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Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 22 
 
I – Fundamentos para solução de circuitos elétricos 
I.1 – Representação fasorial 
Nos circuitos elétricos assintoticamente estáveis1, a análise do regime permanente senoidal pode ser 
realizada através da simples operação com números complexos por intermédio da transformada fasorial. Na 
análise fasorial, todas as correntes e tensões senoidais são representadas por números complexos que 
quantificam a amplitude e o ângulo de fase das senóides, sendo a freqüência destas considerada 
implicitamente. 
 
Qualquer função do tipo senoidal pode ser representada pela função 
 
 ( ) ( )φω += tGtg cos 
 
através da escolha dos valores adequados para: 
 
 G – valor máximo (amplitude); 
 
T
f pipiω 22 ==
 – velocidade angular [rad/s]; 
 f – freqüência [Hz]; 
 T – período [s]; 
 φ – ângulo de fase [rad]. 
 
A Figura I.1 apresenta o gráfico de uma função senoidal genérica, indicando os valores de G e φ. 
t 
[rad] 
g(t) 
−φ 
G 
-G 
ω 
 
Figura I.1 – Função tipo senoidal. 
 
Observar que quando o ângulo de fase φ é igual a 2pi− , a função cosseno transforma-se em um seno, 
conforme mostra a Figura I.2, ou seja, são válidas as seguintes relações: 
 





+=
2
sencos
pi
ωω tt
 





−=
2
cossen
pi
ωω tt
 
 
1
 Circuitos assintoticamente estáveis são aqueles que não apresentam nenhuma das raízes de sua equação 
característica no eixo imaginário ou no semiplano direito do plano complexo. Neste caso, a resposta natural tende a 
zero: 
( ) 0lim =
∞→ tynt 
e a resposta completa tende à sua resposta forçada: 
( ) ( ) ( ) ( )tytytyty ffntt =+= ∞→∞→ limlim 
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pi/2 ω t [rad] 
cos 
sen 
 
Figura I.2 – Relação entre as funções seno e cosseno. 
 
 
Define-se como defasagem a diferença entre os ângulos de fases de duas funções do tipo senoidal de mesma 
velocidade angular ω. Sendo ( ) ( )111 cos φω += tGtg e ( )








−+=
876 2
122 cos
φ
αφωtGtg , a defasagem entre ( )tg1 e 
( )tg 2 é dada por ( ) ααφφφφ =−−=− 1121 , conforme ilustra a Figura I.3. 
α 
g1(t) g2(t)
ω t [rad]
 
Figura I.3 – Defasagem entre duas funções senoidais. 
 
Assim, pode-se dizer que: 
( )tg1 está adiantada em relação à ( )tg 2 do ângulo αααα e 
( )tg 2 está atrasada em relação à ( )tg1 do ângulo αααα. 
 
Considere a função senoidal geral: 
( ) ( )φω += tYty cosmax (I.1) 
 
Note que a função tem três parâmetros: maxY – amplitude 
 ω – velocidade angular 
 φ – ângulo de fase 
 
Observar que qualquer função senoidal pode ser representada através da escolha adequada de maxY , ω e φ . 
 
Utilizando a identidade de Euler: θθθ sencos je j += 
 
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( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ]












=
===+++=
+=+=
+
tj
Y
j
tjjtj
ee
Y
eeYeYtjYtY
tYtYty
ωφ
ωφφωφωφω
φωφω
48476
2
Re2
ReResencosRe
cosRecos
max
maxmaxmaxmax
maxmax
 
 ( ) ( )tjeYty ωRe2= (I.2) 
onde φjeYY
2
max
=
 é definido como a representação fasorial de ( )ty ou a transformada fasorial da função 
senoidal ( )ty . 
 
Observar que a transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do tempo para o domínio dos 
números complexos, que também é chamada de domínio da freqüência, já que a resposta envolve 
implicitamente uma função senoidal de freqüência ω. 
 
Notar que Y contém 2/3 das informações de ( )ty a saber, maxY e φ . Considerando 2
maxYY = , o valor RMS2 
de ( )ty , tem-se: 
 
 φφ YYeY j == (I.3) 
 
A representação gráfica em um sistema coordenado de um fasor genérico encontra-se na Figura I.4. 
 
φcosY
φsenY
φYY =
Im 
Re 
φ
 
Figura I.4 – Representação gráfica do fasor Y 
 
Observar que o fasor é diferente de um vetor porque a posição angular do fasor representa posição no 
tempo; não no espaço. 
Resumo: 
 ( ) ( )φω += tYty cosmax ou ( ) ( )tjeYty ωRe2= 
φφ YYeY j == Forma polar 
2
maxYY = 
φφ sencos jYYY += Forma retangular 
2
maxYY = 
 
2
 “Root Mean Square” ou valor quadrático médio (eficaz). 
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I.2 – Impedância [ΩΩΩΩ] e admitância [ΩΩΩΩ-1 ou siemens] 
A impedância Z de um componente ou circuito é a relação entre os fasores tensão e corrente (vide 
convenção de sinais da Figura 1.5): 
 
( )



=
=
+==
∆
reatância
aresistênci
X
RjXR
I
VjZ ω (I.4) 
 
A admitância Y de um componente ou circuito é o inverso de sua impedância: 
 
( ) ( ) 

=
=
+===
∆
iasusceptânc
acondutânci1
B
GjBG
V
I
jZ
jY
ω
ω
 (I.5) 
 
 
Circuito 
linear 
invariante 
em regime 
permanente 
senoidal 
( ) [ ]tjeVtv ωRe2=
+ 
– 
( ) [ ]tjeIti ωRe2=
( )
Y
jZ 1=ω
 
Figura I.5 – Definição de impedância e admitância. 
 
 
Um resumo das relações entre tensão e corrente para os elementos simples encontra-se na Tabela I.1. 
 
 
Tabela I.1 – Relação tensão/corrente dos elementos simples. 
 
Elemento Equações Relação de fase 
Forma fasorial: 
( ) [ ]tjeIti ωRe2= 
( ) [ ]tjeVtv ωRe2= 
Diagrama 
fasorial 
Relação no 
tempo 
( )tv
+
–
( )ti
R
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) ( )φω += tIti cosmax 
( )ti e ( )tv 
em fase IRV = 
I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
( )tv
+
–
( )ti
L
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) 





−+=
2
cosmax
piφωtIti 
( )ti atrasada 
de ( )tv de 90° 
ILjV ω= 
 
LX L ω= I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
( )tv
+
–
( )ti
C
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) 





++=
2
cosmax
piφωtIti 
( )ti adiantada 
de ( )tv de 90° 
I
CjV ω
1
=
 
 
C
X C ω
1
=
 
I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
 
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I.3 – Associação de impedâncias 
Para a associação série de impedâncias (vide Figura I.6), a impedância equivalente é dada pela soma das 
impedâncias de cada um dos componentes, ou seja: 
 neq ZZZZ +++= K21 (I.6) 
 
– 
V
 
+ 
– 
1V+ – I 2V+ – nV + 
1Z 2Z nZ
V
 
+ 
– 
I
eqZ ≡ 
 
Figura I.6 – Diagrama para associação série de impedâncias. 
 
A expressão (I.6) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Tensões, da forma como segue: 
 n
nn
eq ZZZ
I
V
I
V
I
V
I
VVV
I
VZ +++=+++=+++== KKK 212121
LKT
 
Sabendo que 
Y
Z 1= , pode-se determinar a expressão da admitância equivalente da associação série, a partir 
da expressão (I.6): 
 
n
eq
neq
YYY
Y
YYYY 111
11111
21
21 +++
=⇒+++=
K
K 
 
Para a associação paralela de impedâncias (vide Figura I.7), a impedância equivalente édada pelo inverso 
da soma dos inversos das impedâncias de cada um dos componentes, ou seja: 
 
n
eq
neq
ZZZ
Z
ZZZZ 111
11111
21
21 +++
=⇒+++=
K
K (I.7) 
 
V
 
+ 
– 
I
1Z 2Z nZ V 
+ 
– 
I
eqZ≡ 
1I 2I nI
 
Figura I.7 – Diagrama para associação em paralelo de impedâncias. 
 
A expressão (I.7) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Correntes, da forma como 
segue: 
 
nn
n
eq
ZZZZ
V
Z
V
Z
V
V
III
V
I
VZ
111
1
2121
21
LKC
+++
=
+++
=
+++
==
KK
K
 
Novamente, sabendo que 
Y
Z 1= , pode-se determinar a expressão da admitância equivalente da associação 
série, a partir da expressão (I.7): 
 neq YYYY +++= K21 
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I.4 – Potência complexa 
Considere o sistema da Figura I.8 que se encontra em regime permanente senoidal. 
 
 
+ 
)cos()( max φω += tVtv
)cos()( max θφω −+= tIti
- 
)(tv
)(ti 
φ
 
V
I
 θ
 
Re
Im
φ
2
maxVV =
θφ −=
2
maxII
SISTEMA 
 
Figura I.8 – Sistema em regime permanente senoidal. 
 
A potência instantânea fornecida para o sistema é dada por: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp coscosmaxmax (I.8) 
 
mas ( ) bababa sensencoscoscos −=+ , daí 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θφωθφωθφωθφωθφω sensencoscossensencoscoscos +++=−+−−+=−+ ttttt (I.9) 
Substituindo (I.9) em (I.8), 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )φωφωθφωθ
θφωθφωφω
++++=
=++++=
ttIVtIV
tttIVtp
sencossencoscos
sensencoscoscos
maxmax
2
maxmax
maxmax
 (I.10) 
Mas 
2
2cos1
cos2
a
a
+
=
 e aaa cossen22sen = , logo: 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
2
22sen
sencos
22cos1
2
1
cos2
φωφωφω
φωφω
+
=++
++=+
t
tt
tt
 (I.11) 
Aplicando (I.11) em (I.10), chega-se a: 
 
( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen
2
22cos1cos
2
maxmaxmaxmax ++++= t
IV
t
IV
tp 
Definindo 
2
maxVV = e 
2
maxII = como os valores eficazes da tensão e da corrente senoidais, 
 VIIVIV ==
222
maxmaxmaxmax
 
chega-se à seguinte expressão: 
 
 ( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen22cos1cos ++++= tVItVItp (I.12) 
 
A forma de onda da potência instantânea dada por (I.12) apresenta uma parcela constante, igual a θcosVI , e 
uma parcela variável e alternada variante no tempo, igual a ( ) ( )φωθφωθ 22sensen22coscos +++ tVItVI , cuja 
freqüência corresponde exatamente ao dobro da freqüência da tensão e da corrente. 
 
Quando a tensão está em fase com a corrente, os gráficos das funções tensão, corrente e potência 
instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Observar que a função potência instantânea é oscilante e 
apresenta sempre valores positivos. 
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0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente em fase com a tensão
wt
v
(t)
,
 
i(t)
,
 
p(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.9 – Gráfico da potência no tempo – corrente em fase com a tensão. 
 
Quando a corrente está atrasada de 90°°°° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e 
potência instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Observar que a função potência é oscilante e 
apresenta valor médio nulo. 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente atrasada de 90 graus
wt
v
(t)
,
 
i(t)
,
 
p(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.10 – Gráfico da potência no tempo – corrente atrasada de 90o em relação à tensão. 
 
Quando a corrente está adiantada de 90°°°° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e 
potência instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Novamente, observar que a função potência é 
oscilante e apresenta valor médio nulo. 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente adiantada de 90 graus
wt
v
(t)
,
 
i(t)
,
 
p(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.11 – Gráfico da potência no tempo – corrente adiantada de 90o em relação à tensão. 
 
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Uma situação intermediária é aquela na qual a corrente está atrasada de um ângulo qualquer (por exemplo, 
30°, conforme Figura a seguir). Neste caso a potência apresenta valores positivos e negativos, sendo a 
predominância dos positivos. 
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente atrasada de 30 graus
wt
v
(t)
,
 
i(t)
,
 
p(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.12 – Gráfico da potência no tempo – corrente atrasada de 30o em relação à tensão. 
 
A partir da expressão (I.12) é fácil determinar o valor da potência ativa (eficaz ou útil, que produz trabalho) 
que é igual ao valor médio da potência instantânea fornecida ao sistema: 
 
( )[ ] ( )[ ]∫∫ ++++=∆
TT
dttVItVI
T
dttp
T
P
00
22sensen22cos1cos1)(1 φωθφωθ
 
 θcos VIP = [W] (I.13) 
 
A potência reativa corresponde ao valor máximo da parcela em ( )φω 22sen +t da potência instantânea: 
 θθ sensenI VIVQ =∆ [var] (I.14) 
 
para a qual adota-se a seguinte convenção3: 
INDUTOR: “consome” potência reativa 
CAPACITOR: “gera” potência reativa 
 
A potência aparente é obtida pela combinação das potências ativa e reativa P e Q: 
 
22 QPVIS +== [VA] (I.15) 
 
As expressões (I.13), (I.14) e (I.15) sugerem uma relação de triângulo retângulo (similar ao triângulo das 
impedâncias) na qual a potência aparente S é a hipotenusa, conforme ilustra a Figura I.13. 
S
P
jQ
IV ∠−∠=θ
S
P
jQ
IV ∠−∠=θ
Característica INDUTIVA Característica CAPACITIVA
 
Figura I.13 – Triângulo das potências. 
 
 
3
 Observar que para qualquer elemento ou combinação de elementos, a parcela representada pela potência reativa 
apresenta valor médio nulo, ou seja, não existe geração nem consumo efetivo, na metade do ciclo o elemento absorve 
energia que será devolvida na metade seguinte do ciclo. A convenção é adequada porque na metade do ciclo em que o 
indutor está absorvendo energia o capacitor está devolvendo e vice-versa. 
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O fator de potência é obtido pela relação entre as potências ativa e aparente: 
 
 
θθ coscos ===
VI
VI
S
PFP
 
 
Utilizando-se os fasores tensão e corrente, 
 
θφ
φ
−=
=
II
VV
 
pode-se definir a potência complexa através do produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente: 
 
 jQPjVIVIVIIVIVS +=+==+−=⋅= θθθθφφ sencos* (I.16) 
 
Notar que desta forma, o ângulo da potência só depende do ângulo entre a tensão e a corrente (θ), conforme 
ocorre nas expressões (I.13), (I.14) e (I.15). 
 
I.5 – Sentido do fluxo de potência 
Considere os dois sistemas elétricos interligados mostrados na Figura I.14. 
 
+ 
- 
V
I
αVV =
βII =
SISTEMA 
A 
SISTEMA 
B 
 
Figura I.14 – Situação geral do fluxo de potência em circuitos CA. 
 
De acordo com a notação da Figura I.14, a potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A é 
dada por: 
 
 
( ) ( ) jQPjVIVIVIIVIVS +=−+−=−=−=⋅= βαβαβαβα sencos* 
 
O sentido do fluxo de potência ativa P e reativa Q entre os dois sistemas para βαψ −= variando de 0 a 
360o está mostrado na Figura I.15.oo 900
:
:
<<
→
→
ψ
BA
BA
Q
P
oo 18090
:
:
<<
→
→
ψ
BA
AB
Q
P
 
oo 360270
:
:
<<
→
→
ψ
AB
BA
Q
P
oo 270180
:
:
<<
→
→
ψ
AB
AB
Q
P
 
P [W] 
Q [var] 
βαψ −=
 
αVV =
βII =
 
Figura I.15 – Sentido dos fluxos de potência ativa (P) e reativa (Q) entre os Sistemas A e B. 
 
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Na Figura I.15, observar que quando o ângulo de abertura é igual a 100o ( o100=ψ ), o valor de ψcos é 
negativo e, portanto, o fluxo de potência ativa de A para B também é pois ψcosVIP = . Isto significa que o 
fluxo de potência ativa neste caso é de B para A. Por outro lado, o valor de ψsen é positivo e, portanto, o 
fluxo de potência reativa de A para B também é pois ψsenVIQ = . Isto significa que o fluxo de potência 
reativa neste caso é de A para B. Observar que dependendo do ângulo de abertura existente entre os fasores 
tensão e corrente, é possível qualquer combinação de fluxo de potências ativa e reativa entre os dois 
sistemas. 
 
I.6 – Fonte trifásica ideal 
Uma fonte trifásica ideal é constituída por três fontes de tensão em conexão estrela ou triângulo, conforme 
ilustra a Figura I.16. 
 
BNV
ANV
+ 
+ 
N 
CNV
+ 
ABV
BCV
CAV
+ 
– 
+ 
– 
– 
+ 
(opcional) 
A 
B 
C 
 
 
ABV
BCV
CAV
+ 
+ + 
ABV
BCV
CAV
+ 
– 
– 
– 
+ 
+ 
N 
 
(a) Conexão estrela (b) Conexão triângulo. 
Figura I.16 – Fonte trifásica, ligação estrela. 
 
As diferenças de potencial entre as fases e o neutro (referência) são denominadas tensões de fase; as 
diferenças de potencial entre as fases 2 a dois são denominadas tensões de linha. Na seqüência ABC, o 
sistema é formado pelas seguintes tensões de fase ( )CNBNAN VVV ,, e de linha 
( )ACCACBBCBAAB VVVVVV −=−=−= ,, , ilustradas na Figura I.17: 
0φVV AN = 
oo 30303 LBNANAB VVVVV ==−= φ 
o120−= φVV BN 
oo 90903 −=−=−= LCNBNBC VVVVV φ 
o120φVV CN = 
oo 1501503 LANCNCA VVVVV ==−= φ 
 
Tensões de Fase (φ): 
ANV
ω CNV
BNV
CNBNAN VVV ;;
ABV
BCV
CAV
ANV
ω 
CNV
BNV
ABV
BCV
CAV
 
Tensões de Linha (L): CABCAB VVV ;;
CACBBA VVV ;;
BAV
CBV
ACV
 
Figura I.17 – Tensão de fase e de linha em um sistema trifásico simétrico (seqüência ABC). 
 
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A constante que relaciona a magnitude da tensão de fase com a de linha ( )φVVL 3= pode ser obtida, 
conforme mostrado na Figura I.18. 
 
ANV
BNV
BNANAB VVV −=
o120
o30
o30 φVV
VVVV
L
ANANABL
3
330cos2
=
===
o
BNV−
o60
 
Figura I.18 – Relação entre as tensões de fase e de linha. 
 
I.7 – Carga trifásica ideal 
A carga trifásica ideal é constituída por três impedâncias de igual valor conectadas em estrela ou triângulo, 
conforme mostra a Figura I.19. 
 
N 
YZ
YZ
YZ
A 
B 
C 
 
 
N 
∆Z
∆Z
∆Z
A 
B 
C 
 
(a) Ligação estrela. (b) Ligação malha ou triângulo. 
Figura I.19 – Carga trifásica equilibrada. 
 
A equivalência entre uma carga equilibrada conectada em estrela com outra em triângulo é: 
YZZ 3=∆ (I.17) 
 
I.8 – Potência complexa em circuitos trifásicos equilibrados 
Para um sistema trifásico qualquer (a três ou quatro fios, ou seja, com ou sem condutor neutro), conforme o 
ilustrado na Figura I.20, a potência complexa fornecida pelo Sistema A para o Sistema B é dada por: 
 333322221111
*
33
*
22
*
113 βαβαβαφ −+−+−=⋅+⋅+⋅= IVIVIVIVIVIVS NNNNNN 
Substituindo iii βαθ −= e separando a parte real da imaginária, chega-se a: 
 
( ) 33322211133 coscoscosRe θθθφφ IVIVIVSP NNN ++== 
 
( ) 33322211133 sensensenIm θθθφφ IVIVIVSQ NNN ++== 
 φφφ 333 jQPS += 
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1φ
2φ
3φ
1I
2I
3I
NI
NV 1
+ 
NV 2
+ 
NV 3
+ 
N 
Sistema A 
Sistema B 
333
222
111
333
222
111
β
β
β
α
α
α
II
II
II
VV
VV
VV
NN
NN
NN
=
=
=
=
=
=
333
222
111
βαθ
βαθ
βαθ
−=
−=
−=
 
 
 
Figura I.20 – Sistema trifásico para a determinação da potência complexa. 
 
O fator de potência médio da potência fornecida pelo Sistema A para o Sistema B é dado por: 
 
φ
φ
3
3
médio S
P
FP =
 
As potências aparentes fornecidas pelas fases são dadas por: 
 11
2
1
2
11 IVQPS N=+= 
 22
2
2
2
22 IVQPS N=+= 
 33
2
3
2
33 IVQPS N=+= 
e os fatores de potência desenvolvidos em cada uma das fases são dados por: 
 1
1
1
1 cosθ== S
PFP
 
 2
2
2
2 cosθ== S
PFP
 
 3
3
3
3 cosθ== S
PFP
 
Quando o sistema trifásico é simétrico e alimenta uma carga equilibrada, os ângulos de defasagem entre os 
fasores tensão e corrente das fases são iguais ( )θθθθ === 321 e as potências ativa, reativa e aparente totais 
são dadas por: 
 
 
θθφφ cos3cos33 LLL IVIVP == 
 
θθφφ sen3sen33 LLL IVIVQ == 
 LLL IVIVS 333 == φφ 
 
sendo o fator de potência expresso por: 
 
 θ
φ
φ
φ cos
3
3
3 == S
P
FP 
 
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Ainda, para um sistema trifásico simétrico alimentando uma carga equilibrada, tem-se4: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )θφωφω
θφωφω
θφωφω
−++=++=
−−+=−+=
−+=+=
oo
oo
120cos120cos
120cos120cos
coscos
maxmax
maxmax
maxmax
tItitVtv
tItitVtv
tItitVtv
CC
BB
AA
 
 
Utilizando a definição de potência instantânea, tem-se: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp AAA coscosmaxmax (I.18) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −−+−+== oo 120cos120cosmaxmax ttIVtitvtp BBB (I.19) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++++== oo 120cos120cosmaxmax ttIVtitvtp CCC (I.20) 
 
sendo a potência total dada por: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )tptptptp CBA ++=φ3 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[
( ) ( )]θφωφω
θφωφωθφωφωφ
−+++++
+−−+−++−++=
oo
oo
120cos120cos
120cos120coscoscos3
tt
ttttIVtp mm
 (I.21) 
 
Das expressões (I.18), (I.19) e (I.20), têm-se5: 
 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ]o
ooo
o
ooo
12022coscos
2
1
24022coscos
2
1120cos120cos
12022coscos
2
1
24022coscos
2
1120cos120cos
22coscos
2
1
coscos
−−++=
=−+++=−++++
+−++=
=−−++=−−+−+
−++=−++
θφωθ
θφωθθφωφω
θφωθ
θφωθθφωφω
θφωθθφωφω
t
ttt
t
ttt
ttt
 
 
Substituindo as expressões anteriores na expressão (I.21), chega-se a: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
θθθ
θφωθφωθφωθ
φ
φ
cos33cos
2
3cos3
2
1
12022cos12022cos22coscos3
2
1
1
0
3
VIPIVIV
tttIVtp
mm
mm
mm
====
=








−−+++−++−++=
= 4444444444444 84444444444444 76
oo
 
 
Deste modo, a potência trifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado6, através de tensões 
simétricas, é constante. Assim, embora a potência instantânea fornecida por intermédio de cada uma das 
fases seja variável, o somatório de todas as contribuições é constante.4
 Foi utilizada a seqüência ABC mas o resultado permanece válido para a seqüência ACB. 
5
 Lembrar que: ( ) ( )[ ]bababa ++−= coscos
2
1
coscos 
6
 Observar que o resultado obtido pode ser estendido para qualquer sistema polifásico simétrico que alimente cargas 
equilibradas, ou seja, a potência polifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado, alimentado por tensões 
simétricas, é constante. 
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I.9 – Análise por fase e diagrama unifilar 
No estudo do regime permanente do sistema de energia elétrica, utiliza-se a análise por fase pois o sistema é 
considerado equilibrado, da geração ao consumo, ou seja: 
a) as fontes do sistema são consideradas simétricas; 
b) as impedâncias das fases são consideradas iguais e 
c) as cargas são consideradas equilibradas. 
 
Desta forma, o resultado (tensão, corrente, etc.) de uma fase pode ser utilizado para as demais desde que se 
façam os ajustes de fase necessários. 
 
 
Exemplo I.1 – Uma fonte trifásica, 2400 V, seqüência ABC, alimenta duas cargas conectadas em paralelo: 
• Carga 1: 300 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e 
• Carga 2: 144 kW, fator de potência igual a 0,6 capacitivo. 
 
Se a Fase A é utilizada como referência angular (ou seja o ângulo de fase de ANV é igual a zero), determinar: 
a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância). 
b) As correntes de linha das Fases A, B e C. 
 
 
Solução Exemplo I.1: 
 
a) Inicialmente, determina-se o fasor potência complexa referente a cada uma das cargas: 
 
Carga 1: kVA 3001 carga3 =φS 
 kW 2403008,01 carga31
1 carga
3 =×=×= φφ SFPP 
 
( ) ( ) kvar 180240300 2221 carga321 carga31 carga3 =−=−= φφφ PSQ 
 ( ) kVA 36,9300kVA 1802401 carga3 o=+= jS φ 
Carga 2: kW 1442 carga3 =φP 
 kVA 240
6,0
144
2
2 carga
32 carga
3 === FP
P
S φφ 
 
( ) ( ) kvar 192144240 2222 carga322 carga32 carga3 −=−=−−= φφφ PSQ 
 ( ) kVA 53,1240kVA 1921442 carga3 o−=−= jS φ 
 
Para a Fase A, tem-se: 
Carga 1: ( ) kVA 36,9100kVA 6080
3
1 carga
31 o
=+== jSS A φ 
Carga 2: ( ) kVA 15380kVA 6448
3
2 carga
32 o
,jSS A −=−== φ 
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Solução Exemplo I.1 (continuação): 
Conhecendo o valor da tensão de fase da Fase A, V 0
3
24000
3
oo
==
L
AN
VV , e a expressão da potência 
desenvolvida na Fase A: 
 
*
*






=⇒=
AN
A
AAANA
V
SIIVS 
pode-se determinar a corrente desenvolvida nas Cargas 1 e 2, como segue: 
 
( ) A 30,437457A 36,92,72
0
36,9100000
*
3
2400
*1
1 j,
V
SI
AN
A
A −=−=








=








=
o
o
o
 
 
( ) A 19,4664,34A 3,157,57
0
1,5380000
*
3
2400
*2
2 j
V
SI
AN
A
A +==








−
=








=
o
o
o
 
 
Para o equivalente em estrela, 
 ( ) Ω+=Ω=
−
== 52,1136,15 36,92,19
36,92,72
0
3
2400
1
1 j
I
VZ
A
AN
Y
o
o
o
 
 ( ) Ω−=Ω−=
−
== 2,194,14 3,1524
3,157,57
0
3
2400
2
2 j
I
VZ
A
AN
Y
o
o
o
 
 
O circuito equivalente para a Fase A encontra-se na Figura I.21. 
 
V 0
3
2400 o
AI
+ 
2
AI
1
AI
Ω 36,15
Ω 52,11j
Ω 4,14
Ω− 2,19j
 
Figura I.21 – Circuito equivalente para a Fase A. 
 
b) De acordo com o diagrama da Figura I.21, a corrente de linha da Fase A é dada por: 
 ( ) A 8,14,92A 89,238,9219,4664,3430,43745721 o=+=++−=+= jjj,III AAA 
Levando em conta a simetria do sistema trifásico e a seqüência ABC, tem-se: 
 
 A 2,11892,4A 1208,14,92 ooo −=−=BI 
 A 8,12192,4A 1208,14,92 ooo =+=CI 
 
 
Observar que quando se realiza análise por fase é melhor empregar o circuito equivalente em estrela; se a 
conexão do equipamento é em triângulo, pode-se converter para o seu circuito equivalente em estrela. Como 
conseqüência, as linhas de baixo dos circuitos equivalentes por fase representam o neutro, as tensões são as 
de fase e as correntes são de linhas (na conexão estrela, a corrente de fase é igual a corrente de linha). 
 
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Na Figura I.22, observa-se a representação de um sistema de energia elétrica através do diagrama unifilar, do 
diagrama trifásico (trifilar) de impedâncias e do diagrama de impedância por fase. No diagrama unifilar é 
possível representar a topologia do sistema (ligações), os valores das grandezas elétricas dos componentes e 
sua forma de conexão. O diagrama trifilar de impedâncias representa o circuito elétrico equivalente ao 
sistema de energia elétrica. O diagrama de impedância por fase representa uma simplificação do diagrama 
trifásico sendo utilizado para determinar os valores das grandezas elétricas do sistema para uma fase 
(posteriormente, este resultado é estendido para as demais fases). 
 
 
G1 
G2 
1 2 3 
4 
T1 T2 
Y-Y Y-Y 
• • • • 
(a) Diagrama unifilar. 
• • • • 
• • • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • • • • • 
• • • • • • • 
• 
• 
• 
• 
(b) Diagrama trifilar de impedância. 
• • • 
• • • 
(c) Diagrama de impedância por fase (em pu). 
Gerador Transformador 1 Transformador 2 Carga e Gerador 2 
G1 
G1 
G1 
G1 
G2 
G2 
G2 
G2 
Linha de 
Transmissão 
 
Figura I.22 – Representação do sistema de energia elétrica. 
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Exercício I.1 – Uma fonte trifásica, 13,8 kV, seqüência ABC, alimenta por intermédio de uma linha com 
impedância série de ( )Ω+ 44 j , duas cargas conectadas em paralelo: 
• Carga 1: 500 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e 
• Carga 2: 150 kvar, capacitivo. 
Se a Fase A é utilizada como referência angular (ou seja, o ângulo de fase de ANV é igual a zero), 
determinar: 
a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância). 
b) As correntes de linha das Fases A, B e C. 
 
I.10 – O sistema por unidade (pu) 
Freqüentemente, na análise de sistemas de energia elétrica ao invés de serem utilizadas as unidades originais 
para as grandezas envolvidas (tensão, corrente, potência, etc.) são utilizadas unidades relativas (por unidade 
ou, simplesmente, pu), obtidas através da normalização dos valores originais destas grandezas (em V, A, W, 
etc.) por valores pré-estabelecidos para cada grandeza, denominados valores de base. Realizando esta 
normalização em todas as grandezas do sistema, é possível: 
• Manter os parâmetros do sistema elétrico dentro de uma faixa de valores conhecidos evitando, portanto, 
erros grosseiros. Por exemplo, quando se utiliza o valor nominal da tensão como valor de referência 
(valor de base), pode-se verificar a partir do valor normalizado da tensão (em pu) sua distância do valor 
desejado (nominal). Valores em pu próximos a unidade significam proximidades do valor nominal; 
valores de tensão muito abaixo ou acima de 1 pu representam condições anormais de operação. 
• Eliminar todos os transformadores ideais do sistema elétrico. 
• A tensão de operação do sistema permanece sempre próxima da unidade. 
• Todas as grandezas possuem a mesmaunidade ou pu (embora os valores de base sejam diferentes para 
cada uma das grandezas). 
Para realizar a transformação das grandezas para pu basta dividir o valor destas pelo seu valor de base, ou 
seja: 
 
basevalor 
atualvalor pu emvalor = (I.22) 
O valor de base deve ser um número real; o valor atual pode ser um número complexo (se for utilizada a 
forma polar, transforma-se apenas a magnitude da grandeza, mantendo-se o ângulo na unidade original). 
A grandeza de base definida para todo o sistema de energia elétrica é a potência elétrica, base3φS 
(geralmente 100 MVA): 
 basebase3
base3
base 33 φφ
φ
φ SS
S
S =⇔= [MVA] (I.23) 
A tensão base, baseV , geralmente corresponde à tensão nominal do sistema na região de interesse: 
 base base 
base 
base 33 φφ
VVVV LL =⇔= [kV] (I.24) 
A corrente base, baseI , e a impedância base, baseZ , são obtidas a partir da potência e da tensão de base: 
 
base 
base 3
base 
base 3
base 
base 
base base 3
3
3
LL
YL V
S
V
S
V
S
II φ
φ
φ
φ
====
 [kA] (I.25) 
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base 
base 3base 
base 33 L
L
V
SI
I φ==∆ [kA] (I.26) 
 
 
base 3
2
base 
base 
base 
base 
φ
φ
S
V
I
V
Z L
Y
Y == [Ω] (I.27) 
 
base 3
2
base 
base 
base 
base base 333
φ
φ
S
V
I
V
ZZ L
Y
Y ===∆ [Ω] (I.28) 
 
Têm-se, assim, duas classes de grandezas de base: 
• Primárias – Nesta classe se incluem a potência base, definida para todo o sistema, e a tensão base, que 
varia em função da tensão nominal da região em análise. 
• Secundárias – Nesta classe se incluem a corrente base e a impedância base que são calculadas em 
função da potência base (definida para todo o sistema) e dos valores nominais de tensão, utilizados como 
tensão base na região em análise. 
Existem outras formas de normalização possível, com definições diversas de grandezas nas classes grandezas 
primárias e secundárias, entretanto esta é a forma usual na análise de sistemas de energia elétrica. 
 
Uma operação bastante freqüente na modelagem de sistemas elétricos é a mudança de base de valores de 
impedâncias. Um exemplo clássico da necessidade de mudança de base é a compatibilização do valor das 
impedâncias dos transformadores, usualmente fornecidos em seu valor percentual, tendo como potência base 
a potência nominal do equipamento e como tensões base as tensões terminais dos enrolamentos. 
 
Para realizar a mudança de base de uma impedância na base 1, ( )1 basepu Z , para a base 2, ( )2 basepu Z , deve-se 
proceder como segue: 
 ( ) ( )
2 base
1 base
1 basepu 2 basepu 
Z
Z
ZZ = (I.29) 
 ( ) ( )
1 base 3
2 base 3
2
2 base 
1 base 
1 basepu 2 basepu 
φ
φ
S
S
V
V
ZZ
L
L






= (I.30) 
 
Exemplo I.2 – Considere o sistema do Exemplo I.1. Supondo que kVA 300base3 =φS e kV 4,2base =LV , 
determinar: 
a) As bases do sistema por unidade. 
b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores por unidade. 
c) Determinar o fasor corrente da Fase A em valores por unidade e em ampères. 
Solução Exemplo I.2: 
a) Utilizando as expressões (I.23), (I.24), (I.25) e (I.27) tem-se: 
 kVA 100
3
300000
3
base3
base ===
φ
φ
S
S 
 V 1386
3
2400
3
base 
base ===
LVVφ 
 
A 2,72
1386
100000
base 
base 
base ===
φ
φ
V
S
IY 
 Ω=== 2,19
2,72
1386
base 
base 
base 
Y
Y I
V
Z φ 
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Solução Exemplo I.2 (continuação): 
b) De acordo com os valores obtidos no Exemplo I.1, tem-se: 
 ( ) pu 6,08,0pu 36,91
2,19
36,92,19
base 
1
1
pu j
Z
ZZ
Y
Y
Y +==== o
o
 
 ( ) pu 00,175,0pu 3,1525,1
2,19
3,1524
base 
2
2
pu j
Z
ZZ
Y
Y
Y −=−=
−
==
o
o
 
 
( ) pu 01pu 01
1386
0
3
2400
base 
pu j
V
VV ANAN +==== o
o
φ
 
O circuito equivalente por fase em valores por unidade encontra-se na Figura I.23. 
 
pu 01 o
pu AI
+ 
2
pu AI
1
pu AI
pu 8,0
pu 6,0j
pu 75,0
pu 00,1j−
 
Figura I.23 – Circuito equivalente para a Fase A em pu. 
 
c) Do circuito da Figura I.23, tem-se: 
 
( ) pu 6,08,0pu 87,361
6,08,0
011
pu jjI A −=−=+=
o
o
 
 
( ) pu 64,048,0pu 13,538,0
00,175,0
012
pu jjI A +==−=
o
o
 
 
( ) pu 04,028,1pu 8,128,164,048,06,08,02 pu 1 pu pu jjIII AAA +==++−=+= o 
 ( ) A 89,238,92A 8,192,472,28,128,1base pu jIII YAA +==×== oo 
Observar que o valor obtido em ampères é o mesmo calculado no Exemplo I.1. 
 
 
Exemplo I.3 – A Figura I.24 mostra o diagrama unifilar de um sistema elétrico trifásico. 
 
G1 
1 2 3 4 T1: 12 : NN 
Y-Y Y-Y 
T2: 
′′
21 : NN 
2,4 kV 24 kV 12 kV 
1000 A 
 
Figura I.24 – Diagrama unifilar do Exemplo I.3. 
 
Considere que o comprimento da linha entre os dois transformadores é desprezível, que a capacidade do 
gerador φ3 é de 4160 kVA (2,4 kV e 1000 A), que este opera em condição nominal ( )A 1000=LI 
alimentando uma carga puramente indutiva. A potência nominal do transformador trifásico T1 é 6000 kVA 
(2,4/24 kV Y/Y) com reatância de 0,04 pu. T2 tem capacidade nominal de 4000 kVA, sendo constituído por 
um banco de três transformadores monofásicos (24/12 kV Y/Y) com reatância de 4% cada. Determinar: 
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a) A potência base. 
b) A tensão de linha base. 
c) A impedância base. 
d) A corrente base. 
e) Resuma os valores base em uma tabela. 
f) Os valores das correntes em A. 
g) A corrente em pu. 
h) O novo valor das reatâncias dos transformadores considerando sua nova base. 
i) O valor pu das tensões das Barras 1,2 e 4. 
j) A potência aparente nas Barras 1,2 e 4. 
 
 
 
Solução Exemplo I.3: 
a) A potência base é selecionada arbitrariamente como: kVA 2080base 3 =φS . 
b) Para o circuito em 2,4 kV arbitra-se o valor de kV 5,2base =LV . As demais tensões de base são 
calculadas utilizando as relações de transformação de T1 e T2: 
 210
2
1
2
1
=
′
′
=
N
N
N
N
 
 Assim, para os demais circuitos: 
 Circuito em 24 kV: kV 25base =LV 
 Circuito em 12 kV: kV 5,12base =LV 
 
c) As impedâncias de base são calculadas a partir dos valores base da potência e da tensão: 
 Circuito em 2,4 kV: Ω=== 005,3
2080000
25002
base 3
2
base 
base 
φS
VZ LY 
 Circuito em 24 kV: Ω=== 5,300
2080000
250002
base 3
2
base 
base 
φS
VZ LY 
 Circuito em 12 kV: Ω=== 1,75
2080000
125002
base 3
2
base 
base 
φS
VZ LY 
 
d) As correntes de base são calculadas a partir dos valores base da potência e da tensão: 
 Circuito em 2,4 kV: A 480
25003
2080000
3 base 
base 3
base ===
L
L V
S
I φ 
 Circuito em 24 kV: A 48
250003
2080000
3 base 
base 3
base ===
L
L V
S
I φ 
 Circuito em 12 kV: A 96
125003
2080000
3 base 
base 3
base ===
L
L V
S
I φ 
Caso fossem escolhidos outros valores base nos itens (a) e (b), os valores calculados para a impedância e 
corrente base poderiam ser diferentes dos valores obtidos nos itens (c) e (d). 
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Solução Exemplo I.3 (continuação): 
e) Os valores base estão sumarizados na Tabela I.2. 
 
Tabela I.2 – Valores base do Exemplo I.3. 
 [ ]kV NOMINAL LV [ ]kV base LV [ ]Ω base YZ [ ]A base LI 
2,4 2,5 3,005 480 
24 25 300,5 48 
12 12,5 75,1 96 
kVA 2080base 3 =φS 
 
 
f) Conhecendo-se a corrente que sai do gerador A 1000kV 4,2 =LI , pode-se determinar os valores das 
correntes que circulam na linha e na carga: 
 Circuito em 24 kV: A 1001000
10
1kV 4,2
1
2kV 24
=== LL IN
NI 
 Circuito em 12 kV: A 200100
1
2kV 24
2
1kV 5,12
==
′
′
= LL I
N
NI 
 
g) A corrente por unidade é a mesma para todos os circuitos: 
Circuito em 2,4 kV: pu 08,2
480
1000
kV 4,2
base 
kV 4,2
pu ===
L
L
L I
II 
Circuito em 24 kV: pu 08,2
48
100
kV 24
base 
kV 24
pu ===
L
L
L I
II 
Circuito em 12 kV: pu 08,2
96
200
kV 5,12
base 
kV 5,12
pu ===
L
L
L I
II 
Observar que o valor em pu obtido neste item poderia ser outro caso fossem escolhidos outros valores de 
base nos itens (a) e (b). 
 
h) Utilizando a expressão de conversão de base, considerando que os dados do transformador se encontram 
na base deste (base 1: valores nominais de potência e tensão), tem-se: 
 ( ) ( ) pu 0128,0
6000000
2080000
2500
240004,0
2
1 base 3
2 base 3
2
2 base 
1 base 
1 basepu T1pu jj
S
S
V
V
ZZ
L
L
=



=





=
φ
φ
 
 ( ) ( ) pu 0192,0
4000000
2080000
12500
1200004,0
2
1 base 3
2 base 3
2
2 base 
1 base 
1 basepu T2pu jj
S
S
V
V
ZZ
L
L
=



=





=
φ
φ
 
Verificar que o resultado é o mesmo para o lado de alta tensão. 
 
i) A Figura I.25 apresenta o diagrama de impedância por fase do sistema da Figura I.24, indicando os 
fasores tensão de interesse. 
 
+ 
 
 
 
– 
+ 
 
 
 
– 
+ 
 
 
 
– 
+ 
 
 
 
– 
• • 
G1 
pu 0128,0T1 jZ = pu 0192,0T2 jZ =
pu 08,2=I
• • 
1 2 3 4 
1V 2V 3V 4V
 
Figura I.25 – Diagrama de impedância por fase (em pu) do sistema da Figura I.24. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 22 de 22 
 
 
Solução Exemplo I.3 (continuação): 
 
Para o gerador, que opera em tensão nominal, tem-se: 
 pu 096,0
2500
02400
base 
NOMINAL 
1
o
o
===
L
L
V
VV 
Considerando que a corrente que circula no circuito está atrasada de 90o em relação à tensão (pois o circuito 
é constituído exclusivamente por reatâncias indutivas): 
 pu 093,09008,20128,0096,01132 ooo =−×−=−== jIZVVV T 
 ( ) ( ) pu 089,09008,20192,00128,0096,0211224 ooo =−×+−=+−=−= jjIZZVIZVV TTT 
 
j) A potência complexa pode ser obtida a partir dos fasores tensão e corrente: 
 
[ ]
[ ]
[ ] pu 85,1pu 9085,19008,2089,0
pu 93,1pu 9093,19008,2093,0
pu 00,2pu 9000,29008,2096,0
4
**
444
2
**
2232
1
**
111
=⇒=−==
=⇒=−===
=⇒=−==
SIVS
SIVSS
SIVS
ooo
ooo
ooo
 
 
Observar que a potência aparente entregue pelo gerador é de 2,00 pu e que na carga chega é de 1,85 pu, 
sendo a diferença “consumida”7 pelas reatâncias dos transformadores. 
 
 
Exercício I.2 – Considere o sistema do Exercício I.1. Supondo que kVA 100base3 =φS e kV 8,13base =LV , 
determinar: 
a) As bases do sistema por unidade. 
b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores por unidade. 
c) Determinar o fasor corrente da Fase A em valores por unidade e em ampères. 
 
 
 
 
7
 De acordo com a convenção de sinais para potência reativa, os indutores consomem e os capacitores geram.