P3_2023_2 (1)

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Q1 Q4 Total Disciplina MAT01167 UFRGS Equações diferenciais II 2,5 2,5 2,5 10 UNIVERSIDADE FEDERAL Prova 3 - 07/02/2024 DO RIO GRANDE DO SUL OBS. Se necessário, na resolução de uma questão, você pode citar a solução de uma questão anterior. Questões: 1. (2,5pt) Encontre todos os valores de 1 para os quais o problema abaixo tenha soluções não identicamente nulas e exiba as correspondentes soluções. 2. (2,5pt) Encontre a série de Fourier-cosseno da função f(x) = x no intervalo [0,1]. 3. (2,5pt) Encontre a função de duas variáveis u(x,t) que satisfaz o seguinte problema, que corresponde a uma equação do calor com fronteira isolada. V V V VCaso = y(x) = + = C1=C2 Para = pois aperas a Se C2 = = Caso = = +C2 (1)=0 = Para Logo, Se = ne N*, CER se =c, CER 2) f(x) = 2 + an as = L 2 f(x)dx n=1 an= 2 L = e L=1, 2 Σ an cas(n92x) = 2 xdx = 2 0 = 2.1 2 90=1 90= 1 D 2 I + 1 an= 2 + nr 1 to an = 2 1 e = N 1]. Se n= 2K, KE 2 Se = 2K-1, KEN*, 2 (-2) = -4 Assim, = 2 n=1 (2n-1)2 3) = Assumindo que = 4(t), 4x = y(x) = = = = (I) 4(t) - =0 (II) resolvido na 1 e = = gerando 00 = Co. = = dt Assim, = e 11Desta = Co+ 8 que X, = Co + na n=1 Questão 2 assim, 1 8 Co = 90 = 1 e = -4 u(x,t)= - 4 2 2 2 (2n-1)2 4) + 1 + 1 O, V = (r, 6) =0, 4 (1,0) = R/6) limitada ±00) + + Assumindo = =0 por +r = 0 (I) + = = + 2 + a = ± = = Se = +C2 ha trivial Se = = = = has não trivial. 6 Se = + J 11 = 6 = nEN* e Resolvendo (I): m(m-1) + m = = Anr -6n + Como [0, 1), lim = +00 An=0 u(r,o) = n=1 como u = 8 e a serie de n=1 de é a Sen (120) = sen(6n8) n=2 e C2= = 3 Se 2, Assim, (120)