Dimensionamento das armaduras de escadas - Tema 2

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de Almeida e do Centro Universitário Jorge Amado. Qualquer uso não autorizado, reprodução ou distribuição (incluindo o upload para 
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Tema 2 
Dimensionamento das armaduras de escadas 
 
 
Quais etapas o processo de dimensionamento 
envolve? 
 
O dimensionamento de uma escada consiste em determinar o posicionamento do aço 
para o tipo de escada definido em projeto, sempre levando em consideração os 
esforços existentes na estrutura. Em nossos estudos, abordaremos, especificamente, 
o dimensionamento de escadas com lances adjacentes sem vigas laterais inclinadas, 
que é muito parecido com o processo que utilizamos para lajes maciças ou vigas. 
 
Para que nosso estudo seja mais proveitoso, será apresentado um estudo de caso 
com um roteiro. 
 
Estudo de caso – roteiro 
 
Veja a planta a seguir, que apresenta o caso que estudaremos. 
 
Observação 
Considere as medidas em cm. 
 
Temos uma escada com um total de 16 degraus. Essa escada apresenta um trecho 
inclinado de 8 degraus, um patamar e a continuação em outro trecho inclinado com 
mais 8 degraus. 
 
 
 
Dados a considerar para o estudo de caso: 
 
• fcd = 1,52 kN/cm² – resistência de projeto do concreto. 
 
 
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• fyd = 43,48 kN/cm² – resistência de projeto do aço. 
• Carga de revestimento = 0,8 kN/cm². 
• γconcreto armado = 25 kN/m³ – Fonte: NBR 6120 (2019). 
• Carga acidental = 2,5 kN/m² – Fonte: NBR 6120 (2019). 
 
Atenção: 
 
• Considerar parapeito de alvenaria de tijolos cerâmicos furados com 1 
m de altura e 15 cm de espessura -> γ = 13 kN/m³ – Fonte: NBR 6120 
(2019). 
• Considerar carga vertical acidental de 2 kN/m no parapeito. 
• Cobrimento para CAAI = 2,5 cm. 
 
As imagens a seguir representam os cortes no plano A-A’ e B-B’. A representação em 
corte é fundamental para entender quais valores vamos considerar em nosso projeto. 
 
No corte, visualizamos o tamanho de espelho e do passo, a espessura da laje, o 
posicionamento dos degraus em relação às vigas e o ângulo do plano inclinado. 
 
Corte A-A’ (medidas em cm): 
 
 
 
Corte B-B” (medidas em cm): 
 
 
 
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Para entender o processo de dimensionamento, dividiremos nosso roteiro em passos, 
que apresentaremos a seguir. 
 
Passo 1: determinação dos esforços 
 
A primeira etapa consiste em entender os cortes e o projeto como um todo e, 
baseando-se nos dados iniciais, determinar as cargas no patamar e no trecho 
inclinado. Vale ressaltar que, para os dois trechos, teremos uma representação para o 
corte A-A’ e B-B’. 
 
Veja a figura a seguir: 
 
 
 
Sendo: 
 
• p2 o carregamento situado sobre o trecho inclinado. 
• p1 o carregamento situado sobre o trecho reto (patamar). 
 
O desenho é representado de forma bidimensional, mas é importante compreender 
que estamos representando um elemento de placa (laje), tridimensional. 
 
As medidas de projeção horizontal (2,09 m e 1,37 m) são obtidas somando as 
medidas em planta (203 cm e 130,5 cm) com as medidas para chegar até o eixo das 
vigas de apoio (6 cm). 
 
 
 
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Como essa escada não apresenta vigas inclinadas nas bordas laterais, entendemos 
que ela tem dois apoios: as vigas V28 e V29. 
 
Temos, então, uma representação gráfica de dois pórticos isostáticos planos. 
 
Cargas no patamar p1 
 
A carga a ser considerada é dada pela soma da carga permanente com a carga 
variável, como mostra a formulação a seguir: 
 
p1 = g + q 
 
Cargas permanentes (g) 
 
Peso próprio: 
25 kN/m³ .𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 m = 3 kN/m² 
 
Nota 
(sempre multiplicamos a espessura da laje pelo γconcreto armado) 
 
Revestimento: 0,8 kN/m² (dado informado nas considerações iniciais do problema). 
 
𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈,𝒑𝒑𝟏𝟏 = 𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎² + 𝟎𝟎,𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎² = 𝟑𝟑,𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎² 
 
Carga acidental (q) 
𝒒𝒒𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈,𝒑𝒑𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎² 
 
𝑝𝑝1 = 𝑔𝑔 + 𝑞𝑞 
𝒑𝒑𝟏𝟏 = 𝟑𝟑,𝟖𝟖 + 𝟏𝟏,𝟓𝟓 = 𝟔𝟔,𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎² 
 
Cargas no trecho inclinado p2 
 
A carga a ser considerada é dada pela soma da carga permanente com a carga 
variável, como mostra a formulação a seguir: 
𝑝𝑝1 = 𝑔𝑔 + 𝑞𝑞 
 
Cargas permanentes (g) 
 
Para determinar o peso próprio, precisamos definir a espessura do trecho inclinado, 
considerando os degraus da escada. Então precisamos definir o valor da espessura 
média, como mostram as formulações e o desenho a seguir. 
 
 
 
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Da inclinação, sabemos que: 
 
 
 
cos α =
cateto adjacente
hipotenusa
 
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 =
𝑐𝑐
�𝑐𝑐2 + 𝑒𝑒²
=
29
�292 + 17,5²
= 0,856 
 
Espessura vertical da laje sem degraus: 
 
ℎ1 =
ℎ
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼
 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (ℎ1 ≥ 7 𝑐𝑐𝑐𝑐) 
 
ℎ1 =
12
0,856
= 14 𝑐𝑐𝑐𝑐 
 
Espessura média: 
 
ℎ𝑚𝑚 = ℎ1 +
𝑒𝑒
2
 
ℎ𝑚𝑚 = 14 +
17,5
2
= 22,8 𝑐𝑐𝑐𝑐 
 
Peso próprio: 
 
25 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐³ .𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝑐𝑐 = 5,7 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐² 
 
(sempre multiplicamos a espessura da laje pelo 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐) 
 
Revestimento: 0,8 kN/m² (dado informado nas considerações iniciais do problema). 
 
Considerando parapeito de alvenaria de tijolos cerâmicos furados com 1 m de altura e 
15 cm de espessura, temos que  γ = 13 kN/m³. 
 
 
 
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Assim, temos: 
 
• Carga parapeito = 13 kN/m³ . 1 m . 0,15 m. 
• Carga parapeito = 1,95 kN/m. 
 
Sabemos que a carga do parapeito está situada em uma das bordas da laje da 
escada, mas, por simplificação, vamos considerar essa carga do parapeito sobre a laje 
da escada. 
 
 
 
 
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Para obter a carga por m² de laje, dividimos a carga parapeito pela largura da escada: 
 
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑔𝑔𝐶𝐶 𝑝𝑝𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑐𝑐 = 
1,95 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐
1,27 𝑐𝑐
= 1,54 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐² 
 
𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈,𝒑𝒑𝟏𝟏 
 
= 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝒈𝒈 𝒑𝒑𝒑𝒑ó𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒈𝒈 + 𝑹𝑹𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑷𝑷𝒈𝒈𝒑𝒑𝒎𝒎𝑷𝑷𝑹𝑹𝒈𝒈𝒈𝒈 + 𝑷𝑷𝒈𝒈𝒑𝒑𝒈𝒈𝒑𝒑𝑷𝑷𝒑𝒑𝒈𝒈𝒈𝒈 
 
= 𝟓𝟓,
𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎𝟏𝟏 + 𝟎𝟎,
𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎𝟏𝟏 + 𝟏𝟏,
𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎𝟏𝟏 
 
= 𝟖𝟖,𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎² 
 
Carga acidental (q) 
 
Considerar carga vertical de utilização de 2 kN/m no parapeito (pessoas apoiando). 
 
Também por simplificação, vamos considerar essa carga acidental do parapeito sobre 
a laje da escada. 
 
Para obter a carga por m² de laje, dividimos a carga do parapeito pela largura da 
escada, sendo: 
 
• q,parapeito,p2 = 2 kN/m/1,27 m. 
• q,parapeito,p2 = 1,57 kN/m². 
 
Também devemos considerar a carga de utilização da estrutura: 
 
𝑞𝑞, 𝑝𝑝2 = 2,5 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐² 
 
𝒒𝒒𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈,𝒑𝒑𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎² + 𝟏𝟏,𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎² = 𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎² 
 
𝑝𝑝1 = 𝑔𝑔 + 𝑞𝑞 
 
𝒑𝒑𝟏𝟏 = 𝟖𝟖,𝟎𝟎𝟓𝟓 + 𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎² 
 
Cargas resultantes e esforços 
 
De posse dos valores dos carregamentos, podemos determinar as cargas resultantes 
por trecho e, dessa forma, obter as reações de apoio. 
 
 
 
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Observe a figura a seguir: 
 
 
 
Ainda que a imagem represente uma estrutura plana, temos que lembrar que esse 
carregamento está distribuído sobre a área da laje. 
 
Para que você entenda melhor esse conceito, à direita da imagem, apresentamos uma 
visão 3D da forma, indicada pela seta vermelha, como o carregamento resultante 
estaria distribuído na laje do patamar. 
 
Relembremos o estudo das estruturas isostáticas: a carga resultante é 
dada pelo produto da carga distribuída pelo comprimento em que ela está 
distribuída. 
 
No caso em estudo, para o trecho inclinado, vamos ter uma resultante 
obtida pelo produto do valor de 12,11 kN/m² pela projeção do trecho 
inclinado sobre a horizontal (2,09 m). 
 
A determinação das reações de apoio, bem como dos diagramas de momento fletor e 
esforço cortante, se dá pelo uso do Ftool ou cálculos manuais. Recomenda-se o uso 
do Ftool para simplificação do processo. 
 
A obtenção das reações de apoio pode acontecer de forma simplificada por meio das 
equações de equilíbrio. 
 
Podemos determinar Ra, sabendo que o somatório dos momentos fletores no ponto 
onde está a V29 deve ser nulo: 
 
𝑅𝑅𝐶𝐶 = (25,3 ∗ (1,37 + 1,045) + 8,63 ∗ 0,685))/3,46 
 
 
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𝑅𝑅𝐶𝐶 = 19,37 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐 
 
Podemos determinar Rb, sabendo que o somatório das forças na direção Y deve ser 
nulo: 
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 25,3 + 8,63 − 19,37 
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 14,56 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐 
 
As reações, assim como as cargas resultantes, estão distribuídas ao longo da largura 
da escada, por isso temos valores em kN/m. 
 
Para quem optar realizar todo o processo pelo Ftool, deixamos como 
observação o lembrete do correto procedimento para lançar o 
carregamento distribuído no trecho inclinado: deve-se pegar a carga 
resultante e dividir pelo comprimento do trecho inclinado. 
 
O valor a ser lançado no Ftool é o resultado dessa operação, uma vez que 
o programa não lança cargas sobre projeção de trecho inclinado. 
 
Como resultado, obtemos os diagramas de esforço apresentados a seguir, ressaltando 
que os valores são obtidos por cada metro de base da laje: 
 
 
Diagrama de momento fletor – 𝑴𝑴𝒌𝒌 (𝒌𝒌𝒌𝒌𝒎𝒎/𝒎𝒎) 
 
 
Diagrama de esforço cortante – 𝑽𝑽𝒌𝒌 (𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎) 
 
 
 
 
 
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Passo 2: dimensionamento das armaduras 
 
Como a escada é armada longitudinalmente, a armadura principal de flexão é obtida 
pelo dimensionamento de uma seção transversal retangular com largura 𝑅𝑅 = 100 𝑐𝑐𝑐𝑐 e 
altura ℎ = 12 cm. 
 
Para a altura útil, adota-se o valor igual a: 
 
𝑑𝑑 = ℎ − 2,5 = 12 − 2,5 = 9,5 𝑐𝑐𝑐𝑐 
 
(Lembrando que 2,5 cm é o cobrimento para CAAI) 
 
Isso quer dizer que estamos assegurando que a armadura seja alocada em uma 
posição que não comprometa a estrutura. 
 
Nota 
Vamos adotar o aço CA50, pois, em geral, precisamos utilizar barras longitudinais de 
diâmetros maiores. 
 
Esforço solicitante de projeto 
 
Os esforços solicitantes de projeto sempre serão obtidos com a multiplicação do valor 
do esforço característico máximo pelo coeficiente de majoração. 
 
Nesse caso, vamos trabalhar o estado limite último (ELU) combinação normal. 
 
• Momento fletor: 
 
𝑀𝑀𝑘𝑘,𝑚𝑚á𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 = 15,5 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑐𝑐/𝑐𝑐 
𝑀𝑀𝑎𝑎 = 𝑀𝑀𝑘𝑘 ∙ 𝛾𝛾 = 15,5 ∙ 1,4 = 21,7 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑐𝑐/𝑐𝑐 
 
• Esforço cortante: 
 
𝑉𝑉𝑎𝑎 = 𝑉𝑉𝑘𝑘 ∙ 𝛾𝛾 = 16,6 ∙ 1,4 = 23,24 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐 
 
Resistências de projeto 
 
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 = 1,52 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐𝑐𝑐² – resistência de projeto do concreto. 
• 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑎𝑎 = 43,48 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐𝑐𝑐² – resistência de projeto do aço. 
 
Área de aço longitudinal 
 
Vamos obter a área de aço com a utilização das formulações aprendidas nos estudos 
de vigas em concreto armado. 
 
Consideraremos a laje como se fosse uma viga com base de 1 m = 100 cm. 
 
 
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• Posição da linha neutra: 
 
𝜒𝜒 = 1,25 𝑑𝑑 ∙ �1 −�1 −
𝑀𝑀𝑎𝑎
0,425 ∙ 𝑅𝑅 ∙ 𝑑𝑑² ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎
� 
𝜒𝜒 = 1,25 ∙ 9,5 ∙ �1 −�1 −
2170
0,425 ∙ 100 ∙ 9,52 ∙ 1,52
� = 2,5 𝑐𝑐𝑐𝑐 
 
• Verificação: 
 
𝜒𝜒𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0,45 ∙ 𝑑𝑑 
𝜒𝜒𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0,45 ∙ 9,5 = 4,3 𝑐𝑐𝑐𝑐 – OK! 
 
• Área de aço longitudinal: 
 
𝐴𝐴𝑠𝑠 =
𝑀𝑀𝑎𝑎
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑎𝑎 ∙ (𝑑𝑑 − 0,4𝜒𝜒) 
𝐴𝐴𝑠𝑠 =
2170
43,45 ∙ (9,5 − 0,4 . 2,5) = 5,9 𝑐𝑐𝑐𝑐2/𝑐𝑐 
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑚𝑚í𝑐𝑐 = 0,15 ∙ 12 ∙
100
100
= 1,8 𝑐𝑐𝑐𝑐2/𝑐𝑐 (𝑐𝑐𝑘𝑘!) 
 
 
 
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Para determinar qual bitola vamos adotar e o espaçamento, utilizamos a tabela a 
seguir: 
 
 
 
Dentre as várias opções que poderíamos adotar, vamos escolher ϕ10.0 c/13, ou seja, 
vamos alocar uma barrade diâmetro de 10 mm a cada 13 cm. Essa escolha nos 
resulta uma área de aço de 6,08 cm² para cada metro de laje, resultado satisfatório, 
uma vez que precisamos de 5,9 cm² para cada metro de laje. 
 
Área de aço de distribuição 
 
Na direção transversal ao eixo da escada, deve-se dispor uma armadura de 
distribuição com área dada pelo maior dentre os seguintes valores: 
 
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑎𝑎𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠𝑑𝑑𝑚𝑚çã𝑐𝑐 ≥
⎩
⎨
⎧
𝐴𝐴𝑠𝑠
5
0,9 𝑐𝑐𝑐𝑐²
0,5 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑚𝑚í𝑐𝑐
 
 
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑎𝑎𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠𝑑𝑑𝑚𝑚çã𝑐𝑐 ≥
⎩
⎨
⎧
5,9
5
= 1,18 𝑐𝑐𝑐𝑐2/𝑐𝑐
0,9 𝑐𝑐𝑐𝑐2/𝑐𝑐
0,5 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑚𝑚í𝑐𝑐 = 0,5 ∙ 1,8 = 0,9 𝑐𝑐𝑐𝑐2/𝑐𝑐
 
 
Logo 𝐴𝐴𝑐𝑐,𝑑𝑑𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝 = 1,18 𝑐𝑐𝑐𝑐²/𝑐𝑐 – Analisando a mesma tabela que usamos para 
determinar a área de aço principal, verificamos que podemos adotar ϕ5.0 c.17. 
 
 
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Com isso, finalizamos a etapa de dimensionamento e obtenção das armaduras que 
serão dispostas na escada em estudo. No próximo tema da presente unidade, vamos 
continuar trabalhando o mesmo estudo de caso e entender o passo a passo para o 
detalhamento da armadura.