cap4 - Microeconomia Aplicada (Maurinho)

Prévia do material em texto

132 Eduardo R. de Castro, Adelson M. Figueiredo Maurinho dos Santos consome ambos bens ao preço inicial de e CAPÍTULO 4 disponibilizando, para isso, uma renda de $800,00. Com base nessas informações, responda às questões a seguir. a) Se preço do bem Q₁ aumenta em 100%, quais efeitos renda, Teoria da dualidade substituição e total obtidos a partir do modelo de Slutsky de compensação de renda? Utilize a análise gráfica. b) Resolva esta mesma questão utilizando a proposta de Hicks. Utilize a Maurinho Luiz dos Santos¹ análise gráfica. Adelson Martins Figueiredo² c) Se ambos os bens, Q₁ e sofressem, simultaneamente, o mesmo Eduardo Rodrigues de Castro³ aumento de 100%, quais seriam os efeitos renda, substituição e total Gil Bracarense Leite⁴ encontrados? 4.1. Introdução A teoria da dualidade é uma ferramenta amplamente aplicada na 3.14. Referências resolução de problemas de programação linear. Esta teoria permitiu a BINGER, B.R.; HOFFMAN, E. Microeconomics with calculus. 2.ed. junção dos problemas de minimização e maximização, vistos comumente Massachusetts: Addison-Wesley, 1998. 633 p. como problemas separados. Segundo Chiang (1982), os teoremas da MAS-COLELL. A.; WHINSTON, M.D.; GREEN, J.R. Microeconomic dualidade possibilitam a formulação de um programa de minimização (maximização) correspondente a qualquer programa de maximização theory. New York: Oxford University Press, 1995. (minimização), gerando resultados idênticos para a função-objetivo. O VARIAN, H.R. Microeconomia: princípios básicos. 4.ed. Rio de Janeiro: problema de programação linear original é denominado de primal e o seu Campus, 1999. 740 p. correspondente é conhecido como dual. Dessa maneira, pode-se dizer que a teoria da dualidade fornece aos pesquisadores a possibilidade de escolher o mais simples e adequado dos programas primal e dual, uma vez que as soluções ótimas das funções-objetivo do primal e do dual são idênticas. A importância da aplicação dos fundamentos teóricos da dualidade torna-se ainda mais evidente no momento da realização de trabalhos empíricos. Em trabalhos relacionados à teoria da produção é comum não encontrar dados para estimação da função direta de lucro de empresas, Professor do Departamento de Economia Rural da Universidade Federal de Viçosa. e-mail: mlsantos@ufv.br. Professor da Universidade Federal de São Carlos. e-mail: adelson@ufscar.br. Professor da Universidade Federal de São Carlos. e-mail: eduardo@ufscar.br Mestre em Economia Aplicada pelo Departamento de Economia Rural da UFV, e-mail: gilbracarense@yahoo.com.br134 Maurinho Luiz dos Adelson M. Eduardo R. de Castro Gil Bracarense Leite Teoria da dualidade 135 simplesmente porque esses dados não são disponibilizados e, ou, não são função, quando invertida, isto é, considerando (R) em termos de e coletados. Contudo, em muitos casos é possível encontrar dados relativos às variáveis preços e quantidades demandadas de insumos, propiciando a D é denominada de função indireta de dispêndio (FID). estimação de funções de demanda dos fatores, na forma de parcelas do Garantidas as condições de linearidade das restrições e de tangência, ou lucro. Em trabalhos relacionados à teoria do consumidor podem ocorrer seja, que a taxa marginal de substituição entre os bens seja igual à razão situações ainda mais extremas, em que as variáveis não são mensuráveis, de preços, as informações sobre as preferências contidas na forma direta como nível de utilidade do consumidor. Desse modo, há limitações ao são transferidas para as formas indiretas ou duais. cálculo do nível máximo de utilidade do consumidor (primal). Entretanto, De acordo com Deaton e Muellbauer (1980), as soluções para as neste último caso, existem variáveis quantificáveis como quantidade formulações primal e dual, para um consumidor de dois bens e consumida, nível de preços, renda e etc., que permitem montar um podem ser ilustradas conforme Figura 4.1. Nos eixos desta figura são problema de minimização do dispêndio do consumidor, conhecido como plotados ambos os valores dos preços e quantidades para dois bens. dual. Dado um vetor arbitrário de quantidades pode-se desenhar a curva 4.2. Dualidade aplicada à teoria do consumidor de indiferença, CI = Q) Pela condição de tangência à razão de Embora a teoria da dualidade aplicada à teoria do consumidor preços que levaria à escolha ótima da cesta de bens, Q pode seja bastante semelhante à dualidade aplicada à programação matemática, ser obtida pela taxa marginal de substituição (TMS) do bem 2 pelo bem é necessário entender melhor a sua aplicação e relevância para a teoria do consumidor, especialmente a teoria da demanda. A teoria da dualidade 1, ou seja, da inclinação da CI para Q, podendo-se então flexibiliza uso de variáveis relacionadas às preferências do consumidor, tornando possível um elo mais forte entre a teoria e as aplicações práticas. traçar uma linha AB tangente à CI com inclinação igual a Assim, As funções de utilidade ou preferências do consumidor são modeladas define-se a solução ótima do problema de maximização da utilidade do como função das quantidades dos diversos bens adquiridos pelo consumidor (primal). consumidor, ou seja, uma formulação primal, sendo certamente óbvio e Para definir a solução do problema dual a partir da função indireta aceitável, porém não estimável empiricamente, pois a utilidade é uma de utilidade, basta desenhar uma linha de preços OP perpendicular a AB, variável não observada. ligando as coordenadas de preços, as quais mantêm inalterada a razão de No entanto, se o consumidor se deparar com uma restrição preços estabelecida pela inclinação da reta AB. A coordenada de preços orçamentária linear, as escolhas deste são definidas pela sua renda (R) e do ponto P ao longo de OP deve ser escolhida de maneira que aos preços pelos preços dos bens, que determinam a máxima utilidade que pode P a escolha ótima seja e que a renda seja toda gasta, R = OP . ser atingida. Em termos econômicos, isso significa que a função direta de Assim, P deve estar sobre uma única curva de indiferença no eixo dos preços, a qual corresponde ao mínimo dispêndio e tem o mesmo nível de utilidade do consumidor, denotada por U pode ser representada fielmente por formulações duais, como função de (R) e obtendo-se Para traçar esta curva de indiferença, considerou-se a utilidade fixa em um nível ótimo qualquer correspondente denominada de função indireta de utilidade (FIU). Esta ao vetor de quantidades ou à cesta de bens Q.136 Maurinho Luiz dos Santos, Adelson M. Eduardo R. de Castro Gil Bracarense Leite Teoria da dualidade 137 utilidade da formulação primal, U É necessário destacar ainda que curvas de indiferenças mais altas nas coordenadas das quantidades equivalem a curvas de indiferenças mais baixas nas coordenadas dos preços, desde que a função U seja crescente em (Q) enquanto C V R) é decrescente em No caminho inverso, da formulação dual (FIU) para a primal ou seja, de P para Q, esse procedimento é precisamente análogo. Q Partindo do ponto P, pode-se traçar a linha tangente CE, que tem inclinação a qual, pela identidade de Roy⁶, é igual a De forma análoga, vetor de quantidades 0Qé traçado perpendicular a CE, com O B E comprimento tal que X OP = R. Isso é tido como a volta ao ponto original, Q. Por essa técnica, se a função indireta de utilidade é conhecida, Figura 4.1 Curvas de indiferenças primal e dual ou a FID, é possível recuperar a função de utilidade original U U(Q) Fonte: Deaton e Muellbauer (1980). As informações originais contidas em U U(Q) são simplesmente recuperadas pelas funções duais FIU e FID. Esse retorno às preferências 4.3. Dualidade e funções de demanda originais a partir de funções duais ou indiretas é o teorema fundamental da Na literatura econômica é comum a estimativa econométrica de Teoria da Dualidade, denominado de teorema da dualidade de Shephard- funções ou de sistemas de demandas, com suposições comportamentais Uzaua (DEATON; MUELLBAUER, 1980). sobre os parâmetros estimados, sendo também comum destinar-se pouca atenção à origem dessas pressuposições. Isso evidencia a falta de uma apresentação da origem teórica dessas pressuposições, de maneira mais acessível e mais relacionada com a prática das estimativas econométricas. Assim, buscar-se-á mostrar de forma clara e objetiva que as funções de demanda Marshalianas são derivadas da função de utilidade do consumidor, bem como apresentar a origem de algumas das presuposições feitas ou impostas sobre os parâmetros das funções de demanda, estimadas que a função CI f(U) foi traçada no eixo versus enquanto que a função CI f(V) traçada no versus Um sistema de demanda simplificado para dois bens, e Q₂, identidade de Roy podem-se obter as funções de demanda marshalianas através do negativo da razão das derivadas parciais da FIU em relação às variáveis Dessa maneira, av av em que a quantidade demandada de cada bem depende apenas do preço Para mais ver Deaton e Muellbauer (1980). do bem em questão e da renda (R) do consumidor, pode ser138 Maurinho Luiz dos Santos, Adelson M. Eduardo R. de Castro Bracarense Leite Teoria da dualidade 139 especificado econometricamente da seguinte maneira: Q₁ e Q₂, que as funções de demanda Marshaliana derivadas da utilidade do consumidor apresentem algumas (4.1) como: em que e ε₂ são perturbações estocásticas; α₁ e a) Aditividade, ou seja, a renda do consumidor R deve ser toda gasta com os bens Q: espera-se uma relação negativa entre a quantidade (4.4) demandada e os preços dos próprios produtos; e, para bens normais e, ou, superiores tem-se um sinal positivo para a variável renda para bens inferiores este sinal será negativo. b) Homogeneidade de grau zero em preços e ou seja, se os preços Considerando que a renda do consumidor será toda gasta no e a renda variarem na mesma proporção, as quantidades demandadas consumo de ambos os bens, pode-se reescrever a equação (4.1) na forma permanecerão inalteradas. Isso significa que Qé igual à própria função de parcelas de gastos, transformando o intercepto da função de forma Q, com seus argumentos P e R multiplicados por um escalar positivo que: (4.5) Além dessas propriedades, as funções de demanda originadas de (4.2) funções de utilidade tipo Cobb-Douglas, como neste caso, são ditas separáveis, isto é, a função de demanda de um bem não depende do Esse sistema de demanda pode ser estimado facilmente, apenas preço de outros considerando intercepto como uma constante qualquer, como na equação A forma funcional das funções demanda, representadas pela (4.1). Entretanto, a ênfase deste item está nas relações teóricas das funções equação (4.2), podem ser geradas pela seguinte função indireta de de demanda; por isso, para simplificar as demonstrações, obtém-se o utilidade, que denota a preferência do consumidor com relação aos dois antilogaritmo da equação (4.2), além de desconsiderar possíveis choques bens, e Q₂, dado o nível de renda e os preços dos produtos: de demanda não esperados, ou seja, e 0. Disso tem-se: αR (4.6) Para que a função utilidade possa ser derivada da FIU, esta deverá (4.3) Q₂ atender a algumas propriedades, dentre as quais destacam-se cinco: Observe que a relação inversa entre as quantidades demandadas Demonstrações destas propriedades, bem como das propriedades das demais funções mostradas neste item. são apresentadas no Apêndice A. e os preços dos produtos torna-se mais perceptível. Pode-se notar que É comum referir-se a essa propriedade como ausência de monetária. Esta propriedade só é válida quando não se trabalha com funções de demandas generalizadas. Ver derivações estão no denominador das equações de demanda Marshaliana destas funções no Apêndice B.140 Teoria da dualidade Maurinho Luiz dos Santos, Adelson M. Eduardo R. de Castro Gil Bracarense Leite 141 a) Continuidade e diferenciabilidade em P, de forma que suas primeiras e segundas derivadas existam. b) A FIU é crescente em R, ou seja, se a renda for multiplicada por uma constante então a função FIU será multiplicada por esta constante: av (4.11) (4.7) c) A FIU é não-crescente em P, isto é, se os preços forem multiplicados por uma constante >0, logo, a FIU será multiplicada pela fração Resolvendo a FIU para R, pode-se obter ainda a função indireta (1/7): de dispêndio (FID), mais conhecida na literatura internacional como cost function. A FID derivada a partir da equação (4.6) é denotada por: (4.8) d) Homogênea de grau zero em preços e renda: (4.9) D(P,U) (4.12) e) A FIU é convexa nos preços; isolando na equação (4.3) e substituindo na FIU descrita pela equação (4.6), pode-se obter a função Esta função é dual da função indireta de utilidade, devendo, assim, de utilidade do consumidor, dada por: atender a algumas propriedades como: (4.10) a) Ser continua e diferenciável em P, de forma que suas primeiras e segundas Esta é uma função de utilidade tipo Cobb-Douglas, com a qual derivadas existam. leitores já devem estar familiarizados. A escolha desta função deve-se à sua praticidade, sendo bastante utilizada em livros-texto, como Binger e b) Homogeneidade de grau 1 em todos preços, isto é, não decrescente Hoffman (1998), Pindyck e Rubinfeld (1999) e Varian (1999). em P: Da FIU podem-se obter as próprias funções de demanda (4.13) apresentadas na equação (4.3), bastando para isso aplicar a identidade de Roy, fornecida pela seguinte formulação: c) Crescente em U, o que significa que, como a função de utilidade depende apenas das quantidades demandadas dos bens, de modo que, se U estiver crescendo, é porque o dispêndio deve estar também aumentando: (4.14)142 Maurinho Luiz dos Santos, Adelson M. Figueiredo, Eduardo R. de Castro Bracarense Leite Teoria da dualidade 143 d) A FID é côncava nos preços. 4.4. Equação de Slutsky Para melhor entendimento das propriedades das demandas e) Existe uma derivada parcial da FID com relação aos preços, que são Hicksianas ou compensadas, a equação de Slutsky, já apresentada no as demandas Hicksianas ou capítulo 3 deste livro, é usada para mostrar que as demandas Hicksianas são simétricas e negativas semidefinidas. (4.15) As funções de demanda Hicksianas ou compensadas, derivadas 4.4.1. Equação de Slutsky para variações contínuas da FID, devem ter as seguintes propriedades: De acordo com o exposto no item referente a dualidade e funções a) Serem aditivas: de demanda, pode-se definir: a) U, como a máxima utilidade alcançada (4.16) em um dado nível de renda que equivale ao dispêndio mínimo b) Serem homogêneas de grau zero em preços, ou seja, se todos os preços necessário para alcançá-la. P forem multiplicados por um escalar positivo a função de demanda Hicksiana não será alterada; dessa maneira, tem-se: b) = como a quantidade demandada do bem i, dados os (4.17) preços e o nível de utilidade. c) São simétricas. As derivadas cruzadas da função de demanda Hicksiana c) como a demanda Hicksiana. em relação aos preços são simétricas, para todo i # j: Diferenciando (c) em relação a , tem-se a equação de Slutsky: (4.18) ap, d) São negativas semidefinidas (negatividade). A matriz formada pelos n- elementos дн, é semidefinida negativa. Esta propriedade (4.19) pode ser demonstrada através da equação de Slutsky, para variações contínuas. Peto Teorema de Shephard, considerando um vetor de preços um nível de utilidade U e correspondente em que é a demanda Marshaliana inversa, éa vetor de quantidades ótimas Q°, logo para n-vetores de preços definidos por uma equação a quantidade não é necessariamente ótima para P. Assim, dispêndio com ao nível de preços maior que o dispêndio mínimo (ótimo), D(U,P), pois Z(P) é sempre maior ou igual a zero. demanda compensada ou Hicksiana e é o efeito renda. sabe-se que Z(P) ou se atinge um mínimo, quando o vetor P igual a Portanto se Z(P) dR então sua derivada em relação a é Ver Deaton e Muellbauer (1980) e Afriat (1980).Teoria da dualidade 145 144 Maurinho Luiz dos Santos, Adelson M. Eduardo R. de Castro Bracarense Leite 4.4.2. Matriz de Slutsky podem ser testadas como se segue. Suponha que sejam obtidas estimativas econométricas de um Agora é possível derivar algumas implicações da equação de sistema de demanda ordinária: Slutsky para a teoria do consumidor. A matriz Hessiana (H) da função de dispêndio é simétrica e negativa semidefinida. Isso implica que os efeitos (4.21) de substituição cruzada são iguais e que a inclinação da função de demanda compensada é não-positiva. Para a demonstração, considere a matriz Da equação (4.21), pode-se testar se para as funções estimadas Hessiana da função de dispêndio para dois bens, e cujos preços tem-se: isto é, o efeito substituição de Hicks é, de são denotados por P₁ fato, negativo? Pode-se testar também se os efeitos de substituição cruzada são iguais. Ou seja, para o caso de dois bens, é verdadeiro que (4.20) + + Q₁? Generalizando para n bens denotados em que D₁₁ é a segunda derivada parcial de em relação a Pᵢ e D₁₂ é a derivada parcial cruzada. A matriz Hessiana Dé negativa semidefinida em conseqüência do por i ej, é verdadeiro que dR dR Qᵢ fato de a função de dispêndio D ser côncava. Isso implica também que o Assim, testa-se uma hipótese mista, que inclui a hipótese de que o sistema primeiro menor principal de D tem que ser não positivo, isto é,146 Maurinho Luiz dos Adelson M. Eduardo R. de Castro Gil Bracarense Leite Teoria da dualidade 147 quantidades de Q₁ e Q₂ cujos preços de mercados são e P₂, que maximizam a satisfação do consumidor que possui uma renda disponível R para gastar com ambos bens? Para responder a essa pergunta, pode-se montar seguinte 0 problema de maximização: (4.22) s.a H >0 (4.27) 0 Este problema pode ser resolvido montando-se o seguinte Lagrangeano: U₁₁ (4.23) H U₂₂ Calculando as derivadas primeiras de (4.23) em relação a têm-se as condições de primeira ordem (CPO) do problema de maximização da utilidade do consumidor: Das condições de primeira ordem, pode-se isolar 2 em (4.24) e, ou, (4.25), obtendo-se a taxa marginal de substituição (TMS) de (4.24) Q₂ por Q₁: du (4.25) UMa, TMS UMa₂ (4.28) (4.26) Para obter as equações de demanda Marshalianas ou não- As condições de primeira ordem são necessárias, mas não suficientes para se garantir um ponto de máximo. Dessa maneira, a condição compensadas, para e basta usar a TMS; isolando Q₁ ou e de segunda ordem (CSO) para um ponto de máximo é que a matriz substituindo na condição de primeira ordem, dada pela equação (4.26), orlado (H), da equação (4.23), seja definida negativa ou, pelo tem-se: menos, negativa semidefinida. Para isso, determinante da matriz H deve ser maior que zero, ou seja, obtidas as derivadas parciais segundas para as variáveis Q₁ e tem-se:148 Maurinho Luiz dos Santos, Adelson M. Figueiredo, Eduardo R. de Castro Gil Bracarense Leite Teoria da dualidade 149 Aplicando teorema de Shephard, têm-se as demandas Hicksianas ou compensadas: (4.32) R Pela teoria da Dualidade, os problemas primal e dual devem gerar em que e Q₂ são as funções de demanda ordinárias ou Marshalianas, os mesmos resultados. Para demonstrar isso, problema dual podendo ser escritas também como: correspondente ao problema primal apresentado será formulado a seguir. 4.5.2. Problema dual É comum que as pessoas se preocupem em comprar bens que (4.29) mais gostam, sendo comum também a preocupação com a quantia que irão gastar. Geralmente, as pessoas têm uma quantia de dinheiro para comprar determinados bens, e o que se quer é comprar a maior quantidade Para encontrar a função indireta de utilidade (FIU), deve-se apenas de bens, gastando a menor quantia possível. Disso pode-se formular a substituir na função de utilidade de forma que: seguinte pergunta: supondo que o consumidor goste dos bens e cujos preços de mercados são e P₂, qual o menor valor que ele pode gastar na compra desses bens, de forma que ele obtenha a maior satisfação com a compra? R (4.30) = (4.33) Da FIU, aplicando-se a identidade de Roy, dada na equação obtêm-se as próprias funções de demanda Marshaliana. Invertendo Esse problema pode ser resolvido montando-se o seguinte colocando em função dos preços e da utilidade, tem-se a função Lagrangeano: indireta de dispêndio (FID). Para isso, isola-se R na equação (4.30): (4.34) (4.31) Derivando em relação a Q₁ , e , têm-se as condições de primeira ordem para minimização:150 Maurinho Luiz dos Santos, Adelson M. Eduardo Castro Gil Bracarense Leite Teoria da dualidade 151 é exatamente igual à equação (4.31): az (4.40) (4.35) Os desenvolvimentos e derivações da teoria do consumidor az apresentados neste capítulo, fazendo-se uso da teoria da dualidade, foram (4.36) condensados na Figura 4.2. As propriedades das funções apresentadas neste item, bem como nos itens anteriores, não foram demonstradas. Assim, os leitores mais (4.37) interessados podem consultar as derivações das principais propriedades das funções apresentadas neste item no Apêndice B. A condição de segunda ordem para um mínimo é que a matriz orlado da equação (4.34) seja definida positiva. As derivações Problema primal Dualidade Problema dual da matriz (H) para minimização podem ser obtidas de forma análoga ao Maximização da Utilidade Minimização do Dispêndio MAX U caso de maximização apresentado em (4.27). SA Das condições de primeira ordem, pode-se isolar µ em (4.35) e, ou, (4.36), obtendo-se a taxa marginal de substituição (TMS) de FUNÇÃO DE DEMANDA FUNÇÃO DE DEMANDA MARSHALIANA HICKSIANA por em Substituindo em (4.38) FUNÇÃO INDIRETA DE Inversão FUNÇÃO INDIRETA DE UTILIDADE (FIU) DISPÉNDIO (FID) As equações de demanda compensadas ou Hicksianas, para e são obtidas isolando ou na equação (4.38) e substituindo Aplicando a identidade Diferenciação (teorema na condição de primeira ordem, dada pela equação (4.37). Disso tem-se: de Roy de Shephard-Uzaua) Substituição . Substituição P₁ FUNÇÃO DEDEMANDA FUNÇÃO DE DEMANDA MARSHALIANA HICKSIANA (4.39) Figura 4.2 Dualidade aplicada à Teoria do Consumidor Substituindo e na equação da renda, tem-se a FID, que Fonte: Adaptado de Deaton e Muellbauer (1980, p. 38 e 41).154 Maurinho Luiz dos Santos, Adelson M. Eduardo R. de Castro Gil Bracarense Leite Teoria da dualidade 155 5(50,5964) Observe que, substituindo e R₀ 120,00 nas demandas Marshalianas, obtêm-se as mesmas quantidades encontradas Substituindo nas demandas Marshalianas, tem-se: anteriormente, e pode-se também calcular o equilíbrio do consumidor sem a compensação de renda após variações dos preços. 2(140) 7,78 e Equilíbrio inicial: e d) Como já foram calculadas as demandas compensadas para Hicks e Slutsky, itens (b) e (c) deste mesmo exercício, basta calcular as variações destas demandas, em relação às demandas iniciais e e às demandas finais e após a variação do preço. Equilíbrio após variação do preço: Pelo método de Slutsky: e compensação de renda de Slutsky é obtida sob um princípio diferente da compensação de Hicks. Para Slutsky, a compensação de renda Pelo método de Hicks: deve ser tal que o consumidor possa adquirir, aos novos preços, a mesma cesta inicial. Assim, para encontrar o equilíbrio de Slutsky, deve- se encontrar a variação de renda necessária para adquirir as mesmas quantidades iniciais dos bens Q₁ e e substituir novos valores nas próprias demandas Marshalianas, calculadas na letra (b) deste exercício.Teoria da dualidade 157 156 Maurinho Luiz dos Santos, Adelson M. Eduardo R. de Castro Gil Bracarense Leite No gráfico a seguir encontra-se a representação dos resultados obtidos 3) Um indivíduo que possui função de utilidade homogênea e crescente nos itens anteriores deste exercício. jamais terá sua satisfação maximizada. Resolva os seguintes problemas: 1) Um consumidor tem sua função de utilidade representada por: , com sendo α # o dispêndio total do consumidor com cada bem será sempre diferente 18.67 para quaisquer preços não-nulos dos bens 2) Um consumidor tem a função de utilidade para dois bens, 1 e 2, representada por em que U utilidade total, Q₁ = quantidade consumida do bem 1 e = quantidade consumida do bem 2. As restrições iniciais do consumidor são: renda = 120,00; ER = R$5,00; e P₂ R$4,00. Considere que o preço do bem 1 ES aumenta de R$5,00 para R$6,00. Utilizando-se os métodos de Hicks e Slutsky, calcule: ET a) A curva de renda consumo. 10 Q, b) A curva de Engel para os dois bens. c) A função indireta de utilidade. Figura 4.3 Representação dos efeitos total, substituição e renda para as compensações de renda com os métodos de Hicks e de d) As demandas Marshalianas; Slutsky e) As demandas compensadas ou Hicksianas. 4.7. Exercícios propostos f) O ponto de equilíbrio após a compensação de Hicks. Comente as seguintes questões: 1) A Teoria da Dualidade aplicada à Teoria do Consumidor proporciona g) O ponto de equilíbrio após a compensação de Slutsky. alternativas à modelagem usual e, portanto, à solução de problemas h) Os efeitos total, renda e substituição pelos métodos de Hicks e Slutsky. econômicos. i) Construa o gráfico, mostrando OS efeitos. 2) Funções de utilidade que apresentam a mesma taxa marginal de substituição serão, com certeza, transformações monotônicas positivas O bem 1 é um bem normal, superior ou inferior? Por quê? uma da outra.158 Maurinho Luiz dos Santos, Adelson M. Eduardo R. de Castro Bracarense Leite Teoria da dualidade 159 3) Um consumidor tem a função de utilidade para dois bens representada 4.8. Referências por U em que U utilidade total, Q₁ = quantidade AFRIAT, S.N. Demand functions and the stutsky matrix. New Jersey: consumida do bem I e Q₂ = quantidade consumida do bem 2. As Princeton University Press, 1980. 269 p. restrições iniciais do consumidor são: renda = R$ 105,00; P₁ R$ BINGER, B.R.; HOFFMAN, E. Microeconomics with calculus. 2.ed. 2,50; e P₂ = R$ 5,00. Considere que o preço do bem aumenta de Massachusetts: Addison-Wesley, 1998. 633 p. R$ 2,50 para R$ 5,00. Utilizando-se os métodos de Hicks e Slutsky, CHIANG, A.C. Matemática para economistas. São Paulo: McGraw- calcule: Hill do Brasil, 1982. 684 p. a) O ponto de equilíbrio após a compensação de Hicks. b) ponto de equilíbrio após a compensação de Slutsky. DEATON, A.; MUELLBAUER, J. Economics and consumer behavior. c) Os efeitos total, renda e substituição pelos métodos de Hicks e Slutsky. London: Cambridge University Press, 1980. 450 p. d) Construa gráfico mostrando os efeitos. PINDYCK, R.S.; RUBINFELD, D.L. Microeconomia. 4.ed. São Paulo: e) As demandas compensadas são menos elásticas que a demanda Makron Books, 1999. 791 p. marshaliana inversa. Explique de forma discursiva porque isso acontece. VARIAN, H.R. Microeconomia: princípios básicos. 4.ed. Rio de Janeiro: 4) Considere um indivíduo que consome dois bens, e cuja Função Campus, 1999. 740 p. Indireta de Dispêndio seja dada por D Sabe-se que o nível inicial de renda desse indivíduo é de R$ e que os preços iniciais dos bens são R$ 5,00 e P₂ R$ 10,00. Considerando uma redução em P₁ capaz de modificar para 1/4 a relação de preços, calcule efeitos renda, substituição e total, sob os critérios de compensação de renda de Hicks e Slutsky. Faça a demonstração da forma gráfica.