Livro Sistemas estruturais Cascas de concreto Armado

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UNIVERSIDADE DE SAG PAULO 
FACULDADE DE ARQUIl~TURA ~ URB~'ISMO 
'. 
SISTEMAS ESTRUTu1l;IS-II - PEF-604 
================================= 
CAS CAS DE CONCRETO ARMAJO - TEORIA DE MEMBRANA 
Sergio Fracaro1 1: 
1976 
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SUMAlUO 
1) Esfor~os - Tensoes - C1assifica~ao 
1.2) C1assifica~ao do~ Esfor~os ...•..•.••••••••••••...•.••••........ 
1.3) Equi1lbrio dasTensoes em .Torno de Om Ponto •••••............... 
. . '- . . ... 
" 1.3.1) Conaldera~oes Geral.a ~ .1J ••• ~ ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
1.3.2) Estado de Ter.sao ............. ~ ................................ . 
1.3.3) Conven~ao de Sina,is ........................................... . 
1.3.4) Determina~ao das Tensoes •...•• : •••••• .•.•••.•••••••••••••••..••.• 
1.3.5) Tensoes Principais ••.•••.•.•• ,: ••••••••••••••••••••.••••.•••.••. 
1.3.6) Conc1 usoes lc?ortantes ........••...••••....•.••......•......... 
' 1.3. 7) Interpreta~ao Grafica da Equa~ao 4 ..••••.•••..•.......... ~ ..... . 
1.3.8') Detennina<;ao da Tensao Maxima de Cisalhamento ..............•. ~. 
1.3.9) Interpreta<;ao Grafica da Expressao 8 •.......................... 
1.3.10) Linhas Isos tati cas ..........•......••••.....................•. 
1.4) Exe.mp1os N~ericos ................... : ...... : ................ .. 
1.5) Clrcu10 de ~ohr ................... : '.· •.••.••..•..........•.•....• 
1.5.1) Conven<;ao de Sinais Para 0 Circu10 de Mohr •.•...............•. 
1.5.2) Determina~ao das Tensoes a e ~ Num Plano Qua1quer ..••....•.••.• 
1.5.3) Interpreta<;ao dos Resultados do Circu10 de Mohr .....••...•••••. 
1.6) Exemplo Numerico 
2) Introdu<;ao a Teoria das Ca~cas 
2.1) Geometria cas Superficies das Cas cas ......................... .. 
2.2) C1assifica<;ao das Superficies 
2.3) Influencia cia CU:J;Vatura na Capacidade Resis tente da Casca ...... . 
2.4) Gera<;ao de Superficies .......................................... . 
2.5) Principais Tipo~ de Cascas Segundo sua Curvatura •.•••.•..•••••. 
3) A<;ao de Membrana - Tensoes de Membrana - Estru~uras Infladas -
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Membrana de Revo1u<;ao com Dup1a Curvatura ... ,. ...•.......•... 35 
3.1) A<;.ao de Membrana ............•..•.•••••...•.........••..•..... 35 
3.2) Tensoes de Membrana ........... ~.. .•..•...•.....•....... ... ... 35 
3.3) Membranas de Revo1u<;ao - Tensoes de Membrana .. ....••.......... 39 
3.4) Exemp10 Numerico .......•......••••••.••••.•••..•••.•...•....•. 40 
3.5) Membrana Esferica Sujeita a A<;ao do Peso Proprio .•.....••.•••• 40 
3.6) Membrana Esferica Sujeita a A~ao de uma Carga Uniform~ente Di~ 
tribulda sobre um Plano Horizontal •••....••..••...•..••••••• .••• 41 
3.7) Membrana Conica Sujeita a A<;ao do Peso Proprio ...•..•..••••... 43 
3.8) Membranas Estabi1izadas 43 
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II SUMARIO 
- 4) Casca Delga~ a de Revo; u~io com Dupla Curvatura ........ . .. .. . . . 
4.1) Genera1idade s ..... .. .... .. ................................... . 
4.2) Considera~oes sobre as Cascas Delgadas Simetricamen'te Carrega -
das ••••.••.•.••••••..•. : ....•••..•..•......................... 
4.3) Tensoes de ~embrana na Casca de Revolu~ao com Simetria Axial •• 
4.4) Exemp10s Nu::ericos ....•......... . .. ................. . ... . ....... 
5) Cascas Fonoadas por Sup"erficies Antic1asticas - Paraboloides Hi 
perbo1icos .. ... . .. .. .. . . .. ....... .. ................... ... .... . 
5.2) Defini~ao ~.i Super f:ci e em ?araboioide Hiperbo lico .... .... ... . 
5.3) Gera~io da Super-fi c:'e em ?arab01oice Hiperbolico ...........•.. 
5.4) Conscru~io ~ratica : v ''Hyper'' . ....... .. . ...•.. . ..... .. ..... .. . 
5.5) Tip0 10gia ~e Apoios dos Pe:aboloices Hiperbolicos . ... . . .. .... . 
5.6) Fixa~ao da ?os i~ao co Par abol oid e ~o Espa~o ....... ~ ... ~ ....•.. 
5.7) Equa~oes Di:e rencia :'s de Equil ibr io - Criterios de Sinais Usa 
dos no Es t u~o Teor : co ........................................ . 
5.8) Solicita~io nas Vigas de Borda '" ..••••.••••......•.•. ... ..•..... 
5.9) Esfor;os Normais a Borda .....•.•...•.•..••••.••..•........••••••. 
5 .10) Equa~oes de Equi 1 ib:- i o .....••••..•.•.••.•.••.••..••....••......•• 
5.11) Estudo do Paraboloi~e Hipe rb olic~ Sujeito a uma Carga Uniformemen-
te Distribuida - Ap l ica~ao das Equa~oes de Equilibrio ....•.•••••• 
. 
5.12) Exemplo Numerico ••...••..••.••••..•••••.••••.••.•••......•••..•.• 
6) Casca de Concreto A:-mado em Forma de Superficie Conoidal .•••.• " ••• 
6.1) Gera~ao da Superficie Conoidal .•...•.•..•••••••.•••••••.••••••••• 
6.2) Caso Parti ct:l ar .....................•.••••.•.•.••..••.....• • ••.•• 
6.3) Equa~ao Ana1itica da Superficie Conoidal 
6.4) Determina~ao dos Es for~os de Memb r ana na Casca de Forma Conoidal. 
6.5) Exemp10 NUllierico .....•................••...•.•.•........••....•.• 
." 
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95 
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Par te 1 
ESTADO PLA~O DE TENSOES 
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" II~ 
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1) ESFORyOS - T~~s6ES - CLASSIFlCAyAO 
1.1. Generalidades 
Todo elemento que faz parte de uma ~strutura. se acha sob a a~&O de 
"esforsos externos",co~o por exemplo, os oriundos de seu peso proprio, ou da 
aplica~ao de cargas] (ativas) e as rea~oes de apoio (reativas)~e se manifes 
tam sob a formade for~as concentradas, for~as distribuidas ou momentos. Estes 
es~or~os propagam-se ao 10ngo do e1emento estrutura1, de modo que, em qual 
qu~r se~ao que se consicere, atuall for~as e momentos, denominados "esforc;os 
solicitantes" e que correspondem aos que se deveriam aplicar nessa se~ao, se 
o e1emento estrutural ai fosse cortado, afim de nao se destruir 0 equilibrio • 
Quaisquer que sejam os esfor~os solicitantes que atu~ em uma se~ao do elemen 
to estrutural considerado, podem ser reduzidos a um oomento e a uma for~a ' ~ 
plicada no Centro de G~avidade da se~ao (fig. 1) 
f ~O-~7 H, . ' ;' " :IV H 
(fig. 1) 
o momento (F.e) pode ser decomposto em dois outros, ~t eM, situados respecti 
vamente no plano da seTao e no que Ihe e normal e que se denominam "momento 
de torsao M 11 e "momento fletor M." 
t 
A for~a F, tambem se decompoe em duas outras, N e Q, uma "normal a sec;ao" e 
outra contida em seu p:ano, e que se chamam "fonia normal" e "forsa cortante", 
respectivame n::e. A fo:-:;:a normal N, pode ser de "tra$ao" ou de "compressao" 
conformese dirija, da sec;:ao para fora ou vice-versa . 
Aos esfor~os so licita :J. :es aci~ definidos, 0 material do elemento estrutural, 
opoe, para ec; wili'bra- los, os "esforsos resistentes " , que se manisfestam sob a 
forma de "tensoe s". Estas podem sempre decompor-se em tensees situadas no pl~ 
no da se~ao, e se denbminam de "censees de c isalh=ento" e em tensoes 
mais" a esse plano e podem ser de "tra<xao" ou de "compressao': 
1.2. Classificayao dos Esforyos 
A classificac;a'o dos esfor~os que acaba de ser feita, pode ser 
mida no seguinte esquema. 
"nor 
resu 
II 
III 
.,. •• 'Co",·~ • ~ 
...... 
Esforljos 
Externos [AtivoS 
Reativos 
Solicitantes 
Internos 
. "~ 
Resistentes 
r.;) 
[ 
Tra~ao 
Compressao For~as normais 
For~as Cortantes 
Momentos Fletores 
Momeotos de Tor~ao 
.(+ ) 
(- ) 
- .. -:-. ' lCompressao (-) [ I~nsoe~ N.o~is rIra~ao _ (+) Te?so~s de Cisalhamento ou Tangenciais 
-. 
' ObservaCjao: Como se ellui1i-:'ra~ · ericr.~ si erllcada ponto dos elementos estrutu-
'. rais e como se distrib·tiem peles seCjoes transversais para equili... 
brar os ' esfor~os solici~ances ~ 0 que se estuda nos itens seguintes. 
1.3. Eouilibrio das Tensoes en Torno de urn Ponto 
1.3.1. Considerasoes Gerais - Se de um ~orpo qualquer, submetido a 
aCjao de esforCjos externos, se retirar 
um elemento de dimensoes infinitamente pequenas, e sempre possivel-restabel~ 
cer 0 estado de tensao em que ele se achava, aplicando em suas faces esfo-r 
Cjos solicitantes iguais aos que nele atuavam quando no interior do corpo. Es 
ses esfor~os sao equilibrados pelos que 0 elemento opee sob a forma de 
"tensoes", que sao grandezas de dimensoes iquais as de uma pressao, isto e , 
as de uma forCja por unidade de area. 
Essas tensoes variam com a direCjao do plano que limita 0 elemento, mas ficam 
perfeitamen te definidas quando se conhecem as que atuam em tres pIanos pe~ 
pendiculares, ou sejam, as que atuam nas faces de urn elemento paralelepipe-
dico (fig. 2-a). No caso mais geral, em que 0 paralelepipedo e solicitado em 
todas as suas faces,.tem-se 0 "estado triplo de tensao" que MO sera estuda-
do neste curso. 
oj 
(fig. 2) 
Se 0 corp'o tiver espessura desprezivel, de modo que possa ser confundido com 
urn plano e se as forCjas que nele atuam estiverem contidas nesse plano, 0 p~ 
ralelepipedo elementar sera solicitado apenas em quaero de suas faces, opo~ 
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tas duas a duas (fig. 2-b); diz-se que ha, entao, "estado duplo de tensao", 
cujas principais propdedades sao' estudadas a seguir • 
1.3.2. Estado de Tensao - Dizemos que urn plano, retirado de urn corp~ 
encontu-:-se eIQ um "estado duplo de tensaO'~ 
quando 0 mesmo estiver s~licitado, no caso geral', pelas~ tensoes normais r; ,. e 
x 
juntamente ' cis~';'a- t'ens'a'o" cie cisalhament-o ~ .- como se indica na figura 
._" , .', , ~ 
";:""-~ " 
~', 
. • . - 0' . 
(fig. 3) 
1.3.3. Convensao de Sinais As tensaes normais de tra~ao sao consi 
deradas positivas (+); as de compressao 
negativas (-); as tensoes tangeociais ou de c'isalhamento ~xy' 
deradas positivas, quando tem os sentidos indicados na figura 3. 
-sao consi 
Teosoes Agindo em urn Plano Qualquer - De acordo com a fig. 3, 
as tensoes (j e z" sao 
aquelas que atuam no plano definido pelo angulo 6. isto e, no plano 
forma urn angulo 6. com a dire~ao de V
x
' -
que 
1.3.4. Determinasao das tensoes - As tenso es desconheci-
das r; e 6., sao fu~ 
~oes das tensoes conhecidas r;, (, l e do angulo 6 
det~rmina~ao de V e 'z, conside;amo/ a eq~~ao da estatica 
a) Pro j esao de todos os es forsos 'segundo a di resao de r:; 
(fig. 4). Para a 
[F=O. 
o - V. (ds.t)- VCdy.t)sen6-V (dx.t)cos6-C (t.dy)cose-2 (dxt )sene 
x y xy xy 
Da figura 4, tem-se; ' dXKds.cose ; dye ds.sene. 
Substituindo-se e simplificando-se vira; 
Da trigonometria.podemos escrever as seguintes expessoes; 
1 ;cos 2 e- 'I(1+cos2e) ; 2.sene:cose-sen2e. 
Substituindo-se na expressao anterior e simp1ificando-se viral 
r- .!.2( U + (J)- -2l ( r - V) cos2e +Z sen2e 
x y x y xy (1) 
b) Projeejao de todos os esforej0s segundo 
o - C:(tds)- r (tdy)cose + ~ (tdx)sene 
x y 
---",--=-' ,-=--~-----=-----~-
a direCjao de Z 
'X 
+ ~ {tdy)sene - Z (tdx)cose 
xy xy 
, -);. 
\? 
~,-
- . :-
Fazencc-se as substitui~oes como no caso a, chega-se a se~uinte eI?ressao; 
~ " !.( ': - V , sen28 + ~ cos28 2 x y ~ (2) 
1,3.5. ":ensoes Prin c i?2is " - As "tensoes principais", 5ao aquelas 
. que ·correspondem aos valores extremos 
de (), pc. :-a det.e=inadcs va10res de e, isto e, ma~imo ~ e elnimo V2 . As ~en 
soes ()l e V2 ' saO' aenominacias "tensoes principais". P~l:a sua ob~en~ao 
basta derivar em rela~ao a e e iqualar a.z~ro, a expressao 1. Tem-se; 
As solu ~(es des ta equa~ao dao os valores de 8. 
1. 
tg2f, 
1. 
2 .• Z xy 
-' 
v - \ 
x y 
(3) 
(4) 
Os angu lo s 6 . , 
1. 
:: etermina:n os dois "pIanos principais", nos quais at"J.am as ten 
soes principais ~l e ~2' 
Os angu l os 8 . diferem, entre si, de 900 ; de fato, da trigonometria sabemos 
1. 
que; tg29 i -- tg(28 i + 'IT) 
1.3.6. Conclusoes Importantes -
19 - "0 valor maximo ou minim" de G", implica a condic;ao de se 
ter ~ '" 0" (Ver expressoes 2 e 3) e(fig. 5) 
! ',. " tf.-r: 
" 
(fig. ") (Fig. :5) 
29 - "As expressoes 2 e 3, nos mostram que em todos os pontos 
de uma superficie, existirao dois pIanos normais entre si,passando pelo res 
pectivo ponto, subme·tidos um deles a uma tensao normal maxima e 0 outro a 
ma tensao normal mini~. Nestes dois pIanos, a tensao tangencial e nula.(Ver 
equac;ao 3 e fig. 5)" 
-e-
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39 - "Esses dois ~lanos aSSlm cc ~acteri :ados sc0 os chamados 
"pianos isostat icos de :"ame" 0:; "plane s princ i ?ais" os quais determinam as 
chamadas :'dire,0e s pri n:ipais '.' 
1.3.7. :nterpre : asa o G~~fica ~ e Equa,a0 4 Det ermi~a~ ao das Tensoes 
?rincipci s 
Sa figura 6, ap ~ e senta-se uma ~~ terpreta~ao f~ afica cia expre~ 
sao 4. Dela se tira; 
sen2e. 
1 
+ 
... ... 
CASO 1 
V Ux - G;. ( - 2- ' 
"' 1.',- -, • 
~A~O 1 
o 
+ -Z. 
xy 
+ 2 
cos 2). = - -----=------ --
1 
C AlIO 2 
CASO 2 
Substituindo- se est es va 10r es na equa ~a o (1) , vi ra; 
r' _ (V x .. . v ) : . -..; ~: - ,\. . r - \ -r=r ,... 
V1 ,2- 2 . ~ ~ 5) xy 
ou , fina1me:l:e; 
(J. • \J +r, +\) r - r;' I ( X '.J Y ) ( :r. Vy ) 2 + 2 2 , 1 2 2 xy I (6) 
r;2 = (rx+<Jy V ( Vx - fy 2 2 ) - ) + ~ 2 2 xy (7) 
'-
<" 
Estas tensoes principais atuam nos pIanos principais definidos pelos angulos 
6 1 e 62 , ootidos ca equa ~ ~ : ~. 
... 
I 
j 
fl 
---~-'-'--'=-~ 
1.3.8. Determina~ao da tensao maxima de cisalhamento Z 
Para determinar a tensao maxima de cisalhamento, derivamos a 
expressao (2), em rela~ao a e e iquai.amcs 0 zero. Tem-se; 
Resolvendo esta eq~a~ao encontra-se; 
~x - G' ... ) 
2 Z;, . . 
" .~ .. ~-, .... '. - . 
(8) 
-Aos valores d~ 8. , i ados por esta expressao 
. .J '. ' ~ _ 
salhamento ex·tr emo. 
, 
correspondem aos pIanos de 
1.3.9. Int e = pret~5 i~ grafi ca da expressao 8 -
C1 
Na fi g . 7, apresenta-se uma interpreta~ao grafica da expressao 8. 
- \\(C1,- cr, ) 
C.\SO I CASO , 
CASO 1 CASO 2 
(fig. 7) 
Dai se obtemj 
(G' x - V y.) 
2 
sen 28. = + 
J . V Vx- fy 2 -z2 ( ) + 2 xy 
+ 
~xy 
cos 28. 
J 
Vrx 
-vy 2 2 
) +? . 
2 xy 
Substituindo-se esses valores na equa~ao 2, vira; 
(9) 
m 
Observas:oes: 
19) Das equa~oes (4) e (8), resulta; 
tg 28 i 
- 1• 
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.' ., 
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'. 
) 
_:-<t~:..-lo-.-=--
------ ----------
Os angulos 26 i e 26 J, , di£ere= entre si, de 90
0
; os a~gulos 61.' e diferem 
'j 
entre ,si de ~5°, Os ;:anos cc :isalh~ento caximo, em valo~ abso1uco,sao ~i~ 
sectores dos ;:anos ;:~~ci?a~:. 
29) Sub stitu i~~~-s e • • -?~ e :~ s 2E ., 
-- " - - j , na e~~a~ao l, Vlra; 
~ .-. 
- ..:.. 
... - . -..... . 
Esta e a tensa~ fior~: que a~~a nos ?:anos cia cisalhamento maxima ou ~l~:~O. 
(fig. 8) 
' fig.8 j 
39) Somando-se membr o a membro as e~7~essoes 6 e 7, tem-se; 
( 
x 
-,J '"' :O:lstan:e y (11) 
49) Subrrair.c: - s e me~::o a we ~~ro as expres soe s 6 e 7, t~-se; 
1.3. 10 . t1Li n:-.as isos:Gticas"- As envolventes das dire'ioes principais, 
ou melhor, as 1inhas tangentes aos p1~ 
nos principa:' s, re ce:e= 0 no:::e de "::'nhas isostaticas"; Pode-se dizer que 
em todo ponto de uma s~pe rfi c:'e , passaro duas linhas isostaticas, normais en 
ere si, con st:'tuindo 5eu con~ '';:1to , = dupla familia de curvas, tais que, ca 
da curva de '..:::-<:l das :,,:::iliao . :ort a ~ormalme:1t e a todas as curvas da out ra 
fa milia. Asst::: , na ::,~ , 9, es:ao tra~ad as as linhas isostaticas de uma v iga 
em ba lan~o ,isujeita a uma ca ~ 6 a P, eo sua extremidade livre. 
, l!-
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- - ------ - -=--~-----=--____ ~ _ _::.._~e_""'_ _ _ _ _=__~ _ __'__'_____''___'_~'_ 
L 
'ItI[ ......... 
N 
(fig . .-g) •.•. 
Na fig. '10 estao~t;ra~adas.' a's "linhas isostati~as" de uma viga simplesmente 
... .. . ~ 
~ . . '. 
poiad~, sujeita ' a un carregaoento uniforme~ente distribuido. 
_1 
(fig. 10) 
1.4. Exemplos numericos -
1.4.1. "0 elemento plano, da fig. 11, esta submet ido as tensoes que 
se indicam. Pede-se deter~inar: 
a) as tensoes princi?ais e os pIanos principais 
b) as tensoes extre~s , de c isa1hamento, e os pIanos em que 
elas atua1:1. 
(fig. 11) 
SOlu<jao: 
De acordo com as nota<joes anteriores tem-se; 
~ s 1200 ¥~f/cm2 
x 
\ 
Y 
2 1500 Kgf/co l 
xy 
2 800 Kgf/cm 
• 
=e= 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
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• ~. '; 
• 
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• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
- . 
._---
, ---,-
a) Tensoes Principais Ap icando-se as e~~d~oes 6 e 7, Vlr~; 
e; 
r i 1 • -2- ( 1200 + 1500) 
\ 
I 
+ .... ( 
1 
:2 
\ ! (1 '200"1500) 
tg26. 
. 1 
~,. 
V 
2x800 
1200-1500 
(12 00-15 00 )'2 _ 
. :2 
+ 5,33 Dond e; 
-e' 28 2 "" 259
0 
e 8 2 = 129
0 
Para 8=\= 39° 42 ' ,3 eq ud\c-o (1) : ornect.': 
24 , 
42' 
2 1350+ B14:2614 kgf/cm 
2 1350 - B1L c 536 Kgf/cm 
isto 
~ 2 ' -~ 1 = 2614 Kbf / cm ( t:-c~ao)J : ensao ;::-:';1cipal :nan!:",c-. 
Portanto, os pIanos principais e as tensoes ?rincipais sa o as que se indicam 
na figura 12. 
(fig . 12) 
b) Calculo da tensao de cisalhamento maxi~c 
A equa~ao 9, fornecera; 
+ 
A equa~ao 8, fornecera; 
1200-1500 )'2 + 300 2 
2 
tg28. 
J 
(1200-1500) 
2 x BOO 
- 0,188, ou - tg28. ~ 0,188. 
J 
Mas, -tg26.:tg(n- 2e.) :0,188 . Logo; 
':J J 
t , 
\; 
1800 -28. z 100 36' 
J 
29. E 1690 24' 
J 
9 E 84° 42' 
j, 1 
q 
10 
: 
Logo; 13, 2 
J, ::l . 1 J, 
n + _E 
2 
--~~'-'"--. 
- . 
(84 0 42') + 960 - ' 174d '42' 
e e = 84 0 / 2' - 2 Para • '1 ~, a equa~ao ,fornecera; J, 
t- -+ (1200-1 0,00) s~n (1690 24 ') + 800cos(169° 24 i) • - 814 Kgf/cm2 
Considerando - se 0 s e~ :ido ?ositivo, de Z, adotado na figura 3, conclue-~e , 
no caso em questao, que os planos de ·cisalhamento: maximo (em valor absoluto) 
·'e. as tensoes 3 , ten;. ,os .sentidos que se indicam na fig. ~3. 
~ , 
.. ...; . 
-. 1 l!rO ltV""" 
(fig. 13) 
Por outro lade nesses pIanos, atua a tensao normal V~ obtida da equa~ao 
10, isto e; 
1200+1500 
2 
2 1350 Kgf/~ , a qual esta'indicada na 
fig. 13. 
29) ''Um elemento plano, de um corpo, esta submetido a G" - l200Kgf/cm2 
x 
como se indica na fig . 14. 
. 2 G • - 400 Kgf/cm 
xy 
Pede-se determinar ; a) as tensoes normal e de cisalhamento, num plano 
clinado de 300 em rela~ao ao eixo dos x, 
b) as tensoes principais e pIanos principais 
c) as tensoes extremas de cisalhamento • 
• 
4OOk&l=' J.. 
(fig . 14) 
e 
in 
'~ 
" 
• 
• 
• 
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." 
• 
. "" • 
• 
• . •• 
.' 
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:.'. 
... 
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• 
• ., 
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• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Solu'iao 
a ) De .0::: .Jrdo '-~_ expre ssao (l :' :em-s e; 
r .. _ 1_ «( - 0) -
2 x 2 
Fazendo-se 6"300 , resultara: 
1200 
2 
" 
cos28 ~ 2 se~ 26 
xy 
V" • 600 - 600 ' )( OS + 400 x Ja86 ~ 646 Kgf / cm 2 
, ' 
r ,sen 
x 
2~ - G " " ceo:3 " 05x: 200sen5Jo +400xco 5 60e £. 20Kg: 
xy 
(:ig. 15) 
-NOTA - De acor:o com a conve~~ao de sinais adotaci3, essas 
presen:adas na fi g. 15. 
: ens oe£ escao 
~) As : ensoes ?r inc ipGi s ser2 ~ dadas pe1as equa~oe s (s) . 
r 1 ,.... + 
, 1, 2 2 x 
'1 £ 1321 '4, f / cr::. -
tg29 ... - -f~ 
1 Vx 
(x/ 2 
- ~ 2 >..")' 
2 x 400 
1200 
2 6JO \1 2 - 000 + 
C, ~ - 121 Kgf/cm 
2 
-3-" - 0,666 
Logo; 
2 
re 
Os do i s va10res de 26 i ; escao situados no segundo e quarto quacrantes. ~o 
segundo quacra~te, te=-se; 
-tg2 61 - tg(n - 26 1 ) ~ 0,666 
'TT -261 33° ':'0' 
26 1 .. 146
0 
: 0 ' 
61 
73~ 10 ' 
J J 
., ~ 
• ,. '--=: ,. -=--------=-----~. 
12 No quarto quadrante'tem-se; 
." ~ e!":.': 
" ....... ,~ ~'. 
., 
- tg26
2 
= tg(2n - 26 2) '"' 0,666 
2n -26 2 ,. 33
0 40' 
29 2 
326 0 - 20' 
62 163
0 10' 
-Consequentemente.; ~~ pIanos principais sao definidos pelos angulos Et respec-
ti~a.me;;~ iqu-ais a 73"0 10' e 1630 101o'; 'Para. :\ = el = 73
0 
10' e os valores 
de C e Z . a · ~quac;i~ i~~- fornecera: ' 
. x , Y;Y -<> . ... -:-' . - ". 
,.. V = 05 (j' .:. 05 G"' , cos26 + Z sen26 
x 
- ,--, x '-~ ?-' ,i'-' , ":: .:~< _' f:! 
600(- 0 .~J3)+ 400 (0?54) 
. 2 
1321 Kgf/cQ 
Entao .para 9
1
=73 0 10 ' tem-se ~1=132 1 Kgf/ cr: 2 ( t e ns~ o principal de crac;ao ) , 
Para e. = a, = 16:30 10 ' tem-se C; 1 ~ . 2 
2 121Kgf/cm ( tensao ?rincipa1 de compre~ 
sao). como s e mostra ~ a figura 16, 
(fig. 16) 
c) Os \'alores de lom serao dados pela equac;ao (9); 
+ 2 
721Kgf/cm 
Os pIanos de cisalhamento extremo, sao -clados pela equac;ao (8) ; 
_ 0.5 rx 
tg29, -
J 
600 40() = 3/2 = 1,50 
Os angulos 2~j estao, entao, no primeiro e no terceiro quadrantes. Entao: 
29 • - 560 20' 
J 
6 j . l » 28 0 10' 
Por outro lado a equac;ao 
~- 0.5,G' .sen26 + 
x 
Para 6zB ,. 1 28
0 10',' vira; 
(2) 
Z 
xy 
29, 2 J, 
9, 2 J, 
dO , 0 . • 0 
,. rr+ 2o",l=180' -+~' 20-236 20' 
J" 
1180 10' 
fornecera: 
cos29 
2 
+ 721 Kgf/co 
• 
• 
• 
• 
.' 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
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.:. 
• 
• 
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• 
• 
• 
• 
• 
• 
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• 
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• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
--.~~---
------ -------------
Nesses p1a;).)s , a ' : ,, :\5a o nc =al , , cie acordo com a equa<;ao (10), sera: 
-- \ 2 x :,JO Kgf 
2 
':::1 
Na fig. 16. aprese~tam-se ~s resultados obtidos. 
39) 2 itA bar:-a pri s :7. :!tica ce. figu ra 17., possui uma a aa S " 8 em e esta subme 
tioa a. = cs.':::~ .. ; ,o ax:'.:: p = ~. JOO Kgf. De term inar as tensoes r; e 
j: /~ ~--------~s y 
P I ~ :-00 r.;t 
--et--- --- - - - - - - - ,- --
/ 
SOlu<j80: 
1) Calcu 10 de 
? 
S 
x 
-
1-- - --- - -----, -r 
, j// ~--------------~~ 
(fig. 17) 
o 
; .000 Kg: 
3::n 2 
tensao de tra<;aonormal a S. 
2 875kgf/cm 
7 
- no 
2) Calcu 10 das tensoes r; e Z 
t 1,-0 
7 !-
.. • , • Go· I 
C; x <; .' &75 C,t/c.z 
-----'-~ - - - - - :- - -- - - +-....,----i~ 
------__ ...... 1 ~ 
I ~, ., rO 
! (,.0 , 
Tem- se: 
(= Vx+C (-:' r; ) Z 875 875 0 a) c os 2e + sen 28 - - 2- ( OS 6u + 8 
2 2 i: Y xy 2 
(7" .. 875 (1 600 ) ciS (1 _1_ ) - 219 Kgf/cm 2 - cos =--2- - = 2 2 
~= __ 1_ ( t;x -r ) 875 600 + 0 379 Kgf/cm 2 b) sen26 + 
"' 
c0528 
-2-' sen 2 y xy 
Essas tensoes esta o ~ ep resentadas na fig. 18 
" 
(F i g . 18) 
I" 
...:;,.. ... 
1.5) Circulo de Mohr - As expressoes gerais V e "0, que fornecem as ten 
soes no planp def.inido. pelo angulo 8, tem representa<;ao 
grafi.ca ;:;uito sl::!ples, por intermedio do Circu10 de Mohr. De acordo com 0 
que se indica na (fig. 19), considera-se um' sistema de coordenadas once se re 
. ' 
(fig. 19) 
presentam, em abcissas, as tensoes normais e, em ordenadas, as tensoes de Cl 
salhamento. Marcam-se os pontos b(v,?; ) e d«(J, - Z ), em ur.a escala 
x xy y xy 
previamente escolhida; em seguida tra<;a-se a circunferencia que passa pelos 
pontos bed e tern centro no eixo das abcissas. Obtem-se, assim, 0 circulo de 
~ohr para 0 caso gera1 do estado plano de tensoes. 
1.5.1) Convenxao de Sinais para 0 Circulo de Mohr - As tensoes normais 
de tra<;ao sao posi 
tivas; as de coopressao, negativas. Quanto as tensoes de cisalharnento, consi-
dere-se 0 e1emento plano, submetido a tensoes de cisa1hamento da fig. 20. Sao 
positivas as tensoes de cisa1hamento que tendern a gira-lo no sentido 
dextrogiro(sentido dos ponteiros do re logio)e negativas as que tenc~ a gira-
-10 no sentido sinistro~iro. Nessas cond i<;oes sao positivas as tensoes que 
atuam nas faces verticais e negativas as que atuam n~c ~~ces horizo~tais. 
(Fig. 20) 
1.5.2) Det~rminaxao das tensoesC e Z nurn plano qualquer. 
(no sentido 
Para determinar as tensoes (j e . "6, 
\ 
sinistrogiro), em rela<;ao ao elXO dos 
nurn plano inclinado de 8 
x , (Fig. 19) marca-se o 
._._- - --~-;------=---"--"--=---~--..b.."'_ 
.-
• 
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. ~ 
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• 
F 
.. -....:. ' .. 
.. 
angulo 26 ( ~o s en: :do sin : s: r ogirQ ) , a parti r do dia~et ~ o bd cio·Cir=~ ~o de 
~oh~. Os po~:~s e x :: ~~o s de ss2 aia~ e tro re~r~sent 2= as te~ soes ~~s ?la~~~ ~~ 
ralel .:>s aC's ~ :xos ); 
-
y, l S:':- e ' , r;, 
x 
7 e C; ~ xy ' x , ~ ::v 0 =.:,. gu lC' - cc :-
respcnce c~ :iame ::- : e: (::~ . 1° \ 
- ) As coo:-cenacas co ?cr.: ::> . , 5a::> as' :er. 
soes Ii e (; : '.: e a t'.:2-= ~o ?_,,::o def:::idc ?e ~ o angu lo -::(Fi;, ':9 ) , is to e: 
on e 'Z E nf. 
.., 
_~i':5::3') Inn~:>ret a's~: dos r.:sul'tac'::ls Q.p" Ci:- culo ;:e '1on :- . 
.i~-::-·· · 
Se j'a:: . dado s ':5 v.a 10res C-
x
' (y ' e G
xy " que a~uam nas 
ces ' do e1eme:: :o p1a:lo da (F i~. 21 ) . Cons id er am- s e positi;;as as tensoes nor 
:Dais ':2 .~:::;:-02S-:sa:O~ ' 4 .; ·~··ae .C.:E=.::-:2:-:e:::O 52 0 ?.)sici\·2.S ~ua:-.'::2 : 2:1':-2.:: a ;::-~ :- : 
~:e=-e:-.:o n..: !'~1:i cic-·:.-2xt r cg.:.: : ~" negE.. :i vas e:n case c.0n tr ~ ::" o . 
-' . 
xo do s 
( : ig . 
r 
" 
1'£' 
"'-' ------, \ 
' I 1," '-(:~1 1 ~ ~ ~ -;-, 
_. __ ~_u~~~i '·n . 7 f 'W ' 
., 
(L ~ . 21) 
:-. ..:::3 s:.~::.=.a CE: :::- :- ce :: c.:, 2. S cG :-: e zi.a ~ 2s o~: og::-.a:. s, ::::a r ca:n- se 
. ~ (G' ' 
, ... x ' 2 ) xy e d( C v z ). A :- eta ':lei corta xy 
v no ?onto ~, de coc:-~ en adas V'x+V,,-( - ' - ) 
2 
e ze r o , ta l como se indica 
2~ : . 
" -
" 
,. 
: :: ~ . 22 ; 
• f 
os 
o e1 
e.a 
It 
l" 
...... . 
I G 
., 
ji, 
' :t 
_ _ 't.~. ___ _ 
- . 
-~--
o Circu10 de ~:ohr e " que t e:l centro em c e raio igual a cd =V c-k 2 + kd 2 De 
acordo com as construc;oes efetuadas, tem-se; 
cd: raio do circul 0 · r = VB-(t -G)] 2+ l2 = cg=ch"'cl"'Cm 
. 2 x y xy 
Da, figura; 
cj z ck = 1 . k = _1_ ( ( V x) -2- J 2 y 
Logo; 
OC "' _1_ (~ .+ V ) 
2 x y ~ 
....... 
.( 
1 . oh _1_.( c- -+.r ) 2 ' x. y + V[-+< ~ x 
-.Vf+- C (x 
r ) 
.. Y ] + ~/' xy 
.. .. ~: . .... . . ... ~."- .. 
• III> ":; • • ::. 
'" og .. _1 (r: ~ . x + C ) y (J y) ] 2 + z.2. xy 
.... 
, 
Conclusao; o~o.n-t o s - h .e g represen~am. r_~.~pectivamente, as tensoes princi -
pais ~l e ( 2 ' de ac ordo .com as ~xpressoes vistas anteriormente . 
Por outro l aco , de zig. 22 , tem-se; 
-tg -"'" kcd = 2(V -V) 2 ~ xy Esta expressao, coincide ( V x - ~Y) y x 
com a expressao anceriormente ja 
tg28. 
~ 
v i sta, isto e; 
Uma rotac;ao sinistrogira, de 29., a partir do diametro bd(correspondente as 
~ 
tensoes que atuam nas direc;oes x e y), conpuz ao diametro gh correspondente 
aos pIanos principais. 0 plano ,principal esta inc1inado de 8 i em relaC;ao ao 
eixo dos x. 
o raio do circulo de Mohr valera: 
r= (; 
m 
ry)] 2. + 7 .2. ( _ V u tensoes extremas de 
, xy 
Conc1usao; 
19) Os pont o ~ 1 
-"'" 2?)P angulo dc1 
. c isalhamento) 
e :l repr e s entam as tensoes extremas de cisalhamento. 
o . ~ 29 .; di! ere de 2 9 . de 90 ; portanto, os ' angulos, que 
J 1 0-
respondem aos ? 1anos ce cisa1 hamento extrema, sao de 4S , em relac;ao 
planas princi pa i s. 
cor 
aos 
39) Os pontos e e f, correspondentes a urn diametro qua1quer, que faz a an 
Mas; 
gulo 28 com 0 diametro bd, representa as tensoes q~e atuam num plano 1n 
clinado de aem relac;ao ao eixo dos x. 
De fato; 
G'", oc + en ., _1_< r + (J) + (cOcos (28 . - 28 ) .. 2 x Y ~ 
1 r + () + (cO (cos 28 . cos 28 --( +sen28 . sen28 ) 2 x y 1 ~ 
LL21 «( _ C )] 2. +-/ f2 x y xy 
• 
sen26. Xl:: 
1 V [ 1 j= 2 -2-( ex -0"y) . .. 6xy 
1 C- .,.. \ 
'2 x 
cos26 . 
1 V [+( , 2 r; .. z X .v xy 
G"=~«( .. () 
2 ' x y 
_1_ ( v 
2 x V) eos26 .. Z senZ6. y _ xy 
Est,a ult:ma e~:?::.eJ.sao :oinc'ice : .)ni a - ~:-_~'erio:-::ente vi sta. 
Por outro l ;d2.,~~~ ord~ :'ada- do :::-. co =, e; 
0= nf = (cf )s~~( :?9 . - 2:: ) = cf) ( ~e~:? S .cc~::: - cos29 .. se:-.2S) 
1 1 1 
Substitu:ndo-se " s e>=?:-essoes :~ cf, ;en26. e cos26., vem; 
1 1 
0= 0 . ::os2 9 - _1_ < r; -G ) ;-=:-. 22 
xy 2 x y 
Esta exp:-es s;o : o incice eom " i~teric:-=ente ~is ta. 
1.6 ) [xemple ~ume:-ieo - 0 -=: emen:o plano da (fig.23). esta sub~etido as 
te~ soes ~u e ai se indicam. Pede-se dete rminar; 
( :' ~ g . 
a) as tensoes prineipais e 6 5 planos principais. 
b) as tensoes extremas de c isalhamento e as pl anas em que e1 as oeo rrem. 
SOluc;ao; 
De aeord o com 0 q ~e se i~~ic a na ! ig . 23 e a convenc;a c ado tada tem-se; 
V 1200 k!;:/em2 
x , 1500 k~:' / em 2 y 
k;s!/cm2 b as Z = 80.0 fa ces pe rpendieulares ao elXO dos xy x) 
~= -800 " ~ :' I em ' :l a s :.a.:.:.:,:; perpe~cicu:a:-es ao eix~ dos y) 
- -- -
----J 7 
... 
.... 
.. 
... 
----~------=--~ 
II! II 
. 
. 
II 
~ 
. . 
Na(fig.24) e apresentado 0 ~ ircul o :~ Mohr, tra~ado a partir dos ?ontos b 
(1200;800) e d(1500; - 800 ) . Adrniti:u que ° tra~ado houvesse sido feito ern 
escala, .res';lltaria; 
26. 
1 
6 . 
1 
2164 kf : l cm 2 
536 kg :"cm 2 
, ')' ..~ 
Da fig. 24, "I'"e5ulta que"1J angulo"1 = 39°::'2' corresponde a (jl= 2614 kgflcrn2. 
Tern- se en t..~~g"s; pIanos pr inci p~~ .:e~.!,s .,censoes correspondentes, que se .ind i 
cam oa (f 1. g. i 4 ) 
~ . 
-t---.--" ~ 
Et\1Icg.;cm: 
.. 
(fig. 24) 
o ponto 1 e 0 que corresponde ao cisalhamento maximo ; 
Da fig. 
tern-se 
7: ,. + cl = + 814 kgflcm 2 
m 
24, resu1taria; 2° = 169 0 2:' e 5. = 84°42'. Para esse valor de 
J J 
o positivo; atua no sentido dextrogiro. 
(a) (b) 
(F ig. 25) 
.' A tensao normal, nesses pIanose ; 
G' - oc = 1350 kgf/cm2 
e, 
Os pIanos de cisalhamento ext remo e as t enspes , que neles atuam, estao indica 
,gas na fig. (25 b) 
• 
• 
• 
• 
· ~ 
• 
• 
• 
• t. ~ ., r 
.• ;. ~ . ~-. '~=-
' .• 
• 
• 
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•• 
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• 
... 
.... 
« ..... ~ , .. 
," ....... ~.' .. 
.. •. . -: 
.-- .. ..., .. 
Par::: 2 -
- -~-----.;..: 
.'; . 
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!:i>. 
. " 
.. ...... 
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, 
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• 
• 
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• 
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• 
." ., 
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. 
..... 
2) Ih'TRODUyAO " TSORE )1-.5 c.:"~: ,:,,S 
2.1 Geometria Cos Supe:flcies ~~s Cascas 
Afim de ,~ t~r u= ::Jelh () ~ ~,(endi=,en to c::: comporlamentc estrut ural das 
cascas, veja~cs algumas propr :~~ad es geometr:cas de suas superficies. Estas 
propri edades ?=:en ser civicii:~s em cuas cat~g~rias; 
a) "Proprieda "s Locais" - as c;:.:ais se referem a forma da superficie nas vi 
z~-",-.o'IC;:l5 i::\er.i a:~ de u:n ponto da mes::o.a . 
b) ''P1''dP'rtedaoci'es -G~'r"ns '' - as ' " '';.l is se refe:,,::J a for:.:a da s:.:perflc:e 
urn : Jdo . 
como 
Consi dereftos ' '~~~oi'<itt' Q'- s3'S~:-r~ 's:.:?e.dir:c e (fig. 2 .1 ) -= plane tangente 
a mesma no p~~;~; 
~-
, 
1 
Heclo 1I0P.1t.I.I.. 
I ~'VJ 
;FIG.2.1) 
19~ A perpe n~:cular a~ plano :angente no ponto 0 
superfici;: :10 po,.:~ 0" . 
z: 
chamada "normal a 
29) As curvas sob re a s~?er!~:~e o~tiC:as pe:as int ErseCC;~!s de planos pEr 
pendiculares ao p:ano tan~ente e con tendo a normal no ponto 0, s~o cha 
madas de "se ~:;e S no:-::,ais" de. ;uper:icie . 
Consideremos :.:= si ste=a de e::~Js coe rd enados conforee (:: g.2.1). A sec~ao 
normal, corta~a por :.:= plane :.odo, e a curva z = f (x) sobre a superflcie. 
A inclina~a o = tg ::~a 1.._,." Z = :: (x), :1:.::n ponto PI ' de coorcenadas 
x 
(Xl' O,zl) e chamada de "L'1cj,:::la~ao da Superficie na Dire~ao x no Ponto Pl ", 
e e dada pela seguinte rela~ao; , 
m • ~z J X ClX (1) 
oode; z= f(x,Y) repre senta ae~ua~ao da superficie. Por outro lado, a incli 
Da~ao da superilcie no pont o J, e zero, v:s to 0 eixo x , ser ta::lgente a cur 
2 J 
• 
• 
va. A ' vari~ao da i:1c lin a~2':> m ,no ponto 0, e chamada de "CURVATIJRA 
x 
SUPERFICIE NA DI RE<;AO X NO PO NTO ", e e dada pela rela<;aoj 
(2) 
y - 0 
Consequenci a ,s: 
DA 
19) Quando c 
x 
for ?ositivo, 
-...~ .. . 
a curva z s f(x) e concava para 0 interior, is 
" .:. to .. i .? , -:,~.a dire~ao +' z. 
.. ". 
. - ' . 
29) Qll'Ilncrc; ¢x' for- nQ;gativo, a curva e concava para 0 exterior, isto e na di 
re<;ao - z. 
39) Quando ~'~O ' , 0'2 ,curva ~u ' e ~ uma " linna" r e ta" o u a $.ua curvatu ra, IlIUda 
de -'" (i')' par.a ,-(-) , ~e "_s.t ~ ' ,ca.so ~diz-se que ela tern urn "ponto de inflexao", 
_para x = 0 (lfg: 2.2) . 
~ r z 
c,>O ',<0 "cO 
(fig. 2.2) 
Um pequeno segmento da curva z = f (x) nas imedia<;oes do ponto 0, pode ser 
substituido aprox i maciamen te j o r um area de circulo de raio R , (fig.2.3 ) , 
. x 
chamado "CIRCULO OSCULADOR" A mudan<;a de inclina<;ao entre ° e P .• e 
l 
t. m ii (l- 0 ; ex • 
x 
Para a 
Portanto a curvatura e dad a ?orj 
C :.: 6mx a 
x- -;;;- R a 
x ' 
. ' , 
pequeno, a distancia OP vale; 
1 
(3) 
(4) 
O~ ' 
ClftO.ll.O oscuu.oo" 
z 
(fig. 2 . 3) 
~-----""::""-'-~"='-----=---'----" -'-"'-' - '- " -:: .. :.:::-=-" 
" 
" 
,) 
,~ 
• 
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• 
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• 
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• 
.... 
" 
... 
! ' 
---- - ---
(fig. ~,l); ;:,:~a; 
~ .. " " . ., " . .,. :' '1......... ;... 
[ 
A varia<;ao dE::: , 11,'; ~ j r~ (:;.: ':' , no 
v . " 
P.a ra, ~ .p.:~U~0i~~1; : ," '_'~', ;c i :: 
..... cun'a t UT" a- ;-. ~ '3 i I"~~ <i"o y" f\O 'P()/l\'t.D 
"." 
Cy .. ::.y ~/ -
0, sera 
x =o 
y=o 
y 
: oJ a 
x, :i': ponto J " 
1 
( 5) 
p0r ; 
(6) 
Esta ultima eX:l:-essao, r eprese:: :a a "Curvat ura da SUDerflcie :ia di:<::8:o v :10 Dont o 
0". Analogame~j :e c e;) in-;e: o:) do "ra io de C"' R"A~"o." R , :io circ-.: l o o~cu ado!:1a 
dire<;ao Y, ~ogo ; Y 
49) Ct;rvatur~ : : :si on:;:- ( ": '.: :ST') - ; o~ 5ider ~~,.:> s ~::' pont o p~ , so:',,: _~ cun'a z= '-" 
e a Incll::a;ao rnx : ~ , da S~?e rflCle na Cl re~ao x, no ?::iCO P2 ( : 1g . 2.L ) . 
A ::t.:can:;.a :-2 ~:1 C: ::-._';30 &m", q:Ja:::O a meS"":".2 
LIn =) , - : = 'j : . . !J.. d·s :~:- : ':a : ?')p3rG , ...... 
x • 
se desloca :~ 0 pa:a P~, ~; 
angulo e,, ~~:_eno ~ :' sualaA.=R .. 
.- y 
A curva:~:a te:5i ona! :a supe:~:' .: ie :10 pon t e J , e por def:.~:.;ao ~a~a por: 
t 
xy 
~ m 
x 
6 y 
( 8) 
\; I 
, , 
De acordo com a fig. 2,4 , tem-se 0 si ~nificado fisico da Cl! :~atU!a : o!sio~al ,isto e; 
6m ~ J 
.. 
_ t __ = __ x_ , __ ----1-________ ' 
xy !:>y ",.R R 
i xy xy 
(9) 
'It 
" 
'-
:! : 
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24 
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.. 
x 
~-: ... rr:"4· 
.-:.. ... ~-::~ ~ -'~~.,. ... . 
.: ....... . 
~ ... -.: ;..:j:.~ . 
. --
z 
(£'.3' 2.t. ) 
Ha Guas dire~oes ortogonais entre si, para as quais a curvatur~ adquire valo 
res m2x imo e mi'niillo respectivarnente; sao os chamados "valores :>:-incipai; de 
curvatura Cl~2~ no ponto cons iderado. As dire~oes nas quais eles 
ocorrem sao charnaC:zs de "ciire~oes principais de curvatura" Por exemplo, no 
topo da cupula eliptica (:ig. 2.5), as curvaturas principais ocorrem nas di 
re~oes do menor e ma~or semi-eixos a e b, respectivamente; assim a maxima 
curvatura Cl "Cx e a minima 
z 
(fig.2.S) 
c y 
No topo da cupula eliptica, a incli na~ao, mx E ~ • 0, e pe~ 
nece QuIa, quando a curva 1, se desloca ao longo da curva 2. Analogamente, a 
inc1ina~ao my " m2 " 0, no topo da cupula, 
va 2, se desloca ao 10ngo da curva 1. 
e permanece nula quando a cur 
• 
• 
.." , ' 
" . . ' 
• 
•• 
• 
• 
• 
-... ~---
~--. 
2.2 - ClaS5~!icas~c ~as ' Su~erficies 
As superfIcies sao classificacas em 3 categorias distintas cie ac c=do 
com a ' varia~~0 dc' s ~a cutva:uta em :oino de urn ponto; 
19) Quandu a ~u rva:_~~ em ~= ponto ! o r de mes mo si nal e~ todas ~ . dire~oes ,a 
superfi c~e e c:-.a::<ad a ce "SP;C' ~.::TlCA" naq uel e pont o . }Oes:= t i po de 
-
supe:-:ic ie, as cur":",:uras ~:-~nci~~~,s~.('''l _' C2 ,t f' em 0 mesmo sinal e seu pr~ 
I!uto e positivo, 'Visto que tii e ;ulo, isOto e, t12 O. Logo, te=-se a 
.. .. 
Condic;ao ;"'W;4 :" ~ ~ > 
~'", 
, ., 
K . "Ci" C
2
> 0- ," ou 
.. K 1 =-.-
R 
' J 
.... . ~ . - _. 
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I ,· 
~~ 
Rl :R2 
o 
(9) 
o facor "r-; = C C - t 212 ,· e cha=ado de "I!ID I C::: DE C ''''·' . .I,TL-RA , 1 '. _ 
superficie. ~o po~: ~ consi~ erado . 
GA 'S::- " , da 
,29 ) Quando a curvatura num ponto cia superficie e positiva numa : erta c:re~ao 
e negativa :-.a outra, a superficie e chamada de ".;I>"TICLASTICA" , :10 pon:o con 
siderado. Seste cas o tellrse; (1 > 0 e (2 < 
K o 
< 0 ou 
I 
ou 
O. Logo, 
(10) . 
Portanto, "Curva : ura (a_"s i ana ~;e gat iva ". Exemplo:Paraboloi:e Hiper-'olico 
(fig. 2.6 ) 
(fig.2.6 
*. 
I 
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26 
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'. --' 
39) Quando a cun'atura num ponto da superficie for positiva numa dire~ao e 
nu1a na outra diresao, 'a superficie e chamada de "Superficie desenvo1vi 
vel" Logo, para este tipo de superficie, tem-se; 
-
[ K _1_ . - 0 1 ~. R2 (10) 
As super fl~"ks:'~.e5envol\·iveis possuem "Curvatura Gaussiana "nula. Exemp10 
"': ,- " 
'. 
(fig. 2.7) 
Note-$e que neste caso um raio de curvatura tem valor infinito, isto e,R~~. 
2.3 - Influencia da Curvatura na Capacidade Resistente da Casca. 
Para se tei uma ide ia da importancia Ca curvatura na capacid'ade resis 
tente da casca, basta considerar por ora, a seguinte expressao da ''Teor-ia de 
membrana" para superfIcies de revoluc;ao; 
onde; Nl e N2 
(fig. 2.8) 
+ 
sao os esfor~os de superf[cie 
"t ig. 2.8) 
P 
r • (11) 
e P , a carga extern a radial. 
r 
p 
, 
~~ 
;; ,. 
! ... ~ 
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'" 
• 
- , 
BIBLIOTECA 5973 
Assi~, se 0 indice de c~rvatu ra e nulo, a absorsao das forcas 
... 
." 
- ' sera me 
nos eficiente que nas cascas de dupla curvatura . Isto pode ser 'visualiz8do 
facilmente (fig. 2.8), pa is se t:Jla das curvaturas '_ '_1_ au 1 for nula. 
~,R'l R2 
a distribui~ao cia carga radial ~xterna sera ma1S restrita. 
Pode-se dizer q~e a capa~idade :ara resistir cargas de lima c~sca de indice 
de curvatura nulo, e menor que a da casca de dupla curvatura. Conclusao; 
as cascas de la curvacura sa: mais eficientes ue as de curvatura sim le~ 
esta asser~ao, t'clem ac~a-se co=;>rovada, pelo ' fa to de que 
ca de dupla curvatura pO'd'e-'se co:,rir grandes espa~os. 
2.4 
- Ger.~J~, #uperfi~,ies 
somente com cas 
~ -.,.:;: . ~ '. :~"' ~"'': 7'" 
'A maioriia e-as..,superf1cles 'i;eometricamente definidas, usadas nas estru 
... 
turas em c~sca." sao gera:as pO.r ' '.::::l dos ;>rocessos basicos; a rota<;:ao ou tran; 
de urna curva. 
No primeiro processo , a :~rva gi r ando ao redor de urna linha cnamada 
I 
I 
I 
I '~ I : . " J '-
J ~,", 
I ~ ~;:--:,: 
__ ....... I_/~~. --=~:Y ~ X 
!~ 
y z 
(fig. 2.9) 
" . e1XO 
No s~gundo processo , a c~rva t:anslada-se paralelamente a si mesma, apoja~ 
do-se constanteoente nu=a curva di retriz, gerando as "Superficies de Trans-
1a~ao " (fig. 2 . 10 ) 
-
(fig. 2.10) 
, .. "! 
..... 
~l 
J 
... 
... 
----"'.' 
, 
f •. 
28 Quando 0 eixo da superficie de revo1u~ao e vertical e a curva intercepta es 
, 
te ~ix~, a superficie e uma "cupula" 
A curva de revo1u~ao e chamada 'de "meridiano",e 0 plano que . 8 contem e cha 
. mado " plano meridiano " da superfil=ie. As sec~oes horizonta~s sao chamada~ , 
de "paralelos". (fig. 2.11). Os meridianos sao pIanos de curvatura princi. 
pal, visto que nao ha mudan~a de inclina~ao horizontal dos paralelos,quando 
~8tes s:_ des~~c_am ortogonalmente aO . longo dos meridianos; seu raio de cur 
Rl ~o. p~ntoP, e um dos raios ·principais de · curvatura. A segunda . 
dire~~o .?~1ncipa1 .de. curvatura e p~rpendicuiar ao meridiano: o ' corresponde~ 
£e ... r~o-tJ.~~curvatura R,2', contido num plano normal ao plano meridi'ano-;-e 0 -
't" ',,' 
\ 
\ 
\ 
. -«Il!O 
\ 
(fig. 2.11) 
raio da esfera tangente ao ponto P'. 
U11:,.'" TA.HGEH'n til ,.-
Par outro lado, R2 e a distancia ao longo da normal a superficie do ponto 
P', sobre a mesma, ate 0 eixo de rota~ao. Qualquer curva pode ser usada como 
meridiano.(fig. 2.12). 
Ib) lel 
(d) Ie) (t) 
(fig.2.12) 
Assim; 
19) Um circulo usado como meridiana gera uma "superficie esferica".(fig.2.12a). 
29) Uma elipse usada como meridiana gera um"elipsoide de revolu<;ao"(fig.2.12b). 
_______________ .....oIJIiIiiii:il:jl. 
• 
• 
• 
• 
39) l'wa para~ ~ la usada como ::!eridiano gera urn "paroooloie,: de re"·;)luc;ao". 
(fig . 2 . 12.:) 
49) . lJzCl h i pe ~:-.' l l! usada como ;:;eridian6 , gera urn "hi "erbolc:'.:ie de :evol'uc;ao". 
59) l'- ' r e t ., ~..l r a l e l :! ao elX0 d e re \'J luC;ao , uS3da 20mO me:-:'diano , gera uma 
"s upcrfi .: :' e c i lindrica". \, iig. 2.12 £.) 
69) l'=a ret .! : :1c li n", ':a em r ,, ~ a ~ao . a o eixo d e rota<;a;),sem- :'::t erce?:ar 0 ::lesmo, 
usada como meridiano ., 
79) ~~:dJ:t~;~Z~: 
gera urn ''hiperboloide de revoluc;ao".(fig. 2.l2d) 
t~:~" ao !c e ixo de rota<;ao, que :'nterCE?ta 0 me~mo, 
g.t;;:s '.ullla· "superficie cor:.ica". (fig. 2.l2£) 
. ..., -' . ' 
Note- se que c3 superficies (a) , (b), (c) , sao sinclasticas; (e) e (f) desenvol 
vi ve i..s "::$, ~~ d ' . ~ ant i .:: , "'~ tic a . .. 
5e a cc"~;a rr.-;;:~·:J i.a~· .. :~·r· re;- :-.=:;e ntac a no plano (x , z ) , pela =quac;a o ; z=f(x ) 
y 
(fig. 2.13) 
rotac;ao, a eq~ac;ao da superficie de revolu"ao em coordenacas cartezianas,s~ 
ra; 
z = f (\j } ... / 1 ) 
Uma su?erfici e ~ gerada por tran.slac;ao, quand o a curva plar:a 1, se desloca 
per:: a:1eCe;-,~:· ? aral e:'a a 5i ::1e sma, soore a Dutra curva plana 2, c sua1mente 
p er p e n~ : cular a ? r lmelra . (fig . 2.1 3) . 
Vis to c.:..e mui, as cornbi::a<;oes c:: cur \,2S pod c!:] ser usadas, u=a grane e v arieead e 
de supe r f i c ie s ?odem se r ob ti eas por .~ rans1ac;ao. 
Trans l a c: and o- s E: a c urv a pl a na : , sobre a reta 2, obtem-se superfic i es ciliE!, 
dricas (c ir cu:ar, e l ip r ica, ca : enar ia , e t c , ). Tran5:adand o-se uma parabola 
, com curva~u:a interna, sobre a outra parabola 2, tambem com curvatura 
ioteroa,obtenrse um "paraboloide eliptico", cujas secc;oes horizontais sao ~ 
lipses.(fig.2.14) . 
Parabola ' 
(fig . 2. 14) . 
-
1.1 
Ii 
1.11 
t 
:1' 
.. ' 
.' 
.' 
" 
~ 1 
:'! 
,.' 
" 
- -
----~-
30 -thDcl>ara-b-o-la 1, cOlD---curvatura para dentro, transladando-se sobre outra par~ 
bola 2, com curvatura para fora (externa), gerara 0 "Parabo1oide hiperbo1i-
co" (fig.l.lS). 
Parabola 1 
,. 
~ 
~ .. 
-e .. · 
-:- ... , - . ~ 
_ ... .... .. . 
(Jig. 2.1S) 
Se a; eq,ua gXs. das .duas curvas ortogonais forem; z = f1 (x) 
qua~ao da su?erficie de transla~ao sera: 
(13) 
2.5 - Principais Tipos de Cascas Segundo Sua Curvatura. 
De acordo co~ 0 item (2-2), os principais tipos de cascas, segundo sua 
I 
curvatura sao; 
'a) Cascas com "Curvatura Gaussi"ana PositivJtsuperficies sin<;lasticas) 
l)Esfericas 
a.1) Cupulas de Revolu5ao 2) Elipt1cas 
3) Parabo1icas 
a.2) Paraboloide E1iptico 
b) Cascas com "Curvatur~ Gaussiara Negativa" (superficies antic1asticas ) 
b ,I) Paraboloides Hiperbolicos 
b.2 ) Conoides 
, ) Cascas com "Curvatura Gaussiana Nu1a" (superficies 'desenvo1viveis) 
c.1) Cascas Ci1indric~ 
c.2) Cas cas Conicas 
• 
• 
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• 
• 
• , . 
• 1 
:1 
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• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
t -I 
I 
I 
... 
- - ---:;.- .--:.---~-~--
Abaixo estao representados c:guns exemplos correspondentes as 3 categorias 
acima. 
.•. :-: .. 
Paraboloide 
PARABOLOI C E 
... 
EliPTICO 
Paraboloid~ 
hiperb6licos 
.,. . 
3 J 
I 
.' 
.' . 
- ~-. 
. ..".. ," 
-.. 
--.. 
-t .. 
' . 
Parte 3 
A~AO DE ~ffiMBRA~A - ESTRUTURAS INP~AS 
MEMBRANA DE RE\'OLU~AO COM DUPLA CURVATURA 
. - . - .' 
- -.- - - - -- ----- ---
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•• 
3) M;XO DE MEMBRANA- TENSOES DE ~lliBRANA - ESTRtrrURAS INFLADAS - MEMBRANA DE 
REVOLU<;XO COM DUPLA CURVATURA, 
3.1 - "A~ao de Membrana" 
A "membrana ideal", e uma limi:la muito delgada comparada . com suas ou 
tras duas dimensoes laterais, e na qual so se desenvol'lem tensoes normais e 
tangenciais .. De fato, chamando de h ,a espessura da mesma, sabemos da "Resis 
tencia dos Ma·teria~s", que sua rigidez flexional por unidade de largura, e 
d~O .. ~da . ~:~ac;a~ E ~ '" E [l~~~-; or~, para h SUficientemente pequeno, a ri 
g1dez fl~1~~1il e Dl.ato peql,lena tambeLl ., podendo ser desprezada ; 'consequen-
temente a flexao e ,forc;a cortante, se.Tldo proporcionais . a . rigidez desa 
par.ecem~ .Em outras palavras, embora a membrana seja um elemento estrutural 
bi-dimen~ion~l, stla~!ac;aa. d; .p-iaca'; e desprezlvel,. visto a mesma nao 
sell'tar rigid-ez 'a fl,e.xao. -~~'. 
.. . - . 
apr~ 
A resistencia a compressao de ' = membrana, tambem e aesprezivel, VH 
to que, devido sua pequ.ena espessura, so pode resistir tensao de compressao 
muito pequena. Portanto, uma membrana ideal pode somente absorver as car gas 
externas, atraves de tensoes internas que fte desenvolvem em todas as dire 
c;oes da mesma; consequen temente so po~em ser co nstruidas com materiais que 
resistam bem a tensao de trac;ao. Esses materiais incluem. folhas de metal, 
concreto protendido, armadura plastica, tecidos, tais como "nylon" ou "fi 
ber glass". 
o mecanisme de ac;ao de membrana, e equivalente a ac;ao de urn cabo, tra 
balhando em duas direc;oes;' 0 qual aoscrve as cargas externas atravez de 
tensoes de trac;ao. Por outro lade, devido a seu comportamento bi-d.imensio 
- L. - f' nal, as membranas nao sao 1nstaveis como os cabosj sua orma pode ser sem 
pre uma "superficie funicular" de urr. carreganento, como e tambem 0 caso dos 
cabos. 
3.2 - Tensoes de Membrana. 
A estabilidade propria das m~~anas, deve-se a sua forma geometrica 
e ao tipo de tenso es que a mes~a de se~volve sob a aC;ao das cargas externas. 
Assim, consideremos un elernento reta~gular de lados a e b, paralelos aos ei 
xos x e y respectivawente , c ortados :'.e uma ce.:ilirana curva, de raios de cur 
vatura Rx 1. e Ry= 1 e de curva:ura t orsional txy,nas direc;oes x e y . 
(F ig. 3 -1 ). ~ ~y 
'Sejam: 
1) q - carga uniformemente distribuida por unidade de area. 
2) p - componente da carga q,nadirec;ab .negativa normal ao elemento conside 
rado. 
As forc;as que atuam nas faces do elemento sao 
3) Tx'" tensao de trac;ao por unidade de comprimento sobre 0 lado b. 
4) T '" tensao de trac;ao por unidade de comprimen to sobre 0 lado a. y 
5) S = Q = tensao t~ibencial ?or u~:dade de comprimento em todos os lados 
do elemento (Fig. ·3 - 1;- b ) . 
35 
r 
.' 
" ... 
,.. 
.. ' 
----------------------------------------------------------------------------~~----------------------------~~ 
~. ' 
-, -
.. 
)' 
-, 
.. ) . ..;. 
( Fig. 3 - 1 
.., - ~ 
· 50 . -
(c ) 
b 
"'-T..a r 
Note-se que T , T , S, tc:~ dimensoes de for~as por unidade de com 
x y 
priment o , isto e, tim; kgf/m; g/crn; etc ... 
29) As ten soes tangenciais S, agem no plano tangente a membrana, e na 
ausencia de fl exao , elas se distribuern uniformemente atravez da espessura da 
membrana, ass im como Ix e I y ' respectivamente. 
39) As tres "tensees de membrana", T , T - e S, podem ser 'det.erminadas, 
x _y 
considerando-se 0 -equil ibrio das cargas no elemento considerado, nas dire 
I ~oes -x, y, z respectivamente. Portanto, seu conhecimento nao depende de ne 
nhuma considera~ao da deforrna~ao elastica da membrana; consequentemente as 
"tensoes de membr ana " sao" es tatica::ente determinadas'.'. No caso de se dese 
jar considerar tambem 0 efeito de, flexao, entao devem ser consideradas - tam 
bem as deforma~oes elasticas da membrana , passando a estrutura a ser " es 
taticamente indeterminada. " Note-se que os esfor~os Tx e T , - absorvem 'as 
- y 
cargas atr ave z de urn mecan i smo que podemos chamar de "efeite-cabo em duas 
direcrees". 
Por outro lado, si a e b, sao pequenos em rela~ao a R e R , entao os 
x y 
angulos 6 ( Fig. 3 - 1 ) . - suficientemente ter-se-ia; a e - a sao pequenos e 
- 6 ' ; 6. sen · a = a e sen 
Os lados a e b, nesse caso pode~ ser tooa dos aproximadamente como ar 
cos de circulo, isto e, 
a ,. a • R b 6_. R 
x y 
As resultantes na dire~ao z, das tensoes de tra~ao sobre os lados a e b, 
sao iguais respectivamente a 
(Fig.3-1-a) 
2.T .a. sen 6/2 .. 2.T .a. y y 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• e 
-e··· 
-
• 
<-
'. • e 
• 
• 
• e 
• 
• 
• 
• e 
• 
• 
• e 
e 
• 
• 
• •• 
• 
• 
• I 
• I • • 
• :} 
> , 
.. '\" 
Par outro lado, podemos escrever; ( .1:: _ 0 
p' 
-
_ p' .ab + T • b. a 
' x ~ 
+ T • ba • 0 
Y R 
y 
p'. ah- 'r~. ~ +- ty. ab au 
R. R 
x .y . 
Ix T C • T .T + J. ;. + c 
x x y Y 
R", 
-
Y, 
.'" 
( 51 ) 
.. ,, -. - . -
Do ~ame da ' ~x~ressao . ( 51-Y, ve'-s'e que p'e forr;a" nomal por '~niciade 
de area, absorvida pela "a<;ao de cabo", nas dire<;oes' x e y, atravez das cur 
vatu~at t:;·e. -.e.y.-, ; resp ectiv8IUc:1te. A :orr;a tangencial S, a.:.sorve tambem um 
cwinhao ' das forr;a:~ e:<ter~.~s ·: · atrav~z de 11m oecanislDo, a qual nao uossui equi. 
.. , 
val~te na "ar;ao de cab~''', po r ser es sencia l mente uma ac;ao em duas direr;oes. 
., -
Assim,'indique!Jos ' po: ; 
Sx inclina<;ao ~a direr;2o x, cia membrana ao longo do lado AB do ele-
mento. (Fig. )-2 ) 
s I ,. inc1inar;ao ao longo do lade oposto CD. 
x 
A 
1 z 
(bJ 
( Fig. )-2 ) 
~Sl 
Vista que, t represe~ta 0 valor da v ariar;ao de inc l inar;ao Sx na diTe-
- xy 
c;ao y, por unidade c e compr i~nto b, tem-se; 
s I x - Sx + txy' b . . Analogamente sy = Sy + t xy ' a 
A resultante na direr;ao z, das forc;:as 5 (Fig.3-2-.!:» e por conseguinte igual 
a' , 
- 5.a.sx + 5.a.s ' x - S.D.s + 5.b.s' . ou; Y Y 
Sa.s + 5.a. (s +t .;') - 5. b .sy + 5.b(sy+t ,a)· 2.S.t .ab. x x x)' xy xy 
Portanto, a componente normal p".a.b, na dire<;ao de (-z), deve ser equil~. 
brada pela resultante das forr;as tangenciais 5, isto e; 
p" .a.b .. '" 2.S.ab.Scy ou 
p" .. 2.5.t 
xy ( 52 ) 
Conclusao; p" e 0 quinhao 'de carga por unidade de a r ea, absorvido pelas fo£ 
c;:as tangenciais, atravez da curvatura torsional; isto e, txy L.Portanto; 
s.c ' . y 
p" '" ( 53 ) 
---- ----
J • 
I 
., 
I 
l! II 
I 
iI. 
i 
.-1: 
1 
; ... 
'1-~:'."i~ -
, I 
38 
~. 
Ora, total p=p'+p" , unidade de absorvida pelas " ten a carga por area 
soes de membrana" • ~e£a; igual a; 
.. p' + p" .. T +: T + 2.S P x .J. (54) R R Rxy x y 
( efeito- cabo ) 
Conclusao; analis2{ldo-se a -expressao ( 54 ). ve-se que a capacida.de 
. '. ~:. ..... 
resistente da me~brana, ~:pende ~s~cialmente das caracteristicas geometri 
~ 
cas d·a me sma', ou seja das curvaturas nas dir~~o~_s x eye da curv'atura 
_i"~ .,- , ,,. .. ' <IIJf... " . 
siooa1. -Ass1~,~:wna . ;emor~~' plana (sem curvatura nas dire'ioes x -e y e 
tor 
sem 
co • nao pode absorver 
.ga nor:ma 1 a , mesma . '..;d;.":-:~ 
. ..~. Qu~do · as . direr;~~'s 'x:. e y, ~ao .direr;oesprincipais de curvatura 1 e 2 
,. . 
da :superf lcie- <;la menbrana, entao' a curvatura torsional t .. t .. .. OJ e a a 
XY 12 
. ~ao das t ensoes tangenciais desaparece, resultandoj 
I 
+ !.2. 
R2 (55) 
Caso Particular - No caso da superflcie da membrana ser cilindrica au 
conica, Rl co a forrya normal toma-se, 
(56) 
Neste caso particular, 0 esforryo T2' e chamado de "forrya de arco de 
bar'ril" ou "forrya de tonel". 
A carga total q, por unidade de area sobre a membrana, tern em geral, ~ 
lern da componente p, uma componente atuando no plano tangente .a membrana_ 
Esta componente tangencial de q, e tambem absorvida diretamente pelas tense 
es tangenciais situadas no plano tangente. Portanto, a carga total q, sera 
absorvida pelas tensoes de nembrana, desde que, nao se desenvolva cOlIIPre~ 
sao em nenhuma direryao. A grande estabilidade da oembrana pode ser agora in 
tuitivarnente compreendidaj desde que, a forma da o~brana, nao consiga ab 
sorver a carga total, pela "aryao de cabo", en tao a "ar;ao" de cisalhamento 
passa a absorver 0 excesso de carga, sem que haja uma mudanrya da f~rma da 
mesma. -veja expressao 54 ). 
3.2.1 - Membrana de Tensao ' Uniforme. 
Para esta membrana, como e 0 caso da ''bolha de sabao", os ., esfo!.· 
~os de superflcie sao uniformes em todasas direryoes e como consequencia 
-tesulta T' =T .... T e S .. O. Assim, ' da expressao (55) vir~ ; 
x 'J 
p .. T (_1_ + 1 ) = T ( ~ + c 2 ) 
Rl R2 
Logo; .l ____ + ____ p _____ --l 
_ c l +c 2 ( 57 ) 
• 
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• 
• 
-" 
3.3 - Membranas de :\evolu<j20 
Ja vi.mos que, no cas o de, su?e~ici ~ s de revolu<;ao (fasciC'.:~o 2) as dire 
<;oe s das curvatur as yr inci ?c~s , coi~ci dem com as direc;oes dos planos merid~ 
nos e do ?:3..110 ort0c";o n.1: '" este . '!':~::ldist '.:, se a ::!embrana de re'\o;'uc;ao esti 
ver apoiada e carr~ada _ s~::letri~nte e= re~a<;a~ ao eixo de rotac;ao, os 
esfor <;os tangenciais S, nas sec~es ,=ericiia~s , ces aparecem devido a s~me 
tria do ca~regamento j por conseguin:e, a~ tenso~s nas dir ec;oes princip.a is ' c£. 
inc icie:n con, aquelas > da cu:-.-atura ;::incipa:" Po:",i~so, a notac;ao Tl.:T., den£. 
'tara oesro~c:.-:~lu~e.~~-7~~no , =~ciano; a _riot a<;a o T2 = T3 ' jenotar a 0 
esforc;o at~'.indo-segUfiao,-6s _ ?:l~'z:1~ para~elos, por ~aidage de ,~)..~~~o (F :i g.. ' 
3.3), bem CO'JlO,R l e 0 raio do ' plane '::leridiano e R2 0 raio prin ~i p'~t '~o ,' pla-
C{:." 
no ortogonar ao" _ p_a~io mer'1--ii~0.: :' ~ acon:.:- com 0 que foi d ito a:ras, isto e, 
S = 0 (, simetri a de carre£.;=eneo e c?oio 
001; , 
y ' r ; 
I ~ 
, ,0 
!' + ~ R, 
cia equac; ao (55), vi ra 
( 58 ) 
Ai it.. se~a:adam~te , podemos usar a equac;ao 
que estabelece 0 es eado ':: equil: '::io na ::~re<;ao ver tical do se:or de rrem 
brana situado ,abaixo do ~c :alelo :eiini::o pelo angulo '-P. (fig . 3 . 3) 
T", 
T6 '\"/ ___ --1--------
--_ ....... \ 
/' \ /' \ ........ 
! \-
""--=- --
-.......--
'--
(0 ) 
( :~3 . - 3 - 3 ) 
Devicio as 
carga ? , se 
: ~ndi~:es de si=~t r ia axial , as compon entes hori zontais da 
anulam =utuam~:~ (Fig,3.3 . b); ?or tanto, a resultante 
for<;a '''lrt~c~lc :;ue c:-.ac:aremos de Qz. Por ouero lado, a re rort;a ?, e t.Da 
, -, ('r . 
" 
, 
I 
.. 
'! 
.. 
J 
.. 
~, 
' .. 
If 
~ l 
i ~o 
- -
-~~. 
su1tante das componentes verticais de T~, ap1icadas oos 1imites do setor 
circular de raio r (Fig. _ 3 :3-.a). e igual; 
( . T ~ ' . sen <f. ) ,211 .. r - resul tante das componen,tes verticais de Top -
.. 2~.Tf.r. sen'f''' 211 T
f
. R2 .sen 2'1' 
Logo; 
1: V .. 0 
Portanto 
-. ( 59. ) 
-' -' . 
~ ·f~i •. :~~; . __ • . ,,:~'. 
Res~lveh~ .O:-;£ •. ?8 ) .. :. ( 59) vira 
", . l'": . . . ~~ .. . '" . .... - . 
rTa - R, ( P ,:1'1' 
!\l 
... ' . ~-
( 60') 
3.3.1 - Cas o Particular - ~embrana Esfe rica de Revoluiao. 
.. : - -. 
No caso particular da membrana esferica R1 = R2 .. R. Logo das expre~ 
sces ( 58/ 59/60 ) '. tern-se 
p 61 ) 
( 62 ) 
Te p. R - Tf ( 63 ) 
3.4 - Exemplo Numerico. 
"Um ba1ao de nylon de espessura h=O,05 cm. e raio R-30,48 metros e 
inf1ado com uma pressao de p=O,014 Kgf/cm2 . D~erminar as teosOes de tra~ao 
que se desenvolvem na membrana". 
So 1 u<;-&o; -
1 devido a simetria do carregamento Tf ·= Te - T 
2 da equa~ao ( 61 ) vira; 
p -
Logo; 
L 'Lp 
R 
T .. T T ... ~ .. 0,014 x 3048 ;; 21,33 Kg~ Ion f=.e 2 2 
3 calculo das tens oes 
~ -trac;ao T h ~1,33 0,05 
-.,.e--
-.. 426,0 Kgf I cm2 
3.5 - Membrana Esferica 5ujeita a A~ao do Peso Proprio. 
Seja; ~ .. peso proprio da memb rana ( Fig. 3.5 ) 
... 
• 
• 
• 
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• .• ' 
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• 
• -- 'T 
T~ 
r 3Rsm~ / 
!------~. ~pa.c"sl" 
.. 
-~,,:. 
., ~/ -J. I 
- , / 
-. , , . .ReI> 
. ... ..:- . . " . 
.... 
(Fig', 3.5) 
' jJl, e-O peso w do setor da membrana de abert ura T igual a soma cios pesos 
> 
p ar c iai s :l0S i :1 :: l'ri-tos _nU:n2ros ci~ a?eis paral,o ~os de :argura ?.d 'f ' (Fig .3. 5) .P~ 
d~o,s esc:-eve p,; : l.: = peso do and infinitezi::.d = (2 " r') (R citf')w 
.. ~- , 
(2~ w ) r' c 'f'.R .. (2 Co _) ;\2.se;) 'f 'd f" 
.~ :_ d w . = 2. ~.R 2 wi...c sen Yd '7" = 2~ ,R 2. (l - cos<f)w 
o 
~ condi~ao de eq uilib r ia seguncio a ve:-:ical nos f orne ce a rela~ao; 
na. 
2<;,--, 
'..I 
.-f! ' sen If) . ( 2.': . r ) ou 
" 
~ .s e n ~). ( 2. r . Rsen 'f) = ~ 2 Ii Rsen 2 
-'f .~ 
R ~ . (: - cos'f' ) If 2~R sen 2 'f. )onde; 
'!"'f' = (.:..! _-_c.:..o.:..s=--If...;):....J>;(.,'---.:...-;.R = (;j R. (1 - c os '0) = 
1 - cos: :.p 
"'wR 
(l - cos Lf)) (l-cosY~, (l+cos if) )Logo; 
w R 
(1 ,+ cos 'f) (64) 
I() , 
0 esfor~o Tf acima, e um esfor<;o de tra<;ao e::l todos Assim, para; 
a ) 'f '" '". /2 • wax r~· = w .R 
:,) If' = 0 '. iti'r. '" :.J .:, ..,::; 
= 
- 2- ' 
Com 0 auxilio cias expre3soes (6 3) e ,, 54) , e sendo p 
( t2 I lCO S , - + c os '-? ' 
'--_ ________ -----___ .:..) __ --1.1 
..l .R (65) 
A an;lls2 cia ~x?re5s ao(65)n03 ~ostr ~ U 2 0 2sior~0 
au, 
o s pontos 
= w . cosf, 
sera de 
quando, _ 1 
cos 'i'~ --'--- :'5CO e' 
, 1 + cosf ' 
cos 2 'f+ cos~ - 1 = 0 
Reso lvendo e :a u1tiwa equa<;ao , tem-se; 
- 1/2 + ~ - 0 62 _ 'P; 5io ';'9 ' 
da membra-
vira; 
c:-a<;ao 
Conclusao; descie que 0 an£ulo c: abercura ~ <51 0 49 ', a meo;,:ana esferica ?ode 
absorver pelo "efeito- cabo" , o ~: u peso pr op :'0 . Para -( >5 1° 1.:;' , 0 "efeito-cabo", 
desapa rec e , pois Te passa a seI um esfor<;o ,e compressao. 
3.6 - !1embrana Esferica Suj eit I a ,:..<;.30 de :oa Ca r ga Cnii o=ement e Disc::~ ::; ~i.. 
da Sobre Urn ?lano Horizontal. (Fig . 3-6 ) 
, 
,., 
Ie 
:J 
..I 
,. 
:~ 
" 
, 
" 
II 
'I 
.J 
B. 1 
..... ~ .. 
. 
... ...... ~.~ .. -.. 
~ .. 
"~I"~ ,' •• ", ,1 I 
- .,.- .. - .' . 
. .... 
~~~~~ 
(eJ 
A'a_A ___ ' _ 
... ,.. -,.. .,.. 
~" . 
.\ (Fig. ~3. 6) (b) 
Seja q-e= q' carga un.iformemente distribuida sobre 0 plano horizontal. 
A result~n t e d e q , sera: 
Qz. :' ( 11.r2 ) q = q 11 (R2 , sen2 lf) 
. A result c3 te das componentes verticais de Tf ' e igual a ; 
~Tf 2.11.r) Tf.,sentp= 2\j < R sen 'f) .T'f, sen'f 
Para 0 equilibrio segundo a vertical, tem-se: 
Logo; 
Portanto; 
Qz '" RT 
.p 
q 11 • ( R 2 , s en 2 If' ) 2'11 "( R. sen'f). T'f .sen 'f. 
66 ) 
A co~ponente 
area, e dada p~r; 
gente a I membrana 
,- " 
P', segundo a normal a merrbrana da carga q, por unidade de 
, ' 10 I P = q COST, onde , A' = area da merrbrana segundo a tan-
_ A A' - -
-- '=<fT.' sendo A = area unitaria em projeo;:ao horizontal. 
'cbs" " 
Logo; , A' 
COSf' 
Portanto; 
p >= p'/A' 
. . I 
co sf I 
q.cos'f'l 
1 
COS,/,i 
(Fig, 3.6.b ) 
Coo 0 auxili; das equao;:oes (63) e (66), vira; 
I 'Ie" q.R. <cos 2 tp- 1/2 ) - 1/2.q.R.cos 2'f 
''-----------.1 ( 67 ) 
Do: exame desta ultima expressao. ve-se que, si cos 2,,:: 1/2, isto e, 
cos'f<1~' portanto f >450 ,0 esforro T toma-se negativo, isto e, tor 
. y :2 Y e 
na-se um esforo;:o de compressao. 
Conclusao; quando'f >45 0 , para que a membrana absorva a sobrecarga, P!:, 
o 
10 "efeito-cabo", isto e, sem desenvolver tensoes de compressao segundo oS' 
paralelos, a mesma devera mudar de forma georretrica. Nesse caso, 
que a membrana e instavel para uma abertura angular '1'0>45 0 • .~~ 
diz~ se 
• 
• 
. ' . .....:-
--;..~: - -:"' .:. 
• 
( Fig •. 3-7 
Seja uma Qembrana conica de abertura n, sob a a~ao do seu peso pr~ 
prio w Fi g. 3-7 ). 
De acor.2J .:~m a ( Fig. J-;l ), 0 peso do cone de£inido pelo paral~lo x. 
" 
igual " . c, 
" 
J.Il . • -S ,0 6nd.e; 
S 
Co;:': r = x. sen a , vira ; 
w· . ;X 2hdx 
o 
x . l 2l r · d x 
2tw(sen a) JX xdx. 
o 
... ,[ = (2. r.w ;:2) sen a ='i_ x2 . sen::. = (1i w sen a) x 2 
~ :~ndi~a0 de eqG ilibrio segundo ~ ' verc: cal fornece 
D o:-,~e ; 
2·. r r ).T •. cos a= ~wx2 sen.:::'" '" 
xT '" x 1 
2 cOS .n. ( 68 ) 
, 
~D~e~t~e~rrn~'~:n~a~x~a~-o~d~e~T - De acordo com a equa~ao ( 56 ), tem-se para 0 ca 
- 2 
so de =ambrana conica; 
T2 
P ~ -----~ 
~2 S ; 
p w, sen c:: ~ '"' x. tancr 
Logo ; 
Por tant o ; 
2 
sen ex: ( 69 ) 
cos ex: 
Note-se que ambos os esfor~os neste caso sao de tra~ao. 
3.8 - Meroranas Estabilizadas. 
As melP.branas podern ser estabilizadas por urn "pre-tensionamento", isto 
e, atravez de urn estiramento 0 qual provoca uma tensao de tra~ao inicial, de 
maneira que, a maxi'~ tensao de compressao c evido as cargas externas, seja 
sempre inferior a tensao inicial de tra~ao ccasionada pelo respectivo estira 
mento. 0 "pre-tensio~ntQ ", pode ser obtide por for~as externas apl icadas 
nas bordas das membranas fechadas . ~ facil \'er, que 0 "pre-tensionamen to" ob 
'f;' 
. .1 Ii' 
.P' 
" 
4 ' 
. 
.. 
. . . 
--~--
It It tido ' pOI' for~as externas nas 'bordas das·· me.mbranas pOde ser somente aprrca~-
;a ___ _ 
I' 
no caso das "superficies antic1asticas" ou superficies tipo "sela de cava10i 
assim. pre-tensionand'o '" uma menlbrana descarregada. 0 esforc;o externo P. e 
zero ~ Portanto de ( 55 ), virA ; 
T1 ~~. T2 
o - ---- + ---- . ~ . R2 
oU; 
. ·l_._. ___ . :~1=' _____ :_2_. _.::...... 
. ~ ;··.· 1· 2 
( 70 ) 
Visto que, T1 e Ti , sao ambos esfor~os de tra<;ao. lsto e.pctsi;ti.vOS',l~ 
go para que' 0~" 2:s membra ;;ej-a. po.si.tivo .~~em, os sinais de R1 e R2 • . ;deverao 
s.er opostos. Uca ·d ~ s __ c.u~-r~ra-s ~tr l?;ip~is estari vo1tada para cima e a ou 
tra .para baixo . . -'.~" ""':~ ~..: 
-
"It 
Parte 4 
CASCA DELGADADE REVOLU9AO COM DUPL~ CURVATURA 
I 
! 
- - -~ _. ---..-
.: 
. 
r 
.. 
:1 
:.. 
4. GASCA DaG.~A DE R::VOLU<;.;O CO~ Dl?U CURYATURA 
4.1 - Generalidades 
A caSC3 delgacia, e uma membra~a curva, a qua l sob a a~ao de cargas ex 
ternas , d~se~~olv e :cnsocs de ~emb :ana, isto e, :c~soes de tra~3o, co~re~ 
sao e t angen.:ial. A casca cie lgacia cieve ser fci ta Ce material que ?ossa :e s i~ 
tir a tensoe; de c o~?:essao como de :ra~ao. Tais ::2:er iai5 poderao se r;~e ta~ 
madeira, Concreto armado, plastico, etc •••• Evidentemente 0 material idea L 
para a co nst.: \..-;ao Ii~s Cqscas delgadas , e 0 concre: o armado, devi::-:: a 
.. .. . ., . . .: ' . fa 
cili dade de aoa?t.lr ':' se · as.· formas ct:: ,·as. Geralmente · as cascas cielgadas 
volur;ao sao "·.:ons ·~i~';Ji~das ··· peT~· : cas~·a propr.cam.e'nte dita , a qual sc apoia e:: u;n 
gnel de borda; es te u ltimo nao sera ~ecessario, se a casca delgada for de 
meia esfera ( ~30'1.··:-.~: rcapac~cade :es~5t~nC2 cia ca sc.~ e dada pelo s :sfo : ~cs que 
- ,..,.. . , "' ~ . " -
s e dcscJlval ·:: ::r ·s~gundo _ a.r.c ".s que s·cguem as d irer; ae s dos oeri dia:c5 ( ii &. 4.1 ). 
Os meridi2:: ':5 ~· rans ::"it etJ esrorr;os c: compressao e os' paraielo s s::uados aci-
ma do parale~ o ci~ fi::icio po: ~ aogu:o Cl = 51949' \ a:1gu lo formad a ~ci3 
cal que ~c5sa ?Cl: cen tr o e 0 raio de curvatura principal R~ ) t:ansc~tem 
esf3rr;os ~e :c::p:essaa , enq~an t o que, os situados aba ixo ciaquel.:: paralelo a 
traz def i:1i::~ , trans::item ~sio r r;os ::e . tra~ a o . 
Afie de ?oc~ : .:iese nv0 1ver " t c<lsoes ci e membrana" s obre toda sua superfici e , 
a casca cie1;acia cievc:a ser au es t a: eorre:a~ent c apoiada ; aSSl:: sendo, um 
apoi o adc<; ":<.io e 2<;..:;::1 e qu e dese nvo1ve t ac:,e;n ":-ear;oes de memilra:1a" , isto e, 
rea~oes que acuam 00 plano tangente a casca, nas bordas, e pen-~te que as 
mes.mas se cies.i.oque ru , isto e', des10camentos estes devicos aos csiorr;os resul 
tantes das : ensoes de memorana . 
Se as :- ea-;:oes de 2;;o io nao rorem tange n t es a cas ea ou se os oes iocamentos da 
memorana :~rern ic?edicios ?e1o s apo l os,2£ cascas ae senvviverao :ambem :ensoes 
provinien tes · da ilexao, as quais s e local i zao nas vi z inhan~ as das bordas , 
ocas.ionancio uma "?e rturo ii~ao de oorda " 
Se a f or::_<. cia ca s ca e os apoi os i or.::= ambos e s co lh idos i nC:l :re taoe:1 te , a 
casca ci~s~:1volve : a tenso~s de f1ex~:l e= coda s..:a superiicie, e conscquente-
mente a ~e5~a nao pode ra s~?orta: as cargas exce~as , somente com a considera 
f! 
J 
(fig. ~ . l ) 
-.. . 
.:.. 
- - ~-----' 
r 
48 
iii 
--
. - . ~- -~ -
ri 
,. 
Y. 
" 
'. 
- -~-. - - --- -:) .. 
4 . 2 - Consice:-a~oes Sobre as C;.sca.s ;)e1gacas Si::let""icamence Car::;:.g adas. 
19) 1.:::la casca de1gada com al ~oios continuos eo coda sua periteria, a?re .-
senca coW?ortamento analo! :o ao da mem:,rana, isto e, desenvo: vera s o:::",n te 
-" . II 
. censo,;s r:or:::alS 
(si:::e ::-ia ) , . " .... ~ 
( tra<;io ou coW?re~ sao ) e e sfor:;o ta:: ge:ocia1 :: .... io 
"': " . 
29 ) So caso cas c ascas serem apoiadas em ?O::ltOS iso1ados ou separaiGs, as 
curvas dos esfor<;os(isostaticas), teriam 0 aspecto aproximado de acordo 
com a ( :ig. 4 . 3) 
39) Se a cas ca de 1 gaca I por ex e:np 10, a cupul a esferica , nao for cie "::le :'2 
esfe:-a II :o~a-se necessario ~olocar na parte inferior da meslLa , 
um anei, 0 qua l ciever~ trabaLhar a tra<;ao, visto que, cera de absorver ao 
e::lpUXO io rizonta l ' cia cupula. Atualmence costuma-se protender c refer: ~: 
a::lel I :0::: 0 ;~= sa consaque uma co~ressao anular nas bordas, ce cal ~ :- ~:O 
~eza G~; an~ia= as :e~soes ce tra~ao, provQcacias pe l a cargas externas,ia c :~~~ 
ao-se 0 ?eso ?roprio. ( fig . ':' . 4). 
(rig . !.. 4 ) 
.----- - --------~'-------.:-----=------"'.~.-
• , 
-~-.. ~-- .... 
-49) Se a casca nao estiver totalmente apoiada em seu contorno, se desenvol-
vera na me sma uoa "perturba~ao" 'na dist-ribui<;ao das tensoes internas 
nos locais ce apoio. Para , resolver este problema • Nervi, em sua obra"Pala-
cio dos Espurtes", ' co loCQU um conjunto de aduelas de forma tr1angular, as 
quais forneciam por um lado, 0 apoio continuo a cupula, e por outro lado 
transmitiam· ca,rgas c:oncentradas as co~unas. (fig. 4.5). 
~ 
.... .... 
(fig. 4.5) 
/ " 
(fig. 4.5) 
49 
50 
-. 
. ~. ~ -
~. 
59) As tensoes de ':lexao(tensoes secundarias)desenvolvidas devido ao impedl 
mento ao deslocamento da borda, podem s~r ilustradas pelo compor~amento 
est:utu r al :ie uma cupula csferica,a qualseachando sob a ac;ao de seu peso 
' pro?rio, a?resenta a tenceneia de se expand'ir segundo os pIanos meridillnos 
(fiE,. 4.6) 
.' . ~~.- .~. tt l . 
. ~. 
- -H H 
--' -.. 
... -':..0..... .:-": ; '.)' ~ ' .. 
- ; 0) (b) 
. .. . ....... 
( : ig . 4.6 ) 
'0 i=?eci~e~ : o ao ceslocawento radial, gera uma reac;ao horizontal radial H 
( t / =), a ~ cal nao send o tangente a casea, gera momento fletor em torno da 
Dorca , :> c;ual por sua vez cria te:lsoes ce flexao ·(Fig. 4.6 . b). 
69 ) A easca delgaca nao pode absorver eargas concentradas, somente por"efei-
to de oembrana ", pe 10 fate de que a deformaC;a~ da easca sob a earga eo~­
centrada, envolve tambem novas curvaturas loeais e portanto tensoes de fIe -
xao tambem. ( fig. 4, 7) 
(fig. 4.7) 
- ' . csta v~sto portanto , para que a casca se comporee como uma membrana, sao ne 
cessarios os segui:1tes req"..!esitos de projeto e cond ic;oes de eargas, isto e; 
la ) A casea devera ser delgada, de espessura constante, ou entao, a mesma de 
~era variar gradativamente de modo que se evite variac;oes bruscas. 
2a) A easea devera ter uma forma adequada, isto e, a superficie da mesma 
deve ser continua e a curvatura nao podera variar senao gradativamente. 
3a ) A casca devera estar submetida a cargas distribuidas que variam 
nua e suavemente, isto e, sem variac;oes bruscas na sua "intensidade. 
conti 
4a) A easca devera estar corretamente apoiada de tal maneira que os esforc;os 
que atuam na borda da mesma, devam ser tangentes a superftciemedia; as de 
for-...acyoes na J or da devem aeomodar-'sc ou aeompanhar as deformacyoes dos ele 
mentos cont1 guos. Como isto na pratica nao e· posslve.r verifiear-se, devem ser 
tomadas as medidas corres pondentes para tornar as eoac;oes um ~n~mo possiveL 
"01/, 
... 
I -, 
.,.' 
--t, . 
:.- ---- .. 
- .-~ 
A "tec:-ia de =cClbrana" pOG-= ser t a::.Jem apl:.cada eo casos t! s pecia :' s; por e 
xemp10, no caso de uua "caq;a linea: " que ?ossa ser decollI?osta segundo a s 
tan ger. : =s a seu mericiano descontim:o como s e indica na fig. 4 . 8 . 
/ 
/ 
.... 
( fif,. 4 .8 ) 
, ... .. -
4 . 3 - :'":156': 5 ce ~!e==~an~ .. _ Casc" de Re\'o luc;ao ::om Simetria !-_x:'a1. 
s eu ::'>:0 CE: :- o ta <;:ao, sao a::;;.logo s ~ aq ue1 E:s da ":::e:'torana ce rota<;:ao "( r ac . 3). 
Cabe 
19) ~~vic o a siCle tr:'ade ca :ga e a? o io,os esfor<;: os tangenci ais S, nos ?la -
nos =-=: idiar.Js e ?a:alelos, desapa:ecec, visto q~e, pela slmet:ia nao ha 
~enc~~~ia Gas sec<;:ces se c~s liz~re= uma eo rela<;:a o a outra naquel$ dire<;:oE5 
29) Os es for~o s uni~arios nos meri~ianos e paralelos, serao ' indicados a::jui 
?or N • .p e 
I 
~ e ' r e specti"lamente, isto e, e 
(fig . ':'.6.<\) 
(fig. 4.8. a) 
-" ;;--.---
, I 
t . 
' .. 
" 
.-
-=-_. -= 
52 (Note-se que estes esfon;os sao por vezes referid· ... s como tensoes de membrana, 
embora eles tenham dimensao de for~a por unidade de comprimento) . 
. Os es for<;os ' 'uni tarios de membr ana \p e ~9 ' . sao ob t idos pe la "equac;ao de 
. met::':>ran a ja vista:1O f<isc r:: ulo 3.:'5,oe ; 
:-I" p · ·R 
· 1 
+ (71 ) 
--~. 
Par outro 2 a.o.o, a equac;ao · 59,fas·clcul.o 3, estabelecendo 0 equilibria vertical 
do s·etor-acima do para1.~lo 
. -:=~- ~. ~ 
'onde, 
.(f i g.4 .8.a ) . nos : :Jrnece· 
. / 
(72 ) 
? =coID?onen t e segundo a normal • da carga q 
Qzzresultante de todas as cargas aciua do parale lo definido pelo angu-
10 ~ . (Esta resultante e vertical devido a simetria) 
Os esfor~os ~'f e Ne sao considerados como positivos quando forec de 
compressao (fig . 4 . 8 .a ) 
Os resul tad os aqui obtidos, sao identicos a aqueles correspondentes ao fasci 
curo.3,com a diferen~a que aqui, os esfor~os de membrana sao ambos positwos 
(compressao ) ou negativcs .U:raC;ao). 
4.3 . . 1 ~Casca Esferica - Tensoes de Membrana 
(fig. 4.9) 
, 
a) Casc a Esferica sujeita a axao do peso proprio w (fig. 4.9) 
1 
Para este tipo de carregamento tearse; 
+ cos If 
I 
I, " 
M 
\ J 
1;1.: 
WR (cos 'f- __ ...:1 ___ ) (7 J) 
1 + cos If 
. ' 
- -
-.- -~ 
Nl "'WR : fJ max "l . ":.1 lIlax 
b) Casca Esfe ric a Suieita. a Acao de Carga Uniformemente Dis::ribuic{a q. 
(fig. ~.9) 
S'f' c .1/2 q.~ 
- 1 
,= q.R(cos-f --Z-) '" 1/2 q . R cos2Cf (is) 
NeJmax liZ q.,R min =-l/Z qR (tra~ao) (76) 
ct't~a~ Esferica $u ¥it.a aA~ao de Uma Pressao 
~ .. -.~ - -,. 
..p. , - .... 
>:s J 
,N e = 2 p.R. (77) 
4 ': 3 :.;~! ·~Ti: :~: 2';:1 i~~':' '~ (~ig.. 4 j O)' 
a ) , .~~~o _ ?e s o ?ro:::-: o _' 
.Para Oe s te ci ?C' i e cc.:-:e gamen: o te.oJ;rse; 
s~ ~:: So 
2) P -'- + -- 0 + ::: ?.2 R2 
sen2 :l N,o =( ) ! .. ;x (i8 ) 
- cas:: 
(fig. 4 . 10 ) 
• j" 
! 
~I :~ .1 
-
- - -- -
. ~ 
!r 
'1\, 
'1" 
if 
, " . 
II 
: ' ... 
~. 
Para 0 
- -
---
N 
x (79) 
s) Efei : o Sob:-eca rga ~-:1iforme-ente Distribuida q. (fig. 4.10) 
A e~ua~ao ~~ equi1ibrio vertical fornece; 
2 0 
Crr r ) q 0= .\: ~x cosc (2 11 r) OU; 
=0 ~ -cosa-:( 2 .1I oo~-o s.l:.n a 
_ .X o 
donde; 
-r. 
1 
·1 
.; ;;.. .. :.. N ":' 2 q.x .tg a .(~9) x 
... .. . 
..... 
-.. ~- . 
0. 0 
calcui.o de :\~ , tOem-se; (R1 & ex> 
~'1' 
II 
'" 
Nc 
+ 
R2 
o sen
3
a) q x ( 
cos a 
N 80 
0 + 
R2 
(81) 
4.3.3 - Casca em For:r.a de Parabo1oide de Revo1uCjao- (fig.4.10 a) 
(hg.4.10 a ) 
A equa~ ao ci a curva meridiana e; 
z = ( ) • f :J (82) 
onde; c = f 
..... 
O. 
... 
--, ----" 
-0s esf.J,:r;os de ::lembrana para este tipo de Cdsca, sao dados ?clas seoguintes 
formul"as; 
a ) Caso do Peso Proprio w 
i VI .., r I I I ~ .. u:C 2 I "If ---r (1 + K~) + K2 J (83) 61< '--I 
2x ~ ;~ce K 
.... _ c. 
~ 
Po'r ou ero lado, Ne. vale; 
.~I ----------------~------; 
_.' . -
Ne.. .. = 
2 
(8 f.) -!.:J C 
';, ' Caso ce Sobrec!![ga uniformemcn te dis::ribuida q. 
I A , 
"';.j . '" -
?ara cs t e caso ) tern-se ; 
'S'f 
Ne 
Casca 
, 
, 
::::1 
~ 
4 
9...£...-
4 
Forma 
) . (~) 
) . ( 1 ) 
V,l + Kil. 
de Elipso ice de 
(85) 
(86) 
Revolur;ao . (fig . 4.:1 ) 
(fig . -. 11) 
~m tal caso, someute se uti1iza a cetade do elipsoide de revolu~ao como se 
indica ~a (f~5 ' 4.11) . 
Os raios de curvatur~ principais em uma elilse de semi-eixos a e b,sao dados 
pe1as seguintes expressoes; 
R, = (87) 
" 
" . .,. 
" 
~'i 
·f- . 
r 2 
.' '. 
+ 
I .... . 
, r 
Empregando-se as coordenadas ortogonais x e y, i~dicadas na ' figura, tem-se; 
.. ; ," 
, 0 2 
I ;1 R, 
(a '. y2 + ~ ... x2 t- (89) 
Rl r r • J::: : 2 .. 1 2 a" b 2 
, ; 
).'._,-1'" 
,. :. 
lima' v'ez:di::'~~nados o~, raios" principais' de curvatura pelas expressoes aci!!la, 
'. -. ..., . 
en tao (fS -es:o'r9'Os"'~r>": - :e , ~' 8 ' poderao ser facilment~~terl!linados com . 0 
-auxilio das expressoes (71) e (72), ' atraz vistas. 
..._ ... -
4. ~ , 
" '. 
19 ) ";';uma ~as c a~se~i':'~ ;{erica de 7 cm de espessu:a e ralO R- 12,0 ~tros, ::e 
_ ..... .. .. . 
concret o armac o , ce ter.ninar a ~axima ce nsao cie tra~ao, devida ao ?eso 
propr io e a uma soorecarga uniforcemente distribuida de intensidade q Q150kgf / . 
. 1m2 • " . 
Solu~ao: 
a) Efe:to do 2eso proprio 
3 - 2 1) W = £I. e 2,4 tim x 0,07m 0,17t/m 
b) Calcul0 de Kj e ~3' 
Segundo as equa~;;es (73) a (76) tea:-se; max N 
If 
Nl 
. <fJ max WR + 1/2 qR '" 
017x12,O+015x12,0 
max NIf' 2,04 + 090 '" 2,94t/m = l.94U kgf/= 
mln ~e NeJ WR-1/2.q.R = - 0,lix12,0-1/2 x 015x12,0 mln 
min Ne - 2,94t/m =-2940 kgf/m 
c) Calculo das cansoes 
G Nil 
2940kgf 2940 
1 ) max 4, 2kgf/= 2 (comp. ) 
c 10O . e 100;.:; 700 
G Ne 
2940k6! 2940 2 2) mln - --- - 4,2kgi/cm (tra<;ao ) 
c lOO.e 100x7 7eO 
Pa ra absorver as tensoes de tra~ao no plano do equador, necessitaria 
-mos de uma arma<;ao metalica igual a; 
S '" f 
2940 Kgf/m 
? 1500kgf / em 2 I , 96 cm 21 m ou 
seja; 1 ferro de f l/ 4" cada 15 cm (categor i.a CA-24) 
29)"Qual seria 0 maxlmo vao de uma cupula esferica de concreto armado,de 7 cm 
de esp~sura, capaz de resistir seu peso proprio, com uma tensao admissivel 
de (j .. 70,0 Kgf/cm 2 , si nao existisse 0 perigo de flambagern?/I 
c 
•• •• 
• •• 
• 
• 
• 
Solu<;ao; 
19) peso proprio W " 6. d " 2,4 c/Jx o,ojm. 017t/m
2 
29) Calculo do e sfor~o ~aX1mo de compressao; 
"G '= max !''f 
c 100. e_ -
N 
'P max 
max N<f= 70,0 x 100 x 7 " 49.00::~g f/m 
Mas sabemos que WR 
'49. OOOkd 1m 
170 kgf/m 2 
288 me-tros 
(j .100.e 
c 
OBSERV,~yAO 
, 
A.considerac;ao do "efeito de flambagem " da casca , reduz subs 
tancialmente esse valor . 
- :----=:---
...,... 
'to ... 
~. ,;;-;', 
... - . .,: .. . 
.. . 
... ; ....... 
----------"" 
. _~~4:--:"""'::":;:. 
_.-..-:..--
• 
- .... 
• e- · 
Par te 5 
CAS CAS E~ PA~~OL6IDE S HIPERBOL ICOS 
.~ 
... ..... -
...... # ~ ' . . • 
:.. .... :: ~ •. -- ~, 
" 
.' 
- . 
-, 
" 
, " 
·f 
5) CASCAS FORNADAS ?OR SUP ERF lc 1£S .~TIICLA5TICAS - PARABOL6IDES :i IPERB6LICOS; . . 
5.1 -Entre as su?er~icies antic~ .ast~cas de defini~ao geometrica simples, ~ 
xiste um grupo de superficies c~amadas "regradas", que apreSe:1tam a propri~ 
d a':ede serem geradas por ret~ que "se deslizam sobre a supe:-=icie obedece~: 
do certas leis. Um exem;:>lo do e..'lCposto aeima, e a"superficie conoidal" ( Fig. 
5.1 ), que pode ser considerada eomo gerad3 por uma reta ( geratriz ) , 
~ que se desloca apoiando-se constantemente s?bre duas curvas quaisquer e man· 
tendo-se paralela a um plano dado, ch=ado II plano diretor " 
( Fig. 5.1 ) 
E evidente que essa propriedade, pode ser usada com 8 __ .. _·_ vantagem na 
confec~o das formas dessas superficies, colocando-se as pe~as de madeira 
nas dire~oes das ditas geratrizes retas. Todavia sob 0 ponto de vista cons 
'trutivo sao preferiveis os casos em que a superficie apresenta duas famili 
as ou sistemas de geratrizes retas, porque nesse caso nao so a forma da cas 
ca propriamente dita, como tambem as b ordas de apoio, poderao ser 
com pe~as retas de madeira, tornando mais economica a constru~ao. 
ootidas 
Estas considera~oes nos leva a selecionar apenas duas superficies geo-
a) 0 hiperboloide de uoa folha 
b) 0 paraboloide hiperbolico 
( a ) 
Fig.5.l.a 
Fig.5.l.b 
( Fig . S. 1 . a. b. ) 
( b ) 
.-bbas superficies possuem uma equa~ao clara e simples, visto que pe!, 
tencem a familia das "quadricas'" e possuem doil> sistemas de geratrizes re-
tilineas. Tam~em, podemos. eliminar a familia dos hi?erboloides, porque ·sa1 
YO no caso do hiperbo1oide de Ieyolu~ao co~ eixo v e ~tical} a resolu~~ das 
equacro1:S que fornecem os "es"forcros de rnembrc....,a ", <qr es'enta problemas mat!. 
ma'tic~~ praticamente inabordaveis, cbegando-se assi~ por ~liminac;ao, a co!:. 
sidera~os a un ica superficie que, ~ ~ est~c~ atual ~ a . te~ica ce~struti­
va e ana'lise, reune ' todas as condi~es desejaveis de uma casca; 0 "parabo 
'. -. h . b-l'~' It - - ' . lelde· .lper '0 lCO " ;'. " . ... .., .. .. 
_ ,",P ' "" < .lI! ,"~:-, '~ :';~~~:"":~~." : 
5.2 Defini~ao da superficie em Paraboloide Hiperboiico • 
uc,;. super:: c ie r e~ ~ ada gerada po r dois 
...,' ~ •. ;.~~ f;" "' . •• . ~,<.. " ~' .~. ,~~:~:-.• :_" 
. 0. p·a r abo l o lde hlIJerbollco e 
.. . . 
sistemas d'~ geratr:i2es retilinea~, r . e r'. Ca~aum c ~ stes sistemas e paral!. 
10 a um olanQ.;diretor ~ ~~ ' e. as retas que 0 i orm= se des1izam s obre " QU 
' . ' ' .• 
: 'r6s 'd~{ s sisten;as de retas ( diretrizes ) c1 ' d2 ou d{ , d2, paralelas : .. 
ao plano d ir e t or do outro si s tema. ( :ig. 5. 2.1). 
( Fig. 5.2.1) 
Estudaremos aqui, a por~ao finita ABC D, li=itada por estas quatro 
diretrizes. 
S .3 - Ge ta<;ao da Superficie en Parabo:oid e ::: :;"rbo1i:o . (Fi g . 5.3. 1) 
De a co rdo com a defini~o ja at~as v i 5 : a , su po~~ amos duas LL~1 asretas 
::ao paralela s e na e inters e c an tes, HOD e ,! . B C <? i g .5.3 .1 ) , no espac;o, 
a que chamar emos previsori amen te de ci r e tr i zas . As l : nhas retas hu, que in 
:e rcepta::;J a s d iretrizes, s end o ao ::.e smo t e=?o pa r a:.e las a um plano X 0 Z, 
( plano d iret or ) , definem a superfi c i a , e sa: gera:: :zes do primei ro sist!. 
1jl3. Por outro lado,a :superficie pode ser consid e rada tar4bem, como gerada por ' 
um "segun~o sistema de geratrizes", i , paralelas a um plano Y 0 Z e iD-
n 
t erceptando cada geratriz do primeiro sistema. Portanto, 0 paraboloide hi 
perbolico contern ~ois sistemas de linhas retas hu ' in' sendo cada sistema 
paralelo a um plano diretor e ambos os pIanos, forma ndo um angulo ~ Cada 
ponto da superficie e' a intersec~a:o de duas r ecas con tidas na superficie. 
o paraboloide hiperbolico e tambem chamado na l iteratura inglesa de 
"~" 
E conveniente tomar como eixos coordenados, as duas geratrizes .que 
?assam pel a "coroa" do "hypa r " e como eixo do Clesmo a in tersecc;ao de arOOoe ; 
p I anos diretores, que e sempr e normal ao plano do s DUtro s dois eixos. 
Em coordenadas ortogonais a equaliao do ''hypar''. sera; 
sendo; 
1) 
2) 
a • OB 
b .. OH 
K • 
z: • K.x.y ( 90 ) 
f 
aob. 
comprimento da borda do 'hypar" /I c 
" " 
ft ' ,. It I/y 
3) . f - AA"'= flecha do ''h~a~''. a qual representa.a '/varia~80 
unitariif'da .inclinacrao" ou "cur~tura" do p~rabo1oide hiperbolico.- . 
4) 'XOy = W 2 angulo qualquer. 
51 XOz e ·-.yOZ; sao an&ulos reto.o 
, . A eq~crao (- 90 ) .·e a equaliSo do 29 grau mais simples que liga as tres 
coorden~as de c.ada ponto do "hypar" 0 • 
Quando W & 90 0 , 0 ''hypa.r'' e equilatero ou retangular. Quando w for um 
- angulo qualquer, 0 paraboloide hiperbolico e dito ob1iquo. 
! 
I 
6 ; 
.. 
~ / 
-/ 
- \ / 
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0.....-...... \/ --~-~ 
.2 
" 
-, 
,; 
Observa~oes 
1) As sec~oes planas paralelas aos pIanos bissetores do angulo diedro xoy , 
sao"parabola~" e 'sao chamadas de "parabo las orincipais" e estao cu~vadas 
respect i vamente para' c ima (G E €) e para baixo (:\ 0 E); portZ:1to, a superfl 
cie e "anticlastica" ou de"du'pla curvatura gaussiana negativa". 
2) "Todas as dec.ais sec<;oes pla.ias e suas ..proje~oes sobre 0 p.ano · xy, 
"hiperboles", ou sua forma degenerada em duas linhas retas. 
sao 
3) Algumas vezes a super.ficie_.e dispos.t.a dVOrul~ t_al, que 0 eixo Z,. ~ e 
vertica1.:;· heste .. caso, 0 plano xy, nao coi~cidira coin 0 'p1an(1 horizontal, 
de maneir.a que nao serao paralelas as projeQDes horizontais das geratrizes. 
-''': ~ :' .'', :. .. 
A .carga correspondente ;io peso proprio, tera componentes segundo os tres 
eixos do "hyper". 
4) ' ''Como~'' "sllperflcie dE;! trru:!slil<;ao (Fig.5.3.2) p.Jde_se considerar 0 "bypar", 
, .. -.. "' ~'. 
COlOO gerado p.or upla "."a~ab.ola princi?al", ABC, que se move ou translada-
se paral elamente a Sl !:lesma, ao longo de uma ou tra "parabola ?rincipal" 1n 
(Fig. 5. 3.2) 
vertida B 0 F. Por conseguinte, a superficie possui dois sistemas de ger~ 
trizes parabolicas; cada sistema estara composto por parabolas identicas,si 
tuadas em pIanos para1elos. Todes essas propriedades sao importantes para a 
confeccrao do cimbramento. 
5.4 - Constru<;ao Fratica do "Hypar". 
Uma maneir a simples de construir e de adquirir uma rapicia 
desta foroa estrutural e a seguinte ; ( Fig. 5.4.1). 
( Fig. 5.4.1 ) 
." 
intuicrao 
E 5 
66 
-, - . 
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~ .. 
- -... ~---.. ......-.-; . 
=-=--- - ---
--,-- , 
Sejam ~is seg~ntos OM e O~, com u~ orig~ comum, e formando um ang~ 
10 W.As retas OH e ON determinam u= plano ~o qual podemos situar 0 paralelo-
gramo ~HQN . . Pelo ponto Q, tracemos uma perpendicular ao plano HO~ e sobre e 
la tomemos o ' segmento QP=' flecha do "hypar". A superfici'e CMNP e um para~ 
loide hiperbolico e fica~a definicC' pori Co Z OH;' b'" ON 
10 W 
e f- Q? e 0 an~ 
Areta perpendicuL"ar ao plano ~ON, passando per 0, e 0 eixo do ' parab~ 
loide hiperbolico ..... ssim ... as retas JM . ON. e 0 eixo do ''hypar'' , serao consi-
derados como eims x'. y, ' ~. Cabe~otar ainda. que a porr;ao finita da ( t:ig. 
:.: 5.4.1 ). ' ; a...da ~orma~~~:"' ~ ;'a~~ ;:-;i~.pel~ ( Fig. 5.4.2 ) 
, " 
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I I 
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I 
(Fig. ;.4.2) 
, 
5.5 - Tipologia de Apoios dos Para~c ~oides ~iperbolicos. 
Os par aboloide s hiperbol~:os ?odem s er apoiados conforme os es 
quemas representados na (fi g .5.S.I ) , isto ~, a saber ; 
' 1) As formas de 1 a 4. possuem duas ~ordas ?erfeitamente engastadas e 
as outras bordas podem ser 1ivres. 
2) As restantes f6rmas, exigem tambeo duas bordas rigidas. de modo que a cas 
ca ou membrana possa ser considerada perfeitamente engastada nelas.Es tas 
, . 
vigas de borda. terao que ser dimensionadas, levando-se em conta os esfor~08 
de membrana. Naturalmente nada iropece de se colocar apoios intermediarios su 
plementares . com a fina1idade de se aumentar a rigidez das bordas.As bordas 
rigidas poderao trabalhar a trar;ao 0'.1 compressao conforme 0 tipo de apoioc~ 
siderado .Estas fo'rmas,combinadas entre sit e colocadas em diferentes " POS~ 
r;oes no es par;o . dao l ugar a um numero pratica mente ilimi tado de combinar;Oe~ 
N 
f 5 
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!·lO ~.tjt :~ID"'~' 7 ' : .. 8 
PN ' , PN ' P 
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Fig. 5.5.1 ) 
.. ' 
. > 
obtendo-se com isso, os wais diversos tipes de cascasem paraboleides hipeE, 
.belicos. Assim per exemplo; 
1) A figura ( 5.5.2 ), mostra t;m "hypar" disposto com 0 seu eiKo, passan~ 
do por 0, e perpendicular ao plano MON, sendo a flecha, 0 segmento PQ. As 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
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I 
~ J """""'''''-'''''''-'~...l-I...J...l:...._ _ _ __ _ c. 
( Fig. 5. 5 . 2 ) 
bordas OM e ON poderiam ser obtidas com duas vigas muito rigidas. as qu,ais 
permitiriam considerar urn engastamento perfeito da membrana nelas. As ou 
tras duas bordas PM e P~, trabal~ariam a tra~ao ou compressao, 
2) A (fig. 5.5.3), repr es enta a associa~ao de quatro paraboloides com 0 
ponto P, de maxima flec ha COlIlUm. As vigas PM e PN, sao''balan~os'' rigidos 
engastados no apoio central (pilar central). A membrana por sua vez, pdde 
s er considerada como engastada nestes ''balan~os''. As bordas CM eON, trab a 
lhara~ a tra~ao ou compressao. 
" , It 
" 
£, j' 
f 
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., . 
.. 
, 
- ~ .... ..... 
[ste tipo de casca, e c::3!Ilado C2 "hypar tipo sombri:::'a" . 
~. ~ ..... -~; ,.; ? 
.... 
o 
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-.-, -,-j r--
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I~- , 
I~- -
F 
o c 
( Fig. 5.5.3 ) 
3) A (Fig. 5. 5. 4 ), representa uma associa~ao de dois paraboloices asso 
ciados, com a borda comum PM. [sta borda, e as borcas PN, sao''balan,>os" 
gido s engastados ~o pilar, enquanto ~ue as outras bordas.Q~ eON , 
sujeitas a esfor<;.os d e trac;:ao ou compressao . 
estarao 
~) A (?ig. 5. 5 . 5) , r epreser.ca uma a£sociac;a.:> de c:;~ a tr o pa=aoo lo~':es com 0 
?on to 0 comum. 
o p 0 
~ 
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Fi g . 5 . . 5.4 ) 
• 
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~;:==~==~==~~==~AS~~b~o~r~d~a~s~pD-~~'~e~ PM, sao vigas rigidas em pilares P. Neste caso traba 
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1.1 I I 
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1.1 I J--I· 
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I 1 I 1 _1 
oj 1 1 I 1 
J.J. j . , I , 
1-.1 I I I 
? p 
. (F ig, 5.5.5 ) 
lharao somente a tra~ao ou compressao as bordas OM eON. 
5) Nas (Fig.5.5.6 ) veem-se outros tipos de para~ oi;ides hiperb~licos por 
diferentes associa~oes de parabol;ides individuais,. 
( Fig. 5.5.6 
7 0 
... . - , 
. - ." .... 
~: . .... 
~,~~~ 
,", , - -
. -~' 
( Fig. 5.S.6 ) 
( Fig ' - S • ;) •• 6 
p 
(Fig.s ' S •• 6 
• ~ 
. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
( Fig. 5 .. 5.6) 
COWPRESsi.O 
( Fig. 5. 5 . 6 ) 
( Fig. 5.5.6 
( Fig. 5.5.6 ) 
- ;----- _ ..-:. 
71 
-,:.", .. 
71RANTE 
( F.ig. 5.5.6 
COIolPRESSAO 
.j 
72 Observaexao . 0 pa:-a':Joloide hiperbolico, pode ser calculado inde?end entt!:.ente 
de seus apoios, bastando para isso, 0 conhecimento somente de suas dimenso 
es, isto '~ ; a, b, : ~, w , e sua espess~~a e,'assim comb quais irio ser os do 
is lados da ca'S.ca , que ~.oderao ser considerados como perfeit~ente enga~ 
t~dos nas '::>ordas rigidas. Com essas 'c'onsidera,;oe s, se obtem umC. distribui 
~ao de esf orc;os nos pOI1tos internos da casca e esf orc;os atuando nas bordas 
("Fig. 5.5.7 ). As duas bordas perfeitamente eng.:.scadas, estarao sujeitas a 
.... 
- . .... .. 
- -;.., 
x 
... '. " 
Fig. 5.5. 7 ) 
esfor~os axiais e normais a seus eixos ( OM e ON ), alec dos esfo~s ~~ 
nientes do seu peso proprio, que poderao de terminar si essas boreas devem 
ser apoiadas em 0, :i, N, ou em ''balanc;os'' engastados em 0,' etc ... Os outros 
dois lados ~ e PN, estarao sujeitos a esforc;os de compressao ou trac;ao,co~ 
forme as condi~oes de apoio (Fig. 5.5.7 ) e ( Fig. 5.5.8 ). Assim, por ~ 
xemplo na ( Fig. 5.5.8 ), si os lados OM e ON sao engastados entao a borda 
PN, por exemplo, estara em equilibrio com uma metade trabalhando a tra~ao e 
a outra metade a cOIpres~~ 
N 
>~ --------d . 
p g 
. .' 
Fig. 5.5.8 
5.6 - Fixacrao da Posi<tao :do ?araboloide no Espac;o. 
"':". 
proveniente da rotac;ao do mesmo parabo loide suposto com eixo vertical
j 
( Fi~ 
.~ 
Qualquer paraboloide hiperbolico no espac;o pode ser considerado como I 
....,. 
0 ' 
--, -..".. 
5.6.1 a ) de um angulo E DO plano OPQ ( Fig. 5.6.1 b ), seguida de uma outra 
rota~ao e, no plano perpendicular ao plano OPQ, que contero 0 eixo do mesmo 
(Fig. 5.6.1 ·c ' ). f.. caracteris'tica dos para~oloid~s- hiperbolicos de eixo 
vertical sera pois, aquela em .que £ "' .-6- - O • 
N r 
z-
( b ) ( c ) 
Fig . 5.6.1 ) 
5 . 7 - Equa ~oes Diferenciais de ~Quillbrio - Criterios de Sinais Usados no 
t.5 tudo Teorico. 
A grande resistencia que as cascas em paraboloides hiperbolicos apr~ 
sentam, deve-se fundamentalmente a sua fo~a, visto que, para certas 'condi 
~oes de cargas, os mesrnos estarao sujeitos exclusivamen te a esfor~os de tra 
~o ou compressao. 
5.7.1 - Dire~ao dos Eixos Coordenados - Conven~ao de Sinais. 
, 
As proje~Oes segundo os 3 eixos coordenados, das cargas externas. se 
rao consideradas positivas quando tiverem 0 mesmo sentido que os eixos coor 
denados indicados na ( Fig .5.7. l ). Serao negativas, quando tiverem 
dos opostos aos dos ditos eixos coordenados • • 
5.7.2 - Esfor~05 Internos de Membrana - Conven~ao de Sinais. 
setIti 
Os esfor~os internos de membrana serao representados pelas 
seguintes; 
nota~oes 
+x 
+y 
+z 
( Fig. 5.7. 1 ) 
I 
" I 
73 
"4 
- "-'"'-
~ .:.. .. :, 
~ • .:! ~~ .... 
- . - .- # .... . : ' . 
1 !\ 
:x 
esf or c;o norma 1 segundo a direc;ao X , por unidade de compr imen to . 
2 N '" esf.orc;o. normal segundo a dire~ao Y, per unidade de compr ime~to. y 
3 T . Q = Qxy '" Qyx = esf~rc;o tan.genci:al, por unidade de comprimento. 
Os sensidos dos esforc;os internes representades na ( Fig. 5.7.2 ), corre!. 
pondem ao sinal positivo de cada um deles. Assim, quando N eN, sao pos·iti. 
x y 
~os produzem tensoes de trac;ao nos .elementos diferenciais de membrana. Se 
, . - . . . ~ 
forem negativos, produzem tensoes decompressaoj assim,os sentidos dos esfo~ 
c;o s internos relS'.re~:1:~?dos ... na, ( Fi~~J~3._ } : Gorresp6ndem:.ao sinal " 'negativo 
de cadr urn deles. ' • " . . ' . 
-" 
, Z 
( Fig. 5.7.2 ) 
x 
y 
z 
( Fig. 5.7.3 ) 
1 ) Quando os es f orc;os cortant es ou tangenciais T z Q z ~ = ,Q ! forero p~ 
y ~ >-
s itivos, os esfor<;os axiais nas vigas de borda, ter ao 0 sen,tidf ap,rellentado 
na ( Fig. 5.7.4). 
-2) Em caso contr~rio terao 0 ~entido indicado na (fig. 5.7.5)._ 
-~ ... 
z 
-"':'. 
Fi~. 5.7.4 ) 
x 
z 
( Fig. 5.7.5 ) 
3 ) Quando os esfor~os internos N e N forem positivos (tra~ao) os esfor~os x y 
normais ;{5 vigas de borda, terao os sentidos iguais aos indicados na ( Fig. 
5.7.6 J! 
4 ) Quando os esfor~os internos N eN, forem negativos ( compressao), os 
x y 
esforc;os normais, ';5 vigas de bordO', terao os sentidos conforme indicados na 
( Fig. 5. 7 • 69' ). 
z 
-( Fig. 5.7.' ) 
-.~.:=..---- "-" - '-'--" 
/ / Ny 
~------~---L---r---X 
N, I I / 
" I " / 
---~--( 
I I 
/ N, 
y 
... , . 
...... :. 
, , 
~~~.8 - Soli cita~oes nas Vigasd e 30~da. 
. 
". 
.. 
Estas podem estar sujeitas 2 esfor~os decOwpressao, de t~a~ao e fIe 
xao. 
5.8.1 - Esfor~os de Compressao e de Trac;ao. 
Os esfor<ros cortantes T=Q,n2.o equilibrados nas bordas da :lembrana, de 
vem ser absorvidos por um elemento adequado, isto e, pela viga de borda ,a 
qual resiste os esfor90s de tra~ao ou compressao, devid~ aos esior<ros cort~ 
tes T (Fig. 5.8.1 ). Suponhamos c;ue 0 paraboloide esteja submetido a esfo£ 
<roscortantes positivos nas bordas; os esfor<ros axiais resultantes nelas, se 
riam os indicados conforme as setas da ( rig.5.8.1 ). Analogamente seriam es 
y 
/ : 
~ i /-~ .... // 
I 
z 
r5g. 5.8.1 ) 
tudados os sen tid os dos es ':or~os c:J:-tantes nas :,orda's, qu ando aqueles fos 
sem negativos. ( Fig . 5.8 . 2 , ) 
r---r---~--r---~--~------X 
z 
,,~,,: . . . 
~~.' .. " ( 'F"ig: 5 •. 8.2 
o trabalho dQ · viga de borda depende logicamente.'das solicitac;oes ex 
terna e das ligac;oes entre el~s. Assim, suponhamos uma viga de borda.subm~ 
tida a urn determinado esforc;o axial T" Q ( Kg 1m ) ( Fig. 5.8.3 
T (kg/ml) 
___ -- - _ ----0--- ______ _ 
A l~------------~--------------_IB 
Fig. 5.8.3 
.. 
1 ) 5i a viga for fixa em A, e livre em B, trabalhara a trac;ao e 0 '.diagrama 
do esforc;o axial esta representado na ( Fig. 5.8.4 ). 
TI~ 
(+) 
A B 
Fig. 5.8.4 ) 
2 ) 5i a viga for fixa em B e livre em A, trabalhara a compressao e 0 diagr~ 
ma do esforc;o axial esta representaco ua ( Fig. 5.8.5 ) 
A~8 
. ~T'I 
( Fig. 5.8.5 ) 
3 ) 5i a viga for fixa em A e B, 0 diagrama do esforc;o axial sera 0 da (Ftg. 
5.8.6 ). Uma zona trabalhara a trac;ao ( + ) e a outra a compressao ( - ). 
TI~ 
2 ~ _________ 
/.. ~(:)8 T ·1 
-2-
Fig. 5.8.6 ) 
" 
;'. 
77 
l 
7: 5.9 - EsforGos ~ormais a Borda. 
Em duas bordas contiguas .... pode-se absorver coo pequenas defon;.as:oes ,os 
. esfors:os normais as mesmas, isto e, em outr~.~pa1avras, podezos dizer .que em 
duas_borc.as cont~guas pOde-se abitir a' membra...a perfeitamen:e engastada ne 
las. Ass b ·, supcnhamos que 0 'paraboloide esteja submetido em cuas bordas con 
d.guas aos esfors:os N eN, po.sitivos; ~ os sentidos dos dois ditos esfors:os 
x y 
estao rep=esentados na Fig. 5.9.1 ). Analogaoente a ( Fig. 5.9.2 ) 'mostra 
os sentidos dos ditos esforc;:os ~ eN, normais as bordas quando estes forem 
x y 
negativos . - -
;?:. 
...... . '~- -' .' '~~~W;i!:;;:~'~': 
.. 
y 
z 
( Fig. 5.9.1 ) 
I 
y 
( Fig. 5.9.2 ) 
5.10 - ~Q ua~;;s de Equilibrio. 
Consideremos um elemento diferencia1 de UL~ casca ou lamina delgada, 
formada p-or urn superflcie qua1quer. (Fig . 5.10.1 ) . 
. . 
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\ j 
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--~~.'--::...--,-' .:...' - ----
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N% f 
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- _ . . ! I . -
. ~~:.~, ~~~-,~'~--~---
N, 
( F ig. 5.10.1 
Admitamos que internamente a casca atuam somente "esfors:os de membra-
na ", isto e, em nenhum ?onto da ::lesma atuam momentos fletores. Suponhamos 
ainda que no elemento de casca a, b, c, d, atuam somente os esfors:os normais 
N eN, e Q - 0 = Q; como ca=ga externa, atua a carga vertical w . 
. x y xy -yx 
Com a finalidade de simplificar as expressoes que se obtem, projetar~ 
mos sobre um plano horizontal nio so'os esfors:os de membrana, como tambem 0 
I 
elemento da casca. Segundo isto, tem-se de acordo com a .( Fig. 5.10. 
1 ); d 
dp '" Y ( 90 ) 
cos S 
d dp.cos S 
Y 
d 
d
x 
.. dq,cos a dq -
x ( 91 ) 
cos a 
A componente horizo~tal do esfors:o N
x
' que atua na face ab, valera; 
( N
x 
. cos a ) dp Nxp . dy 
Substituimos dp , ,dad o ?o r (9 0) ; 
N dy 
xp cos :l . dy 
co s 3 
Portanto; 
cos a (92) 
cos j3 
De mane ira semelhante, podemos exprimir 0 valor N 
, yp is to e; 
N \ dx =' N cosS dq 
yp Y 
ou; 
N dx = N cos S d Portanto; 
yp Y cos a x. 
cosS I 
cosa 
L--------' ' 
(93) N R N . 
yp y 
.-
" I 
1-=-,--,--
s o 
.. , ...... 
~ 
r 
111 
'. 
Com raciocinio ~~alogo, teriamos par a a c omponente horizonta. do esfor 
90 cortante que atua na face ab: 
~ dp ). ~osS = Q. dy. 'SubstituindO-:se ' dp , .vira; 
Qx), 
. d~ 
cos s. 
cO~:3 Q.ciy ou ; 
" [~ Qxy Q (94) 
-- ~ . 
- '5uponha:nos.- ra~~m, ,,,c; '';:; 0.$:: e.s:0'ts:OS ~ ', ' N , Q , que atua~ ern uma fac e, va · 
• •• , ~ ,, __ : , :' _ _ .' , . ' x , y xy 
riam· de int ensidade qU'anclo' 'a tuam na outra' fac~ vizinha; assim, em uma face 
.. '" ' N. , aN te~se N e na out:-a face - ter'l,aI:lbs __ N + ( XP ) d::; portanto( xp ' )dx 
xp ," _ ":. " :. ,: ', ",~; ,: ", _, xp , ~ , , ax 
representa 0 a'c r~f'c':"=:J-·a~~ 'i: " d.ir! \! '-de urn ' fae'e a outra. Segunc::, isto, ?:l 
_ • 41' ,-. ~<i. . .'!.>. -
delOOs estabe~~ce r ci ao.....u;.l .. lb.rlo naS' _a~re<;oes x,~ y e z, corre1'pondente aoS' 
acr esciJJcis' de intens.~::ade do's esforc;os , da f orma seguin t e; 
1) Na direc;aQ,;,<, t e=:-'se; 
2) 
aN 
' xP dx )dy + 
a !\ 
~ 
ox 
Na direc;ao y , 
aN y p 
ay 
+ 
t ee-se ; 
dy . dx 
" " c' -:0 
dy 
3Q cy , dx o ou : 
ay 
aQ 0 d)' 
+ 
aQ dx .dy 0 ou; 
ax 
aQ 
+ 0 
ax 
(95 ) 
(96 ) 
~~ relac;ao ao eixo z, 
seguinte maneira ; 
as cOI;:? onentes segundo 0 referido eixo, sera o obticas da 
1) A componente vertical de S , vale; 
x 
( N
x 
. sa~ a dp 
2) A cOQ?one~te ve=:~cal de ~ , vale; 
y , 
( Ny . S~~ B dq 
3) A c omponer. :e ver:~cal de 0 nos dois planos sera; 
Yj 
( ~ . san _ dp e ( ~. sen 
-
) dq 
4) Substituindo- se :Jas expressoes antefio r es dp e dq, por seus valores, tem-se; 
Da 
N 
x 
N 
x 
-equac;ao 
sen 
cos 
sen a 
cos (3 
(92) , 
a 
(3 
oy 
5 ub 5 ti tu indo- se N 
,dy N ~~ },.1' 
cos a 
eo 
x 
func;ao de N 
xp' 
, 
vira; 
dy N dy sen a ta.,a 
(3 xp cos 
a z 
Mas tan a: = e portanto, temos (N . a Z )dy. Si expressarmos a 
. ax xp ax 
componente vertlcal ?or unidade de cooprime nto , tem-se; 
( S ),~_ 
xp OX 
Analogamente,a _ compo~en te vertical de ~y ,yal e rig;Nyp a z 
ay ~. 
~. 
De forma seme1hante encontramos para as componentes verticais das for9 ss cor 
tantes por unidade de comprioento; 
Cl Z Q --Cly Q 
a Z 
ax 
Agora, somando-se toda! as for~as verticais e ' considerando-se tambem a varia 
~ao . da intensidade das mesmas, de uma face em , rela~ao "a outra, tem-se; ~ .. ' 
Cl ( ~Z_) + ax Nxp ax (S _d_:Z_) yP dY + 
Nesta ultima expressao, 1.'z' e a carga por un~dage de area projet.a~a.F~ 
z end o.-se as. op er al): oe s. ,In,dic ad as , encont ramo s ; . ~ '. ,"-', 
... .1 •• • •• : ,r---_,II • 0 '. '_ 
2 
Nxp. 1) z + 
3x2 
, a Z ~~a , rtxp:+- d Q', ) + .. a z ~a-;' d ' x -:"a "':y1--_ --a -y-' 
.. N ;L . xp 
~ . y 
'~~-.- .'tl 
Z \ 
-De ac ordo COD as esq\:a~ oes ( 95 ) e ( 96 ) os termos entre 
't eses, valem zero. A e~ua ~ao a~t erior reduz-se a; 
a 2 z 
~ ') 
XPax/ 
+ 2 Q 
+ 
w 
z ( 97 ) 
pare,!! 
-Portanto, temos um sistema de tres equa~oes a tres incognitas que se pode 
resolver para cada caso de que se trate, isto e; 
a ~ 
~ + 3 
Q 
.. 0 ( a ) 
a x ; Y 
a Ny 
, Q Sistema Gera1 ~ 0 ( b) ( 98 .) ~ + 
de Eguas:oes a :J a x 
de Eguilibrio 
2 a 2 . 2 ~ a z + N z + 2 Q d z W ) x:p y~ c 
2 d a Z a x d y x y 
" .• 
5.11 -\ Estudo do Paraboloide Hioerboiico Sujeito a UIna Carga unif'onnemente 
Distrib4jd a - Aplica~ao das Eguas:oes de Equilibrio. 
Suponhamos um paraboloide hiperbolico, solicitado por uma carga uni 
formemente distribuida (Fig . 5.11.1). Para 0 seu estudo, devemos expre~ 
sar z, em fun~ao de x, y, h, a e b; assi m, de 
8 1 
........ 
- .-
x 
c 
... -~ . 
B 
y 
-r; ~~- _ .. 
'- ---. 
acordo com~a ':~~~5 ..• 1 ~,o.l) .. pvcemos Expressar 0 valor de z ~:!l qua lquer ponto 
doparabo loi ':e ?ei3s ~da<;oes ;;:guintes ; 
c 
z/y ,. b z = c b ) y' 0' 
c 
::las 
x 
h 
a 
Substituindo-se vira; ~[~Z~=---a~~-j----)-XY----K.-XY--'J 
Conhecido z, temrse; 
1) ~ 
o x 
2) oz 
ay 
(--!!- ) Y 
aD 
h 
- .-) x 
aD 
'" 0 
Logo , a equa; ~o (98-c ) reduz~se a; 
o + 0 + 2Q 
o 3 
x y 
xy) 
- OW 
z 
Lfetuando-se a opera<;ao ind i cada , vi ra; 
: Q ( h 
ab w z 
Daqu\, conclui::los que; 
Q ... 
z 
(99) 
(100 ) 
~-= 0 ox e 
,,0 
o. Logo das duas primeiras equa;oes de(98), oy 
concluLmos que tanto N , como ~ O. Is to significa qu e em qualquer ponto 
xp yp 
do parab oloid e hiper bolico , qu~~do a carga que nele atua, e uniformemente 
d istribuida, os esfor~ os in t ernos que t ern a dire~ao de X e Y, valem zero, 
produzindo-s e ~as ditas dire<;oes esfor<;os cortantes de intensidade Q, dados 
pe la expr essao ( 100 ) . Entretanto , isto nao que r diz er que e:n outras I ctire 
<;oe s dif er en ~ es de X e Y, nao e:<ista::J es for<; os nor mais. Ass i.::! , por exemplo, 
em um mesmo ponto em planos a LSo coo os eixos X e Y, apare cerao esfor~os de 
::-a<;ao e COlll?r<!ssao c:..a,sonais , ::.l j os ','al oro:s podem se r dete :::::inados com 0 
f 
• I 
1 
I 
I 
! 
I 
-- - ----.-=--~-----"'---------..., 
• . 
• 
• , 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
. - -~~.---~.;. . -
---~-'- -- -----
auxr1io das equa~oes gerais de esfor~os, que atuam em tomo 'de um ponto, i. 
to e, com auxilio das ~uac;oes 
'N ' .. 1,2 
N + N 
x y 
2 
ja conhecidas; 
onde 0 sinal + ' ) empregamos ?ara um cos esfor~os principais e < - ) para 0 
outro esfor<;o. Aplicando-se a formula anterior, para 0 caso em estudo, re 
su1tara; 
V< ~ o + 0 1/2 0-0 )2 4Q2 «xy tra <;a 0 Nl '" --- + + 2 xy 
V< 0 - 0 )2 '-N - 0 0 ' .;..1/2 , 4Q2 • -Q ' + ( ) 2 
.",..2 ' . xy xy compressao 
Tambem poderiamos ter resolvido 0 probl=a, com ,6 auxrlio do " eirculo 
de Mohr ", cOIllQ ,se ,i?dioa-" 'na ,-<.. Fig" , ,5.!"f.~~:~.·:'ria: ·_qua~ Sf! pode observar f'a 
cilmente qu-e -~s val~res-'·:1uffierico s·...?e ' l\i .e N2, sao iguais a ~y e atuam ' coo 
um~ ioclina~o de 450 e~ rela~ao aos eL~os X e Y. 
re ' 
83 
-
", 
1 
. . 
" . ~ . 
..... ' 
84 
. , . 
PAJv.DOL:::n: s lIIP !:.:·. SQ LlCOS 
x 
- -"." 
. ' . 
. b = ';S ' 
( e ) 
x 
Conclu soes Importantes : 
B 
: .... = a 
.", 
c:;oPRE:SS.i.o 
?~ g , 5 ... 2 ) 
'(b) 
( d) 
y 
1 ) Si analisarmos 05 difere:1tes pon t os do ;'lOSSO parab01oide , verificare.::::!os, 
que os esfor~os que atuam na dire~ao d as diagonais A-A ' (Fig. 5.11.2 e),sao 
de tra~ao e os esfor~os qu e atuam na dire~ao O-B, sao de compressao , e tan to 
tlID como outro tern 0 ::lasmo valor igual a; 0 = ( ab ) • W
z
' ! Daqui se d epre 
. - d d' 1 I '0 2bd d :J ende que na d~ re~ao a ~ago :1a A- A, ha~ra neceSS l a e ue preve r-se uma ar 
madura metalica para resistir as tenso es de tra~ao, enquanto que na ! dilre~ao 
d a diagonal Q-B , deveDos absorv er as tensoe s d e compres sao com 0 concr eto da 
casca; os es: o r~os N2 , sao ger almente yequenos , " pelo que, com uma casca de l 
6ada , podem ser abso~Jidos :aci1meote. 
~} 
., 
., 
e --
2 ) Resta finalmente analisar 0 que acontece cam as bordas do .paraboloide; a 
estas chegam naturalmente tanto os esforc;os de trac;ao em uma direc;ao, . como 
os de compressao, perpendiculares a aqueles ( Fig. 5.11.3 ). Os esforc;os de 
tr~ao_ agem como.se trata .se de cabos ligados as bordas; os de . compressao , 
como se fossem arcos parabolicos apoiados nas bordas. Nas bordas desenvolvem 
se esforc;os de trac;ao au compresaao por efeito da combinac;ao de Nl e N2. AJ- -
sim, considerando-se um ponto D, qualquer, em uma das bordas, a ele chegam 
"t . 
B 
(a) 
I(b) 
( Fig. 5 .11. 3 ) 
. 
CABO 
"[FEITQ "'RCO" 
os esforc;os Nl e N2 , sendo 0 pr~eiro de trac;ao e 0 segundo de compressao 
(Fig. 5 .• 11.3 b ) .• 1 Decompondo-se os ditos esforc;os, em suas componentes, u.ma 
seg~do a tangente a borda e a outra perpendicu~ar a esta, ve-se que.\ as 
componentes perpendiculares a borda, se anulam ., enquanto que, as compone~ 
tes tangenciais se samaro, como se indica em seguida. De fato, de acordo com 
a _( Fig. 5.11.4 ), ve-se que; 
t • 
'J: ' 
II 
T. 
( Fig. 5.11. 4 ) 
F T. 
H. 
~~W4: 
~.: 
T v'S 
85 
96 
<r", . 
-~-' ---- ---1ir 
lem; . 
T x 1 
T 
N ... 
.. 
Q . = 
xy 
1 
ab 
2h 
cos 4;° 1 
+ ( ~2 ' V-Z' 
Lo [,-=, ; 
• W 
Consequent'emen te, os es for<;os de tr a<; ao ao !. en:.,:, 
."""t.. 
• ••• ...•.. 'f"!. 
. _ - _~.-.. ~.~~, ' . It:'~. , . 
• - h - 0 ',,' '.' , -::31r:1')i!~:':?. an'=·_("b'!.j.a0._ ... "'In.b ,? ··~~s .. _ln as co;? unla·') c.., ..: 1-
' ,V em-S 'i' esfor<;,0s d e co:-o.pressao ; cujos ';alores sao; 
1 ) ., :,,, cire<;G0 de EO -'-' -; , 2 ' ~2 x Eo 
2 l\a di r e<;30 de FO ~ C 2. ~2 ' x F 0 
3 :\a cii r e<; ao de Co ---4- C 2 . i\ 2 x G 0 
4 :\a dire <; 2o d e EO ~ C 2 . :\~ x H 0 
..... :-':r.: : · 
. ' _ L: :\ _,: 1 
L . _ 
Por outro l ado, as cocponentes verticais des e5:0:: <; ~~ ,':t. 2,'.::. :·~s .:~ .. , >, 
que conco rrem n as col un as, 
v = rr '" 
v 
c ompr m en t o de 
....-..... 
sen OlEO = 
4N 2x OE . sen 
OE e de 1 
h a 
1b 
?ortanto; 
va 1erao :-
6'Eo + 4:\2x FO : sen 6'F'O-. 
de OF , tem- se ; 
~ h 
s en O'FO = --
1a 
V E F 4 ab h :, ' ab 1 ;, '" Zh' w. Ib--r:;: + ~\oI. v a I 
a 
:e L 
'" .,. 
, = LEv = t, ab", = carga v ertfca1 que descarr ega sebrt. G C , ' . _.~ _, (' ~ ,t, 
:laturalment e nao poci ia se r d e outra ~ane ira, ja qu e a qU1'.r:ti;'. ,,,,>', 
?r esenta a area em ?la:lta d o s 4 p a ra,;) :> lo i des , e We a (::.rga por _', ::0 q:.; _::.:~, 
: 0 em pl anta. 
5 .12 - Exernp l0 Numeri co . 
)e t erci:1ar os es for<; o s e a ar:::la <;<D da E: 5 t rut.ura form ae a p(; ' a 
par abol o i d es :, iperb o1icos, a ~ua1 se apoia en urna col u[';,· c=-
:::lensoes est ao repr esentadas n a (F ig. 5.12.1 ); esp esst:r~ .-1.:. C.:!-$::' . ~~4C'.:' . " 
D 
1 
• 
Solu~ao; 
a) Calculo das Car gas Verticais 
1) peso proprio - ¥.e g 2,4t/m2 x 0,04m '" Y. 0,096 t/m2 
2) sobrecarga a 100 kgf/m2 ........... :. '" 0 100 " 
w -0.196 ~0,2 t/m 2 
b) Calc.u.l0 dos Esfor~os 
+k= ~ .. _. .... "0;"' . 
• 2 x 3,Om 
2) Esfor;os Principais 
Nl '" N2 ' = Q ,. ~.-': i..~g6 
. ) .... '. 
N1 = 1500 ~fLiiJ (tr q~ao) 
:- N2 =-150'nkgf/m (c"o;;p ressao) 
c) Ca1culo das Tensoes ha Casca 
N N 
1) max C = max tensao compressao = () _ 2_ = __ 2_ a 
2) mln 
c 2 S lODe 
- - 1500kgf = -3 ,_75 
- 100 x4 
G = tensao de tra~ao '" 
t 
kgf/cm2 .. 
Nl 
-S-" + 3,75 kgJ?/cm2 • 
d) Arma;ao da Casca. 
N1 1500 
Sf = c;-~ 1200 
., 
1,2 cm2 Iml ( 0 1/4 c/25 em) 
e) Esfor;os nas Bordas 
1) T '" T. a = 1500 kgf/m x 6,0 m 9.000 kg '" 9,0 t. 
a 
2) Tb T. b 1500 kgf/m x 7,5 m 11.250 kg = 11,25 
f) Calcu10 da Aroa;ao das Bordas 
1) borda S Ta 9000 kgf a- r;- 1200 kgf/ cm2 a 
2) borda b ~ Sb Tb 11. 250 8~90 -~-= 1.200 
g) Carga Verti ca l Sobre a Col.una 
t. 
7,10cm2 
cm2 
p = V ~Fy = 4.abw 
'1< 
4 x 6 x 7,5 x 200 kgf / m2 36.000kgf a ~6,Ot . 
",., 
. .,." 
~ " .\ 
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" ;1 ",o1l 
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.. ]._--_._-_ .. -
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87 
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CASCA EM FOR}~ DE SUPERFICIE CONOIDAL 
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" 
.: ...;. ... .... . 
• 
6) CASCA DE CONCRETO' AP-:'L\DO EM FOR.'iA DE Sl.jPERFICIE CONOIDAL 
6.1 - ~rax.ao da Superficie Conoidal 
Considere-se um plano P, uma reta Mll perpendicular ao. plano P, e uma 
curva a qualquer. (fig. 6.1) 
... 
-~ ..• 
-, 
(fig. 6.1) 
" 
R -~ ~' 
, 
(fig. 6.2) 
Sobre M..'i, fixemos um ponto a e sobre a curva (). ,um ponto .J , tal que · a re 
ta ab, seja paralela ao pl ano ? ; impriwindo-se a esta reta a~, um movimento 
de transla~ao, tal que a mes ma ?ermane~a paralela ao plano P, e se apoie 
constante~en te sobre M..~ e a , ela gerara uma superficie regrada chamada 
"CONOIDE". A cunr,a a pode ser qualquer ; em particular poa~ra ser Ulna p~ 
rabola ou uma reta. No caso de ser a curva a , uma parabola, tem-se a · 
"Conoide" propriamente dita. (fig. 6.2). No caso de s~r a , Ulna reta tam 
bem, a superficie gerada sera 0 "paraboloide ~·.perbolico": estes apresentam 
a propriedade de comportarem duas series de retas geratrizes ab e . c.d 
(fig. 6.3). 
9 1 
.' " 
, 
, 
- --~--.-
9 2 
...... . 
~"" '. : 
... ' p 
- .... : 
'':''' , , -;-3~~:<::.;';~~ '. ',,' ... ::;::~t~ ~:' " .,,: 
. ~:';. . ..,. 
~.~~.-~ . 
(£ig' ,: 6.3) 
' .. ., .... , .. --. ":' .. 
.. 6 .- ~ 
6.2 - Ca"so · P~rt1.c.ular 
Um caso particular apresen:a-se ainda, quando se toma como diretriz 
uma parabola situada num plano, Q, perp'endicular ao plano P. 
Seja RS a parabola diretriz contida no plano Q (£ig.6.4) 
(fig. 6.4) 
Demonstra-se que 'a curva R'S' determinada sobre a superficie conoidal pelo 
plano Q', e tambem uma parabola . . Trat;ando- se as simetricasR j S1 e R: 51' a 
RS e R'S', respectivamente, obtem-se a port;ao de superfrcie conoidal, 
SrSS'S;:ipor outro lado, pode-se no plano Q' paralelo a Q, trat;ar pelos po~ 
tos 5' e 51' , uma nova curva semel~ante a SSj" Esta sera a origem de uma 
por;ao de superficie conoidal" e assi~ por diante, se obteria a ' gerat;ao de 
uma superficie de cobertura, conforme esquema da (f ig. 6.5), na qual se pode 
realizar uma excelente iluminat;ao ~cs zonas verticais. 
(fig. 6.5) 
; 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
~ ~ ..... -::--~----:--
~----
0.3 - Equa1ao Ana litica da Superficie Conoidal. 
Cons idereoos os ' e ixos coord cnados Oxyz I (f'ig. 6.6) e sobre es tes, ' um 
plano Y A Z, p a r ~ l e l 0 a yoz. ~e ste plano Y A Z, tracemos uma ' curva A N B; on 
de a sua equ a~ao nest e plano, se ja dada pori Z = K.yn 
I , 
' . - '. 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I, 
ft 
x 
(fig. 6 .6) 
~m particu l ar, quand o n = 1, esta curva sera uma reta; quando n = 2, sera 
uma parabo la de ve rti ce A e ei xo de simetria A Z. Seja MN uma reta, apoia~ 
do-se sobre 0 eixo Oy e sobre a curva A N B, permanecendo constantemente p~ 
rale1a ao plano xO ~. 
Por defini~ao, esta reta MN, gerara uma superficie conoidal de grau n,quando 
a mesma se deslocar parale1amente ao plano xOz, permanecendo apoiada em Oy e 
sobre a cur va A N B. A equa~ao desta conoide, referida aos eixos Oxyz, sera; 
(101) 
a) Cortando-s'e esta superficie por um plano paralelo ao plano yOz, resul 
tar a. ; 
x = A • Logo; 
[ 
1) 
2) z = a.A. yn Kyo. Esta equa~ao representa a curva dire-
triz contida no plano Y A Z. 
b) Con and o- se agor a a superf ic ie por um plano parale10 ao plano xQz" re 
SUlt a ra. ;{ 1) y = B = constante 
2) A intersec~ao sera; z = ax~ aB~x = ~. Esta ultima e 
qua~ao repre-
senta a equa~ ao da reta que se apoia sobre Oy. 
93 
- .- ---
--~~-
-~------·----:--=-=-=-=-=--::::::...7-=,.:::::~~b=;::=:jjIa:; 
6.4 - )eterminasao dos Esfor~os de ~eDbrana na Casca de Forma Co~~:dal. 
'. 
~ " ,- (fig.6.7) 
.. ~ .. ' 
...... . 
~;:'. -~.;?~.,'~-", ;.: .,-
- '-. ) e acordo ' com a (fj. _g~· 6-;'7):, se.ja wna ?araboli a diretriz da super::cie conoi 
. ~4; .: • ...... ::.....<~~ .. : ;':" _ 
- , .:ia~,defini.da pe la ~o.:ya~_a.?; 
onde f = flecha.d'a parabola diretriz . 
A equa~ao da superfi cie conoidal sera; 
xf 
z - -
L 
onde; 
. ( 1 
- 2 4y 
- --) 
d2 
L E dist~ncia ao elXO oy OU comprimento da conoide. 
d vao da conoide. 
) 5 esfor ~os de membrana ~ ) ~ e Q .. , se rao fornecidos pelas segui::.:es expre~ 
x y xy 
.:ioes; 
o:1d e; 
a) ' N'x ., - g. cos 'l' . 
s. cos ¢ 
.[ 
b) N ,. Ncp g.K: .cos,p y t 
c) Q. QX <I> gK 2 ·x xy 
1) g = peso proprio da casca = 3'. '=-
K' 3 - K3 
L - x -
s 
2) e = espessura da casca na origem O. 
3) t ., ax} sendo a = 1.L- = c onstante. 
4) s - ay Ld 2 
5) K" 2.cos'l' -1 
1: cos 2 'l' •. 
] 
I [ 
i 
I 
.• , 
'. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
... . 
'0 
8) K'3 - valor de K3"quando x - L • 
9) tgQ" 
10) tg '!' 
dz 
dx 
dz 
---
dy 
-_. Observa(joe-~ ~_, _ 
" , , ~ :Co , 
f/L ( 1 
2 ~ 2 ) 
d 
.. axy 
- ~iti. .. . . 
19) Para o·.caso da .. y '"' 00 -tem-se; 
L 3 3 
- x ~ ga ( ) oode tg ~ 0 
.~." .. '-&. eos "'- - , - ", ° " , ' :0 
" 
" 
Uma-vez conhecidos N':'", ,'s '" ' Q' , pode-se determinar todas as tensoes 
x '*' ' x ¢ 
tomo de urn pon to qua lq uer de casca . 
em 
29) Nas bordas, a cotLponente horizontal de ~ ¢ , valera; H <1>: N if'coso ' , -a 
qual deve ser aosorvida ? ~ ~ um tirante(fig.6.8) 
H ~~~-+~~~~~-+ ______________ ~C _____ y 
Aqui, tem-se; t g :I 
6.5 Exemplo Nuoerico 
(fig. 6.8) 
8f 
--,,-- ) xy. Assim , para y 
L d
2 
tgo .. 4f 
d 
d 
2 -- x '" L • Logo j 
'~etermina~ os esfor(jos d~ ~embrana da casca conoidal sujeita a a~ao do 
peso proprio, de acordo com os dados constantes da fig.6.9.~1 , 
1) L • 24,Ometros 
2) t • 12,0 11 
3) (! .. 8cm .. 0,08 metros 
l) Dados do £rojeto 4) f -1 6,Om 
5) f .. 2 3,Om 
6) ~ .. 2 ,4 tim? 
7) d · ,15,0 m 
8) d 7,5 m 2""' 
95 
jIl-
55 Solu~ao: Ca1cu1aremos os esfor~os de =embra~a para os pontos C e D. 
- . . 
," .. . -... , ~ 
, -" - '---' " - -" 
a) Ponto C - Ca1cu10 das Const a~tes . 
' I) peso p~oprio : ~.e 2,4tb' , x 0,08 = J,192t/~2: 192' k~f/m~ 
2) 
3) 
8f 8)(.6 a--- = 
- d2 24H5 4 
O,OOS<; 
x 
c 
L . 
L 
'" 
24,0 m 
ay.-,. =~0,aOS9 !( .7,5 
c _ ;.:~~ = " .. .:. , 
-f .- " :"., 2 ~ -_ _ - . {'I -- . ::L:.. ) 
' J.; ' . 2 ~' d 
tg¢ =- 0 ' . '. - ¢ = 0 
Sf 
,~ 0,0669 
= '.,. ( _6 ) ( 
.. 24, 
S) tg ~ axy=-L-- 7 xl'= 0 ,0089x '~ x 7 ,5 
d- 1,60 
5So se,n ~' o:~ 58 2 0 , 8~8 
cos~ cos5So = 0,5299 cos 2y = 0,2S0 
tg(~ /2)= tg(58/2) = tg 260 = K2 = 0 , 5543 0,5543 
(:ig.6 . 9.a) 
(fig . 6.9 .b) 
_ .:-~_~ a7~- .f:~ _ _ 
- - ---~- --~ -- ---
9)K
1
, ,. 
2 cos ~-l 2 x 0152'!9-1 
~os2 - 0,215 'f' O,2BO . 
, 
, 10) Nq, ~' gK, . cos 4> 192xO 121'>:1 - 192 Kgf/m '" - . -y 
t 0-,214 
''''! ... .. - ... • .• . 
• • gK2x .. - 192 x 0;5543 x 24,0 : :~ - 255Q kgf/m 
..... _t~r~o~~;:~:_ ~:e " ,,~t4~~:<cc,~sSi:.r_ c. ~:~s .. _caPstantes _ ~~K3' '. 
K • 1,, 1 +0;84e- ) ~ (6,6 ) " 08195 
3 n ' 0, .280 :1_ 
K~ K3~ (quando x = L ) '" 0,8195 
N: 
x 
N .. g 
x 
192xO l 529 9 [24 - 24 -
0,0669 x 1 " 
b) Ponto D_No ponto D ter-se-ia; 
° 18195-°18195 1 
0.0669 
1) N .. N Y 4> 
gkJ cos~o . '- . tg¢o" -
t + 
_
_ (-6'. 0 
- ~ 025.' .4>0- 14 .' .cos4>= 
,;.Q9703 
2) t = ax 
3) tg 'I' 
a. 12,0 m = 0.0089 x 12 - 0,107 
8 x 6 
axy .. 24x15 L x 12 x 7,5 = 0,80 
'!' • 380 40 I .'. cos'!'.. 0,7908 2 cos '1'. 0,61 
4) Kl .. 2x0 17908-1 0,61 J,925 
5) N' .. Nq," -y 
/hcg-ll.74 
' .. 
192xO I 925x·),97()3=.l660 Kgf/m 
' 0~07 = 
9 7 
.... :.. 
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