Livro Didatico Matematica I FundamentosV01 (1)

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Professor: Luís Cláudio Lopes de Araújo 
 
““AA MMaatteemmááttiiccaa éé oo aallffaabbeettoo ccoomm oo qquuaall DDeeuuss 
eessccrreevveeuu oo uunniivveerrssoo.."" 
GGaalliilleeuu GGaalliilleeii 
PPrróó--RReeiittoorriiaa AAccaaddêêmmiiccaa 
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AAsssseessssoorriiaa ddee EEdduuccaaççããoo aa DDiissttâânncciiaa 
Matemática I - Fundamentos 
´ 
 
ii 
Matemática I - Fundamentos 
 
Apresentação 
 
 
Seja bem-vindo (a) ao curso de Nivelamento em Matemática I – 
Fundamentos. 
Este material foi organizado, a fim de atender a modalidade de 
ensino a distância proposta para a disciplina. Para tanto, foi constituído 
de forma a evidenciar a autonomia e a disciplina do aluno, utilizando 
conteúdos e atividades especialmente selecionados e apresentados em 
linguagem clara e objetiva, de modo a facilitar o processo de 
aprendizagem. 
É importante que você leia o Manual do aluno, disponível no 
ambiente virtual, para conhecer as características dos cursos de 
Educação a Distância – EAD e os procedimentos que deverá adotar, a 
fim de ser bem-sucedido em mais essa jornada. Você terá constante 
acompanhamento de seu professor tutor e da equipe de EAD e poderá 
ter suas dúvidas sanadas. Para que isso ocorra, entre em contato com o 
professor tutor por meio do ambiente virtual. As dúvidas de cunho 
acadêmico ou de outra ordem você poderá encaminhar à equipe de EAD 
por meio do uniceubvirtual@uniceub.br. 
 A Assessoria de Educação a Distância do UniCEUB está à 
disposição para atendê-lo (a) no fornecimento de informações adicionais 
que venham a contribuir para o seu sucesso acadêmico e profissional. 
Conte conosco. 
 
Assessoria de Educação a Distância do UniCEUB 
 
 
iii 
Matemática I - Fundamentos 
 
SUMÁRIO 
 
PALAVRAS DO PROFESSOR TUTOR ............................................................... V 
PLANO DE ENSINO ............................................................................................... VI 
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ............................................................................... VII 
AVALIAÇÃO E RENDIMENTO ........................................................................................... VIII 
POR QUE APRENDER MATEMÁTICA É TÃO DIFÍCIL? ............................ 1 
UMA REFLEXÃO SOBRE A APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA .......................................... 1 
MÓDULO I .................................................................................................................. 3 
UNIDADE I - ALGUMAS IDEIAS MATEMÁTICAS SIMPLES .................. 3 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS SIMPLES ................................................................................ 4 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑥. ............................................................................................................ 6 
OPERADORES ARITMÉTICOS E HIERARQUIA DE OPERAÇÕES ......................................... 6 
MÚLTIPLOS E MÚLTIPLOS COMUNS ................................................................................ 10 
1º MÉTODO PARA ENCONTRAR O MMC ................................................................................... 11 
2º MÉTODO PARA ENCONTRAR O MMC (PROCEDIMENTO PRÁTICO) .............................................. 12 
UNIDADE II ............................................................................................................. 14 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ............................................................................. 14 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES.............................................................................. 14 
FRAÇÕES EQUIVALENTES ............................................................................................... 16 
DE VOLTA AO PROBLEMA MOTIVADOR ........................................................................... 18 
VIDEOAULA SOBRE FRAÇÕES ......................................................................................... 19 
MULTIPLICANDO FRAÇÕES ............................................................................................. 20 
DIVISÃO DE FRAÇÕES .................................................................................................... 23 
PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS ...................................................................................... 25 
SÍNTESE DO MÓDULO ..................................................................................................... 33 
MÓDULO 2 ................................................................................................................ 34 
UNIDADE I ............................................................................................................... 34 
O QUE É UMA EQUAÇÃO? .................................................................................. 34 
PROPRIEDADES DA IGUALDADE ..................................................................................... 35 
COMO RESOLVER EQUAÇÕES DE 1º GRAU .................................................................... 37 
UNIDADE II – PORCENTAGEM ....................................................................... 39 
ALDEIA TERRA ................................................................................................................ 39 
PORCENTAGEM NO COMPUTADOR .................................................................................. 40 
SIGNIFICADO DE PORCENTAGEM E SUA REPRESENTAÇÃO ........................................... 41 
CÁLCULO DE PERCENTUAL DE VALORES ........................................................................ 42 
CÁLCULO DE ACRÉSCIMO PERCENTUAL ......................................................................... 43 
CÁLCULO DE DECRÉSCIMO PERCENTUAL: DESCONTO .................................................. 45 
SITUAÇÕES-PROBLEMAS ENVOLVENDO PORCENTAGENS ............................................. 49 
SÍNTESE DO MÓDULO ............................................................................................................ 54 
 
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Matemática I - Fundamentos 
 
MÓDULO 3 ................................................................................................................ 55 
JUROS SIMPLES ............................................................................................................... 55 
JUROS COMPOSTOS ........................................................................................................ 61 
FINANCIAMENTO COM JURO COMPOSTO ....................................................................... 66 
COMO RETIRAR OS JUROS EMBUTIDOS EM UMA PRESTAÇÃO ...................................... 68 
SÍNTESE DO MÓDULO ............................................................................................................ 70 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 70 
 
PALAVRAS DO PROFESSOR TUTOR 
 
Prezados (as) alunos (as), sejam bem-vindos (as)! 
 
Vamos iniciar o curso de Nivelamento em Fundamentos de 
Matemática. Durante este período, eu serei o seu orientador, e, 
juntos, vamos (re)aprender o básico de matemática. 
O meu nome é Luís Cláudio Lopes de Araújo, e eu sou 
graduado pela Pontifícia Universidade Católica – PUC de Goiás, 
mestre em Matemática Pura pela Universidade de Brasília – UnB e 
doutorando também pela UnB. Trabalho no UniCEUB desde o ano 
2000 e ministro aulas em disciplinas de matemática dos cursos de 
Engenharia de Computação, Engenharia Civil e Ciência da 
Computação. Já orientei alunos em Iniciação Científica e Trabalho 
de Conclusão de Curso no UniCEUB, tenho três artigos publicados e 
dois livros em fase de ajuste final para publicação.Caso queira 
conhecer um pouco mais sobre minhas atividades profissionais, 
visite meu currículo no http://lattes.cnpq.br/0997996805449960 
 A partir deste momento, estou à disposição para ajudá-lo (a) 
a compreender os fundamentos de Matemática e aplicá-los sempre 
que tiver necessidade. 
Um grande abraço! 
 
Professor Luís Cláudio LA 
Olá! Seja bem-vindo (a)! O 
meu nome é Luís Cláudio, e 
eu vou orientá-lo (a) para 
que você possa obter o 
máximo deste curso. 
 
PLANO DE ENSINO 
O plano de ensino é um documento importante para 
entender a rotina e os pontos norteadores do nosso curso. Verifique 
com atenção como se dará o processo de avaliação e como os 
conteúdos estão apresentados. Em caso de dúvida, entre em 
contato por e-mail, ou pela plataforma Moodle. 
 
EMENTA 
Números: representação, operações com números naturais, 
inteiros e racionais. Propriedades da igualdade e equações. 
Porcentagem. Aplicações. Matemática financeira básica: conceito, 
importância e noções de uso de planilha eletrônica. Análise e 
resolução de problemas matemáticos. 
 
OBJETIVO DA DISCIPLINA 
Capacitar o aluno a construir uma base de conhecimentos 
que permita perceber a matemática como importante conteúdo para 
a tomada de decisões e solucionar problemas matemáticos 
relacionados a assuntos de âmbito pessoal, profissional e 
acadêmico. 
 
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
Capacitar o aluno a desenvolver habilidades e competências que 
lhe permitam: 
 Utilizar operações matemáticas na solução de problemas 
relacionados a números racionais, equações, porcentagem e 
matemática financeira básica. 
 Resolver problemas reais por meio da matemática. 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
Módulo I 
 Ideias matemáticas simples 
 Múltiplos e Mínimo Múltiplo Comum 
 Operações básicas 
 Operações com frações 
 Propriedades de potência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática I - Fundamentos 
 
Módulo II 
 Propriedades da igualdade 
 Equações de 1° grau 
 Porcentagem 
 Juros simples 
 
Módulo III 
 Juros compostos 
 Amortização 
 
 
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 
 A disciplina será ministrada de forma semipresencial, com 
dois encontros presenciais e utilização do ambiente virtual Moodle. 
 Nos encontros presenciais, serão realizadas as seguintes 
atividades: 
 Primeiro dia de aula: apresentação da disciplina e da 
metodologia e treinamento no Ambiente Virtual de 
Aprendizagem – AVA, em Laboratório de Informática. 
Haverá uma avaliação diagnóstica que identificará o nível 
de conhecimento do aluno e medirá, junto com a 
avaliação final, a evolução do aluno durante o curso. 
 Último dia de aula: reforço dos pontos mais importantes 
da disciplina, esclarecimentos de dúvidas e avaliação da 
aprendizagem e da disciplina. 
 
 Os dois encontros presenciais ocorrerão aos sábados, no 
horário das 08h30 às 11h30. 
 Para o desenvolvimento do conteúdo ministrado a distância, 
os alunos terão à disposição a seguinte estrutura no AVA: 
1. Material didático com o conteúdo da disciplina para estudo e 
interação, disponível para download e impressão. 
2. Vídeos com explicações sobre o conteúdo da disciplina. 
3. Fórum de discussão de assuntos específicos da disciplina. 
4. Fórum de notícias para comunicação entre o professor e os 
alunos. 
5. Fórum social destinado a conversas informais, não tendo 
ligação direta com os eventos do curso. 
 
 
viii 
Matemática I - Fundamentos 
 
A distribuição da carga horária da disciplina é a seguinte: 06 
horas para os encontros presenciais e 24 horas para o 
desenvolvimento das atividades a distância, incluídas a utilização do 
AVA e o tempo para estudos. 
 
AVALIAÇÃO E RENDIMENTO 
O processo avaliativo ocorrerá em três momentos e com os 
seguintes percentuais: 
1. A participação no fórum de discussão dos assuntos 
específicos da disciplina corresponderá a 20% da menção. 
2. Os exercícios solicitados pelo professor e postados na 
plataforma, conforme cronograma de atividades da 
disciplina, resultarão em 25% da avaliação. 
3. A prova final será realizada durante o último encontro 
presencial e equivalerá a 55% da menção. 
 
 O aluno que, após a avaliação final, não conseguir a média 
final MM, mas tiver participação comprovada nas atividades 
mediadas de 75% e nas presenciais de 100%, poderá fazer a prova 
de recuperação. 
 A aferição da frequência será contabilizada pela plataforma 
Moodle, e o aluno deverá ter participação em, no mínimo, 75% das 
atividades programadas. A frequência é obrigatória nos encontros 
presenciais, sendo reprovado o aluno faltoso. 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
POR QUE APRENDER MATEMÁTICA É TÃO DIFÍCIL? 
 
UMA REFLEXÃO SOBRE A APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA 
Alguma vez você já se perguntou: por que aprender matemática é tão 
difícil? Por que há tanta reprovação em matemática? Vamos apresentar, a 
seguir, alguns dados estatísticos e a importância do estudo da matemática. 
No ano de 2004, o Brasil foi o último colocado no Programa 
Internacional para Avaliação de Alunos, ou PISA, sigla em inglês para 
Programme for International Student Assessment, avaliação feita a cada três 
anos. No ano de 2007, o Brasil deixou de ser o pior para ser o terceiro pior, 
ficando em 54º lugar entre 57 países. A figura 1 mostra os dez primeiros e os 
dez últimos colocados no PISA de 2007. 
 
 
FIGURA 1: FONTE: ESTADÃO 
 
Na figura a seguir, verificamos a posição dos estados brasileiros. O 
Maranhão é o último colocado, e o Distrito Federal ocupa o primeiro lugar, 
seguido de Santa Catarina e Rio Grande do Norte (Figura 2). 
 
2 
Matemática I - Fundamentos 
 
 
FIGURA 2: FONTE: ESTADÃO 
 
 Os dados apontados pelo PISA estão de acordo com o que se percebe 
nas escolas brasileiras, em todos os níveis: fundamental, médio e superior. 
Muitos alunos veem a matemática como uma disciplina desnecessária. Não 
percebem sua importância e não valorizam o que estudam em sala de aula. 
Muitos julgam a matemática como uma disciplina de difícil aprendizado e 
preocupam-se em aprender o necessário para ser aprovados nos exames que 
precisam realizar. 
Observa-se que muitos professores não conseguem evoluir o conteúdo 
de suas séries e não se esforçam para adotar métodos atrativos que 
contribuam para o aprendizado. Assim, embora o aluno seja aprovado ao 
longo dos anos (quando consegue passar), ao término do ensino médio, é 
possível encontrar os que não conseguem resolver problemas simples e 
operações básicas de matemática. Se esses estudantes chegam ao ensino 
superior, trazem a deficiência com eles, e, consequentemente, as disciplinas 
que fazem uso de conteúdo matemático têm alto índice de evasão e 
reprovação. 
Então, você pode perguntar-se: o que tudo isto tem a ver com a 
disciplina de Nivelamento em Fundamentos de Matemática? O que se 
pretende com esta disciplina? 
 
 
 O objetivo desta disciplina é proporcionar aos estudantes a 
oportunidade de (re)aprender conceitos matemáticos 
importantes, principalmente, para sua vida acadêmica.
 
MÓDULO I 
 Neste módulo, faremos um passeio pelos principais assuntos de 
matemática básica. Discutiremos os operadores aritméticos, a hierarquia das 
operações, os múltiplos, o mínimo múltiplo comum, a lógica das operações 
com frações, as propriedades de potências e como contribuem para as 
operações com expressões algébricas. 
UNIDADE I - ALGUMAS IDEIAS MATEMÁTICAS SIMPLES 
É comum pessoas leigas dizerem: “em matemática, fazem-se contas 
com letras”. Isso não étotalmente verdade. Quando escrevemos 2𝑥 + 1, o 
símbolo 𝑥 representa um número. Que número é esse? Não está explicitado o 
número que esse símbolo representa; então devemos ver 𝑥 como um número 
qualquer. Daí, 2𝑥 + 1 representa o dobro (resultado que se obtém quando se 
multiplica um número por 2) de um número mais um. Se o número for 3 
escrevemos 𝑥 = 3, e, no caso, a expressão tomará o valor particular. 
2.3 + 1 = 6 + 1 = 7 
Podemos escrever o conjunto de símbolos para representar esta ideia: 
2𝑥 + 1 
𝑥=3
 
 “O valor da expressão 2𝑥 + 1 quando o 𝑥 assumir o valor 3” e assim: 
2𝑥 + 1 
𝑥=3
= 2.3 + 1 = 6 + 1 = 7 
 
 
A seguir, faça o exercício em que você deverá encontrar o valor 
numérico da expressão algébrica. Usamos a notação discutida 
anteriormente. Vamos lá? 
 
Exercício 
 
1) Encontre o que se pede (use o espaço em branco para escrever). 
5𝑥 + 3 
𝑥=5
= 
3𝑥 − 3
𝑥 + 2
 
𝑥=7
= 
1 
 
4 
Matemática I - Fundamentos 
 
No decorrer deste estudo, estas ideias serão retomadas com outras 
expressões. A seguir, vamos tentar entender como fazer algumas operações 
com expressões algébricas. 
 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS SIMPLES 
Quando escrevemos 2𝑥 + 7𝑥 = 9𝑥, significa que não importa o valor que 
se coloque no lugar de 𝑥 . Sempre que se adicionar um número qualquer 
multiplicado por dois (2. 𝑥) a esse mesmo número multiplicado por sete (7. 𝑥), 
é igual a tomar este mesmo número e multiplicá-lo por nove (9. 𝑥). Confira 
alguns exemplos. Caberá a você completar a tabela com os números que 
faltam. 
 
TABELA 1: TENTE ENTENDER O QUE ACONTECE EM CADA COLUNA; ASSIMILE A IDEIA E 
COMPLETE A CÉCULA QUE ESTÁ EM BRANCO. 
𝒙 𝟐. 𝒙 𝟕. 𝒙 𝟐𝒙 + 𝟕𝒙 𝟗. 𝒙 
𝟏 2.1 = 2 7.1 = 7 2 + 7 = 9 9.1 = 9 
𝟖 2.8 = 16 7.8 = 56 16 + 56 = 72 9.8 = 72 
𝟏𝟑 2.13 = 26 7.13 = 91 26 + 91 = 117 9.13 = 117 
 2.4 = 8 8 + 28 = 36 9.4 = 36 
𝟓 7.5 = 35 10 + 35 = 45 
 
Observe o que a ilustração sugere. Em símbolos, podemos, então, 
escrever que: 
2. 𝑥 + 7. 𝑥 = 9. 𝑥 
Ou simplesmente: 
2𝑥 + 7𝑥 = 9𝑥. 
 
Desse modo, onde aparecer a expressão 2𝑥 + 7𝑥, podemos trocar pela 
expressão 9𝑥, porque estas expressões retornam o mesmo valor quando 𝑥 for 
substituído por um número qualquer. De forma análoga, podemos escrever: 
4𝑥 + 12𝑥 = 16𝑥 
3𝑥 + 1 + 8𝑥 = 3𝑥 + 8𝑥 + 1 = 11𝑥 + 1. 
 
Usamos símbolos para representar ideias, e, em matemática, isso é o 
que há de mais comum, pois esse conteúdo trabalha com ideias lógicas; para 
isso, usamos símbolos. 
Observe o seguinte exercício com as cores diferenciadas abaixo: 
4𝑥 + 1 + 3𝑥 + 2 = 4𝑥 + 3𝑥 + 1 + 2 = 7𝑥 + 3 
 
5 
Matemática I - Fundamentos 
 
É possível que o estudante escreva: 
7𝑥 + 3 =
??
10𝑥. 
Seria isso verdade? Podemos adicionar o 7 com o 3? Então, faça o 
seguinte exercício e perceba a resposta. 
 
 Que tal dois exercícios para fixar as ideias discutidas até 
aqui? Tenho certeza de que você conseguirá. Em caso de 
dúvidas, entre em contato com o seu tutor no Ambiente 
Virtual de Aprendizagem. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
2) Complete as células que faltam, respondendo à pergunta ao final. Na 
última linha, escolha o valor qualquer para 𝑥 e preencha o restante das 
células. 
𝒙 𝟕. 𝒙 𝟕. 𝒙 + 𝟑 𝟏𝟎𝒙 
São iguais? 
(Sim ou não?) 
𝟏 7. 1 = 7 7 + 3 = 10 10. 1 = 10 
𝟖 7. 8 = 56 10. 8 = 80 
𝟏𝟎 70 + 3 = 73 10. 10 = 100 
 
 
3) Escreva as suas conclusões. Quando estamos diante de expressões do 
tipo 7𝑥 + 3, podemos dizer que o resultado será 10𝑥? Se a expressão for 
20𝑥 − 5, podemos dizer que a resposta será 15𝑥? De modo geral (veja 
se entende a simbologia), é verdade que 𝑎. 𝑥 + 𝑏 dará como resposta 
 𝑎 + 𝑏 𝑥? Por quê? (Sua resposta pode ser um pequeno texto). 
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________ 
 
ATENÇÃO 
Esse é um erro bastante comum, mas, se tudo correr bem, 
você perceberá se esta é uma propriedade válida ou não. 
 
6 
Matemática I - Fundamentos 
 
Em estudos futuros, atente a isto. Veja se você não está cometendo 
este erro. De modo geral, o que vale é o seguinte: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑎 + 𝑏 𝑥. 
 
OPERADORES ARITMÉTICOS E HIERARQUIA DE OPERAÇÕES 
No caso de operadores aritméticos +, − × e ÷, eles transformam um 
par de números em um terceiro número. Por exemplo, os números 12 e 3 são 
transformados pelo operador ÷ no número 4, e escrevemos: 12 ÷ 3 = 4. Os 
números 5 e 7 são transformados pelo operador × no número 35, e 
escrevemos: 7 × 5 = 35; os números 8 e 6 são transformados pelo operador – 
no número 2, e escrevemos: 8 − 6 = 2, e assim por diante. 
É possível compor estes operadores, anotando várias operações como, 
por exemplo: 2 + 3 × 5. Pegue uma calculadora simples e digite a sequência: 
 
 
 
Observe o número encontrado. O número que, provavelmente, você 
encontrará é 25 embora não seja a resposta correta. A mesma sequência 
digitada em uma calculadora científica terá o valor 17, que é a resposta 
correta. Por quê? 
A calculadora científica está preparada para considerar a hierarquia das 
operações enquanto a calculadora comum faz as operações à medida que os 
valores são colocados em sua memória. Por que esta hierarquia é importante? 
Imagine um engenheiro, fazendo as anotações dos cálculos para 
determinar a espessura que deverá ter o ferro para uma viga de sustentação 
de uma ponte. Caso outros engenheiros, do outro lado do planeta, tenham 
acesso àquelas anotações, poderiam encontrar uma espessura diferente se as 
contas fossem feitas de outra forma. Seria um desastre para a construção 
civil, não é verdade? Por isso, um cálculo feito aqui, no Japão, na Alemanha, 
em França ou em qualquer outro lugar deve sempre resultar no mesmo valor. 
A conta 2 + 3 × 5 deve retornar 17 em qualquer parte do mundo. 
Estabelecemos, então, o seguinte: 
1. Primeiro, resolvemos multiplicação e divisão; 
2. Depois, resolvemos adição e subtração. 
 
 
7 
Matemática I - Fundamentos 
 
Com isso em mente, não é difícil entender o porquê de 2 + 3 × 5 ser 17 
e não 25. Primeiro, resolve-se a multiplicação e assim: 
2 + 3 × 5 = 2 + 15 = 17. 
Caso se queira avisar que a adição deve ser feita antes da 
multiplicação, deve fazer-se uso dos delimitadores ( ) , [ ] e { } (parênteses, 
colchetes e chaves). Havendo mais de um delimitador, resolve-se, 
primeiramente, o que está entre parênteses, depois, o que está entre 
colchetes e, finalmente, o que está entre chaves. Veja um exemplo: 
3 × 15 − 8 ÷ 6 − 4 × 15 − 14 . 
Para facilitar a visualização, vamos usar cores para destacar o que 
deve ser feito em cada passo. O que estiver com a cor preta deve repetir-se 
de um passo para o outro. Vamos lá? 
 
3 × 15 − 8 ÷ 6 − 4 × 15 − 14 = 3 × 15 − 8 ÷ 6 − 4 × 1 
= 3 × 15 − 8 ÷ 6 − 4 × 1 = 3 × 15 − 8 ÷ 6 − 4 = 3 × 15 − 8 ÷ 2 
= 3 × 15 − 8 ÷ 2 = 3 × 15 − 4 = 3 × 15 − 4 = 3 × 11 = 3 × 11
= 33. 
 
O valor da expressão é, portanto, 33. Em qualquer parte do planeta 
onde este mesmo cálculo for feito, o resultado não poderá ser diferente do 
encontrado aqui. Observe que estamos tratando de algo importante. 
 
A QUINTA OPERAÇÃO 
Qual é o tipo de número com que uma criança tem contato à medida 
que vai crescendo? Ela conta o número de dedos que tem na mão, sua idade, 
o número de brinquedos que tem etc. Você nunca verá uma criança ser 
indagada sobre alguma quantidade, e ela responder 𝜋 ou 2 ou algo parecido. 
A resposta para contagem é: 1, 2, 3, 4, 5,⋯. 
A esse conjunto de números que usamos para contagem, dá-se o 
nome de números naturais, representado com o símbolo ℕ. Assim, onde 
aparecer esse símbolo, está-se tratando deste conjunto de números, ou seja: 
ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, ⋯ . 
Se a esse conjunto juntarmos o zero e os opostos desses, vamos 
encontrar outro conjunto chamado de números inteiros e usar o símbolo ℤ 
para representá-lo. Assim: 
ℤ = ⋯ − 5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ⋯ . 
Em se tratando de números inteiros, podemos ver a multiplicação 
como a adição de parcelas iguais, como, por exemplo: 
 
8 
Matemática I - Fundamentos 
 
−3 − 3 − 3 − 3 − 3 
5 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 5 × −3 = −15 
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 8 × 2 = 16.
8 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
 
 
Entretanto, essa ideia perde-se quando se trabalha, por exemplo, com 
frações. A soma 
2
3
+
6
7
 não significa que a fração 
6
7
 será adicionada 
2
3
 vezes. 
Há nova operação que surge da multiplicação de fatores 1 iguais. 
Observe alguns exemplos: 
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 
7 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 27 
1,5 × 1,5 × 1,5 × 1,5 × 1,5 
5 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= (1,5)5 
5 × 5 × 5 
3 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 53. 
Essa é uma ideia relacionada com a quantidade de fatores, correto? 
Uma quantidade de fatores é um número natural. Quando queremos dizer que 
um elemento qualquer está (ou pertence) a um conjunto, usamos a seguinte 
notação: "𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ∈ 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜". Por exemplo, 7 é um número natural, e, assim, 
escrevemos 7 ∈ ℕ. Quando queremos dizer que certo elemento não está em 
um conjunto, usamos a seguinte notação: "𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ∉ 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜". O número −4 
não é um número natural, e , assim, escrevemos: −4 ∉ ℕ. 
Vamos usar um conjunto de símbolos para representar uma ideia. Veja 
se você consegue entender: se 𝑛 ∈ ℕ e 𝑎 é um número qualquer, então: 
𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎 
𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
 
Você conseguiu entender a ideia que está exposta em símbolos? O 
símbolo pequeno que aparece escrito acima é chamado de expoente, e o 
número que aparece abaixo é chamado de base. 
 
Assim, se o expoente for um número inteiro, indica quantas vezes 
devemos multiplicar a base por ela mesma. Caso o expoente não seja um 
número natural, perde-se a ideia de multiplicar a base por ela mesma em 
quantidade de vezes. 
 
1
 Fator é o nome que damos a cada parte da multiplicação. Por exemplo, quando escrevemos 2 × 3 = 6, os números 2 e 
3 são chamados de fatores, e 6 é chamado de produto. 
 
9 
Matemática I - Fundamentos 
 
Por exemplo, em 3−5, 4
1
3 , 80,33333 … , o expoente não indica que a base 
será multiplicada por ela mesma a quantidade de vezes que aparece no 
expoente, porque, nesse caso, o expoente não representa uma quantidade. 
Isso será objeto de estudo futuro. No momento, vamos trabalhar com 
potências cujo expoente é natural. A potenciação pode ser considerada como 
a quinta operação. 
 
A SEXTA OPERAÇÃO 
A sexta operação desfaz o que a potenciação fez. Observe os seguintes 
exemplos: 
 Quando escrevemos □2 = 4 , estamos tratando de um número que, 
elevado ao quadrado, dá como resposta 4. Qual é o número que, 
multiplicado por ele mesmo duas vezes, dará a resposta 4? Podemos 
escrever a pergunta assim: 4
2
 ou 4. A resposta para este caso é 2, 
pois 22 = 4. 
 Quando escrevemos □4 = 81, estamos tratando de um número que, 
elevado à quarta potência, dá como resposta 81. Ao invés de escrever 
□4 = 81, podemos escrever 81
4
. Esse número é 3, pois 34 = 3 × 3 × 3 ×
3 = 81, e escrevemos 81
4
= 3. 
 Você entende o que significa □𝑛 = 𝑎 ? Trata-se de um número que, 
elevado ao expoente 𝑛, dá como resposta o número indicado por 𝑎. 
Podemos usar o seguinte símbolo para representar essa ideia: 𝑎
𝑛
. A 
resposta será um número tal que elevado a 𝑛 será igual a 𝑎, correto? 
 
EXERCÍCIOS 
4) Complete as tabelas seguintes. Pense um pouco. Não é difícil. 
 
𝒂 𝒏 𝒂
𝒏
 
𝟒 2 4
2
= 2 
𝟐𝟕 3 
16 2 
 2 5 
 
𝒂 𝒏 𝒂𝒏 
𝟒 2 42 = 16 
𝟓 3 
2 1024 
 3 125 
 
Qual é a sua resposta? Veja o resultado em nosso AVA, no link 
“Respostas dos exercícios propostos no livro didático”. 
 
Cuidado! A operação 23 
não é igual a 2 × 3 = 6. 
O expoente, sendo um 
número natural, indica 
quantas vezes a base 
será multiplicada por 
ela mesma. Assim, 
23 ≠ 6. 
 
 
10 
Matemática I - Fundamentos 
 
5) Esta tarefa consiste em recortar a figura a seguir e formar um dominó. 
Esta folha está no anexo deste material. 
 
 
6) Esta tarefa consiste em recortar a figura a seguir e formar um dominó. 
 
 
MÚLTIPLOS E MÚLTIPLOS COMUNS 
Chamamos de números naturais aqueles que usamos para fazer 
contagem. É o primeiro tipo de número com que o ser humano tem contato já 
na infância, quando aprende a contar os dedos da mão ou a quantidade de 
balas que recebe de sua mãe. Usaremos o símbolo ℕ para representar esse 
número. Assim, 
ℕ = 1, 2, 3, 4, ⋯ . 
 
Considere um número natural qualquer; pense no conjunto formado 
pelo produto desse número com todos os naturais. Por exemplo, considere o 
 
11 
Matemática I - Fundamentos 
 
número natural 3, que, multiplicado por sucessivos números naturais, 
teremos: 
3 × ℕ = 3 × 1,2,3,4, ⋯ = 3, 6,9,12, ⋯ = 𝑀 3 . 
O conjunto obtido é chamado de conjunto de múltiplos positivos de 3. 
Analogamente, se quisermos encontrar os múltiplos positivos de 5, basta 
multiplicar este número por todos os números naturais e vamos obter: 
𝑀 5 = 5 × ℕ = 5 × 1,2,3,4,5, ⋯ = 5,10,15,20,25, ⋯ . 
E assim sucessivamente. Os números pertencentes a esse conjunto 
são chamados de divisores positivos no número 5. 
Se olharmos para os múltiplos de dois números naturais, como, por 
exemplo, 2 e 3, vamos encontrar o seguinte: 
𝑀 2 = 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36, ⋯ 
𝑀 3 = 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39, ⋯ . 
Observe os números de cor diferente. Eles são múltiplos tanto de 2 
quanto de 3. Podemos formar um novo conjunto, usando apenas os múltiplos 
comuns de 2 e 3. Neste conjunto, teríamos: 
𝑀 2, 3 = 6,12,18,24,30,36, ⋯ . 
Desses números, o menor deles é 6, conhecido como Mínimo Múltiplo 
Comum. Vamos usar as iniciais MMC para representá-lo. Assim: 
𝑀𝑀𝐶 2,3 = 6. 
Vejamos outro exemplo. Qual é o Mínimo Múltiplo Comum entre 4 e 
12? 
𝑀 4 = 4,8,12,16,20,24,28,32,36 ⋯ ; 𝑀 12 = {12,24,36, ⋯ } 
E, desse modo, os múltiplos comuns de 4 e 12: 
𝑀 4,12 = 12,24,36 ⋯ . 
E, desses, o menor é o 12. Assim, o Mínimo Múltiplo Comum entre 4 e 
12 será 12, ou seja, 𝑴𝑴𝑪 𝟒, 𝟏𝟐 = 𝟏𝟐. 
 Em se tratando de números pequenos, é possível encontrar o mínimo 
múltiplo comum entre dois números mentalmente, mas como encontrar o 
MMC entre dois números cuja resposta não seja evidente. Há duas maneiras: 
i) Decompondo em fatores primos os dois números naturais: nesse 
caso, o MMC dos dois números será o produto dos fatores de 
base comum de maior expoente e os não comuns. 
ii) Usando um procedimento prático. 
 
1º MÉTODO PARA ENCONTRAR O MMC 
Queremos ilustrar a forma (i) de encontrar o MMC de dois números 
naturais. Como exemplo, considere o problema de encontrar o MMC (48,360). 
Decompor em fatores 
primos é o mesmo que 
escrever como um 
produto de primos. 
Veja, por exemplo: 
18 2 
9 3 
3 3 
1 2.3² 
 
 
 
12 
Matemática I - Fundamentos 
 
Decompondo 48 em fatores primos, encontraremos 24 × 3 (neste exercício, 
você deve chegar à forma fatorada;confira o comentário na margem ao 
lado). Fazendo o mesmo com 72, encontraremos 23 × 32 × 5. Então, o produto 
dos fatores de base comum maior será: 24 × 32 (pare e certifique-se de que 
entendeu a proposição). Depois disso, multiplicamos pelos fatores não 
comuns (que, no caso, é apenas o 5). Assim, o MMC (48,360) será: 24 × 32 ×
5 = 720. 
 
EXERCÍCIOS 
 
7) Use o método explicado, para encontrar os mínimos múltiplos comuns 
entre: 
a) 36 e 48 b) 45 e 75 c) 120 e 18 
 
2º MÉTODO PARA ENCONTRAR O MMC (PROCEDIMENTO PRÁTICO) 
Queremos ilustrar a forma (ii) de encontrar o MMC de dois números 
naturais. Como exemplo, considere o problema de encontrar o MMC (18,24). 
O procedimento consiste em colocar os dois números lado a lado e proceder 
de forma semelhante ao que se faz na decomposição em fatores primos. Veja 
o exemplo: 
18, 24 2 
9, 12 2 
9, 6 2 
9, 3 3 
3, 1 3 
1, 1 23 × 32 = 8 × 9 = 72 
 
Uma explicação (em vídeo) para este procedimento você encontrará 
em nosso Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). 
 
 
 Acesse nosso AVA e confira o vídeo que explica como 
encontrar o Mínimo Múltiplo Comum entre dois números 
naturais. 
 
 
Use este espaço para fazer 
os cálculos. 
 
 
13 
Matemática I - Fundamentos 
 
EXERCÍCIOS 
 
8) Use o método explicado, para encontrar os mínimos múltiplos comuns 
entre: 
a) 36 e 48 b) 45 e 75 c) 120 e 18 
 
Compare a resposta encontrada por meio dos métodos propostos nos 
exercícios 7 e 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Saber encontrar o 
mínimo múltiplo comum 
entre dois números 
naturais é importante 
para que se possa 
trabalhar com adição e 
subtração de frações. 
 
14 
Matemática I - Fundamentos 
 
UNIDADE II 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Vamos começar com uma pergunta simples. Quanto é 
1
2
+
1
3
? 
 
Não é comum encontrar estudantes que digam que a resposta é 
2
5
. 
Para encontrar este valor, adiciona-se 1+1 no numerador e 2+3 no 
denominador e assim: 
1 + 1
2 + 3
=
2
5
. 
 
Você concorda com isto? Que tal entender como é feita a adição de 
frações? 
Vamos fazer uso de um recurso didático bastante interessante. No 
apêndice deste material, você encontrará estas réguas para imprimir e 
recortar. 
Considere a unidade como o retângulo que você vê a seguir. 
1 
 
Vamos imaginar essa unidade dividida em duas partes. Cada parte 
será chamada de 
1
2
. 
1/2 1/2 
 
Em seguida, vamos imaginar essa unidade dividida em três partes. 
1/3 1/3 1/3 
 
 
 
Você entendeu o conceito de fração? Não é difícil. Para fixar as 
ideias, faça os dois exercícios a seguir. Eles são bem simples. 
Não se esqueça de que, ao fazer um exercício, é importante 
você entender o procedimento. 
 
 
Esta “unidade” poderia ser 
de outras formas, como, por 
exemplo: quadrado, círculo 
ou outra qualquer. A escolha 
do retângulo foi apenas por 
conveniência. 
 
15 
Matemática I - Fundamentos 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Marque o que representa cada parte do inteiro nas barras abaixo. 
 
 
 
 
 
 
2) Qual é a relação entre os tamanhos das partes do inteiro? 
( ) Todas as partes têm o mesmo tamanho, e isto é algo imprescindível em 
se tratando de frações. 
( ) As partes podem ter tamanhos diferentes. 
 
Voltemos à pergunta inicial: quanto é 
1
2
+
1
3
? Façamos uso das barras 
coloridas mostradas anteriormente. A fração 
1
2
 corresponde a uma barra 
verde, e a fração 
1
3
 corresponde a uma barra azul. Assim, a parte que 
corresponde a soma destas frações será: 
1/2 1/3 
 
Vamos comparar com o que pode ocorrer na prática? O estudante diz 
que a resposta é 
2
5
. Veja esta fração e responda: a parte colorida em vermelho 
escuro corresponde a esta fração? 
1/5 1/5 
Visualmente, estamos tratando de frações diferentes. Assim, 
1
2
+
1
3
≠
2
5
. 
Assimile bem esse conceito. 
 
 
Importante 
Ao adicionar ou subtrair frações, NÃO DEVEMOS adicionar ou 
subtrair os numeradores e os denominadores. 
 
Pensemos na parte correspondente à soma das frações. Que parte ela 
representa do inteiro? Para isto, precisamos conhecer o conceito de frações 
equivalentes. 
 
Se tiver alguma 
dificuldade, vá ao 
Fórum de Dúvidas e 
registre sua questão. 
Estou pronto para 
ajudá-lo (a) a resolver o 
problema. 
 
16 
Matemática I - Fundamentos 
 
FRAÇÕES EQUIVALENTES 
Duas frações são equivalentes se representam a mesma parte do 
inteiro. Vejamos alguns exemplos. A seguir, temos pintada a fração 
correspondente a 
1
2
. 
1/2 
 
Vamos dividir cada uma das partes em duas novas partes. Veja o que 
vamos obter. 
1/4 1/4 
 
Cada parte pintada corresponde a 
1
4
. Assim, são necessários 
2
4
 para 
termos a mesma parte do inteiro que tínhamos na fração 
1
2
. Dizemos que as 
frações 
1
2
 e 
2
4
 são equivalentes e escrevemos: 
1
2
=
2
4
. 
Vamos dividir, novamente, cada quarto em duas outras partes e 
teremos o que é mostrado na figura seguinte. 
1/8 1/8 1/8 1/8 
 
Cada parte corresponde a 
1
8
, e precisamos de quatro partes para obter 
a mesma metade que tínhamos inicialmente, ou seja, precisamos de 
4
8
. Esta 
fração é equivalente à fração 
1
2
 e também à fração 
1
4
. Podemos escrever: 
1
2
=
2
4
=
4
8
. 
Olhando, novamente, a primeira régua, poderíamos dividir cada meio 
em três partes e, neste caso, vamos ficar com o que é mostrado a seguir: 
1/6 1/6 1/6 
Veja que a metade corresponde a 
3
6
. Assim, 
1
2
 é também equivalente a 
3
6
, ou seja, 
1
2
=
3
6
. 
Vamos tomar outra fração como base: 
1
3
. Observe que: 
1/3 
 
1/6 1/6 
 
1/9 1/9 1/9 
 
 
17 
Matemática I - Fundamentos 
 
1/15 1/15 1/15 1/15 1/15 
 
Assim, podemos dizer que 
1
3
 é equivalente a 
2
6
, que é equivalente a 
3
9
, 
que é equivalente a 
5
15
 e podemos escrever: 
1
3
=
2
6
=
3
9
=
5
15
. 
 
 
MOMENTO DE REFLEXÃO 
Não podemos depender de desenhos para saber se duas 
frações são equivalentes. Tente perceber como saímos de uma 
fração, e vamos a outra que seja equivalente à primeira? 
 
Vamos pensar juntos. 
1
2
=
2
4
=
1 × 2
2 × 2
 
1
2
=
1 × 4
2 × 4
=
4
8
 
1
3
=
5
15
=
1 × 5
3 × 5
 
Isso que notamos por meio desses dois exemplos é fato. 
 
 
 
CONCEITO 
Se multiplicarmos o numerador e o denominador de uma fração 
pelo mesmo número, a nova fração que se obterá será 
equivalente à primeira. 
 
 
 
 
O conceito de frações equivalentes ficou claro para você? Para fixar as 
ideias, faça o exercício a seguir. Não se esqueça de que, ao fazer um 
exercício, é importante que você entenda todos os passos. 
 
EXERCÍCIOS 
3) Complete com o número que está faltando de forma que as frações 
sejam equivalentes. 
a) 
2
3
=
12
 b) 
1
5
=
25
 c) 
7
3
=
21
 
d) 
8
=
56
64
 e) 
2
3
=
12
 f) 
7
=
35
45
 
g) 
6
5
=
48
 h) 
5
=
36
15
 i) 
15
8
=
45
 
 
 
 
18 
Matemática I - Fundamentos 
 
DE VOLTA AO PROBLEMA MOTIVADOR 
Estamos em condições de resolver o problema apresentado no início 
deste capítulo. A pergunta foi: quanto é 
1
2
+
1
3? 
Vimos que não podemos adicionar os numeradores e os 
denominadores separadamente. Precisamos fazer que estas frações sejam 
representadas por frações equivalentes, mas que os denominadores sejam 
iguais para que as partes tenham o mesmo tamanho. Se multiplicarmos cada 
um dos denominadores por sucessivos números naturais, vamos encontrar: 
 2,4,6,8,10,12, ⋯ = 𝑀(2) 
 3,6,9,12,15, ⋯ = 𝑀(3) 
Os números marcados em vermelho são aqueles que servem para 
encontrar frações equivalentes. Atente para o fato de que os números em 
vermelho são os múltiplos comuns entre 2 e 3. Então, os denominadores 
iguais estão entre os múltiplos comuns de 2 e 3. É mais simples tomar o 
menor entre estes números, ou seja, o Mínimo Múltiplo Comum, no caso 6. 
Então, ficamos com: 
1
2
+
1
3
=
6
+
6
 
Como descobrir quem aparecerá no numerador (acima do número 6)? 
Observe: 
1
2
=
1.3
2.3
=
3
6
 
1
3
=
1.2
3.2
=
2
6
 
Lembre-se de que a fração obtida, ao multiplicar o numerador e o 
denominador pelo mesmo número, é equivalente à primeira. Assim: 
1
2
+
1
3
=
3
6
+
2
6
=
5
6
 
Na prática, você divide o denominador comum pelo denominador da 
primeira fração, multiplica-o pelo numerador desta fração e repete o 
procedimento com as demais parcelas. Assim, visualize o que fizemos: 
1/2 1/3 
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
 
Observe como adicionar 
1
2
+
1
3
 é o mesmo que adicionar 
3
6
+
2
6
. A soma é, 
portanto, 
5
6
. 
 
 
19 
Matemática I - Fundamentos 
 
 
Estudar matemática não é como ler uma revista. É preciso que 
se leia a mesma informação mais de uma vez até que se 
entenda o conteúdo. Sugerimos que você releia a seção “De 
volta ao problema motivador” e entenda por que é necessário 
que as frações tenham o mesmo denominador. Depois da 
segunda leitura, relaxe um pouco. Tome um café, faça um 
lanche e volte. Eu aguardo você. Enquanto descansa, confira a 
sugestão bibliográfica a seguir. 
 
 
 Há uma história interessante no livro do Malba Tahan (TAHAN, 
2001) que envolve uma partilha de camelos. Você verá como 
dividir 35 camelos em partes correspondentes a 
1
2
, 
1
3
, 
1
9
 resulta 
em uma quantidade maior que cada um receberia e ainda 
sobra um camelo para o Beremiz, protagonista da história. 
 
VIDEOAULA SOBRE FRAÇÕES 
Assista à videoaula sobre frações. A duração é de 10 minutos. 
 
Acesse a aula sobre frações, visite o site Matemática Interativa 
e veja outras aulas (algumas são grátis, como esta). 
 O que você achou do vídeo? Ele esclareceu o que se propôs? Dê a sua 
opinião no Fórum de Discussão. 
 
 
Para fixar o conceito de soma de frações, faça o exercício a 
seguir. Você deve ter em mente que os denominadores 
deverão ser iguais. Depois disso, basta adicionar ou subtrair os 
numeradores e CONSERVAR o denominador. 
 
EXERCÍCIOS 
 
4) Encontre a soma ou a diferença indicada. 
a) 
2
3
+
5
3
= b) 
7
5
−
3
5
= c) 
7
3
−
4
3
= 
d) 
1
8
+
1
4
= e) 
2
3
+
3
2
= f) 
7
5
−
2
3
= 
g) 
6
5
−
1
3
= h) 
8
5
−
7
15
= i) 
15
8
−
5
4
= 
 
Fique atento! Para 
adicionar ou subtrair 
frações, é necessário 
que os denominadores 
sejam iguais. 
 
20 
Matemática I - Fundamentos 
 
MULTIPLICANDO FRAÇÕES 
Da mesma forma que fizemos com a adição e a subtração, vamos 
começar com um problema motivador. 
A pergunta é: 
2
5
×
3
4
= ? ? ? 
Mais do que responder a essa pergunta, estamos interessados em um 
procedimento para encontrar o produto de frações. Para facilitar o 
entendimento, vamos pensar neste produto da seguinte forma: gostaria de 
saber quanto é 2/5 de 3/4. Melhorou a compreensão? Vamos imaginar um 
inteiro na forma de um quadrado (figura 3). 
 
 
FIGURA 3 
 
Considere 3/4 desse inteiro (figura 4). Ficará conforme podemos 
observar na figura seguinte. Dividimos o inteiro em quatro partes iguais e 
tomamos três delas. 
 
FIGURA 4 
Olhando somente para a parte pintada, é como se passasse a ser o 
novo inteiro. Queremos 2/5 desta parte. Para isso, façamos cinco divisões 
horizontais e tomemos duas. Vamos ficar com algo semelhante ao mostrado 
na figura seguinte. 
 
FIGURA 5 
 
21 
Matemática I - Fundamentos 
 
 
Vamos juntar estas figuras para ver marcado o que é 2/5 de 3/4. 
 
 
FIGURA 6 
A porção que está dentro do retângulo pontilhado é a que corresponde 
a 2/5 de 3/4. Quantas partes têm? Repare, são 6 partes do total de 20, pois o 
quadrado original ficou dividido em 20 partes iguais. Assim: 
2
5
×
3
4
=
6
20
 
Que relação há entre esta última fração e as duas primeiras? Se 
tomarmos outra fração, esta relação continuará válida? Veja mais um 
exemplo: 
3
7
×
4
5
= ? ? ? 
De forma análoga à anterior, queremos saber quanto é 4/5 de 3/7 (ou 
3/7 de 4/5). Veja as duas frações representadas e, posteriormente, o que 
será o produto. 
 
FIGURA 7 
A primeira representa 3/7, e a segunda, 4/5. Certifique-se de que você 
entendeu o conteúdo, antes de prosseguir. Assim, tomemos a interseção. 
 
 
22 
Matemática I - Fundamentos 
 
 
FIGURA 8 
A porção que está dentro do retângulo pontilhado é a que corresponde 
a 4/5 de 3/7. Conte quantos retângulos existem lá. Certifique-se de que 
contou 12 retângulos. Do total de quantos? Quantos desses retângulos cabem 
no inteiro? Certifique-se de que você percebeu que são 35 retângulos. Então, 
ficamos com o total de 12 retângulos do total de 35. Podemos dizer que: 
3
7
×
4
5
=
12
35
 
 
Estamos interessados em obter o procedimento que permita encontrar 
o produto. Embora tentemos entender a multiplicação de frações, não é nosso 
interesse fazer desenhos todas as vezes que tiver de encontrar o produto de 
duas frações. O que ocorreu com os dois exemplos acontecerá com quaisquer 
duas frações. Isso nos leva a crer que o produto é obtido, multiplicando-se 
numerador com numerador e denominador com denominador. Correto? 
Observe novamente: 
2
5
×
3
4
=
6
20
; 
3
7
×
4
5
=
12
35
 
 
Se estivermos diante de outro produto de frações, não vamos precisar 
de fazer desenhos, embora eles tenham sido importantes para perceber que a 
forma de multiplicar frações não é por definição. Por meio da observação, 
notamos o que devemos fazer. Então: 
1
3
×
7
9
=
7
27
; 
2
5
×
8
9
=
16
45
 ; 
5
8
×
7
3
=
35
24
 
 
 
 
CONCEITO 
Para encontrar o produto de duas frações, basta multiplicar 
seus numeradores e seus denominadores: 
𝑎
𝑏
×
𝑥
𝑦
=
𝑎𝑥
𝑏𝑦
. 
 
 
Que tal acessar 
uma construção 
que lhe permita 
conferir o que 
discutimos de 
forma dinâmica. 
 Acesse esta 
construção e 
melhore a 
compreensão 
sobre o discutido. 
 
 
23 
Matemática I - Fundamentos 
 
 
Você entendeu o conceito de produto de frações? Para fixar as 
ideias, faça o exercício a seguir. Observe que, em alguns 
exercícios, aparecem multiplicação, adição e subtração. Neste 
caso, lembre-se da ordem de resolução. Primeiro, faz-se a 
multiplicação e a divisão, e, só depois, a adição e a subtração. 
Obedeça à regra de, primeiro, resolver o que está dentro dos 
parênteses,depois, dos colchetes e, finalmente, das chaves. 
Vamos fazer alguns exercícios? 
 
EXERCÍCIOS 
 
5) Faça as operações indicadas e encontre a fração resposta. 
a) 
2
3
×
5
3
= b) 
7
5
×
3
5
= c) 
7
3
×
4
3
= 
d) 
1
8
+
1
4
×
3
2
= e) 
2
3
×
9
5
+
3
2
= f) 
7
5
−
2
3
×
4
5
= 
 
g) 
6
5
×
1
3
×
3
6
= h) 
8
5
×
8
3
−
7
15
= i) 
15
8
×
3
15
×
5
4
= 
 
 
DIVISÃO DE FRAÇÕES 
Agora que já sabemos adicionar, subtrair e multiplicar, só falta 
aprender a dividir frações. Quando dividimos dois números, como 6 ÷ 3 , 
buscamos o terceiro número que, multiplicado por 3, dá como resultado o 6. 
Naturalmente, o número procurado é 2, pois 2 × 3 = 6. Quando estamos diante 
de frações, a ideia é a mesma. Por exemplo: 
2
3
÷
5
7
= ? ? ? 
Digamos que a resposta seja um número que vamos chamar de 𝑄. 
Vejamos como encontrar esse número 𝑄. Observe a ideia. Não é difícil. Esse 
número 𝑄 deve ser de tal forma que: 
𝑄 ×
5
7
=
2
3
 
Assim ocorre como na divisão entre números inteiros. Pois bem, uma 
igualdade não se altera se multiplicarmos os dois membros dela pelo mesmo 
número (vamos estudar isso com mais detalhes no próximo capítulo). Neste 
 
24 
Matemática I - Fundamentos 
 
sentido, se multiplicarmos os dois membros da última igualdade pelo inverso 
de 
5
7
 (que é 
7
5
), vamos ter: 
𝑄 ×
5
7
×
7
5
=
2
3
×
7
5
 
 Observe que, no primeiro membro, ficamos com: 
𝑄 ×
5
7
×
7
5
= 𝑄 ×
35
35
= 𝑄 × 1 = 𝑄 
Assim, temos: 
𝑄 =
2
3
×
7
5
 
Veja só que interessante: 
2
3
÷
5
7
=
2
3
×
7
5
=
14
15
 
De maneira análoga, temos: 
1
3
÷
4
3
=
1
3
×
3
4
=
3
12
 
2
9
÷
3
10
=
2
9
×
10
3
=
20
27
 
A divisão pode ser escrita na forma de fração com numerador e 
denominador também sendo frações. Veja: 
4
9
7
3
=
4
9
÷
7
3
=
4
9
×
3
7
=
12
63
 
Esse raciocínio pode ser desenvolvido com quaisquer frações, o que 
nos leva ao seguinte conceito: 
 
Para encontrar o quociente de duas frações, conservamos a 
primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda. De modo 
geral: 
𝑎
𝑏
÷
𝑥
𝑦
=
𝑎
𝑏
×
𝑦
𝑥
 
 
 
Releia a seção “Divisão de frações” e entenda por que o 
quociente de duas frações é obtido, multiplicando-se a primeira 
fração pelo inverso da segunda. 
Após a releitura, descanse e relaxe um pouco. Volte depois. 
 
 
Agora que voltou, vamos fazer alguns exercícios? 
 
 
25 
Matemática I - Fundamentos 
 
 
Para saber se você compreendeu o conceito de divisão de 
frações e fixar as ideias, faça o próximo exercício. É importante 
que você entenda o procedimento. Observe que, em alguns 
itens, aparecem multiplicação ou divisão e adição ou subtração. 
Neste caso, lembre-se da ordem de resolução: primeiro, a 
multiplicação e a divisão e, só depois, a adição e a subtração. 
Resolva, primeiro, o que está dentro dos parênteses, depois, 
dos colchetes e das chaves. Faça um bom exercício! 
 
 
EXERCÍCIOS 
6) Faça as operações indicadas e encontre a fração resposta. 
a) 
2
3
÷
5
3
= b) 
7
5
÷
3
5
= c) 
7
3
÷
4
3
= 
d) 
1
8
+
1
4
÷
3
2
= e) 
2
3
×
9
5
÷
3
2
= f) 
7
5
÷
2
3
×
4
5
= 
 
g) 
6
5
−
1
3
÷
3
6
= h) 
8
5
−
8
15
÷
7
15
= i) 
15
8
÷
15
8
+
5
4
= 
 
PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS 
Vamos estudar as propriedades de potência. Trata-se de 
procedimentos corriqueiros em várias manipulações matemática. É importante 
que você internalize todas estas propriedades ao ponto de usá-las de forma 
inconsciente. Isso virá naturalmente, com alguns exercícios. 
Vamos tentar justificar as propriedades seguintes com o expoente dos 
números inteiros, mas estas propriedades são válidas a outros conjuntos 
numéricos. Assim, o que aprender aqui será útil a assuntos futuros, já que o 
procedimento não mudará. 
 
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
Vamos adotar o ponto “.” no lugar de ×, para denotar a multiplicação 
entre dois números. Assim, escrevemos 2.3 para indicar 2 × 3; outro exemplo: 
5. 𝑎 = 5𝑎, para indicar 5 × 𝑎 e assim sucessivamente. 
Lembra-se do que vimos na seção “Quinta operação” (p.7)? Vamos 
imaginar um produto de potência com a mesma base, como, por exemplo: 
23. 25 . Note que estamos interessados em uma potência como resposta; assim: 
23 . 25 = 2.2.2.2.2.2.2.2 
8 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 28 = 23+5 
Não se esqueça de que, 
se há adição ou 
subtração e multi-
plicação ou divisão, 
primeiro, você deve 
resolver a multiplicação 
ou a divisão. 
 
26 
Matemática I - Fundamentos 
 
Se tomar duas potências quaisquer, você ficará sempre com algo 
parecido. Veja como exemplo: 
74. 76 = 7.7.7.7.7.7.7.7.7.7 
10 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 710 = 74+6 
De modo geral, temos o seguinte: 
 
CONCEITO 
Se 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, então 
𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
 
É importante notar que não precisamos estar diante de números 
conhecidos. Os números podem ser genéricos, representados por algum 
símbolo. Suponha que 𝑥 represente um número qualquer, então, pela 
propriedade enunciada anteriormente: 
𝑥. 𝑥 = 𝑥1. 𝑥1 = 𝑥1+1 = 𝑥2 
Não é raro encontrar estudantes que dizem que 𝑥. 𝑥 =
???
2𝑥. Isto não é 
verdade. Fique atento para não cometer esse erro. 
Há uma propriedade que estabelece que, na multiplicação, a ordem 
dos fatores não altera o produto. Assim: 
3. 𝑥. 4. 𝑥 = 3.4. 𝑥. 𝑥 
Tente perceber o que fizemos: permutamos o 𝑥 e o 4 (em vermelho). 
Dessa forma, observe o que ocorre: 
3. 𝑥. 4. 𝑥 = 3.4. 𝑥. 𝑥 = 12. 𝑥2 
Veja outras situações: 
5𝑥. 4𝑥 = 5.4. 𝑥. 𝑥 = 20. 𝑥2 
1
3
𝑥.
5
4
𝑥 =
1
3
.
5
4
. 𝑥. 𝑥 =
5
12
𝑥2 
3𝑥.
4
9
𝑥2.
3
7
𝑥3 = 3.
4
9
.
3
7
. 𝑥. 𝑥2. 𝑥3 =
3
1
.
4
9
.
3
7
. 𝑥1+2+3 =
3.4.3
1.9.7
𝑥6 =
36
63
𝑥6 
 
Olhe com cuidado passo a passo o que ocorre. Lembre-se de que a 
ideia é você internalizar estes procedimentos e fazê-los de forma automática, 
sem a necessidade de pensar sobre isto. Enquanto você não domina o 
conceito, faça as operações em detalhes. À medida que você passa a operar 
sem a necessidade de detalhamento, retira o excesso de detalhes. Tente 
treinar o cálculo mental. 
 
No exercício seguinte, você deve calcular mentalmente. Tente 
prever qual será o resultado. Vamos lá? 
 
27 
Matemática I - Fundamentos 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
7) Faça as operações indicadas e encontre a fração resposta. 
a) 4𝑥. 6𝑥 = b) 2𝑥. 5𝑥2 = c) 12𝑎. 15𝑎3 = 
d) 10𝑦. 7𝑦7 = e) 3𝑥3. 5𝑥10 = f) 12𝑥. 2𝑥 
g) 2𝑥𝑦. 4𝑥𝑦 = h) 15𝑥𝑦𝑧. 2𝑥2𝑦𝑧 = i) 3𝑎𝑏. 6𝑎𝑏3 = 
 
QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
De forma análoga à seção anterior, vamos começar com um exemplo. 
Considere o problema que envolve a seguinte divisão: 
38 ÷ 33 =
38
33
 
Note que: 
38
33
=
3.3.3.3.3.3.3.3
3.3.3
=
3
3
.
3
3
.
3
3
. 3.3.3.3.3 =
3
3
.
3
3
.
3
3
. 3.3.3.3.3 = 3.3.3.3.3 = 35 
Desse modo: 
38
33
= 35 = 38−3 
Esse mesmo raciocínio leva-nos a concluir que (tente refazer o que 
fizemos anteriormente): 
710
74
= 710−4 = 76; 
1323
1313
= 1323−13 = 1310 ; 
2112
214
= 2112−4 = 218 
E assim sucessivamente, o quenos leva ao seguinte conceito: 
 
 
CONCEITO 
Se 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, então 
𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 =
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 
Note que, como consequência desta propriedade, podemos 
definir 𝑎0 = 1 para qualquer 𝑎 ≠ 0, pois, se 𝑚 = 𝑛, na igualdade 
anterior, temos: 
1 =
𝑎𝑛
𝑎𝑛
= 𝑎𝑛−𝑛 = 𝑎0 
Desse modo, para 𝑎 ≠ 0, definimos: 
𝑎0 = 1 
 
 
28 
Matemática I - Fundamentos 
 
Observe que não fizemos menção ao fato de 𝑚 ser maior ou menor 
que 𝑛. Embora as ilustrações ocorressem quando o expoente do numerador 
fosse maior que o expoente do denominador, a propriedade continua válida se 
isto não ocorrer (confira a seção seguinte), desde que definamos uma 
potência de expoente negativo de forma apropriada. Outra observação que 
vale a pena fazer é que, embora a ilustração tenha sido feita para expoentes 
sendo números naturais, este podem estar em outro conjunto. 
 
 
 
POTÊNCIA COM EXPOENTE NEGATIVO 
A seguir, vamos definir o que entendemos pelos símbolos, como: 
2−3; 5−2; 7−4 etc. Enfim, o que se entende pelo símbolo 𝑎−𝑛 em que n é 
natural? Para tal, pensemos em um caso particular. 
33
38
 
A propriedade anterior estabelece que, em divisão de potência com a 
mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes. Assim: 
33
38
= 33−8 = 3−5 
Por outro lado, temos: 
33
38
=
3.3.3
3.3.3.3.3.3.3.3
=
3
3
.
3
3
.
3
3
.
1
3
.
1
3
.
1
3
.
1
3
.
1
3
=
3
3
.
3
3
.
3
3
.
1
3
.
1
3
.
1
3
.
1
3
.
1
3
=
1
3
.
1
3
.
1
3
.
1
3
.
1
3
=
1.1.1.1.1
3.3.3.3.3
=
1
35
 
Comparando os dois resultados, temos: 
1
35
=
33
38
= 3−5 
Ou seja: 
1
35
= 3−5. 
O símbolo 3−5 deve ser entendido como o inverso de 35 para que a 
propriedade de potência vista anteriormente continue válida. O mesmo que 
fizemos agora pode ser feito com qualquer outra fração, como, por exemplo: 
1
43
= 4−3; 
1
137
= 13−7 
Isto nos leva ao seguinte entendimento: 
 
 
29 
Matemática I - Fundamentos 
 
 
CONCEITO 
Se 𝑛 ∈ ℕ, então 
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
, em que a igualdade significa uma definição, isto é, 
estabelecemos o que vamos entender pelo símbolo 𝑎−𝑛. 
 
É interessante observar que os números não precisam ser conhecidos, 
isto é, podemos usar algum símbolo para representar os números. Veja 
alguns exemplos: 
4𝑥3
2𝑥
=
4
2
.
𝑥3
𝑥
= 2𝑥3−1 = 2𝑥2, 
5𝑥4
10𝑥8
=
5 
÷5
10 
÷5
.
𝑥4
𝑥8
=
1
2
. 𝑥4−8 =
1
2
. 𝑥−4 
6𝑥5𝑦2
15𝑥3𝑦6
=
6 
÷3
15 
÷3
𝑥5
𝑥3
𝑦2
𝑦6
=
2
5
𝑥5−3𝑦2−6 =
2
5
𝑥2𝑦−4 
O excesso de detalhe na resolução é para ajudar você a perceber como 
a resposta é encontrada. Recomenda-se que se escrevam estes detalhes até o 
momento em que se começar a fazer os cálculos mentalmente. Esse é um dos 
objetivos: automatizar os cálculos. Você deve saber encontrar a resposta de 
forma direta, mas deve saber o motivo. Se for indagado sobre como chegou 
até aquele resultado, espero que você saiba explicar. 
 
 
Agora é com você. No exercício seguinte, você deve calcular 
mentalmente. Tente prever o resultado. Caso você não esteja 
pronto para fazer o cálculo mental, escreva todos os detalhes 
da divisão. Vamos lá? 
 
EXERCÍCIOS 
 
8) Faça as operações indicadas e encontre a fração resposta. 
a) 4𝑥 ÷ 6𝑥 = b) 2𝑥 ÷ 5𝑥2 = c) 12𝑎 ÷ 15𝑎3 = 
d) 
10𝑦
7𝑦7
= e) 
3𝑥3
5𝑥10
= f) 
12𝑥5
2𝑥3
= 
g) 
2𝑥3𝑦
4𝑥𝑦3
= h) 
15𝑥5𝑦𝑧3
2𝑥2𝑦2𝑧10
= i) 
3𝑎𝑏
6𝑎𝑏3
= 
 
 
 
 
30 
Matemática I - Fundamentos 
 
POTÊNCIA DE POTÊNCIA 
Vamos pensar em um exemplo, para entender o que ocorre quando 
estamos diante de uma potência de potência. Considere o seguinte: 
 23 5 
O expoente 5 indica que a base 23 será multiplicada por ela mesma 5 
vezes. Assim: 
 23 5 = 23. 23 . 2323. 23 
5 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 23+3+3+3+3 = 25.3 = 23.5 
De forma análoga: 
 35 7 = 35. 35 . 35. 35. 35 . 35. 35 
7 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 35+5+5+5+5+5+5 = 37.5 = 35.7 
 52 8 = 52. 52. 52 . 52. 52. 52 . 52. 52 
8 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 52+2+2+2+2+2+2+2 = 58.2 = 52.8 
 7−2 4 = 
1
72
 
4
=
1
72
.
1
72
.
1
72
.
1
72 
4 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
=
1.1.1.1
72. 72 . 72. 72
=
14
72+2+2+2
=
1
74.2
= 7−2.4 
Note que este procedimento pode ser feito para quaisquer números 
inteiros. 
 
 
CONCEITO 
Se 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ, então: 
 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚 .𝑛 
Ou seja, em potência de potência, conservamos a primeira 
base e multiplicamos os expoentes. 
 
Embora o enunciado mencione que a propriedade é válida se os 
expoentes forem inteiros, é fato que, em outros conjuntos numéricos, tal 
propriedade também é válida. 
Esta propriedade também pode (e deve) ser usada quando estamos 
diante de expressões algébricas, como, por exemplo: 
 𝑥4 5 = 𝑥4.5 = 𝑥20 
 𝑦2 13 = 𝑦2.13 = 𝑦26 
 ℌ7 8 = ℌ7.8 = ℌ56 
 
POTÊNCIA DE UM PRODUTO 
O que podemos fazer com os expoentes se estivermos com uma 
situação, como, por exemplo: 
 2𝑎 3 =? ? ? 
Fique atento ao que acontece: 
 2𝑎 3 = 2𝑎. 2𝑎. 2𝑎 
3 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 2.2.2 
3 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
. 𝑎. 𝑎. 𝑎 
3 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 23. 𝑎3 
 
31 
Matemática I - Fundamentos 
 
Ou seja: 
 2𝑎 3 = 23. 𝑎3 
Vamos usar outro exemplo: 
 7𝑎2𝑏3𝑥 5 = 7𝑎2𝑏3𝑥. 7𝑎2𝑏3𝑥. 7𝑎2𝑏3𝑥. 7𝑎2𝑏3𝑥. 7𝑎2𝑏3𝑥 
5 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
. 
Note que todos são multiplicados, e, na multiplicação, a ordem dos 
fatores não altera o produto, correto? Vamos agrupar os iguais e ficar com: 
7𝑎2𝑏3𝑥. 7𝑎2𝑏3𝑥. 7𝑎2𝑏3𝑥. 7𝑎2𝑏3𝑥. 7𝑎2𝑏3𝑥 
5 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
=
7.7.7.7.7 
5 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
. 𝑎2 . 𝑎2. 𝑎2 . 𝑎2 . 𝑎2 
5 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
. 𝑏3. 𝑏3. 𝑏3. 𝑏3. 𝑏3 
5 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
. 𝑥. 𝑥. 𝑥. 𝑥. 𝑥 
5 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
 
= 75 𝑎2 5 𝑏3 5𝑥5 
 Certifique-se de ter entendido o que aconteceu. Vamos usar as 
propriedades já estudadas. Ficamos com: 
 7𝑎2𝑏3𝑥 5 = 75 𝑎2 5 𝑏3 5𝑥5 
Veja se consegue perceber um padrão: 
 2𝑎 3 = 23. 𝑎3 , 
 7𝑎2𝑏3𝑥 5 =. 𝑎5.2 . 𝑏5.3. 𝑥5 
 
CONCEITO 
Se 𝑛 ∈ ℤ, então: 
 𝑎. 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 
Ou seja, em potência de um produto, distribuímos o expoente a 
todos os fatores. 
Assim como as outras propriedades de potências, embora todas as 
ilustrações tenham sido feitas com apenas expoentes naturais, elas continuam 
válidas em outros conjuntos numéricos. Observe que estas propriedades não 
são obtidas por meio de decreto ou porque alguém quis que fossem assim. O 
que se faz é uma observação, e, daí, um esboço de uma propriedade é obtida. 
Depois, tenta-se mostrar que tal propriedade é verdadeira para todos os 
números (neste ou naquele conjunto). Nesta aula, não vamos ater-nos a 
estas provas, apenas nos convencer de que são verdadeiras. 
 
POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE 
 O que podemos fazer com os expoentes se estivermos com uma 
situação como esta, por exemplo: 
 
2
𝑎
 
3
=? ? ? 
Fique, novamente, atento ao que acontece. 
 
2
𝑎
 
3
=
2
𝑎
.
2
𝑎
.
2
𝑎
=
2.2.2
𝑎. 𝑎. 𝑎
=
23
𝑎3
 
Tenha muito cuidado 
aqui! Você pode 
distribuir os expoentes 
na multiplicação, mas 
NUNCA na adição ou na 
subtração. 
 𝑎 + 𝑏 𝑛 ≠ 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 
Note que você pode 
distribuir os expoentes. 
NUNCA faça isso na 
adição ou na subtração, 
ou seja: 
 
32 
Matemática I - Fundamentos 
 
Mais um exemplo? 
 
2𝑎
𝑏2
 
5
=
2𝑎
𝑏2
.
2𝑎
𝑏2.
2𝑎
𝑏2
.
2𝑎
𝑏2
.
2𝑎
𝑏2 
5 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
=
2𝑎. 2𝑎. 2𝑎. 2𝑎
𝑏2. 𝑏2. 𝑏2. 𝑏2. 𝑏2
=
 2𝑎 5
 𝑏2 5
 
Você conseguiu perceber um padrão? Veja: 
 
2
𝑎
 
3
=
23
𝑎3
 
 
2𝑎
𝑏2
 
5
=
 2𝑎 5
 𝑏2 5
 
Na divisão, ocorre o mesmo que na multiplicação, ou seja, podemos 
distribuir os expoentes. 
 
CONCEITO 
Se 𝑛 ∈ ℤ, então: 
 
𝑎
𝑏
 
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 
Ou seja, em potência de um quociente, distribuímos o expoente 
para o numerador e o denominador. 
 
Esta propriedade é válida também se o expoente estiver em outros 
conjuntos numéricos. 
 
RESUMO DAS PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS 
Para ficar mais fácil acessar todas as propriedades, vamos colocá-las 
juntas. São elas: 
 
 
i) 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
ii) 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 
iii) 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚 .𝑛 
iv) 𝑎. 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 
v) 
𝑎
𝑏
 
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 
 
Lembre-se de que, no caso de 
expoente negativo, vamos entender: 
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
 
logo não é difícil concluir que: 
 
𝑎
𝑏
 
−𝑛
= 
𝑏
𝑎
 
𝑛
 
 
Você deve estar ciente de que o uso destas propriedades não ocorrerá 
de forma isolada. Em geral, elas aparecem na resolução de algum exercício 
em manipulação algébrica corriqueira, daí a importância de o estudante 
dominar estas propriedades ao ponto de usá-las de forma automática. 
É interessante que você chegue a um ponto em que olhe para uma 
expressão do tipo 2𝑥3𝑦4 10 e, sem pensar nos motivos, saiba que a resposta 
será 1024𝑥30𝑦40. Neste momento, você deve treinar para que isto ocorra. Este 
 
33 
Matemática I - Fundamentos 
 
é um tijolo importante em seu muro do conhecimento. Dominar estas 
propriedades fará que você tenha boa desenvoltura em diversos tópicos. 
 
 
Releia a seção “Propriedades de potências”, para compreender 
melhor cada uma delas. Após a segunda leitura, relaxe um 
pouco. 
 
Depois do descanso, é hora de fazer um pequeno exercício. 
 
O exercício seguinte é uma miscelânea de situações que 
envolvem propriedades de potências e outros assuntos já 
estudados. Vejamos como você se sairá. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
9) Efetue as operações indicadas. 
a) 4𝑥 + 6𝑥 = b) 2𝑥. 5𝑥2 = c) 12𝑎2 − 15𝑎2 = 
d) 
10𝑦3
7𝑎2
 
2
= e) 
3𝑥3
5𝑎10
 
3
= 
f) 2𝑥 2 + 5𝑥2 = 
g) 2𝑎𝑏2 3 = h) 4𝑎𝑏4𝑥5 3 = i) 
3𝑎𝑏
6𝑎𝑏3
 
3
= 
SÍNTESE DO MÓDULO 
 Neste módulo, vimos o básico de matemática: falamos de seis 
operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e 
radiciação); discutimos os múltiplos e o mínimo múltiplo comum, calculado de 
duas formas; mostramos a lógica das operações com frações, ou seja, por 
que, para adicionar ou subtrair frações, precisamos ter o mesmo denominador 
e como os múltiplos comuns contribuem para esse cálculo; vimos o porquê da 
multiplicação de fração ser como é, ou seja, multiplicamos numerador com 
numerador e denominador com denominador; por último, vimos propriedades 
de potência e como podem ajudar-nos a manipular expressões algébricas. 
 
MÓDULO 2 
 Neste módulo, discutiremos dois assuntos importantes: equações e 
porcentagem. Temos como objetivo que você perceba o porquê de algumas 
ações que, na prática, ficarão automáticas, como a resolução de equação. 
Estudaremos o significado de porcentagem e como resolver problemas sobre 
esse assunto. 
 
UNIDADE I 
O QUE É UMA EQUAÇÃO? 
Antes de responder a esta pergunta, vamos a outra mais simples. Leia 
a seguinte afirmação e diga se ela é verdadeira ou não: “Romário ajudou o 
Brasil a conquistar a copa de 1994”. Esta afirmação é verdadeira ou falsa? 
 Naturalmente, é verdadeira. Agora, vamos a outra afirmação: “Ele é 
um excelente ator!” A afirmação é verdadeira ou falsa? Se você pensou um 
pouco, deve ter vindo à sua cabeça a seguinte questão: “Depende de quem 
seja „ele‟”. Se “ele” for Lima Duarte, a afirmação está correta. Se “ele” for o 
professor que escreve este material didático, a proposição é falsa. 
 Qual é a diferença entre os dois tipos de afirmação? É simples. A 
primeira é uma afirmação fechada, é verdadeira e não depende de outra 
informação. É como escrever 3 = 3. Esta afirmação é verdadeira. 
Outra pergunta simples: a afirmação 𝑥 + 1 = 3 é verdadeira ou falsa? 
Se pensar um pouco, chegará a “depende”. Se 𝑥 = 2, a afirmação torna-se 
verdadeira, caso contrário, será falsa. Está vendo um condicionador para que 
a afirmação seja verdadeira? Expressões desse tipo são chamadas de 
sentenças matemáticas abertas. 
 
 
CONCEITO 
Uma equação é uma sentença matemática aberta 
expressa por uma igualdade. 
 
 
 
 
2 
 
35 
Matemática I - Fundamentos 
 
PROPRIEDADES DA IGUALDADE 
Considere uma balança de braço como a que aparece a seguir: 
 
A balança está em equilíbrio. Se usarmos o símbolo 𝑥 para representar 
as massas (chamado popularmente de “pesos”), podemos representar a 
relação mostrada anteriormente da seguinte forma: 
𝑥 + 𝑥 = 4, isto é, 2𝑥 = 4 
Pense um pouco. O que podemos fazer com esta balança de forma que 
continue equilibrada? Veja se você concorda com as proposições abaixo. 
 A balança continua equilibrada se adicionarmos o mesmo peso aos dois 
braços da balança. 
 A balança continua equilibrada se retirarmos ou subtrairmos o mesmo 
peso aos dois braços da balança. 
Reflita um pouco sobre isto, até entender o que estamos dizendo. 
Em outras palavras, o que temos é o seguinte: pensando o equilíbrio 
como uma igualdade, podemos escrever: 
2𝑥 = 4 𝑜𝑢 2𝑥 + 3 = 4 + 3 𝑜𝑢 2𝑥 − 7 = 4 − 7 𝑜𝑢 2𝑥 + ℶ = 4 + ℶ 𝑜𝑢 2𝑥 − 𝔎 = 4 − 𝔎 
Você entendeu? Confira o seguinte conceito: 
 
 
CONCEITO 
Uma igualdade mantém-se se adicionarmos ou subtrairmos o 
mesmo número aos dois membros. Esse conceito é conhecido 
como princípio da igualdade. 
 
 
Simples, não? Em que podemos usar isto? Veja um exemplo: 
2𝑥 + 7 = 𝑥 − 3. 
A ideia é usar a propriedade enunciada acima, para resolver a 
equação. Esta resolução consiste em deixar, no primeiro membro (à esquerda 
da igualdade), apenas o que é desconhecido e, no segundo membro (à direita 
da igualdade), o que é conhecido. Lembre-se de que vamos fazer isso passo a 
passo, mas, na prática, vários desses passos são omitidos. 
2𝑥 + 7 = 𝑥 − 3 ⇒ 2𝑥 +7 − 7 
𝑍𝑒𝑟𝑜
= 𝑥 − 3 − 7 ⇒ 2𝑥 = 𝑥 − 10 
Com esta ação, notamos que, no primeiro membro, não há mais 
números desacompanhados da variável. Precisamos fazer que, no segundo 
 
36 
Matemática I - Fundamentos 
 
membro, também não haja variáveis. O mesmo que fizermos em um membro 
faremos no outro. Como gostaríamos de que não houvesse 𝑥 no segundo 
membro, subtrairemos 𝑥 no segundo membro. Para não acontecer 
desequilíbrio, vamos fazer o mesmo no primeiro membro. Veja: 
2𝑥 = 𝑥 − 10 ⇒ 2𝑥 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 
𝑍𝑒𝑟𝑜
− 10 ⇒ 𝑥 = −10 
A solução da equação dada é, portanto, 𝑥 = −14. Na prática, veja como 
resolvemos esta equação. 
2𝑥 + 7 = 𝑥 − 3 ⇒ 2𝑥 − 𝑥 = −3 − 7 ⇒ 𝑥 = −10 
Está errado? É claro que não. Só omitimos alguns detalhes. Você 
também pode omitir alguns detalhes depois que aprender o procedimento. 
Voltemos nossos olhares novamente à balança que vimos no início. 
 
Como mencionado anteriormente, esta situação pode ser representada 
por meio da equação: 
2𝑥 = 4 
Como, então, isolar a variável 𝑥? Olhe para a balança mostrada na 
figura anterior. O que poderia ser feito nos dois braços da balança de forma 
que descobríssemos quanto é a massa desconhecida? Pense um pouco. 
 Veja se pensou assim: “bastatomar a metade do que se tem em cada 
braço”. Isto está correto. Tomar a metade é o mesmo que multiplicar por 1/2, 
assim como tomar a terça ou quarta parte é o mesmo que multiplicar por 1/3 
ou 1/4, respectivamente. Isto nos leva ao seguinte conceito: 
 
 
CONCEITO 
Uma igualdade mantém-se se multiplicarmos ambos os 
membros pelo mesmo número. 
 
Desse modo, a forma de resolver a equação 2𝑥 = 4 é multiplicar ambos 
os membros pelo inverso (multiplicativo) do número que está à esquerda da 
variável. Veja: 
2𝑥 = 4 ⇒
1
2
. 2𝑥 =
1
2
. 4 ⇒
1
2
. 2𝑥 =
1
2
.
4
1
⇒ 𝑥 =
4
2
⇒ 𝑥 = 2 
Na prática, o que se faz é: 
2𝑥 = 4 ⇒ 𝑥 =
4
2
⇒ 𝑥 = 2 
 
37 
Matemática I - Fundamentos 
 
 
 
SAIBA MAIS 
 Leia a aula Resolução de equações do 1º grau no Portal 
do Professor. 
 
 
COMO RESOLVER EQUAÇÕES DE 1º GRAU 
Com estas duas propriedades em mente, você resolve qualquer 
equação do 1º grau 2 . Por exemplo. Considere o problema de resolver a 
seguinte equação: 
𝑥
2
+
𝑥
3
= 7 
Nesse caso, devemos multiplicar ambos os membros por um número 
que possa ser dividido por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Basta que seja um 
múltiplo de 2 e 3. É comum usar o mínimo múltiplo comum, e, para 2 e 3, o 
MMC é 6. Multiplicando ambos os membros por 6, temos: 
𝑥
2
. 6
 
6÷2=3
+
𝑥
3
. 6
 
6÷3=2
= 7.6 ⇒ 3𝑥 + 2𝑥 = 42 ⇒ 5𝑥 = 42 ⇒ 5𝑥.
1
5
= 42.
1
5
⇒ 5𝑥.
1
5
=
42
1
.
1
5
⇒ 𝑥 =
42
5
 
Gostaria de ver outro exemplo? Vamos resolver a equação 
2𝑥
3
−
𝑥
6
= 𝑥 −
1. Lembre-se de que a primeira ação deve ser multiplicar ambos os membros 
pelo mínimo múltiplo comum entre os denominadores. Neste caso, o 
MMC(3,6)=6; assim: 
2𝑥
3
−
𝑥
6
= 𝑥 − 1 ⇒
2𝑥
3
. 6 −
𝑥
6
. 6 = 𝑥. 6 − 1.6 ⇒ 2𝑥. 2 − 𝑥. 1 = 6𝑥 − 6 ⇒ 4𝑥 − 𝑥 
3𝑥
= 6𝑥 − 6 
⇒ 3𝑥 = 6𝑥 − 6 ⇒ 3𝑥 − 6𝑥 
−3𝑥
= 6𝑥 − 6𝑥 
𝑍𝑒𝑟𝑜
− 6 ⇒ −3𝑥 = −6 
Nesse ponto, é comum multiplicar os dois membros por -1, mas isto é 
opcional. Se você seguir como descrevemos, terminará o exercício sem 
problemas. Multiplique os dois membros pelo inverso do número que está à 
esquerda de 𝑥. O número que está lá é o −3, e seu inverso é 
1
−3
. Você fica, 
então, com: 
−3𝑥 = −6 ⇒ −3𝑥.
1
−3
= −6.
1
−3
⇒ −3𝑥.
1
−3
= −
6
1
.
1
−3
⇒ 𝑥 = −
6
−3
⇒ 𝑥 = +2 
 
Simples, não é? Que tal um pequeno exercício? 
 
2
 A equação é de 1º grau se pode ser reduzida à forma 𝑎. 𝑥 + 𝑏 = 0, em que 𝑎 e 𝑏 são constantes (𝑎 ≠ 0). 
 
38 
Matemática I - Fundamentos 
 
No próximo exercício, você deve identificar a equação que representa a 
primeira figura 3 e tentar acompanhar o que aconteceu com as demais. 
Procure identificar o que ocorreu de uma figura para outra e anote a 
representação por equações equivalentes. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Escreva a equação correspondente a cada desenho. A primeira é 
3𝑥 + 2 = 𝑥 + 10. Tente fazer o mesmo com os demais. 
 
2) Resolva as seguintes equações. 
a. 2𝑥 +
𝑥
3
= 10 
b. 
𝑥−4
3
+
2𝑥
7
= 𝑥 + 1 
c. 𝑥 = 1 +
𝑥
2
 
d. 5𝑥 −
2𝑥−3
8
=
2𝑥−3
4
 
 
 
Saber resolver equações é importante para a vida acadêmica 
de qualquer estudante. Em nosso AVA, realizaremos mais 
exercícios. 
 
 
 
3
 Fonte: http://www.maristas.org.br/colegios/assuncao/pags/site_colegio/espaco/ 
2008_matematica/expressao_numerica/imagens/balanca_equacao_1.jpg 
 
Que tal usar este 
espaço em branco para 
resolver as questões 
propostas? 
 
39 
Matemática I - Fundamentos 
 
 
UNIDADE II – PORCENTAGEM 
O objetivo dessa unidade é estudar a porcentagem e os tópicos 
periféricos, como juros simples, juros compostos e afins, fazendo uso, 
inclusive, de calculadoras e planilhas eletrônicas. 
 A seguir, veremos uma comparação interessante entre a população da 
Terra e a de uma aldeia. 
 
 
 
ALDEIA TERRA 
Vamos fazer um exercício que envolve apenas a imaginação. Suponha 
que a Terra pudesse ser reduzida a uma aldeia com cem pessoas, mantendo 
as proporções. Como seria esta aldeia? O que haveria lá? 
A seguir, vamos mostrar alguns dados que foram retirados de uma 
publicação de 29 de maio de 1990, com o título “State of the Village 
Report”, escrito por Donella Meadowns. Você pode ler mais sobre isto na 
internet; procure “The miniature Earth” ou “A Terra em miniatura”. 
Segundo a publicação, se a Terra fosse uma aldeia com cem pessoas, 
teríamos: 60 asiáticos; 14 africanos; 12 europeus; 8 pessoas da América 
Central, da América do Sul, do México e das Ilhas Caribenhas; 5 seriam norte-
americanos (EUA e Canadá); 1 pessoa seria da Austrália e da Nova Zelândia. 
Conseguiu ter uma ideia de como era o planeta Terra em 1990? Um 
exercício interessante seria atualizar estes dados e ver como estaria hoje a 
Aldeia Terra. Vamos a mais dados? Destas cem pessoas da aldeia: 33 são 
cristãos (católicos, protestantes, ortodoxos, anglicanos e outros); 22, 
muçulmanos; 15, hindus; 14 não possuiriam religião, seriam agnósticos ou 
ateus; 6, budistas; 10 praticariam outras religiões. 
Conseguiu perceber como é a questão religiosa, olhando apenas para 
cem pessoas que representam a população da Terra? 
Vamos a outros dados. Destas cem pessoas que vivem na Aldeia Terra, 
14 falariam mandarim; 8, hindu e urdu; 8, inglês; 7, espanhol; 4, russo; 4, 
árabe. 
Esta lista não contempla nem a metade dos habitantes da aldeia. Os 
outros falam, em ordem decrescente de frequência, bengali, português, 
indonésio, japonês, alemão, francês e outras mais de 200 línguas. 
A ideia de reduzir a 
população da Terra a 
uma aldeia com 100 
pessoas não é genial? 
 
40 
Matemática I - Fundamentos 
 
Nesta aldeia, podemos observar: 80 viveriam em moradias precárias; 
67 adultos viveriam na aldeia, e metade deles seriam analfabetos; 50 
sofreriam de desnutrição; 33 não teriam acesso à água limpa e potável; 24 
pessoas não teriam qualquer eletricidade; ainda: 
 Dos 76 que não teriam eletricidade, a maioria iria utilizá-la apenas 
para a luz à noite; 
 Na aldeia, haveria 42 rádios, 24 televisões, 14 telefones, 7 
computadores (alguns moradores possuiriam mais de um objeto de 
cada tipo); 
 7 pessoas possuiriam um automóvel (alguns deles mais de um); 
 5 pessoas possuiriam 32% da riqueza da aldeia inteira, e estes 
seriam todos dos EUA; 
 Dos mais pobres, um terço das pessoas receberia apenas 3% da 
renda da aldeia. 
Como dito anteriormente, os dados são de 1990, e um excelente 
exercício seria atualizar as informações da Aldeia Terra e acrescentar outros 
dados, como, por exemplo: quantos são homens, quantos são mulheres? 
Quantos têm HIV? Quantos têm acesso a ensino superior? 
 
 
Saiba mais sobre este assunto, assistindo aos vídeos: 
 Se o mundo tivesse 100 pessoas 
 The Miniature Earth 
 If the world were a village of 100 people 
 
Anteriormente, tentamos mostrar o quanto facilita olharmos para o 
universo de 100 ao invés de olhar para o número real. Quantas vezes você 
viu na televisão notícias sobre assuntos do tipo: “em comparação com o 
mesmo período do ano passado, as vendas de carros novos subiram 7%”, ou 
"a inflação do ano passado ficou em 3,8% ao ano”. Quando você vai comprar 
um carro, lá está a taxa de juros que você paga, por exemplo, 1,4% ao mês. 
Observe e verá que o tema de porcentagem está presente no dia a dia. 
 
PORCENTAGEM NO COMPUTADOR 
As