Cálculo 1 Cap.VI

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31/03/2016 Cálculo 1 ­ Cap.VI. Continuidade , Teorema do Valor Intermediário e Aplicação do TVI para Existência de Soluções de Equações
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 Cálculo I 
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Cap.VI. Continuidade e Teorema do Valor Intermediário
 
(e Aplicação do TVI para Existência de Soluções de Equações)
 
  VI­1. Continuidade    VI­2. Teorema do Valor Intermediário (e Aplicação do TVI para Existência de Soluções de Equações)
 
VI­1.  Continuidade     (  )
 
    Introdução         Continuidade        em Ponto         Observação 6­1    
    Continuidade    
    Laterais         Observação 6.2         Função Contínua    
    Continuidade    
    em Intervalos         Exemplo 6­1         Exemplo 6­2         Observação 6­3         Observação 6­4         Exemplo 6­3    
 
Introdução :     (  )
 
     Vamos  voltar  a  função  definida  no  exemplo 5.2  do  capítulo  anterior :
 
                         
 
    Um  conceito  intuitivo  de  continuidade  é :   " enquanto  caminhamos  no  domínio  da  função  sem  interromper 
temos  que  poder  traçar  o  gráfico  da  função  sem  tirar  o  lápis  do  papel " .  O  domínio  desta  função  é  IR . 
Observe   que   seu   gráfico   "tem  saltos"   em  x = 2   [  porque   não   existe   ]       e      em   x  =  3    [    porque 
 ]
 
    Observe ,  também ,  que   ,   a  IR – { 2 , 3 } .
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Definição  6.1 :  ( Continuidade  em  um  ponto )  :     (  ) 
 
    A  função  f  é  contínua  em  a  Dom f ,  se 
 
     e       .
 
 
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Observação 6­1 :     (  )
A  função  f  não  é  contínua  em  a  Dom f ,   se       ou     .
 
Se  uma  função  não  é  contínua  em  um  ponto  a  do  seu  domínio ,  dizemos  que  é  descontínua 
em  a .
 
A    definição    acima    só    diz    respeito    a    pontos    do    domínio    da    função  .    A    definição    de 
continuidade  e  descontinuidade  em  a  não    faz  sentido  se   a   não   pertencer   ao   domínio   da 
função .
 
    Assim ,  para  função  dada  na  introdução ,  temos :
 
       
 
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Definição  6.2 :  ( Continuidade  Laterais )  :     (  ) 
 
    A  função  f  é  contínua  à  esquerda  em  a  Dom f ,  se 
 
     e       .
 
    A  função  f  é  contínua  à  direita  em  a  Dom f ,  se 
 
     e       .
 
 
    Assim ,  para  função  dada  na  introdução ,  temos :
 
       
 
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Observação 6.2 :     (  )
 
    f  é  contínua  em  a      f  é  contínua  à  esquerda  e  à  direita  em  a .
 
 
Definição  6.3 :  ( Função  Contínua )  :     (  ) 
 
    A  função  f  é  contínua  se  é  contínua  em  todos  os  pontos  do  seu  domínio .
 
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Obs.:  Se  uma  função  não  é  contínua ,  dizemos  que  é  uma  função  descontínua .
 
 
Definição  6.4 :  ( Continuidade  em  Intervalos )  :     (  )
 
  No  intervalo  ( a , b )  :                                                                                                                       
    A  função  f  é  contínua  no  intervalo  aberto  ( a , b )   Dom f ,   se   f  é  contínua  em  todos  os  pontos 
de   ( a , b )  .
 
  No  intervalo  ( a , b ]  :                                                                                                                       
    A  função  f  é  contínua  no  intervalo  ( a , b ]    Dom f ,   se   f  é  contínua  em  ( a , b )  e  à  esquerda 
em  b .
 
  No  intervalo  [ a , b )  :                                                                                                                       
    A  função  f  é  contínua  no  intervalo  ( a , b ]    Dom f ,   se   f  é  contínua  em  ( a , b )  e  à  direita  em 
a .
 
  No  intervalo  [ a , b ]  :                                                                                                                       
    A  função  f  é  contínua  no  intervalo  fechado  [ a , b ]    Dom f ,   se   f  é  contínua  em  ( a , b ) ,   à 
direita   em   a   e   à   esquerda   em   b .
 
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    A  função  dada  na  introdução  é  descontínua ,  isto  é ,  NÃO  é  uma  função 
contínua  ( porque  não é  contínua  nos  pontos  2  e  3  do  seu  domínio ) .  Essa 
função  é  contínua  nos  intervalos  ( –  , 2 ] , ( 2 , 3 ) e ( 3 ,  ).
 
Exemplo 6.1 :      (  )
 
        Determine    se    as    funções    dadas    abaixo    são    contínuas  ,    caso    não    sejam    encontre    seus    pontos    de 
descontinuidade :
(a)      (sol.)       
 
(b)       (sol.)       
 
(c)       (sol.) 
 
 
Solução :
 
(a)  
 
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(b)  
 
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(c)  
 
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    Vamos  observar  estes  resultados  nos  gráficos  destas  funções :
 
 
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Exemplo 6.2 :      (  )
 
    Dada     determine  se  F  é  contínua  nos  seguintes  intervalos :
(a)  ( –  , – 2 )   (solução)       
 
(b)  ( –  , – 2 ]   (solução)       
 
(c)  ( – 2 , – 1 )   (solução)       
 
(d)  [ – 1 , 1 ]   (solução) 
 
(e)  ( 0 , 2 )   (solução)       (f)  ( 1 , 2 )   (solução)       (g)  [ 1 , 2 )   (solução)       (h)    [  2  ,    )   (solução)      
 
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Solução :
 
 
(a)  ( –  , – 2 )     (ver o gráfico desta função)
 
 
 
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(b)  ( –  , – 2 ]     (ver o gráfico desta função)
 
 
 
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(c)  ( – 2 , – 1 )     (ver o gráfico desta função)
 
 
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(d)  [ – 1 , 1 ]     (ver o gráfico desta função)
 
 
 
 
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(e)  ( 0 , 2 )     (ver o gráfico desta função)
 
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(f)  ( 1 , 2 )     (ver o gráfico desta função)
 
 
 
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(g)  [ 1 , 2 )     (ver o gráfico desta função)
 
 
 
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(h)  [ 2 ,  )     (ver o gráfico desta função)
 
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Observação 6­3 :     (  )
Se  f  e  g  são  contínuas  em  a ,  então  f + g ,  f – g ,  f g  são  contínuas  em  a .
 
Se  f  e  g  são  contínuas  em  a   e   g ( a )  0 ,  então  f / g  é  contínua  em  a .
 
Se  g  é  contínua  em  a   e   f  é  contínua  em  g ( a )  ,  então  f o g  é  contínua  em  a .
 
Se  f  e  g  são  funções  contínuas ,  então  f + g ,  f – g ,  f g ,  f / g ,  f o g  e  g o f  são  funções 
contínuas .
 
Observação 6­4 :     (  )
Toda  função  polinomial  é  contínua .
 
Toda  função  racional  é  contínua .
 
Toda  função  algébrica  é  contínua .
 
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Exemplo 6.3 :      (  )
 
(a)     e    ,  as  funções  f – g ,  f / g ,  f o g  e  g o f  são  contínuas ?      (solução)
(b)     e     ,  as  funções  f g ,  f o g  e  g o f  são  contínuas ?     (solução)
 
Solução :
 
(a)     e    ,  as  funções  f – g ,  f / g ,  f o g  e  g o f  são  contínuas ?
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(b)     e     ,  as  funções  f g ,  f o g  e  g o f  são  contínuas ?
 
 
 
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VI­2.  Teorema  do  Valor  Intermediário  e
           Aplicação do TVI para Existência de Soluções de Equações   (  )
 
    Teorema do Valor Intermediário         Exemplo 6­4       (Aplicação do TVI para Existência de Soluções de Equações)    
 
 
Teorema do Valor Intermediário:  ( TVI )  :     (  ) 
 
    Se  f  é  contínua  no  intervalo  fechado  [ a , b ] ,  então  para  todo  k  entre  f ( a )  e  f ( b )  existe  pelo 
menos  um  c  ( a , b )  tal  que  k = f ( c ) . 
 
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( clique  aqui  para  ver  como  é  necessária  a  hipótese  da  função  ser  contínua  no  intervalo  fechado )
 
 
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Exemplo 6.4 :      (  )
 
(a)   Verifique   que   a   equação   2 x  4  –  9 x  2  +  4   =    0      tem    pelo   menos    uma    solução    no    intervalo    (  0  ,  1  )
.    (solução)
 
(b)  Observe ,   ao  lado ,   no   gráfico   da   função   f ( x )  =  2 x 4 – 9 x 2 + 4 ,   que   este   polinômio  
possui   4   raízes   reais .   Verifique   que   esta   função   é   par   e   que   – 2   e   2   são   raízes   de   f .  
Além   disto ,   veja   neste   gráfico   que   as   outras   raízes   estão   no   intervalo   ( 0 , 1 )   ( conforme 
pedido  para  verificar  no  item  "a" )   e   no   intervalo   ( – 1 , 0 ) .    (solução)     (ver o gráfico ao lado
ampliado)
(c)  Calculando   um   valor   aproximado   de   f   para   alguns  valores   de   x   encontramos :
 
 
Com   estas   informações ,   lembrando   que   – 2   e   2   são    raízes    de    f ,     quais    os    menores     intervalos  
abertos   onde   podemos   encontrar   as   outras   duas   raízes ?   Por  que ?    (solução)
 
(d)   Demostre      formalmente      que      essas      outras      duas      raízes      realmente      se      encontram      nos      intervalos   
encontrados   no   item   "c" .     (solução)
 
Solução :
 
(a)  Verifique  que  a  equação  2 x 4 – 9 x 2 + 4  =  0   tem  pelo  menos  uma  solução  no  intervalo  ( 0 , 1 ) .
 
    Seja   f ( x ) = 2 x 4 – 9 x 2 + 4 ,   a   f   é   uma   função   polinomial   e   portanto   f   é   uma   função   contínua   em  
IR .
 
    Como   [ 0 , 1 ]  Dom f = IR ,   temos   que   f   é   contínua   no   intervalo   intervalo   fechado   [ 0 , 1 ] .
 
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    Logo ,   existe   pelo   menos   uma   solução   da   equação   2 x 4 – 9 x 2 + 4  =  0   no   intervalo   ( 0 , 1 ) .
 
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(b)  Observe ,   ao  lado ,   no   gráfico   da   função   f ( x )  =  2 x 4 – 9 x 2 + 4 ,   que   este   polinômio  
possui   4   raízes   reais .   Verifique   que   esta   função   é   par   e   que   – 2   e   2   são   raízes   de   f .  
Além   disto ,   veja   neste   gráfico   que   as   outras   raízes   estão   no   intervalo   ( 0 , 1 )   ( conforme 
pedido  para  verificar  no  item  "a" )   e   no   intervalo   ( – 1 , 0 ) .     (ver o gráfico ao lado ampliado)
 
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(c)  Calculando   um   valor   aproximado   de   f   para   alguns  valores   de   x   encontramos :
 
 
Com   estas   informações ,   lembrando   que   – 2   e   2   são    raízes    de    f ,     quais    os    menores     intervalos  
abertos   onde   podemos   encontrar   as   outras   duas   raízes ?   Por  que ?
 
    Com   as   informações   dadas ,   os   menores   intervalos   abertos   onde   podemos   encontrar   as   outras   duas  
raízes   são   (  – 0 , 8 ,  – 0 , 7  )   e   (  0 , 7  ,  0 , 8  ) .
 
    Porque ,
 
      f   é   uma   função   polinomial   e   portanto   contínua   em   IR ,   então   para   f    ter   uma   raiz   é   preciso  
que  
        perto   desta   raiz   o   valor   da   função   mude   " de  positivo  para  negativo "   ou   " de  negativo  para  positivo
" ,
 
      f   é   uma   função   par ,   logo    f ( 0 , 7 ) = f ( – 0 , 7 )  0,0702 > 0   e   f ( 0 , 8 ) = f ( – 0 , 8 )  – 0,9408 < 0 .
 
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(d)   Demostre      formalmente      que      essas      outras      duas      raízes      realmente      se      encontram      nos      intervalos   
encontrados   no   item   "c" .
 
 
    Logo ,   fpossui ,   pelo  menos ,   uma   raiz   no   intervalo   (  – 0 , 8  ,  – 0 , 7  ) .
 
    Então ,  como    f    é  uma  função   par ,   temos    que    f    também    possui ,    pelo    menos ,    uma    raiz     no    
intervalo    (  0 , 7  ,  0 , 8  ) .
 
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