Apostila_Probabilidade_CCSA_21_05_2019

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Campus de Foz do Iguaçu 
 Centro de Engenharias e Ciências Exatas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Carlos dos Santos 
 
Foz do Iguaçu 
Abril / 2019 
 
 
1 
 
Sumário 
1 PROBABILIDADE ........................................................................................................................................ 2 
1.1 Introdução ............................................................................................................................................. 2 
1.2 Experimento aleatório - Espaço amostral - Evento ________________________ 4 
1.3 Teoria clássica de probabilidade ______________________________________ 5 
1.4 A Teoria Frequentista de Probabilidade ________________________________ 6 
1.5 Probabilidade subjetiva _____________________________________________ 7 
1.6 Axiomas de probabilidade ___________________________________________ 7 
1.7 Principais teoremas de probabilidade __________________________________ 8 
1.8 Sequência de Exercícios nº 1 ________________________________________ 14 
2. Distribuições discretas de Probabilidade ................................................................................................... 16 
2.1 Distribuição Binomial _____________________________________________ 16 
2.2 Sequência de exercícios nº 2 ________________________________________ 18 
2.3 Distribuição de Poisson_____________________________________________ 19 
2.4 Sequência de exercícios nº 3 _________________________________________ 21 
2.5 Distribuição Hipergeométrica _______________________________________ 22 
2.6 Sequência de exercícios nº 4 ________________________________________ 24 
2.7 Distribuição Multinomial ou polinomial _______________________________ 24 
2.8 Sequência de exercícios nº 5 _________________________________________ 25 
3 Distribuições Contínuas de Probabilidade ................................................................................................. 25 
3.1 Distribuição Normal ........................................................................................................................... 26 
3.2 Distribuição normal reduzida ________________________________________ 29 
6. 2 Sequência de exercícios nº 6 ________________________________________ 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1 PROBABILIDADE 
 
1.1 Introdução 
 
Existem dois tipos de modelos na ciência, o modelo determinístico ou mecanístico e o não-determinístico, ou 
probabilístico, ou empírico. 
Os modelos determinísticos são utilizados em certos campos da ciência, como a física, a química analítica, etc., 
onde é possível elaborar modelos matemáticos que estabelecem relações precisas entre grandezas, devido ao grau de 
conhecimento relativamente alto dos fatores envolvidos. Por exemplo, o modelo da lei de Ohm pode ser descrito por 
 
 
Corrente = Tensão/Resistência 
ou 
 
I = E/R 
 
Este modelo é determinístico ou mecanístico porque o mesmo é construído a partir do conhecimento do mecanismo 
físico básico o qual relaciona que a corrente elétrica está em função da tensão e da resistência, sem levar em 
consideração outros fatores. 
 
Modelo Determinístico ou mecanístico Modelo que estabelece uma relação matemática precisa entre as variáveis 
envolvidas, devido o grau de conhecimento relativamente alto do sistema sob estudo. 
 
No entanto, se o processo de medição for realizado várias vezes, talvez em tempos diferentes, ou mesmo em 
dias diferentes, a corrente observada para a mesma tensão e resistência pode diferir levemente devido a pequenas 
mudanças ou variações em fatores não controlados, tais como temperatura ambiente, flutuações no desempenho do 
medidor, pequenas impurezas presentes em diferentes localizações do fio e impulsos de voltagem. Então, um modelo 
mais realista da corrente observada pode ser 
 
I = R/E +  
 
em que  é um termo de erro o qual representa os fatores não controlados ou aleatórios, ou seja, esse termo está no 
modelo, para considerar o fato de que os valores observados não seguem perfeitamente o modelo determinístico ou 
mecanístico. 
Em muitas situações, é mais frequente que os mecanismos no sistema sob estudo não sejam suficientemente 
controlados, de maneira a possibilitar a construção de modelos determinísticos. 
A estatística lida essencialmente com modelos não determinísticos, ou seja, com aquelas situações em que os 
mecanismos do sistema não são tão conhecidos e, portanto, a previsão de resultados está envolta com um certo grau 
de incerteza, a qual é quantificada probabilisticamente. 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Modelo Não-Determinístico ou Probabilístico ou Empírico Modelo que procura prever um resultado, em geral 
usando probabilidades, sem se preocupar com a especificação de todos os agentes causais ou determinantes desse 
resultado. 
 
Por exemplo, suponha que um pesquisador deseja saber qual é o tempo de carga de um aplicativo (Y) para cumprir determinada 
tarefa. Não há um modelo determinístico para essa situação, portanto, o pesquisador irá enumerar todas as possíveis variáveis 
explicativas para prever o tempo de carga, ou seja, capacidade do processador ( X1), capacidade de memória (X2), capacidade do HD 
(X3), etc. Assim, um possível modelo será: 
 
Y = α + β1X1 + β2X2 + β3X3 + ε 
 
Essa expressão representa um modelo de regressão linear múltipla, em que os coeficientesα, β1, β2 e β3 são estimados 
pelo método de mínimos quadrados. O termo ε representa os fatores aleatórios ou não controlados pelo modelo, tais como impulsos 
de voltagem, umidade, temperatura da máquina, etc. Devido aos fatores não controlados, o pesquisador irá prever o tempo de 
carga com um certo grau de confiança ou probabilidade. 
Em todos esses exemplos, de modelos não determinísticos, probabilísticos ou empíricos, o interesse maior é 
conhecer ou prever algum resultado, com algum grau de confiança ou probabilidade, sem especificar todas as razões 
ou os fatores causais envolvidos. Para atingir esses objetivos, o pesquisador terá que realizar algum tipo de coleta de 
dados ou informações, para gerar o conhecimento ou a previsão de interesse. 
Porém, qual o procedimento a ser adotado, quando deseja-se descrever dados do comportamento de 
características associadas a populações infinitas como, por exemplo, os comprimentos de todas as peças produzidas 
por uma indústria de grande porte? 
Em outras palavras, como calcular a distribuição de frequências, ou como calcular as medidas de posicão e de 
dispersão de uma população tão grande? Na realidade, tais determinações não são possíveis, pois é impossível a 
manipulação de um número infinito de elementos. A única maneira de se descrever uma população infinita ou muito 
grande é fazendo conjecturas a respeito dela. Ha duas maneiras de se conjeturar a respeito de uma população: 
 
i) Estimando valores através de amostras. É o procedimento quando se quer conjeturar a respeito de medidas de 
posição e de dispersão populacionais; 
 
ii) Construindo um modelo teórico (e não-determinístico) que explique a distribuição de frequência na população 
infinita o mais adequadamente possível. 
 
O uso de amostras para, indiretamente, descrever populações infinitas, será visto no decorrer do curso na parte 
de inferência estatística. Nesta seção, serão abordados os modelos probabilísticos que procuram explicar a distribuição 
de frequência em populações infinitas. 
 
 
 
 
 
4 
 
1.2 Experimento aleatório - Espaço amostral - Evento 
 
Dentro da teoria de probabilidades os termos “experimento”, “espaço amostral” e “evento”, são muito 
utilizados. Os conceitos desses termos são dados a seguir: 
 
Experimento: é um processo de investigaçãocientífica de alguns procedimentos, feito para responder determinadas 
perguntas. 
 
 Um experimento é dito aleatório quando satisfaz as seguintes condições: 
 
a) pode ser repetido indefinidamente; 
b) o pesquisador é capaz de descrever todos os possíveis resultados do experimento, embora não se possa 
dizer com certeza qual ocorrerá; 
c) obedece uma regularidade estatística, ou seja, quando o experimento for repetido um grande número de 
vezes, surgirá uma configuração definida (distribuição de frequência, agora chamada de distribuição de 
probabilidade); 
 
São experimentos aleatórios 
 
(1) tomar uma válvula eletrônica e verificar o tempo de vida; 
(2) medição do tempo de duração de lâmpadas de LED; 
(3) vazão mínima do rio Iguaçu, em determinada seção, durante o mês de janeiro; 
(4) medição da resistência à ruptura de corpos de prova; 
 
(5) medição da dureza de corpos de prova de aço. 
 
 
Mesmo que não seja evidenciado, o procedimento adotado é de caráter científico. Ninguém diz que uma 
pesquisa eleitoral é um experimento científico mas, na realidade ela deve ser conduzida através de critérios científicos, 
caso contrário ela é de pouca valia. 
 
Espaço amostral Representado por , é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
Cada resultado de um experimento aleatório é denominado de ponto amostral. 
 
 
Exemplos: 
 
a) Testar uma válvula eletrônica até queimar, anotando o tempo de vida. O espaço amostral será 
 
 = {xR / x 0} 
 
 
 
 
5 
 
b) Lançar um dado e observar os resultados da face de cima. O espaço amostral será 
 
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Os pontos amostrais serão: 1, 2, 3, 4, 5, e 6 
 
c) Tempo de duração de uma lâmpada, em horas. Sendo R o conjunto dos números reais o espaço amostral será 
 = {xR / x0} 
 
d) Contar o número de dias de chuva da cidade de Foz do Iguaçu, durante o mês de março. O espaço amostral será 
 
 = {0, 1, 2, . . . ,31} 
Os pontos amostrais serão: 0, 1, 2,, . . ., 31. 
 
Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral . Deve-se considerar como eventos de qualquer espaço 
amostral, o evento impossível (aquele que nunca ocorre) “” e o evento certo, o próprio espaço amostral “”. 
 
Exemplo: 
 
Considere que duas peças serão coletadas de um lote, sem reposição, com a seguinte nomenclatura: D: peça 
defeituosa, P: peça perfeita. Se considerarmos o número de peças defeituosas, a lista de todos os eventos possíveis 
será: 
 = evento impossível = número de peças defeituosas maior do que 2; 
Duas peças defeituosas: A = {DD}; 
Uma peça defeituosa: B = {DP, PD}; 
Nenhuma peça defeituosa: C = {PP}; 
Todos os resultados possíveis:  = {DD; DP; PD, PP}. 
1.3 Teoria clássica de probabilidade 
 
Esta teoria baseia-se na existência de um espaço amostral  com n elementos unitários: 
 
 = {a1, a 2, . . . , a n} 
 
Este espaço amostral estaria associado ao objeto de estudo de um experimento, e seus elementos seriam 
igualmente prováveis de ocorrer, ou seja, 
 
n
aPaPaP n
1
_)(,),()( 21  
 
 
6 
 
 
Em que P(ai) denota probabilidade do evento ai. 
 
Exemplo: 
 
Suponha que um dado de jogo em perfeito estado é lançado e sua face é anotada. Logo, o espaço amostral 
será: 
 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
 
assim, a probabilidade de que ocorra qualquer uma das faces será a mesma, ou seja, 
 
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 
6
1
 
 
Porém, essa teoria apresenta lacunas, uma vez que exige o conhecimento prévio da entidade física referente 
aos eventos de igual probabilidade. Além disso, na maioria das vezes os eventos de um espaço amostral não são 
igualmente prováveis. 
 
1.4 A Teoria Frequentista de Probabilidade 
 
A teoria frequentista de probabilidade possui uma motivação empírica para interpretar probabilidades 
(Wadsworth e Bryan, 1960). Na observação de um certo fenômeno através de um experimento, a probabilidade de um 
certo evento Ai é definida, formalmente, como a sua freqüência relativa observada, à medida que o número de 
repetições tende para o infinito, ou seja, 
 
n
n
AP i
A
n
i

 lim][ 
 
em que nAi é o número possibilidades favoráveis ao evento Ai, num total de n repetições de um experimento. Trata-se de 
uma definição operacional, no sentido que demanda a postulação de um experimento ou operação. 
Assim, as frequências relativas em populações infinitas são chamadas de probabilidades. Por exemplo, suponha 
que se esteja interessado em descrever (prever) a taxa de nascimento de meninos e meninas. Um possível modelo que 
explica o fato de uma criança nascer menino ou menina é aquele que estabelece que tanto o sexo masculino quanto o 
feminino têm chances iguais de ocorrer. Ele procura explicar a frequência relativa de nascimentos de infinitas crianças 
que existem ou virão a existir. Surge daí, a razão de se falar em probabilidade de nascimento de meninos ou meninas, 
que segundo esse modelo é de 0,5 ou 50%. 
 
Probabilidade Frequência relativa associada a uma variável descritora de uma população infinita. 
 
 
 
7 
 
Portanto, pode-se denominar a distribuição de frequência relativa associada a uma variável descritora de uma 
população infinita como uma distribuição de probabilidade. 
 
Distribuição de probabilidade Distribuição de frequência relativa em uma população infinita aos valores da variável 
de interesse. 
 
 
1.5 Probabilidade subjetiva 
 
Atualmente, pode-se dizer que a inferência estatística (a qual será estudada no decorrer do curso), apresenta 
duas escolas de pensamento, a clássica e a bayesiana. A primeira está baseada no conceito frequentista de 
probabilidade. Já, a inferência Bayesiana está assentada (também) em um enfoque subjetivo de probabilidade. Por ela, 
a formulação de modelos e sua verificação são feitas através da combinação de evidências experimentais (objetivas) 
com a opinião do pesquisador (subjetiva). 
Portanto, define-se probabilidade subjetiva como uma medida do grau de confiança de uma pessoa em relação a 
uma proposição (O’ Hagan, 1994). Ela é função da quantidade de informação disponível pela pessoa, e possui a 
restrição de que deve obedecer, assim como as teorias clássica e frequentista, a critérios de consistência, ou seja, a 
axiomas de probabilidade os quais serão vistos a seguir. 
 
1.6 Axiomas de probabilidade 
 
A teoria de probabilidades está baseada em alguns axiomas, os quais são afirmações das quais não é exigida 
uma prévia demonstração, simplesmente são aceitas por definição. 
Seja o espaço amostral  associado a um dado experimento . A cada evento Ai associa-se um número real, 
denominado de probabilidade de Ai, o qual deve satisfazer às seguintes propriedades: 
 
(1
0
) 0  P(Ai)
 
 1; 
(2
0
) P() = 1 (ou seja, a probabilidade do evento certo é igual 1); 
(3
0
) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (aqueles que não ocorrem simultaneamente), a probabilidade 
de ocorrência de A ou de B é igual à soma das probabilidades de cada um, ou seja, 
 
)()()( BPAPBAP  
 
A última propriedade pode ser utilizada para uma sequência finita ou infinita de eventos mutuamente exclusivos, 
pertencentes a , ou seja, 
 







 n
i
i
n
i
i APAP
11
)( 











11
)(
i
i
i
i APAP  
 
 
8 
 
 
Exemplo de aplicação 
 
Suponha que um determinado instituto tem os seguintes números de alunos matriculados por curso: 110 de 
Matemática Pura, 30 de Matemática Aplicada, 30 de Estatística e 30 de Computação. 
 
a) Qual é a probabilidade de que, um aluno escolhido ao acaso seja do curso de Matemática Pura? 
b) Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso seja do curso de Matemática Pura ou do Curso de 
Estatística? 
c) Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso seja do curso de Matemática Pura, ou de Matemática 
Aplicada, ou de Estatística ou da Computação? 
 
Solução 
Sejam os eventos: 
A:o aluno é do curso de Matemática Pura 
B: o aluno é do Curso de Matemática Aplicada 
C: o aluno é do curso de Estatística 
D: O aluno é do Curso de Computação 
 
a) 55,0
200
110
)( AP ou 55% 
 
b) 70,0
200
30
200
110
)()()(  CPAPCAP ou 70% 
 
c) P 1
200
30
200
30
200
30
2100
110
)()()()(  CPBPAPDCBAP 
 
 
1.7 Principais teoremas de probabilidade 
 
Os teoremas de probabilidade são afirmações demonstradas a partir de axiomas. 
 
 (1
o
 ) A probabilidade de um evento impossível  é zero, ou seja, P() = 0. 
 
 
Exemplo de aplicação 
 
 Numa prova valendo 10 pontos, qual é a probabilidade de ocorrer de fato alguma nota maior do que 10? 
 
 
 
9 
 
P(X > 10) = P() = 0 
 
 (2
o
) Se A
c 
 é o evento complementar de A, então P(A
C
) = 1 – P(A) 
 
Exemplo de aplicação 
 
 Se a probabilidade de um equipamento de segurança falhar durante sua utilização é de 5%, então a 
probabilidade deste equipamento não falhar durante sua utilização será: 
 
P(F
C
) = 1 – P(F) = 1 – 0,05 = 0,95 ou 95% 
 
O teorema do evento complementar será muito útil quando for alto o número de probabilidades a serem 
calculadas. Por exemplo, suponha que foram coletadas 100 peças de uma linha de produção e o objetivo é saber a 
probabilidade de ocorrer, no mínimo, uma peça defeituosa. Se X representa o número de peças defeituosas, então tal 
probabilidade seria dada por: 
P(X ≥ 1) = P(X = 1 X = 2  . . .  X = 100) = P(X = 1) + P(X = 2) + . . . P(X = 100) 
 
Assim, teriam que ser calculadas 100 probabilidades e, posteriormente, deveriam ser somadas. No entanto, se o leitor 
lembrar do teorema do evento complementar, esse cálculo será realizado mais facilmente por: 
 
P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 - P(X = 0) 
 
 
(3
o
) Se BA  , então P(A)  P(B) 
 
Exemplo de aplicação 
 
 Suponha que seja feito um sorteio de uma bolsa de estudos de um curso de inglês, entre os alunos de uma 
Instituição de Foz do Iguaçu. Existem 1402 alunos matriculados no total. Há 141 alunos no curso de Matemática, dos 
quais, 35 são do quarto ano. Qual é a probabilidade de ser sorteado: 
a) Um aluno do curso de Matemática 
b) Um aluno do quarto ano do curso de matemática 
 
Solução 
 
Os eventos são: 
A: O aluno é do curso de Matemática, 
B: O aluno é do quarto ano de Matemática 
 
a) %1010,0
1402
141
)( ouAP  
 
 
10 
 
 
b) %20,02
1402
35
)( ouBP  
Como AB  , tem-se P(B) < P(A). 
O empate P(B) = P(A) ocorrerá quando houver apenas o 4º ano do curso de matemática. 
 
(4
o
) Teorema do Produto: A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B é igual ao produto da 
probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, ou seja, 
 
)A/B(P)A(P)BA(P  
 Considerando dois eventos, pode ser que a ocorrência de um deles modifique a probabilidade de ocorrência do 
outro. Assim, a probabilidade do evento B, sabendo que A ocorreu, ou probabilidade condicional de B em relação a A, 
pode ser representada por P(B/A). Dessa forma, para P(A)  0, define-se 
 
 
 AP
BAP
A/BP

 
No caso de 3 eventos A, B e C, a probabilidade do evento C, sabendo que A e B ocorreram, é dada por 
 
 
 
 
.
BAP
CBAP
BA/CP


 
 
Os eventos são ditos independentes quando a ocorrência de um deles independe da ocorrência do outro. 
Dessa forma, se A e B são independentes, então 
P(B/A) = P(B), assim como, P(A/B) = P(A), 
E no Teorema do Produto tem-se que 
     BP.APBAP  
 
No caso de três eventos independentes A, B e C, o teorema do produto fica: 
 
)C(P)B(P)A(P)CBA(P  
 
Exemplos de aplicação 
 
( 1 ) Uma Companhia de Energia elétrica resolveu realizar uma promoção, sorteando dois brindes aos clientes que 
gastassem menos de 50 kwh/mês. Verificou-se que 500 clientes atenderam a esse quesito. Desses, 200 foram do 
Bairro A, 175 do B e 125 do C. Suponha que o ganhador de um prêmio não pode concorrer aos restantes (amostragem 
sem reposição). 
 
 
11 
 
 
a) Qual a probabilidade de que os dois ganhadores sejam do bairro A? 
b) Qual a probabilidade de que um seja bairro A e o outro do B? 
c) Qual a probabilidade do segundo ser do bairro B, sendo que o primeiro cliente sorteado é do bairro A? 
d) Se fossem sorteados três brindes, qual a probabilidade de ocorrer um cliente de cada bairro? 
e) Se fossem sorteados três brindes, qual a probabilidade de o terceiro cliente ser do bairro C, sendo que o primeiro é 
do Bairro A e o segundo do Bairro B? 
 
 
Solução 
 
n = 500; nA = 200, nB = 175, nC = 125 
 
Sejam os eventos: 
A: O cliente é do Bairro A 
B: O cliente é do Bairro B 
C: O cliente é do Bairro C 
 
a)      A/AP.APAAP  = 1595,0
499
199
.
500
200
 
b)      ABPAPBAP /. = 1403,0
499
175
.
500
200
 
c)  
 
 AP
BAP
ABP

/ = 3507,0
500
200
499
175
500
200


 
d)        BA/CPA/BPAPCBAP  = 0352,0
498
125
499
175
500
200
 
e)  
 
 
2510,0
499
175
500
200
498
125
499
175
500
200
/ 






BAP
CBAP
BACP 
 
( 2 ) Para o exemplo anterior, suponha que o ganhador de um prêmio possa concorrer aos restantes, ou seja, seu 
nome é reposto na urna (amostragem com reposição). 
 
a) Qual a probabilidade de que um seja bairro A e o outro do B? 
b) Se fossem sorteados três brindes, qual a probabilidade de ocorrer um cliente de cada bairro? 
 
 
 
12 
 
 a)       28,014,014,0
500
200
.
500
175
500
175
.
500
200
)().(.)()(  APBPBPAPABBAP 
 
 b)    )()()()(() ABCBACACBCABBCACBAP 
21,0
500
200
500
175
500
125
500
175
500
200
500
125
500
200
500
125
500
175
500
125
500
200
500
175
500
175
500
125
500
200
500
125
500
175
500
200

 
 
 
 
( 3 ) Os funcionários de uma empresa estão distribuídos segundo a tabela a seguir: 
 
 
Departamento 
Sexo 
Total Masculino Feminino 
A 25 25 50 
B 15 10 25 
C 20 5 25 
Total 60 40 100 
 
 
No sorteio de um funcionário, qual é a probabilidade de que este seja: 
a) Do sexo masculino? 
b) Do sexo masculino e do departamento A 
c) Do sexo masculino, sabendo que é do departamento A 
 
Solução 
Sejam os eventos: 
A: o funcionário é do departamento A 
B: o funcionário é do departamento B 
C: o funcionário é do departamento C 
M: o funcionário é do sexo masculino 
F: o funcionário é do sexo feminino 
 
a)   60,0
100
60
MP OU 60% 
b)       %2525,0
60
25
.
100
60
/ ouMAPMPAMP  
c)  
 
 
%505,0
50
25
100
50
100
25
/ ou
AP
AMP
AMP 

 
 
 
 
13 
 
 
(5
o
) Teorema da soma ou das probabilidades totais: A probabilidade de ocorrer pelo menos um entre dois 
eventos A e B, não necessariamente mutuamente exclusivos, é igual à soma das probabilidades de A e de B, menos a 
probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente, ou seja, 
 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P  
 
Exemplo de aplicação 
 
 No circuito a seguir, a probabilidade de que cada relé esteja fechado é 0,8. Supondo que cada relé seja aberto ou 
fechado independentemente um do outro, calcular a probabilidade de que a corrente passe de A para B. 
 
Sejam os eventos: 
 
R1: o relé 1 está fechado, 
R2: o relé 2 está fechado, 
R3: o relé 3 está fechado, 
R4: o relé 4 está fechado, onde 
 
P(R1) = P(R2) = P(R3) = P(R4) = 0,8 
 
 A corrente passa de A para B se estiverem fechados os relés 1 e 2 ou 3 e 4, portanto deve-se calcular 
)]RR()RR[(P 4321  , onde os eventos )RR(e)RR( 4321  podem ocorrer simultaneamente (se os quatro 
relés estiverem fechados), dessa forma tem-se: 
 
)]()[()(()()]()[( 432143214321 RRRRPRRPRRPRRRRP  
 
%04,87ou8704,08,08,08,08,08,08,08,08,0  
 
(6
O
) Teorema de Bayes: Sejam A1, A2,. . ., An eventos dois a dois mutuamente exclusivos tais que 
nAAA  21 . Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas desses eventos, e Bum evento qualquer de  tal 
que são conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/Ai).Então, para um dado evento Ai, tem-se 
 
)R(P)R()R(P)R(P)R(P)R(P)R(P)R(P 43214321 
 
 
14 
 
)A/B(P)A(P)A/B(P)A(P)A/B(P)A(P
)A/B(P)A(P
)B/A(P
nn2211
ii
i




 
Exemplo de Aplicação 
 
 Uma indústria produz quatro tipos de válvulas eletrônicas: A, B, C e D. A probabilidade de uma válvula do tipo A 
ser defeituosa é 1%, do tipo B é 0,5%, do tipo C é 2% e do tipo D é 0,2%. Em um depósito existem 1000 válvulas do tipo 
A, 500 do tipo B, 300 do tipo C e 200 do tipo D. Uma válvula é retirada aleatoriamente do depósito e verifica-se que esta 
é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a válvula retirada seja do tipo D? 
 
Sejam os eventos 
 
A: a válvula é do tipo A, 
B: a válvula é do tipo B, 
C: a válvula é do tipo C, 
D: a válvula é do tipo D, 
E: a válvula é defeituosa. 
 
 O evento válvula defeituosa (E) ocorreu, portanto, a probabilidade de que seja do tipo D (sendo A, B, C e D 
mutuamente exclusivos) será dada por: 
 
)/()()/()()/()()/()(
)/()(
)/(
DEPDPCEPCPBEPBPAEPAP
DEPDP
EDP


 
 
Onde 50,0
2000
1000
)( AP ; 25,0
2000
500
)( BP ; 15,0
2000
300
)( CP ; 10,0
2000
200
)( DP 
 
P(E/A) = 1% = 0,01; P(E/B) = 0,5% = 0,005; 
P(E/C) = 2% = 0,02; P(E/D)= 0,2% = 0,002; 
 
Portanto, 
 
%1,2021,0
002,010,0020,015,0005,025,0010,050,0
002,010,0
)/( ouEDP 


 
 
 
1.8 Sequência de Exercícios nº 1 
 
01 No lançamento de um dado equilibrado considere os eventos A: ocorrência de face ímpar B: ocorrência de face 
menor do que 3 e C = Número máximo observado igual a 5. 
a) Escreva o espaço amostral 
 
 
15 
 
b) Calcule P(A); P(B); P(C).R: 0,50; 0,3333; 0,8333 
 
02. Uma moeda perfeita será lançada 3 vezes. Sejam os eventos: E1: observar pelo menos duas coroas; E2: observar 
no máximo uma coroa; E3: observar as 3 faces iguais; E4: observar 3 coroas; E5: O primeiro lançamento resulta em 
coroa; E6: o segundo lançamento resulta em coroa E7: o terceiro lançamento resulta em coroa. 
 
a) Escreva o espaço amostral no caso de três lançamentos 
b) Calcule P(E1), P(E2), P(E3), P(E4), P(E5), P(E6) e P(E7) R: 0,50; 0,50; 0,25; 0,125; 0,50; 0,50; 0,50 
 
03 Uma urna contém 20 bolas das quais 9 brancas, 5 azuis e 6 vermelhas. Duas bolas serão retiradas sucessivamente 
da urna, sem reposição. Calcular as seguintes probabilidades: 
a) de a segunda bola extraída ser vermelha, dado que a primeira é vermelha.R:0,2632 
b) de serem extraídas bolas de cores diferentes: 0,3395 
c) de serem extraídas bolas de mesma cor? 0,3211 
 
04. Sabe-se que na fabricação de um certo artigo, defeitos de um tipo ocorrem probabilidade 0,1 e defeitos de outro tipo 
com probabilidade 0,05. Qual será a probabilidade de que: 
a) um artigo não tenha ambos os tipos de defeitos: R: 0,995 
b) Um artigo seja defeituoso? R: 0,145 
 
05 Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidade de A ou B 
ocorrerem for igual a 0,6 enquanto a probabilidade de ocorrência de A for igual a 0,4 determine a probabilidade de 
ocorrência de B. R: 0,3333 
 
06. Um lote é composto de 1000 peças, sendo 95% perfeitas e 5% defeituosas. Duas peças são extraídas 
aleatoriamente desse lote, sem reposição, qual a probabilidade de que: 
a) ambas sejam perfeitas R: 0,90245 
b) ambas sejam defeituosas R: 0,00245 
c) uma seja defeituosa e a outra seja perfeita? 0,0475 
 
07 Nos circuitos abaixo, supondo que cada relé funcione independentemente um do outro, sendo 95% a probabilidade 
de que um relé qualquer esteja fechado, calcular a probabilidade de que corrente a corrente passe de A para B. 
 
R: 0,999875 
 
 
16 
 
R: 0,999756 
 
 
08 Suponha que uma empresa possui 65 funcionários como mostra o quadro a seguir. 
 
Departamentos sexo Total 
 Masculino Feminino 
Administração 15 10 25 
Contabilidade 13 7 20 
Pessoal 2 3 5 
Marketing 10 5 15 
TOTAL 40 25 65 
 
Suponha, ainda, que um(a) funcionário(a) será sorteado(a) para tirar férias no mês de janeiro 
 
a) Qual é o espaço amostral quanto ao sexo? 
b) Qual é o espaço amostral quanto a departamentos? 
c) Qual é a probabilidade de ser do sexo masculino? R: 0,6154 
d) Qual é a probabilidade de ser do departamento de administração e do sexo masculino? R: 0,2308 
e) Qual é a probabilidade de ser do departamento de Marketing ou do departamento de administração? R: 0,6154 
f) Qual é a probabilidade de ser do departamento pessoal, sabendo que é mulher? R: 0,12 
 
09. Certa indústria, possui cinco máquinas: A, B, C, D e E, as quais produzem os mesmos tipos de peças, que serão 
utilizadas na montagem de equipamentos elétricos. Sabe-se que a produção diária da máquina A é o dobro da 
produção diária da máquina D, que as produções das máquinas B e C são iguais e que a máquina E produz 20 peças a 
mais que a máquina A. De acordo com o setor de controle de qualidade dessa indústria, são defeituosas, 
respectivamente, 1%, 2%, 5%, 1% e 3% das peças produzidas pelas máquinas A, B, C, D e E. Uma peça foi tomada 
aleatoriamente e verificou-se que ela é defeituosa. Calcular a probabilidade de que essa peça tenha sido fabricada pela 
máquina E, sabendo que as máquinas A e B produzem, respectivamente, 200 e 150 peças. R: 0,3284 
 
 
2. Distribuições discretas de Probabilidade 
 
2.1 Distribuição Binomial 
 
Se a cada ensaio corresponde uma distribuição de Bernoulli com mesmo parâmetro p, a observação conjunta de 
vários desses ensaios independentes, cada um com dois resultados possíveis, corresponde a uma distribuição 
binomial. 
 
 
17 
 
Por exemplo, considere que a probabilidade de um bit transmitido através de um canal digital de transmissão 
ser recebido com erro é p = 0,1. Então, a observação de cada bit, individualmente, seque a distribuição de Bernoulli, 
mas, a observação conjunta de vários bits, onde os resultados entre os bits são independentes, corresponde a uma 
distribuição binomial. Nesse caso, é possível calcular, por exemplo, a probabilidade de que 2 bits apresentem erro num 
total de 4. 
A função de probabilidade da distribuição binomial é 
 
)x(IqpC)p1(pC)xX(P)p,n(f }n,...,1,0{
xnxx
n
xnxx
n
  
 
Tal função é obtida pela expansão do binômio de Newton (p + q)
n
, o qual justifica a denominação desta 
distribuição. 
 Demonstra-se, para a distribuição binomial, que a esperança (média) e a variância são dadas, 
respectivamente, por: 
 
E(X) = np V(X) = np(1-p) = npq 
 
 
Exemplos: 
 
( 1 ) Suponha que 5 geradores idênticos de um usina hidrelétrica, com 100 MVA cada, tem uma probabilidade de 0,98 
de estar em serviço. Qual a probabilidade de um deles se achar fora de operação? 
 
Solução: 
 
A probabilidade de um deles estar fora de serviço é a mesma que a de 4 deles estarem em serviço, logo, n = 5; x= 4, e 
p = 0,98. Assim, 
 
09223,002,09236,05)98,01(98,0)4( 4544
5
 CXP ou 9,223% 
 
Deste modo, a probabilidade de achar uma das unidades fora de operação será de aproximadamente 9%. 
 
( 2 ) Segundo os registros de uma escola, a proporção média de alunos reprovados na disciplina de Matemática, na 
sétima série, ao longo dos anos, é de 0,25. Assim, a probabilidade de que, numa turma de 40 alunos da sétima série 
ocorram, por exemplo, exatamente 7 alunos reprovados é 
 
xnxx
n
xnxx
n qpC)p1(pC)xX(P)p,n(f
  
%57,8ou0857,0)25,01(25,0C)7X(P)25,0;40(f 74077
40
  
 
( 3 ) Sabe-se que 5% dos parafusos fabricados por uma indústria são defeituosos. Em um lote de 10 parafusos, qual é 
a probabilidade de: 
 
 
18 
 
 
a) exatamente 2 serem defeituosos. 
b) menos de 2 serem defeituosos 
c) três ou mais serem defeituosos 
d) Qual a média e o desvio padrão do número de parafusos defeituosos? 
 
 A probabilidade de que um parafuso qualquer seja defeituoso é p = 0,05 logo,1 - p = 0,95. Portanto, 
 
a) P[X=2] = 07463,0)95,0()05,0(C21022,10 
 
 
b) P(X< 2 ) = P(X= 0 ) + P(X=1) 
P(X< 2 ) = 91386,031512,059874,0)95,0()05,0()95,0()05,0( 11011,10
0100
0,10 
 CC 
c) )]2()1()0([1)3(1)3(  XPXPXPXPXP 
01151,0]07463,031512,059874,0[1)3( XP 
 
d) E(X) = np = 10 . 0,05 = 0,5 peças defeituosas 
 
sdefeituosapeças69,095,005,010npq)x(vDP  
 
2.2 Sequência de exercícios nº 2 
 
01. Um exame do tipo teste é constituído de 20 questões, cada uma delas com 5 respostas alternativas, das quais 
apenas uma é correta. Se um estudante responde as questões ao acaso, qual é a probabilidade de que consiga acertar 
exatamente 10 questões? R: 0,002 ou 0,2% 
 
02. Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que contém 12 peças. 
Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo 
 
a) nenhuma peça defeituosa; R: 0,2824 ou 28,24% 
b) uma peça defeituosa.R: 0,3766 ou 37,66% 
 
03. Uma amostra de 25 peças é retiradas, com reposição, de um lote que contém 10% das peças são defeituosas. 
Calcule a probabilidade de que: 
 
a) o lote não contenha peças defeituosas; Reposta: 0,0718 
b) o lote contenha exatamente três peças defeituosas; Resposta: 0,2265 
c) o lote contenha pelo menos uma peça defeituosa; Resposta: 0,9282 
 
 
19 
 
d) o lote contenha entre três e seis peças defeituosas; Resposta: 0,2030 
e) o lote contenha de três a seis peças defeituosas; Resposta: 0,4537 
f) Calcule o valor esperado e o desvio padrão. Resposta: E(X) = 2,5 e DP(X) =1,5 
 
04. Um levantamento feito em um pregão da bolsa de valores mostrou que naquele dia 40% das empresas tiveram 
aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações das empresas restantes ficaram estáveis ou perderam valor. 
Um fundo negocia ações de 10 destas empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia: 
 
a) todas as ações tenham se valorizado; Resposta: 0,01% 
b) no máximo as ações de duas empresas tenham se valorizado. Resposta: 0,1673 ou 16,73% 
 
01. Uma indústria de computadores suspeita que 3% de um determinado tipo de peça que produz possui defeitos. Se 
tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, numa amostra de quatro peças, sejam encontradas: 
 
a) no mínimo duas peças defeituosas; Resposta: 0,0052 ou 0,52% 
b) duas peças boas ou menos; Resposta: 0,0052 ou 0,52% 
 
06. Uma empresa distribuidora costuma falhar em suas entregas de mercadorias 15% das vezes, por atraso de 
entrega, ou por mercadoria fora da especificação, ou por danos, etc., causando reclamações dos clientes. Calcule a 
probabilidade de: 
 
a) Não haver reclamações nas 10 entregas de hoje; Resposta: 19,69% 
b) acontecer pelo menos uma reclamação nas 4 primeiras entregas; Resposta: 47,80% 
c) acontecer no máximo uma reclamação nas 10 primeiras entregas; Resposta: 54,43% 
 
07. Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer circuito seja defeituoso é de 
0,01. Os circuitos são independentes. O produto opera somente se não houver circuitos defeituosos. Qual é a 
probabilidade de que o produto funcione corretamente? Resposta: 0,6689 
 
2.3 Distribuição de Poisson 
 
A distribuição de Poisson é outra distribuição de probabilidade discreta que encontra muitas aplicações 
práticas. Diz-se que existe um processo de Poisson, se pudermos observar variáveis discretas em um intervalo 
contínuo (de tempo, de comprimento, de área de superfície, de volume, etc.). São exemplos de aplicação desta 
distribuição: 
 
1) Número de carros que chegam a um cruzamento por minuto, durante certo período do dia; 
2) Número de erros por página, em um impresso; 
3) Número de bactérias numa dada cultura por 0,01mm
2
, numa plaqueta de microscópio; 
4) Número de falhas a cada 100m de uma linha de transmissão de energia elétrica. 
5) Número de atendimentos no caixa durante o período de meia hora no caixa eletrônico. 
 
 
20 
 
 
Exemplo 
 
( 1 ) O número de partículas radioativas emitidas em cada intervalo de 5 segundos, são contadas. Suponha que o 
número de partículas emitidas, durante o intervalo de 5 segundos, tenha uma distribuição de Poisson com média  = 
2,0. Tendo sido observados 10 intervalos de tempo, qual a probabilidade de que em cada um deles, menos de 3 
partículas sejam emitidas? 
 
Tem-se  = 2,0, portanto, 
 
)2X(P)1X(P)0X(P)3X(P  = 6707,02707,02707,01353,0
!2
e2
!1
e2
!0
e2 222120


 
que representa a probabilidade de emissão de menos de 3 partículas em um intervalo de tempo. Portanto, no caso de 10 
intervalos de tempo, tem-se a probabilidade 
 
0201,06707,0)3X(P)3X(P)3X(P)3X3X3X(P 1010211021   
 
 
A distribuição de Poisson também pode ser utilizada com uma aproximação boa da distribuição de Binomial, 
quando número de observações “n” cresce e a probabilidade do evento de sucesso “p” decresce , de maneira que o 
produto np, ou seja, a média, se mantém constante, ou seja: 
 




n
qpC
)p,n(f
xnxx
n )x(I
x!
e
x)(XP),x(f },...,1,0{
x 
 
 
em que  = np é a média; e = 2,7183...,.que define a função de probabilidade da distribuição de Poisson. 
Exatamente pelo fato de p tender a zero, para que o produto  = np seja constante, a distribuição de Poisson é 
aplicável, no estudo eventos raros, ou seja, com baixa probabilidade p de ocorrência. 
Assim, a distribuição de Poisson pode ser utilizada como uma boa aproximação da distribuição binomial, desde 
que n seja grande e p seja pequeno. Na prática, essa aproximação geralmente é usada para n  50 e np <5. 
 
Exemplo 
 
( 1 ) Verificou-se que a probabilidade de falha de um transistor em um instrumento eletrônico, durante uma hora de 
operação, é igual a 0,005. Calcular a probabilidade de 
 
a) Não haver falhas em 80 horas de operação; 
b) haver menos de duas falhas em 80 horas de operação 
 
Como n = 80 > 50 e np = 80x0,005 = 0,4 < 5, a distribuição de Poisson pode utilizada para calcular tais probabilidades 
 
 
0,6767 
0,6767 
 
 
21 
 
a) 6703,0
!0
e4,0
)0X(P
4,00


 
 
 
b) P(X< 2) = P(X= 0 ) + P(X=1) = 9384,02681,06703,0
!1
4,0
!0
4,0 4,014,00

 ee
 
 
 
A esperança e a variância da distribuição de Poisson são iguais, ou seja, 
 
E (X) = V(X) = np 
 
Exemplo 
 
( 1 ) No exemplo anterior, a esperança e a variância do número de falhas do transistor em um instrumento eletrônico, 
durante 80 horas de operação são: 
 
E(X) = V(X) = np = 80*0,005 = 0,4 
 
2.4 Sequência de exercícios nº 3 
 
01 Uma máquina produz uma proporção p = 0,009 de peças defeituosas. Suponha que são inspecionas 100 peças. 
Pergunta-se: 
 
a) É permitida a utilização da distribuição de Poisson para calcular probabilidades neste exemplo, com uma boa 
aproximação da distribuição binomial? Justifique a sua resposta. 
b) Qual é a probabilidade de ocorrerem 8 peças defeituosas? Calcule pela distribuição de Poisson e pela distribuição 
binomial. Reposta: pela Poisson (0,000004), pela binomial (0,000003) 
 
02 Supondo que o número de carros que chegam à fila de um guichê de pedágio tem distribuição de Poisson com 
média de três carros por minuto, calcule a probabilidade de que cheguem cinco carros nos próximos dois minutos. 
Resposta: 0,1606 ou 16,06% 
 
 
03 Uma Cia de seguros realiza presta serviços para 100 carros de uma grande empresa de São Paulo. O percentual de 
carros roubados no ano passado, em São Paulo, foi de 3,5%. Qual é a probabilidade de, no ano passado, desta Cia, ter 
ocorrido roubo de: 
a) nenhum carro? Resposta: 0,0302 
b) um carro? ? Resposta: 0,1057 
c) No máximo dois carros? Resposta: 0,3209 
 
 
 
22 
 
04 O controle de qualidade de uma montadora de automóveis acusa que 1% das falhas no processo de proteção 
antioxidante da lataria dos veículos que ela produz. Foram encomendados 100 veículos. Calcule a probabilidade de 
que a falha citada ocorra em: 
a) nenhum um veículo. Resposta: 0,3679 
b) apenas um veículo. Resposta:0,3679 
c) No máximo um veículo. Resposta: 0,7358 
d) mais de um veículo. Resposta: 0,2642 
 
 
2.5 Distribuição Hipergeométrica 
 
A distribuição Hipergeométrica pode ser usada quando têm-se n elementos coletados sem reposição, de um 
total de N, sendo que r deles correpondem ao evento de sucesso e se quer saber a probabilidade de que, dentre os n 
observados, x correspondam ao evento de sucesso, com o mostra a figura a seguir: 
 
 
 
Diz-se que uma variável aleatória X seque a distribuição hipergeométrica se sua função de probabilidade for 
dada por: 
 
nN
xnrNxr
C
CC
xXP
,
,,
)(

 
em que: 
 
CN,n representa a contagem do número total possível de amostras sem reposição; 
Cr,x representa a contagem do número de maneiras que o evento de sucesso pode ocorrer na amostra; 
CN-r, n-x representa a contagem do número de maneiras que o evento de fracasso pode ocorrer na amostra. 
 
Demonstra-se que a esperança e a variância de uma V.A com distribuição hipergeométrica são, 
respectivamente, 
 
E(X) =np e 
)1(
)(
)1()(



N
nN
pnpXV 
 
Em que: p = r/N, ou seja, é a probabilidade do evento de sucesso. 
 
 
 
 
 
23 
 
Exemplos 
 
( 1 ) Uma firma vende lâmpadas por centenas. Examina sempre uma amostra de 15 lâmpadas para verificar se estão 
boas. Se uma centena inclui 12 lâmpadas queimadas, qual é a probabilidade de se escolher: 
 
a) nenhuma lâmpada queimada; 
b) pelo menos uma lâmpada queimada; 
c) nesta situação, qual é o provável número médio, a variância e o desvio padrão de lâmpadas queimadas, se várias 
amostras de12 Lâmpadas forem contadas? 
 
Solução: 
N = 100, r = 12, n = 15 
a) 1253,0)0()(
15,100
015,121000,12
,
,,


C
CC
XP
C
CC
xXP
nN
xnrNxr
 
b) P(x  1) = 1 – P(x < 0) = 1 – 0,1253 = 0,8747 
 
c) E(X) = np = 15.(12/100) = 15.0,12 = 1,8  2 lâmpadas queimadas 
 
45,0
)1100(
)15100(
)12,01(12,015
)1(
)(
)1()( 






N
nN
pnpXV (lâmpadas queimadas)2 
67,045,0)( XDP lâmpadas queimadas 
 
( 2 ) Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa antes 
da posterior remessa testando 5 motores. Se nenhum motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um for 
defeituoso, todos os 50 motores são testados. Suponha que ha 6 motores defeituosos numa caixa. Qual é a 
probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores dessa caixa? 
 
Solução: 
N = 50, r = 6 e n = 5 
 
4874,01526,011)0(1)1(1)1(
5,50
05,6500,6


C
CC
xPxPxP
 → 0,8474 
 
 
24 
 
 
 
2.6 Sequência de exercícios nº 4 
 
01. Lotes de 40 peças são aceitáveis se contém, no máximo, três peças defeituosas. O processo de amostragem 
consiste em extrair, aleatoriamente e sem reposição, cinco peças de cada lote e rejeitá-lo se for encontrada pelo menos 
uma peça defeituosa nas cinco peças extraídas. Ha três peças defeituosas em todo o lote. Qual é a probabilidade de o 
lote ser rejeitado? Resposta: 0,3376 
 
02. Num lote de 10 misseis, são lançados quatro escolhidos aleatoriamente, sem reposição. Se o lote contém três que 
não funcionam, qual é a probabilidade de que 
a) todos os quatro funcionem? Resposta: 0,1667 
b) No máximo dois funcionem? Resposta: 0,3333 
 
03. Numa urna ha 40 bolas brancas e 60 pretas. São retiradas 20 bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de que 
ocorram no mínimo duas bolas brancas? Resposta: 0,9998 
 
04. Uma fábrica de motores para máquinas de lavar roupas separa para inspeção, uma amostra de 30 itens, sem 
reposição, da sua linha de produção diária de 350 peças. É 14 o número de peças por dia. Qual é a probabilidade de 
que a amostra contenha pelo menos 3 motores defeituosos? Resposta: 0,1085 
 
 
2.7 Distribuição Multinomial ou polinomial 
 
 
Considere k eventos A1, A2, . . ., Ak que formam uma partição do espaço amostral de um experimento 
aleatório, cada qual com sua probabilidade de sucesso. 
 
 
P(Ai) = Pi, i = 1, 2,. . .,k 
 
 
Se de uma população de N elementos são retirados n, com reposição, e se quer saber a probabilidade de 
que os eventos A1, A2, . . ., Ak ocorram exatamente 
k
AAA nnn ,,,
21
 vezes, pode ser utilizada a distribuição 
multinomial ou polinomial, caracterizada pela seguinte função de probabilidade: 
 
 
kA
n
k
AnAn
k
k
ppp
nnn
n
nnnP
AAA
AAA  

 11
21
21
21
!!!
!
),,,( 
 
em que: 
 
n é o número total de repetições ou ensaios. 
 
 
 
 
25 
 
adespossibiliddetotaln
Aeventoaofavoráveisadespossibilidden
p ii
º
º
 , com i = 1, 2, . . .,k 
 
 
Exemplo 
 
 
( 1 ) Suponha que é realizado um sorteio por meio de uma urna que contém 6 bolas brancas, 4 pretas e 5 azuis. Se 
saírem 4 bolas brancas, 2 pretas e 2 azuis a pessoa ganha um prêmio de R$50.000,00. Nesta condição, qual é a 
probabilidade de uma pessoa ganhar o prêmio, se retirar 8 bolas com reposição. 
 
Solução: 
Sejam os eventos: 
 
B: ocorrer bola branca 
P: ocorrer bola preta 
A: ocorrer bola azul 
 
 
AnPnBn
ApB
APB
APB ppp
nnn
n
nnnP 
!!!
!
),,( 
 
085,0
224
15
5
15
4
15
6
!2!2!4
!8
)2,2,4( 

















 APB nnnP ou 8,5% 
 
2.8 Sequência de exercícios nº 5 
 
 
1. Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola ao acaso, anota-se a cor, repondo-se 
em seguida a bola na caixa. Determinar a probabilidade de que, de 6 bolas escolhidas aleatoriamente, 3 sejam 
vermelhas, 2 brancas e uma azul. Resposta: 0,121 
 
2. Os bits numa transmissão têm a seguinte classificação: excelentes(E), bons(B), razoáveis(R) e pobres(P). Considere 
que as classificações dos bits individuais são eventos independentes e que as probabilidades de E, B, R e P são, 
respectivamente, 0,6; 0,3; 0,08 e 0,02. Calcule a probabilidade de que em 20 bits recebidos ocorram, 12 excelentes, 6 
bons, 2 Razoáveis e nenhum pobre. Resposta: 0,0358. 
 
 
3 Distribuições Contínuas de Probabilidade 
 
As distribuições contínuas de probabilidade são utilizadas quando a característica em estudo é uma variável 
aleatória contínua. Neste curso serão mostradas algumas dessas distribuições, são elas: A distribuição uniforme 
 
 
26 
 
contínua, a distribuição exponencial e a distribuição normal, a qual é a de maior importância para a inferência 
estatística. 
 
3.1 Distribuição Normal 
 
A distribuição normal corresponde a mais importante distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias 
contínuas, devido à sua enorme aplicação nos mais variados campos de conhecimento. Variáveis como peso, altura, 
volume de leite produzido, entre outras, são pressupostas como obedecendo a distribuição normal. 
As razões do seu emprego extensivo incluem, é claro, uma motivação empírica, mas também uma certa 
comodidade matemática, já que a distribuição probabilística de varias funções de variáveis aleatórias normalmente 
distribuídas, são facilmente derivadas da mesma, como a distribuição t de Student e a distribuição F de Snedecor. 
Uma v.a. X tem distribuição normal se sua função densidade de probabilidade é dada por: 
 











x,
σ
μx
2
1
e
π2σ
1
)x(f
2
 
em que: 
 = 3,1416... 
 e  são, respectivamente, a média e a variância populacionais da variável aleatória X. 
 
Trata-se de um modelo que procura explicar o comportamento de uma variável aleatória contínua que pode 
variar desde  a , sem explicar as causas desse comportamento. Por isso trata-se de um modelo 
não-determinístico ou probabilístico. 
Quando se deseja especificar que uma variável aleatória X segue uma distribuição normal com média  e 
variância 
2
, pode-se utilizar a seguinte notação: X ~ N (, 
2
). 
O conceito de densidade, visto na elaboração de histogramas, onde a obtenção de frequências relativas podia 
ser feita a partir do cálculo de áreas, também pode ser usado aqui, pela elaboração de modelos nos quais 
probabilidades possam ser obtidastambém mediante ao cálculo de áreas. Para ilustrar a ideia, imagine-se, de um 
ponto de vista estritamente teórico, que fosse possível conhecer todos os elementos de uma população infinita. Além 
disso, uma variável aleatória contínua é utilizada para descrever os elementos da população. Conhecendo-se todos os 
elementos da população, um histograma poderia ser construído para representar a distribuição de frequência relativa 
dessa variável (Figura 
2.9). 
 
Figura 2.9 – Histograma hipotético referente a uma população infinita, utilizando 11 classes. 
 
 
 
 
27 
 
 Ligando os pontos médios superiores dos retângulos desse histograma, por linhas, o polígono de frequências 
fica: 
 
Figura 2.10 – Polígono de frequências hipotético referente a uma população infinita, utilizando 11 classes. 
 
 Imagine agora que, a partir desses mesmos infinitos elementos, uma nova distribuição de frequências relativas é 
utilizada, aumentando o número de classes, e diminuindo a amplitude de cada uma ( Figura 2.11) 
 
Figura 2.11 – Histograma hipotético referente a uma população infinita, utilizando 33 classes. 
 
Ligando os pontos médios superiores dos retângulos desse histograma por linhas, o polígono de frequências 
fica: 
 
Figura 2.12 – Polígono de frequências hipotético referente a uma população infinita, utilizando 33 classes. 
 
Como são infinitos elementos, cada classe nunca fica vazia. Prosseguindo nessa tendência, ou seja, fazendo o 
número de classes tender ao infinito, e suas amplitudes tender a zero, será obtido, pela união dos pontos médios das 
classes, um polígono de frequências correspondente a uma curva (Figura 2.13) 
4,83,62,41,20,0-1,2-2,4-3,6
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Amostra aleatória 1
Fr
eq
uê
nc
ia
Histograma de Amostra aleatória 1
4,83,62,41,20,0-1,2-2,4-3,6
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Média -0,002177
DesvPad 1,008
N 10000
Amostra aleatória 1
Fr
eq
uê
nc
ia
Histograma de Amostra aleatória 1
Normal 
 
 
28 
 
 
Figura 2.13. Polígono de frequências relativo a uma população infinita, utilizando infinitas classes. 
 
 Este tipo de enfoque motivou os estatísticos, desde o século XVIII, a desenvolver modelos (ou seja, funções), 
entre eles a distribuição normal, para descrever populações infinitas, que relacionam os valores de uma variável 
aleatória contínua com suas correspondentes densidades de frequência relativa. O enfoque frequentista de 
probabilidade prega que, em populações infinitas as frequências relativas são chamadas de probabilidades, então, da 
mesma forma fala-se em densidade de probabilidade. Em vista disso, a função f(x) da Figura 2.13 acima, é chamada de 
função densidade de probabilidade, ou simplesmente, função densidade. 
A aparência do gráfico da função densidade de uma v.a. X normalmente distribuída está representada na Figura 
2.14. 
 
Figura 2.14 Aspecto da distribuição Normal 
 
 De maneira análoga ao que foi visto nos histogramas, a obtenção de frequências relativas (ou seja, de 
probabilidades) é feita utilizando o cálculo de áreas em gráficos da função densidade de probabilidade. 
A distribuição normal também é conhecida por curva normal ou curva de Gauss, e possui as seguintes 
propriedades: 
 
1) Ela é simétrica em relação a x = ; 
2) Possui a forma campanular ou forma de sino; 
3) As medidas de posição, ou seja, a média, a mediana e a moda confundem-se no mesmo ponto, e são todas 
iguais a . 
4) É definida simplesmente a partir dos parâmetros  e 
2
; 
5) Possui dois pontos de inflexão correspondentes aos pontos x -  e x + ; 
6) Assintótica em relação ao eixo das abscissas, ou seja, ela nunca intercepta o eixo X; 
7) A área total sob a curva, como em qualquer função densidade de probabilidade, é igual a 1. 
 
 
 
29 
 
 Já comentado anteriormente, a probabilidade de que uma variável aleatória contínua assuma exatamente um 
certo valor é praticamente igual a zero e, portanto, nesse caso o enfoque mais apropriado é obter probabilidades de que 
a variável pertença a classes ou intervalos. Também foi comentado que esse cálculo de probabilidades, para variáveis 
quantitativas contínuas, é obtido através de áreas relativas a gráficos com funções densidades de probabilidade. 
 Assim, cada área é equivalente à probabilidade de que a variável aleatória contínua X esteja contida em um 
intervalo [a,b]. Teoricamente, esta probabilidade poderia ser obtida da seguinte maneira: 
 
P(a < X <b) = dx
b
a
x
edx
b
a
xf 





 


2
σ
μ
2
1
π2σ
1
)( 
 
No caso da distribuição normal, essa integral não tem solução explícita, e por isso é necessário fazer o uso de 
um procedimento alternativo, a chamada distribuição normal reduzida, como será visto no próximo tópico. 
 
 
3.2 Distribuição normal reduzida 
 
 A distribuição normal com média  = 0 e variância 
2
 = 1 é conhecida como distribuição normal reduzida ou 
padronizada. Uma variável aleatória com essa distribuição geralmente é simbolizada por Z. 
 Uma propriedade interessante de uma variável aleatória X que segue qualquer distribuição normal é a de que ela 
pode ser transformada em uma variável Z, pela seguinte expressão: 
 
σ
μx
z

 , 
 Diz-se, então, que Z é uma variável aleatória que segue a distribuição normal com média  = 0 e variância 
2
 = 1, 
ou seja, Z ~ N (0, 1). 
 
Demonstração: 
0][
1
])X(E[
1
)x(E
1x
)Z(E 













 
1]0[
1
]0)X(V[
1
)x(V
1x
)Z(V 2
222














 
 
Assim, a função densidade de probabilidade da variável aleatória Z pode ser escrita da seguinte forma: 
 



 Z
2z
2
1
e
π2
1
zf ,)( , 
 
 
 
30 
 
Como 
2
 = 1, então  = 1 e a função densidade de probabilidade fica: 
 


 Z
z
ezf ,
2
2
1
π2
1
)( 
 
 A probabilidade de que variável aleatória X assuma valores dentro de um intervalo ou classe [a, b] coincide com 
a probabilidade da variável aleatória Z estar contida em um intervalo ou classe [c, d]. Dessa forma, 
 
P[a < X < b] = P [c < Z < d] = 


d
c
d
c
dz
z
edzzf
2
2
1
π2
1
)( 
 
 Essa integral tem solução explícita no intervalo [c, d], para vários valores de c e d. Usando métodos de integração 
numérica, obtiveram-se alguns valores tabelados da distribuição normal padronizada ou reduzida. 
 A tabela 2.1 (da distribuição normal) dá as probabilidades de que a variável padronizada Z assuma valores entre 
um determinado valor crítico -zc e 0 ou entre 0 e o valor crítico zC, ou seja, P(-zc < Z < 0) ou P(0 < Z < zc). Olhemos para 
o número 1,9 na margem esquerda da tabela 2.1 e para o número 6 na margem superior da mesma. . No cruzamento 
da linha do valor 1,9 com a coluna do valor 6, será achado o valor 0,4750, como mostra a figura a seguir: 
 
Tabela 2.1 da distribuição normal reduzida. 
 
 
Então, a tabela 2.1 está informando que a probabilidade de a variável padronizada Z assumir valores entre -1,96 e 0, é 
0,4750, assim como a probabilidade de z assumir valores entre 0 e 1,96, também é 0,4750, ou seja, 
 
P(-1,96 < Z < 0) = P(1,96 < Z < 0) = 0,4750 
 
 Já, a tabela 2.2, dá as probabilidades de que a variável padronizada Z assuma valores maiores do que o valor 
crítico zc, ou seja, P( Z > zc), ou a probabilidade de Z assumir valores menores do que o valor crítico - Zc, isto é, P( Z < 
- zc). Olhemos para o número 1,9 na margem esquerda da tabela 2.2 e para o número 6 na margem superior da mesma. 
No cruzamento da linha do valor 1,9 com a coluna do valor 6, será achado o valor 0,025, como mostra a figura a seguir: 
 
Tabela 2.2 da distribuição normal reduzida. 
 
 
31 
 
 
 
Então, a tabela 2.2 está informando que a probabilidade de a variável padronizada Z assumir valores menores que 
-1,96 é 0,025, assim como a probabilidade de z assumir valores maiores que 1,96, também é 0,025, ou seja, 
 
P(Z < -1,96) = P(Z < 1,96) = 0,025032 
 
Tabela 2.1 - Distribuição normal - probabilidade de o valor de Z padronizado estar entre 0 e o valor tabulado nas margens 
 
 
 
╔════╦═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗ 
║ Z ║ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ║ 
╠════╬═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣ 
║0,0 ║0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 ║ 
║0,1 ║0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 ║ 
║0,2 ║0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 ║ 
║0,3 ║0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 ║ 
║0,4 ║0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 ║ 
║0,5 ║0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 ║ 
║0,6 ║0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 ║ 
║0,7 ║0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 ║ 
║0,8 ║0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 ║ 
║0,9 ║0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 ║ 
║1,0 ║0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 ║ 
║1,1 ║0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 ║ 
║1,2 ║0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 ║ 
║1,3 ║0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 ║ 
║1,4 ║0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 ║ 
║1,5 ║0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 ║ 
║1,6 ║0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 ║ 
║1,7 ║0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 ║ 
║1,8 ║0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 ║ 
║1,9 ║0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 ║ 
║2,0 ║0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 ║ 
║2,1 ║0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 ║ 
║2,2 ║0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 ║ 
║2,3 ║0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 ║ 
║2,4 ║0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 ║ 
║2,5 ║0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 ║ 
║2,6 ║0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 ║ 
║2,7 ║0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 ║ 
║2,8 ║0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 ║ 
║2,9 ║0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 ║ 
║3,0 ║0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 ║ 
║3,1 ║0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 ║ 
║3,2 ║0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 ║ 
║3,3 ║0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 ║ 
║3,4 ║0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 ║ 
║3,5 ║0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 ║ 
║3,6 ║0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 ║ 
║3,7 ║0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 ║ 
║3,8 ║0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 ║ 
║3,9 ║0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0.5000 0.5000 0.5000 ║ 
 ╚════╩════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Tabela 2.2 - Distribuição normal - probabilidade do valor de Z padronizado ser maior que o valor tabulado nas margens (Zc), ou 
probabilidade do valor Z ser menor que os valores negativos das margens (-Zc). 
 
 
 
╔════╦═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗ 
║ Z ║ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ║ 
╠════╬═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╣ 
║0,0 ║0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 ║ 
║0,1 ║0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 ║ 
║0,2 ║0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 ║ 
║0,3 ║0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 ║ 
║0,4 ║0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 ║ 
║0,5 ║0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 ║ 
║0,6 ║0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 ║ 
║0,7 ║0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 ║ 
║0,8 ║0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 ║ 
║0,9 ║0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 ║ 
║1,0 ║0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 ║ 
║1,1 ║0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 ║ 
║1,2 ║0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 ║ 
║1,3 ║0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 ║ 
║1,4 ║0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 ║ 
║1,5 ║0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 ║ 
║1,6 ║0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 ║ 
║1,7 ║0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 ║ 
║1,8 ║0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 ║ 
║1,9 ║0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 ║ 
║2,0 ║0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 ║ 
║2,1 ║0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 ║ 
║2,2 ║0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 ║ 
║2,3 ║0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 ║ 
║2,4 ║0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 ║ 
║2,5 ║0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 ║ 
║2,6 ║0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 ║ 
║2,7 ║0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 ║ 
║2,8 ║0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 ║ 
║2,9 ║0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 ║ 
║3,0 ║0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 ║ 
║3,1 ║0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 ║ 
║3,2 ║0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 ║ 
║3,3 ║0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 ║ 
║3,4 ║0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 ║ 
║3,5 ║0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 ║ 
║3,6 ║0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 ║ 
║3,7 ║0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 ║ 
║3,8 ║0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 ║ 
║3,9 ║0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 ║ 
╚════╩═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╝ 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Exemplos 
 
( 1 ) Suponha que os comprimentos de parafusos de computadores, fabricados por determinada indústria seguem a 
distribuição normal com média de 200mm e desvio padrão de 20mm. Qual é a probabilidade de que um parafuso 
escolhido ao acaso apresente 
a) comprimento de 200 a 225mm? 
b) comprimento superior a 225mm? 
c) comprimento igual ou superior a 175 e igual ou inferior a 225mm.? 
d) comprimento superior a 175mm? 
 
Solução: 
a) P(200  x  225) = ? 
Calcula-seem primeiro lugar o valor da variável padronizada Z., ou seja: 
 
 
σ
μx
Z


20
200200
Z

  Z = 0 
 
 
σ
μx
Z


20
200225 
 Z  Z = 1,25 
 
 Pretende-se calcular a probabilidade esta representada pela área escura do gráfico a seguir: 
 
Na parte superior da Tabela 2.1, verifica-se que o gráfico da direita é bem parecido com este, pois a área escura 
do mesmo representa esse tipo deprobabilidade, ou seja, )zZ(P c0 . 
Na tabela acha-se o valor de Z da seguinte forma: Os dígitos antes da vírgula e o primeiro após a mesma, 
deverão ser procurados na primeira coluna da esquerda. Já, o segundo dígito após a vírgula deverá ser procurado na 
linha superior da tabela. 
No exemplo foi achado Z = 1,25, então procura-se 1,2 na primeira coluna da esquerda e 5 na linha superior da 
tabela 1.2. O valor da probabilidade que se quer achar, está exatamente no cruzamento da linha que em que ocorre o 
valor 1,2 com a coluna onde tem-se o número 5, como mostra o esquema abaixo. 
 
 
 
35 
 
 
 
Assim, )25,10()225200(  ZPXP = 0,3944 ou 39,44%. 
 
Conclui-se, portanto que, a probabilidade de um parafuso apresentar de 200 a 225mg, é de 0.3944 ou 
39,44%. Isto quer dizer que a área sob a curva normal equivale a 0,3944 ou 39,44% da área total como mostra a figura 
a seguir: 
 
b) P(X > 225) =? 
σ
μ

x
Z
20
200225 
 Z  Z = 1,25 
 
 A probabilidade procurada é P(X > 225) = P(Z > 1,25), ou seja, é do tipo P(Z > zc), como mostra a figura a 
seguir: 
 
 
 
O gráfico da direita, da tabela 2.2 (distribuição normal), é bem parecido com o gráfico acima, portanto esta deverá ser 
a tabela a ser utilizada. No corpo dessa tabela ocorre o valor 0,1056 para Z = 1,25 como mostra o esquema a seguir: 
 
 
 
36 
 
 
 
 Logo, P(X > 225) = P(Z > 1,25) = 0,1056, 
 
Conclui-se, portanto, que a probabilidade de um parafuso apresentar comprimento maior que 225mm é de 
0.1056 ou 10,56%. Isto quer dizer que a área sob a curva normal equivale a 0,1056 ou 10,56% da área total como 
mostra a figura a seguir: 
 
 
c) P(175  X  225) = ? 
 
 Em primeiro lugar devem ser achados os valores da variável aleatória Z. 
 
σ
μx
Z


20
200175
 Z  Z = -1,25. 
 
σ
μ

x
Z
20
200225 
 Z  Z = 1,25 
 
 Então, a probabilidade a ser calculada é 
 
P(175  X  225) = P(-1,25  Z  1,25), 
 
Porém, as tabelas 2.1 e 2.2não fornecem esse valor diretamente. 
 O segredo para resolver esse problema está em decompor esta probabilidade em outras duas, como mostra a 
figura a seguir: 
 
 
 
37 
 
 
 
Percebe-se facilmente que a junção ou a soma das áreas escuras dos gráficos “b” e “c”, resulta na área escura 
do gráfico “a”, isto é, 
 
P (-1,25  Z  1,25) = P (-1,25  Z  0) + P (0  Z  1,25) 
 
Os gráficos b e c são encontrados na parte superior Tabela 2.1, portanto, por meio desta, ache 
P (-1,25  Z  0) e P (0  Z  1,25) 
 
de acordo com o esquema a seguir: 
 
 
Logo, 
 
P (-1,25  Z  1,25) = P (-1,25  Z  0) + P (0  Z  1,25) = 0,3944 + 0,3944 = 0,7888 
 
Dessa forma, a probabilidade de um parafuso apresentar comprimento igual ou superior a 175mm e inferior ou 
igual a 225mm é de 0,7888 ou 78,88%, o que é semelhante a dizer que a área sob a curva normal equivale a 0,7888 
ou 78,88% da área total como mostra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
38 
 
d) P (X > 175) =? 
 
 O primeiro passo é calcular o valor de Z. 
 
 
σ
μ

x
Z
20
200175
 Z  Z = -1,25, 
logo, 
 
 P (X > 175) = P (Z > –1,25) 
 
As tabelas 2.1 e 2.2 não apresentam esta probabilidade de imediato. Porém, se o leitor lembrar que a Tabela 2.2 
apresenta, a probabilidade de Z ser menor do que um determinado valor crítico negativo zc, ou seja 
 
P(Z<-zc) = P(Z  – 1,25), 
 
e que a área máxima sob a curva normal é igual a 1 ou 100%, tem-se que 1,25) P(Z - 1 1,25) P(Z  ,como mostra 
o a figura a seguir: 
 
 
Observa-se que subtraindo a área escura do gráfico “b” da área total sob a curva normal do gráfico “a”, obtém-se 
a área escura do gráfico “c”. Assim, 
 
P(X > 175) = P(Z > – 1,25) = 1 – P(Z  – 1,25) 
 
Agora, a probabilidade procurada é P(Z  – 1,25), a qual representa a área escura do gráfico a seguir: 
 
 
 
 
39 
 
O gráfico da esquerda da Tabela 2.2 fornece esse tipo de probabilidade diretamente. No corpo dessa tabela ocorre o 
valor 0,1056 para Z = 1,25 como mostra o esquema a seguir: 
 
Dessa forma, 
 
P(X > 175) = P(Z > – 1,25) = 1 – P(Z  – 1,25) = 1 - 0,1056 = 0,8944 
 
Portanto, a probabilidade de que um parafuso apresente comprimento maior do que 175mm é igual a 0,8944 
ou 89,44%. Isto equivale a dizer que a área sob a curva normal é igual a 0,8944 ou 89,44% da área total como mostra 
a figura a seguir: 
 
 
( 2 ) Suponha que as medidas da corrente em um pedaço de fio elétrico sigam a distribuição normal, com média de 10 
miliampères e uma variância de 4 (miliampères)
2
. Um engenheiro, afim de fazer um estudo sobre a intensidade de 
corrente que passa por tal fio, tomará vária medidas. Qual é a probabilidade de 
 
a) a medida exceder a 13 miliampères? 
b) estar entre 9 e 11 miliampères? 
 
Solução: 
 
a) P(X > 13) ? 
 
 = 10;  = 4 = 2 
 
50,1
2
1013






x
Z 
 
 
Assim, a probabilidade procurada é P(X > 13) = P(Z > 1,50), como mostra a figura a seguir: 
 
 
 
40 
 
 
 
 
O gráfico da direita, da tabela 2.2, da distribuição normal, é bem parecido com o gráfico acima, portanto esta deverá 
ser a tabela a ser utilizada. No corpo dessa tabela ocorre o valor 0,0668 para 
Z = 1,50 como mostra o esquema a seguir: 
 
 
 
 
P(X > 13) = P(Z > 1,50) = 0,0668 ou 6,68% 
 
 
Portanto, a probabilidade de a medida da intensidade de corrente exceder a 13 miliampères, é de 0,0668. Isto equivale a 
dizer que a área sob a curva normal é igual a 0,0668 ou 6,68% da área total como mostra a figura a seguir: 
 
 
 
b) P(9  X  11) = ? 
 
 Em primeiro lugar devem ser achados os valores da variável aleatória Z. 
 
σ
μ

x
Z
2
109 
 Z  Z = -0,50. 
 
σ
μ

x
Z
2
1011
 Z  Z = 0,50 
 
 
41 
 
 
 Então, a probabilidade a ser calculada é 
 
P(9  X  11) = P(-0,50  Z  0,50), 
 
Porém, as tabelas 2.1 e 2.2 não fornecem esse valor diretamente. 
 O segredo para resolver esse problema está em decompor esta probabilidade em outras duas, como mostra a 
figura a seguir: 
 
 
 
Percebe-se facilmente que a junção ou soma das áreas escuras dos gráficos “b” e “c”, resulta na área escura do 
gráfico “a”, isto é, 
 
P (-0,50  Z  0,50) = P (-0,50  Z  0) + P (0  Z 0,50) 
 
Os gráficos b e c são encontrados na parte superior Tabela 2.1, portanto, por meio desta, ache 
P (-0,50  Z  0) e P (0  Z  0,50) 
de acordo com o esquema a seguir: 
 
Logo, 
 
P (-0,50  Z  0,50) = P (-0,50  Z  0) + P (0  Z  0,50) 
 
= 0,1915 + 0,1915 = 0,3830 
 
Assim, 
 
P (9  X  11) = P (-0,50  Z  0,50) = 0,3830 
 
 
 
42 
 
Portanto, a probabilidade de a medida de corrente elétrica estar entre 9 e 11 miliampères, é de 0,3830. Isto equivale a 
dizer que a área sob a curva normal é igual a 0,3830 ou 38,30% da área total como mostra a figura a seguir 
 
 
 
 
6. 2 Sequência de exercícios nº 6 
 
1. Determinada companhia de energia elétrica instalou 2000 lâmpadas em uma cidade. Os tempos de vida dessas 
lâmpadas seguem a distribuição normal média de 1000 horas e desvio padrão de 200 horas. Quantas lâmpadas 
poderão queimar: 
a) nas primeiras 700 horas? Resposta: 134 lâmpadas 
b) com mais de 700 horas? Resposta: 1866 lâmpadas 
c) entre 700 e 1300 horas? Resposta: 1733 lâmpadas 
 
02. A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição normal, com média de 
6000 kg/cm2 e um desvio padrão de 100 kg/cm2. Um corpo de prova é coletado aleatoriamente. Qual é a probabilidade 
de que sua resistência à compressão seja: 
a) menor que6250 kg/cm2? Resposta: 0,9938 
b) maior ou igual a 5800 kg/cm2 e menor ou igual a 6250 kg/cm2? Resposta: 0,1359 
 
03. A largura de cabos de ferramentas utilizadas na fabricação de semicondutores é suposta seguir a distribuição 
normal, com média de 0,5 µm (micrômetro) e desvio padrão de 0,05 µm. Um cabo é escolhido aleatoriamente. Qual é a 
probabilidade de que sua largura: 
a) seja maior do que 0,6 µm? Resposta: 0,0228 
b) esteja entre 0,47 µm e 0,63 µm? Resposta: 0,7211 
 
04. O diâmetro do eixo de um drive óptico de armazenagem é suposto seguir a distribuição normal, com média de 
0,2508 polegada e desvio padrão de 0,0005 polegada. As especificações do eixo são de que este deve ter um diâmetro 
entre 0,2485 e 0,2515 polegada. Um drive óptico é escolhido aleatoriamente da linha de produção. Qual é a 
probabilidade de que o diâmetro de seu eixo tenha medida que atenda às especificações? Resposta: 0,9192 
 
05. A vida útil de um semicondutor a uma potência constante é normalmente distribuída, com média de 7000 horas e 
desvio padrão de 600 horas. Qual é a probabilidade de um semicondutor falhar antes de 500 horas de uso? Resposta: 
0,0004