Transformações Lineares

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1
Definição
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação 𝒇: 𝑽 → 𝑾 é uma transformação 
linear de V em W se satisfazer as duas condições seguintes:
 1 - Para quaisquer vetores 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, temos:
𝑓 𝑢 + 𝑣 = 𝑓 𝑢 + 𝐹(𝑣)
2 - Para qualquer escalar ∝ e vetor 𝑢 ∈ 𝑉, temos:
𝑓 ∝𝑢 = ∝𝑓 𝑢
Assim, 𝒇: 𝑽 → 𝑾 é linear se “preservar” a soma de vetores e a multiplicação por 
escalar, as duas operações básicas de um espaço vetorial.
Substituindo ∝=0 na condição 2, obtém-se 𝑓 0 = 0.
Assim qualquer transformação linear leva o vetor nulo no vetor nulo.
Estas condições são válidas p/:
✓ Vetor
✓ Espaço vetorial
✓ Subespaço vetorial
Então aqui não será diferente, 
valem as mesmas condições.
Relembrando
2
Em toda transformação linear 𝒇: 𝑽 → 𝑾, a imagem do vetor 𝟎 ∈ 𝑽 é o vetor 
𝟎 ∈ 𝑾, isto é 𝑓 0 = 0.
 ENTÃO
Se uma função leva o vetor nulo de V em um vetor não nulo de W, isto é, 
𝑓 0𝑣 ≠ 0𝑣, então não pode ser linear.
 
Observação:
3
Exemplo
Verificar se é linear: 𝑓: 𝑅2 → 𝑅2, 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2x + y + 7
4
Exercício
Verificar se é transformação linear: 𝑓: 𝑅2 → 𝑅2, 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2x + y + 7
5
Exercício
Verificar se é transformação linear: 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = (3𝑥)
6
Exercício
Verificar se é transformação linear: 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = (3𝑥)
7
Exercício
Verificar se é transformação linear: 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = (3𝑥 + 1)
8
Exercício
Verificar se é transformação linear: 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = (3𝑥 + 1)
9
Exercício
Sendo T(x, y) = (3y, -3x) uma transformação linear, determine a imagem de um 
retângulo cujos vértices estão em: 
A = (0, 0)
B = (-1, 0)
C = (-1, 3)
D = (0, 3)
10
Exercício
Sendo T(x, y) = (3y, -3x) uma transformação linear, determine a imagem de um 
retângulo cujos vértices estão em: 
A = (0, 0)
B = (-1, 0)
C = (-1, 3)
D = (0, 3)
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--
--
--
--
--
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--
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--
--
--
--
--
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--
--
--------------
A = (0, 0)
B = (-1, 0)
C = (-1, 3)
D = (0, 3)
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--
--
--
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--
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--
--
-
A = (0, 0)
B = (0, 3)
C = (9, 3)
D = (9, 0)
12
Sendo T(x, y) = (3x+y, x+2y, y) uma transformação linear de um quadrado em 
um paralelogramo. A imagem do quadrado a ser transformado possui seus 
vértices em: 
A = (0, 0)
B = (1, 0)
C = (1, 1)
D = (0, 1)
13
Sendo T(x, y) = (3x+y, x+2y, y) uma transformação linear de um quadrado em 
um paralelogramo. A imagem do quadrado a ser transformado possui seus 
vértices em: 
A = (0, 0)
B = (1, 0)
C = (1, 1)
D = (0, 1)
14
x
y
z
1
1
1
2
2
2
3
3
3
-----------
1
1
2
2
3
3
-----------
--
--
--
--
--
--
------------
x
y
(a, b, c)
-----------------------
----------------------------------
------------
A = (0, 0)
B = (1, 0)
C = (1, 1)
D = (0, 1)
4
TRANSFORMAÇÕES LINEARES ESPECIAIS 
(PLANAS)
Transformação linear especial plana é toda função linear cujos 
domínio e contradomínio constituem o ℝ2. 
REFLEXÕES
a) Reflexão em relação ao eixo dos x
Essa transformação linear leva cada ponto ou vetor (x,y) para a 
sua imagem (x, -y), simétrica em relação ao eixo dos x:
f: ℝ2→ ℝ2 f (x, y) = (x, -y) 
REFLEXÕES
Reflexões
b) Reflexão em relação ao eixo dos y
Essa transformação linear leva cada ponto ou vetor (x,y) para a 
sua imagem (-x, y), simétrica em relação ao eixo dos y:
f: ℝ2→ ℝ2 f (x, y) = (-x, y) 
REFLEXÕES
Reflexões
c) Reflexão em relação à origem
Essa transformação linear leva cada ponto ou vetor (x,y) para a 
sua imagem (-x, -y).
f: ℝ2→ ℝ2 f (x, y) = (-x, -y) 
REFLEXÕES
Reflexões
d) Reflexão em relação à reta y = x
Essa transformação linear leva cada ponto ou vetor (x, y) para a 
sua imagem (y, x).
f: ℝ2→ ℝ2 f (x, y) = (y, x) 
REFLEXÕES
DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES
a) Dilatação ou contração na direção do vetor
f: ℝ2→ ℝ2 f (x, y) = α (x, y) = (αx, αy), α ϵ ℝ
DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES
– Se α > 1, f dilata o vetor;
– Se 0 1, f dilata o vetor;
– Se 0 ≤ α 1, f dilata o vetor;
– Se 0 ≤ αdo triângulo após sofrer a reflexão?
A) A'(0,-3); B'(-1,-5); C'(3,1)
B) A'(0,-3); B'(-1,-5); C'(-3,-1)
C) A'(0,3); B'(1,5); C'(3,1)
D) A'(0,-3); B'(1,-5); C'(3,-1)
E) A'(0,3); B'(-1,5); C'(-3,1)
RESPOSTA D
A(0,3) ➔ A’ (0, -3)
B(1,5) ➔ B’ (1, -5)
C(3,1) ➔ C’ (3, -1)
31
x
y
1
1
2
2
5
4
3
3 4
-4 -3 -2 -1
-5
-4
-1
-2
-3
---------------------------------
-----------------------
x
y
1
1
2
2
5
4
3
3 4
-4 -3 -2 -1
-5
-4
-1
-2
-3
------
--------------------------
------------------
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