The Nonlinear Schroedinger Equations Self Focusing and Wave Collapse Catherine Sulem Pierre Loui

Prévia do material em texto

z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
fr
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
le
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
gi
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
z
z
z
P
s
g
i
o
l
e
P
f
r
p
	Header
	Cover
	Preface
	Contents
	Part I - Basic Framework
	1 - The Physical Context
	2 - Structural Properties
	Part II - Rigorous Theory
	3 - Existence and Long-Time Behavior
	4 - Standing Wave Solutions
	5 - Blowup Solutions
	Part III - Asymptotic Analysis near Collapse
	6 - Numerical Observations
	7 - Supercritical Collapse
	8 - Critical Collapse
	9 - Perturbations of Focusing NLS
	Part IV - Coupling to a Mean Field
	10 - Mean Field Gravitation
	11 - Gravity-Capillary Surface Waves
	12 - The Davey-Stewartson System
	Part V - Coupling to Acoustic Waves
	13 - Langmuir Oscillations
	14 - The Scalar Model
	15 - Progressive Waves in Plasmas
	Synopsis
	References