Aula 3 Movimento em várias dimensões Parte 1

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Aula 3 - Movimento em várias dimensões - Parte 1.
F Posição:
X Localização de uma partícula ) forma geral ) vetor posição (liga um ponto de referência à partícula):
r = xi+ yj+ zk; (1)
X i, j e k são versores (i.e., vetores unitários);
X As coordenadas retangulares da partícula são x, y e z;
X Exemplo: partícula localizada em r = (�3 m) i+ (2 m) j+ (5 m)k;
X Deslocamento (vetorial):
�r = r2�r1 = (x2i+ y2j+ z2k)� (x1i+ y1j+ z1k)
= (x2 � x1) i+ (y2 � y1) j+ (z2 � z1)k = �xi+�yj+�zk; (2)
X r1 ) vetor posição inicial;
X r2 ) vetor posição …nal.
F Velocidade média e velocidade instantânea:
X Grandezas vetoriais;
X Velocidade média:
vm =
�r
�t
=
�xi+�yj+�zk
�t
=
�x
�t
i+
�y
�t
j+
�z
�t
k; (3)
X Orientação de vm é a mesma de �r;
X Velocidade instantânea:
v =
dr
dt
=
d
dt
(xi+ yj+ zk) =
dx
dt
i+
dy
dt
j+
dz
dt
k = vxi+ vyj+ vzk; (4)
X Onde:
vx =
dx
dt
, vy =
dy
dt
e vz =
dz
dt
; (5)
X Determinação de v no instante t1 (partícula na posição r1) ) reduzir �t nas vizinhanças de t1;
X r2 se aproxima de r1 (i.e., �r! 0);
X A direção de �r=�t (i.e., de v) se aproxima da direção da reta tangente à trajetória da partícula na posição r1;
X vm se aproxima de v;
X A direção de v é sempre tangente à trajetória da partícula.
F Aceleração média e aceleração instantânea:
X Aceleração média (a velocidade da partícula varia de v1 para v2 em um intervalo de tempo �t):
am =
�v
�t
=
v2�v1
�t
; (6)
X Aceleração instantânea (obtida a partir de am supondo �t! 0):
a =
dv
dt
=
d
dt
(vxi+ vyj+ vzk) =
dvx
dt
i+
dvy
dt
j+
dvz
dt
k = axi+ ayj+ azk; (7)
X Onde:
ax =
dvx
dt
, ay =
dvy
dt
e az =
dvz
dt
; (8)
X Calculamos as componentes de a derivando as componentes de v.
F Caso especial: movimento de projéteis.
X Partícula se move em um plano vertical com velocidade inicial v0;
X Aceleração constante (igual à g) e dirigida para baixo;
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X Essa partícula é chamada de projétil ;
X Objetivo: analisar o movimento de projéteis usando a partir das equações obtidas para o movimento bidimen-
sional (desprezando a resistência do ar);
X O vetor velocidade inicial v0 pode ser escrito na forma:
v0 = v0xi+ v0yj; (9)
X Onde: v0x = v0 cos �0 e v0y = v0 sin �0 (�0 é o ângulo entre o vetor v0 e o semi-eixo x positivo);
X Os vetores posição r e velocidade v mudam continuamente, mas o vetor aceleração a é constante e está sempre
dirigido para baixo (i.e., o projétil não experimenta aceleração horizontal);
X Propriedade simpli…cadora (veri…cada experimentalmente): no movimento de projéteis, o movimento horizontal
e o movimento vertical são independentes;
X Decomposição de um problema bidimensional em dois problemas unidimensionais: um para o movimento hori-
zontal (com aceleração nula) e outro para o movimento vertical (com aceleração constante para baixo);
X Traçar a trajetória de um projétil que é lançado em x0 = 0 e y0 = 0 com uma velocidade inicial v0;
X Movimento horizontal:
X Aceleração nula ) a componente vx da velocidade do projétil permanece constante e igual ao seu valor inicial
v0x;
X A posição (horizontal) do projétil é dada por:
x = x0 + v0xt = x0 + v0t cos �0; (10)
X Movimento vertical:
X Aceleração constante ) partícula em queda livre (a = �g) ) a componente vy da velocidade é variável;
X As equações básicas do movimento são:
y = y0 + v0yt� 1
2
gt2 = y0 + v0t sin �0 � 1
2
gt2; (11)
vy = v0y � gt = v0 sin �0 � gt; (12)
v2y = v
2
0y � 2g�y = (v0 sin �0)2 � 2g�y; (13)
X Equação da trajetória (i.e., o caminho percorrido pelo projétil) ) Resolver a equação de x para t, e substituir
o resultado na expressão para y ) usar x0 = y0 = 0, por simplicidade:
y = (tan �0)x� g
2 (v0 cos �0)
2x
2; (14)
X Vale (a trajetória é uma parábola de concavidade voltada para baixo):
b = tan �0 e a =
g
2 (v0 cos �0)
2 > 0) y = bx� ax2; (15)
X Alcance R ) distância horizontal percorrida pelo projétil até voltar à sua altura inicial ) usar x0 = y0 = 0,
por simplicidade ) usar x = R e y = 0:
R = v0t cos �0 e 0 = v0t sin �0 � 1
2
gt2 ) R = 2v
2
0
g
sin �0 cos �0 =
v20
g
sin (2�0) ; (16)
X Equação válida apenas para altura inicial = altura …nal (i.e., y = y0 = 0);
X Valor máximo de R ) sin (2�0)) 2�0 = 90� ) �0 = 45� (i.e., o alcance máximo é atingido para �0 = 45�);
X Resultado válido apenas para altura inicial = altura …nal;
X Desprezando a resistência do ar!
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