Formulario - Formulas Estatistica

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FORMULÁRIO DE ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
DADOS NÃO AGRUPADOS: 
{x1 , x2 , , xn} ou {x1 , x2 , , xN}
MÉDIA AMOSTRAL: x=
1
n ∑i=1
n
xi
MÉDIA DA POPULAÇÃO: = 1
N ∑i=1
N
xi
VARIÂNCIA AMOSTRAL: 
s2 = 1
n−1 ∑i=1
n
x i−x 
2 =
n ∑
i=1
n
xi
2  − ∑
i=1
n
x i 
2
n n−1
VARIÂNCIA DA POPULAÇÃO: 
2 = 1
N ∑i=1
N
x i−
2
DADOS AGRUPADOS:
{x1 , x2 , , xk} com frequências {n1 , n2 , , nk}
NÚMERO DE ELEMENTOS: n=∑
i=1
k
ni
MÉDIA AMOSTRAL: x=
1
n ∑i=1
k
ni x i
VARIÂNCIA AMOSTRAL: 
s2= 1
n−1 ∑i=1
k
ni  xi−x 
2=
n ∑
i=1
k
n i xi
2  − ∑
i=1
k
ni x i 
2
n n−1
DADOS AGRUPADOS EM CLASSES:
 Se os dados estiverem agrupados em intervalos de 
classes, são também utilizadas as fórmulas (acima) 
para dados agrupados, nas quais x i é o ponto 
médio da i-ésima classe e n i é a frequência 
absoluta correspondente.
DESVIO PADRÃO
DESVIO PADRÃO AMOSTRAL: s= s2 
DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO: =2
PERCENTIS
PERCENTIL DO VALOR DE ORDEM k : p=
k−1
n−1
ORDEM : k= p n−11
 Se k ' for tal que kk 'k1 então:
xk' = xkk '−k x k1−xk
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE DE UM EVENTO A: P A=
n A
n 
.
n(A) é o número de resultados favoráveis; 
n(Ω) é o número de possíveis resultados.
PROBABILIDADE CONDICIONAL de A dado B: 
0)(,
)(
)()( ≠∩= BP
BP
BAPBAP . 
EVENTOS ji EE e MUTUAMENTE EXCLUSIVOS:: 
φ=∩ ji EE ; E i∪E j= (universo)..
REGRA DA ADIÇÃO:
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ .
REGRA DO PRODUTO:
P A∩B=P  A P B∣A=P B P A∣B
EVENTOS INDEPENDENTES
Os eventos A e B são independentes se: 
 P A∣B=P  A ou P B∣A=P B
A probabilidade de ocorrência simultânea de dois 
eventos independentes, A e B, é:
)()()( BPAPBAP =∩ .
TEOREMA DE BAYES: 
A probabilidade de ocorrência de um dos eventos iC , 
dado que ocorreu o evento A é:
∑
=
= n
j
jj
ii
i
CAPCP
CAPCP
ACP
1
)()(
)()(
)(
 ,
onde { }nCCC ,,, 21  é uma partição do espaço amostral 
isto é, φ=∩ ji CC ( ji ≠ ) e Ω=∪∪∪ nCCC 21 .
1
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
VALOR MÉDIO OU ESPERANÇA MATEMÁTICA:
=E  X =∑
i=1
n
x i p x i
VARIÂNCIA DE X:
[ ]
( ) ( )[ ]22
1
22 )()()(Var
XEXE
xpXExX
n
i
ii
−=
−== ∑
=
σ
em que
E  X 2=∑
i=1
n
x i
2 p x i
PROPRIEDADES:
Se baXY += então:
bXEaYE += )()( e 
)(Var)(Var 2 XaY = .
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS
VALOR ESPERADO:
),(),()],([ ji
i
ji
j
yxpyxfYXfE ∑ ∑= 
COVARIÂNCIA:
)()()(
),()]()][([
]))(())(([),(Cov
YEXEXYE
yxpYEyXEx
YEYXEXEYX
i j
jiji
−=
−−=
−−=
∑ ∑
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO:
)()(
),(Cov),(
YX
YXYX
σσ
ρ = ,
em que X =Var X  e Y =Var Y  
são os desvios padrão das variáveis X e Y, respectivamente. 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES:
 Se X e Y são duas variáveis aleatórias 
independentes, então:
0),(Cov =YX (X,Y não-correlacionadas)
 A recíproca não é verdadeira, isto é, 
0),(Cov =YX não implica X e Y independentes 
necessariamente.
PROPRIEDADES:
)()()( YEXEYXE +=+
),(Cov2)(Var)(Var)(Var YXYXYX ++=+
 Se X e Y são independentes, então
)(Var)(Var)(Var YXYX +=+
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISCRETAS
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL:DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL:
É a distribuição de probabilidade da variável 
aleatória X (definida como o número x de sucessos em 
n ensaios de Bernoulli independentes) dada por
xnx pp
x
n
xP −−



= )1()( ,
( x=0,1,2 ,⋯, n ), em que p é a probabilidade de sucesso 
em um ensaio e 
)!(!
!
xnx
n
x
n
−
=



é o coeficiente binomial.
MÉDIA E VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL:
npXE == )(µ , 
)1()(Var2 pnpX −==σ .
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON:DISTRIBUIÇÃO DE POISSON:
É a distribuição de probabilidade da variável 
aleatória X (definida como o número x de ocorrências 
de um evento num intervalo de tempo ou espaço), dada 
por:
,2,1,0
!
)(
=
=
−
x
x
exP
xλλ
em que λ é um parâmetro que corresponde ao número 
médio de ocorrências do evento no intervalo considerado.
MÉDIA E VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON:
λ== )(Var)( XXE
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
PROBABILIDADE:PROBABILIDADE:
∫=≤≤ b
a
dxxfbXaP )()(
em que f x  é a função densidade de probabilidade.
2
VALOR ESPERADO:
∫+ ∞
∞−
= dxxfxXE )()(
VARIÂNCIA:
[ ] [ ]222 )()()()()(Var XEXEdxxfXExX −=−= ∫+ ∞
∞−
em que
∫+ ∞
∞−
= dxxfxXE )()( 22 .
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
DENSIDADE DE PROBABILIDADE:DENSIDADE DE PROBABILIDADE:
( ) 22 2
2
1)( σµ
σpi
−−
=
xexf
se ),(: 2σµNX .
TRANSFORMAÇÃO PARA A DISTRIBUIÇÃO NORMALTRANSFORMAÇÃO PARA A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
PADRONIZADAPADRONIZADA
Se ),(: 2σµNX então )1,0(: NXZ
σ
µ−
= .
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
DA MÉDIA E DA PROPORÇÃO
),(: 2 nNX σµ
))1(,(:ˆ npppNp −
ESTIMAÇÃO
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA µ :
n
ZxIC σγµ γ±=):(
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO p : 
n
ppZppIC )ˆ1(ˆˆ):( −±≈ γγ
TESTE DE HIPÓTESES
● Erro do tipo I: Rejeitar H0 quando esta hipótese 
for verdadeira. α=I)erro(P
● Erro do tipo II: Aceitar H0 quando esta hipótese for 
falsa. β=II)erro(P
● Nível Descritivo (ou Valor-p) : o nível descritivo αˆ 
do teste é definido como o menor nível de 
significância α para o qual a estatística observada 
implicaria na rejeição da hipótese nula H0 .
● Poder do teste: o poder do teste é a probabilidade 
β−1 de uma decisão correta para um dado valor 
do parâmetro µ especificado em H1. O poder do 
teste é uma função de µ .
REGRESSÃO LINEAR
SOMATÓRIOS
( ) ( )
( )
( )
1 1
2
2 2
1 1
2
2 2
1 1
n n
xy i i i ii i
n n
xx i ii i
n n
yy i ii i
S x x y y x y n x y
S x x x n x
S y y y n y
= =
= =
= =
= − − = −
= − = −
= − = −
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
RETA DE REGRESSÃO
yˆ a bx= +
Coeficiente angular: 
xy
xx
S
b
S
=
Coeficiente linear: a y bx= −
COVARIÂNCIA
 
( ) ( )
1cov( , )
1 1
n
i i
xyi
x x y y S
x y
n n
=
− −
= =
− −
∑
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON:
 
cov( , )
x y
x yr
s s
= 
DESVIOS-PADRÕES DAS AMOSTRAS: 
sx= S xxn−1 ; 
s y= S yyn−1 . 
3
	dados agrupados:
	dados agrupados em classes: