A3 SISTEMAS

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Atividade 3 (A3) 
Moisés Antunes Martins Ramos 
 
1. Modelo físico e hipóteses 
• Bloco de massa 𝑚desloca-se verticalmente com coordenada 𝑦(𝑡)(para 
cima positiva). 
• Força externa aplicada 𝑓(𝑡)(vertical, sentido para cima). 
• Mola linear com constante 𝑘entre bloco e solo (força elástica = 𝑘 𝑦). 
• Amortecedor linear viscoso com coeficiente 𝑏(força viscosa = 𝑏 �̇�). 
• Pequenas oscilações, linhas de ação coincidentes, comportamento 
linear (mola e amortecedor lineares). 
Energeticamente: a mola armazena energia elástica 
1
2
𝑘𝑦2; o amortecedor 
dissipa energia (converte em calor) proporcional à velocidade; a massa 
armazena energia cinética 
1
2
𝑚�̇�2. A energia total se conserva exceto pelo 
término dissipado no amortecedor e pelo trabalho da força externa. 
 
2. Equação diferencial (equação do movimento) 
Aplicando Segunda Lei de Newton (soma das forças = 𝑚�̈�). Tomando forças 
positivas para cima: 
• Força externa: 𝑓(𝑡) 
• Força da mola: −𝑘 𝑦(𝑡)(retorna para o solo) 
• Força do amortecedor: −𝑏 �̇�(𝑡) 
Logo: 
𝑚�̈�(𝑡) + 𝑏�̇�(𝑡) + 𝑘𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑡). 
 
Esta é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea que descreve 
completamente o comportamento translacional do sistema. 
 
3. Função de transferência (força →deslocamento) 
Tomando transformada de Laplace (condições iniciais nulas): 
𝑚𝑠2𝑌(𝑠) + 𝑏𝑠𝑌(𝑠) + 𝑘𝑌(𝑠) = 𝐹(𝑠). 
 
Logo a função de transferência 𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝐹(𝑠)
é: 
 𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
1
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘
  . 
 
Observações: 
• Se a saída desejada fosse velocidade ou aceleração, basta multiplicar 
por 𝑠ou 𝑠2: 𝑉(𝑠) = 𝑠𝑌(𝑠), 𝐴(𝑠) = 𝑠2𝑌(𝑠). 
• Frequentemente escreve-se o denominador em forma padronizada 
usando 𝜔𝑛e 𝜁(ver abaixo). 
 
4. Parâmetros dinâmicos padrão 
Defina: 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
(frequência natural não amortecida, rad/s) 
𝜁 =
𝑏
2𝑚𝜔𝑛
=
𝑏
2√𝑘𝑚
(razão de amortecimento adimensional) 
 
Reescrevendo 𝐺(𝑠)em forma normalizada: 
𝐺(𝑠) =
1
𝑚
⋅
1
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2. 
 
(Nota: a forma clássica unitária muitas vezes considera entrada como força 
por unidade de massa; a forma acima está consistente com entrada força e 
saída deslocamento.) 
 
5. Critérios e mecanismos de dimensionamento práticos 
Para projetar/dimensionar (𝑚, 𝑘, 𝑏) a partir de requisitos, usamos as 
especificações dinâmicas desejadas: 
1. Especificar requisitos de desempenho 
Exemplos: tempo de assentamento 𝑡𝑠, máxima sobressinal 𝑀𝑝, 
frequência de operação/isolação, limite de deslocamento estático, 
amplitude de vibração admissível, carga estática 𝐹𝑒𝑠𝑡, resistência 
mecânica, vida em fadiga. 
2. Escolher 𝜔𝑛e 𝜁desejados 
Relação com especificações temporais (aproximações para segundo ordem sub 
amortecido): 
Sobressinal máximo 𝑀𝑝(em %): 𝑀𝑝 = 𝑒
−
𝜋𝜁
√1−𝜁2
. Inverte para obter 𝜁. 
 Tempo de acomodação (2% ou 5%): 𝑡𝑠 ≈
4
𝜁𝜔𝑛
(para 2%). 
 se deseja isolamento de vibração para excitações em frequência 𝜔, tipicamente quer-
se 𝜔/𝜔𝑛 > √2(ou maior) para boa atenuação (dependendo do amortecimento). 
3. Calcular 𝒌a partir de 𝒎e 𝝎𝒏 
 
4. Calcular 𝒃a partir de 𝜻 
𝑏 = 2𝑚𝜁𝜔𝑛 = 2𝜁√𝑘𝑚. 
 
5. Verificar deflexão estática 
Para carga estática 𝐹𝑒𝑠𝑡(por ex. peso = 𝑚𝑔ou força aplicada), deslocamento 
estático: 
𝛿𝑠𝑡 =
𝐹𝑒𝑠𝑡
𝑘
. 
 
Deve ficar dentro do curso permitido do sistema (folgas, limites de excursão). 
 
6. Capacidade de força do atuador 
Atuar sobre 𝑓(𝑡): garantir que o atuador consiga pico e contínuo necessários 
sem saturação. 
7. Verificações mecânicas e de segurança 
• Tensões na mola (e suas ligações) — fadiga se cargas cíclicas. Escolher 
material e segurança. 
• Limites de velocidade/curso do amortecedor. 
 
8. Testes de ressonância e transmissibilidade 
 
Para excitação harmónica por força 𝑓(𝑡) = 𝐹0cos⁡(𝜔𝑡), a amplitude de regime 
estacionário (deslocamento) tem ganho: 
∣ 𝐺(𝑗𝜔) ∣=
1
√(𝑘 −𝑚𝜔2)2 + (𝑏𝜔)2
. 
 
Transmissibilidade (em casos de excitação de base existe outra fórmula); 
aqui servimos o uso acima para avaliar picos em 𝜔 ≈ 𝜔𝑛. 
 
9. Ajustes finos 
• Se a resposta ressonante for muito alta, aumentar 𝑏(mais 
amortecimento) ou deslocar 𝜔𝑛(alterar 𝑘ou 𝑚). 
• Para isolamento de alta frequência reduzir 𝜔𝑛(muito comum: 𝜔𝑛baixo 
→ boa atenuação acima de 𝜔𝑛, mas maior deslocamento estático). 
 
6. Pequeno exemplo numérico ilustrativo 
Suponha massa 𝑚 = 10 k ge requisitos: tempo de 
acomodação 𝑡𝑠 ≈ 4 s (2% criterio) e sobressinal 
pequeno (𝜁 ≈ 0.3). 
Aproximação: 
𝑡𝑠 ≈
4
𝜁𝜔𝑛
⇒ 𝜔𝑛 ≈
4
𝜁𝑡𝑠
=
4
0.3 × 4
≈ 3.33 rad/s. 
 
Então 
𝑘 = 𝑚𝜔𝑛
2 = 10 × (3.33)2 ≈ 111 N /m. 
 
E 
𝑏 = 2𝑚𝜁𝜔𝑛 = 2 × 10 × 0.3 × 3.33 ≈ 20 N  s/m 
(Estes valores são ilustrativos; sempre validar deslocamento estático, picos 
na resposta e limites mecânicos.) 
 
7. Considerações finais e checklist de projeto 
 
• Defina claramente as entradas (força externa, base motion, choque) 
e saídas (deslocamento, velocidade, aceleração). 
• Escolha métrica de desempenho (overshoot, tempo de 
assentamento, banda, transmissibilidade). 
• Use as fórmulas: 𝑘 = 𝑚𝜔𝑛
2, 𝑏 = 2𝑚𝜁𝜔𝑛, 𝛿𝑠𝑡 = 𝐹𝑒𝑠𝑡/𝑘. 
• Verifique limites de curso, tensões e fadiga. 
• Simule (resposta livre e forçada) — por exemplo em MATLAB/Simulink 
ou Python — para confirmar comportamento transitório e em regime. 
• Considere não linearidades reais (atrito, limitação de curso, histerese) 
e planejamento de testes experimentais.