Funções de Várias Variáveis

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
MTM- CÁLCULO B – PARA COMPUTAÇÃO 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 
 
 
 
• Pode-se pensar uma função f de duas ou mais variáveis como um programa de 
computador que recebe duas ou mais entradas, opera sobre essas entradas e 
produz uma saída. Nesta disciplina trabalharemos com funções cujas entradas e 
saídas sejam números reais. 
• Geometricamente, se z = f ( x, y), então podemos visualizar ( x, y ) como um 
ponto do plano xy e pensar f como uma regra que associa um único valor 
numérico z ao ponto (x, y). Analogamente, podemos pensar w = f ( x, y,z) como 
uma regra que associa um único valor numérico w ao ponto ( x, y,z) em um 
sistema de coordenadas xyz. 
 
 
 
 
• Às vezes, o domínio será determinado pelas restrições físicas sobre as variáveis. 
Se a função for definida por uma fórmula e se não houver restrições físicas ou 
outras restrições estabelecidas explicitamente, então entende-se que o domínio 
consiste de todos os pontos para os quais a fórmula resulta em um valor real para 
a saída. Chamamos isso o domínio natural da função. 
 
Exemplos: 1) Seja 13),( 2 −= yxyxf , determine ),(),9,0(),4,1( 2 ttfff e o domínio 
natural de f. 
 
2) Seja 224),( yxyxg −−= , uma função que pode representar a temperatura de uma 
chapa circular de raio 2. Determine o domínio de g. 
 
DEFINIÇÃO: Seja A um conjunto do espaço n-dimencional ( A ⊆ Rn), isto é, os elementos de A 
são n-uplas ordenadas ( x1, x2, x3, ..., xn ) de números reais. Se a cada ponto P do conjunto A 
associamos um único elemento z ∈ R, temos uma função 
f: A → R. Essa função é chamada função de n-variáveis reais. 
 
DEFINIÇÃO: O conjunto A de entradas da função que pode restringir sua existência, é chamado 
de Domínio da função. 
Denotamos: Dom f 
GRÁFICO DE DOMÍNIO DE FUNÇÕES 
Como para funções de uma variável, em geral, uma função de várias variáveis 
também é especificada apenas pela regra que a define. Nesse caso, o domínio da função 
é o conjunto de todos os pontos de Rn para os quais a função está definida. 
Exemplos: Dadas as funções abaixo, determine seu domínio e esboce-o. 
a) )(ln),( yxyxf −= b) 224),( yxyxh −−= c) 
22 yx
xy
w
−
= 
 d) )(ln),( 2 yxyxk −= e) 
22 326
1
yx
z
−−
= f)
1142),( 22 −−+−= yyxxyxg 
Cônicas - Equações e Esboço 
Equações de seções cônicas: 
Círculo Elipse Parábola Hipérbole 
 y 
 
 r x 
 
 
 
 y 
 b 
 
x 
-a a 
 -b 
 y 
 
-p (p,0) x 
 y 
 b 
 x 
 -a a 
 -b 
x
2 
+ y
2
 = r
2
 x2 /a2 + y2/ b2 = 1 y2 = 4px x2 /a2 - y2/ b2 = 1 
 y 
 r 
 y´ C 
 
 
 x´ x 
 
 
 y 
 b a 
y´ 
 
x 
 x´ 
 y 
 
 
 y´ 
 
 x 
 x´ 
 y 
 
 
 
y´ 
 
x 
 x´ 
(x –x´)
2 
+( y- y´)
2
 = 
r
2
 
(x –x´)
2 
+( y- y´)
2
 = 1
 
 a
2
 b
2
 
( y- y´)
2
 = 4p(x –x´) (x –x´)
2 
- ( y- y´)
2
 = 
1
 
 a
2
 b
2
 
Equações de seções cônicas Degeneradas 
Um ponto Um par de retas coincidentes Uma reta simples 
 
 y 
 
 
x 
 
 
 
 
 y 
 
 x 
 
x
2
 + y
2
 = 0 x
2
 – y
2
 = 0 y = ax 
C
e
n
tr
o
 n
a
 o
ri
g
e
m
 
C
e
n
tr
o
 (
x
´,
y
´)
 
QUÁDRICAS: Classificação 
 
O lugar geométrico representado por uma das equações obtidas a partir da equação, 
dada na forma geral, do segundo grau nas três variávies x, y e z: 
0222 =+++++++++ dzcybxazyFzxEyxDzCyBxA 
É chamado de superfície quádrica. Vamos mostrar as não degeneradas. 
Equações de Superficies Quadricas 
Esfera Elipsóide 
Centro (0,0,0) 
Raio r 
 
x
2
 + y
2
 + z
2
 = r
2
 
 
Centro ( x´, y´,z´) 
Raio r 
 
(x-x´)
2
+(y-y´)
2
+(z-z´)
2
 = 
r
2 
 
Centro ( 0,0,0) 
 
 
 + + = r2 
Centro ( x´,y´,z´) 
 
 
 + + = r2 
Parabolóide Hiperbolóide 
Elíptico Hiperbólico De Uma Folha De Duas Folhas 
 
z = + 
 
z = - 
 
 
 + - = 1 
 
 - - = 1 
Exercício: Determine e esboce o domínio da função 22216),,( zyxzyxf −−−= 
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
Para uma função f de uma variável, o gráfico de f(x) no plano xy é definido como 
sendo o gráfico da equação y = f(x). Analogamente, se f é uma função de duas variáveis, 
define-se o gráfico de f(x,y) no espaço xyz, como sendo o gráfico da equação z = f(x,y). 
Ou seja, é o conjunto de todos os pontos (x, y, z ) ∈ R3, tais que (x,y) ∈ Domínio de (f). 
Assim, em geral tal gráfico será uma superfície no espaço 3-D. 
 
Exemplos: 1) Descreva o gráfico das seguintes funções: 
 
a) )23(
3
1
),( yxyxf −−= b) 224),( yxyxg −−= 
 
c) 22),( yxyxh += c) 22),( yxyxk += 
y
2 
b
2 
x
2 
a
2
 
z
2 
c
2 
(y-y´)
2 
b
2
 
(x-x´)
2 
a
2
 
(z-z´)
2 
c
2
 
y
2 
b
2 
x
2 
a
2
 
y
2 
b
2 
x
2 
a
2
 
y
2 
b
2 
x
2 
a
2
 
z
2 
c
2 
y
2 
b
2 
x
2 
a
2
 
z
2 
c
2 
CURVAS DE NÍVEL 
 
Uma forma de representar gráficos de funções de duas variáveis é utilizada por 
cartógrafos na elaboração de mapas de relevo. Tal procedimento consiste em determinar 
os conjuntos de pontos do domínio da função, em que esta permanece constante. Esses 
conjuntos são chamados curvas de nível da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 1) Esboce o mapa de contorno das seguintes funções, usando curvas de nível 
nas alturas indicadas: 
 
a) f ( x, y ) = 2 - x – y k = -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6. 
 
 
b) f ( x, y ) = 4 - 2x2 - y2 k = 0, 1,2,3,4,5 
 
 
 
2) Esboce o gráfico das seguintes funções: 
 
a) 3),( =yxf b) 1),( =zxg c) 2),( =zyh d) xz = 
 
e) xyxk −=1),( f) 2),( yyxw = g) f ( x, y ) = 122 ++ yx 
 
h) 1),( 22 −+= yxyxg i) 22 99 yxz −−= 
 
 
Na verdade, as curvas de nível são 
utilizadas para representar uma paisagem 
tridimensional, como a extensão de uma 
montanha, por linhas de contorno 
bidimensionais ou curvas de elevação 
constante. O mapa de contorno é 
construído passando pelos planos de 
elevação constante, projetando o 
contorno resultante sobre uma superfície 
plana e classificando os contornos por 
sua elevação.