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MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem
	Acadêmico: Carla Jessica Farias
	R.A. 19225795
	Curso: Licenciatura em Matemática
	 Disciplina: Análise Matemática
	Valor da atividade: 3,5 pontos
	Prazo: 01/10/2021
Instruções para Realização da Atividade
1. Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos;
2. É obrigatória a utilização deste formulário para a realização do MAPA;
3. Esta é uma atividade individual. Caso identificado cópia de colegas, o trabalho de ambos sofrerá decréscimo de nota;
4. Utilizando este formulário, realize sua atividade, salve em seu computador, renomeie e envie em forma de anexo no campo de resposta da atividade MAPA;
5. Formatação exigida para esta atividade: documento Word, Fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12, Espaçamento entre linhas 1,5, texto justificado; 
6. Ao utilizar quaisquer materiais de pesquisa referencie conforme as normas da ABNT;
7. É necessário responder as DUAS PARTES da Atividade.
8. Os cálculos e fórmulas devem ser realizados no próprio arquivo word (TEMPLATE disponível no Material da Disciplina). Para isso utilize o EQUATION, que é a ferramenta inserida no próprio word, ou outra ferramenta disponível. NÃO SERÃO ACEITOS TRABALHOS FEITOS À MÃO E INSERIDOS NO ARQUIVO.
Em caso de dúvidas, entre em contato com seu Professor Mediador.
Bons estudos!
PARTE 1 – Teorema do Valor Intermediário.
a) Enuncie e Demonstre o Teorema do Valor Intermediário para funções reais de uma variável real;
Teorema 3.15 (Teorema do Valor Intermediário): seja contínua. Se , então, existe , tal que .
Demonstração: de fato, considere . Temos e, dessa forma, S é limitado. Além disso, , pois . Como S é limitado, superiormente, então, existe , tal que . Seja , , tal que . Como , para todo , então, , para todo . Como e , para todo , temos que . De forma análoga, concluímos que a ≤ c. Sendo contínua em ] , com e , então, . Assim, e , para todo , e, consequentemente, . Dessa forma, temos que ou . Se , então, segue da Proposição 3.3 que existe , tal que , para todo . Observe que se , então, existe , tal que . Dessa forma, . Como e
, então, , com . Com isso, temos uma contradição, pois para todo . Portanto, .
b) Dentre as hipóteses do Teorema do Valor Intermediário, existe uma condição muito importante que garante a existência de tais pontos. Qual é essa hipótese?
Porque a função é contínua.
c) Enuncie pelo menos um corolário diretamente ligado ao Teorema do Valor Intermediário.
Existe um ponto tal que . Portanto se a função é continua e um ponto é negativo e em outro ponto é positiva, obrigatoriamente existe um ponto c que a função será igual à zero.
d) Resolva a seguinte situação-problema. 
O queniano Eliud Kipchoge se tornou o primeiro atleta a correr uma maratona em menos de duas horas. O campeão olímpico e recordista mundial marcou o tempo de 1 hora 59 minutos e 40 segundos neste sábado, em evento preparado especialmente para a tentativa em Viena, na Áustria. Kipchoge foi apoiado por 36 outros corredores que o acompanharam em grupos alternados.
Disponível em: <https://veja.abril.com.br/esporte/eliud-kipchoge-se-torna-primeiro-a-correr-uma-maratona-em-menos-de-2-horas/>. Acesso em Out. 2019
Sabendo que uma maratona possui um percurso de 42,195 km, prove que, em pelo menos dois momentos distintos da corrida, a velocidade instantânea de Eliud era de 5 metros por segundo.
Primeiro passo é transformar tudo em metros e sengundos:
1 hora 59 minutos e 40 segundos
Agora vamos somar tudo.
Velocidade inicial é zero, ou seja, tempo igual a zero e a final também é zero. A função é continua [0; 5,876].
Aplicar o TVI na distância 0 até onde encontramos vm igual 5,87 e depois o contrário para justificar.
 contínua. Se , então, existe , tal que .
 contínua. Se , então, existe , tal que .
Observando a função destacada de verde podemos perceber que existe duas soluções quando a velocidade instantânea é igual a 5, pois é possível perceber que a função corta a parabola em dois pontos.
Portanto, conseguimos provar que, em pelo menos dois momentos distintos da corrida, a velocidade instantânea de Eliud era de 5 metros por segundo.
PARTE 2 – Teorema do Valor Médio.
a) Para a demonstração do Teorema do Valor Médio, um outro teorema (também conhecido por um nome) é utilizado. Qual é esse Teorema? Enuncie o Teorema em questão.
Também conhecido como Teorema dos Acréscimos Finitos.
Teorema 4.6 (Teorema de Rolle): Seja uma função contínua em todos os pontos de seu domínio. Se f é derivável no intervalo aberto e , então, existe tal que .
b) Agora que já sabemos qual é o Teorema necessário para demonstrar o Teorema do Valor Médio, enuncie e demonstre o Teorema do Valor Médio (de Lagrange). (Pode, quando necessário, apenas citar o teorema visto anteriormente)
Teorema 4.7 (Teorema do Valor Médio): seja uma função contínua em todos os pontos de seu domínio. Se f é derivável no intervalo aberto , então, existe , tal que 
Demonstração: com o objetivo de aplicar o Teorema de Rolle, a partir da função f dada, definimos uma função auxiliar , como sendo a reta que passa pelos pontos .
isto é,
Agora, observe que função defina por:
é contínua em , derivável em ) e, além disso, satisfaz .
Assim, pelo Teorema de Rolle, existe de modo que . Logo, ou seja,
Como queríamos demonstrar.
c) Resolva a seguinte questão:
Considere uma função diferenciável em todo o seu domínio, tal que , . Se , então, pelo Teorema do Valor Médio, determine o valor máximo de .
Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,4), temos:
Mas , ou seja, logo:
O maior valor possível para , portanto iremos substituir por:
Referências:
DESTCH, Denise Trevisoli; CRAVEIRO, Irene Magalhães; KATO, Lilian Akemi; SCHULZ, Rodrigo André; RUIZ, Simone Francisco. Análise Matemática. Maringá. UniCesumar, 2020.