CÁLCULO - J4M3S ST3W4RT vol2 COMPLETO

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A arte de ensinar, segundo Mark van Doren, é a de tomar parte em descobertas. Tentei escre-
ver um livro que tome parte na descoberta do cálculo pelos estudantes – por seu aspecto
prático, bem como por sua surpreendente beleza. Nesta edição, como nas quatro anteriores,
pretendi transmitir aos estudantes um sentido de utilidade do cálculo e desenvolver com-
petência técnica, mas também me empenhei em dar uma avaliação da beleza intrínseca do
assunto. Newton sem dúvida experimentou uma sensação de triunfo no momento de suas
grandes descobertas. Eu gostaria que os estudantes partilhassem dessa emoção.
A ênfase está na compreensão dos conceitos. Penso que todos concordam que essa deve
ser a meta principal no ensino do cálculo. De fato, o ímpeto para o atual movimento de
reforma do cálculo vem da Conferência de Tulane, de 1986, que formulou como recomen-
dação fundamental:
Focalizar na compreensão conceitual.
Tentei implementar essa meta através da Regra de Três: "Tópicos devem ser apresentados
geométrica, numérica e algebricamente". Visualização, experimentação numérica e gráfica e
outras abordagens mudaram radicalmente a forma de ensinar o raciocínio conceitual. Mais
recentemente, a Regra de Três foi expandida tornando-se a Regra de Quatro com o acrés-
cimo do ponto de vista verbal ou descritivo.
O Que É Novo Nesta Edição
Enquanto preparava a quinta edição deste livro, passei um ano na Universidade de Toronto
ensinando Cálculo utilizando a edição anterior. Eu ouvia atentamente as perguntas de meus
alunos e as sugestões de meus colegas. E, cada vez que preparava uma aula, ficava pensando
se algum exercício a mais era necessário ou se uma frase deveria ser melhorada ou, ainda, se
uma seção deveria ter mais exercícios de um certo tipo. Além disso, prestei muita atenção às
sugestões enviadas por vários leitores e aos comentários dos meus revisores.
Uma fonte não muito comum de problemas novos foi um telefonema de um amigo
meu, Richard Armstrong. Richard é sócio de uma firma de consultoria em engenharia e 
orienta os clientes que controem hospitais e hotéis. Ele me disse que, em certas partes do
mundo, os sistemas de sprinklers de prédios grandes são abastecidos de água por comparti-
mentos localizados nos tetos desses prédios. Naturalmente ele sabia que a pressão da água
diminui quando o nível de água decresce, mas queria quantificar esse decréscimo de maneira
que seus clientes pudessem garantir uma certa pressão durante um dado período. 
2
Prefácio
Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema,
mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer
problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar
sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso
você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o
prazer do triunfo da descoberta.
George Polya
2
James Stewart PREFÁCIO �� 3
Eu lhe disse que poderia resolver esse problema usando as equações diferenciais sepa-
ráveis, porém ocorreu-me que esse problema poderia gerar um bom projeto de pesquisa
quando combinado com outras idéias. (Veja o projeto na página 605).
A estrutura desta edição permanece praticamente a mesma da anterior, no entanto, há
vários melhoramentos, pequenos e grandes:
• Duas seções no Capítulo 10 foram combinadas em uma só.
• Eu reescrevi a Seção 12.2 para dar mais ênfase à descrição geométrica dos vetores.
• Novas frases e notas de rodapé foram inseridas no texto para dar mais clareza à
exposição.
• Vários trabalhos de arte foram redesenhados.
• Os dados em exemplos e os exercícios foram atualizados no tempo.
• Foram incluídos alguns sites a mais em alguns dos exemplos já existentes.
• Cerca de 25% dos exercícios em cada capítulo são novos. Aqui estão alguns dos
meus favoritos:
Exercícios Página Exercícios Página Exercício Página
9.1 11-12 588 10.3 47-48 674 11.9 40 758
11.12 35 782 13.3 32-34 868 14.3 5-6 918
14.5 15-16 936
Foram adicionados novos problemas nas seções Problemas Quentes. Veja, por exemplo,
os Problemas 20 e 22 na página 790.
Características
Exercícios Conceituais A maneira mais importante de encorajar a compreensão conceitual é por meio dos proble-
mas que prescrevemos. Com essa finalidade, delineei vários tipos de novos problemas.
Alguns conjuntos de exercícios começam com questões exigindo a explicação do signifi-
cado do conceito básico da seção. (Veja, por exemplo, os exercícios nas Seções 11.2, 14.2
e 14.3.) Analogamente, todas as seções de revisão começam por uma verificação con-
ceitual e um teste do tipo verdadeiro–falso. Outros exercícios testam a compreensão 
conceitual através de gráficos e tabelas. Veja os Exercícios 1-2 na Seção 13.2, Exercício 27
na Seção 13.3, Exercícios 1, 2, 5 e 31-34 na Seção 14.1, Exercícios 1, 2 e 36 na Seção 14.6,
Exercícios 3-4 na Seção 14.7, Exercícios 5-10 na Seção 15.1, Exercícios 11-18 na Seção
16.1, Exercícios 17, 18 e 43 na Seção 16.2 e Exercícios 1, 2, 11 e 23 na Seção 16.3. Eu
particularmente valorizo problemas que combinam e comparam abordagens gráficas,
numéricas e algébricas (veja o Exercício 2 na Seção 9.5).
Conjuntos Gradativos de Exercícios Mais do que 30% dos exercícios são novos. Cada conjunto de exercícios é cuidadosamente
graduado, progredindo desde exercícios conceituais básicos e problemas destinados a
desenvolvimento de habilidades até problemas mais desafiantes envolvendo aplicações e
provas.
4 �� CÁLCULO Editora Thomson
Dados do Mundo Real Meu assistente e eu gastamos um bom tempo em bibliotecas, contatando companhias e
agências governamentais e procurando na Internet por dados do mundo real para intro-
duzir, motivar e ilustrar os conceitos do cálculo. Como resultado, muitos de nossos exem-
plos e exercícios tratam de funções definidas por tais dados numéricos ou gráficos.
Funções de duas variáveis são ilustradas por uma tabela de valores do fator de resfriamento
do vento como uma função da temperatura do ar e da velocidade do vento (Exemplo 2 da
Seção 14.1). As derivadas parciais são introduzidas na Seção 14.3, em que é examinada
uma coluna na tabela de valores do índice de calor (temperatura do ar sentida) como uma
função da temperatura real e da umidade relativa. Esse exemplo é aprofundado em
conexão com as aproximações lineares (Exemplo 3 da Seção 14.4). Derivadas direcionais
são introduzidas nas Seções 14.6 usando curvas de nível para estimar a taxa de variação da
temperatura em Reno em direção a Las Vegas. Integrais duplas são usadas para estimar a
média de queda de neve no Colorado durante o dia 24 de dezembro de 1982 (Exemplo 4
da Seção 15.1). Campos vetoriais são introduzidos na Seção 16.1 pela representação do
padrão de ventos na baía de São Francisco.
Projetos Uma maneira de envolver os estudantes e então torná-los aprendizes ativos é fazê-los tra-
balhar (talvez em grupos) em projetos de extensão, que dão um grande sentimento de rea-
lização quando finalizados. Isso inclui quatro tipos de projetos: a) Projetos Aplicados, que
envolvem aplicações destinadas a apelar para a imaginação dos estudantes. O projeto que
segue a Seção 9.3 indaga se uma bola atirada para cima leva mais tempo para atingir sua
altura máxima ou para cair até sua altura original. (A resposta poderá surpreendê-lo.) O
projeto que segue a Seção 14.8 usa multiplicadores de Lagrange para determinar as mas-
sas dos três estágios do foguete de tal forma a minimizar a massa total enquanto lhe per-
mite atingir a velocidade desejada. b) Projetos de Laboratório, que envolvem tecnologia.
O projeto que segue a Seção 10.2 mostra como usar as curvas de Bézier para desenhar for-
mas que representam letras para uma impressão a laser. c) Projetos Escritos, que pedem
aos estudantes que comparem métodos atuais com aqueles usados pelos fundadores do
cálculo – por exemplo, o método de Fermat para encontrar tangentes. São fornecidas refe-
rências. d) Projetos Descobertas,que antecipam resultados que serão discutidos posterior-
mente ou encorajam a descoberta através do reconhecimento do padrão. Outros exploram
aspectos da geometria: tetraedro (após a Seção 12.4), hiperesferas (após a Seção 15.7) e a
intersecção de três cilindros (após a Seção 15.8). 
Tecnologia A disponibilidade de tecnologia torna ainda mais importante compreender claramente os
conceitos que fundamentam as imagens na tela. Quando usados adequadamente, calcu-
ladoras gráficas e computadores são ferramentas valiosas na descoberta e compreensão
desses conceitos. Este livro pode ser usado com ou sem tecnologia, e usei dois símbolos
especiais para indicar quando um tipo especial de máquina for necessário. O ícone { indi-
ca um exemplo ou exercício que requer o uso de tal tecnologia, mas isso que não signifi-
ca que ela não possa ser usada também em outros exercícios. O símbolo é reservado
para os problemas em que é requerida toda a capacidade de um sistema algébrico com-
putacional (como Derive, Maple, Mathematica ou TI-92). Todavia, a tecnologia não torna
obsoletos o lápis e o papel. Cálculos à mão e esboços são freqüentemente preferíveis à tec-
nologia para ilustrar e reforçar alguns conceitos. Professores e estudantes precisam desen-
volver a habilidade para decidir quando é mais apropriado a máquina ou a mão.
CAS
James Stewart PREFÁCIO �� 5
Conteúdo
Modelagem é o tema que unifica este tratamento introdutório das equações diferenciais.
Campos de direção e o método de Euler são estudados antes das equações separáveis, e as
equações lineares são resolvidas explicitamente; assim, é dado o mesmo peso para as abor-
dagens qualitativa, numérica e analítica. Esses métodos são aplicáveis aos modelos expo-
nencial, logístico e outros para o crescimento populacional. As cinco primeiras seções
deste capítulo servem como uma boa introdução às equações diferenciais de primeira
ordem. A seção final, opcional, usa os modelos predador-presa para ilustrar os sistemas de
equações diferenciais. 
As seções em áreas e tangentes para curvas paramétricas e comprimento de arco e área de
superfície foram alinhados e combinados como Cálculo com curvas paramétricas. Projeto
de laboratório; os dois projetos apresentados aqui envolvem famílias de curvas e as curvas
de Bézier. Um breve tratamento de seções cônicas em coordenadas polares prepara o cami-
nho para as Leis de Kepler do Capítulo 13. 
Agora os testes de convergência têm justificações intuitivas (veja a página 723), bem como
provas formais. As estimativas numéricas das somas das séries estão baseadas no teste
usado para provar a convergência. A ênfase está em séries de Taylor e polinomiais e sua
aplicação à física. Estimativas de erro incluem aquelas para recursos gráficos.
O material em geometria analítica em três dimensões e vetores foi dividido em dois capí-
tulos. Este capítulo trata dos vetores, dos produtos escalar e vetorial, retas, planos, super-
fícies e coordenadas cilíndricas e esféricas.
Este capítulo cobre as funções a valores vetoriais, suas derivadas e integrais, o compri-
mento e a curvatura de curvas espaciais e a velocidade e aceleração ao longo de curvas
espaciais, culminando nas leis de Kepler.
Funções de duas ou mais variáveis são estudadas dos pontos de vista verbal, numérico,
visual e algébrico. Em particular, introduzi derivadas parciais observando uma coluna
específica em uma tabela de valores do índice de calor (temperatura do ar sentida) como
uma função da temperatura real e da umidade relativa. Derivadas direcionais são estimadas
a partir de curvas de nível da temperatura, pressão e precipitação da neve.
Curvas de nível e Regra do Ponto Médio são utilizadas para estimar a precipitação média
de neve e a temperatura média em uma dada região. As integrais duplas e triplas são usadas
para computar probabilidades, áreas de superfícies e (nos projetos) volumes de hiperes-
feras, e ainda, o volume da interseção de três cilindros.
São introduzidos os campos vetoriais através de gráficos de velocidade mostrando os padrões
de ventos da Baia de San Francisco. As similaridades entre o Teorema Fundamental para os
Integrais de Linhas, o Teorema de Green, o Teorema de Stokes e o Teorema da Divergência
são enfatizadas.
Como as equações diferenciais de primeira ordem são estudas no capítulo 9, este último capí-
tulo trata das equações diferenciais lineares de segunda ordem, sua aplicação às cordas
vibrantes e circuitos elétricos, e soluções em série.
Capítulo 17
Equações Diferenciais
de Segunda Ordem
Capítulo 16
Cálculo Vetorial
Capítulo 15
Integrais Múltiplas
Capítulo 14
Derivadas Parciais
Capítulo 13
Funções Vetoriais
Capítulo 12
Vetores e a Geometria do Espaço
Capítulo 11
Seqüências Infinitas e Séries
Capítulo 10
Equações Paramétricas e
Coordenadas Polares
Capítulo 9
Equações Diferenciais
9 Equações Diferenciais 582
9.1 Modelagem com Equações Diferenciais 583
9.2 Campos de Direção e o Método de Euler 589
9.3 Equações Separáveis 597
Projeto Aplicado Quão Rápido um Tanque Esvazia? 605
Projeto Aplicado O Que É Mais Rápido: Subir ou Descer? 606
9.4 Crescimento e Decaimento Exponencial 607
Projeto Aplicado Cálculo e Beisebol 618
9.5 A Equação Logística 619
9.6 Equações Lineares 628
9.7 Sistemas Predador–Presa 634
Revisão 640
Problemas Quentes 644
10 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 646
10.1 Curvas Definidas por Equações Paramétricas 647
Projeto de Laboratório Rolando Círculos ao Redor de Círculos 655
10.2 Cálculo com Curvas Paramétricas 655
Projeto de Laboratório Curvas de Bézier 644
10.3 Coordenadas Polares 665
10.4 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares 675
10.5 Seções Cônicas 680
10.6 Seções Cônicas em Coordenadas Polares 687
Revisão 692
Problemas Quentes 696
11 Seqüências Infinitas e Séries 698
11.1 Seqüências 699
Projeto de Laboratório Seqüências Logísticas 711
11.2 Séries 711
11.3 O Teste da Integral e Estimativas de Somas 721
11.4 Os Testes de Comparação 728
11.5 Séries Alternadas 733
11.6 Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da Raiz 738
11.7 Estratégia para Testar as Séries 745
11.8 Séries de Potências 747
11.9 Representações de Funções como Séries de Potências 752
11.10 Séries de Taylor e de Maclaurin 758
Projeto de Laboratório Um Limite Elusivo 769
11.11 A Série Binomial 770
Projeto Escrito Como Newton Descobriu a Série Binomial 773�
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7
Sumário
7
8 �� CÁLCULO Editora Thomson
11.12 Aplicações de Polinômios de Taylor 774
Projeto Aplicado Radiação Proveniente das Estrelas 782
Revisão 783
Problemas Quentes 787
12 Vetores e a Geometria do Espaço 792
12.1 Sistemas de Coordenadas Tridimensionais 793
12.2 Vetores 798
12.3 O Produto Escalar 806
12.4 O Produto Vetorial 813
Projeto Descoberta A Geometria do Tetraedro 821
12.5 Equações de Retas e Planos 822
Projeto de Laboratório Pondo 3D em Perspectiva 831
12.6 Superfícies Cilíndricas e Quádricas 831
12.7 Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 838
Projeto de Laboratório Famílias de Superfícies 843
Revisão 843
Problemas Quentes 846
13 Funções Vetoriais 847
13.1 Funções Vetoriais e Curvas Espaciais 848
13.2 Derivadas e Integrais de Funções Vetoriais 855
13.3 Comprimento de Arco e Curvatura 861
13.4 Movimento no Espaço: Velocidade e Aceleração 869
Projeto Aplicado Leis de Kepler 879
Revisão 880
Problemas Quentes 882
14 Derivadas Parciais 884
14.1 Funções de Várias Variáveis 885
14.2 Limites e Continuidade 898
14.3 Derivadas Parciais 907
14.4 Planos Tangentes e Aproximações Lineares 920
14.5 Regra da Cadeia 929
14.6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente 938
14.7 Valores Máximo e Mínimo 951
Projeto Aplicado Projeto de uma Caçamba 961
Projeto Descoberta Aproximação Quadrática e PontosCríticos 962
14.8 Multiplicadores de Lagrange 963
Projeto Aplicado Ciência dos Foguetes 970
Projeto Aplicado Otimização de uma Turbina Hidráulica 971
Revisão 972
Problemas Quentes 976
�
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James Stewart SUMÁRIO �� 9
15 Integrais Múltiplas 978
15.1 Integrais Duplas sobre Retângulos 979
15.2 Integrais Iteradas 988
15.3 Integrais Duplas sobre Regiões Genéricas 993
15.4 Integrais Duplas em Coordenadas Polares 1001
15.5 Aplicações das Integrais Duplas 1007
15.6 Área da Superfície 1017
15.7 Integrais Triplas 1020
Projeto Descoberta Volumes de Hiperesferas 1030
15.8 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 1030
Projeto Aplicado Corrida na Rampa 1036
Projeto Descoberta A Interseção de Três Cilindros 1037
15.9 Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas 1038
Revisão 1046
Problemas Quentes 1050
16 Cálculo Vetorial 1052
16.1 Campos Vetoriais 1053
16.2 Integrais de Linha 1060
16.3 Teorema Fundamental para as Integrais de Linha 1072
16.4 Teorema de Green 1081
16.5 Rotacional e Divergência 1088
16.6 Superfícies Paramétricas e Suas Áreas 1096
16.7 Integrais de Superfície 1106
16.8 O Teorema de Stokes 1118
Projeto Escrito Três Homens e Dois Teoremas 1123
16.9 O Teorema da Divergência 1124
16.10 Resumo dos Teoremas 1131
Revisão 1132
Problemas Quentes 1135
17 Equações Diferenciais de Segunda Ordem 1137
17.1 Equações Lineares de Segunda Ordem 1138
17.2 Equações Lineares Não-Homogêneas 1144
17.3 Aplicações das Equações Diferenciais de Segunda Ordem 1151
17.4 Soluções em Série 1159
Revisão 1163
Apêndices
F Provas de Teoremas A2
G Números Complexos A5
H Respostas dos Exercícios de Números Ímpares A13
Índice Analítico A45
�
�
�
�
9
Pela análise de pares de equações
diferenciais, podemos entender 
melhor os ciclos populacionais de
predadores e presas, tais como o
lince canadense e a lebre da neve.
Equações
Diferenciais
Talvez a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais.
Quando os físicos ou cientistas sociais usam o cálculo, em geral o fazem para 
analisar uma equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum
fenômeno que eles estão estudando. Embora seja freqüentemente impossível
encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação diferencial, veremos
que as aproximações gráficas e numéricas fornecem a informação necessária.
Na descrição do processo de modelagem na Seção 1.2 (Volume I) falamos a respeito da
formulação de um modelo matemático de um problema real através de raciocínio intuitivo
sobre o fenômeno ou por meio de uma lei física baseada em evidência experimental. O mo-
delo matemático freqüentemente tem o formato de uma equação diferencial, isto é, uma
equação que contém uma função desconhecida e algumas de suas derivadas. Isso não sur-
preende, porque em um problema real normalmente notamos que as mudanças ocorrem e
queremos predizer o comportamento futuro com base na maneira como os valores pre-
sentes variam. Vamos começar examinando vários exemplos de como as equações dife-
renciais aparecem quando modelamos um fenômeno físico.
Modelos de Crescimento Populacional
Um modelo para o crescimento de uma população baseia-se na premissa de que uma po-
pulação cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da população. É razoável presumir
isso para uma população de bactérias ou animais em condições ideais (meio ambiente
ilimitado, nutrição adequada, ausência de predadores, imunidade a doenças).
Vamos identificar e denominar as variáveis nesse modelo:
t � tempo (a variável independente)
P � número de indivíduos da população (a variável dependente)
A taxa de crescimento da população é a derivada . Assim, nossa premissa de que a
taxa de crescimento da população é proporcional ao tamanho da população é escrita como
a equação
onde k é a constante de proporcionalidade. A Equação 1 é nosso primeiro modelo para o
crescimento populacional; é uma equação diferencial porque contém uma função desco-
nhecida P e sua derivada .
Tendo formulado um modelo, vamos olhar para suas conseqüências. Se desconside-
rarmos uma população nula, então para todo t. Dessa forma, se , então a
Equação 1 mostra que para todo t. Isso significa que a população está sempre
aumentando. De fato, quando aumenta, a Equação 1 mostra que torna-se maior.
Em outras palavras, a taxa de crescimento aumenta quando a população cresce.
dP�dtP�t�
P��t� � 0
k � 0P�t� � 0
dP�dt
dP
dt
� kP1
dP�dt
583583
�� Agora é uma boa hora para ler (ou
reler) a discussão sobre o modelo
matemático da página 25 do Volume I.
Modelagem com Equações Diferenciais 9.1
Vamos tentar pensar em uma solução para a Equação 1. Essa equação nos pede para
achar uma função cuja derivada é um múltiplo constante dela mesma. Sabemos que as
funções exponenciais têm essa propriedade. De fato, se fizermos , então
Portanto, qualquer função exponencial da forma é uma solução da Equação
1. Quando estudarmos essa equação em detalhes na Seção 9.4, veremos que não existe
outra solução.
Se fizermos C variar em todos os números reais, obtemos uma família de soluções
cujos gráficos são mostrados na Figura 1. Mas as populações têm apenas va-
lores positivos e assim estamos interessados somente nas soluções com . E estamos
provavelmente preocupados com valores de t maiores que o tempo inicial t = 0. A Figura
2 mostra as soluções com significado físico. Fazendo , temos ;
logo, a constante C torna-se a população inicial, .
A Equação 1 é apropriada para a modelagem do crescimento populacional sob
condições ideais, mas devemos reconhecer que um modelo mais realístico deve refletir o
fato de que um dado ambiente tem recursos limitados. Muitas populações começam
crescendo exponencialmente, porém o nível da população estabiliza quando ela se apro-
xima sua capacidade de suporte K (ou diminui em direção a K se ela excede o valor de K).
Para um modelo considerar ambos os casos, estabelecemos duas premissas:
� se P for pequeno (inicialmente a taxa de crescimento é proporcional a P).
� se (P diminui se excede K).
Uma expressão simples que incorpora ambas as premissas é dada pela equação 
Note que, se P é pequeno quando comparado com K, então está próximo de 0 e, por-
tanto, . Se , daí é negativo e assim .
A Equação 2 é chamada equação diferencial logística e foi proposta pelo matemático
e biólogo holandês Pierre-François Verhulst na década de 1840 como um modelo para o
crescimento populacional mundial. Desenvolveremos técnicas que nos permitam encontrar
soluções explícitas da equação logística na Seção 9.5, mas, enquanto isso, podemos
deduzir as características qualitativas das soluções diretamente da Equação 2. Primeiro,
observamos que as funções constantes e são soluções, porque, em qual-
quer um dos casos, um dos fatores do lado direito da Equação 2 é zero. (Isso certamente
tem sentido físico: se a população for 0 ou estiver na capacidade de suporte, permanecerá
dessa maneira.) Essas duas soluções constantes são denominadas soluções de equilíbrio. 
Se a população inicial P(0) estiver entre 0 e K, então o lado direito da Equação 2 é po-
sitivo; assim, e a população aumenta. Se a população ultrapassa a capacidade
de suporte , então é negativo; assim e a população diminui.
Note que, em qualquer um dos casos, se a população se aproxima da capacidade de suporte
, então , o que significa que a população estabiliza. Dessa forma,
esperamos que as soluções da equação diferencial logística tenham gráficos que se
pareçam com aqueles da Figura 3. Observe que os gráficos se distanciam da solução de
equilíbrio e se aproximam da solução de equilíbrio .P � KP � 0
dP�dt l 0�P l K �
dP�dt � 01 � P�K�P � K �
dP�dt � 0
P�t� � KP�t� � 0
dP�dt � 01 � P�KP � KdP�dt � kP
P�K
dPdt
� kP�1 � PK�2
P � K
dP
dt �
0
dP
dt
� kP
P�0�
P�0� � Cek�0� � Ct � 0
C � 0
P�t� � Cekt
P�t� � Cekt
P��t� � C�kekt� � k�Cekt� � kP�t�
P�t� � Cekt
t
P
0
P =K
P =0
soluções de
equilíbrio
0 t
P
t
P
584 �� CÁLCULO Editora Thomson
FIGURA 1
FIGURA 2
A família de soluções de dP/dt � kP
A família de soluções de P(t) � Cekt
com C � 0 e t � 0
FIGURA 3
Soluções da equação logística
Um Modelo para o Movimento de uma Mola
Vamos olhar agora para um modelo físico. Consideramos o movimento de um objeto com
massa m na extremidade de uma mola vertical (como na Figura 4). Na Seção 6.4 do Volume
I discutimos a Lei de Hooke, que diz que, se uma mola for esticada (ou comprimida) x
unidades a partir de seu tamanho natural, então ela exerce uma força que é proporcional a x:
força elástica � –kx
onde k é uma constante positiva (chamada constante da mola). Se ignorarmos qualquer
força externa de resistência (devido à resistência do ar ou ao atrito), então, pela segunda
Lei de Newton (força é igual à massa vezes a aceleração), temos
Esse é um exemplo do que chamamos equação diferencial de segunda ordem, porque
envolve as derivadas segundas. Vamos ver o que podemos deduzir da solução diretamente
da equação. Podemos reescrever a Equação 3 na forma
que diz que a derivada segunda de x é proporcional a x, mas tem o sinal oposto.
Conhecemos duas funções com essa propriedade, as funções seno e co-seno. De fato, todas
as soluções da Equação 3 podem ser escritas como combinações de certas funções seno e
co-seno (veja o Exercício 3). Isso não é surpreendente; esperamos que a mola oscile ao
redor de sua posição de equilíbrio e, assim, é natural pensar que funções trigonométricas
estejam envolvidas.
Equações Diferenciais Gerais
Em geral, uma equação diferencial é aquela que contém uma função desconhecida e uma ou
mais de suas derivadas. A ordem de uma equação diferencial é a mesma da derivada mais alta
que ocorre na equação. Dessa maneira, as Equações 1 e 2 são as de primeira ordem e a Equação
3 é uma de segunda ordem. Em todas as três equações, a variável independente é chamada t e
representa o tempo, mas, em geral, a variável independente não precisa representar o tempo.
Por exemplo, quando consideramos a equação diferencial
entendemos que y seja a função desconhecida de x.
Uma função f é denominada solução de uma equação diferencial se a equação é satis-
feita quando e suas derivadas são substituídas na equação. Assim, f é uma solução
da Equação 4 se
para todos os valores de x em algum intervalo.
f ��x� � xf �x�
y � f �x�
y� � xy4
d 2x
dt 2
� �
k
m
 x
m 
d 2x
dt 2
� �kx3
FIGURA 4
m
x
0
x m
posição de
equilíbrio
James Stewart CAPÍTULO 9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS �� 585
FIGURA 4
586 �� CÁLCULO Editora Thomson
Quando nos pedem para resolver uma equação diferencial, espera-se que encontremos
todas as soluções possíveis da equação. Já resolvemos algumas equações diferenciais par-
ticularmente simples; a saber, aquelas da forma
Por exemplo, sabemos que a solução geral da equação diferencial
é dada por
onde C é uma constante arbitrária.
Mas, em geral, resolver uma equação diferencial não é uma tarefa fácil. Não existe uma
técnica sistemática que nos permita resolver todas as equações diferencias. Na Seção 9.2, con-
tudo, veremos como esboçar os gráficos das soluções mesmo quando não temos uma fórmula
explícita. Também aprenderemos como achar as aproximações numéricas para as soluções.
EXEMPLO 1 �� Mostre que todo membro da família de funções
é uma solução da equação diferencial .
SOLUÇÃO Usamos a Regra do Quociente para diferenciar a expressão em relação a y:
O lado direito da equação diferencial torna-se
Portanto, para todo valor de c, a função dada é uma solução da equação diferencial. �
 �
1
2
 
4ce t
�1 � ce t�2
�
2ce t
�1 � ce t�2
 
1
2 �y 2 � 1� �
1
2
 ��1 � ce t1 � ce t�2 � 1	 � 12 ��1 � ce t�2 � �1 � ce t�2�1 � ce t�2 	
 �
ce t � c 2e 2t � ce t � c 2e 2t
�1 � ce t�2
�
2ce t
�1 � ce t�2
 y� �
�1 � ce t ��ce t� � �1 � ce t���ce t�
�1 � ce t�2
y� � 12 �y 2 � 1�
y �
1 � ce t
1 � ce t
y �
x 4
4
� C
y� � x 3
y� � f �x�
Quando aplicamos as equações diferenciais, geralmente não estamos tão interessa-
dos em encontrar uma família de soluções (a solução geral) quanto em encontrar uma
solução que satisfaça algumas condições adicionais. Em muitos problemas físicos pre-
cisamos encontrar uma solução particular que satisfaça uma condição do tipo
. Esta é chamada condição inicial, e o problema de achar uma solução 
da equação diferencial que satisfaça a condição inicial é denominado problema de
valor inicial.
Geometricamente, quando impomos uma condição inicial, olhamos para uma
família de curvas-solução e escolhemos uma que passe pelo ponto . Fisicamente,
isso corresponde à medida do estado de um sistema a um tempo e ao uso da solução
do problema de valor inicial para prever o comportamento futuro do sistema.
EXEMPLO 2 �� Encontre uma solução da equação diferencial que satis-
faça a condição inicial .
SOLUÇÃO Substituindo os valores e na fórmula
do Exemplo 1, obtemos
Resolvendo essa equação para c, temos , o que fornece . Assim, a
solução do problema de valor inicial é
�
y �
1 � 13 e t
1 � 13 e t
�
3 � e t
3 � e t
c � 132 � 2c � 1 � c
2 �
1 � ce 0
1 � ce 0
�
1 � c
1 � c
y �
1 � ce t
1 � ce t
y � 2t � 0
y�0� � 2
y� � 12 �y 2 � 1�
t0
�t0, y0 �
y�t0 � � y0
1. Mostre que é uma solução da equação diferencial
.
2. Verifique que y � sen x cos x � cos x é uma solução para o
problema de valor inicial
y� � (tg x) y � cos2 x
no intervalo � 	/2 � x � 	/2.
3. (a) Para quais valores não-nulos de k a função y � sen kt
satisfaz a equação diferencial ?y
 � 9y � 0
y �0� � �1
xy� � y � 2x
y � x � x�1 (b) Para aqueles valores de k, verifique que todo membro da
família de funções
y � A sen kt + B cos kt
é também uma solução.
4. Para quais valores de r a função satisfaz a equação
diferencial ?y
 � y� � 6y � 0
y � e rt
�� A Figura 5 ilustra os gráficos de sete
membros da família do Exemplo 1. 
A equação diferencial mostra que 
se , então . Isso é 
apresentado visivelmente pelo 
achatamento dos gráficos próximo 
de e .y � �1y � 1
y� � 0y � �1
5
 5
 5 5_
_
James Stewart CAPÍTULO 9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS �� 587
FIGURA 5
Exercícios9.1
588 �� CÁLCULO Editora Thomson
5. Quais das seguintes funções são soluções da equação
diferencial ?
(a) (b)
(c) (d)
6. (a) Mostre que cada membro da família de funções
é uma solução para a equação 
diferencial .
{ (b) Ilustre a parte (a) plotando vários membros da família de
soluções na mesma tela.
(c) Encontre a solução da equação diferencial que 
satisfaça a condição inicial .
(d) Encontre a solução da equação diferencial que 
satisfaça a condição inicial .
7. (a) O que você pode dizer da solução da equação 
apenas olhando a equação diferencial?
(b) Verifique que todos os membros da família
são soluções da equação na parte (a).
(c) Você pode pensar em uma solução da equação diferencial
que não seja membro da família na parte (b)?
(d) Encontre uma solução para o problema de valor inicial
y (0) � 0,5
8. (a) O que você pode dizer sobre o gráfico de uma solução da
equação quando x está próximo de 0? E se x for
grande? 
(b) Verifique que todos os membros da família
são soluções da equação diferencial
.
{ (c) Plote vários membros da família de soluções na mesma
tela. Os gráficos confirmam o que você predisse na 
parte (a)?
(d) Encontre uma solução para o problema de valor inicial
9. Uma população é modelada pela equação diferencial
(a) Para quais valores de P a população está aumentando?(b) Para quais valores de P a população está diminuindo?
(c) Quais são as soluções de equilíbrio?
10. A função satisfaz a equação diferencial
(a) Quais são as soluções constantes da equação?
(b) Para quais valores de y a função está aumentando?
(c) Para quais valores de y a função está diminuindo?
11. Explique por que as funções cujos gráficos são dados 
a seguir não podem ser soluções da equação diferencial
dy
dt
� et(y � 1)2
dy
dt
� y 4 � 6y 3 � 5y 2
y�t�
dP
dt
� 1,2P�1 � P4.200�
y�0� � 2y� � xy 3
y� � xy 3
y � �c � x 2 ��1�2
y� � xy 3
y� � �y 2
y� � �y 2
y � 1��x � C �
y� � �y 2
y�1� � 2
y� � xy
y�0� � 5
y� � xy
y� � xy
y � Ce x2�2
y � t 2e �ty � te �t
y � e �ty � e t
y
 � 2y� � y � 0
12. A função, cujo gráfico é dado a seguir, é uma solução de uma
das seguintes equações diferenciais. Decida qual é a equação
correta e justifique sua resposta.
(a) y� � 1 � xy
(b) y� � �2 xy
(c) y� � 1 � 2 xy
13. Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam
as curvas de aprendizado. Uma curva de aprendizado é o 
gráfico de uma função , o desempenho de alguém
aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de
treinamento t. A derivada representa a taxa na qual 
o desempenho melhora.
(a) Quando você acha que P aumenta mais rapidamente? O
que acontece a quando t aumenta? Explique.
(b) Se M é o nível máximo de desempenho do qual o aprendiz
é capaz, explique a razão pela qual a equação diferencial 
k uma constante positiva
é um modelo razoável para o aprendizado.
(c) Faça um esboço de uma possível solução para a equação
diferencial.
14. Suponha que você tenha acabado de servir uma xícara de café
recém-coado com uma temperatura de em uma sala
onde a temperatura é de .
(a) Quando você acha que o café esfria mais rapidamente? O
que acontece com a taxa de resfriamento com o passar do
tempo? Explique.
(b) A Lei de Newton do Resfriamento estabelece que a taxa de
resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de 
temperatura entre o objeto e sua vizinhança, desde que essa
diferença não seja muito grande. Escreva uma equação 
diferencial para expressar a Lei de Newton do Resfriamento
nessa situação particular. Qual a condição inicial? Tendo em
vista sua resposta na parte (a), você acha que essa equação
diferencial é um modelo apropriado para o resfriamento?
(c) Faça um esboço para o gráfico da solução do problema de
valor inicial na parte (b).
20 �C
95 �C
dP
dt
� k�M � P�
dP�dt
dP�dt
P�t�
0 x
y
y
t1
1
y
t1
1
(a) (b)
Infelizmente é impossível resolver a maioria das equações diferenciais no sentido de obter
uma fórmula explícita para a solução. Nesta seção, mostraremos que, mesmo sem uma
solução explícita, podemos ainda aprender muito sobre uma solução através de uma abor-
dagem gráfica (campos de direção) ou de uma abordagem numérica (método de Euler).
Campos de Direção
Suponha que nos peçam para esboçarmos o gráfico da solução do problema de valor inicial
Não conhecemos uma fórmula para a solução, então como é possível que esbocemos seus
gráficos? Vamos pensar sobre o que uma equação diferencial significa. A equação
nos diz que a inclinação em qualquer ponto no gráfico (chamado curva-
solução) é igual à soma das coordenadas x e y no ponto (veja a Figura 1). Em particular,
como a curva passa pelo ponto (0, 1), sua inclinação ali deve ser . Assim, uma
pequena porção da curva de solução próximo ao ponto (0, 1) parece um segmento de reta
curto através de (0, 1) com inclinação 1 (veja a Figura 2).
Como um guia para esboçar o restante da curva, vamos desenhar pequenos segmentos
de reta em um número de pontos (x, y) com inclinação . O resultado, denominado
campo de direções, é mostrado na Figura 3. Por exemplo, o segmento de reta no ponto (1, 2)
tem inclinação 1 + 2 = 3. O campo de direções nos permite visualizar o formato geral das
curvas de solução pela indicação da direção na qual as curvas prosseguem em cada ponto.
0 x21
y
0 x21
y
(0,1)
x � y
0 x
y
Uma solução de yª=x+y
0 x
y
(0, 1)
(0, 1)
é 0+1=1.
Início da curva solução através de (0, 1)
(¤, fi) é
¤+fi.
Inclinação em
(⁄, ›) é
⁄+›.
Inclinação em
Inclinação em
0 � 1 � 1
�x, y�y� � x � y
y�0� � 1y� � x � y
James Stewart CAPÍTULO 9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS �� 589
Campos de Direção e o Método de Euler 9.2
FIGURA 3 FIGURA 4
Campo de direções para y�� x + y A curva de solução através de (0, 1)
FIGURA 1 FIGURA 2
590 �� CÁLCULO Editora Thomson
Agora podemos esboçar a curva de solução pelo ponto (0, 1) seguindo o campo de
direções como na Figura 4. Note que desenhamos a curva de modo a torná-la paralela aos
segmentos de reta vizinhos.
Em geral, suponha uma equação diferencial de primeira ordem do tipo
onde F(x, y) é alguma expressão em x e y. A equação diferencial diz que a inclinação da
curva-solução no ponto (x, y) na curva é F(x, y). Se desenharmos pequenos segmentos de
reta com inclinação F(x, y) em vários pontos (x, y), o resultado será chamado campo de
direções (ou campo de inclinações). Esses segmentos de reta indicam a direção na qual
uma curva-solução está seguindo, assim o campo de direções nos ajuda a visualizar o for-
mato geral dessas curvas.
EXEMPLO 1 ��
(a) Esboce o campo de direções para a equação diferencial .
(b) Use a parte (a) para esboçar a curva-solução que passa pela origem.
SOLUÇÃO
(a) Podemos começar calculando a inclinação em vários pontos na seguinte tabela:
Agora podemos desenhar pequenos segmentos de reta com essas inclinações nesses
pontos. O resultado é o campo de direções mostrado na Figura 5.
(b) Podemos começar na origem e mover para a direita na direção do segmento de reta (que
tem inclinação –1). Continuamos a desenhar a curva-solução de maneira que ela se mova
paralela aos segmentos de reta próximos. A curva-solução resultante é exposta na Figura 6.
Voltando para a origem, desenhamos a curva-solução para a esquerda da mesma maneira.
Quanto mais segmentos desenharmos no campo de direções, mais clara se tornará a
figura. É claro que é tedioso calcular as inclinações e desenhar segmentos de reta para um
número muito grande de pontos manualmente, mas os computadores são muito bons para
essa tarefa. A Figura 7 apresenta um campo de direções mais detalhado, desenhado por um
computador, para a equação diferencial no Exemplo 1. Isso nos permite desenhar, com
uma precisão razoável, as curvas-solução exibidas na Figura 8 com interceptos y iguais a
–2, –1, 0, 1 e 2.
3
_3
_3 3
FIGURA 7
3
_3
_3 3
FIGURA 8
�
y� � x 2 � y 2 � 1
y� � F�x, y�
x �2 �1 0 1 2 �2 �1 0 1 2 . . .
y 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 . . .
3 0 �1 0 3 4 1 0 1 4 . . .y� � x 2 � y 2 � 1
0 x
y
1 2_1 2
1
2
 1
 2
0 x
y
1 2_1 2
1
2
 1
 2
_
_
_
_
_
_
FIGURA 6
FIGURA 5
FIGURA 7 FIGURA 8