Topografia e Geodésia II

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2015 
 
TOPOGRAFIA E GEODÉSIA II 
MATERIAL DE APOIO ÀS AULAS 
Versão: V01.02-15 
 
1 
 
MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIA 
- ESTADIMETRIA - 
Distância Horizontal (DH) 
 
 
 
 
 
 
 
 
7,334 
3,692 
3,642 
7,334 
Exemplo 1 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas para o cálculo de DH 
DH = G.100.cos2 
 ou DH = G.100.sen²z 
Onde: 
DH = Distância horizontal 
G = Fs – Fi (em metros) 
100 = constante estadimétrica 
 = ângulo vertical 
z = ângulo zenital 
Aplicações 
1- Calcular a distância horizontal (DH) entre dois pontos, medida com auxílio de 
um teodolito e mira. 
Dados: 
a) Leituras de mira b) Angulo vertical = () = 4º28’ 
FS = 1600 mm Cálculos 
FM = 1200 mm DH = 100.G. cos ²  
FI = 800 mm G= 1,600 – 0,800 = 0,80 
 DH = 100 x 0.80 x 0.9939 = 79,51 m 
Exemplo 2 
 
3 
 
1.0 - ALTIMETRIA 
1.1 – DEFINIÇÃO 
 É a parte da Topografia que determina as cotas ou distâncias verticais de um 
certo número de pontos referidos ao plano horizontal de projeção. 
1.2 - FINALIDADE 
A altimetria tem por fim a medida da distância vertical ou diferença de nível entre 
diversos pontos do terreno. 
 
1.3 - ALTITUDE E COTA 
• Altitude – Quando as distâncias verticais são referidas à superfície média 
dos mares. 
• Cota – Quando as distâncias verticais são referidas a um plano de 
referência arbitrário (fictício), situado acima ou abaixo das superfícies dos 
mares. 
 
 
 
 
 
DN (-) 
 
4 
 
1.4 - REFERÊNCIA DE NÍVEL (RN) 
São pontos fixos no terreno que correspondem a cotas ou altitudes de um 
nivelamento. 
Podem ser : 
artificiais : concreto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• natural : soleira de porta de edifício, pedra natural, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 - PROCESSOS DE NIVELAMENTO 
 
5 
 
 
• Nivelamento barométrico – realizado com barômetros 
 Utiliza-se pressões atmosféricas entre pontos para determinar diferença de 
nível 
 - método sem precisão para serviços topográficos 
 - instrumentos: barômetros de mercúrio e barômetros aneróides. 
 Analógico Digital 
 
 
 
 
 
 
 
• Nivelamento trigonométrico 
 
 Realizado com teodolito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
6 
 
 Realizado com níveis ópticos 
 
 
 
 
 
 
1.7- AVALIAÇÃO DO ERRO DE NIVELAMENTO 
- Erros instrumentais: aparelhos desretificados, mira com folga, etc. 
-Erros do operador: imprecisão nas leituras, anotações, etc. 
-Erros devido às condições climáticas e atmosféricas: calor, frio, pressão 
atmosférica, etc. 
1.8 - PRECISÃO NOS NIVELAMENTOS E TOLERÂNCIAS 
- Resultado do processamento: Obtido com os dados de campo. 
- Tolerâncias: Preconizados pela Norma NBR 13.133: 
 IVN Taqueométrico 
classe Metodologia 
Desenvolvimento 
Tolerâncias 
de 
fechamento 
Linha 
Seção 
Extensão 
Máxima 
Lance 
Máximo 
Lance 
Mínimo 
Nº 
máximo 
de 
lances 
 IVN 
Taqueo. 
Nivelamento taqueométrico a ser 
realizado através de leitura dos três fios 
sobre miras centimétricas,devidamente 
aferidas, providas de prumo esférico, 
leitura vante e ré, leitura do ângulo 
vertical simples, com correção de PZ ou 
de índice obtida no início e no fim da 
jornada de trabalho, por leituras 
conjugadas, direta e inversa, com 
teodolito classe 1. 
K = Extensão nivelada em km, medida 
num único sentido. 
Princ. 5 km 150 m 30 m 40 0.30 m k 
Sec. 2 km 150 m 30 m 20 0.40 mk 
 
 
7 
 
2.0 – PLANIALTIMETRIA 
2.1 – Definição 
Planialtimetria representa as informações planimétricas e altimétricas em uma 
única planta, carta ou mapa. 
2.2- Características 
 
A planimetria permite representar os acidentes geográficos (naturais ou 
artificiais) do terreno em função de suas coordenadas planas (x, y). 
 
A altimetria, por sua vez, fornece um elemento a mais, que é a coordenada (z) de 
pontos isolados do terreno (pontos cotados) ou de planos horizontais de 
interseção com o terreno (curvas de nível). 
 2.3- Métodos de levantamento Planialtimétrico 
2.3.1 - Nivelamento trigonométrico ou indireto 
 
-Baseia-se na resolução de um triângulo, do qual se conhece um dos catetos 
(distância D), e se procura o outro cateto medindo para tal o ângulo formado 
entre a horizontal e o ponto visado na mira (fio médio). 
 -Método menos exato que o geométrico 
- Pequeno erro na medida do ângulo dá um erro sensível na diferença de nível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z
hi
fm
A
B
DH
D
H
.t
g
 
D
N
DATUM (NMM)
HA
H
B
linha de visada
mira


Exemplo 
 
Seja a fig. abaixo: 
 
8 
 
Deseja-se obter a distância horizontal (DH) , a diferença de nível (DN) e a cota 
(HB). 
FÓRMULAS 
 Distância horizontal (DH) 
DH = G.100.cos2 
 ou DH= G.100.sen²z 
Onde : 
G = Fs – Fi (em metros) 
 Diferença de nível (DN ) 
 DN = hi + DH. tg  - Fm 
 Entrar com o sinal (+/-) 
 Cota de um ponto (Hn) 
 
 
 
onde : 
Hn-1 = cota do ponto anterior (cota do ponto da estação do teodolito) 
 
 Exemplo 1 
 Nivelamento de um eixo longitudinal 
 Calcular as cotas dos pontos A,B,C,D e E , nivelado pelo processo trigonométrico. 
 
 
 
 
 
Hn = Hn-1 +/- DN 
Dado: Caderneta de campo/planilha 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
Levantamento planialtimétrico de uma área (poligonal fechada) 
• A - Calculo das distâncias reduzidas 
Estação 
Ponto 
visado 
(Pv) 
Alt. do 
Instrum. 
(Ai) 
Ângulos Leitura de Mira (mm) Distância 
Horizontal 
(DH) 
Horizontal 
(H) 
Vertical (Z) Fs Fm Fi 
1 2 1.505 90º 89º31' 00" 1025 900 775 
 
1 1a 1.505 98º40'00" 89º31'00" 834 600 366 
 
1 1b 1.505 211º35'50" 90º40'00" 1806 1700 1594 
 
2 3 1.574 90º00"00" 90º21'46" 750 500 250 
 
2 2a 1.574 90º00'00" 90º22'35" 1125 1000 875 
 
3 4 1.566 90º00'00" 92º09"20" 1525 1400 1275 
 
3 3a 1.566 207º45'50" 89º57'30" 585 400 215 
 
4 1 1.520 90º00'00" 91º09'40" 1550 1300 1050 
 
4 4c 1.520 269º04'30" 89º14'30" 1660 1500 1340 
 
 
 
croqui 
 
10 
 
 
B - Cálculo do erro altimétrico 
 O erro é calculado somando as diferenças de nível (+) e as diferenças de 
nível (-), separadamente, obtendo-se: DN (+ ) e DN (- ). 
 O erro na cota Ec pode, então, ser calculado: 
 Ec = DN( + ) - DN( - ). 
 AJUSTAMENTO 
 Ajustamento (Ajc) letra C na planilha. 
 O ajustamento das cotas é feito levando-se em consideração o erro de cota 
por metro percorrido e que é dado por: 
 Emc =Ec /D 
 Portanto, o valor a ser ajustado em uma cota será o produto do erro por 
metro percorrido pela distância percorrida, desde o vértice anterior 
(estação) até o ponto em questão (ponto visado) 
 
 Ajc = Emc. D 
 
 Cálculo da Cota 
 A cota de cada ponto visado é obtida considerando-se, para o vértice inicial, um 
valor arbitrário (de cota) suficientemente grande para que todos os resultados a 
serem obtidos sejam positivos e, a seguir, faz-se sucessivamente a soma algébrica 
(acumulada) entre os valores da cota do vértice anterior e o valor da diferença de 
nível compensada. 
 
 
 
 
 
11 
 
C - CÁLCULO DAS COTAS DOS VÉRTICES DA POLIGONAL FECHADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ré Est. PV A.I 
LEITURA DE MIRA ÂNGULO VERTICAL 
Dist. 
Horiz. 
(DH) 
Dif. de Nível (DN) 
Cotas 
(H) 
m 
PV 
FI FM FS(Z)  Direta (C) Comp. 
4 1 2 1,505 0,775 0,900 1,025 89º31’00” 0º29’00” 
 
2 
1 2 3 1,574 0,250 0,500 0,750 90º21’46” -0º21’46” 
 
3 
2 3 4 1,566 1,275 1,400 1,525 92º09’20” -2º09’20” 
 
4 
3 4 1 1,520 1,050 1,300 1,550 91º09’40” -1º09’40” 
 
4,631 1 
  
c) Erro por metro 
Emc = Ec/D 
Emc = 
Emc = 
d) Ajustamento (Ajc=C) 
Ajc = Emc. D 
Ajc (2) = 
Ajc (2) = 
 
a) Erro altimétrico (Ec) 
ΣDN(+) = 
ΣDN(-) = 
Ec = 
Ec = 
 
 
b)Cálculo da tolerância da cota 
 (Tc) 
 
 
 
12 
 
 D- Cálculo das cotas das irradiações 
 
 
2.3.2- NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
• É aquele que opera por meio de visadas horizontais obtidas com auxílio de 
instrumentos ópticos de precisão chamados níveis. 
Tipos de níveis: 
 NÍVEL DE MÃO (Pedreiro) 
 
 
 
 
Est. PV A.I 
LEITURA DE MIRA ÂNGULO VERTICAL Dist. 
Horiz. 
(DH) 
Dif. de Nível (DN) 
Cotas 
(H) 
 m 
PV 
FI FM FS (Z)  Direta (C) Comp. 
 
- - - - - - - - - - - - 4,631 1 
1 1a 1,505 0,366 0,600 0,834 89º31’00” 0º29’00” 46,797 
 
- - 
 
1a 
1 1b 1,505 1,594 1,700 1,806 90º40’00” 0º40’00” 21,197 - - 1b 
- - - - - - - - - - - - 
 
2 
2 2a 1,574 0,875 1,000 1,125 90º22’35” 0º22’35’ 24,999 - - 
 
2a 
- - - - - - - - - - - - 
 
3 
3 3a 1,566 0,215 0,400 0,585 89º57’30” 0º02’30” 37,000 - - 
 
3a 
- - - - - - - - - - - - 
 
4 
4 4c 1,520 1,340 1,500 1,660 89º14’30” 0º45’30” 31,994 - - 
 
4c 
 
13 
 
 NÍVEL DE MANGUEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ΔhAB = Leitura Ré - Leitura Vante 
 ΔhAB = Leitura Ré - Leitura Vante 
 
 NÍVEIS ÓPTICOS (Níveis de Engenharia) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.2.1- Nivelamento Geométrico Simples 
hAB 
 
14 
 
 
2.3.2.2 - NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO 
 
 Conferência do Nivelamento Geométrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.3 - FORMAS DE COLETA DE DADOS : 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o CLASSIFICAÇÃO QUANTO À PRECISÃO 
 
 Nivelamento de alta precisão ou de 1ª ordem ou Geodésico – quando o 
erro provável acidental não atinge  2 mm por km; 
 Nivelamento geométrico de precisão ou de 2ª ordem – quando o erro 
provável por km não atinge  6 mm; 
 Nivelamento geométrico topográfico ou de 3ª ordem – quando o erro 
provável não atinge  3 cm (30 mm) por km 
 
 
 POR EIXO LONGITUDINAL 
 POR SEÇÕES TRANSVERSAIS 
 POR POLIGONAÇÃO 
 POR QUADRICULAÇÃO 
 
16 
 
o APLICAÇÃO: 
 
 Transporte de RN 
 Determinação do relevo de terrenos 
 Marcação direta de curvas de nível para construção de terraços 
 Obras de construção (engenharia) em geral 
 Controle de recalque em obras de engenharia 
 
o DEFINIÇÕES: 
 
 Visada ré (Vr) – É a leitura de mira feita em um ponto de cota conhecida. 
 Visada vante (Vv) – É a leitura de mira feita em um ponto de cota 
desconhecida ou a calcular. 
 Visada vante de mudança (Vvm) – É a última leitura de mira vante de uma 
estação. 
 Altura do Instrumento (Ai) – É a distância vertical que vai do plano de 
referência até a linha de visada na mira (FM). 
 Cálculos: 
 Ai = C + Vr 
 
 C = Ai – Vv 
 
 
 A verificação do nivelamento de uma poligonal aberta é feita através do 
contra-nivelamento, ou seja, nivelamento em sentido contrário. 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
Exemplo de cálculo de um Nivelamento Geométrico 
 (Poligonal aberta) 
 
PONTOS 
NIVELADOS 
(Pn) 
VISADAS Altura do 
instrumento 
(Ai) 
Cota 
( c ) 
m 
Obs 
Ré (Vr) 
Vante 
(Vv) 
RN-0 3,120 -------- 
 
700,000 Estaqueamento de 20 em 
20 m. 
0 
 
2,320 
 
RN-0 : Localizado no ... 
.....entroncamento das ruas 
........ 1 
 
1,430 
 
próximo 
........................................ 
2 
 
1,840 
 
+11 
 
2,020 
 
3 
 
2,140 
 
4 
 
2,210 
 
+ 7 1,190 2,200 
 
5 
 
1,340 
 
+ 2 
 
2,840 
 
 
 
 
o PROCESSOS DE REPRESENTAÇÃO DO RELEVO 
 
A representação do relevo é feita principalmente pelos seguintes processos: 
 das curvas de nível 
 das hachúrias 
 
18 
 
 das cores hipsométricas 
 dos planos cotados 
3.0 - PROCESSO DAS CURVAS DE NÍVEL 
3.1- Definição 
Consiste em seccionar o terreno por um conjunto de planos horizontais 
equidistantes, que interceptam a superfície do local, determinando linhas 
fechadas que recebem o nome de “curvas de nível”. 
 
 
 
3.2 - CARACTERÍSTICAS DAS CURVAS DE NÍVEL 
 a) duas curvas de nível jamais se cruzam, porque disto resultaria um único 
ponto com duas elevações diferentes; 
 b) quando várias curvas de nível se sobrepõem, estamos diante de um 
plano vertical; passando porém o acidente, elas retomarão espaçamento 
horizontal. Esse fato, raro na natureza, pode, todavia, ser produzido pelo 
homem; 
 
19 
 
 c) quando as curvas de nível estão muito afastadas umas das outras 
significa que o terreno é levemente inclinado, e quando muito próximas, 
um terreno fortemente inclinado; 
 d)curvas de nível igualmente espaçadas, indicam terreno de inclinação 
invariável; 
 e) uma curva de nível não pode desaparecer repentinamente; 
 f) o maior declive do terreno ocorre no local onde aparecer a menor 
distância entre duas curvas de nível; 
 g) formam linhas fechadas em torno das elevações e depressões, dentro ou 
fora dos limites do desenho; 
 h) ausência de curvas de nível, nota-se quando há terreno plano; 
 i) as curvas de nível não atravessam perpendicularmente um curso d’água. 
Elas acompanham o leito em sentido inverso ao das águas, e o atravessam 
descrevendo um V; sua culminância coincide com o talvegue, retornando 
depois pela margem oposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• PROCESSO DAS HACHÚRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• PROCESSO DOS PLANOS COTADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• PROCESSO DAS CORES HIPSOMÉTRICAS 
 
21 
 
4 – INTERPOLAÇÃO DAS CURVAS DE NÍVEL 
 
4.1 – PROCESSO ANALÍTICO 
Representa-se em planta as curvas de nível que tenham cota inteira, a uma 
equidistância vertical de acordo com a declividade do terreno e escala do 
desenho. A posição dos pontos de cota inteira é obtida por interpolação 
linear entre os pontos levantados no terreno. 
 
EXEMPLO 
 
Interpolar para obter a curva inteira 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 - PROCESSO GRÁFICO 
A interpolação das curvas baseia-se em diagramas de paralelas e divisão de 
segmentos. São processos lentos e atualmente pouco aplicados. 
 
(47-45) 5,30
(46-45) x
X= 2,65 m
 
22 
 
5- TRAÇADO DAS CURVAS DE NÍVEL 
5.1- Na planta 
5.1.1 – Formato de malha Regular (quadriculação) 
No traçado das curvas de nível, os pontos amostrados podem estar em 
formato de malha regular de pontos. Neste caso, as curvas de nível são 
desenhadas a partir desta malha. A sequência de trabalhos será: 
- definir a malha de pontos; 
- determinar a cota ou altitude de todos os pontos da malha; 
- interpolar os pontos por onde passarão as curvas de nível; 
- desenhar as curvas. 
A figura abaixo ilustra o resultado para uma célula da malha. 
 
 8 7 6 5 4 3 2 
 
 
 
 
 
 10 9 8 7 6 5 4 
 
Quando se utiliza este procedimento aparecerão casos em que o traçado 
das curvas de nível em uma mesma malha pode assumir diferentes 
configurações (ambiguidade na representação), conforme ilustra as figuras 
a, b e c. Nestes casos, cabe ao profissional que está elaborando o desenho 
optar pela melhor representação, bem como desprezar as conceitualmente 
erradas, como o caso da primeira representação na figura a. 
 
 
 
 
235.1.2 – Formato com pontos notáveis do terreno levantados por irradiações 
Como os pontos a serem interpolados estarão dispostos de maneira 
desordenada é importante saber quais as interpolações que devem ser 
feitas e quais não devem ser feitas. 
Seguir as três regras: 
1- Somente interpolar entre pontos imediatamente próximos 
2- Não cruzar direções de interpolação 
 
24 
 
3- Não passar uma direção de interpolação muito perto de pontos de cota 
conhecida. 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima - As linhas contínuas representam as interpolações 
corretas. A linha tracejada 13 - 15 desrespeita a 2ª regra. A linha tracejada 
1 - 17 desrespeita a 3ª regra, porque passa muito perto da estaca 12. Uma 
eventual interpolação entre as estacas 2 e 15 desrespeitaria a 1ª regra, pois 
desconheceria a existência da estaca 14 de cota conhecida. 
Quando ocorrem os desrespeitos a estas regras, as curvas de nível 
resultarão deslocadas, deformadas e, certas vezes, até com 
indeterminações. 
No exemplo abaixo uma inadequada interpolação entre A e D faria supor 
que o terreno fosse uniformemente inclinado entre estes 2 pontos, quando 
na realidade apresenta menor aclive ente A e a reta B-C e um maior aclive 
entre B-C e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Na figura acima- Caso fossem feitas apenas as interpolações corretas 
AB,BC,CD, e BD, as curvas de nível seriam as linhas contínuas. Acrescentada 
a interpolação incorreta AD passariam a ser as tracejadas que, com se vê, 
foram repuxadas para o lado de A, inclusive obrigando a curva 13 a 
atravessar a reta BC, onde não pode haver pontos com esta cota. 
 
5.2 - Demarcação no campo 
São locadas diretamente no campo para fins de construção de terraços, 
que tem as seguintes finalidades: 
-Diminuir a velocidade da enxurrada; 
-Diminuir o volume de água da enxurrada; 
-Diminuir as perdas de solo, sementes, adubos, nutrientes, herbicidas, 
inseticidas e fungicidas; 
-Aumentar a umidade do solo, uma vez que há maior infiltração de água. 
Se o terraço for em nível, este deverá reter todo o volume de água 
escorrida para posterior infiltração. Quando em desnível, deverá dar vazão 
ao escorrimento superficial de forma disciplinada, sem causar erosão em 
seu interior. 
6- PERFIL 
6.1 – Definição 
É a representação gráfica do relevo, num plano vertical, segundo uma 
direção pré-estabelecida. 
 
- Perfil Longitudinal 
 
 
 
 
 
 
 
PV 
 
26 
 
-Perfil Transversal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o APLICAÇÕES 
 
 Implantação de edifícios – verificação de volumes de cortes e aterros 
 Implantação de redes de água e esgoto – definição de cotas para 
escavação 
 Implantação de redes elétricas – definição de extensão de cabeamento 
 Implantação de estradas – definição de cortes e aterros 
 Estudos geológicos – realização de cortes geológicos que permite visualizar 
a disposição e a relação entre as diferentes litologias que se encontram em 
profundidade. 
 
6.2 – PROCEDIMENTOS PARA TRAÇAR UM PERFIL 
Sobre o eixo horizontal (abscissas) marcam-se as distâncias horizontais na 
ordem em que foram levantados (estaqueamento). Sobre o eixo vertical 
(ordenadas) marcam-se as cotas inteiras, iniciando pela menor e indo até a 
maior cota. 
 
27 
 
Para marcar os pontos do terreno, segue no eixo horizontal até o primeiro 
ponto do estaqueamento, subindo daí no eixo vertical até a cota desejada, 
marcando assim o ponto do terreno, e assim sucessivamente. 
 O perfil geralmente é desenhado em duas escalas, sendo a vertical 1/10 da 
horizontal, a fim de realçar mais o relevo. 
Ex. 
Escalas: H= 1/2000 e V= 1/200 
 
 
6.3 – Representação gráfica 
 
6.3.1 – A partir de elementos do estaqueamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
6.3.2 – A partir de intersecção de um plano vertical com elementos da 
planta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4 – GREIDE 
6.4.1 – Definição e Característica 
É a linha projetada sobre o perfil, dotada de uma certa declividade ou não, 
que determina quanto do terreno deve ser cortado ou aterrado. 
Uma característica do greide é a Cota Vermelha, a qual é a distância vertical 
entre um ponto qualquer do greide e um ponto correspondente no 
terreno. A cota vermelha pode ser positiva (aterro) ou negativa (corte). 
 
 Cota A’ = Cotaant + ((i/100).DH)) 
 Cota vermelha (aterro) = Cota A’ – Cota A 
 Cota vermelha (corte) = Cota B’ – Cota B 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4.2 – RAMPA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4.3 – Declividade ou inclinação 
A declividade de um terreno entre dois pontos A e B é medida pela 
inclinação da reta que os une com o plano horizontal. 
 
 Pode ser expressa em porcentagem, em milésimos ou em graus. 
 
 Declive ou inclinação em porcentagem – O meio mais comum de exprimir a 
valor do declive de uma encosta é em porcentagem. 
 O declive em porcentagem é igual a: 
 D = DN . 100 
 DH 
Ponto de Passagem: Quando o ponto do greide coincide com o 
ponto do terreno, não havendo assim corte ou aterro, ponto C. 
AA' = Cota Vermelha POSITIVA (+) ATERRO 
BB' = Cota Vermelha NEGATIVA (-) CORTE 
 
30 
 
 Onde: 
 D = Declive ou inclinação em porcentagem (%) 
 DN = Diferença de nível entre dois pontos 
 DH = Distância horizontal entre dois pontos 
Na planta a distância horizontal é medida diretamente, e a altura vertical é 
a diferença de nível entre os pontos. Um declive ascendente é positivo (+) e 
um descendente é negativo (-). 
o DIFERENÇA DE NÍVEL ENTRE PONTOS DO TERRENO 
 
1 – Dada pela diferença entre as cotas ou altitudes dos pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evidentemente, o valor de H será positivo se a cota de C (HC) for maior que a 
cota de B (HB) e negativo em caso contrário. 
2- Dada pela diferença de leituras nas miras: 
DN = LA - LB 
LA LB 
 
31 
 
Exemplo 1 
• Na fig. a linha XY representa uma encosta. Se a distância horizontal entre X 
e Y é de 100 metros e a diferença de nível é de 10 metros, o declive da 
encosta XY é igual a: 
D = . 100 = 10% 
 
 
 
 
 
 
• Na fig. abaixo, trata-se de achar o declive entre A e B. Mede-se 
primeiramente a distância horizontal (DH) 220 m. Determina-se a altura 
(Dn) subtraindo a cota de A da cota de B. A altura é de : 559 m – 530 m = + 
29 m. 
O declive é: 
D = 29 . 100  D = 13% 
 220 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100
10 Y 
Declive= Diferença de Nível x 100 
 Dist. horizontal (DH) 
Distância horizontal (DH) 
X 100 m 
1
0
 m
 
D
if
er
en
ça
 d
e 
N
ív
el
 
 
32 
 
o DETERMINAÇÃO NA PLANTA DA COTA DE UM PONTO 
 
 
Seja determinar na fig. a cota do ponto P. Ele se acha compreendido entre 
as curvas de nível 40 e 50. Traçando-se a normal MN às duas curvas 
passando por P verificamos ser as distâncias horizontais MP’ e MN’ iguais a 
40 e 145 metros, respectivamente. Como a equidistância entre as curvas é 
de 10 metros, temos que a diferença de nível (PP’) é de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Dado o perfil longitudinal, pede-se: 
 
1- Calcular as declividades dos greides 
2- Calcular as cotas dos greides 
 3-Calcular as cotas vermelhas 
 
 
 
 
 
 
 
 
mPP
PP
76,2
145
40.10
'
40
'
145
10

Logo, a cota do ponto P será: 
 
 cota de M + 2,76 m = 40 + 2,76 m = 42,76 m. 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
7.0 – TERRAPLENAGEM 
 
Definição 
 
De forma genérica pode-se definir terraplenagem ou movimento de terras 
como o conjunto de operações necessárias à remoção do excesso de terra 
para locais onde esta esteja em falta, tendo em vista um determinado 
projetoa ser implantado. 
 
 Aplicação 
 
 A construção de uma estrada de rodagem, ferrovia ou aeroporto, a 
edificação de uma fábrica ou usina hidrelétrica, ou mesmo de um conjunto 
residencial exigem a execução de serviços de terraplenagem prévios, 
regularizando o terreno natural, em obediência ao projeto que se deseja 
implantar. 
 Pode-se afirmar, portanto, que todas as obras de Engenharia Civil de 
grande porte ou pequeno porte exigem trabalhos prévios de 
movimentação de terras. 
 
7.1- PLATAFORMAS (platôs) 
 
 As plataformas são obras projetadas e executadas com a finalidade de 
tornar plana a superfície irregular de um terreno; elas tanto podem ser 
horizontais como inclinadas. 
Com relação ao tipo de movimento de terra utilizado, podem ser 
classificadas em: 
 Plataformas em aterro 
 Plataformas em corte 
 Plataformas em corte e aterro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
7.2- CÁLCULO DE VOLUMES 
 
1- Volume pela fórmula do Prismóide 
 
Se o volume estiver compreendido entre duas superfícies horizontais 
delimitadas por curvas de nível, será estimado pela fórmula do Prismóide. 
Considere a fig. abaixo. 
Onde, 
A1 e A2  Áreas das figs. limitadas por curvas de nível 
h  equidistância vertical 
V  volume 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A fórmula do Prismóide é a mais adequada para calcular volumes do tipo 
apresentado na fig. acima. Representa o volume de uma secção cônica de 
altura h cujas áreas de base e topo têm valores A1 e A2, respectivamente. 
 
O volume total da secção de terreno apresentada na fig. abaixo é dado 
pela equação: 
 
 
 
 
).(
3
2211 AAAA
h
V 
V T = [
(
 +
 
+ ) + 
(
+
 
+
 
) 
 + 
(
+
 
+ )
]
 +
 
( ) 
 
 
 
36 
 
VT = V1 + V2 + V3 + V4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo h a equidistância vertical entre as curvas de nível. 
Notar que, para o cálculo de V4, o valor de h será diferente. A área do topo 
do prismóide será nula. Esse último volume será aproximado pelo volume 
de um cone. 
A fórmula geral para um volume calculado à custa de n volumes parciais 
entre curvas de nível será dada pela equação: 
 
 
 
 
 
2- Volume pela fórmula da Seção Média 
 
Se o volume a determinar estiver compreendido entre superfícies verticais, 
como é o caso de volumes a movimentar ao longo de futuros eixos de vias 
rodoviárias, fig. abaixo, ele será aproximado pela fórmula da Seção Média, 
representada pela equação: 
 
 
 
 V  volume 
 
 
 
 
 
 
A1 e A2 áreas das figuras limitadas por perfis do terreno. 
 h  distância entre as duas superfícies verticais. 
V = ( + ) 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 Na fig. acima as superfícies verticais são encontradas construindo perfis 
das seções transversais do terreno. É usual, em projetos de vias 
rodoviárias, efetuar cálculos de volumes por este processo a cada 20 
metros de via. 
 
o CÁLCULO DO VOLUME DE CORTE 
 
Exemplo 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
Exemplo 2 – VOLUME DE CORTE = VOLUME DE ATERRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
• Sempre que se executa um corte ou um aterro num determinado terreno, é 
necessário criar planos inclinados (de corte ou de aterro), para a contenção 
do terreno superior. Esses planos inclinados recebem o nome de taludes de 
corte (nos casos de corte) ou saias de aterro (nos casos de aterro). 
• As escolhas das inclinações são feitas em função da necessidade de 
estabilidade ou por motivos estéticos. Por outro lado, a estabilidade maior 
ou menor depende da natureza do solo. Por exemplo, taludes de corte em 
rocha podem ser até verticais. Nos casos comuns, os taludes de corte 
variam entre 2/3 e 1/1 e os de aterro entre 1/1 e 3/2. 
 
o ETAPAS DE UM PROJETO DE TERRAPLENAGEM 
 
1) LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- DESENHO DO PROJETO - SITUAÇÃO REMANEJADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
o FATORES DE EMPOLAMENTO DOS SOLOS 
 
 Quando se escava o terreno natural, o solo que se encontrava 
num certo estado de compactação, proveniente do seu próprio 
processo de formação, experimenta uma expansão volumétrica 
que chega a ser considerável em certos casos. 
 
Os solos naturais apresentam expansões volumétricas diferentes, 
gerando diversos valores de fator de empolamento e 
porcentagem de empolamento. De modo geral, quanto maior as 
porcentagens de finos (argila e silte), maior será essa expansão. 
Ao contrário, os solos arenosos, com pequenas porcentagens de 
finos, sofrem pequeno empolamento (tabela abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o PROJETO DE PLATÔ 
 
 Roteiro 
 
 a) definir a forma e dimensões do platô ; 
 b) localizar o platô sobre as curvas de nível; 
 c) definir o nível altimétrico (corte e/ou aterro) 
 d) definir cota média (Vc = Va) e corrigi-la em função do “FC” 
(fator de conversão) por tentativas; 
Tipo de solo Empolamento (%) 
Solos argilosos 40 
Terra comum seca (solos 
argilo-siltosos com areia) 
25 
Terra comum úmida 25 
Solo arenoso seco 12 
 
41 
 
 e) definido a cota de implantação deverá ser definido os 
contornos do platô, que são decorrentes do projeto de 
arquitetura (layout, acessos externos e internos); 
 f) definido o contorno do platô, deve-se desenhar as saias do 
aterro e cristas dos cortes, da seguinte maneira: 
g) retira-se todas as curvas de nível que cruzam o platô (um 
plano pode ser circundado por uma curva de nível, jamais 
cruzado). 
 
Exemplo 
Projeto de platô – relevo após movimento de terra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o OFF-SETS 
 
É a linha que representa em planta a crista da escavação e “pé” 
da saia do aterro. 
 Crista de Corte (estaca offset) : Ponto limite da conformação dos 
taludes de corte. 
 
42 
 
 Pé de Aterro (estaca offset) : Ponto limite da saia dos aterros. 
 A escavação e aterro devem ser iniciados a partir da linha de “off-
set, portanto estas obras devem ser executadas respectivamente 
de cima para baixo e inversamente para o aterro. 
 
8.0 - LOCAÇÃO DE OBRAS 
 
• GENERALIDADES 
 
Levantamentos para locação de obras podem ser de maior ou 
menor complexidade, dependendo da forma do terreno, da 
importância da estrutura a ser locada e da amplitude da obra. 
O sucesso da obra dependerá de um correto levantamento, de 
um projeto bem elaborado e de uma boa locação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• ALGUNS TIPOS DE PROJETOS QUE NECESSITAM DE LOCAÇÃO: 
 
 Construção de vias de transportes (eixos de rodovias e ferrovias, 
intersecção viárias, etc). 
 Edificações (estacas, blocos e sapatas, eixo de pilares, etc). 
 Loteamentos (quadras, lotes, glebas, sistema viário, área de 
proteção ambiental, etc.). 
 Mineração (Locação de frentes de lavras e banquetas, pontos de 
sondagem, poços piezométricos, furos para explosivos, drenagem, 
etc.). 
 
43 
 
 Controle de terraplenagem (alturas de corte e aterro, inclinações 
de taludes, banquetas, sistemas de drenagem, etc.). 
 Construções com características de desenvolvimento vertical 
(torres, chaminés, dutos, contrapesos, poços de elevador, etc.). 
 Túneis e barragens (traçados, altura do nível de água, etc.). 
 Montagem industriais (eixos, alinhamentos horizontais e verticais, 
paralelismos, etc.). 
 Canalizações e redes de transmissão (traçados em geral, etc.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existem diferentes métodos de locação, os quais variam em 
função do tipo de obra. 
No projeto de locação a obra estará referenciada a pontos 
conhecidos e previamente definidos.A partir destes pontos, passa-se a locar no solo a projeção da 
obra desenhada na planta. 
É comum ter-se como referência, para a locação da obra, os 
seguintes elementos: 
 
44 
 
 o alinhamento da rua; 
 um poste localizado no alinhamento do passeio; 
 um ponto (marco) com coordenadas x,y,z deixado pelo 
topógrafo quando da realização do controle da terraplenagem; 
 uma lateral do terreno quando este estiver corretamente 
localizado; 
 marcos de uma triangulação com coordenadas x,y,z 
conhecidas; 
 marcos de amarração dos Pi’s e RN’s deixados pela topografia 
quando do levantamento do trecho de uma estrada, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1- LOCAÇÃO POR COORDENADAS POLARES 
Para a locação de pontos por esse processo é necessário 
conhecer um ponto origem, uma direção de referência, os 
ângulos e as distâncias em relação à linha de referência para 
os demais pontos. 
A direção de referência é obtida a partir das coordenadas de 
dois pontos ou de um determinado alinhamento. 
Ex. locação do ponto P 
 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
Calcular o ângulo () e as distâncias necessários para locar os 
pontos 1, 2 e 3. 
 
 
CADERNETA DE LOCAÇÃO 
ESTAÇÃO DE 
REFERÊNCIA COORDENADA X (m) COORDENADA Y (m) 
A 1868,658 660,039 
ESTAÇÃO DE 
RÉ COORDENADA X (m) COORDENADA Y (m) 
B 1892,645 669,805 
PONTOS A LOCAR 
PONTO X (m) Y (m)  D (m) 
1 1864,051 677,893 
2 1868,658 643,959 
3 1886,750 655,739 
 
 
 
 
 
 
46 
 
2- LOCAÇÃO POR COORDENADAS RETANGULARES 
 
Exemplo 
 
 
Seja locar uma residência térrea composta de 29 fundações 
(sapatas e estacas), com base nas medidas contidas no projeto 
de locação, figura seguinte. 
 
 
 
 
 CADERNETA DE LOCAÇÃO PRELIMINAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
RÉ EST. VANTE 
ANG. 
HORIZ. 
DIST. OBS. 
B A C 0º 1,885 
A C D 90º 5,40 
C D prego 1 0º ------ 
linha H 
C D Prego 2 180º ------- 
C D Prego 3 270º -------- Linha 
11 C D Prego 4 90º -------- 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
Exemplo de um gabarito em uma obra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo de uma marcação da locação dos pilares no gabarito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
3- LOCAÇÃO POR INTERSECÇÃO 
 
Neste processo o ponto será locado a partir de outros dois 
pontos conhecidos. 
Pode-se empregar observações angulares ou lineares. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1- Nivelamento trigonométrico 
 
1.1- Redução de distâncias( DH ) 
 
 
 DH = 100 .G . sen² z ou DH = 100 . G . cos²α 
 
 
Dados : 
FS = 1,600 FM = 1,200 FI = 0,800 AV = 85° 32´ 00´´ 
 
50 
 
 
FS = 2,156 FM = 1,500 FI = 0,844 AV = 93° 54´ 30´´ 
 
1. 2- Diferença de nível ( DN ) : DN = AI – FM + DH . tan α 
 
 
Dados: 
 
a) FS = 1,842 FM = 1,642 FI = 1,442 AV = 86° 15´ 30´´ AI = 
1,52 
b) FS = 1,690 FM = 1,500 FI = 1,310 AV = 95° 45´ 20´ AI = 
1,38 
 
1.3- Cota ( H ): Hn = Hn-1 + DN 
 
a) Calcular a Cota (H) do ponto B. 
 
Dados: 
Ponto A : AI = 1,42 HA = 10,000 
 
Ponto B : FS = 0,809 FM = 0,567 FI = 0,325 AV = 84° 15´ 
 
 b) Calcular a Cota (H) do ponto 2. 
 
Ponto 1 : AI = 1,48 H1 = 20,000 
 
Ponto 2 : FS = 1,300 FM = 0,950 FI = 0,600 AV = 97° 02´ 
 
2- Declividade (D%) ou inclinação (i%) (rampa) 
 
D = DN / DH . 100 
 
 
51 
 
a) Calcular a declividade entre os pontos A e B, separados por 
uma distância de 151,80 m, sabendo que suas cotas são HA = 
25,120 m e HB = 42,580 m. 
 
b) Calcular a declividade entre os pontos 1 e 2, separados por 
uma distância de 350,50 m, sabendo que suas altitudes são 
 H1 = 760,224 m e H2 =715,184 m. 
 
3 - Nivelamento Geométrico 
 
a) Compor a caderneta de nivelamento geométrico, calcular 
as cotas dos pontos e fazer a prova dos cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PN 
RN1 
RÉ Vint. Vmud. Alt. Inst. 
(AI) COTAS (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
b) Com base no esquema ( croqui ) de um nivelamento 
geométrico, compor a caderneta, calcular as cotas dos pontos 
e fazer a prova dos cálculos. 
 Cota do RN1 = 10,000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A, B, C = Estações do Nível 
( ....... ) = leitura de mira 
Pontos Nivelados: RN, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
 
PN Ré Vint. Vmud. Alt. Inst.(Ai) Cotas (m) 
RN1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
D) Compor a caderneta de nivelamento geométrico, 
completá-la, calculá-la e fazer a prova de cálculo. Os valores 
entre “aspas” são as cotas dos pontos. Os valores sobre as 
linhas tracejadas são as alturas do instrumento. Os valores 
entre parêntesis são as leituras de mira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PN Ré Vint. Vmud. Alt. Inst.(Ai) Cotas (m) 
RN1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
d) Completar a caderneta de nivelamento geométrico, calcular 
as cotas e fazer a prova de cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Interpolação de Curvas de Nível 
 
Fórmula : 
 
 
onde d = dn . 
Em que: 
d = distância parcial 
D = distância total 
dn = diferença de nível parcial 
DN = diferença de nível total 
 
 
 
 
 
Exercício : 
PN RÉ VANTE AI COTAS 
 
3,511 100,000 
2 2,110 
3 0,813 
3 
4 3,120 103,348 
5 2,084 
6 106,258 
6 109,982 
7 1,002 
DN
D
dn
d

DN
D
C 
 
55 
 
Interpolar e traçar as curvas de nível de 1m em 1m no 
desenho abaixo. 
Tirar as medidas entre os pontos na escala de 1 : 500. 
Desenhar o perfil entre os pontos A, G, H, D. 
Escalas: H = 1 : 500 e V = 1 : 50. 
Utilizar o papel milimetrado formato A4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5- Greide 
 
5.1-Dados de um projeto ( rodovia ) : 
 
• Cotas do Terreno 
Ponto 1 = 101,30 Ponto 4 = 104,40 Ponto 7 = 105,80
 Ponto 10 = 103,00 
Ponto 2= 103,60 Ponto 5 = 103,50 Ponto 8 = 106,40
 Ponto 11 = 101,80 
 
56 
 
Ponto 3= 104,50 Ponto 6 = 103,90 Ponto 9 = 105,60
 Ponto 12 = 102,10 
• Cotas dos Greides 
Ponto 1 = 101,30 Ponto 7 = 105,80 Ponto 12 = 
102,10 
• Obs.: Estaqueamento de 20m em 20m 
Pede-se : 
a) desenhar o perfil longitudinal e os greides em papel 
milimetrado formato A4, nas escalas ( Horizontal 1 : 1000 e 
Vertical 1 : 100) ; 
b) calcular as cotas do greide nos pontos 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 e 
11; 
c) calcular a inclinação ( rampa ) do terreno entre os pontos 1 
- 7 e 7 - 12; 
d) calcular as cotas vermelhas em todos os pontos. 
 
6 - Cálculo de volumes 
a) Uma vala foi aberta para a passagem de uma tubulação, 
conforme mostra a fig. abaixo. 
Pede-se para calcular o volume de escavação efetuado. Para 
efeitos de cálculo, tanto o terreno quanto a base da escavação 
são planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
b) Deseja-se construir uma rampa com inclinação de 10%, 
conforme o exemplo dado. Sabendo-se que a cota de início da 
rampa é de 34,55m(ponto mais baixo), que o terreno está 
nivelado na cota 36,73m e que a rampa deverá ter largura de 
7m, calcular o volume de material a ser retirado do terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Um terreno de 20m x 20m foi quadriculado de 10 m x 10 
m, obtendo as cotas conforme croqui. Pede-se : 
 
1- Calcular a cota final do plano horizontal que resulte em 
volumes de corte e aterro iguais (Vc = Va ) 
 
2- Interpolar e traçar no desenho a curva de passagem entre 
corte e aterro 
 
3-Desenhar os perfis das seções A, B e C 
 
4-Calcular as áreas de aterro e de corte 
 
58 
 
 5-Calcularo volume total de aterro 
 
6-Calcular o volume total de corte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7- LOCAÇÃO 
Calcular os ângulos , ,  e  para fins de locação dos pilares 
P3 e P4 da ponte projetada sobre o rio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
9 - SENSORIAMENTO REMOTO 
 
9.1 – Princípios de sensoriamento remoto 
9.2 – Sistemas de sensores 
9.3 – Fotografias analógicas e digitais 
9.4 - Estereoscopia 
9.5 - Operações sobre imagens 
9.6 - Confecção de mapas 
 
 Este conteúdo será desenvolvido em grupo em Atividade Externa da 
Disciplina (AED) conforme cronograma de aulas. 
 
 
ELEMENTOS DE GEODÉSIA e GPS 
 
 
 
10 - SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
 
Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos 
para a sua representação, mais simples, regulares e geométricos e que 
mais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos. Cada um 
destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a figura 
empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os 
cálculos sobre esta superfície. 
 
10.1- Modelo Esférico 
 
Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, 
como no caso da Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre 
esta esfera através de sua latitude e longitude. Tratando-se de 
 
60 
 
Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e 
longitude astronômicas. 
 
10.2- Modelo Elipsoidal 
 
A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em 
trabalhos de Geodésia no mundo. 
 
Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, 
os semi-eixos a (maior) e b (menor). 
 
 
1.3- Modelo Geoidal 
Semi-eixo maiorSemi-eixo maior
Semi-eixo menorSemi-eixo menor b 
a 
DATUM WGS-84 SAD-69 
 a 6.378.137,000m 6.378.160,000m 
 b 6.356.752,310m 6.356.774,719m 
f=(a-b)/a 1/298,257m 1/298,25m 
 
61 
 
O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É 
definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em 
repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma superfície 
regular e é de difícil tratamento matemático. A figura a seguir 
representa de forma esquemática a superfície física da Terra, o 
elipsóide e o geóide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou 
superfície de nível, utilizado como referência para as altitudes 
ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a 
superfície física) no ponto considerado. 
 
1.4 - Modelo Plano 
 
 Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a 
simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida 
dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. 
Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas 
dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na 
prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de 
Levantamento Topográfico) admite um plano com até 
aproximadamente 80 km. 
 
10.5 - DATUM ALTIMÉTRICO OU VERTICAL 
 
Definição: É uma Superfície de referência para as altitudes. 
 
As altitudes podem ser do tipo Ortométrica ou Geométrica 
 
10.5.1 - Altitude Ortométrica (geoidal): 
 
 São as altitudes referenciadas ao geóide (nível médio do mar). 
 Cada região ou país banhado por um oceano pesquisa em sua 
costa lugares onde a variação de marés é mínima 
 Nestes locais são instalados instrumentos que medem a variação 
das marés, denominados Marégrafos 
 Um destes marégrafos é escolhido como referência denominado 
de Datum de Controle Vertical 
 
63 
 
 O referencial altimétrico ou Datum Vertical Oficial no Brasil é o 
Datum Imbituba definido por observações maregráficas tomadas 
na baía de Imbituba, no litoral do Estado de Santa Catarina, entre 
os anos de 1949 e 1957 
 Caso Particular: Datum Porto de Santana, que é referência para o 
Estado do Amapá, tomado entre os anos de 1957 e 1958. 
 Os Marcos de Referência de Nível são transportados a partir de 
Nivelamentos geométrico e trigonométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de transporte de Altitudes 
 10.5.2 - Altitude Geométrica (Elipsoidal) h : 
 São as altitudes referenciadas ao elipsóide (calculadas 
geometricamente) 
 Mudando de Datum, mudaremos de altitude geométrica 
 Obtido a partir de sistemas de posicionamentos via satélites. 
 • O GPS fornece 
diretamente a 
altitude elipsóidica 
referido ao WGS-84. 
• A altitude usada na 
engenharia é a 
altitude ortométrica. 
H: altitude ortométrica 
h: altitude geométrica 
(elipsóidica) 
 
64 
 
o MAPA GEOIDAL 
 
O Mapa Geoidal apresenta as ondulações geoidais. Porém, o 
mapa possui escala muito pequena para fazer interpolação. 
Para a obtenção de N, utilizamos softwares para interpolação. 
No Brasil, o software utilizado para fazer esta conversão é o 
Mapgeo 2010, disponibilizado pelo IBGE. Mas no Brasil o 
modelo ainda não tem grande precisão: 
Absoluto = ±0,5m (em alguns locais o erro pode chegar a 2m) 
Relativo = ±1cm/km 
 
o Conversão de Altitudes 
 
Como vimos, a conversão da altitude geométrica em 
ortométrica é feita pela equação H=h-N. O Problema é na 
determinação de N, pois o geóide no Brasil não é bem 
determinado, pois temos poucos pontos Gravimétricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.6- SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO (SGB) 
 
10.6.1- Rede Altimétrica 
 
A partir de uma referência altimétrica (marégrafo) transportam-se as 
altitudes para todo o território através de linhas de nivelamento geométrico 
de alta precisão. 
 
 
 
 
 
 
k
• 61853 pontos (160.000 km) 
• Iniciada em 1945 
• Referência – marégrafo da baía de Imbituba-SC 
• Precisão relativa melhor que 2mm 
 
 
66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.0 - GEODÉSIA ESPACIAL 
 
 Posicionamento por Satélites 
 
O início ... 
04/10/1957 - SPUTNIK I 
 (primeiro satélite artificial - URSS) 
 
TIPOS DE SATÉLITES ARTIFICIAIS: 
de comunicações 
meteorológicos 
estações espaciais 
Imageadores 
geodésicos / posicionamentos 
 Rede Altimétrica de Alta Precisão (RAAP) do SGB 
 
67 
 
 
o SOBRE O GPS ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
11.1- SISTEMAS DE NAVEGAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NNSS-TRANSIT: 
marinha USA - desativado 
NAVSTAR-GPS: 
USA - em operação 
GLONASS: 
Rússia - em operação 
GALILEO: 
EU – em desenvolvimento 
teste em 2006 
BEIDOU: China 
em operação na China 
geoestacionário 
 
69 
 
o HISTÓRICO DO GPS 
 
 1973 - primeiros estudos 
 1978 - lançamento dos três primeiros satélite 
 SET/1994 - pleno funcionamento do sistema 
 
Posicionamento absoluto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o MEDIÇÃO COM GPS 
Pseudo-distância – código 
Fase da portadora 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 11.1.1- SEGMENTO ESPACIAL 
 
 constituído pelos satélites GPS: 
 
- 21 satélites em operação + 3 satélites reserva (no mínimo 
- 6 planos orbitais com 4 satélites cada. 
- altitude da órbita com aproximadamente 20000 km 
- órbitas aproximadamente circulares 
- período de revolução de 12h siderais. 
 
o com as seguintes funções: 
 
 manter umaescala de tempo bastante precisa; 
 emitir dois sinais ultra-estáveis em frequência, sobre duas 
frequências específicas do sistema L1 = 1575,42 MHz e L2 = 
1227,60 MHz ; 
 receber e armazenar informações provenientes do segmento de 
controle; 
 efetuar manobras orbitais; 
 efetuar a bordo alguns cálculos; 
 retransmitir informações (mensagens ao solo). 
 manter uma escala de tempo bastante precisa; 
 
 11.1.2 - SEGMENTO DE CONTROLE 
 Função: operacionalizar o sistema (“Defense Mapping Agency - 
DMA”) 
 É constituído por 5 estações de controle terrestre, que: 
 registram os sinais GPS; 
 
71 
 
 efetuam medidas meteorológicas e enviam os dados para a 
estação principal que processa os dados e os transmite para as 
estações de transmissão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.1.3 - SEGMENTO DO USUÁRIO 
 
Compreende o conjunto de usuários civis e militares do sistema GPS, 
incluindo : 
 Receptores 
 Algoritmos 
 Softwares 
 Técnicas de posicionamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 Duas frequências portadoras 
¤ L1 - 1575,42 MHz 
¤ L2 - 1227,60 MHz 
Duas modulações 
 Dois códigos 
¤ C/A (Coarse Acquisition Code): Código civil em L1 
 
¤ P (Precise Code): Código de uso restrito 
 
 Y : código P criptografado - uso militar em L1 e L2 
 
 
 
 Navegação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o Tipos de Receptores GPS
 Topográfico
 
73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o ALTURA DOS SATÉLITES NO HORIZONTE 
 
 “cut-off-angle” ou ângulo de máscara 
 recomenda-se considerar apenas os satélites localizados 15º 
acima do horizonte 
 
 
 
 
 Geodésico
 
74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o COEFICIENTE GDOP (GEOMETRY DILUTION OF PRECISION) 
 
Indica em escala padronizada, se a geometria espacial dos satélites 
pode ser considerada boa ou ruim. 
A melhor disposição espacial é um satélite no zênite e outros 
igualmente espaçados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
11.2 - APLICAÇÕES DO GPS 
 Monitoramento de Veículos 
 Levantamentos Geodésicos 
 Levantamentos Topográficos 
 Exploração de Petróleo 
 Navegação Terrestre 
 Navegação Marítima e Aérea 
 Mapeamento 
 Hidrografia 
 Georreferenciamento de imóveis rurais 
 GIS 
 Reflorestamento 
 Orientação de Máquinas 
 Cadastro 
 Polícia 
 Reconhecimento 
 Caminhadas 
 Geodinâmica 
 Agricultura de precisão 
 
 Navegação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.3 – SISTEMAS DE POSICIONAMENTO 
 
11.3.1- Posicionamento relativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Medição com GPS no modo relativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R1 R2 
 
 
 
78 
 
 
11.4 - PRECISÃO POSICIONAL DO GPS 
 
11.4.1- ABSOLUTO 
 
 
 até 02/05/2000: 
+/- 100m (planimétrico) e +/- 150m (altimétrico) 
 
 
 após 02/05/2000: 
+/- 10m (planimétrico) e +/- 15m (altimétrico) 
 
 
11.4.2- RELATIVO 
 
 métrico (+/- 1 a 3m) 
 processamento pelo código 
 
 
 centimétrico (+/- 0,5 cm a 50cm) 
 processamento pela fase da portadora L1 
 
 
 milimétrico (0,1 a 10mm) 
processamento pela dupla fase das portadoras L1/L2 
 
12 - Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo - RBMC 
 IBGE 
 rastreamento GPS contínuo 
 8 estações em 1993 
 
79 
 
 15 estações em 2003 
 20 estações em 2005 
 25 estações em ago/2006 
 Base de operações – Rio de Janeiro 
 Para posicionamento relativo com 1 receptor – o outro é do IBGE 
12.1- ESTAÇÕES DE MONITORAMENTO CONTÍNUO 
IBGE 
RBMC 
Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo 
(situação em ago/2006)