen dos términos que aparecen elevados al 
cuadrado (3 y “y”), no aparece el doble producto 
del primero por el segundo: 2 . 3 y = 6y) 
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 43
Actividad 14 
 Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 
a. =− x4x4 5 
b. =++ 32 y16y24y9 
c. =−−+ 16x4x6x24 32 
d. =++ 23 x24x9x16 
e. =− 26 x9x9 
 
 
Actividad 15 
Resuelve o factoriza, según corresponda, cada una de las siguientes expresiones: 
 
a) ( ) =− 2x23 b) =− 36x4 2 
 
c) =++ 8x8x2 2 d) =− 24 x16x16 
 
e) =+−−+− x32x464x32x16x2 223 f) ( ) =+ 2y3x2 
 
 
Hemos analizado la suma y el producto de expresiones algebraicas, pero puede 
suceder que debamos considerar expresiones tales como: 
 
� 
x
x
x 6
32
,
1
8 +
−
en donde la variable aparece en el denominador 
 
Estas expresiones se denominan: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES, 
e implican cocientes: 
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 44
 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 
Las reglas que guían las operaciones con expresiones racionales son las mismas 
reglas de las fracciones, también nombradas en este material. 
 
Veamos algunos ejemplos en los que debamos resolver expresiones algebraicas 
racionales: 
 
� 
5
9
5
3.3
)3x(5
18
6
)3x(3
15x5
18
6
9x3
==
=
+
⋅
+
=
+
⋅
+
 
 
 
 
¡ATENCIÓN! No existe una regla que sea aplicable en cada caso. Dependerá 
mucho de tu ingenio reconocer qué regla de factorización o qué producto 
notable conviene aplicar en el caso específico de manera de simplificar la 
expresión y arribar al resultado. 
 
Veamos otro ejemplo resuelto: 
 
� 
1x
x
1x
1)1x(
1x
1
1x
1
2
22
−
=
=
−
+−
=
−
+
+
 
 
 
ADVIERTE que en el resultado no se pudo simplificar las x del numerador y 
denominador ya que la 2x está afectada por la resta del 1, no por el 
producto. 
 
Seguidamente te proponemos algunas actividades que incluyen operaciones con 
expresiones algebraicas racionales, junto a casos de factoreo, para reafirmar los 
temas repasados. 
(1° se saca factor común en el 
numerador del primer factor y en el 
denominador del segundo factor; 
2° se simplifican los factores del
numerador con los del denominador, 
o sea, (x+3) con (x+3) y el 18 con el 6; 
luego se multiplica derecho). 
Primero se buscó un común 
denominador para los dos sumandos, 
recuerda que )1x(.)1x(1x 2 +−=− . 
Luego se resolvió la suma del 
numerador. 
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 45
¡ A PRACTICAR ¡ 
 
Actividad 16 
Factoriza, resuelve y simplifica, según corresponda: 
a) =
+
++
4x
16x8x 2b) =
+
++
4x
16x8x 2
 
 
c) =
−
−
26
5
x9x9
x4x4
 d) =
−−+
−
2xx2x
1x
23
2
 
 
e) =
−−+
−−+
8x2x12x
16x4x6x24
23
32
 f) =
+−
+
+
−
+
1x2x
1x
2x2
1x
2 
 
g) ( )( ) ( ) =+
−
⋅
−
−
3y
)3y(
1y
9y2 h) =
−
÷
+
x2
x
x
xx2 22 
 
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 46
III 
 
ECUACIONES 
 
 
• RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER Y DE 
SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA 
 
• ECUACIONES CON MODULOS - INECUACIONES 
 
• SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS 
INCÓGNITAS 
 
 
OBJETIVOS 
 
• Desarrollar las técnicas para resolver ecuaciones lineales. 
• Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática. 
• Resolver desigualdades lineales con una variable e introducir la 
notación de intervalo. 
• Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales que impliquen valor 
absoluto y representar el conjunto solución en la recta 
numérica. 
• Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas por 
distintos métodos. 
 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC 
INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 47
 
ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA 
 
 
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se 
transforma en igualdad numérica cuando se atribuyen a las letras que figuran en 
la igualdad algebraica valores numéricos particulares. 
 
Resolver una ecuación es encontrar los valores de sus variables para los cuales la 
ecuación se verifica. 
 
Los valores particulares que asumen las letras para que una ecuación se convierta 
en una igualdad numérica son las raíces de la ecuación. 
 
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA 
 
Por ejemplo 5 x + 2 = -3 , es una ecuación lineal, porque la incógnita, x, está 
elevada al exponente 1 . 
La solución es x = -1 porque 5. (-1) + 2 = -3 
 
Veamos el siguiente ejemplo resuelto, que nos permite hallar la raíz o solución de 
la ecuación: 
� x3
12
3-5x
-
3
2x
2
3x)1x(22 +=−−+−− 


 
 x3
12
3-5x
-
3
2x
2
3x2x22 +=−−−−− 




 
x3
12
3-5x
-
3
2x
2
3x2x22 +=−+++ 
 x36)3x5(x8)3x(624x2424 +−−=−+++ 
 
x363x5x818x624x2424 ++−=−+++ 
 
1824243x36x5x8x6x24 +−−=−+−+ 
 27x9 −=− 
 x = 3 
Veamos cómo resolvemos otra ecuación un poco más complicada, en la que 
aplicaremos productos notables y factorización. 
(Dentro del corchete, aplicamos 
propiedad distributiva del producto 
respecto a la suma) 
(Quitamos paréntesis) 
(Sacamos común denominador y 
resolvemos) 
 
(Aplicamos propiedad distributiva del 
producto respecto a la suma en el 
primer miembro, y en el segundo 
miembro quitamos el paréntesis que, 
al estar precedido por el signo menos, 
cambian los signos que figuran dentro 
de él) 
(Agrupamos términos y sumamos 
términos semejantes) 
(Dividimos los dos miembros por: - 9) 
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 48
� )2
3
1(2)3()3(513)6( 2 xxxxx −−+−+=−− 
43421
44 344 2143421
vadistributi
propiedad
2 )x2-
3
1(x2)3x)(3x(513-)6x(
cuadradosde
diferencia
unadeFactoreo
restauna
dCuadrado e
−+−+= 
222 4
3
2)9(5133612 xxxxx −−−=−+− 
 
 
222 4
3
24552312 xxxxx −−−=+− 
 
 xxxx
3
2452312 22 −−=+− 
 
 xx
3
2452312 −−=+ 
 
 2345
3
212 −−=+ xx 
 
 68)
3
212(x −=+− 
 
 68x
3
34
−=− 
 
 3.6834 −=− x 
 
 
34
204
−
−
=x 
 
 6x = 
 
Para verificar, sustituimos la incógnita de la ecuación original por el valor que 
obtuvimos: 
 )6.2
3
1(6.2)36)(36(513)66( 2 −−+−+=−− 
)12
3
1(123.9.5130( −−+=− 
 )
3
37(1213513 −+=− 
La solución es correcta porque la igualdad se cumple: 1313 −=− 
(Separamos en términos cada 
miembro) 
 
 
 (Desarrollamos, según 
corresponda, luego operamos y 
distribuimos el 5) 
 
(Restamos los términos 
semejantes en el 2º miembro) 
 
(Cancelamos x2 en ambos 
miembros) 
 
 
(Agrupamos términos 
semejantes) 
 
(Sacamos factor común x en el 
primer miembro y operamos en 
el segundo) 
 
(Operamos en el paréntesis) 
 
 
(El 3 que está dividiendo al 
primer miembro pasa 
multiplicando a todo el otro 
miembro) 
 
(Pasamos dividiendo -34 al 
segundo miembro) 
 
(Calculamos y obtenemos el 
valor de la incógnita) 
 
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¡ PRACTICA CON LAS SIGUIENTES ECUACIONES ! 
 
 
Actividad 17 
Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica las soluciones: 
 
a) 
2
27)3(
2
51
10
9
3
5)2)(2( 2 +−=





−+−+ xxxxx 
b) ( ) 34)7)(7(24)
4
12(4 2 +−+=++−− xxxx 
c) ( ) )35(2)1(1)5( 2 +=−+−− xxxx 
d) ( ) )1(288)6( 22 +−=+−− xxx 
 
 
Actividad 18 
Te proponemos nos ayudes a detectar el error que se cometió en la resolución de 
las siguientes ecuaciones. 
a) 
( )
13x 
310x 
10x3 
1xx10x1xx 
1)x1(x)20x2(
2
11x)1x(x
22
=
+=
=−
−+++=−+−
−+++=−++−
 
 
b) 
9
11
x 
11x 9- 
314x6x 3- 
14x63x3 
x314x23x3 
x2)7x(22)1x(3
=
−=
+−=−
−=−
+−=−−
+−=−+−
 
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Las ecuaciones que resolvimos son ecuaciones de 1° grado, porque la incógnita 
aparece elevada al exponente 1. También en esta ocasión revisaremos los 
procedimientos para resolver ecuaciones de 2° grado o ecuaciones cuadráticas, 
en donde la variable aparece elevada al exponente 2. 
 
ECUACIONES CUADRÁTICAS 
 
Por ejemplo la ecuación 0x2x 2 =+ , es una ecuación cuadrática, porque la 
incógnita “x” aparece elevada al cuadrado. 
 
Resolvamos la ecuación 
 
� 0x2x 2 =+ 
 
 x . (x + 2 ) = 0 
 
 x = 0 ó (x+2) = 0 
 
 x = 0 ó x = - 2 
 
Y esas son las dos soluciones de la ecuación de segundo grado, ya que si 
reemplazamos dichos valores en la ecuación, se verifica la igualdad 
 
Veamos otro ejemplo: 
 
� 04x2x2 2 =−− 
En este caso no podemos proceder como en el caso anterior que sacamos factor 
común x, ya que existe un término que no lo tiene. 
 
Para estos casos y en general para resolver cualquier ecuación cuadrática existe 
una fórmula general, que estamos seguras que cuando la veas la recordarás por 
haberla aplicado muchas veces en la resolución de distintas actividades: 
 
FÓRMULA CUADRÁTICA (también denominada Fórmula Resolvente) 
 
Las soluciones de la ecuación cuadrática 0cbxxa 2 =++ donde a es 
distinto de cero, están dadas por 
 
a2
ac4bb
x
2
i
−±−
= 
 
¿La recuerdas? 
Si sacamos factor común x en el primer miembro, nos 
queda un producto de dos factores cuyo resultado es 
cero. 
Para que el resultado de dicho producto se anule existen 
dos alternativas: x = 0 ó (x+2) = 0, por lo que x = - 2 
 
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 51
 
De la aplicación de dicha fórmula pueden surgir, dos raíces reales distintas, dos 
raícesreales iguales o dos raíces imaginarias según el signo que asuma la 
expresión que está debajo de la raíz 
 
 Si 0ac4b 2 >− obtendremos dos raíces reales distintas 
 
 0ac4b 2 =− obtendremos dos raíces reales iguales 
 
 0ac4b 2 <− 
 
 
 
Retomando nuestro ejemplo, si debemos resolver la ecuación: 
 
� 04x2x2 2 =−− 
Aplicando la fórmula cuadrática: 
 
( )
=
±
=
±
=
−−±
=
−−−±−−
=
4
62
4
362
4
)32(42
2.2
)4(242)2(
x
2
 
De la última expresión surgen las dos raíces: 2
4
62
1 =
+
=x y 1
4
62
2 −=
−
=x 
 
Veamos otro ejemplo resuelto: 
� 0
3
1
x
6
72
x =+− 
 027x26x =+− 
 
Hallemos las raíces, utilizando la fórmula resolvente: 
=
±
=
±
=
−±
=
−±
=
12
17
12
17
12
48497
12
4.6.2277
x
2
1
12
6
2x
3
2
12
8
1x
==
==
 
Actividad 19 
Resuelve las siguientes ecuaciones 
a) ( ) ( ) 02x6x =+⋅− 
b) 10x3x 2 =+ 
c) 5x9x2 2 =+ 
d) x9x4 2 = 
e) 2x2x 2 =− 
f) 01x6x9 2 =+− 
obtendremos dos raíces imaginarias. Este caso no 
lo desarrollaremos porque ya dijimos que 
trabajaremos con el conjunto de números reales. 
(Se multiplicó miembro a miembro por: - 6) 
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ECUACIONES CON MODULO 
 
Para resolver ecuaciones con módulo debemos recordar a qué llamamos módulo 
de un número real. 
 
Se llama MÓDULO ó también VALOR ABSOLUTO de un número real a la 
distancia entre dicho número y cero y lo simbolizamos: x 
 
Por ejemplo: los números 4 y -4 son opuestos ya que tienen distinto signo, pero 
tienen igual módulo, porque están a la misma distancia de cero. 
 
Es decir que: 444- == 
Por otra parte, la distancia desde cero hasta el número 4 es igual a 4, así como 
la distancia desde –4 a cero es también igual a 4. 
 
 
 
 
 
Generalizando 



<
≥
=
0xsix-
0xsix
x 
 
Es importante tener en claro que –x es positivo cuando x es negativo. 
 
Aplicaremos la definición de módulo para resolver las ecuaciones con módulo. 
 
Resolvamos la ecuación: 32 =−x 
Esta ecuación expresa que x – 2 es un número que se encuentra a tres 
unidades de cero. 
 
Por ello podemos decir que x – 2 = 3 ⇒ x = 3 + 2 = 5 
 ó bien x – 2 = -3 ⇒ x = - 3 + 2 = -1 
 
De ambas igualdades surgen las soluciones de la ecuación con módulo, que 
reemplazadas en la ecuación verifican la igualdad 
 
para x = -1: 3 3 - 3 21 =⇒=−− y 
para x = 5: 3 3 3 25 =⇒=− 
-4 4 0 
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 53
 
En general se puede interpretar ba − ó ab − como la distancia entre a y b. 
 
Por ello en la ecuación anterior 32 =−x establece que la distancia entre x y 2 
es de tres unidades, por lo que las soluciones x = -1 y x = 5 indican los 
números que distan de 2 en tres unidades. 
 
Compruébalo en la recta numérica. 
 
La raíz cuadrada de 2x se expresa como el módulo de x. 
En símbolos, escribimos: 
xx 2 = 
 
Esta expresión del módulo de un número, nos resultará útil cuando en una 
ecuación sea necesario despejar una incógnita que esté elevada a una potencia 
par. 
Por ejemplo, si resolvemos la ecuación: 
 
� 1962 =−x 
 
 6192 +=x 
 252 =x 
 5x = 
 5x ±= 
 
Ahora reemplacemos cada uno de los valores en la ecuación original para 
comprobar si se cumple la igualdad: 
 
Para x = 5 Para x = -5 
 
19652 =− = 196)5( 2 =−− 
 
Actividad 20 
Halla el/los valores de x que verifica la igualdad 
a) 12 =+x b) 04)3( 2 =−+ x 
c) 042 =+x d) 182 =−x 
 
Despejamos 2x 
Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros de la 
igualdad 
Sustituimos el primer miembro utilizando el 
módulo y calculamos 5x = 
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¿Qué sucede si aparece una desigualdad en vez de una igualdad? 
 
La expresión se denomina inecuación y el procedimiento de resolución es muy 
similar al utilizado en las ecuaciones 
 
INECUACIONES 
 
Una inecuación es una desigualad en la que hay dos miembros relacionados 
mediante cualquiera de estos signos >≥<≤ , , , . Si esos miembros son 
expresiones algebraicas, estamos en presencia de una inecuación, en la cual 
figuran números e incógnitas. 
 
Por ejemplo x + 2 > 1 implica que x > 1 – 2 por lo que x > -1 
 
La única propiedad que cambia con respecto a las igualdades es cuando el número 
que multiplica o divide a la incógnita es un número negativo, al despejarlo, 
invierte el sentido de la desigualdad. 
 
Por ejemplo: 
 
� 
1x
2
2
x
4
8
x2
4
1
4
7
x2
4
7
x2
4
1
−≥
−
≥
≤−
+≤−
≤−−
 
 
Al trabajar con módulo también pueden aparecer expresiones que contengan los 
signos >≥<≤ , , , . 
 
Veamos algunos ejemplos: 
 
Hallemos los valores de x que verifican la desigualdad 
 
� 3x < 
 
Debemos hallar todos los valores de x cuya distancia a cero sea menor que 3, 
 
En este caso, al dividir miembro a miembro 
de la desigualdad por el valor, 
(-2), se invierte el sentido de la misma. 
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Gráficamente la situación sería: 
 
Los valores de x que estamos buscando pertenecen al intervalo (-3; 3), es decir 
-3< x < 3 entonces 3x33x <<−⇒< seria el conjunto solución de la inecuación 
 
Observen ahora como hallamos los valores de x que verifiquen la desigualdad: 
� 3>x 
 
Debemos hallar todos los valores de x cuya distancia a cero sea mayor que 3, 
 
Gráficamente la situación sería: 
 
Los valores de x que estamos buscando pertenecen al intervalo (-∞;-3) o al 
intervalo (3 ; ∞) , es decir x > 3 o x < -3 , entonces 3xo3x 3x −<>⇒> 
 
Analicemos ahora el siguiente ejemplo: 
� 32x >− 
Debemos hallar todos los valores de x cuya distancia a dos sea mayor que 3, 
 
Gráficamente la situación sería: 
 
Los valores de x que estamos buscando pertenecen al intervalo (-∞;-1) o al 
intervalo (5 ; ∞) , es decir x > 5 o x < -1 , entonces 1xo5x 32x −<>⇒>− 
-3 3 0 
 ////////////////) 
-∞ ∞ 
(////////////////
-3 3 0 
 
(///////////////////////////////)
-1 5 2 
 ////////////////) 
-∞ ∞ 
(////////////////
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¡ RESUELVE ! 
Actividad 21 
Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones, graficando en la recta 
real cada uno de los conjunto solución.
a) 115x2 <+ 
b) 4x35 >+ 
c) 3x36 −≤− 
d) 32x <− 
e) 41 ≥+x 
f) 22x ≤+ 
 
Hemos repasado los procedimientos por los cuales se resuelven las ecuaciones 
con una incógnita, veremos ahora como se resuelven las ecuaciones en las cuales 
aparecen dos incógnitas o variables. 
 
 
ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS 
 
Ya vimos que una ecuación es una igualdad en la debemos averiguar el valor de una 
incógnita. 
 
Cuando en la ecuación aparecen dos letras representando variables o incógnitas a 
averiguar el procedimiento cambia. 
 
La expresión x + y = 3 es un ejemplo de una ecuación de dos variables, y 
para resolverla debemos averiguar los valores de “x” e “y” que verifican la 
igualdad. 
Dentro de las solucionespodemos intuir que estarán: 
 
 x = 2 , y = 1 
También x = -1 , y = 4 
También x = 0 , y = 3 etc. etc. 
 
Todas esos pares de valores simultáneamente verifican la ecuación, ya que 
sumados dan por resultado 3. 
 
Pero además de esos pares de valores existen otros infinitos pares que verifican 
la ecuación, por lo que podemos decir que existen infinitas soluciones para este 
tipo de ecuaciones. 
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 57
 
Cada una de ellos puede ser interpretada como un punto de coordenadas ( x, y) 
sobre una recta, ya que la ecuación x + y = 3 es la ecuación de una recta. 
 
RECUERDA: para encontrar los pares de valores que pertenecen a una recta 
y que verifican su ecuación se despeja una de las variables, en nuestro 
ejemplo: 
 y = - x + 3 
 
Luego se le da valores arbitrarios a “x” y se obtienen los correspondientes 
valores de y 
 
Las ecuaciones donde las incógnitas aparecen todas con grado 1, que no están 
elevadas a ninguna potencia, ni bajo ninguna raíz, se llaman ecuaciones lineales. 
 
Si en vez de tener que averiguar los valores que asumen las variables que 
verifican una ecuación lineal de dos variables, tenemos dos ecuaciones lineales 
con dos incógnitas cada una y debemos encontrar los valores que verifican ambas 
ecuaciones simultáneamente, estamos en presencia de un 
 
SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES 
CON DOS INCOGNITAS 
 
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas representa un conjunto 
de dos rectas, y su resolución consiste en hallar un punto en común entre ellas, es 
decir encontrar un valor de cada incógnita que verifique el sistema. 
Para hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos 
incógnitas, se pueden aplicar distintos métodos. 
 
En este repaso recordaremos los procedimientos de dos de ellos: el método de 
sustitución y el de igualación. 
 
También recordaremos la interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones. 
 
Por ejemplo: 
Teniendo dos ecuaciones, nuestro objetivo será hallar los valores de “x” y de “y” 
tal que las dos ecuaciones sean verdaderas. 
 



=+
=+
18y5x2
22y3x4
 
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 58
 
Método de Igualación 
 



=+
=+
18y5x2
22y3x4
 
 
 
3
422 xy −= 
 
5
218 xy −= 
 
5
218
3
422 xx −
=
− 
 
 
)218(3)422(5 xx −=− 
 
4x
14
56
x
56x14
110546x20
x654x20110
=
−
−
=
−=−
−=+−
−=−
 
 
Reemplazamos el valor de x obtenido, en alguna de las ecuaciones 
En nuestro ejemplo, elegimos reemplazar el valor de x = 4 en la segunda ecuación. 
 
5
)4(218 −
=y 
2
5
10
5
1218
=
=
−
=
y
y
y
 (Operamos para hallar el valor de y) 
 
La solución del sistema es el par de valores (x ; y) = ( 4 ; 2 ) 
Para comprobarlo reemplazamos en ambas ecuaciones el valor hallado: 
 
2222
221616
22)2(3)4(4
=
=+
=+
 
1818
18108
18)2(5)4(2
=
=+
=+
 
Despejamos una de las dos variables en las dos 
ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema 
equivalente. 
En este caso elegimos despejar la variable “y” en 
ambas ecuaciones 
Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los 
primeros miembros son iguales los segundos 
también lo son, por lo que podemos igualar los 
segundos miembros. 
 
Luego, estamos en presencia de una ecuación de 1° 
grado con una variable que resolvemos 
despejando el valor de esa única variable. 
 
 
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 59
 Ahora sí, podemos asegurar que el par (4 , 2) es la única solución del sistema 
planteado. 
Veamos cuál es el procedimiento si se resuelve el sistema de dos ecuaciones 
lineales con dos incógnitas por otro método: 
 
Método por Sustitución 
 
Resolveremos por este método el mismo sistema que ya resolvimos por el método 
de igualación. 



=+
=+
18y5x2
22y3x4
 
 
3
422 xy −= 
 
18
3
42252 =




 −
+
x
x 
 
14x
14
56
x
3
56
3
x14
3
11018
3
x20
x2
18
3
x20
3
110
x2
18
3
x20110
x2
=
=
−
=−
−=−
=−+
=
−
+
 
 
Luego reemplazamos el valor de x obtenido, en alguna de las ecuaciones para 
obtener el valor de la otra incógnita y. 
En nuestro ejemplo lo reemplazamos en la primera ecuación: 
 
2y
3
6y
6y3
1622y3
22y316
22y3)4(4
=
=
=
−=
=+
=+
 
Despejamos una de las variables en una de las 
ecuaciones. 
En nuestro ejemplo elegimos despejar la variable “y” 
en la primera ecuación 
Luego reemplazamos el valor hallado en la otra 
ecuación. 
 
Nuevamente nos ha quedado planteada una ecuación 
de 1° grado con una incógnita que sabemos resolver 
 
 
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 60
Confirmamos que la solución al sistema esta dado por el par (4, 2) 
No hace falta verificarlo, ya que se hizo al aplicar el otro método. 
También es posible verificar la solución a través de su interpretación gráfica. 
 
Interpretación Gráfica 
 
Consideramos como ejemplo el sistema: 
� 



=+
=+
5yx
x46y3
 
 
Cuya solución está dada por los valores x = 3 e y = 2. 
Es decir que el par (3, 2) verifica simultáneamente ambas ecuaciones del sistema. 
 
En la primera 2
3
4
−= xy 
 
En la segunda 5+−= xy 
 
 
RECUERDA: para representar cada recta, podemos utilizar su pendiente y su 
ordenada al origen. 
El número que multiplica a “x” en la ecuación es la pendiente, determina su 
inclinación, y el término independiente es la ordenada al origen, es decir, el 
punto en el que la recta corta al eje y. 
 
Como ya conocemos un punto por el que pasan las dos rectas, que es el (3,2) 
ubicamos este punto en el gráfico y buscamos otro punto más en cada una de las 
rectas para poder trazarlas. 
 
 
 5 
 
 
 2 
 
 3 
 
 
y 
y = 4/3x-2 
 y = -x + 5 
x 
(Para graficar las rectas que representan 
cada una de las ecuaciones de 1° grado con 
dos incógnitas, despejamos la variable y en 
cada ecuación y obtenemos así las fórmulas 
de las dos funciones lineales). 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC 
INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 61
 
La solución del sistema de ecuaciones cuya representación en el plano son dos 
rectas, está dada por el punto (3, 2) que pertenece a ambas rectas. 
Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales 
 
Cuando resolvemos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, 
podemos encontrarnos ante tres casos: 
 
Qué sucede en el 
gráfico 
Caso Clase de sistema Gráfico 
Las rectas se 
cortan en un punto, 
es decir que tienen 
pendientes 
distintas 
Tiene solución 
única 
Compatible 
determinado 
 
Las dos ecuaciones 
representan la 
misma recta, es 
decir que tienen la 
misma pendiente y 
la misma ordenada 
al origen 
Tiene infinitas 
soluciones 
Compatible 
Indeterminado 
Las rectas son 
paralelas, es decir 
que tienen igual 
pendiente y 
distinta ordenada 
No tiene solución Incompatible 
 
 
Actividad 22 
Resuelve los siguientes sistemas, grafícalos en un sistema de ejes coordenadas y 
luego clasifícalos: 
 
a) 



+−=
+=
x39y3
y3x
 
 
b) 



−=−
=+
1xy
7yx3c) 



−=−
=+
x1y
4yx
 
d) 



=+
=+
12y6x3
4y2x
 
 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC 
INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 62
e) 



=+
=+
13y3x5
8yx2
 
 
f) 



=+
=+
6y3x3
2yx3
 
Con estas actividades damos por concluido el temario dispuesto para el repaso 
previo a cursar la asignatura Análisis Matemático I. 
Esperamos que la revisión de estos temas te haya permitido actualizarlos de 
manera de poder recordarlos cuando debamos recurrir a ellos. 
Por último, te ofrecemos en la página siguiente los símbolos y notaciones usados 
con más frecuencia en matemática, con sus correspondientes significados. 
 
 
 
 
Docentes a cargo 
Recopilación y Diagramación 
Contenidos Básicos de Matemática 
Cra. Graciela Recabarren 
Cra. Silvia Butigué 
Prof. Nancy Scattolini 
 
Diciembre de 2009 
 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS 
 UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO CUARTO 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC 
INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 63
SÍMBOLOS Y NOTACIONES USADOS EN MATEMÁTICA 
SUS CORRESPONDIENTES SIGNIFICADOS 
 
 
"antepertenecie"o"apertenece"::∈ 
"antepertenecieno"o"aperteneceno"::∉ 
"implica":⇒ 
"sisóloysí"o"doblementeimplica":⇔ 
"quetales":/ 
"y":∧ 
"o":∨ 
"todopara"o"searacualesquie":∀ 
"unmenosalexiste":∃ 
"totanpor"o"uenciasecconen"∴ 
"único"! 
"absurdo"!! 
"aiguales"= 
"deointdistes"o"aigualesno"≠ 
"asemejantees"≈ 
"acongruentees"≅ 
"aparalelaes"// 
"alarperpendicues"⊥ 
"initoinf"∞ 
"adeabsolutovalor"o"ademódulo"a 
"quemenores":< 
"queigualomenores":≤ 
"quemenoresno":</ 
"quemayores":> 
"queigualomayores":≥ 
"quemayoresno":>/ 
"enincluidoestá"
o"departees"o"deosubconjuntes"⊆
 
"ennteestrictameincluidoestá"
o"deestrictapartees"o"deestrictoosubconjuntes"⊂
 
"ennteestrictameincluidoestáno"⊄ 
"aincluye"⊃ 
"ciónsecerint"∩ 
"unión"∪ 
N “El conjunto formado por los números naturales” 
Z “El conjunto formado por los números enteros” 
Q “El conjunto formado por los números racionales” 
ℜ “El conjunto formado por los números reales” 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC 
INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA 
 
 64
 
BIBLIOGRAFIA 
 
• HAEUSSLER Ernest y PAUL Richard. “Matemáticas para Administración y 
Economía”. Editorial Iberoamericana. Primera Edición 1992. 
 
• LIAL Margaret, Hungerford Thomas “Matemáticas para Administración y 
Economía”, Editorial Prentice Hall. 
 
• http//www.vitutor.com. ejercicios resueltos ecuaciones