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Modulo matematica Ingreso 2011
paula paciello
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC
INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA
0
UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
INGRESO 2011
MÓDULO DE CONTENIDOS BÁSICOS
MATEMÁTICA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC
INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA
1
Módulo de contenidos básicos
Matemática
Graciela Recabarren
Silvia Butigué
Nancy Scattolini
Universidad Nacional de Río Cuarto
Río Cuarto - Argentina
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UNRC
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2
Recabarren, Graciela
Módulo de contenidos básicos. Matemática / Graciela Recabarren ; Silvia Butigué ; Nancy
Scattolini. - 1a ed. - Río Cuarto : Universidad Nacional de Río Cuarto, 2010.
64 p. ; 30x21 cm.
ISBN 978-950-665-605-8
1. Matemática. 2. Enseñanza Universitaria. I. Butigué, Silvia II. Scattolini, Nancy III. Título
CDD 507.11
Fecha de catalogación: 20/05/2010
Módulo de contenidos básicos. Matemática
Graciela Recabarren, Silvia Butigué y Nancy Scattolini
2010 © by Universidad Nacional de Río Cuarto
Ruta Nacional 36 Km. 601 – (X5804) Río Cuarto – Argentina
Tel.: 54 (0358) 467 6332 – Fax.: 54 (0358) 468 0280
E-mail.: editorial@rec.unrc.edu.ar
Web: http://www.unrc.edu.ar
Primera Edición: Mayo de 2010
ISBN 978-950-665-605-8
Editorial Universidad Nacional de Río Cuarto
Equipo de Producción Editorial
Coordinador: Lic. Miguel A. Tréspidi
Asistencia editorial: Maximiliano Brito
Registro: Lic. Daniel Ferniot
Queda hecho el depósito que marca la ley 11.723
Impreso en Argentina – Printed in Argentina
Queda prohibida la reproducción total o parcial del texto de la presente obra en cualquiera de sus formas, electrónica o
mecánica, sin el consentimiento previo y escrito del Autor.
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3
Estimado lector:
La obra que Usted tiene en sus manos
posee un valor singular, porque es el fruto de conocimientos,
experiencia y mucho esfuerzo por parte de sus autores. La
Universidad Nacional de Río Cuarto ha procurado una
presentación digna y espera concretar su amplia difusión y
comercialización a precios accesibles.
Usted podrá fotocopiar parte de su
contenido para su uso personal. Pero rehuse cualquier ejemplar
fotocopiado ilegalmente, porque ello implicaría un uso ilegítimo
del esfuerzo de los autores y del editor.
La reproducción ilegal, además de estar
penada por los Art. Nº 71 y 72 de la Ley 11.723 y Art. Nº
172 del Código Penal, es una práctica que atenta contra la
creación del conocimiento y la difusión de la cultura.
El respeto a los derechos intelectuales hace
posible que existan mejores libros y más económicos.
Editorial Universidad Nacional de Río Cuarto
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INDICE
CONTENIDOS BÁSICOS. DISCIPLINA MATEMÁTICA 6
Introducción 6
I - LOS NÚMEROS REALES 8
Objetivos 8
¿Con qué conjunto de números trabajaremos? 9
Representación de números reales en la recta 12
Esquema del campo numérico real 12
Actividad 1 13
Actividad 2 13
Características del conjunto de números reales: 13
Propiedades de las operaciones con números reales 14
Actividad 3 26
Actividad 4 27
Exponentes y Radicales 27
Propiedades básicas de los exponentes 27
Propiedades básicas de los radicales 31
Actividad 5 33
Actividad 6 33
II – EXPRESIONES ALGEBRAICAS 35
Objetivos 35
Expresiones algebraicas enteras 36
Operaciones con expresiones algebraicas enteras 36
Actividad 7 38
Actividad 8 38
Actividad 9 38
Productos Notables 39
Actividad 10 40
Reglas de Factorización 40
Actividad 11 41
Actividad 12 42
Actividad 13 42
Actividad 14 43
Actividad 15 43
Expresiones algebraicas racionales 44
Actividad 16 45
III – ECUACIONES 46
Objetivos 46
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5
Ecuaciones con una incógnita 47
Ecuaciones lineales con una incógnita 47
Actividad 17 49
Actividad 18 49
Ecuaciones Cuadráticas 50
Actividad 19 51
Ecuaciones con Módulo 52
Actividad 20 53
Inecuaciones 54
Actividad 21 56
Ecuaciones con dos incógnitas 56
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 57
Métodos de igualación 58
Método por sustitución 59
Interpretación gráfica 60
Clasificación de ecuaciones lineales con dos incógnitas 61
Actividad 22 61
Símbolos y notaciones usados en matemática. Sus correspondientes
significados
63
Bibliografía 64
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CONTENIDOS BÁSICOS - DISCIPLINA MATEMÁTICA
INTRODUCCIÓN
No puede haber un lenguaje más universal ni más simple que el del análisis: más
exento de errores y de oscuridades, es decir más digno de expresar las
relaciones de los seres naturales.
Relaciona los fenómenos más diversos y descubre las analogías secretas que
los une ...” Fragmento tomado de la “Introducción de la teoría analítica del
calor” FOURIER (1822)
El análisis matemático moderno que comprende el estudio de funciones, límites,
derivadas e integrales y que surgió con el propósito de medir y cuantificar el
cambio, serán temas de estudio en la asignatura ANÁLISIS MATEMÁTICO I
que cursarás en el primer cuatrimestre del primer año de estudio de las carreras
de Ciencias Económicas.
En su transcurso, aprenderás a medir y cuantificar los cambios producidos en
funciones económicas de manera de efectuar diagnósticos certeros que
posibiliten la oportuna toma de decisiones.
Como recurrentemente apelaremos a herramental matemático, que suponemos ya
fue estudiado en el Nivel Medio, hemos preparado un breve repaso de aquellos
que, a través de los años detectamos que no son suficientemente recordados y
que por dicho motivo generan confusión y provocan errores en los
procedimientos.
Los temas que desarrollaremos darán respuesta a los siguientes
cuestionamientos:
¿Con qué conjunto numérico trabajaremos?
¿qué propiedades tiene?
¿qué operaciones podemos hacer con ese conjunto de números?
¿Cuáles son las propiedades que más aplicaremos?
¡Atención con los signos!
¡Qué pasa si aparece el cero?
¡Cuidado al simplificar!
¿Operamos con fracciones?
¿Y si aparecen Exponentes y radicales?
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7
¿Incorporamos símbolos? Expresiones algebraicas
Operaciones con expresiones algebraicas
Productos notables y reglas de factorización
Resolución de ecuaciones e inecuaciones
Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Representaciones gráficas
Esperamos que esta breve revisión te posibilite recordar esos conceptos, pero si
adviertes que están muy olvidados o si los recuerdas pero quieres ampliarlos,
durante el mes de Febrero tendremos oportunidad de trabajarlos en conjunto de
manera que puedas aplicarlos sin dificultad cuando en el transcurso de la materia
debamos recurrir a ellos.
Los temas que se incluyen en este repaso están presentes en cualquier texto del
ciclo secundario, por lo que si quieres ampliarlos o reforzar la ejercitación,
podrás ubicarlos fácilmente.
Hemosseleccionado para esta oportunidad temas que, en base a nuestra
experiencia, detectamos que no son suficientemente recordados.
Nos avocaremos específicamente a su repaso. El Cronograma propuesto es el
siguiente:
PRIMERA SEMANA: REPASO DE ALGEBRA
Comenzaremos repasando cómo se forma el conjunto de los números reales,
veremos las operaciones que pueden realizarse con ese conjunto, revisando
algunas de las propiedades que más aplicaremos, también trabajaremos con
expresiones algebraicas. Concluiremos la semana recordando las reglas de
factorización y su aplicación para factorizar expresiones y simplificar
fracciones.
SEGUNDA SEMANA: REPASO DE ECUACIONES
Trabajaremos con ecuaciones lineales y cuadráticas, resolveremos inecuaciones
lineales sencillas, con y sin módulo, introduciendo la notación de intervalo, para
culminar con sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y métodos
de resolución.
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I
LOS NUMEROS REALES
• CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS REALES
• OPERACIONES ARITMETICAS CON NÚMEROS REALES
PROPIEDADES
• EXPONENTES Y RADICALES - PROPIEDADES
OBJETIVOS
• Familiarizarse con el campo numérico real y la recta de los
números reales.
• Operar con números reales y aplicar sus propiedades.
• Enlistar e ilustrar las propiedades que con más frecuencia se
aplican erróneamente en la resolución de las operaciones con
reales.
• Revisar particularmente los exponentes enteros positivos, el
exponente cero, los exponentes enteros negativos, los
exponentes racionales, las raíces principales y las propiedades
básicas de los exponentes y radicales.
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¿CON QUÉ CONJUNTO DE NÚMEROS TRABAJAREMOS?
Recordemos que, cuando mencionamos un conjunto, nos estamos refiriendo a un
grupo de objetos.
A su vez, cada objeto que se encuentra en un conjunto se denomina elemento.
Un conjunto puede especificarse listando sus elementos en cualquier orden
dentro de llaves, en este caso, se dice que el conjunto está definido por
extensión o enumeración:
Por ejemplo: A = {a, e, i, o, u}
Pero, como frecuentemente trabajaremos con conjuntos que tienen infinitos
elementos, en vez de listarlos, generalmente, describiremos las características
de sus elementos, que es otra manera de designarlo; en este caso, se dice que
está definido por comprensión:
En nuestro ejemplo: A = {x/x sea una vocal} indica que sus elementos cumplen
la condición o característica común de ser vocales.
Volviendo a nuestro interrogante: ¿Con qué conjunto de números
trabajaremos?
Con el CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES
En símbolos podemos indicarlo
ℜℜℜℜ ==== {{{{x/x pertenece al conjunto de los números reales}}}}={ }ℜ∈x/x
esta expresión indica que los reales son un conjunto formado por los elementos
“x” que cumplen la condición de pertenecer al conjunto de los números reales.
Se llega al conjunto de los números reales a través de sucesivas ampliaciones de
los conjuntos numéricos, debido a la necesidad de ir resolviendo más
operaciones.
Con el conjunto de los números naturales, } }{{ ΝεΝ x/xó.,3,2,1: L , que se
utilizan para contar, y que lo simbolizamos entre llaves, nombrando los primeros
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elementos y escribiendo tres puntos suspensivos, dado que el listado continúa sin
fin, pues siempre es posible nombrar el número natural que le sigue, podemos
sumar y multiplicar, obteniendo como resultado otro número natural, pero no
siempre es posible restar y dividir dos números naturales y obtener como
resultado otro número natural. Además, no todas las raíces de números naturales
da como resultado otro número natural, por ejemplo 24 = , siendo 2 un número
natural, pero 3 no da como resultado otro número natural.
Surge entonces, el conjunto de los enteros negativos, { }1,2,3,4,:Z −−−−− L , que
junto al cero y a los naturales (también llamados enteros positivos, NZ ≡+ ),
forman el conjunto de los números enteros, { } −+ ∪∪= Z0ZZ , donde es posible
resolver, además de la suma y multiplicación, la resta y obtener como resultado
otro número entero.
Como dentro del conjunto de los números enteros, no todas las divisiones de dos
números enteros dan como resultado otro número entero y esto ocurre cuando el
dividendo no es múltiplo del divisor, aparecen los números fraccionarios, F, que
dan solución a esta situación y que junto a los enteros forman el conjunto de los
números racionales, simbolizado con una Q. Comprende a todo número que
pueda expresarse como un cociente
q
p , donde tanto """" qcomop son enteros y
0≠q (IMPORTANTE no existe la división por cero).
Son ejemplos de números racionales:
3
4 ; 0,5 (ya que puede expresarse como
10
5 ); 2 (ya que puede expresarse como
1
2 );
etc..
Existen dos maneras de escribir un mismo número racional, como fracción o en
forma decimal resolviendo el cociente.
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11
En éste último caso podemos obtener una expresión decimal exacta (la división
tiene resto cero), por ejemplo: 1,5 que se obtiene de
2
3 ; o una expresión con
infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente (la división no tiene
resto cero, dando lugar a los números decimales periódicos puros o mixtos, según
si las cifras decimales que se repiten comienzan inmediatamente después de la
coma o no, respectivamente), por ejemplo: ...22222222,02,0 =
)
que proviene de
9
2 ,
y ...1444444444,041,0 =
)
que proviene de
90
13 .
Completa el conjunto de los números reales,ℜ , el subconjunto de los números
irracionales, I. La particularidad de los números irracionales es que no pueden
ser escritos como una división entre enteros y se expresan con infinitas cifras
decimales NO periódicas. Es decir, los números irracionales son decimales cuya
forma no es finita ni periódica. Algunos provienen de raíces no exactas.
Veamos por ejemplo, algunos de los números irracionales más conocidos:
e = 2,7182818… (Número base del logaritmo natural)
pi = 3,141592654... ; ...73205080,13 = ; etc.
Los números racionales y los números irracionales, forman el conjunto de los
números reales: IQ ∪=ℜ
Pueden ser representados por puntos en una recta.
Para ello, primero se selecciona un punto en la recta que representa el cero,
llamado origen, luego se elige un segmento unidad, cuya medida se marca
sucesivamente a la derecha y a la izquierda del cero. Con cada punto sobre la
recta asociamos un número con signo, que depende de la posición del punto con
respecto al origen. Las posiciones a la derecha del origen son consideradas
positivas y a la izquierda negativas. De esta manera, a cada punto sobre la recta
le corresponde un número real único, y a cada número real le corresponde un
único punto sobre la recta. De allí que la llamamos recta de números reales.
Observa en la siguiente recta real la representación de algunos números
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REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EN LA RECTA
Las sucesivas ampliaciones se muestran en el cuadro siguiente:
Las sucesivas ampliaciones se muestran en el cuadro siguiente:
LOS NÚMEROS REALES
Números naturales (N) o enteros positivos ( +Z )
Lo simbolizamos } }{{ ΝεΝ x/xó.,3,2,1: L
El cero 0Enteros negativos ( −Z ) { }1,2,3,4,:Z −−−−− L
Enteros (Z), formado por la unión de los números naturales, el cero y los números enteros
negativos:
Lo simbolizamos { } −+ ∪∪= Z0ZZ
} }{{ Zx/xó.,3,2,1,0,1,2,3,:Z ε−−− LL
Números racionales (Q) formado por la unión de los números enteros (Z) con los
fraccionarios (F). FZQ ∪=
Es decir, todos los números de la forma p/q, donde p y q son enteros, con q ≠0, cuya
representación decimal es un número exacto o poseen infinitas cifras decimales que se
repiten periódicamente.
Números irracionales ( I ), aquellos representados por números decimales que poseen
infinitas cifras que no se repiten periódicamente.
Números reales (ℜ ), formado por la unión de los racionales e irracionales
IQ ∪=ℜ
Podemos realizar el siguiente ESQUEMA DEL CAMPO NUMÉRICO REAL
ℜ
−
+
I
Q
F
Z
Z
)cero(0
)Zó(N
-2 -1 0 1 2 2 25 3
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Con este conjunto de números que nos permite sumar, restar, multiplicar, dividir,
resolver potencias y raíces (excepto raíces de índice par de números negativos
para cuya resolución deberíamos ampliar más el conjunto numérico),
trabajaremos en este curso.
Actividad 1
Escribe a qué conjunto numérico Q (racional) o I (irracional) pertenece cada uno
de los siguientes números:
2 ∈ ; - 2 ∈ ; 1,434343... ∈ ; 0,123456 ... ∈ ; 1,1415 ∈ ;
5
3
∈ ;
3
5
− ∈ ; 132 ∈ ;
∩
98,1 ∈ ; -2,565758... ∈ ; 3 7 ∈ ; 81 ∈
Actividad 2
Traza una recta, selecciona un punto para representar el origen, elige una unidad
de medida y representa los siguientes números reales:
-3 ; 2,5 ;
3
4
; -
2
1
; pi
Nombremos las principales CARACTERÍSTICAS del conjunto de números reales:
• Es infinito
• No tiene primer ni último elemento
• Es un conjunto denso, pues entre dos números reales existe siempre un número
infinito de números reales
• El conjunto de números reales completa la recta numérica ya que si sobre una
recta fijamos un origen y un segmento unidad, a cada número real corresponde
un punto en la recta y a todo punto de la recta corresponde un número real.
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Para trabajar con un conjunto numérico debemos tener presente las propiedades
de las operaciones que se verifican en él, por ello repasaremos brevemente las
que se verifican en el conjunto de los números reales.
Muchos de los errores que se cometen al operar con números reales surgen por
desconocimiento u olvido de algunas de ellas.
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Damos a continuación las propiedades básicas importantes de las operaciones con
números reales.
Comencemos con las PROPIEDADES DE LA SUMA Y EL PRODUCTO DE
NÚMEROS REALES.
Para todos los números reales a, b y c, se cumplen las siguientes propiedades
PROPIEDADES EJEMPLO
abba +=+ ;
abba ⋅=⋅
2332 +=+ ;
( ) ( ) 155335 −=⋅−=−⋅
( ) ( )cbacba ++=++
( ) ( )cbacba ⋅⋅=⋅⋅
( ) ( )532532 ++=++
( ) ( )543543 ⋅⋅=⋅⋅
a0a =+ y aa0 =+ 303 =+ y 330 =+
00a =⋅ y 0a0 =⋅ 002 =⋅ y 020 =⋅
a1a =⋅ y aa1 =⋅ 515 =⋅ y 551 =⋅
( ) ( ) 0aaaa =+−=−+ ( ) ( ) 04444 =+−=−+
1
a
1
a =⋅ y 1a
a
1
=⋅ si 0a ≠ 1
7
17 =⋅ y 17
7
1
=⋅
( ) cabacba ⋅+⋅=+⋅ ( ) 4232432 ⋅+⋅=+⋅
( ) cabacba ⋅−⋅=−⋅ ( ) 4525425 ⋅−⋅=−⋅
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De todas las propiedades que hemos enunciado, trataremos especialmente
algunas de las que ocasionan más errores al operar con dicho conjunto de
números.
Comenzaremos con la:
• Propiedad asociativa de la suma y el producto
Establecen que si a, b y c son números reales, entonces
( ) ( )cbacba ++=++ y ( ) ( )cbacba ⋅⋅=⋅⋅
Significa, que tanto en la suma como en el producto, los números pueden
agruparse en cualquier orden
Veamos estos ejemplos:
� ( ) ( ) 9432432432 =++=++=++
� ( ) 15
2
1310
2
1310
2
1310 =⋅⋅=
⋅⋅=⋅⋅
¡ATENCIÓN! Advierte que ni la resta ni la división tienen esta propiedad, y
esto es porque el orden en que se agrupan los números alteran el resultado
Veamos estos ejemplos:
� (16 : 4) : 2 = ≠ 16 : (4 : 2) =
4 : 2 = 2 16 : 2 = 8
� (10 – 5) – 3 = ≠ 10 – (5 – 3) =
5 – 3 = 2 10 – 2 = 8
Otra de las propiedades de las operaciones con números reales que aplicaremos
frecuentemente es la:
• Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la
resta
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Como su nombre lo indica, “distribuye” la operación producto “dentro” de la suma
o la resta.
Se simboliza ∈∀ cyb,a ℜℜℜℜ: a . ( b + c) = a b + a c ó (b + c) . a = b a + c a
a . (b – c) = a b – a c ó (b – c) . a = b a – c a
Establece que si un número multiplica la suma (ó resta) de otros, es posible
resolver la suma (ó resta) y luego multiplicar el resultado por el factor ó
multiplicar el factor por cada término de la suma (ó resta) y por último sumar (ó
restar) los resultados parciales.
Esta última opción es la que aplica la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma de números reales.
Veamos dos ejemplos en los que efectuamos ambas opciones para que se aprecie
que el resultado al que se arriba es el mismo.
Por ejemplo:
� 2 ( 3 + 5) = 2 . 3 + 2 . 5 = 16 (Distribuimos el factor 2)
2 . 8 = 6 + 10 = 16 (Resolvimos primero el paréntesis)
Otro ejemplo:
� ( ) 6138
4
4
4
12
4
3241232
4
1
=+−=+−=+−⋅ (Distribuimos
4
1 )
( ) 6
4
2424
4
1
==⋅ (Resolvimos primero el paréntesis)
¡ADVIERTE! En este último ejemplo se incluyeron más de dos términos en el
paréntesis para mostrar que también es aplicable la propiedad distributiva
del producto a la suma algebraica.
Además el número real que multiplica al paréntesis es un número fraccionario
por lo que, recuerda que su numerador multiplica a cada término del
paréntesis y su denominador lo divide.
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La propiedad establece que el producto es distributivo con respecto a la suma,
por lo que no hay que confundir la propiedad en el otro sentido: La suma NO es
distributiva con respecto al producto.
Es decir que si la operación a realizar es 2 + ( 3 . 5), no confundirse queriendo
aplicar la propiedad.
Veamos a través de los dos procedimientos (uno correcto y el otro incorrecto)
que los resultados a los que se arriba son diferentes.
Procedimiento correcto Procedimiento incorrecto
� 2 + (3 . 5) ≠(2 + 3) . (2 + 5) (Se distribuyó la suma)
2 + 15 ≠ 5 . 7
17 ≠ 35
En estos casos primero se debe resolver la operación indicada dentro del
paréntesis y luego se le suma el término que está fuera del paréntesis.
Otras propiedades que podemos recordar. Si a, b, c y d son números reales,
(distintos de cero cuando figuran como denominador):
PROPIEDADES EJEMPLO
a - ( - b) = a + b 2 - ( - 3 ) = 2 + 3 = 5
(-1) a = - a ( -1 ) . 4 = - 4
- (a + b) = - a – b - ( 2 + 5) = - 2 – 5 = -7
- (a – b) = -a + b - ( 3 – 4 ) = - 3 + 4 = 1
- (-a) = a - ( - 9 ) = 9
(-a) b = - ab (- 8 ) . 6 = - 8.6 = - 48
(-a) (-b) = ab ( - 2 ) . ( - 4 ) = 2 . 4 = 8
b
a
b
1
a =
4
3
4
13 =
⋅
b
a
b
a
b
a
−=
−
=
−
3
2
3
2
3
2
−=
−
=
−
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18
0acon0
a
0
≠= 0
3
0
=
b
a
b
a =
5
4
54 =
bd
ac
d
c
.
b
a
=
45
32
4
3
.
5
2
⋅
⋅
=
b
a
bc
ac
c
c
.
b
a
==
5
2
35
32
3
3
.
5
2
=
⋅
⋅
=
Esta última propiedad constituye la
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FRACCIONES según la cual, si
multiplicamos o dividimos numerador y denominador de una fracción por un
mismo número (excepto el 0), obtenemos una fracción equivalente a la dada.
Por último, recordamos estas tres propiedades
c
ba
c
b
c
a ±
=±
4
32
4
3
4
2 ±
=±
bd
bcad
d
c
b
a ±
=±
54
4352
5
3
4
2
⋅
⋅±⋅
=±
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
=⋅=÷=
43
52
4
5
3
2
5
4
3
2
5
4
3
2
⋅
⋅
=⋅=÷=
OBSERVA la última propiedad, corresponde a un cociente de fracciones, que
se resuelve realizando el producto de extremos sobre producto de medios, o
también convirtiendo el cociente en multiplicación de la fracción que figura
como numerador por la fracción inversa que figura en el denominador.
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Hemos recordado al conjunto de los números reales, sabemos qué operaciones
podemos hacer con ellos y repasamos algunas de las propiedades más
importantes.
¿Estamos en condiciones de comenzar a realizar operaciones con ellos y aplicar
sus propiedades?
Creemos que sí, no obstante, nos parece importante que previo a ello te
advirtamos sobre errores que por su frecuencia justifican que nos detengamos a
considerarlos.
La revisión de algunos procedimientos que frecuentemente ocasionan errores,
permitirá que reflexionemos sobre ellos para que puedas evitarlos.
La manipulación de números reales es esencial
para tener éxito en matemáticas
RECOMENDACIONES AL OPERAR CON NÚMEROS REALES
En muchos casos la aparición del signo menos (-) requiere un poco más de
atención, por ello a través de algunos ejemplos te plantearemos situaciones que
suelen provocar errores:
Si la operación a realizar es:
� 3 + (5 – 2) = 3 + 5 - 2 = 6
3 + 3 = 6
En cambio, si el paréntesis está precedido de un signo menos (-), para suprimirlo
debe cambiarse el signo de todos los términos de la expresión que figura dentro
del paréntesis:
¡ATENCIÓN CON LOS
SIGNOS!
(El paréntesis puede suprimirse sin
ninguna consecuencia)
(Obtenemos lo mismo si resolvemos
dentro del paréntesis)
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20
� 3 - (5 – 2) = 3 – 5 + 2 = 0
3 - 3 = 0
¡ADVIERTE lo que hubiera sucedido si eliminamos el paréntesis sin cambiar
los signos!
Procedimiento incorrecto
� 3 - 5 - 2 = - 4
ACLARACIÓN: Este procedimiento surge de aplicar la propiedad distributiva
del producto respecto de la suma, ya que el signo menos representa el
factor (-1) que al multiplicar a cada término del paréntesis le cambia el
signo por aplicación de la ley de los signos.
La llamada Ley de los signos se aplica tanto para el producto como para el
cociente de números reales
LEY DE LOS SIGNOS
Producto Cociente
(+) .( +) = + (+) : (+) = +
(-) .( -) = + (-) : (-) = +
(+) .( -) = - (+) : (-) = -
(-) .( +) = - (-) : (+) = -
Ejemplos:
� (-3) (-5) = 15
� ( ) ( ) ( ) 153
2
1251 −=−⋅⋅−⋅⋅−
¡PRECAUCIÓN! Cuando intervienen más de dos factores se debe prestar
atención a los signos que van asumiendo los resultados parciales.
Si hay un número impar de factores negativos el resultado será negativo, si
el número de factores con signo negativo es par, el resultado será positivo.
(Si resolvemos dentro del paréntesis
obtenemos el mismo resultado)
(El paréntesis puede suprimirse
cambiando signos)
(No se cambiaron los signos
al suprimir el paréntesis)
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INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA
21
Veamos otro ejemplo en el que se combinan productos con cocientes:
� 4)6(
)2(3.)4(
−=
−
−−
Tener cuidado con los signos es importante, sobre todo en aplicaciones donde un
signo erróneo nos estaría informando, por ejemplo, de la existencia de Ganancias
cuando en realidad hay Pérdidas o viceversa.
Otro elemento que suele provocar errores es la aparición del cero, por ello
también te decimos:
Si aparece el cero como factor de un producto, cualquiera sea el número o el
signo de los demás factores, anula todo el resultado
Ejemplo:
� ( ) 0
3
202503 =
−⋅⋅−⋅⋅
Si aparece en un cociente como dividendo, también el resultado es nulo
Ejemplo:
� 0 : 3 = =
3
0 0
En general el cero dividido por cualquier otro número, da como resultado 0,
con la sola excepción de que el denominador también sea cero, ya que la
expresión
0
0
no tiene solución.
Si el cero aparece como divisor de un cociente, la operación NO tiene
solución.
Ejemplo:
�
0
2− NO TIENE SOLUCION
¡CUIDADO CON EL
CERO!
(No hay ningún real que
multiplicado por cero nos de -2)
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INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA
22
Veamos otro ejemplo:
� )4.(0.2
15).3).(1(
−
−−
NO TIENE SOLUCION
No pudimos resolver ese cociente porque el cero anula el denominador y como la
división por cero no existe, el cociente no puede resolverse.
Otro error muy frecuente se comete al intentar simplificar, es por ello que
también te recomendamos:
Las simplificaciones suelen complicarse cuando trabajamos con números
fraccionarios. Esto es a causa de que la aparición de numeradores y
denominadores combinados en distintas operaciones, promueven simplificaciones
de la expresión que no siempre son las correctas.
Para ello, reunamos nuevamente las reglas básicas de las fracciones.
Si a, b, c y d son números reales, (siendo éstos distintos de cero cuando figuran
como denominador):
PROPIEDADES EJEMPLO
bd
ac
d
c
.
b
a
=
45
32
4
3
.
5
2
⋅
⋅
=
b
a
bc
ac
c
c
.
b
a
== (Prop. Fundamental)
5
2
35
32
3
3
.
5
2
=
⋅
⋅=
c
ba
c
b
c
a ±
=±
4
32
4
3
4
2 ±
=±
bd
bcad
d
c
b
a ±
=±
54
4352
5
3
4
2
⋅
⋅±⋅
=±
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
=⋅=÷=
43
52
4
5
3
2
5
4
3
2
5
4
3
2
⋅
⋅
=⋅=÷=
¡ PRECAUCION AL
SIMPLIFICAR!
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23
Como regla general, en cuanto a la simplificación de fracciones, podemos afirmar
que en la multiplicación de fracciones es posible simplificar numeradores con
denominadores, y que si se las divide es posible simplificar numeradores y
denominadores entre sí
Ejemplo:
�
3
4
5
4
3
5
=
/
⋅
/
Recuerda que al multiplicar fracciones se obtiene una nueva fracción cuyo
numerador es el resultado de multiplicar los numeradores y su denominador, el
producto de los denominadores.
Resolvemos
� =
5.3
4.5
3
4
15
20
3
4
=
También se pudo haber simplificado antes de efectuar la operación:
=⋅
1
1
5
4
3
5
3
4
Los dos procedimientos de simplificación fueron correctos y permitieron arribar
a igual resultado
Si se trata de una división de fracciones, se resuelve multiplicando el numerador
de la primera fracción por el denominador de la segunda para formar el
numerador del resultado y dividiéndola por el producto entre el denominador de
la primera fracción por el numerador de la segunda
Ejemplo:
�
2
3
12
18
4.3
9.2
9
4
:
3
2
== =
2
3
También, se pudo haber simplificado numeradores y denominadores entre sí,
previo a efectuar el cociente y el resultado hubiese sido el mismo.
(Hemos simplificado por 5,
numerador y denominador)
(Hemos simplificado por 6,
numerador y denominador)
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24
�
2
3
2.1
3.1
9
4
:
3
2
3
2
1
1
==
La misma operación pudo estar indicada con línea de fracción
�
2
3
12
18
9
4
3
2
= =
2
3
También se pudo haber simplificado antes de efectuar el cociente, extremos con
medios.
Estas simplificaciones que redujeron en forma correcta, multiplicaciones y
divisiones de fracciones, suelen trasladarse, erróneamente a operaciones de
suma y resta de fracciones.
Veamos un ejemplo de suma de fracciones en donde cometimos un error muy
común:
Procedimiento incorrecto
� =+
5
4
2
1
2
1
Es frecuente, el tratar de simplificar el 2 con el 4 por ser ambos divisibles por 2
y aparecen como numerador y denominador respectivamente, sin advertir que en
esta caso las fracciones están sumadas y que deberá resolverse sacando común
denominador
La única simplificación válida en operaciones de suma y resta de fracciones es
cuando es posible reducir el numerador con el denominador de la misma fracción,
y luego se resuelve a través del procedimiento de suma o resta de fracciones.
Veamos el procedimiento correcto del ejemplo dado:
�
105
4
2
1
=+
(10 : 2) . 1 = 5 y (10 : 5) . 4 = 8
(Multiplicamos extremos y lo dividimos
por el producto de los medios, por último
simplificamos por 6, numerador y
denominador)
(Primero buscar un denominador
común que sea divisible por ambos
denominadores)
(Segundo, dividir ese denominador
común por cada denominador para
luego multiplicarlo por el numerador
respectivo)
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25
10
13
10
85
5
4
2
1
=
+
=+
El proceso inverso también puede realizarse
Si tenemos operaciones de suma o resta en el numerador con un denominador en
común, podemos distribuir ese denominador en cada término del numerador
Ejemplo:
�
5
2
5
11
5
3
5
1
5
21131
−++−=
−++−
Pero si en el numerador tenemos un producto con un denominador común
¡CUIDADO!, el denominador no se distribuye en ese producto.
Observa:
�
100
40
10
8
.
10
5
10
40
10
8.5
=≠=
Hemos visto que podemos distribuir un mismo denominador en una suma, pero
si la suma está en el denominador, es posible distribuir ese numerador?
¡ATENCIÓN! Tampoco es posible efectuar esa distribución
Ejemplo:
�
10
21
10
615
5
3
2
3
7
3
52
3
=
+
=+≠=
+
RECUERDA: siempre debemos prestar atención cuando operemos con
números, pero PRESTEMOS ESPECIAL ATENCIÓN cuando advirtamos signos
negativos, el cero, cuando queramos simplificar y cuando aparezcan
fracciones.
(Resolvemos la suma en el
numerador)
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26
Teniendo en cuenta las propiedades que repasamos, resolveremos las actividades
siguientes, comenzando con operaciones combinadas sencillas, hasta incrementar
el grado de dificultad.
Actividad 3
Resolver las siguientes operaciones con números reales
a) =+ 9
3
2
ATENCIÓN: a veces elegimos simplificar la expresión, para facilitar el cálculo, pero
cuidado en este caso NO SE PUEDEN SIMPLICAR el 3 con el 9
Para resolver la operación se debe sacar común denominador ó también se puede
resolver el cociente
3
2 expresándolo como decimal y recién sumarle el 9.
b) =−− )
4
1(9.
3
5
RECUERDA que los signos + y – separan términos, por lo que se debe resolver
primero lo que está encerrado entre paréntesis. El signo menos delante del
paréntesis cambia el signo de lo que aparece adentro y por último, en este caso el
3 puede simplificarse con el 9.
c) =+− )52(.4
Existe un factor: el 4 que multiplica una suma, esta es una de las propiedades que
más se utilizan en las operaciones con números reales, la PROPIEDAD
DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA.
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27
Actividad 4
Identifica el error que se cometió en cada caso para arribar al resultado
indicado y obtiene el resultado correcto
a)
7
3
4
1
3
2
=+ b) - 2 . ( 3 – 5) = -11
Avanzando un poco más con las operaciones con números reales, incluimos en este
repaso los exponentes y radicales
EXPONENTES Y RADICALES
¿Recuerdas qué operación indica una potencia con exponente entero?
La expresión 23 es una potencia de base 2 y exponente 3 que se resuelve
multiplicando tantas veces la base como lo indica el exponente.
Por ello 82222
2el
veces3
mosmultiplica
3
=⋅⋅= 321
¡ CUIDADO ! A veces suele confundirse la potencia con un simple producto y
se resuelve 23 INCORRECTAMENTE como 2 . 3 = 6 .
Recordemos las PROPIEDADES BASICAS DE LOS EXPONENTES
PROPIEDADES EJEMPLO
43421 L
factoresn
.x x. x . x
n
x = 43421
factores 5
2.2.2 . 2 . 225 =
nmmn xxx +=⋅
53232 xxxx ==⋅ + ; 256222 853 ==⋅
0xsi1x0 ≠= 120 =
44 344 21 L
factoresn
.x x.. x . x
1
nx
1nx ==−
8
1
2
12 3
3
==
−
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28
PROPIEDADES EJEMPLO
n
n
x
x
1
=
−
5
5 xx1
=
−
; 33 22
1
=
−
mn
nm
n
m
x
1
x
x
x
−
−
==
162
2
12
2
2 4
128
812
8
12
====
−
−
16
12
2
1
2
12
2
2 4
4812
128
12
8
=====
−
−
−
1xx
x
x 0mm
m
m
===
−
1
2
2
4
4
=
( ) n.mnm xx =
( ) 153.535 xxx == ; ( ) 64222 62.323 ===
( ) nnn yxxy =
( ) 333 4242 ⋅=⋅
n
nn
y
x
y
x
=
27
8
3
2
3
2
3
33
==
nn
x
y
y
x
=
−
9
16
3
4
4
3 22
=
=
−
Veamos un ejemplo en el que aparece una potencia en uno de los factores de un
producto:
� ( )
4
2
1
.8
− =
ADVIERTE que en este producto no es posible simplificar el 2 con el (-8) ya
que el 2 está afectado por el exponente 4 y el (-8) no lo está.
( ) =− 4
4
2
1
.8
( ) =−
16
1
.8
( ) =−
16
1
.8
2
1
−
Hemos recordado cómo se resuelven las potencias de exponente entero positivo,
pero ¿qué sucede si el exponente es cero o un número entero negativo?
(Como el exponente afecta solo a uno de los factores,
primero se debe resolver potencia y luego multiplicar ese
resultado por el otro factor (-8))
(La potencia es distributiva respecto del cociente y del
producto, por lo que, podemos distribuir el exponente 4
en el numerador y en el denominador de la fracción,
resolver las potencias obtenidas y por último simplificar)
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29
Retomemos algunas de las propiedades mencionadas en el cuadro anterior
TODO número (excepto el cero) elevado al exponente 0, da por resultado 1.
Ejemplos:
� 1150 = ,
� 1
2
3 0
=
−
�
00 NO TIENE SOLUCIÓN
Si, en cambio, el exponente de la potencia es un número entero negativo:
PROCEDIMIENTO CORRECTO para resolverlo consiste en elevar al inverso
multiplicativo de la base al mismo exponente pero con signo positivo.
¿Recuerdas cómo se obtienen los inversos multiplicativos o recíprocos?
El recíproco de
5
4
es
4
5
El de 3 es
3
1
El de -3 es
3
1
− (advierte que no cambiamos el signo)
El de 1 es 1
1
1
=
El de 0 NO EXISTE porque sería
0
1 y la división entre cero no está definida.
Por ejemplo: Resolvamos una potencia con exponente negativo.
� 4
25
2
5
2
5
5
2
2
222
==
=
−
Veamos otro ejemplo combinando el producto y el exponente negativo.
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30
� ( )
2
3
27
−
⋅−
( )
( )
196
9
4
9
49
1
2
3
7
1
3
2
.7
3
27
22
2
2
2
=⋅=
=
⋅
−=
=
−=
=
⋅−
−
−
−
Aclaración: también se pudo haber resuelto de esta otra forma:
( ) =
⋅−
−2
3
27
196
9
14
3
3
14 22
=
−=
−=
−
RECOMENDACIÓN: a medida que se van combinando operaciones, se
acrecienta la posibilidad de cometer errores, sobre todo al operar con signos
y al efectuar simplificaciones incorrectas, por ello es conveniente realizar
paso a paso cada operación, por lo menos hasta adquirir la práctica
suficiente.
Hemos recordado cómo se resuelve una potencia que tiene por base un número
entero, pero ¿qué sucede si en la potencia aparece un exponente fraccionario?
¿Cómo resolvemos, por ejemplo, la potencia 2
3
4 ?
PROCEDIMIENTO: una potencia de exponente fraccionario da origen a una
raíz de índice igual al denominador de la fracción y que tiene como radicando
a la base de la potencia, que queda elevada a un exponente igual al
numerador de la fracción.
En nuestro ejemplo 2
3
4 = 2 34 = 2 64 = 8
(Como la potencia es distributiva respecto del
producto, primero se distribuyó el exponente (-2)
en cada uno de los factores de la base.
Como el exponente de las potencias tiene signo
negativo se tomó el recíproco de cada factor y se lo
elevó al exponente 2.
Por último se multiplicaron los resultados
parciales)
(Primero se resuelve el producto dentro del
corchete, luego se eleva a (-2) este resultado parcial;
como el exponente (-2) es negativo, se eleva al
exponente 2 el recíproco del resultado parcial y por
último se calcula la potencia.
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31
La potencia de exponente fraccionario da origen a una raíz
RECUERDA: Extraer la raíz a un número es encontrar otro, tal que elevado
al índice de la raíz permita obtener el radicando.
Es decir que para resolver estas potencias de exponentes fraccionarios debemos
saber resolver raíces.
Recordemos, entonces, las PROPIEDADES BASICAS DE LOS RADICALES
PROPIEDADES EJEMPLO
n xX n
1
=
5 33 5
1
= ; 288 33
1
==
n x
1
x
1
x
n
1
n
1
==
−
2
1
4
1
4
14
2
1
2
1
===
−
nnn yxyx ⋅=⋅
3333 182929 =⋅=⋅ ;
3273939 3333 ==⋅=⋅
n
n
n
y
x
y
x
= 28
10
80
10
80 33
3
3
===
nmm n xx ⋅= 123 4 22 =
( )mnn m xxx nm ==
( ) 42888 2233 232 ====
( ) xx mm = ( ) 77 88 =
Resolvamos mentalmente algunas raíces sencillas
�
3 8 = 2 porque 823 =
� 3814 =
� 115 =
�
5
2
25
4
25
4
==
Del último ejemplo planteado se puede deducir que:
• Cuando no se indica el índice de la raíz, se interpreta que el índice es
2 (también se la conoce como raíz cuadrada) y
• La radicación al igual que la potencia es distributiva con respecto al
producto y al cociente.
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32
Veamos un ejemplo de combinaciones sencillas de exponentes y radicales:
� =
+
−
6
1
.
4
51
4
1
.
8
1 2
3
Iremos resolviendo paso a paso las operaciones, para que se adviertan los pasos
que vamos ejecutando:
¡ATENCIÓN! La radicación al igual que la potenciación NO es distributiva
respecto de la suma, por lo que primero se debe resolver la suma y luego
extraerle la raíz al resultado parcial.
Con estos resultados parciales obtenemos:
32
4
1
8
6
1
2
3
61
2
1
6
1
4
51
4
1
.
8
1
2
1
8
1
2
3
==
/
⋅
/
/⋅
/
=
⋅+
−
Hasta aquí hemos desarrollado un breve repaso de las operaciones con números
reales, describiendo a través de ejemplos los procedimientos más comunes y
advirtiendo sobre los errores más frecuentes.
Para que ejerciten los temas vistos, les proponemos las siguientes actividades:
(Para resolver el producto del numerador, primero se debe
extraer la raíz cúbica de uno de los factores
2
1
8
1
3 = y
resolver la potencia del otro factor 16
1
4
4
1 22
=
=
−
.
Mientras tanto, en el denominador se deberá resolver la
raíz cuadrada de la suma
2
3
4
9
4
54
4
51 ==+=+ y
luego multiplicar el resultado por
6
1 )
6
1
2
3
16
2
1
6
1.
4
51
4
1
.
8
1 2
3
⋅
⋅
=
+
−
(Simplificando los productos de fracciones
y resolviendo la última fracción obtenida, se
llega al resultado definitivo)
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33
Actividad 5
Resolver las siguientes operaciones.
a)
−−
−
2
3
2
2
13
= b) =
−
−−
5
11
3
1
5
2
c) =
−
−−
1
3
1
2
3
3
2
¡ A SEGUIR TRABAJANDO !
Actividad 6
Resolver las siguientes operaciones combinadas, aplicando propiedades.
a) =−+ 5.
5
13:
5
1
3
5
.
3
2
b) =−+− )
4
3
.(
2
1
3
7
.
7
1
2
3
.
9
1
c) =+−+− 1
7
2
14
5
7
1
2
1
d) =−+
−−
4
1
6
5
2
7
2
1
12
5
e) =
−− 221
4
3
:
4
3
.
3
4
f) ( ) ( ) ( ) =−−− −−− 132 2:2.2
g) ( ) =
−
7254
347
2:2.2
2:2:2
h) ( ) ( ) ( ) =−−− −4 286 2.2.2
i) =
−
−1
22
7
.4
4
25
.
121
49
j)
=
−−
+
−−− 4
3
121
2
1
.
8
1
5
9
.
5
9
5
9
k) =
+
−
−
−1
2
2
4
3
1
3
4
32
l) =+
−
+
9
7
12
113
3
4
2
1 2
m)
=−
+
−
)12.(
1
25
11
1
3
1 2
n) =−
−
−
−
−
1
2
3
3
1
)2(
)3(
.)2()3(
1
.
4
3
o) =
+
+−−
+−
− 3
1
2
1
8
1
9
4
8
71
7
6
:
3
5
2
1 3
2
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INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA
34
Si combinamos los conjuntos numéricos vistos anteriormente, con la idea de
variable (una letra como número generalizado) llegamos al concepto de
ÁLGEBRA.
El cálculo algebraico nace como una generalización del modelo numérico.
Así como para trabajar con modelos aritméticos ó numéricos tuvimos que
aprender a realizar cálculos con números, para trabajar con un modelo algebraico
debemos ser hábiles en cálculos con variables. Por ello en esta segunda parte se
combinarán números representados con símbolos, a través de operaciones de
adición, sustracción, multiplicación, división ó extracción de raíces.
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INGRESO 2011 – ÁREA MATEMATICA
35
II
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
• OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
ENTERAS
• PRODUCTOS NOTABLES. REGLAS DE FACTORIZACIÓN
• OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
RACIONALES
OBJETIVOS
• Operar con expresiones algebraicas.
• Utilizar productos especiales.
• Establecer las reglas básicas de factorización y aplicarlas para
factorizar expresiones.
• Simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.
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(Asociamos los términos semejantes:
3con 1 ; x6con x2 ; yx4con yx3 22 −−
y los sumamos.
Obtenemos el resultado final, al no poder
seguir operando con la expresión.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS
Ejemplos de expresiones algebraicas:
� 1x3x2x3 23 +−+ es una expresión algebraica entera en la variable x
� ( ) xyyx 3 −+ es una expresión algebraica entera en las variables x e y
Las expresiones algebraicas pueden sumarse, multiplicarse, dividirse, elevarlas a
potencias o extraerles raíces, aplicando las mismas propiedades que vimos en los
modelos numéricos.
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS
Comencemos con las SUMAS ALGEBRAICAS
PROCEDIMIENTO: se suman los términos semejantes, que son aquellos que
tienen la misma parte literal y difieren sólo en sus coeficientes.
Por ejemplo:
�
333 752 yxyxyx =+
Resolvamos otro ejemplo:
� =−+++− )364()123( 22 xyxxyx
=−+++−= 3x6yx41x2yx3 22
2x4yx7 2 −+=
(Como en este caso existen paréntesis que
agrupan términos, lo primero que debemos
hacer es suprimirlos, recordando que si
están precedidos por el signo más (+) las
operaciones indicadas dentro del paréntesis
siguen igual y si las precede un signo menos
(-) se deberán cambiar los signos
comprendidos dentro del paréntesis)
(Sumamos los términos semejantes)
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Observen otro ejemplo:
� =++−++− xxyyyxy )3(52 22
=+−−++−= xxyy35yxy2 22
x5y2xy3 2 ++−−=
Avanzando con otras operaciones, veremos la MULTIPLICACIÓN DE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
PROCEDIMIENTO: la propiedad distributiva es la herramienta clave para
multiplicar expresiones algebraicas. Se las resuelve multiplicando término a
término y por último se suman los términos semejantes.
Veamos un ejemplo en el que se multiplican dos expresiones algebraicas:
� =+−++−=+−+ yx)y(yxx2)y(x2)xy)(yx2(
=+−+−= yxyx2xy2 22
222 yxxy −+−=
Veamos otro ejemplo:
� =+−− ))(1( 3 xyyxx
(Suprimimos el paréntesis cambiando
el signo de los términos que figuran
dentro de él)
(Sumamos o restamos los términos
equivalentes)
(Este último es el resultado final ya que
no es posible realizar ningún otro cálculo
con términos que NO son semejantes).
(Se realiza el producto de una de las
sumas por la otra, aplicando la
propiedad distributiva del producto
respecto a la suma).
(Se aplica regla de signos del
producto y propiedades del producto
de potencias de igual base).
(Se Asocian y suman o restan los
términos semejantes)
(Comenzamos multiplicando los
términos del primer paréntesis por los
del segundo o a la inversa porque el
orden de los factores NO altera el
producto)
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xy1y1x1xxyxyxx)xyyx)(1x( 333 −+−+−=+−−
yxyxxy2x
xyyxyxxyx
324
324
+−+−=
=−+−+−=
Actividad 7
Actividad 8
Actividad 9
Dados los polinomios: 2423 xxx3)x(Qyx4x25)x(P −+=++−=
Calcula: P(x) . Q(x)
M N M + N M - N M . N
32x
3
2
5
x−
55a
25a
Resuelve las siguientes operaciones con expresiones algebraicas:
=−−++=+−⋅+
=⋅=
==⋅
=+=+
=+=+
)x3x4(2x5x2)j )4x8()5x2)(i
x2x2)h g)2x.2x
.x xf) xx)e
x2x2)dx2x2)c
xx)b xx)a
22
22
22
22
22
Completa el siguiente cuadro, con las operaciones indicadas:
(Efectuamos el producto de la x del
primer paréntesis por cada término
del segundo paréntesis (prestar
atención a los signos) y luego hacemos
lo mismo con el -1).
(Se resuelven los productos de cada
término, cuando sea posible:
43 xxx = ; yxxxy 2= , sumando o
restando los términos semejantes).
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(Porque la potenciaNO es
distributiva con respecto a la
suma (ó la resta) )
PRODUCTOS NOTABLES
Hay productos de expresiones algebraicas que por la frecuencia con que
aparecen se los denomina ESPECIALES ó NOTABLES y que por el mismo motivo
es muy conveniente incluirlos en este repaso.
CUADRADO DE UN BINOMIO
222 2)( aaxxax ++=+
222 2)( aaxxax +−=−
Binomio: porque es la suma (ó resta) de dos términos.
Cuadrado: porque aparece elevado al exponente 2.
PROCEDIMIENTO: el resultado es el cuadrado del primer término más (ó
menos) el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado
del segundo término.
¡CUIDADO! Un error muy frecuente es distribuir el exponente en la suma
(ó resta) del binomio.
Procedimiento correcto Procedimiento incorrecto
�
222 2)( aaxxax ++=+ 222)( axax +=+
El procedimiento correcto surge de multiplicar término a término la expresión
algebraica de la base por sí misma:
222 aax2x)ax)(ax()ax( ++=++=+
222 aax2x)ax)(ax()ax( +−=−−=−
Desarrollemos el cuadrado del siguiente binomio:
� 2510552)5( 2222 +−=+−=− xxxxx
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Actividad 10
Desarrolla las siguientes expresiones
a) ( ) =− 2x2
b) ( ) =+ 21x2
Otro de los productos notables que repasaremos en esta ocasión es el:
PRODUCTO DE UNA SUMA Y UNA DIFERENCIA
22 ax)ax)(ax( −=−+
PROCEDIMIENTO: La suma por la diferencia de dos bases es igual a la
diferencia de los cuadrados de las bases
Esta igualdad puede verificarse efectuando la multiplicación y cancelando los
términos iguales con signos opuestos
2222 axaaxxax)ax)(ax( −=−+−=−+
Por ejemplo:
� 4x)2x)(2x( 2 −=−+
También es frecuente que se deba desarrollar el procedimiento inverso de
escribir la expresión algebraica como producto de sus factores utilizando.
REGLAS DE FACTORIZACIÓN
Las más utilizadas son:
FACTOR COMÚN
)yx(aayax +⋅=+
Es decir, se trata de la recíproca de la propiedad distributiva del producto
respecto a la suma (ó a la resta).
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Por ejemplo:
� ( )2xx2x4x2 2 +⋅=+
FACTOR COMÚN EN GRUPOS
( ) ( ) ( ) ( )baxdcxdcxbdcxaxbdbcxadxacx 2223 +⋅+=+⋅++⋅=+++
En lugar de presentar un factor común en toda la expresión, se presenta el
factor común en grupos de igual número de términos.
Por ejemplo:
�
)2y3).(4y(
)4y(2)4y(y3
8y2y12y3
2
2
23
−+=
=+−+=
=−−+
Actividad 11
Factoriza las siguientes expresiones.
a) =+ x4x4 5
b) =−+− x4x2416x6 23
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
222 )(2 axaaxx +=++
222 )(2 axaaxx −=+−
Es decir que, si identificamos un trinomio cuadrado perfecto, podemos indicarlo
como el cuadrado de la suma (o resta) de sus bases.
Como la expresión 2x se repite en los dos
términos, se extrae como factor común,
que multiplica a (x+2).
La expresión (x+2) se obtiene de dividir
cada término del primer miembro por el
factor común, así: xx2x2 2 =÷ y
2x2x4 =÷
(En este caso, de los dos primeros términos se
extrae como factor común 2y3 , y de los dos
últimos términos el factor común es (–2). Si
observamos los paréntesis, queda la misma
expresión (y + 4), la que ahora pasa a ser
factor común de los dos términos,
obteniéndose el producto final).
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Por ejemplo, la expresión:
�
22 )2(44 zzz +=++
Por ejemplo, la siguiente expresión, NO es trinomio cuadrado perfecto:
� =++ 229 yy
Actividad 12
Factoriza las siguientes expresiones.
a) =+− 1x2x 2 b) =++ 16x16x4 2
Otra de las reglas de factorización que utilizamos con frecuencia es la
DIFERENCIA DE CUADRADOS
)ax)(ax(ax 22 −+=−
La diferencia (¡atención!, NO la suma) de dos términos cuadrados pueden
expresarse como el producto de la suma por la diferencia de sus bases
Ejemplo:
� )x4)(x4(x16 2 −+=−
Actividad 13
Decir si es Verdadero (V) o Falso (F):
a. ( ) ( ) ( )bababa 2 +⋅−=−
b. ( ) ( ) ( )bababa 2 −⋅−=−
c. ( ) 222 bab2aba +−=−
d. ( ) 222 baba −=−
e. ( ) ( )bababa 22 −⋅−=−
f. ( ) ( )bababa 22 −⋅+=−
g. ( ) 1x2x1x 22 +−=+−
h. ( )22 1x1x2x +=+−
i. ( )22 4x216x16x4 +=++
j. ( ) ( )bxbxbx 22 +⋅+−=+−
(Es un trinomio cuadrado perfecto, porque
tenemos dos términos elevados al cuadrado: 2 y
z y un tercer término que es el doble producto
de los otros dos: 2 . 2 z = 4z )
(Porque a pesar de que tiene tres términos y
existen dos términos que aparecen elevados al
cuadrado (3 y “y”), no aparece el doble producto
del primero por el segundo: 2 . 3 y = 6y)
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Actividad 14
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
a. =− x4x4 5
b. =++ 32 y16y24y9
c. =−−+ 16x4x6x24 32
d. =++ 23 x24x9x16
e. =− 26 x9x9
Actividad 15
Resuelve o factoriza, según corresponda, cada una de las siguientes expresiones:
a) ( ) =− 2x23 b) =− 36x4 2
c) =++ 8x8x2 2 d) =− 24 x16x16
e) =+−−+− x32x464x32x16x2 223 f) ( ) =+ 2y3x2
Hemos analizado la suma y el producto de expresiones algebraicas, pero puede
suceder que debamos considerar expresiones tales como:
�
x
x
x 6
32
,
1
8 +
−
en donde la variable aparece en el denominador
Estas expresiones se denominan: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES,
e implican cocientes:
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Las reglas que guían las operaciones con expresiones racionales son las mismas
reglas de las fracciones, también nombradas en este material.
Veamos algunos ejemplos en los que debamos resolver expresiones algebraicas
racionales:
�
5
9
5
3.3
)3x(5
18
6
)3x(3
15x5
18
6
9x3
==
=
+
⋅
+
=
+
⋅
+
¡ATENCIÓN! No existe una regla que sea aplicable en cada caso. Dependerá
mucho de tu ingenio reconocer qué regla de factorización o qué producto
notable conviene aplicar en el caso específico de manera de simplificar la
expresión y arribar al resultado.
Veamos otro ejemplo resuelto:
�
1x
x
1x
1)1x(
1x
1
1x
1
2
22
−
=
=
−
+−
=
−
+
+
ADVIERTE que en el resultado no se pudo simplificar las x del numerador y
denominador ya que la 2x está afectada por la resta del 1, no por el
producto.
Seguidamente te proponemos algunas actividades que incluyen operaciones con
expresiones algebraicas racionales, junto a casos de factoreo, para reafirmar los
temas repasados.
(1° se saca factor común en el
numerador del primer factor y en el
denominador del segundo factor;
2° se simplifican los factores del
numerador con los del denominador,
o sea, (x+3) con (x+3) y el 18 con el 6;
luego se multiplica derecho).
Primero se buscó un común
denominador para los dos sumandos,
recuerda que )1x(.)1x(1x 2 +−=− .
Luego se resolvió la suma del
numerador.
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¡ A PRACTICAR ¡
Actividad 16
Factoriza, resuelve y simplifica, según corresponda:
a) =
+
++
4x
16x8x 2b) =
+
++
4x
16x8x 2
c) =
−
−
26
5
x9x9
x4x4
d) =
−−+
−
2xx2x
1x
23
2
e) =
−−+
−−+
8x2x12x
16x4x6x24
23
32
f) =
+−
+
+
−
+
1x2x
1x
2x2
1x
2
g) ( )( ) ( ) =+
−
⋅
−
−
3y
)3y(
1y
9y2 h) =
−
÷
+
x2
x
x
xx2 22
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III
ECUACIONES
• RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER Y DE
SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
• ECUACIONES CON MODULOS - INECUACIONES
• SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS
OBJETIVOS
• Desarrollar las técnicas para resolver ecuaciones lineales.
• Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.
• Resolver desigualdades lineales con una variable e introducir la
notación de intervalo.
• Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales que impliquen valor
absoluto y representar el conjunto solución en la recta
numérica.
• Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas por
distintos métodos.
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ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se
transforma en igualdad numérica cuando se atribuyen a las letras que figuran en
la igualdad algebraica valores numéricos particulares.
Resolver una ecuación es encontrar los valores de sus variables para los cuales la
ecuación se verifica.
Los valores particulares que asumen las letras para que una ecuación se convierta
en una igualdad numérica son las raíces de la ecuación.
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Por ejemplo 5 x + 2 = -3 , es una ecuación lineal, porque la incógnita, x, está
elevada al exponente 1 .
La solución es x = -1 porque 5. (-1) + 2 = -3
Veamos el siguiente ejemplo resuelto, que nos permite hallar la raíz o solución de
la ecuación:
� x3
12
3-5x
-
3
2x
2
3x)1x(22 +=−−+−−
x3
12
3-5x
-
3
2x
2
3x2x22 +=−−−−−
x3
12
3-5x
-
3
2x
2
3x2x22 +=−+++
x36)3x5(x8)3x(624x2424 +−−=−+++
x363x5x818x624x2424 ++−=−+++
1824243x36x5x8x6x24 +−−=−+−+
27x9 −=−
x = 3
Veamos cómo resolvemos otra ecuación un poco más complicada, en la que
aplicaremos productos notables y factorización.
(Dentro del corchete, aplicamos
propiedad distributiva del producto
respecto a la suma)
(Quitamos paréntesis)
(Sacamos común denominador y
resolvemos)
(Aplicamos propiedad distributiva del
producto respecto a la suma en el
primer miembro, y en el segundo
miembro quitamos el paréntesis que,
al estar precedido por el signo menos,
cambian los signos que figuran dentro
de él)
(Agrupamos términos y sumamos
términos semejantes)
(Dividimos los dos miembros por: - 9)
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� )2
3
1(2)3()3(513)6( 2 xxxxx −−+−+=−−
43421
44 344 2143421
vadistributi
propiedad
2 )x2-
3
1(x2)3x)(3x(513-)6x(
cuadradosde
diferencia
unadeFactoreo
restauna
dCuadrado e
−+−+=
222 4
3
2)9(5133612 xxxxx −−−=−+−
222 4
3
24552312 xxxxx −−−=+−
xxxx
3
2452312 22 −−=+−
xx
3
2452312 −−=+
2345
3
212 −−=+ xx
68)
3
212(x −=+−
68x
3
34
−=−
3.6834 −=− x
34
204
−
−
=x
6x =
Para verificar, sustituimos la incógnita de la ecuación original por el valor que
obtuvimos:
)6.2
3
1(6.2)36)(36(513)66( 2 −−+−+=−−
)12
3
1(123.9.5130( −−+=−
)
3
37(1213513 −+=−
La solución es correcta porque la igualdad se cumple: 1313 −=−
(Separamos en términos cada
miembro)
(Desarrollamos, según
corresponda, luego operamos y
distribuimos el 5)
(Restamos los términos
semejantes en el 2º miembro)
(Cancelamos x2 en ambos
miembros)
(Agrupamos términos
semejantes)
(Sacamos factor común x en el
primer miembro y operamos en
el segundo)
(Operamos en el paréntesis)
(El 3 que está dividiendo al
primer miembro pasa
multiplicando a todo el otro
miembro)
(Pasamos dividiendo -34 al
segundo miembro)
(Calculamos y obtenemos el
valor de la incógnita)
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¡ PRACTICA CON LAS SIGUIENTES ECUACIONES !
Actividad 17
Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica las soluciones:
a)
2
27)3(
2
51
10
9
3
5)2)(2( 2 +−=
−+−+ xxxxx
b) ( ) 34)7)(7(24)
4
12(4 2 +−+=++−− xxxx
c) ( ) )35(2)1(1)5( 2 +=−+−− xxxx
d) ( ) )1(288)6( 22 +−=+−− xxx
Actividad 18
Te proponemos nos ayudes a detectar el error que se cometió en la resolución de
las siguientes ecuaciones.
a)
( )
13x
310x
10x3
1xx10x1xx
1)x1(x)20x2(
2
11x)1x(x
22
=
+=
=−
−+++=−+−
−+++=−++−
b)
9
11
x
11x 9-
314x6x 3-
14x63x3
x314x23x3
x2)7x(22)1x(3
=
−=
+−=−
−=−
+−=−−
+−=−+−
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50
Las ecuaciones que resolvimos son ecuaciones de 1° grado, porque la incógnita
aparece elevada al exponente 1. También en esta ocasión revisaremos los
procedimientos para resolver ecuaciones de 2° grado o ecuaciones cuadráticas,
en donde la variable aparece elevada al exponente 2.
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Por ejemplo la ecuación 0x2x 2 =+ , es una ecuación cuadrática, porque la
incógnita “x” aparece elevada al cuadrado.
Resolvamos la ecuación
� 0x2x 2 =+
x . (x + 2 ) = 0
x = 0 ó (x+2) = 0
x = 0 ó x = - 2
Y esas son las dos soluciones de la ecuación de segundo grado, ya que si
reemplazamos dichos valores en la ecuación, se verifica la igualdad
Veamos otro ejemplo:
� 04x2x2 2 =−−
En este caso no podemos proceder como en el caso anterior que sacamos factor
común x, ya que existe un término que no lo tiene.
Para estos casos y en general para resolver cualquier ecuación cuadrática existe
una fórmula general, que estamos seguras que cuando la veas la recordarás por
haberla aplicado muchas veces en la resolución de distintas actividades:
FÓRMULA CUADRÁTICA (también denominada Fórmula Resolvente)
Las soluciones de la ecuación cuadrática 0cbxxa 2 =++ donde a es
distinto de cero, están dadas por
a2
ac4bb
x
2
i
−±−
=
¿La recuerdas?
Si sacamos factor común x en el primer miembro, nos
queda un producto de dos factores cuyo resultado es
cero.
Para que el resultado de dicho producto se anule existen
dos alternativas: x = 0 ó (x+2) = 0, por lo que x = - 2
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51
De la aplicación de dicha fórmula pueden surgir, dos raíces reales distintas, dos
raícesreales iguales o dos raíces imaginarias según el signo que asuma la
expresión que está debajo de la raíz
Si 0ac4b 2 >− obtendremos dos raíces reales distintas
0ac4b 2 =− obtendremos dos raíces reales iguales
0ac4b 2 <−
Retomando nuestro ejemplo, si debemos resolver la ecuación:
� 04x2x2 2 =−−
Aplicando la fórmula cuadrática:
( )
=
±
=
±
=
−−±
=
−−−±−−
=
4
62
4
362
4
)32(42
2.2
)4(242)2(
x
2
De la última expresión surgen las dos raíces: 2
4
62
1 =
+
=x y 1
4
62
2 −=
−
=x
Veamos otro ejemplo resuelto:
� 0
3
1
x
6
72
x =+−
027x26x =+−
Hallemos las raíces, utilizando la fórmula resolvente:
=
±
=
±
=
−±
=
−±
=
12
17
12
17
12
48497
12
4.6.2277
x
2
1
12
6
2x
3
2
12
8
1x
==
==
Actividad 19
Resuelve las siguientes ecuaciones
a) ( ) ( ) 02x6x =+⋅−
b) 10x3x 2 =+
c) 5x9x2 2 =+
d) x9x4 2 =
e) 2x2x 2 =−
f) 01x6x9 2 =+−
obtendremos dos raíces imaginarias. Este caso no
lo desarrollaremos porque ya dijimos que
trabajaremos con el conjunto de números reales.
(Se multiplicó miembro a miembro por: - 6)
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ECUACIONES CON MODULO
Para resolver ecuaciones con módulo debemos recordar a qué llamamos módulo
de un número real.
Se llama MÓDULO ó también VALOR ABSOLUTO de un número real a la
distancia entre dicho número y cero y lo simbolizamos: x
Por ejemplo: los números 4 y -4 son opuestos ya que tienen distinto signo, pero
tienen igual módulo, porque están a la misma distancia de cero.
Es decir que: 444- ==
Por otra parte, la distancia desde cero hasta el número 4 es igual a 4, así como
la distancia desde –4 a cero es también igual a 4.
Generalizando
<
≥
=
0xsix-
0xsix
x
Es importante tener en claro que –x es positivo cuando x es negativo.
Aplicaremos la definición de módulo para resolver las ecuaciones con módulo.
Resolvamos la ecuación: 32 =−x
Esta ecuación expresa que x – 2 es un número que se encuentra a tres
unidades de cero.
Por ello podemos decir que x – 2 = 3 ⇒ x = 3 + 2 = 5
ó bien x – 2 = -3 ⇒ x = - 3 + 2 = -1
De ambas igualdades surgen las soluciones de la ecuación con módulo, que
reemplazadas en la ecuación verifican la igualdad
para x = -1: 3 3 - 3 21 =⇒=−− y
para x = 5: 3 3 3 25 =⇒=−
-4 4 0
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53
En general se puede interpretar ba − ó ab − como la distancia entre a y b.
Por ello en la ecuación anterior 32 =−x establece que la distancia entre x y 2
es de tres unidades, por lo que las soluciones x = -1 y x = 5 indican los
números que distan de 2 en tres unidades.
Compruébalo en la recta numérica.
La raíz cuadrada de 2x se expresa como el módulo de x.
En símbolos, escribimos:
xx 2 =
Esta expresión del módulo de un número, nos resultará útil cuando en una
ecuación sea necesario despejar una incógnita que esté elevada a una potencia
par.
Por ejemplo, si resolvemos la ecuación:
� 1962 =−x
6192 +=x
252 =x
5x =
5x ±=
Ahora reemplacemos cada uno de los valores en la ecuación original para
comprobar si se cumple la igualdad:
Para x = 5 Para x = -5
19652 =− = 196)5( 2 =−−
Actividad 20
Halla el/los valores de x que verifica la igualdad
a) 12 =+x b) 04)3( 2 =−+ x
c) 042 =+x d) 182 =−x
Despejamos 2x
Aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros de la
igualdad
Sustituimos el primer miembro utilizando el
módulo y calculamos 5x =
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¿Qué sucede si aparece una desigualdad en vez de una igualdad?
La expresión se denomina inecuación y el procedimiento de resolución es muy
similar al utilizado en las ecuaciones
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualad en la que hay dos miembros relacionados
mediante cualquiera de estos signos >≥<≤ , , , . Si esos miembros son
expresiones algebraicas, estamos en presencia de una inecuación, en la cual
figuran números e incógnitas.
Por ejemplo x + 2 > 1 implica que x > 1 – 2 por lo que x > -1
La única propiedad que cambia con respecto a las igualdades es cuando el número
que multiplica o divide a la incógnita es un número negativo, al despejarlo,
invierte el sentido de la desigualdad.
Por ejemplo:
�
1x
2
2
x
4
8
x2
4
1
4
7
x2
4
7
x2
4
1
−≥
−
≥
≤−
+≤−
≤−−
Al trabajar con módulo también pueden aparecer expresiones que contengan los
signos >≥<≤ , , , .
Veamos algunos ejemplos:
Hallemos los valores de x que verifican la desigualdad
� 3x <
Debemos hallar todos los valores de x cuya distancia a cero sea menor que 3,
En este caso, al dividir miembro a miembro
de la desigualdad por el valor,
(-2), se invierte el sentido de la misma.
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55
Gráficamente la situación sería:
Los valores de x que estamos buscando pertenecen al intervalo (-3; 3), es decir
-3< x < 3 entonces 3x33x <<−⇒< seria el conjunto solución de la inecuación
Observen ahora como hallamos los valores de x que verifiquen la desigualdad:
� 3>x
Debemos hallar todos los valores de x cuya distancia a cero sea mayor que 3,
Gráficamente la situación sería:
Los valores de x que estamos buscando pertenecen al intervalo (-∞;-3) o al
intervalo (3 ; ∞) , es decir x > 3 o x < -3 , entonces 3xo3x 3x −<>⇒>
Analicemos ahora el siguiente ejemplo:
� 32x >−
Debemos hallar todos los valores de x cuya distancia a dos sea mayor que 3,
Gráficamente la situación sería:
Los valores de x que estamos buscando pertenecen al intervalo (-∞;-1) o al
intervalo (5 ; ∞) , es decir x > 5 o x < -1 , entonces 1xo5x 32x −<>⇒>−
-3 3 0
////////////////)
-∞ ∞
(////////////////
-3 3 0
(///////////////////////////////)
-1 5 2
////////////////)
-∞ ∞
(////////////////
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¡ RESUELVE !
Actividad 21
Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones, graficando en la recta
real cada uno de los conjunto solución.
a) 115x2 <+
b) 4x35 >+
c) 3x36 −≤−
d) 32x <−
e) 41 ≥+x
f) 22x ≤+
Hemos repasado los procedimientos por los cuales se resuelven las ecuaciones
con una incógnita, veremos ahora como se resuelven las ecuaciones en las cuales
aparecen dos incógnitas o variables.
ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS
Ya vimos que una ecuación es una igualdad en la debemos averiguar el valor de una
incógnita.
Cuando en la ecuación aparecen dos letras representando variables o incógnitas a
averiguar el procedimiento cambia.
La expresión x + y = 3 es un ejemplo de una ecuación de dos variables, y
para resolverla debemos averiguar los valores de “x” e “y” que verifican la
igualdad.
Dentro de las soluciones
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