1º Avaliação G.A 2011.1

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1º Avaliação 
Matemática Básica - Uneb - Paulo James - 2011.1
1° (4 pontos) Determinar o que se pede
(a) O modulo do vetor = 2i + 5j - 5k
(b) O versor do vetor = i + 3j - 3k
(c) O produto escalar entre os vetores e 
(d) O produto vetorial entre os vetores e 
(e) O ângulo formado pelos vetores e - , sabendo que o ângulo entre os vetores e é de 49º,
2º (1 ponto) Calcular os cossenos diretores do vetor = 2i + 7j + 2k.
3º (1 ponto) Dados os vetores = (1, -2, 2) e = (3, 2, -1), determinar o vetor tal que;
4º ( 1 ponto) Considere 1, 2 e 3 vetores LI. Dados = 21 + 32 - 3, = 1 - 2 + a3 e = 31 + 2 - 23 , encontre os valores de a para que {, , } seja uma base.
5º ( 1 ponto) Calcular a área do triângulo ABC, com A( -1 , 4 , 5), B(1 , 2 , 3) e C(1 , -3 , 7).
6º ( 1 ponto) Calcular o volume do tetraedro de vértices A(2, -1, 5), B(3, -3, 6), C(4, 1, 2) e 
D( -1, 4, 3).
7º ( 1 ponto) Tomem-se os pontos médios da arestas do tetraedro ABCD, do exercício anterior, como vértices de um novo sólido, do qual as arestas são os segmentos que têm extremidades nos vértices opostos do tetraedro. Identificar este sólido e calcular o seu volume.
Respostas
1°
a) Para se calcular o modulo de um vetor utilizasse essa formula ;
Temos, que o vetor = 2i + 5j - 5k;
 = (2, 5, -5) 2 
Substituindo na formula do modulo do vetor ;
b) Para achar o verso de um vetor, utilizasse essa formula;
Temos que o vetor = i + 3j - 3k
 = (1, 3, -3) 
Já sabemos como calcular o modulo, então substituímos os valores do vetor na formula;
Já que Paulo James, que o resultado mas simplificado possível, e acho que todos não querem perde metade do ponto da questão, apenas por não racionalizar a questão, então sempre racionalize e simplifique as questões quando possível. 
c) Para encontrar o produto escalar entre os vetores, utilizasse a formula;
 
Os vetores são os utilizados nas questões anteriores, logo já se tem os valores para substituir; 
 = (2, 5, -5) 2 
 = (1, 3, -3) 
d)Para encontrar o produto vetorial entre os vetores, utilizasse a formula;
Utilizaremos novamente os vetores das questões anteriores, logo; 
 = (2, 5, -5) 2 
 = (1, 3, -3) 
Substituindo na formula os valores dos vetores, teremos;
e) Temos o vetor e seu oposto -temos como informação que o ângulo formado entre o vetor é de 49º, como podemos ver na ilustração abaixo;
Logo podemos perceber, que para se ter o ângulo de a , é só subtrairmos, o ângulo 180° e subtrairmos pelo o ângulo formado pelos vetores , e acharemos o ângulo formado pelos vetores .
180° - 49° =
logo o ângulo de é 131°
2º Para calcular o cossenos "diretores" de um vetor, utilizasse as formulas;
Para facilitar suas vidas;
 = 2i + 7j + 2k.
 = (2, 7, 2)
Sempre no numerado, ira ficar o valor que equivale a letra, no caso ,, a letra é o , e o do vetor w, é igual a 2, logo o numerado será 2, então o , o numerado será 7 e no será 2.
Calculando o modulo do vetor w; 
Para facilita novamente, toda vez que calcular os cossenos "diretores", o denominador sempre será o modulo do vetor dado, logo o denominador da questão será , substituindo nas formulas, temos; 
Novamente como foi dito anteriormente, Paulo James ele exigi a questão na forma mais reduzida possível, então;
 3º Questão de aplicação fácil, apenas manuseio algébrico; 
Dividimos a expressão por 2; 
Isolamos o vetor w, já que pretendemos achar ele;
Substituímos o valor dos vetores de v e u, na expressão; 
 = (1, -2, 2) e = (3, 2, -1)
Multiplicando tudo por (-1), termos;
4º Para que o valor de a, torne a determinante LI, a determinante tem que ser diferente de zero;
 = 21 + 32 - 3, (2, 3, -1)
 = 1 - 2 + a3 (1, -1, a)
 = 31 + 2 - 23 (3, 1, -2)
Prestar muito atenção na ordem que pedem os vetores, se não ira da errado, a ordem que ele exigi é .
Fazendo a determinante, teremos;
5º Para calcular a ária do triângulo ABC, tem um utilizasse a formula;
Para isso teremos que montar os vetores e , com os pontos do triângulo, teremos;
A(-1, 4, 5) B(1, 2, 3) C(1, -3, 7)
Agora que temos os dois vetores, podemos fazer o produto vetorial, a formula já foi mostrada anteriormente, assim prosseguimos;
Vendo a formula novamente com atenção;
Veja que é o modulo , logo tem que retirar o modulo de , sendo assim;
Achando o modulo, agora podemos achar a ária do triângulo ABC, substituindo os valores, teremos;
6º Para calcular o volume de um tetraedro, teremos que achar primeiramente 3 vetores, formando eles com os seus vértices, e depois usarmos a formula para acharmos seu volume;
 isso é chamado de produto misto.
Para fazermos o produto misto, primeiro acharemos os vetores, teremos;
A(2, -1, 5) B(3, -3, 6) C(4, 1, 2) D(-1, 4 3)
Agora poderemos fazer o produto misto entre os vetores , teremos;
Achamos o valor do produto misto é igual a 1, agora substituímos na formula, teremos; 
7º Temos que a outra figura montada será pelos pontos dos seguimentos médios das arestas dos vértices da tetraedro da 6º questão, podemos perceber que se utilizarmos os pontos médios, teremos a metade da do valor anterior, logo;