J) Aula 15-04-25 exercícios

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1
Exemplificando:
2) Seja a reta 𝑆 = 𝑥, 𝑦 𝜖 Τ𝑅2 𝑦 = 4 − 2𝑥 
 
Então temos 𝑆 = 𝑥, 4 − 2𝑥 ; 𝑥𝜖𝑅2 ------------------------
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4
2
S
u
v
u+ v
Aqui já verificamos que u + v não pertence à reta S. Portanto não é subespaço de 
R2. Vejamos as outras maneira de verificar.
2
Para S ser subespaço de R2, deve satisfazer duas 
condições:
1ª condição:
 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1, 4 − 2𝑥1 + 𝑥2, 4 − 2𝑥2
 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 4 − 2𝑥1 + (4 − 2𝑥2)
 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 4 −2𝑥1 +4 − 2𝑥2
Exemplo 2
𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 8 −2𝑥1 −2𝑥2
A segunda componente não apresenta 
semelhança com a primeira, portanto S.
3
2ª condição:
∝𝑢 = ∝ 𝑥1, 4 − 2𝑥1
 
Exemplo 2
A segunda componente não apresenta 
semelhança com a primeira, portanto S.
∝𝑢 = ∝𝑥1, ∝(4 − 2𝑥1)
∝𝑢 = ∝𝑥1, 4∝ − 2 ∝𝑥1
4
Exemplo 2 Se tem que ter o espaço zero {0} = {(0,0)} fazer:
𝑢 = 𝑥1, 4 − 2𝑥1 , v = 𝑥2, 4 − 2𝑥2
𝒖 + 𝒗 = 𝟎
𝑥1, 4 − 2𝑥1 + 𝑥2, 4 − 2𝑥2 = 0
𝑥1 + 𝑥2, 4 − 2𝑥1 + 4 − 2𝑥2 = 0
𝑥1 + 𝑥2, 8 − 2𝑥1 − 2𝑥2 = 0
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑥1 = 0 𝑒 𝑥2 = 0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
0 + 0, 8 − 2.0 − 2.0 = 0
0, 8 = 0
0, 8 ≠ 0
5
Exemplo 2 Se tem que ter o espaço zero {0} = {(0,0)} fazer:
𝑢 = 𝑥1, 4 − 2𝑥1
∝.𝒖 = 𝟎
∝ 𝑥1, 4 − 2𝑥1 = 0
∝.𝑥1, 4. ∝ − 2. ∝. 𝑥1 = 0
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑥1 = 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
∝.0, 4.∝ − 2. ∝.0 = 0
0, 4∝ = 0
0, 4∝ ≠ 0
6
Exercícios
7
1) Verificar se é espaço vetorial:
𝐴 = 𝑥, 𝑦 ∈ Τ𝑅2 𝑦 = 5𝑥
➔ 𝑨 = 𝒙, 𝟓𝒙 ∈ Τ𝑹𝟐}
Feito em sala
8
1) Verificar se é espaço vetorial:
𝐴 = 𝑥, 𝑦 ∈ Τ𝑅2 𝑦 = 5𝑥
Feito em sala
9
1) Verificar se é espaço vetorial:
𝐴 = 𝑥, 𝑦 ∈ Τ𝑅2 𝑦 = 5𝑥
Feito em sala
10
Para os exercícios seguintes, dados os subconjuntos de R2, verificar quais deles são 
subespaços vetoriais do R2 relativamente às operações de adição e multiplicação por 
escalar usuais. 
𝑎) 𝑆 = 𝑥, 𝑦 ∕ 𝑦 = −𝑥
ou
11
Para os exercícios seguintes, dados os subconjuntos de R2, verificar quais deles são 
subespaços vetoriais do R2 relativamente às operações de adição e multiplicação por 
escalar usuais. 
𝑎) 𝑆 = 𝑥, 𝑦 ∕ 𝑦 = −𝑥
12
𝑏) 𝑆 = Τ𝑥, 𝑦 𝑥 + 3𝑦 = 0
ou
13
𝑏) 𝑆 = Τ𝑥, 𝑦 𝑥 + 3𝑦 = 0
ou
14
𝑏) 𝑆 = Τ𝑥, 𝑦 𝑥 + 3𝑦 = 0
15
𝑐) 𝑆 = Τ𝑥, 𝑦 𝑦 = 𝑥 + 1
ou
16
𝑐) 𝑆 = Τ𝑥, 𝑦 𝑦 = 𝑥 + 1
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Seja S o subespaço do R3 definido por 𝑆 = Τ𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
Pergunta-se:
a) −1,2,3 ∈ 𝑆?
b) 3,1,4 ∈ 𝑆?
c) −1,1,1 ∈ 𝑆?
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𝑆 = Τ𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
a) −1,2,3 ∈ 𝑆?
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𝑆 = Τ𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑏) 3,1,4 ∈ 𝑆?
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𝑆 = Τ𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑐) −1,1,1 ∈ 𝑆?
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