RELATORIO AULA PRATICA REISTENCIA DOS MATERIAIS AVANÇADOS

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CARLOS EDUARDO LEITE DE SOUZA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADO
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.	3
DESENVOLVIMENTO.	4
CONCLUSÃO.	35
3
1 INTRODUÇÃO
A disciplina de Resistência dos Materiais Avançado visa aprofundar os conhecimentos teóricos e práticos dos estudantes de Engenharia, explorando aspectos avançados relacionados às características geométricas, esforços externos e internos em estruturas. No âmbito desta aula prática, a ênfase está na aplicação dos conceitos teóricos para a determinação dos diagramas de esforço cortante e momento fletor em vigas isostáticas. Para alcançar esse objetivo, irei usar o software de análise estrutural Ftool, reconhecido na engenharia civil.
Esta aula prática abordará a análise de uma viga bi-apoiada de concreto, onde os alunos são orientados a realizar cálculos manuais, incluindo o momento de inércia da seção transversal. Posteriormente, o software Ftool será utilizado para validar os resultados obtidos manualmente. Em um segundo momento, a atenção volta-se para uma viga engastada de aço, novamente com a realização de cálculos manuais e validação por meio do software.
Irei também explorar o tema da torção no regime elástico em eixos de transmissão. Para isso, utiliza-se o software MDSolids, um recurso educativo voltado para tópicos abordados no curso de Mecânica dos Materiais. O foco recai sobre a compreensão dos conceitos fundamentais associados à torção, destacando a relação entre torque e tensão de cisalhamento, a influência do momento polar de inércia e a interpretação dos diagramas de distribuição de tensão de cisalhamento em eixos circulares, maciços e vazados.
4
2 DESENVOLVIMENTO
2.1 UNIDADE 1 – SEÇÃO 3
2.1.1 Atividade 1 - Diagramas dos esforços internos solicitantes
Para a viga bi-apoiada, apresentada na figura 1, desenhar os diagramas de esforço cortante e de momento fletor utilizando o software Ftool e considerar que a viga é de concreto. Realize os cálculos manualmente, inclusive do momento de inércia da seção transversal, e, após, utilize o software para validar dos resultados.
Figura 1 – Esquema estrutura de uma viga bi-apoiada
Reações de apoio:
∑ Fx=0
∑ Fy=−12−7 ∙3+ Fay + Fby=0
∑ Ma=−12 ∙ 1,6−7 ∙ 3 ∙ 4,7+6,2 ∙ Fby=0
Fby=19,02 kN
Fay=13,98 kN
Figura 2 – Estrutura da viga no Ftool
5
Figura 3 - Seção BD:
6
Figura – 4 Seção DC
Centróide:
ycm= 53 ∙15 ∙ 26,5+12∙ 55 ∙59 =41,24 cm
53 ∙ 15+12∙ 55
Momento de inércia:
7Ix= 55 ∙ 12 +(55 ∙ 12∙ (59−41,24)2 )+ 15 ∙ 53 +(15∙ 53 ∙ ( 41,24−26,5)2 )=574919,608 c m4
(
3
)
(
3
12
12
)
2.1.2 Atividade 2 – Continuação - Conferindo resultados
Figura 6 – Exibindo a carga distribuída atuando na barra DB
Figura 7 -Diagrama V(kN)
 
Figura 8 - Diagrama Mf(kN·m)
8
Figura 9 - Momento de inércia
I =5,7492∙ 109 m m4=574920 c m4
ATIVIDADE 1 (VIRTUAL) - MDSOLIDS
9
2.1.3 Procedimento 1 - Conceitos teóricos de torção no regime elástico em eixos de transmissão
Cálculo do torque:
J= π ( 0,64−0,44)=0,01021m 4
32
C = 0,6=0,3 m
2
T =σ ∙ J =120 ∙ 0,01021=4,084 kN ∙m
C
0,3
Figura 10 – Eixo de Transmissão
Pequena diferença, dado que a inserção do ratio dos diâmetros do manual foi de 0,67 o que retorna um valor de diâmetro menor de 40,2 cm.
2.1.4 Procedimento 2 (Virtual)
Encontrar e determinar o diâmetro interno do eixo de transmissão, sabendo que o motor transmite uma potência de 3 MW ao eixo com velocidade angular de 30 rad/s. Sabe-se também que que a tensão de cisalhamento admissível apresenta
10
valor de 80 MPa. O eixo possui um comprimento de 250mm.
T = P =3000 ∙ 1000 =105 N ∙m
f
(30)
J
0,125
=
105
80∙ 106
→J =1,5625 ∙ 10	m
−4
4
1,5625 ∙10−4= π ( 0,254−x 4)∴ x=0,21934 m=219,34 mm
32
Figura 11 – Resolução no MDSolids
2.2 UNIDADE 2 – SEÇÃO 3 – FLEXÃO EM BARRAS
2.2.1 Procedimento Atividade 1
Para a viga de concreto (módulo de elasticidade longitudinal igual a 25 000 MPa) bi- apoiada apresentada na figura 12, determinar o deslocamento vertical da linha
11
elástica no ponto C, localizado a 2m do apoio A, e no ponto D, localizado a 3,5m do mesmo apoio. Realize os cálculos primeiramente à mão, inclusive do momento de inércia da seção transversal, e utilize o software para comparar os resultados.
Figura 12 – Viga de Concreto bi-apoiada
Resolução
Centróide:
ycm=30 cm
Momento de inércia:
(	603 )	4Ix= 20 ∙ 12
=360000 cm
Reações de apoio:
∑ Fx=0
∑ Fy=−5 ∙ 7+ Fay+ Fby=0
∑ Ma=−5 ∙ 7 ∙3,5+7 ∙ Fby=0
Fby=17,5 kN
Fay=17,5 kN
12
Equação de momento:
M ( x)=17,5 x−
5 x 2
2
Integrando:
17,5 x2
−
2
5 x3
+C 1
6
θ ( x)=
Integrando:
17,5 x3
EI
5 x4
∆ (x )=
6	− 24 + xC 1+C 2
EI
Condições de contorno C1 e C2=
17,5 x3	5 x4
∆ (0 )=
6	− 24 + xC 1+C 2
EI
=0 ∴ C 2=0
17,5 x3	5 x4
∆ (7 )=
6	− 24 + xC 1+0
EI
=0 ∴ C 1=−71,46
Portanto:
17,5 x3	5 x4
∆ (x )=
6	− 24 −71,46 x
25000 ∙3,6 ∙ 10−3
17,5 x3	5 x4
∆ (2)=
6	− 24 −71,46 x
25000 ∙ 3,6 ∙10−3	=−1,366 m
17,5 x3	5 x4
∆ (3,5)=
6	− 24 −71,46 x
25000 ∙ 3,6 ∙10−3	=−1,737 m
13
Figura 13 - Ftool
2.2.2 Procedimento Atividade 2
Figura 14 – Viga em Balanço
Resolução
Centróide:
ycm= (40 ∙ 5 ∙ 47,5 )+(5 ∙ 45∙ 22,5) =34,26 cm
40 ∙5+ 5∙ 45
14
Momento de inércia:
(	3 )	(	3 )Ix= 40 ∙ 5
12
+ (40 ∙ 5(47,5−34,26 )2) + 5∙ 45
12
+(5 ∙ 45 (34,26−22,5)2)=104561,9 c m4
Reações de apoio:
∑ Fx=0
∑ Fy=−2 ∙ 3+ Fay
∑ Ma=2 ∙ 3∙ 1,5=9 Fay=6 kN
Equação de momento: X até 3
M (x )=−9+6 x−
X de 3 até 5
M ( x)=0
Integrando:
2 x2
2
2	x3
−9 x +3 x −
θ 1 (x) =	3
EI
+C 1
θ 2 (x) =0+ C 3
EI
Integrando:
−9 x2
3	x4
∆ (x )=
2	+ x − 12 + xC 1+C 2
EI
15
∆ 2( x)= xC 3+C 4
EI
Contorno:
2	x3
θ (0) =
−9 x +3 x −
3
EI
+C 1
=0 ∴C 1=0
−9 x2	3	x4
∆ (0 )=
2	+ x −12 + xC 1+C 2
EI
=0 ∴ C 2=0
2	x3
θ 1 (3)=θ 2 (3)=
−9 x +3 x −
3
EI
= C 3
EI
∴C 3=−9
−9 x2	3	x4
∆ (3 )=∆ 2 ( 3)=
2	+ x − 12
EI=
−9 x+ C 4
EI
∴ C 4=6,75
∆ 2( 5)=	−9 x+ 6,75
205000 ∙1,046 ∙ 10−3
=−0,1784 m
Figura 15 - Ftool
16
Observa-se que em ambos os procedimentos os resultados obtidos no software foram os mesmos que os realizados “a mão”.
2.2.3 Procedimento Atividade 1 (Virtual)
Considere uma viga de concreto, bi-apoiada, de comprimento igual à 4m. Para o carregamento da estrutura, será considerado o peso próprio do concreto (25 kN/m³) uniformemente distribuído ao longo de todo comprimento da viga. Para esta situação serão avaliadas quatro diferentes seções transversais retangulares, de acordo com a Tabela 1.
Quadro 1 – Dados da Viga bi apoiada 4 metros
	Seçã
	Largura (cm)
	Altura (cm)
	o 1
	
15
	
20
	2
	15
	25
	3
	15
	30
	4
	15
	35
Utilizando:
q=25 ∙ A
17
L2M máx=q∙ 8
I =b∙ 12
h3
y=h− h
2
Quadro 12 – Cálculos por seção
	Seção
	q (kN/m)
	Mmax
	I (cm4)
	Y (cm)
	σmax (kN/cm2)
	
1
	
0,7500
	(kN·m)
1,500
	
10000,00
	
10,00
	
0,000015
	2
	0,9375
	1,875
	19531,25
	12,50
	0,000012
	3
	1,1250
	2,250
	33750,00
	15,00
	0,00001
	4
	1,3125
	2,625
	53593,75
	17,50
	8,57143E-06
Diagramas de momento fletor (kN·m):
18
Resposta da pergunta chave:
Apesar do valor da carga do peso próprio aumentar com o aumento da altura da seção transversal, o fator preponderante na resistência à flexão da peça é seu momento de inércia que é dependente do cubo da altura portanto podemos observar menores tensões em peças com maior altura de seção transversal, dado essa reflexão podemos observar perfis do tipo “I”, tipo “W” e tipo “T” que utilizam desse princípio para um melhor desempenho na resistência à flexão.
2.3 UNIDADE 3 – SEÇÃO 2 – FLAMBAGEM EM BARRAS
2.3.1 Procedimento Atividade 1 (Físico)
Uma coluna com perfil W150x13 é utilizada para suportar uma coberta. O comprimento da coluna é 2 m e o modulo de elasticidade do aço é E = 200 GPa e a tensão de escoamento é = 250 MPa. Quais são, respectivamente, as cargas críticas para a coluna caso ela tenha as seguintesvinculações: 1. Biarticulada; 2. Biengastada; 3. Engastada/articulada; 4. Engastada/livre?
19
Figura 16 - Rotulada
Figura 17 - Engastada
20
Figura 18 - Rotulada/engastada
Figura 19 - Livre/engastada
21
2.3.2 Procedimento Atividade 2 (Físico)
Uma coluna de aço A deve suportar uma carga crítica de 1000 kN sem sofrer flambagem. Dois tipos de colunas podem ser utilizados: uma barra circular de diâmetro 100 mm ou um tudo com
diâmetro de 100 mm e espessura de 12,5 mm. O modulo de elasticidade do aço é E = 200GPa e a tensão de escoamento é = 250 MPa. Qual o comprimento máximo que cada coluna pode ter para suportar tal carregamento e qual coluna terá o maior comprimento máximo?
Figura 20 – Largura máxima coluna
Lmáx = 98,435 m
22
Figura 21 – Largura máxima coluna
Lmáx: 81,386 m
A seção circular tem a possibilidade de maior comprimento máximo por possuir um momento de inércia polar maior.
2.3.3 Procedimento Atividade 1 (Virtual)
23
Figura 22 – Flambagem da Coluna
Figura 23- Gráfico de Flambagem
O eixo preferencial de flambagem como mostrado é o eixo Y.
24
2.4 UNIDADE 4 – SEÇÃO 2 – CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS DÚCTEIS
2.4.1 Procedimento/Atividade nº 1 (Físico)
Figura 24 – Resolução item A
25
Figura 25 – Verificação de Falha - Tresca
Figura 26 – Verificação de Falha Von mises
26
Figura 27 – item B Resolução
27
Figura 28 – Verificação de Falhas Tresca
Figura 29 - Verificação de falha Von mises
28
Apenas o material do
item “A”
falha na verificação de Tresca, os demais
cenários não apresentam valores de escoamento.
2.4.2 Procedimento/Atividade nº 2 (Físico)
Para uma coluna de concreto exibida na figura 30 abaixo, verifique pelo critério de Mohr se haverá ruptura do material. Considere um concreto com resistência a compressão de 40 MPa e resistência a tração de 4 MPa.
Figura 30 – Coluna de Concreto
Quadro 3 – Resolução no MDSolids
Section properties for the shaft are as follows: OD	= 1,000 m
ID	= 0,000 m
c	= 1,000 m / 2
= 0,5000 m
Area = (1,000 m)2 / 4
= 0,7854 m2
J	= (1,000 m)4 / 32
= 0,09817 m4
I	= (1,000 m)4 / 64
= 0,04909 m4
S	= 0,04909 m4 / 0,5000 m
= 0,09817 m3
Q	= (1,000 m)3 / 12
= 0,08333 m3
For stress element A (on the top of the shaft):
The force Px= -25.000,000 kN creates the following stresses:
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a)	A uniformly distributed axial compression normal stress. The magnitude of the normal stress is given by:
|x| = |Nx| / Area
= 25.000,000 kN / 0,7854 m2
= 31,831 MPa
The concentrated torque Mx = 500,000 kN-m about the x axis creates shear stress. The magnitude of the shear stress is given by:
|T| = |T|c / J
= (500,000 kN-m)(0,5000 m) / 0,09817 m4
= 2,546 MPa
Sign convention: Generally, the proper shear stress direction is determined by inspection. The direction of the stress is shown on the stress element.
Summary for stress element A (on the top of the shaft): The normal stresses for the combined loading can be determined by superimposing the individual cases. For stress element A (on the top of the shaft), the total normal stress acting on the element is a compression stress of 31,831 MPa. The shear stresses for the combined loading act in the positive z direction on the positive x face of the element. The magnitude of the shear stress is 2,546 MPa.
The principal stresses for the element are
p1 = 0,2024 MPa
and
p2 = -32,033 MPa
The maximum in-plane shear stress is
max = 16,118 MPa
and the absolute maximum shear stress equals the in-plane shear stress. This condition occurs when p1 and p2 have opposite signs.
For stress element D (on the +z side of the shaft):
The force Px= -25.000,000 kN creates the following stresses:
a)	A uniformly distributed axial compression normal stress. The magnitude of the normal stress is given by:
|x| = |Nx| / Area
= 25.000,000 kN / 0,7854 m2
= 31,831 MPa
The concentrated torque Mx = 500,000 kN-m about the x axis creates shear stress. The magnitude of the shear stress is given by:
30
|T| = |T|c / J
= (500,000 kN-m)(0,5000 m) / 0,09817 m4
= 2,546 MPa
Sign convention: Generally, the proper shear stress direction is determined by inspection. The direction of the stress is shown on the stress element.
Summary for stress element D (on the +z side of the shaft): The normal stresses for the combined
loading can be determined by superimposing the individual cases. For stress element D (on the +z side of the shaft), the total normal stress acting on the element is a compression stress of 31,831 MPa. The shear stresses for the combined loading act in the negative y direction on the positive x face of the element. The magnitude of the shear stress is 2,546 MPa.
The principal stresses for the element are
p1 = 0,2024 MPa
and
p2 = -32,033 MPa
The maximum in-plane shear stress is
max = 16,118 MPa
and the absolute maximum shear stress equals the in-plane shear stress. This condition occurs when p1 and p2 have opposite signs.
31
Figura 31 - Cálculo do círculo de Mohr e tensões principais
32
Figura 32 - Critérios de falha Mohr
A peça não falha.
2.4.3 Procedimento/Atividade nº 1 (Virtual)
A estrutura escolhida simula uma laje em balanço que por norma é calculada por metro, então podemos representar graficamente como uma barra que concentra 1 metro de largura desta laje. A carga definida foi de 8 kN/m valor usual da norma NBR 6118 para uma laje de concreto maciça em balanço como todos seus componentes ( aproximadamente 5 kN/m de concreto+revestimentos+alvenaria e 3 kN/m de consideração normativa), mais uma alvenaria de 1,2 metros de altura, 0,15 metros de largura de guarda corpo na ponta (23 kN):
33
Figura 33 – Estrutura de laje em balanço no FTOOL
Tensão normal de maior relevância se trata a gerada pela flexão no ponto de engaste da laje.
Definindo uma seção transversal com uma laje de altura de 0,15 m e largura
padrão para cálculo de 1 m. Área de armadura estipulada: 1105 mm2 correspondente a 9 barras de 12,5 mm por metro. Cobrimento nominal da armadura adotado: 3 cm. Aço CA50, Concreto fck= 30MPa. Eaço = 210 GPA, Econcreto = 25 GPA.
Cálculo da linha neutra através do momento de área (considerando estádio 1
com toda peça trabalhando à tração e compressão):
100 ∙	−100 ∙
x2
2
(15−x )2
2
−	∙
210 1105
25
102
· ( 15−3−x)=0
x=7,76 cm
Momento de inércia:
I =100 ∙
7,763
3
+ 100∙
7,243 210 1105
+	∙	∙ (12−7,76) =29895,08 cm
25	100
2
4
3
Cálculo da tensão normal máxima de compressão no concreto (material que primeiro falha, desconsiderando o concreto tracionado):
34
T =154,28 ∙1000 ∙ 0,776	=400 MPa
c	2,99 ∙10−4
(Necessidade de armação composta na peça).
Para cálculo das tensões normais máxima temos em base para essa peça
apresentando 400Mpa de compressão.
35
3 CONCLUSÃO
A conclusão da presente aula prática em Resistência dos Materiais Avançado, conduzida com o auxílio do software Ftool e MDSolids, destaca a importância da integração entre teoria e prática no processo de aprendizagem em engenharia estrutural. A utilização dessas ferramentas computacionais permitiu uma abordagem mais dinâmica e eficaz na análise de estruturas complexas, proporcionando aos estudantes uma compreensão aprofundada dos conceitos teóricos e sua aplicação prática.
No contexto da análise de vigas isostáticas, a experimentação prática com o Ftool possibilitou não apenas a verificação e validação dos cálculos manuais, mas também a visualização mais clara e interativa dos diagramas de esforço cortante e momento fletor. A análise de vigas de diferentes materiais, como concreto e aço, contribuiu para a ampliação do repertório preparando-os para situações diversificadas na prática profissional.
A abordagem da torção em eixos de transmissão, realizada com o auxílio do MDSolids, proporcionou uma compreensão mais profunda dos fenômenos associados à torção elástica. Pude explorar os conceitos de tensão de cisalhamento, momento polar de inércia e distribuição de tensões, visualizando de maneira clara e interativa como esses elementos se manifestam em eixos circulares maciços e vazados.A experiência prática enriqueceu o aprendizado, permitindo que 
não apenas assimilassem os conceitos teóricos, mas também desenvolvessem habilidades práticas essenciais para a resolução de problemas reais em engenharia estrutural
36
REFERÊNCIAS
ALIC, CARMEN; MIKLOS, CRISTINA; MIKLOS, I. ZSOLT. Interactice and
Collaborative learning in mechanical engineering using internet. Acta Technica Corviniensis-Bulletin of Engineering, ISSN, p. 2067-3809.
MARTHA, L.F. FTOOL - Um programa gráfico-interativo para ensino de comportamento de estruturas. Versão educacional 2.11, Rio de Janeiro, agosto de 2002, 33p
POMA TINTAYA, Ever Luis. Aplicación del software MDSolids en el aprendizaje de fuerzas internas de las vigas en estudiantes de la Universidad Continental de Huancayo. 2018.
VEIGA, Janaina; DE ALENCAR CARVALHO, Carlos Vitor; RODRIGUES, Chang Kuo. Uma Proposta pedagógica com o software Ftool para apoio ao ensino da estática baseado na teoria dos registros de representação semiótica. Revista de Educação, Ciências e Matemática, v. 10, n. 1, 2020.
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