Funciones y relaciones

Vista previa del material en texto

Matemática 1
Comisión 2C
CLASE 10.04.23
Producto cartesiano
 𝐴x𝐵 = 1, 𝑎 , (1, 𝑏 , 2, 𝑎 , 2, 𝑏 , 3, 𝑎 , (3, 𝑏)}
 Bx𝐴 = 𝑎, 1 , (𝑎, 2 , 𝑎, 3 , 𝑏, 1 , 𝑏, 2 , (𝑏, 3)}
 Notemos que 𝐴x𝐵 ≠ 𝐵x𝐴. El producto cartesiano NO es conmutativo. 
Los elementos son pares ordenados. Importa el orden (1, 𝑎) ≠ (𝑎, 1)
Relaciones
Un ejemplo de relación entre 𝐴 y 𝐵 es 𝑅1 = 1, 𝑎 , (1, 𝑏 , 3, 𝑎 }
Otras relaciones entre 𝐴 y 𝐵 son:
• R2 = 1, 𝑎 , (1, 𝑏 , 2, 𝑎 , 2, 𝑏 }
• 𝑅3 = { 2, 𝑏 , 3, 𝑎 }
• 𝑅4 = 1, 𝑎 , (1, 𝑏 }
Relación 𝑹𝟏
Función: una relación especial
Función
 Sea 𝑓 una función con 𝑑𝑜𝑚(𝑓) = 1, 2, 3 y codominio {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
𝑓 una función porque cada elemento del dominio tiene su correspondiente en en el codominio y 
ese correspondiente es único
TODO ELEMENTO DEL DOMINIO TIENE QUE TENER UN ÚNICO CORRESPONDIENTE EN EL CODOMINIO
Imagen de la función 𝑓: 𝐼𝑚 𝑓 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 ⊆ {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
Funciones
Esta relación es una función pues 
cada elemento del dominio tiene 
un único correspondiente en el 
codominio
𝐼𝑚 𝑔 = {𝑎}
𝑑𝑜𝑚(𝑔) 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑚(𝑔) 𝑑𝑜𝑚(ℎ) 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑚(ℎ)
Esta relación es una función pues 
cada elemento del dominio tiene 
un único correspondiente en el 
codominio
𝐼𝑚 ℎ = {𝑎, 𝑏}
Relaciones que no son funciones
No es función dado que un 
elemento del dominio, el 2 NO tiene 
un único correspondiente sino dos.
No es función dado que un 
elemento del dominio, el 3, no tiene 
correspondiente
Funciones numéricas
Funciones
Sea la función 𝑓:ℝ → ℝ donde 𝑓 𝑥 = 3𝑥
𝑓 1 = 3 ∙ 1 = 3
𝑓 −2 = 3 ∙ (−2) = −6
𝑓 5 = 3 ∙ 5 = 3 5
Los pares ordenados 1, 3 , −2,−6 , ( 5, 3 5) son algunos de los elementos de 
la relación funcional 𝑓. 
Funciones
Sea la función 𝑓:ℝ → ℝ donde 𝑓 𝑥 = 3𝑥
𝑓 1 = 3 ∙ 1 = 3
𝑓 −2 = 3 ∙ (−2) = −6
𝑓 5 = 3 ∙ 5 = 3 5
Los pares ordenados 1, 3 , −2,−6 , ( 5, 3 5) son algunos de los elementos de 
la relación funcional 𝑓. 
Gráfica de funciones
 Las gráficas de funciones numéricas son curvas del plano
 La función 𝑓:ℝ → ℝ donde 𝑓 𝑥 = 3𝑥
tiene como gráfica la recta de ecuación 𝑦 = 3𝑥
 A la recta pertenecen todos los pares ordenados de la 
forma (𝑥, 𝑓(𝑥)) = (𝑥, 3𝑥)
Gráfica de funciones
 La función 𝑔: ℝ → ℝ donde 𝑔 𝑥 = 𝑥2 tiene como 
gráfica la parábola de ecuación 𝑦 = 𝑥2
 Notemos que el codominio de la función 𝑔 es todo 
ℝ mientras que 𝐼𝑚 𝑔 = [0, +∞)
Igualdad de funciones
Igualdad de funciones
¿Cuáles son los dominios de cada una de las funciones?
𝑑𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑑𝑜𝑚 𝑔 = 𝑥: 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 − 1 ≠ 0 = 𝑥: 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 1 = ℝ− {1} ⇝ 𝑑𝑜𝑚 𝑔 = ℝ − {1}
¿Pueden ser las funciones iguales?
No dado que sus dominios no son iguales las funciones no pueden ser iguales
¡No se puede dividir por 0!
Igualdad de funciones
¿Cuáles son los gráficos de las funciones?
La función g 
no está 
definida en 1.
 ¿Por qué las circunferencias no son gráficas de función?
 ¿Y las parábolas horizontales?
Ejercicios de la clase de hoy
 Hasta el ejercicio 29 de la página 27
 No daremos los temas desarrollados en las páginas 28 en adelante y por 
supuesto no serán evaluados en el examen. 
 Terminamos el capítulo 2. La clase que viene ya trabajaremos con el 
capítulo 3.