Amostragem e Cálculo de Amostras

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Prof. MSc Herivelto Nunes UNIVERSO CIÊNCIAS EXATAS E SALGADO DE TECNOLOGIAS UNIDADE 11Uma amostra deve ser cuidadosamente AMOSTRA É UMA PARCELA planejada a fim de garantir a menor margem de REPRESENTATIVA DA POPULAÇÃO QUE É EXAMINADA COM erro na pesquisa. PROPÓSITO DE TIRARMOS CONCLUSÕES SOBRE A MESMA A margem de erro é um intervalo controlado dentro do qual podem variar OS resultados finais. NOÇÕES DE Um estudo bem planejado é capaz de reduzir erro de amostragem. AMOSTRAGEM EXISTEM BASICAMENTE DOIS MÉTODOS PARA Aprenderemos um pouco sobre cálculo de amostra COMPOSIÇÃO DA AMOSTRA: e como poderemos confiar em seus resultados. - MÉTODO PROBABILÍSTICO - MÉTODO NÃO-PROBABILÍSTICO OU INTENCIONAL.TIPOS DE AMOSTRAGENS TIPPOS DE AMOSTRAGEM 1. AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA (ou ALEATÓRICA OU RANDÔMICA): aquela em que cada elemento da população tem uma chance conhecida e diferente de zero de ser selecionado para compor a amostra. 2. AMOSTRAGEM NÃO PROBABILÍSTICA: aquela em que a seleção dos elementos da população para compor a amostra depende, ao menos em parte, do julgamento do pesquisador ou do entrevistador de campo. Não há nenhuma chance conhecida de que um elemento qualquer da população venha fazer parte da amostra.TIPOS DE AMOSTRAGEM Probabilistica Não Probabilistica TIPOS DE AMOSTRAGEM Aleatória Acidental Estratificada Intencional Sistemática Cotas ConglomeradoÉ processo mais utilizado. Equivale a um sorteio lotérico. Ela pode ser ALEATÓRIA realizada da seguinte forma: numera-se a AMOSTRAGEM PROBABILISTICA população de 1 a n e sorteiam-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, n Quando elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de sorteio. Neste caso, calcula-se número de SISTEMÁTICA elementos da amostra e divide-se número de elementos da população pelo de elementos da amostra (x), assim, escolhemos elementos ordenados de X em X.Quando a população se divide em estratos (subconjuntos da população) é ESTRATIFICADA que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos. AMOSTRAGEM PROBABILISTICA Algumas populações não permitem ou dificultam extremamente a CONGLOMERADO identificação de seus elementos. Não obstante, pode ser relativamente fácil identificar alguns subgrupos da populaçãoACIDENTAL INTENCIONAL COTAS AMOSTRAGEM NÃO - PROBABILISTICA Trata-se de uma amostra De acordo com formada por aqueles determinado critério, Trata-se de um dos elementos que vão é escolhido métodos de aparecendo, um amostragem mais que são possíveis de se grupo de elementos comumente usados obter até completar que irão compor a em levantamentos número de elementos da amostra. de mercado e em amostra. investigador se dirige prévias eleitorais. Ela é geralmente utilizada intencionalmente a em pesquisas de opinião, grupos de elementos em que OS entrevistados dos quais deseja são acidentalmente saber a opinião. escolhidos.Tamanho da amostra Para a amostra representar com fidedignidade as características do universo, deve ser composta por um número suficiente de COMO DIMENSIONAR A AMOSTRA: indivíduos que depende dos seguintes fatores: Extensão (ou amplitude) Finito do universo: Infinito Nível de confiança Definido a partir do estabelecido desvio padrão Erro máximo permitido Em pesquisa de marketing é considerável de 3 a 5%FÓRMULA PARA CÁLCULO DA AMOSTRA Infinita Correção Variável / População Contínua 2 = d n = Discreta n₀ = d² Zé a abscissa da curva normal padrão. σéo desvio padrão da população. q=1-p Néotamanho da população. déoerro amostral. a estimativa da proporção verificada em pesquisa anterior.Determine tamanho da amostra no levantamento do peso de uma determinada peça produzida em larga escala. Pelas especificações técnicas do produto, desvio-padrão é de 15 kg. Admita um erro amostral de 1,5 kg e considere um nível de confiança de 95%. RESOLUÇÃO: Nesse caso, a variável escolhida é contínua e a população estudada é infinita. O EXERCICIO RESOLVIDO: desvio padrão é 15, erro amostral é de 1,5 e Z = 1,96. Sendo assim: Normalmente utilizamos os níveis de cobrança: Para 95% Z=1,96 99% Z=2,58 2 2 1,96.15 n = = n = d 1,5 tamanho da amostra é, então, de 384 peças.No problema anterior, admita que a população seja finita de 1600 peças. Calcule tamanho da amostra: RESOLUÇÃO: Nesse caso, a variável é e a população estudada é finita de 1600 peças. desvio padrão é 15, erro amostral é de = 1,96. Sendo assim, a fórmula usada será: EXERCICIO RESOLVIDO: Como a população é finita devemos fazer a devida correção: 384,16 384,16 384,16 n = = = = 309,78 310 384,16 1+ 1+0,2401 1,2401 N 1600PARA COMPREENDER 0 QUE É PROBABILIDADE, É ESSENCIAL CONHECER AS DEFINIÇÕES: CÁLCULO DAS - EXPERIMENTO ALEATÓRIO PROBABILIDADES - ESPAÇO AMOSTRAL - EVENTOS - ENTRE OUTROS TERMOS É a área da Matemática que A probabilidade é calculada por meio de uma divisão calcula as chances de um simples. Basta dividir número de eventos pelo evento ocorrer, em um número de resultados possíveis, conforme se vê na fórmula: determinado contexto considerando as possibilidades existentes e que é possível obter. n(Ω) Exemplo: Há uma possibilidade de tirar 3 num dado de 6 números, logoEXPERIMENTO ALEATÓRIO: A palavra "aleatório" significa algo que não segue um padrão. Portanto, um experimento aleatório é qualquer experiência que dê um resultado desconhecido e incerto. CÁLCULO DAS PROBABILIDADES ESPAÇO AMOSTRAL Espaço amostral é o conjunto de todos os pontos amostrais de um experimento aleatório. Também pode ser chamado de ESPAÇOS EQUIPROVÁVEIS: Um espaço amostral é classificado como equiprovável quando todos os pontos amostrais dentro dele têm a mesma chance de ocorrer. EVENTO (E): Evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. AUB É o evento que ocorre se pelo menos um deles ocorrer. AnB É evento que ocorre se ambos ocorrerem simultaneamente. A É evento que ocorre se A não ocorre.EVENTO SIMPLES: Pode ser chamado de evento simples quando possui apenas um elemento, ou seja, só há a chance de sair um resultado único. Exemplo: chance de sair 1 no lançamento de um dado. EVENTO CERTO: CONCEITOS DE PROBABILIDADE Um evento certo é igual ao espaço amostral, por isso, a probabilidade de que um evento certo ocorra é de 100%. Exemplo: chance de sair um número natural no lançamento de um dado. EVENTO IMPOSSÍVEL: Um evento ocorre quando conjunto é vazio, ou seja, não possui nenhum ponto amostral. Exemplo: chance de sair 7 no lançamento de um dado. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: São aqueles em que a intersecção entre eventos resulta num conjunto vazio e a união é igual a todo o espaço amostral. Exemplo: evento (A), em que se olha a probabilidade de sair um número par, e evento (B), em que se olha a probabilidade de sair um númeroPROBABILIDADE Dado um experimento aleatório e S espaço amostral, a probabilidade de um evento, Pr(A) é uma função definida em que associado a cada evento um número real, satisfaz seguintes axiomas: ≤ P(Ø) = 0 PRINCIPAIS TEOREMAS Se C logo Pr(A) Pr(B) Pr(AUB) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(AnB)Em uma urna existem bolas enumeradas de a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com número nas seguintes condições: Espaço amostral: 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15) a) primo Temos 6 números primos dentre espaço amostral de 15 números. EXERCÍCIO RESOLVIDO P = 6/15 = 0,4 = 40% b) par ou primo Número par = 7 possibilidades entre 15 Número primo = 6 possibilidades entre 15 Par n primo = 1 76112 P(par) + P(primo) - P (par n primo) + = = 0,8 80% 15 15 15 15 c) par e primo: Dentro do intervalo dado, temos um único número que satisfaz a condição de ser par e primo ao mesmo tempo, que é número 2. temos a seguinte probabilidade: 1 15PROBABILIDADE CONDICIONAL A probabilidade de ocorrência simultânea de dois PROBABILIDADE CONDICIONAL eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado primeiro. P(AnB) P(A/B) = P(B) P(AnB) P(B/A) = P(AnB) = P(A)P(B/A) P(A)Calcule a probabilidade de obter soma 8 no lançamento de dois dados em que resultado do lançamento foi dois números RESOLUÇÃO: Seja A = Obter soma 8 e = Obter dois números impares. P(ANB) é a probabilidade de se obter apenas números que somam 8 no lançamento de dois dados. As únicas combinações das 36 possíveis são: {3,5} e EXERCÍCIO RESOLVIDO: Portanto, P(ANB) = 2 36 Já P(B) é a probabilidade de obter somente números impares no lançamento de dois dados. As únicas combinações dentro das 36 possíveis são: {1,1}: {3,1}: {5,1}: {5,3} e {5,5} Logo, P(B) = 9 36 Utilizando a fórmula para probabilidade condicional, teremos: 2 P(A|B) = 2 36 P(A|B) = P(ANB) P(A|B) = 36 36 9 P(B) 9 P(A|B) = 2 36 9TEOREMA DO PRODUTO A PARTIR DA PROBABILIDADE CONDICIONAL, PODEMOS CALCULAR A PROBABILIDADE DE DOIS EVENTOS SIMULTANEAMENTE: TEOREMA DO PRODUTO P(A/B)= = P(AnB) P(B) = P(B)P(A/B) P(AnB) P(B/A)= = P(A)P(B/A) P(A) INDEPENDÊNCIA ESTATÍSITCA(BB - Cesgranrio). Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente três vezes? (A) 1/8 (B) 1/4 EXERCICIO RESOLVIDO 01: (C) 1/3 (D) 1/2 (E) 3/4 Resolução: Primeira jogada: qualquer resultado serve (probabilidade igual a 1) Segunda jogada: só serve resultado que não aconteceu da primeira vez (probabilidade igual a Terceira jogada: só serve mesmo resultado que aconteceu na segunda jogada (probabilidade igual a Logo: 1 1/4 Resposta:(BB FCC) Para disputar a final de um torneio internacional de natação, classificaram- se 8 atletas: 3 1 australiano, 1 japonês, 1 francês e 2 brasileiros. Considerando que todos atletas classificados são ótimos e têm iguais condições de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja entre três primeiros colocados é igual a: EXERCÍCIO RESOLVIDO 02: (A) 5/14 (B) 3/7. (C) 4/7. (D) 9/14. (E) 5/7 Resolução: Dica: Quando aparecer na questão "pelo menos devemos encontrar a probabilidade de não acontecer nenhum, ou seja, de não termos brasileiros no pódio, e depois diminuirmos de 1. Probabilidades: De nenhum brasileiro ganhar ouro = 6/8 = 3/4 De nenhum brasileiro ganhar prata = 5/7 (desconsideramos a medalha de ouro) De nenhum brasileiro ganhar bronze = 4/6 = 2/3 (desconsideramos as medalhas de ouro ou prata) Então: P (não termos brasileiros no pódio) = 3/4 X 5/7 2/3 = 5/14 P (termos pelo menos um brasileiro no pódio) = 1 5/14 = 14/14 5/14 = 9/14 Resposta: DReferências IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da Matemática Elementar. Vol. São Paulo: Editora Atual, 2004. Dante, Luiz Roberto. Matemática Contexto e Aplicações. Volume Único, Ensino Médio, 3.ed. São Paulo: Editora Ática, 2008 Ávila, Roberto. Teoria e Questões de Matemática. Volume Único, Prof. MSc. Herivelto NunesSugestão: Vídeo aulas Matemática Rio. Disponível em: 26/02/2023 Prof. MSc. Herivelto Nunescontatos E-mail: Instagram: @Herivelto nunes e @estatisticacomh