Lista EDO

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1a Lista de Exerc´ıcios de Equac¸o˜es Diferenciais I∗
Cleber Cavalcanti
UFMa
25 de marc¸o de 2014
1. Considere a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
= −ay + b
na qual a e b sa˜o nu´meros reais positivos.
i) Resolva a equac¸a˜o diferencial.
ii) Esboce um gra´fico da soluc¸a˜o para diversos dados iniciais, escolhendo-
os convenientemente.
iii) Descreva a mudanc¸a das soluc¸o˜es sob cada uma das condic¸o˜es:
a) a aumenta, e b constante;
b) b aumenta, e a constante;
c) Tanto a quanto b aumentam, mas a raza˜o ab permanece a mesma.
2. A populac¸a˜o p = p (t) de ratos em um certo campo, medida em dias,
satisfaz a equac¸a˜o diferencial
dp
dt
= 12 p− 450.
i) Se p (0) = 850, encontre o tempo a partir do qual a populac¸a˜o estara´
extinta.
ii) Encontre o tempo de extinc¸a˜o se p (0) = p0, com 0 < p0 < 900.
iii) Encontre a populac¸a˜o inicial p0 sabendo-se que a populac¸a˜o estara´
extinta em 1 ano.
iv) O que acontece se p (0) = p0 ≥ 900 ?
∗Na˜o ha´ qualquer garantia de que a avaliac¸a˜o seja composta de questo˜es oriundas desta
lista de exerc´ıcios.
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3. A velocidade v = v (t) de certo objeto em queda livre satisfaz ao problema
de valor inicial ∣∣∣∣∣∣
dv
dt
= g − 15 v
v (0) = 0,
no qual g denota a acelerac¸a˜o da gravidade (fac¸a g igual a 9, 8m/s2).
i) Encontre o tempo gasto para o objeto alcanc¸ar 98% de sua velocidade
limite.
ii) Qual a distaˆncia percorrida por esse objeto no instante encontrado em
i) ?
4. De acordo com a Lei de Newton do resfriamento, a temperatura u (t) de
um objeto satisfaz a equac¸a˜o diferencial
du
dt
= −k (u− T ) ,
na qual T e´ uma temperatura ambiente constante e k e´ uma constante
positiva. Suponha que a temperatura inicial do objeto seja u (0) = u0.
i) Encontre a temperatura do objeto em um instante t > 0 qualquer.
ii) Seja τ o tempo no qual a diferenc¸a inicial de temperatura u0−T tenha
reduzido-se pela metade. Encontre a relac¸a˜o entre k e τ .
5. Considere um circuito ele´trico contendo um capacitor com capacitaˆncia C
constante conhecida, um resistor com resisteˆncia R constante conhecida,
e uma fonte cuja tensa˜o V = V (t) varia de maneira conhecida, ligados em
se´rie. A carga Q = Q (t) do capacitor satisfaz a equac¸a˜o diferencial
R
dQ
dt
+
1
C
Q = V (t) .
i) Se V for constante e Q = Q (0), encontre Q = Q (t) e esboce o seu
gra´fico.
ii) Se V for constante, encontre o valor limite QL do que Q = Q (t)
aproxima-se depois de um longo tempo.
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iii) Suponha que Q (t1) = QL e nesse instante, remova a bateria fechando
o circuito. Encontre Q = Q (t) para t > t1 e esboce o seu gra´fico.
iv) Se V e´ dada por V (t) = Vmax sen (ωt) e Q (0) = 0, encontre Q = Q (t)
e esboce seu gra´fico.
6. Mostre que se a e λ sa˜o constantes positivas, e b um nu´mero real qualquer,
enta˜o toda soluc¸a˜o de
y′ + ay = be−λx
tem a propriedade lim
x→∞ y (x) = 0 (Sugesta˜o: Considere os casos a = λ e
a 6= λ separadamente).
7. Considere o seguinte me´todo de resoluc¸a˜o de EDO linear geral de primeira
ordem:
y′ + p (x) y = q (x) . (∗)
i) Se q (x) = 0 para todo x, mostre que a soluc¸a˜o e´
y (x) = A exp
(
−
∫
p (x) dx
)
, (∗∗)
na qual A e´ constante.
ii) Se q na˜o for sempre nula, suponha que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o (∗) seja
da forma
y (x) = A (x) exp
(
−
∫
p (x) dx
)
, (∗ ∗ ∗)
na qual A e´ uma func¸a˜o de x. Substituindo y na equac¸a˜o diferencial
dada, mostre que A deve satisfazer a condic¸a˜o
A′ (x) = q (x) exp
(∫
p (x) dx
)
. (∗ ∗ ∗ ∗)
iii) Encontre A = A (x) por (∗ ∗ ∗ ∗). Substitua A em (∗ ∗ ∗) determine
y. Verifique que a soluc¸a˜o assim obtida esta´ de acordo com aquela
encontrada em sala de aula. Esta te´cnica e´ conhecida como o me´todo
da variac¸a˜o dos paraˆmetros.
8. Suponha que um tanque contendo um certo l´ıquido tem um furo perto do
fundo. Seja h (t) a altura da superf´ıcie do l´ıquido acima do furo no instante
t. O princ´ıpio de Torricelli estabelece que a velocidade v do escoamento
pelo furo e´ igual a velocidade de uma part´ıcula caindo livremente de uma
altura h.
i) Mostre que v =
√
2gh, na qual g e´ a acelerac¸a˜o devida a` gravidade.
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ii) Equacionando a taxa do escoamento com a taxa do l´ıquido dentro do
tanque, mostre que h (t) satisfaz a equac¸a˜o
A (h)
dh
dt
= −αa
√
2gh,
na qual A (h) e´ a a´rea da secc¸a˜o transversal do tanque na altura h e
a e´ a a´rea do furo. A constante α e´ um coeficiente de contrac¸a˜o que
leva em conta o fato observado de que a secc¸a˜o transversal de um
escoamento (suave) e´ menor do que a.
iii) Considere um tanque com a´gua (use α = 0, 6) na forma de um cilindro
circular reto na vertical com 3 metros acima do furo. O raio do
tanque e´ 1 metro e o raio do furo e´ 0, 1 metro. Se o tanque estiver
inicialmente cheio de a´gua, determine como sera´ o esvaziamento do
tanque ate´ o n´ıvel do buraco ao longo do tempo.
9. A populac¸a˜o de mosquitos em uma certa a´rea aumenta com uma taxa pro-
porcional a` populac¸a˜o atual, e na auseˆncia de outros fatores, a populac¸a˜o
dobra a cada semana. Ha´ 200.000 mosquitos em uma a´rea inicialmente, e
a populac¸a˜o de predadores (pa´ssaros, morcegos e similares) come 20.000
mosquitos por dia. Determine a populac¸a˜o de mosquitos na a´rea em func¸a˜o
do tempo.
10. A lei de Newton do resfriamento estabelece que a temperatura de um
objeto muda com uma taxa proporcional a` diferenc¸a entre sua tempertura
e a temperatura do ambiente. Suponha que a temperatura de um copo
de cafe´ obedec¸a a` lei de Newton do resfriamento. Se o cafe´ tem uma
temperatura de 200oF imediatamente apo´s servido, e 1 minuto depois
esfriou para 190oF em uma sala a 70oF, determine quando o cafe´ atingira´
a temperatura de 150oF.
11. Transfereˆncia de calor de um corpo para o seu ambiente por radiac¸a˜o,
baseado na lei de Stefan-Boltzmann, e´ descrita pela equac¸a˜o diferencial
du
dt
= −α (u4 − T 4) , (†)
na qual u (t) e´ a temperatura absoluta do corpo no tempo t, T e´ a tem-
peratura absoluta do ambiente, e α e´ uma constante que depende de
paraˆmetros f´ısicos do corpo. Entretanto, se u e´ muito maior do que T ,
enta˜o as soluc¸o˜es de (†) sa˜o bem aproximadas pelas soluc¸o˜es da equac¸a˜o
mais simples
du
dt
= −αu4. (‡)
Suponha que um corpo com temperatura inicial 2.000oK esta´ em um am-
biente com 300oK e que α = 2 · 10−12 oK−3/s.
i) Determine a temperatura do corpo para qualquer instate de tempo t
resolvendo a equac¸a˜o (‡).
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ii) Esboce um gra´fico de u por t.
iii) Encontre o tempo τ no qual u (τ) = 600, ou seja, duas vezes a tem-
peratura ambiente. Ate´ esse instante o erro causado pelo uso de (†)
na˜o e´ maior que 1%.
12. Considere uma caixa coberta (um edif´ıcio talvez) com temperatura interna
u (t). De acordo com a lei de Newton do resfriamento, u (t) satisfaz a
equac¸a˜o diferencial
du
dt
= −k [u (t)− T (t)] , (?)
na qual T (t) e´ a temperatura ambiente (externa). Suponha que T (t) varie
senoidalmente, por exemplo, considere T (t) = T0 + T1 cos (ωt).
i) Resolva a equac¸a˜o (?) e expresse u (t) em termos de t, k, T0, T1 e ω.
Observe que parte de sua soluc¸a˜o aproxima-se de zero quando t torna-
se grande; esse termo e´ denominado parte transiente. O restante da
soluc¸a˜o e´ chamado de estado esta´vel ; denota-se por S (t).
ii) Suponha que t seja medido em horas e que ω = pi/12, correspondendo
a um per´ıodo de 24 horas para T (t). Em seguida, seja T0 = 60
oF,
T1 = 15
oF, e k = 0, 2/h. Desenhe no mesmo eixo gra´ficos de T (t) e
S (t) por t. Tambe´m estime a diferenc¸a de tempo τ correspondente
entre o ma´ximo de T (t) e S (t).
13. Um corpo de massa constante m e´ projetado verticalmente para cima
com velocidade inicial v0 em um meio oferecendo uma resisteˆncia k |v|.
Despreze mudanc¸as na forc¸a gravitacional.
i) Encontre a altura ma´xima xm alcanc¸ada pelo corpoe o tempo tm no
qual a altura ma´xima e´ alcanc¸ada.
ii) Mostre que se
kv0
mg
< 1, enta˜o tm e xm podem ser expressos como
tm =
v0
g
[
1− 1
2
kv0
mg
+
1
3
(
kv0
mg
)2
− · · ·
]
,
xm =
v20
2g
[
1− 2
3
kv0
mg
+
1
2
(
kv0
mg
)2
− · · ·
]
.
iii) Encontre a velocidade v (t) do corpo para cada instante t.
iv) Use a parte iii) para calcular o limite de v (t) quando k → 0+, ou seja,
quando a resisteˆncia tende a zero. Este resultado esta´ de acordo com
a velocidade de uma massa m projetada para cima com velocidade
inicial v0 no va´cuo?
v) Use a parte iii) para calcular o limite de v (t) quando m → 0+, ou
seja, a massa tende a zero.
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14. Um dos mais famosos problemas da histo´ria da matema´tica e´ a bra-
quisto´crona: encontrar uma curva ao longo da qual uma part´ıcula des-
lizara´ sem fricc¸a˜o em um tempo mı´nimo do ponto P a outro ponto Q,
sendo o segundo ponto mais baixo do que o primeiro, mas na˜o na mesma
linha vertical. Este problema foi proposto por Johann Bernoulli em 1696
como um desafio aos matema´ticos da e´poca.
“Datis in plano verticali punctis P et Q, assignare mobili M viam PMQ,
per quam gravitate sua descends, et moveri incipiens a puncto P , brevis-
simo tempore perveniat ad alterum punctum Q.”
Soluc¸o˜es corretas foram encontradas por Johann Bernoulli e seu irma˜o
Jakob Bernoulli, por Isaac Newton, Gottfried Leibniz, e pelo Marqueˆs de
L’Hopital. O problema da braquisto´crona e´ importante no desenvolvi-
mento da matema´tica como um dos precursores do Ca´lculo das Variac¸o˜es.
Na soluc¸a˜o desse problema e´ conveniente tomar a origem como sendo o
ponto superior P e orientar os eixos como na figura abaixo. O ponto mais
baixo Q tem coordenadas (x0, y0). Enta˜o e´ poss´ıvel mostrar que a curva
de tempo mı´nimo e´ dada pela func¸a˜o y = φ (x) que satisfaz a equac¸a˜o
diferencial [
1 + (y′)2
]
y = k2, (??)
na qual k2 e´ uma certa constante positiva a ser determinada depois.
i) Explicite y′ na equac¸a˜o (??). Por que e´ necessa´rio escolher a raiz
quadrada positiva?
ii) Introduza uma nova varia´vel t pela relac¸a˜o
y = k2 sen2 t. (? ? ∗)
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Mostre que a equac¸a˜o encontrada na parte i) assume a forma
dx
dt
= 2k2 sen2 t, (? ? ∗ ∗)
iii) Fazendo θ = 2t, mostre que a soluc¸a˜o de (? ? ∗ ∗) para a qual x = 0
quando y = 0 e´ dada por
x = 12 k
2 (θ − sen θ) y = 12 k2 (1− cos θ) . (? ? ∗ ∗′)
As equac¸o˜es (??∗ ∗′) sa˜o equac¸o˜es parame´tricas da soluc¸a˜o da equac¸a˜o
(??) que passa em (0, 0). O trac¸o da curva θ 7→ (x, y) com x e y dados
pelas equac¸o˜es (? ? ∗ ∗′) e´ chamado de ciclo´ide.
iv) Se fizermos uma escolha conveniente da constante k, enta˜o a ciclo´ide
tambe´m passara´ pelo ponto (x0, y0) e sera´ soluc¸a˜o do problema da
braquisto´crona. Encontre k se (x0, y0) = (1, 2).
15. Determine se cada uma das equac¸o˜es abaixo e´ exata. Em caso afirmativo,
encontre a soluc¸a˜o geral.
i) (2x− 2y) y′ + (2x+ 4y) = 0 ii) (2y − 2) y′ + (2x+ 3) = 0
iii)
(
2x2y + 2x
)
y′ +
(
2xy2 + 2y
)
= 0 iv)
dy
dx
= −ax+ by
bx+ cy
, a, b, c > 0
v)
y
(x2 + y2)
3/2
y′ +
x
(x2 + y2)
3/2
= 0 vi)
dy
dx
= −ax− by
bx− cy , a, b, c > 0
vii) (lnx− 2) y′ + ( yx + 6x) = 0, x > 0
viii) (3x− ex sen y) y′ − (ex sen y + 3y) = 0
ix)
(
6y2 − x2 + 3) y′ + (3x2 − 2xy + 2) = 0
x) (y lnx+ xy) y′ + (x ln y + xy) = 0, x > 0, y > 0
xi) (ex cos y + 2 cosx) y′ + (ex sen y − 2y senx) = 0
xii) (xexy cos 2x− 3) y′ + (yexy cos 2x− 2exy sen 2x+ 2x) = 0.
16. Mostre que as equac¸o˜es abaixo na˜o sa˜o exatas mas podem vir a tornar-se
exatas depois de multiplicadas pelo fator integrante indicado. Resolva-as
i)
(
cos y + 2e−x cosx
y
)
y′ +
(
sen y
y
− 2e−x senx
)
= 0, µ (x, y) = yex
ii) x
(
1 + y2
)
y′ − (x2y3) = 0, µ (x, y) = 1xy3
iii) (2x− yey) y′ + y = 0, x > 0, y > 0, µ (x, y) = y
iv) x cos (y) y′ + (x+ 2) sen y = 0, µ (x, y) = xex.
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17. Solucione a equac¸a˜o diferencial(
x2 + xy
)
y′ +
(
3xy + y2
)
= 0
usando o fator integrante µ (x, y) =
1
xy (2x+ y)
. Verifique que a soluc¸a˜o
e´ a mesma daquela obtida em sala de aula usando um fator integrante
diferente.
18. Por meio da mudanc¸a de varia´veis estabecida em sala de aula (u = yx )
resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais homogeˆneas
i) xy′ + x− y = 0 ii) xy′ + x+ y = 0
iii) (y − 2x) y′ + x = 0 iv) 2 (x+ y) y′ = y
v) −x2y′ + y2 + xy vi) x2y′ + y2 + xy = 0
vii) y′ =
y − x
y + x
viii) y′ =
x+ 3y
3x+ y
ix)
(
x+
√
xy
)
y′ − y = 0 x) xy′ = y +
√
x2 − y2, x > 0
19. Usando o me´todo desenvolvido em sala de aula, resolva as equac¸o˜es do
tipo Bernoulli abaixo.
i) x2y′ + 2xy − y3 = 0, x > 0.
ii) y′ = ry − ky2, r > 0, k > 0.
iii) y′ = �− σy3, � > 0, σ > 0.
iv) y′ = (Γ cos t+ T ) y − y3, Γ e T sa˜o constantes.
20. No Ca´lculo de curvas planas, aprende-se que a curvatura κ de uma curva
y = y (x) no ponto (x, y) e´ dada por
κ =
|y′′ (x)|[
1 + (y′ (x))2
]3/2
e que a curvatura de uma circunfereˆncia de raio r e´ κ = 1r . Reciproca-
mente, conclua que as u´nicas curvas planas com curvatura constante 1r sa˜o
as circunfereˆncias na forma
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2 .
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21. A propagac¸a˜o de uma u´nica ac¸a˜o em uma grande populac¸a˜o (por exemplo,
motoristas furando o sinal vermelho ao poˆr do Sol) depende frequente-
mente em parte das circunstaˆncias externas (cair da noite) e em parte da
tendeˆncia de imitar outra pessoa que ja´ realizou a ac¸a˜o em questa˜o. Neste
caso, a proporc¸a˜o y (t) de pessoas que realizaram a ac¸a˜o pode ser descrita
pela equac¸a˜o
dy
dt
= (1− y) [x (t) + by] ,
na qual x (t) mede o est´ımulo externo no tempo t e b e´ o coeficiente de
imitac¸a˜o.
i) Observe que a equac¸a˜o acima e´ do tipo Riccati, e que y1 (t) = 1 e´
uma soluc¸a˜o particular. Usando a transformac¸a˜o mostrada em sala
de aula, encontre a equac¸a˜o linear satisfeita por v = v (t).
ii) Encontre v = v (t) no caso em que x (t) = at, na qual a e´ uma cons-
tante. Deixe sua resposta sob a forma de uma integral.
22. Em um trabalho de Daniel Bernoulli de 1760, seu objetivo era avaliar a
eficieˆncia de um controverso me´todo de vacinac¸a˜o contra a var´ıola, que
em seu tempo era a maior ameac¸a a` sau´de pu´blica. Seu modelo e´ igual-
mente bem aplicado a qualquer doenc¸a que, uma vez contra´ıda e tenha
sobrevivido, confere um tempo de vida a` imunidade. Considere o grupo de
indiv´ıduos nascidos em um dado ano (t = 0), e seja n (t) o nu´mero de in-
div´ıduos que sobreviveram t anos depois. Seja x (t) o nu´mero de membros
desse grupo que na˜o tiveram var´ıola ate´ o ano t, e que esta˜o dessa maneira
ainda suscept´ıveis. Sejam β a taxa com que indiv´ıduos suscept´ıveis a con-
tra´ıem var´ıola e ν a taxa de indiv´ıduos que contraem var´ıola e morrem
dessa doenc¸a. Finalmente seja µ (t) a taxa de mortes com outras causas
(todas as causas exceto var´ıola). Enta˜o
dx
dt
, a taxa na qual o nu´mero de
indiv´ıduos suscept´ıveis diminui, e´ dada por
dx
dt
= −βx− µ (t)x ; (})
no segundo membro, o primeiro termo e´ a taxa com que indiv´ıduos sus-
cept´ıveis contraem var´ıola, enquanto o segundo termo e´ a taxa com a qual
esses indiv´ıduos morrem de outras causas. Tambe´m,
dn
dt
= −νβx− µ (t)n, (}})
na qual
dn
dt
e´ a taxa de morte no grupo todo, o primeiro termo do segundo
membro e´ a taxa de mortes devida a` var´ıola, e o segundo termo do segundo
membro a taxa de mortes devida a` outras causas.
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i) Seja z =
x
n
e mostre que z satisfaz ao problema de valor inicial∣∣∣∣∣∣
dz
dt
= −βz (1− νz)
z (0) = 1.
(}}})
Observe que o problema de valor inicial (}}}) na˜o depende de µ (t).
ii) Encontre z = z (t) resolvendo o problema (}}}).
iii) Bernoulli estimou ν = β = 18 . Usando esses valores, determine a pro-
porc¸a˜o de indiv´ıduoscom 20 anos de idade que na˜o tiveram var´ıola.1
23. Mostre que a substituic¸a˜o v = ln y transforma a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
+ P (x) y = Q (x) (y ln y)
na equac¸a˜o diferencial linear
dv
dx
−Q (x) v + P (x) = 0 .
24. Uma equac¸a˜o na forma
y = xy′ + g (y′) (⊕)
e´ chamada de uma Equac¸a˜o de Clairaut. Mostre que a famı´lia a um
paraˆmetro de linhas retas descrita por
y (x) = Cx+ g (C)
e´ uma soluc¸a˜o geral de (⊕).
“Quando eu estiver contigo no fim do dia, podera´s ver as minhas cicatrizes, e
enta˜o sabera´s que eu me feri e tambe´m que me curei.”
Rabindranath Tagore (1861-1941)
1Baseado no modelo acima descrito, e usando os melhores dados de mortalidade dispon´ıveis
na e´poca, Bernoulli calculou que se as mortes por var´ıola pudessem ser eliminadas (ν = 0),
enta˜o aproximadamente treˆs anos poderiam ser adicionados a` expectativa de vida me´dia (em
1760) de 26 anos e 7 meses. Ele portanto apoiou o programa de vacinac¸a˜o.
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