Probabilidade e Estatística-Parte3

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Mestre Engenheira 
Probabilidade e Estatística: Parte 3 – Interpretação de 
Probabilidade 
Autor: Jéssica Santos Martins 
Data: 24/03/2016 
Nesta aula estudaremos sobre Interpretações de Probabilidade, Probabilidade 
Condicional, Amostra Aleatória, Regra da Multiplicação, Regra da Probabilidade 
Total, Independência e Teorema de Bayes. Esta aula tem como material base o livro 
“Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros”. 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 
Edição 4. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 493 p. 
 Interpretação de Probabilidade 
Vimos na parte 1 deste curso que a probabilidade é usada pra quantificar a 
possibilidade ou chance de ocorrência de um resultado em um experimento 
aleatório. A probabilidade pode ser entendida como Grau de Crença de certo 
resultado. Por exemplo: Se a probabilidade da vídeo-aula (referente a esta nota de 
aula) receber seu like for de 100%, significa dizer que isto ocorrerá com certeza. Se 
a porcentagem for 0 %, indica que este resultado não ocorrerá. 
A probabilidade pode também ser interpretada como Frequência Relativa. Se 
atribuirmos uma probabilidade de 30% aos likes recebidos na vídeo-aula, tem-se 
que de 100 pessoas que assistiram o vídeo, apenas 30 deixarão seu like. 
Em experimentos aleatórios de pode assumir que todos os resultados tem a 
mesma chance de acontecer, sendo estes Resultados Igualmente Prováveis. Logo, 
a probabilidade de cada resultado é dada pela Equação [1], onde N é o número de 
resultados possíveis. A probabilidade de você escolher o copo certo é de 25%, já 
que se tem 4 possíveis resultados (Figura 1). 
 𝑃 = 1/𝑁 [1] 
 
Figura 1: Exemplo de experimento com resultados igualmente prováveis 
25% 25% 25% 25% 
 
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Para o espaço amostral discreto a probabilidade de um evento é igual a soma 
das probabilidades dos resultados. 
 𝑃(𝐸) = ∑ 𝑃(𝑅) [2] 
Neste caso, a probabilidade de você escolher o copo errado é a somatória de 
25% três vezes, que é igual a 75%. 
Para saber mais sobre Espaço amostral discreto e evento, assista a vídeo 
aula parte 2 ou veja a nota de aula referente a esse vídeo. 
 Vídeo-aula: https://www.youtube.com/watch?v=r4DiA6hBvWo 
 Nota de Aula: https://www.passeidireto.com/arquivo/19091959/probabilidade-e-estatistica-parte2 
Há axiomas que devem ser satisfeitos para probabilidades de experimentos 
aleatórios. Eles permitem que a probabilidade de alguns eventos possa ser 
calculada tendo como base a probabilidade de outros resultados ou eventos. 
O primeiro axioma (Equação [3]) diz que a probabilidade do espaço amostral 
tem que ser igual a 1 ou 100%, já que o espaço amostral contém todos os 
resultados possíveis. A probabilidade de um evento, sabendo que este não é um 
conjunto vazio e que representa apenas uma parte do espaço amostral, é de acordo 
com a Equação [4]. E se a intercessão entre dois eventos for um conjunto vazio, 
tem-se que a probabilidade da união destes eventos é igual a somatória da 
probabilidade de cada evento. 
Dos axiomas se pode chegar a algumas conclusões importantes. Segue 
abaixo algumas delas. 
Exercício Respondido 
Tem-se o espaço amostral S = {a, b, c, d, e} com probabilidades 0,1; 0,1; 0,2; 
0,4 e 0,2 para cada elemento, respectivamente. Tal espaço amostral ainda possui 
dois eventos sendo eles A = {a, b, c} e B = {c, d, e}. Com base nestes dados 
respondamos as questões abaixo. 
 𝑃(𝑆) = 1 [3] 
 0 ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 1 [4] 
 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2) = 𝑃(𝐸1) + 𝑃(𝐸2) 𝑠𝑒 𝐸1 ∩ 𝐸2 = ∅ [5] 
 𝑃(∅) = 0 [6] 
 𝑃(𝐸′) = 1 − 𝑃(𝐸) [7] 
 
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a) P(A) = ? 
Resposta: P(A) = P(a) + P(b) + P(c) = 0,1+0,1+0,2 = 0,4 ou 40% 
b) P(B) = ? 
Resposta: P(B) = P(c) + P(d) + P(e) = 0,2+0,4+0,2 = 0,8 ou 80% 
c) P(A’) = ? 
Resposta: A probabilidade do complemento do evento A é calculada pela 
Equação [7]. P(A) = 1-P(A) = 0,6 ou 60% 
d) P(AB) = ? 
Resposta: O conjunto AB é igual ao espaço amostral em sua totalidade. Sendo 
assim, P(AB) = P(A)+P(B) = P(S) = 1 ou 100% 
e) P(AB) = ? 
Resposta: O único elemento no conjunto intercessão entre os eventos A e B é o 
elemento c. P(c)=0,2 ou 20% 
Viu-se que os conhecimentos de operações de conjunto facilitam a 
determinação da probabilidade de eventos. Fórmulas para o cálculo de 
probabilidade a partir das relações de conjunto podem ser desenvolvidas. 
Exercício Respondido 
Certa fábrica produziu 2050 tampinhas de garrafa. Dentro deste espaço 
amostral têm-se os eventos A (tampinhas feitas para uso em garrafas de 
refrigerante), B (tampinhas feitas para uso em garrafas de cerveja), C (tampinhas 
feitas na cor verde) e D (tampinhas feitas na cor vermelha). A quantidade de 
tampinha de cada evento é apresentada na Tabela 1. Com base nestes dados, qual 
o valor de P(BC)? 
Tabela 1- Dados da fábrica de tampinhas 
Produto Verde Vermelha Total 
Refrigerante 260 874 1134 
Cerveja 394 522 916 
Total 654 1396 2050 
 
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Resposta: Utilizando os conhecimentos vistos anteriormente, imagina-se que a 
probabilidade é calculada pela soma da probabilidade de todos os eventos, como 
apresentado abaixo. 
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) = 
916
2050
+
654
2050
 
P(B ∪ C) = 44,68% + 31,9% 
P(B ∪ C) = 76,58% 
 No entanto, este cálculo está errado já que a probabilidade das tampas de 
intercessão dos eventos B e C estão sendo contabilizadas das vezes. Desta 
maneira, a forma correta de se calcular a probabilidade da união é pela forma 
abaixo, onde é feito a subtração da probabilidade da intercessão entre os eventos. 
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) - P(B ∩ C) 
P(B ∪ C) = 
916
2050
+
654
2050
− 
394
2050
 
P(B ∪ C) = 44,68% + 31,9% − 19,22% 
P(B ∪ C) = 57,36%
Esta é a equação para a probabilidade da União (Equação [8]). Para eventos 
mutualmente excludentes, sabe-se que o conjunto intercessão entre estes eventos é 
nulo, logo, sua probabilidade é zero e a Equação [8] pode ser modificada para o 
caso apresentado na Equação [9]. 
 Probabilidade Condicional 
As vezes, novas informações adicionais fazem com que a probabilidade seja 
reavaliada. Isto é chamado de . Tomemos como exemplo Probabilidade Condicional
o caso de uma fábrica de camisas. 
Tabela 2 – Dados da fábrica de camisas 
 
Costura tipo 1 (A) Costura tipo 2 (B) Total 
Defeito 
Sim (D) 18 14 32 
Não 54 14 68 
 
Total 72 28 100 
 
 P(B ∪ C) = P(B) + P(C) - P(B ∩ C) [8] 
 P(B ∪ C) = P(B) + P(C) [9] 
 
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Nesta fábrica as camisas são fabricadas com costura do Tipo 1. Destas 25% 
apresentam defeito. No entanto, as camisas também podem ser fabricadas com 
costura do Tipo 2. Neste caso 50% das camisas apresenta defeito. Note que a 
probabilidade foi modificada sendo condicionada ao tipo de costura escolhida para a 
fabricação da camisa. A equação geral para a probabilidade condicional é 
apresentada na Equação [10]. 
 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)/𝑃(𝐴) [10] 
A plicando a equação ao problema, chega-se a uma probabilidade de defeito 
condicionada a costura do tipo 2 de 50%, o que está de acordo com o esperado. 
P(D|B) = P(B ∩ D)/P(B) 
P(D|B) =
14
100
÷
28
100
 
P(D|B) = 50% 
 Amostras Aleatórias 
A probabilidade condicional é uma forma de facilitar a análise e resolução de 
problemas de probabilidade. Outra forma de facilitar os cálculos de probabilidade é 
utilizando as ideias de , onde em seleções aleatórias, os itens Amostras Aleatórias
que permanecem na batelada são igualmente prováveis de serem selecionados a 
cada etapa da amostragem. Para entender bem este conceito vejamos o exercício 
abaixo. 
Exercício Respondido 
Suponhamosque temos 50 itens, dentre estes 10 são do tipo 1 e 40 são do 
tipo 2. Em uma seleção aleatória de 2 itens, qual a probabilidade da segunda 
seleção ser de um item 2, sabendo que a primeira foi de um item 1? 
Resposta: Na primeira seleção tem-se 10 possibilidades do tipo 1 e 40 do tipo 2. A 
probabilidade de ser escolhida uma peça do tipo 1 na primeira seleção é dada pela 
equação abaixo resultando em 20%. 
𝑃(𝐸1) = 10/50 = 20%
Após a primeira seleção e considerando que esta foi uma peça do tipo 1, tem-
se que 9 possibilidades do tipo 1 e 40 do tipo 2 estão disponíveis. A probabilidade da 
escolha de uma peça do tipo dois, condicionada a escolha de uma peça do tipo 1 na 
 
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primeira seleção é dada pela equação abaixo. Note que o total não é mais 50 peças, 
e sim 49. 
𝑃(𝐸2|𝐸1) = 40/49 = 81,63%
81,63% é a probabilidade da escolha de uma peça do tipo 2 dentro do evento 
que considera que uma peça do tipo 1 foi escolhida inicialmente. 
 
Figura 2: Diagrama de representação da probabilidade de E1 e P(E2|E1) 
Para que se tenha a probabilidade de que ambas as peças sejam escolhidas 
nesta ordem em relação ao todo, deve-se utilizar a , que nada Regra da Multiplicação
mais é do que o cálculo da probabilidade para a intercessão entre dois eventos. 
 
P(A ∩ B) = P(B|A)P(A) 
ou 
P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) 
[11] 
 Regra da Probabilidade Total 
Na probabilidade condicional, informações adicionais modificam a 
probabilidade. Quando esta dependência é conhecida, mas se deseja determinar a 
probabilidade de um evento sem saber se a condição conhecida foi ou não atingida, 
usa-se a . Regra Da Probabilidade Total
 
Figura 3: Diagrama de representação dos dados da fábrica de camisas 
 
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Voltemos ao caso da fábrica de camisas. 72% das camisas fabricadas foram 
costuradas com o tipo 1 de costura e dentre estas 25% apresentaram defeito. 28% 
foram costuradas com a costuradas com a costura do tipo 2 e dentre estas 50% 
apresentaram defeito. Qual a porcentagem de defeitos no total de fabricação sem 
saber se a camisa foi costurada com o tipo 1 ou 2? 
Esta é calculada pela Equação [12] sendo esta a equação geral para a 
Probabilidade Total. 
 P(D) = P(D|B)P(B) + P(D|B′)P(B′) [12] 
Utilizando esta equação e substituindo os valores, temos que a probabilidade de 
defeito no processo de fabricação é 32%. 
P(D) = P(D|B)P(B) + P(D|B′)P(B′) 
P(D) = 50% × 28% + 25% × 72% 
P(D) = 14% + 18% 
P(D) = 32%
 Independência 
Em alguns casos a probabilidade condicional é igual a probabilidade do 
evento no todo. Sendo assim, saber a probabilidade do evento condicionado a outro 
evento não interfere. 
Voltemos ao caso da seleção das peças onde novamente tem-se que a 
segunda seleção será do tipo 2, sendo que a primeira seleção foi do tipo 1. Porém 
neste caso temos a reposição da peça. Com a reposição da peça, temos que na 
segunda seleção a quantidade de peças disponíveis de cada tipo permanece a 
mesma. Disto tem-se as seguintes observações. 
o 𝑃(𝐸2) = 40/50 = 80% 
𝑃(𝐸2|𝐸1) = 40/50 = 80% 
P(𝐸2 ∩ 𝐸1) = P(𝐸2|𝐸1)P(𝐸1) 
o P(𝐸2 ∩ 𝐸1) =
40
50
×
10
50
= 16% 
P(𝐸2 ∩ 𝐸1) = 𝑃(𝐸2)𝑃(𝐸1) 
Note que a probabilidade do evento E2 condicionada ao evento E1 é igual a 
probabilidade de E2 no todo. Observe também que a probabilidade da intercessão 
entre estes eventos é igual a multiplicação da probabilidade de cada evento. 
 
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As relações observadas são apresentadas de forma generalizada nas 
Equações [13], [14] e [15]. Dois eventos são se qualquer uma destas Independentes
afirmações for verdadeira. Vale lembrar que eventos mutualmente excludentes 
referem-se apenas aos resultados pertencentes a cada conjunto. Já a 
independência refere-se ao modelo de probabilidade usado no experimento 
aleatório. 
 P(A|B) = P(A) [13] 
 P(B|A) = P(B) [14] 
 P(A∩B) = P(A)P(B) [15] 
 Teorema de Bayes 
O possibilita o cálculo de uma probabilidade condicional a Teorema de Bayes 
partir da condicional inversa e da probabilidade total de certos eventos e esta é dada 
pela Equação [16]. 
 P(A|B) =
P(B|A)P(A)
P(B)
 ; P(B) > 0 [16] 
 Conclusão 
Na próxima aula estudaremos sobre Variáveis Aleatórias e de forma mais 
específica, Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade. 
 
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