Slides Matemática Financeira

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Unidade I
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Maurício Manzalli
Objetivos da disciplina
 A disciplina matemática financeira tem 
como objetivo proporcionar aos alunos 
o domínio dos seus conceitos e 
nomenclatura, assim como 
instrumentalizá-los no uso das fórmulas 
e das calculadoras financeirase das calculadoras financeiras, 
facilitando-lhes o trânsito na área de 
finanças, de acordo com seu perfil 
profissional e servindo como base/ 
instrumento para outras áreas do 
conhecimento.conhecimento.
Natureza do estudo da matemática 
financeira
A matemática financeira estuda as relações 
entre os valores financeiros e suas datas, 
devido:
 Inflação;
 taxas de juros;taxas de juros;
 prazo de remuneração de capital.
Assuntos da unidade
 Fundamentos/conceitos básicos
 Juro simples
 Desconto simples 
 Taxa efetiva na operação de desconto
Fundamentos/conceitos básicos
 Principal (P): capital inicial de uma 
aplicação.
 Juro (J): valor pago ou recebido como 
remuneração (aluguel) pelo uso de um 
capital.
 Montante (M): é a soma do Principal de 
uma aplicação com o seu Juro.
M = P + J
Fundamentos/conceitos básicos
 Custo (C): quanto se paga por uma 
determinada mercadoria ou se gasta 
para prestar um determinado serviço.
 Lucro (L): ganho adicionado ao custo da 
mercadoria ou serviço para se calcular 
seu preço de venda.
 Preço de Venda (V): resultado da soma 
do custo com o lucro.
V = C + L 
Fundamentos/conceitos básicos
Exemplo
Por quanto devo vender um bem com custo 
de R$ 60.000,00 para eu ter 30% de lucro 
sobre o preço de venda?
Fórmula V = C + L
S l ãSolução:
 V = C + L
 V = 60.000,00 + [(30/100).V]
 V = 60.000,00 + 0,30.V
 V – 0,30.V = 60.000,00
0 0V 60 000 00 0,70V = 60.000,00
 V = 60.000,00/0,70
 V = R$ 85.714,28
Resposta: Devo vender o bem
pelo preço de R$ 85.714,28.
Fundamentos/conceitos básicos
 Número de períodos (n): é a medida 
do prazo de uma aplicação ou dívida, 
expressa na unidade de tempo da 
taxa de juros.
 Ano exato: é o critério em que o prazo 
é contado dia a dia, perfazendo 
um ano de 365 dias.
 Ano comercial: é o critério em que o 
prazo é contado em meses de 30 dias, 
totalizando um ano de 360 dias.
Fundamentos/conceitos básicos
 Taxa de juros (r ou i): é o índice, referido a 
uma unidade de tempo, por meio do qual 
calculamos os juros; será denominada r 
quando for percentual (base 100) ou i 
quando for de base unitária. De maneira 
geral a unidade de tempo da taxa de jurosgeral a unidade de tempo da taxa de juros 
é indicada de forma abreviada.
 Exemplos: a.a. = ao ano; a.m. = ao mês;
a.t. = ao trimestre; a.b. = ao bimestre.
Fundamentos/conceitos básicos
Proporcionalidade de Taxas: 
 Conceito: duas taxas de juros diferentes, 
referidas a unidades de tempo diferentes, 
são proporcionais quando seus valores 
estiverem na mesma razão que 
 2
1
2
1
n
n
i
i 
seus prazos.
Fórmula:
Fundamentos/conceitos básicos
Exemplos de taxas proporcionais.
 2% ao mês = 24% ao ano
 1% ao bimestre = 3% ao semestre
 5% ao trimestre = 20% ao ano 
 2% ao dia e 60% ao mês
Fundamentos/conceitos básicos
 Fluxo de caixa: é a indicação gráfica da 
movimentação de valores em um caixa, 
com a marcação desses valores em suas 
respectivas datas, sobre um eixo 
horizontal, por meio de uma convenção, 
geralmente com setas que demonstra segeralmente com setas, que demonstra se 
são entradas ou saídas.
Interatividade
Uma papelaria compra um mouse de 
computador por R$ 20,00 e o vende por 
R$ 30,00. Podemos afirmar que seu lucro 
sobre o preço de custo será de:
a) 30%
b) 25%
c) 20%
d) 50%
e) 40%
Juro simples
 O juro de todos os períodos da aplicação/ 
dívida somente é adicionado ao principal 
para constituir o montante, ao final 
da aplicação/dívida.
 Em todos os períodos o juro é calculado 
aplicando-se a taxa sobre o principal.
 Também denominado: 
Juro não capitalizado, Juro linear, 
Juro proporcional.
Juro simples
Fórmulas
a) Juro: como cada período renderá juro 
igual ao principal vezes a taxa de juros, 
em uma aplicação de n períodos, 
teremos o juro total igual a:
J = P.i.n
Juro simples
b) Montante: será a soma do principal do 
período com o seu juro:
M = P + J
M = P + P.i.n
M = P (1+i n)M = P.(1+i.n)
Juro simples
Exemplo
Qual o valor dos juros correspondentes a 
um empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo 
de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada 
é de 3% ao mês?
Fórmula J = P . i . N
Solução:
 J = 10.000,00 x (3/100) x 5
 J = 10.000,00 x 0,03 x 5
 J = 1.500,00
Resposta: o valor dos juros é de
R$ 1.500,00.
Juro simples
Valor atual (A) e valor nominal (N)
 Definimos o valor atual como um valor 
da dívida em uma data anterior à do 
vencimento e o nominal como seu valor 
na própria data de vencimento.
Traduzindo em fórmulas, podemos 
escrever:
Valor nominal = N = A.(1 + i.n)
ou
Valor atual = A = N/(1 + i.n)
Juro simples
Equivalência de taxas
 Conceito: duas taxas de juros diferentes, 
referidas a unidades de tempo diferentes 
são equivalentes quando, a partir do 
mesmo principal, no mesmo prazo, 
produzirem o mesmo montante.
Fórmula: 
 Equivalência anual-mensal segundo o 
critério de cálculo do juro simples.
Juro simples
ia = taxa de juros unitária anual
im = taxa de juros unitária mensal
 Número de períodos: um ano para a taxa 
anual ou doze meses para a taxa mensal.
M = P (1+ ia) e M = P (1+ im 12)M = P.(1+ ia) e M = P.(1+ im .12)
Como os montantes e os principais são 
iguais, teremos:
 1 + ia = 1 + im .12 e, portanto:
 ia = 12 . im
Juro simples
Exemplo
Qual o capital que, aplicado à taxa de 117,6% 
a.a., durante cinco meses, deu um retorno de 
R$ 161.665,00?
Resolução
L b d 5 d 5/12Lembrando que 5 meses de um ano = 5/12
Fórmula M = P . (1+ i . n)
Solução:
 161.665,00 = P . (1 + (117,6/100) . (5/12)
 161.665,00 = P . (1 + (1,176 . 0,41)
 161.665,00 = P . (1 + 0,48216)
 161.665,00 = P . 1,48216
 P = 161.665,00 / 1,48216
Resposta: P = R$ 108.500,00 (valor arredondado, 
admitindo P =161.665,00 / 1,49)
Interatividade
Um poupador aplica R$ 1.000,00 em um
banco que paga juros simples de 2% a.m.
Depois de sete meses o cliente poderá
sacar um montante de:
a) R$1.150,00a) R$1.150,00
b) R$1.180,00
c) R$1.140,00
d) R$1.145,00
e) R$1.135,00 ) $ ,
Descontos simples
Conceitos
 Desconto (D ou d): é o abatimento dado 
no valor nominal de uma dívida, como 
consequência da antecipação da sua 
data de pagamento.
 Prazo de antecipação (n): é a medida do 
tempo que vai da data de pagamento 
efetivo até a data de vencimento.
Descontos simples
 Valor descontado ou líquido (VD ou Vd): 
é o valor efetivamente pago ou recebido, 
após o abatimento do desconto.
 Taxa de desconto é a taxa de juros 
utilizada nos cálculos dos descontos. 
Desconto simples: racional 
ou por dentro
 Definição: segundo o critério racional 
ou por dentro, o desconto simples é 
calculado como o juro simples do valor 
atual da dívida, na data da antecipação, 
pelo prazo de antecipação da data de 
pagamentopagamento.
Fórmula do desconto:
D = A.i.n
A = valor atual da dívida na data do 
pagamento antecipadopagamento antecipado
i = taxa unitária de desconto
n = tempo que falta para o vencimento, 
contado a partir da data de
pagamento
Desconto simples: racional 
ou por dentro
 Outra forma de calcular o desconto:
D 
in
Nin
 1
N = valor nominal
i = taxa de desconto
n = período de antecipação
P l d t d VD N DPara o valor descontado, VD = N – D, em que 
N = valor nominal e D = desconto.
De outra forma,Desconto simples: valor 
descontado racional 
Substituindo suas expressões, teremos: 
VD = N – N.i.n/(1+ i.n) 
que, por simplificação, se transformará em:
N
VD
in
N
 1
Desconto simples: valor 
descontado racional 
Exemplo
Calcule o desconto simples racional de um 
título de valor nominal R$ 3.000,00, em uma 
antecipação de seis meses, à taxa de 
desconto de 5% ao mês.
Fórmula D = (N.i.n) / 1 + (i.n)
Solução:
 D = (3000,00 . (5/100) . 6) / 1 + (5/100) . 6
 D = (3000,00 . 0,05 x 6) / 1 + (0,05 . 6)
 D = 900 00 / 1 + 0 3 D = 900,00 / 1 + 0,3
 D = 900,00 / 1,3
 D = 692,30
Resposta: O desconto simples
racional é de R$ 692,30. 
Desconto simples: comercial 
ou por fora 
Definição: segundo o critério comercial, 
ou por fora, o desconto simples é 
calculado como o juro simples do valor 
nominal da dívida, pelo prazo de 
antecipação da data de pagamento.
Fórmulas
Desconto simples comercial ou por fora:
 se o desconto comercial é o juro simples 
do valor nominal pelo prazo de 
antecipação, sua fórmula será:antecipação, sua fórmula será:
d = N.i.n
Desconto simples: comercial 
ou por fora 
Valor descontado ou líquido comercial ou 
por fora:
de acordo com o conceito de valor 
descontado, temos: Vd = N – d.
Substituindo d por sua fórmula, teremos:Substituindo d por sua fórmula, teremos:
Vd = N – N.i.n
Vd = N.( 1 – i.n)
Desconto simples: comercial 
ou por fora 
Exemplo
O portador de uma nota promissória de 
R$ 60.000,00, necessitando de dinheiro, 
procurou uma agência bancária, 60 dias antes 
do vencimento do título, a fim de resgatá-lo. O 
banco fez o desconto comercial com taxa de 8%banco fez o desconto comercial com taxa de 8% 
ao mês.
a) Calcule o valor do desconto feito pelo banco.
b) Determinar a quantia recebida pelo portador 
do título.
Fórmulas
Desconto comercial
 d = N.i.n 
Valor descontado ou líquido comercial
 Vd = N.(1 – i.n)
Desconto simples: comercial 
ou por fora 
Exemplo
Dados
 N = 60.000,00
 i = 8% a.m.
60 di d 2 n = 60 dias, que correspondem a 2 meses
Solução:
a) Calcule o valor do desconto feito pelo 
banco
 d = N.i.n
 d = 60000,00 . (8/100) . 2
 d = 60000,00 . 0,08 . 2
 d = 9600,00
Resposta: O desconto foi de R$ 9.600,00.
Desconto simples: comercial 
ou por fora 
Exemplo
Dados
 N = 60.000,00
 i = 8%a.m.
 n = 60 dias, que correspondem a 2 meses
Solução:Solução:
b) Determinar a quantia recebida pelo portador 
do título;
 Vd = N . (1 – i . n)
 Vd = 60000,00 . (1 – (8/100) . 2)
 Vd = 60000,00 . 1 – (0,08 . 2)( )
 Vd = 60000,00 . 1 – 0,16
 Vd = 60000,00 . 0,84
 Vd = 50400,00
Resposta: O portador recebeu
R$ 50.400,00 pelo título. 
Interatividade
Um agiota calcula o juro que recebe, pelo 
empréstimo de seu dinheiro, por meio do 
critério de desconto racional, usando a taxa 
de 6% a.m. Para um valor nominal de R$ 
1.000,00, em oito meses, podemos afirmar 
que o valor líquido será:que o valor líquido será:
a) R$ 670,00.
b) R$ 680,00.
c) R$ 675,68.
d) R$ 680 78d) R$ 680,78.
e) R$ 670,56.
Desconto simples: bancário 
 Definição: segundo o critério bancário, 
o desconto é calculado como o desconto 
simples comercial, acrescido de um 
percentual do valor nominal como 
taxa administrativa.
 A taxa administrativa é um percentual 
bruto, e não uma taxa de juros; ao 
montarmos a fórmula de cálculo, 
a qual será representada por h, 
devemos dividi-la por 100, para 
trabalharmos com sua forma unitáriatrabalharmos com sua forma unitária.
Desconto simples: bancário 
Fórmulas
Desconto simples bancário:
de acordo com o conceito, teremos:
db = d + h.N
db = N.i.n + h.N portanto
db = N.( i.n + h )
Valor descontado bancário (valor líquido 
bancário):
de acordo com o conceito temos:de acordo com o conceito, temos: 
Vdb = N – db e, portanto:
Vdb = N – N.( i.n + h )
Vdb = N .[ 1 – ( i.n + h ) ]
Desconto simples: bancário 
Exemplo
Um banco faz empréstimos pelo critério de 
desconto bancário. Para um pedido de R$ 10.000,00 
a cinco meses, o banco cobra taxa de 3% a.m., mais 
uma taxa administrativa de 1%. Qual o valor líquido 
retirado pelo cliente?
Fórmula Vdb = N x [1 – (i x n + h)]
Solução: 
 Vdb = N x [1 – (i x n + h)]
 Vdb = 10000,00 x [1 – (3/100) x 5 + (1/100)]
 Vdb = 10000,00 x [1 – (0,03 x 5) + 0,01]
 Vdb = 10000 00 x [1 0 15 + 0 01] Vdb = 10000,00 x [1 – 0,15 + 0,01]
 Vdb = 10000,00 x [1 – 0,16]
 Vdb = 10000,00 x 0,84
 Vdb = 8400,00
Resposta: O valor líquido retirado pelo
cliente é R$ 8.400,00.
Taxa efetiva nos descontos 
comercial e bancário 
Definição
 Denomina-se efetiva a taxa de juros à 
qual devemos aplicar os valores 
descontados (líquidos) comercial ou 
bancário para obtermos, de montante, o 
valor nominal da dívida, no prazo de 
antecipação.
 Representaremos essa taxa por if.
 A fórmula da taxa efetiva pode ser 
construída a partir da própria definição:construída a partir da própria definição:
N = Vd x ( 1 + if x n)
Taxa efetiva nos descontos 
comercial e bancário 
 A partir dessa definição, podemos 
concluir as seguintes fórmulas:
d
If = ou if =
nVd.
d
Taxa efetiva nos descontos 
comercial e bancário 
 As fórmulas correspondentes para o 
desconto bancário poderão ser obtidas 
por meio da troca dos parâmetros das 
duas fórmulas anteriores:
n
Vdb
N 1
nVdb.
db
if = ou if =
Taxa efetiva nos descontos 
comercial e bancário 
Observação
 Substituindo, na fórmula da taxa efetiva 
comercial, cada parâmetro por sua 
fórmula, conseguimos chegar a uma 
fórmula para a taxa efetiva, baseada 
i
apenas na taxa de desconto e no prazo 
de antecipação:
if =
in1if =
Taxa efetiva nos descontos 
comercial e bancário 
 Fazendo o mesmo procedimento para o 
desconto bancário, teremos que 
transformar a taxa administrativa em 
uma taxa de juros correspondente, na 
mesma unidade de tempo que a taxa de 
desconto e adicionar as duas dandodesconto e adicionar as duas, dando 
origem a uma nova taxa de desconto 
bancário, que engloba a administrativa e 
a de desconto, representada por I.
Taxa efetiva nos descontos 
comercial e bancário 
Dessa forma, a fórmula da taxa efetiva para 
o desconto bancário, baseada apenas nas 
suas duas taxas e no prazo, será:
if = Iif In1
Taxa efetiva nos descontos 
comercial e bancário 
Exemplo.
 Calculando a taxa efetiva e o desconto 
simples comercial de um título de valor 
nominal R$ 1.000,00, em uma antecipação 
de três meses, à taxa de desconto de 4% 
ao mês, quais os valores encontrados? 
Taxa efetiva nos descontos 
comercial e bancário 
Solução
Dados:
 N = 1.000,00
 n = 3
 i = 4%
Calculando o desconto comercial:
 d = N x i x n
 d = 1.000,00 X 0,04 x 3
d 120 00 d = 120,00
Taxa efetiva nos descontos 
comercial e bancário 
Solução
Dados:
 N = 1.000,00
 n = 3
 i = 4%
Calculando a taxa efetiva:
 if = d/(Vd x n)
 if = 120,00 / [(1.000,00 – 120,00) x 3
if 120 00 / (880 00 3) if = 120,00 / (880,00 x 3)
 if = 120,00 / 2.640,00
 if = 0,045 a.m.
 If = 4,55% a.m.
Interatividade
Um título de R$ 5.500,00 foi descontado no 
banco X, que cobra 2% como despesa 
administrativa. Sabendo-se que o título foi 
descontado três meses antes do seu 
vencimento e que a taxa corrente em 
desconto comercial é de 40% a a qual odesconto comercial é de 40% a.a., qual o 
desconto bancário? Quanto recebeu o 
proprietário do título?
a) 660,00; 4.840,00.
b) 4.840,00; 660,00.
c) 66,00; 484,00.
d) 6.600,00; 3.850,00.
e) Não há informações suficientes
para efetuar o cálculo solicitado.
ATÉ A PRÓXIMA!