03)SistEletricosCap03-pu_e_elementos

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Escola de Engenharia 
Engenharia Elétrica 
ENG 3517 Sistemas Elétricos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Grandezas em pu e Representação de Elementos do Sistema Elétrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Carlos Medeiros 
https://sites.google.com/site/cx3medeiros 
Atualização em 2017 
 
https://sites.google.com/site/cx3medeiros
1 
 
3 Grandezas em pu e Representação de Elementos 
do Sistema Elétrico 
 
 
Objetivos do capítulo: 
 Introdução aos cálculos em por unidade (pu) e apresentação de modelos de circuito dos 
principais elementos componentes dos sistemas elétricos de potência. 
Conteúdo 
3.1 Considerações iniciais ................................................................................................................................ 2 
3.2 Diagrama unifilar e circuito monofásico equivalente ............................................................................... 3 
3.3 Grandezas em pu ........................................................................................................................................ 4 
3.3.1 Valores pu em sistemas monofásicos ................................................................................................ 4 
3.3.2 Valores pu em sistemas trifásicos ..................................................................................................... 5 
3.3.3 Mudança de base ................................................................................................................................ 5 
3.4 Modelos de elementos do sistema elétrico .................................................................................................. 6 
3.4.1 Máquinas síncronas ........................................................................................................................... 6 
3.4.2 Transformadores ............................................................................................................................... 7 
a) Transformadores monofásicos ............................................................................................................. 7 
b) Banco de transformadores ................................................................................................................... 9 
c) Transformadores trifásicos ................................................................................................................. 10 
d) Transformadores trifásicos de três enrolamentos .............................................................................. 10 
3.4.3 Linhas de transmissão aéreas ......................................................................................................... 12 
a) Modelo para linha curta ..................................................................................................................... 12 
b) Modelo para linha média ................................................................................................................... 12 
c) Modelo para linha longa .................................................................................................................... 13 
3.4.4 Modelo para barramento, disjuntor e chave ................................................................................. 13 
3.4.5 Conceito de barramento infinito ..................................................................................................... 14 
3.4.6 Modelos para cargas ........................................................................................................................ 14 
3.5 Resumo ...................................................................................................................................................... 14 
3.6 Como escolher as bases? .......................................................................................................................... 15 
3.7 Vantagens do uso de pu ............................................................................................................................ 15 
3.8 Elaboração do circuito em pu - exemplo completo e exercícios propostos ............................................. 15 
Exercícios gerais ............................................................................................................................................. 22 
Referências bibliográficas .............................................................................................................................. 25 
Algumas respostas dos exercícios gerais ....................................................................................................... 25 
 
 
2 
 
3.1 Considerações iniciais 
 
 Como visto no capítulo 1, os sistemas elétricos, usualmente interligados, são constituídos por redes 
complexas com dezenas, centenas e até milhares de barramentos, inúmeras linhas de transmissão, geradores, 
transformadores, bancos de capacitores, sistema de medição e proteção, etc. 
 
 A fig. 3.1 ilustra, de forma resumida, o diagrama unifilar de um sistema elétrico de potência, que 
compreende subestações associadas às usinas geradoras, subestações de manobra e subestações 
transformadoras, interligadas por linhas de transmissão que possibilitam o fluxo de potência elétrica das 
fontes de suprimento aos centros de carga consumidores. Dentro de uma subestação, o conjunto de 
condutores que fazem a ligação comum para mais de um circuito é denominado barramento [1]. 
 
 
Fig. 3.1. Representação simplificada de um Sistema Elétrico de Potência e de alguns barramentos [1]. 
 
 Existem vários estudos relacionados os sistemas elétricos de potência que podem ser feitos por 
etapas ou de maneira separada. Por exemplo, pode-se citar: 
 estudos de fluxo de potência; 
 de curto-circuito; 
 de proteção; 
 de estabilidade; 
 fluxo harmônico; 
 transitórios; 
 operação econômica, etc. 
 
 Na prática, esses estudos ou análises são realizados através de simulações computacionais, onde 
modelos representativos dos componentes do sistema (geradores, transformadores, linhas, cargas, etc.), 
adequados ao tipo de estudo requerido, são conectados de forma a compor o circuito representativo. 
 Por exemplo, em um estudo de curto-circuito, o modelo de circuito de uma linha de transmissão 
pode ter suas capacitâncias paralelas omitidas sem prejuízo significativo no resultado final. Os outros 
componentes são também modelados e representados de acordo com seu comportamento na situação de 
curto-circuito. 
 Seguindo esse raciocínio, o que vai ser formulado e resolvido, será um circuito elétrico composto por 
fontes e impedâncias, com os valores em por unidade (pu), conforme está esquematizado na fig. 3.2. 
3 
 
 
 
Fig. 3.2. Formulação e solução de um sistema elétrico de potência. 
 
3.2 Diagrama unifilar e circuito monofásico equivalente 
 
 Seja o diagrama trifásico de um sistema elétrico simples como mostrado na fig. 3.3(a). 
 
 
Gerador Linha de transmissão
CargaTransformador 1 Transformador 2
 
(a) 
 
 
 
(b) 
 
Fig. 3.3. Sistema elétrico exemplo – (a) Diagrama trifilar. (b) Diagrama unifilar [2]. 
 
 
 Considerando que o sistema opera equilibrado, substitui-se sua representação trifilar por uma 
representação simbólica conhecida como diagrama unifilar. Neste diagrama os elementos do sistema são 
representados por símbolos. Por exemplo, a linha de transmissão trifásica é simbolizada por um traço único e 
a carga por uma seta, conforme mostra a fig. 3.3(b). A finalidade do diagrama unifilar é apresentar 
claramente a topologia e os dados significativos do sistema, de acordo com o estudo a ser efetuado. 
 
 Um sistema trifásico equilibrado pode ser estudado por apenas uma de suas fases, isto é, pelo 
chamado circuito monofásico equivalente. Assim, para se fazer os cálculos, pode ser usada uma única fase, 
onde os elementos (geradores, transformadores, etc.), representados por seu modelo monofásico, são 
conectados entre siobedecendo o diagrama unifilar. Veja o exemplo na fig. 3.4. 
 
 
 
 
 
Fig. 3.4. Circuito monofásico equivalente da fig. 3.3 [2]. 
 
Zg Zt1 Zt2 Zl 
Zc Zc Vg Zcarga 
4 
 
 No circuito monofásico a formulação matemática é bem mais simples e os resultados podem ser 
prontamente estendidos para as outras fases. Para obtê-lo é necessário conhecer os modelos por fase dos 
elementos do sistema, os quais serão apresentados na sequência. Antes disso, estuda-se as grandezas em pu. 
 
3.3 Grandezas em pu 
 
 A formulação em por unidade (pu) pode ser usada em qualquer ramo da ciência. Na Engenharia 
Elétrica o uso da representação do Sistema de Energia em pu simplifica a modelagem, a resolução de 
problemas e a comparação de resultados devido ao significado relativo que propicia. 
 Valores em pu são frequentemente encontrados em especificações e dados de placas de 
equipamentos elétricos (como geradores, transformadores, etc.), em gráficos e também são utilizados em 
programas computacionais para cálculos e simulações de Sistemas Elétricos de Potência. 
 Antes de se expressar uma determinada grandeza em pu é necessário definir o valor de base dessa 
grandeza. Assim, define-se valor por unidade (pu) como sendo a relação entre o valor real na unidade da 
grandeza e o seu valor base, ou seja: 
 
baseValor
grandezadaunidadenaValor
puValor  (3.1) 
 
 Uma grandeza em pu pode ser expressa percentualmente simplesmente fazendo: 
 
%100 puValorPercentualValor (3.2) 
 
 No estudo de sistemas elétricos a idéia é efetuar uma mudança de unidade das grandezas 
fundamentais tensão, corrente, potências, impedância e admitância que passam a ser expressas em pu. 
 
3.3.1 Valores pu em sistemas monofásicos 
 
 A mudança para pu de sistemas elétricos requer a definição de duas grandezas como bases. Estas 
duas grandezas definem as outras grandezas de base. 
 O mais usual é definir uma tensão de base Vb (V) e uma potência de base Sb (VA). Sendo Vb e Sb, 
tensão fase-neutro e potência aparente monofásica, respectivamente, então: 
 
Corrente base Ib (A): Ib = Sb/Vb (3.3) 
Impedância base Zb (): Zb = Vb/Ib ou Zb = Vb2/Sb (3.4) 
Admitância base Yb (S): Yb = Sb/Vb2 (3.5) 
 
 
 Com (3.1), os valores em pu de quaisquer grandezas de um estudo S, V, I, Z e Y são: 
 
Spu = S/Sb 
Vpu = V/Vb 
Ipu = I/Ib 
Zpu = Z/Zb 
Ypu = Y/Yb 
(3.6) 
 
Exemplo 3.1: em um dado sistema, foi definido como valores base: Vb = 10 kV e Sb = 1000 kVA. 
Expressar as seguintes grandezas em por unidade (pu): 
a) |V| = 12 kV f) S = 50023 kVA 
b) V = 13,3 + j6,0 kV g) Z = 80 + j40  
c) I = 513 + j203 A h) Y = 0,1 – j0,3 S 
d) S = 200 + j300 kVA i) P = 900 kW 
e) |S| = 9,3 MVA j) Q = 750 kVAr 
 
* Note que o ângulo de fase das grandezas não é alterado quando se usa pu. 
5 
 
3.3.2 Valores pu em sistemas trifásicos 
 
 Em um sistema trifásico considerando: 
 • Vb a tensão base como sendo de linha (tensão fase-fase); 
 • Sb a potência base total trifásica. 
 
 Tem-se, analogamente à situação anterior: 
 
 Corrente base Ib (A):  Vb
SbIb


3
 (3.7) 
Impedância base Zb (): 
Sb
Vb
Zb
2
 (3.8) 
 
 Note que o cálculo de Zb com Vb de linha e Sb trifásica fornece o mesmo valor com Vb de fase e Sb 
por fase, sendo, inclusive, a última equação acima idêntica à eq. (3.4) do caso monofásico. 
 A admitância base Yb é novamente o inverso de Zb. A impedância por unidade (Zpu) pode também 
ser obtida diretamente de: Zpu = Z/Zb,  Zpu = ZSb/Vb2. 
 
Exemplo 3.2: dadas as grandezas trifásicas Sb = 100 MVA e Vb = 138 kV, expressar em pu as grandezas: 
 |V| = 140 kV: Z = 10 + j50 : |I| = 0,6 kA: P = 50 MW: 
 
 
3.3.3 Mudança de base 
 
 Algumas vezes a impedância em pu de um dado equipamento do sistema elétrico é expressa numa 
base diferente da parte do sistema na qual o elemento está localizado. Como nos cálculos todas as 
impedâncias devem ser expressas na mesma base, torna-se necessário converter impedâncias em pu de uma 
base para outra. 
 Suponha que uma impedância Zpudada na base Vbdada, Sbdada, deva ser convertida para ZpuNOVA na 
nova base VbNOVA, SbNOVA. Como Zpu = Z/Zb, tem-se: 
 
Zpudada = Z * Sbdada/Vb2dada 
Zpunova = Z * Sbnova/Vb2nova 
 
 Pode-se então obter Z de Zpudada e em seguida converter Z para Zpunova. Ou, Zpunova pode ser 
obtida diretamente dividindo a expressão de baixo pela de cima: 
 
dada
nova
nova
dada
dadanova
Sb
Sb
Vb
Vb
ZpuZpu 








2
 (3.9) 
 
Exemplo 3.3: a placa de um gerador síncrono apresenta os seguintes dados: 50 MVA, 13,8 kV e X = 0,2 pu. 
Calcular a reatância da máquina em pu referida a uma nova base igual a 100 MVA e 13,2 kV. 
 
Eg
.
Xg 13,8 kV
X = 20%
50 MVA
Sistema de potência,
base para estudo: 100 MVA e 13,2 kV
Mudança
de base
 
 
Solução: diretamente da eq. (3.9): 
pu
MVA
MVA
kV
kV
Xpunova 4372,0
50
100
2,13
8,13
20,0
2






 
 
6 
 
OBS.: * Nos sistemas trifásicos a raiz de três não entra nos cálculos de potências em pu, isto é, em pu: 
*
pupupu IVS  = Ppu + j Qpu 
 * Em módulo: |Spu| = |Vpu||Ipu|; Ppu = |Vpu||Ipu|cos; Qpu = |Vpu||Ipu|sen 
 * Vale ressaltar: o ângulo de fase das grandezas não é alterado quando se usa pu. 
 
3.4 Modelos de elementos do sistema elétrico 
 
3.4.1 Máquinas síncronas 
 
 A teoria básica da máquina síncrona e desenvolvimentos algébricos permitem mostrar que a tensão 
fasorial no terminal externo, Vt, de uma fase de um gerador c.a. síncrono, é dada por [3]: 
 
)( saagt jXRIEV  (3.10) 
onde: Eg = tensão gerada em vazio, força eletromotriz fem; 
 Ia = corrente do enrolamento de armadura; 
 Ra = resistência do enrolamento da armadura (por fase); 
 Xs = reatância síncrona (por fase). 
 
 Assim, o gerador, funcionando em regime permanente e com simetria das fases, pode ser 
representado pelo modelo de circuito equivalente. O circuito, para uma fase, é mostrado na fig. 3.5. 
 
neutro
Z = R +jXg a s Ia
Eg Vt
Terminais
externos
 
Fig. 3.5. Circuito equivalente, por fase, de um gerador síncrono. 
 
 A impedância Zg (= Ra + jXs) é determinada usualmente através de testes aplicados às máquinas. 
Normalmente a resistência Ra é bem menor que Xs, de forma que sua omissão em muitos casos não tem 
grande influência, sobretudo nas análises qualitativas. Isso resulta em: 
 
sagt jXIEV  (3.11) 
 
 Para o motor síncrono, o circuito equivalente é semelhante, porém a corrente recebida pelo motor 
tem sentido contrário ao caso do gerador. Desprezando a resistência tem-se: 
 
mamt jXIEV  (3.12) 
onde: Em é a tensão em vazio do motor; 
 Xm é a reatância síncrona do motor. 
 
Fig. 3.6. Circuito equivalente para motor síncrono. (A resistência foi desprezada). 
 
 Na prática, as impedâncias, dadas % ou em pu, são encontradas nos dados de placa desses 
equipamentos. Valores em pu típicos para geradores e motores podem também encontrados em tabelas. Seus 
valores estão nas bases determinadas por suas características nominais, isto é, VNominal e SNominal. 
7 
 
3.4.2 Transformadores 
 
a) Transformadores monofásicos 
 Um modelo tradicionalmente usado para representar transformadores do ponto de vista elétrico, é o 
circuito equivalente composto por elementos em série e um ramo em paralelo. Os valores dos parâmetros 
desse circuito são usualmente obtidos através dos ensaios a vazio e em curto-circuito. 
 O ensaio a vazio determina a corrente de excitação e permite a avaliação aproximada da impedância 
do ramo paralelo, que engloba as potências de perda no núcleo (associadas ao elemento Rp) e de 
magnetização (associadas à reatância de magnetização Xm). 
 O ensaio em curto-circuito permite determinar a impedância série do circuito, que representa as 
perdas no cobre através das resistências dos dois enrolamentos r1 e r2, e as dispersões de fluxo magnético 
através das reatâncias de dispersão x1 e x2. 
 Assim, tem-se o modelo de circuito do transformador monofásicona fig. 3.7, com: 
 • enrolamentos 1 e 2 com N1 e N2 espiras, respectivamente; 
 • transformação ideal com relação de espiras a = N1/N2, fazendo a conexão entre os lados 1 e 2; 
 • parâmetros r1, x1, Rp e Xm colocados no lado 1 e r2 e x2 no lado 2, ver a fig. 3.7. 
 
 
Fig. 3.7. Circuito equivalente do transformador monofásico. 
 
 Referindo os parâmetros ôhmicos ao lado 1, através da relação de espiras ao quadrado (ou relação 
das tensões nominais ao quadrado), pode-se omitir o transformador ideal, como mostra a fig. 3.8(a). Além 
disso, é comum na maioria dos cálculos em Sistemas de Potência desprezar a corrente de excitação 
(influência do núcleo), por ser muito menor que correntes de carga usuais. Fazendo isso e equacionando as 
grandezas referidas ao lado 1, obtém-se: 
 
R1 = r1 + a
2r2 
X1 = x1 + a
2x2 
(3.13) 
onde: a é a relação de espiras, a = N1/N2. 
 
 Desta forma obtém-se a representação da fig. 3.8(b). 
 
 
(a) (b) 
Fig. 3.8.(a) Circuito equivalente do transformador referindo as grandezas ao lado 1. 
(b) Circuito equivalente referido ao lado 1 (desprezando a corrente de excitação do núcleo IE). 
 
 Embora o modelo da fig. 3.8 seja simples, expressando a impedância do transformador em pu obtém-
se uma simplificação ainda maior. Para isso considere: 
8 
 
 a) Potência base: como sendo a potência nominal do transformador SBase = SNominal; 
 b) Tensão base: depende do lado em que se fará os cálculos: 
 
 Se for escolhido o lado 1 usa-se como base a tensão nominal deste enrolamento: Vbase = VNominalLado1. 
 Se for selecionado o do lado 2, Vbase = VNominalLado2, ver a fig. 3.9. 
 
Lado 1
Tensão
de base = Vb1
Lado 2
Tensão
de base = Vb2
Sb é a mesma em
ambos os lados!
 
Fig. 3.9. Transformador: tensão de base, Vb, é a tensão do lado 1 ou do lado 2. 
 
 Assim, o valor em pu da impedância do transformador será o mesmo, independente dos valores 
ôhmicos terem sido obtidos em referência ao lado 1 ou lado 2, observe a demonstração: 
 Dada a impedância do transformador em ohms referida ao lado 1 Z1, seu valor em pu é obtido 
dividindo pelo valor de base desse lado: 
2
1
1
1
1
1
b
b
b
pu
V
SZ
Z
Z
Z   (3.14) 
 
 Referindo Z1 ao lado 2, através da relação (Vb2/Vb1)2, seu valor em ohms é expresso por: 
 
2
1
2
12 





 
b
b
V
V
ZZ (3.15) 
 
 Dividindo pela impedância de base do lado 2, tem-se sua expressão em pu como: 
 
2
2
2
2
2
2
b
b
b
pu
V
SZ
Z
Z
Z   (3.16) 
 
 Substituindo (3.15) em (3.16) obtém-se: 
 
pu
b
b
b
b
b
b
pu Z
V
S
Z
V
S
V
V
ZZ 12
1
12
2
2
1
2
12 





  (3.17) 
 
 *Conclusão: o transformador de potência é representado simplesmente por sua impedância em pu 
Zpu=Rpu+jXpu. Além disso, trabalhando com pu não há necessidade de transformação de tensão e a corrente 
em pu é a mesma nos dois lados. Ver como fica o modelo na fig. 3.10. Esta é uma grande vantagem de se 
trabalhar com pu! 
Ipu Ipu
neutro
Z = R +jXpu pu pu
 
Fig. 3.10. Modelo do transformador monofásico em pu. 
9 
 
 Este modelo é normalmente usado em vários estudos em sistemas de potência, sendo ainda, em 
muitos casos, desprezada a resistência. Vale ressaltar: escolhendo uma tensão base em um lado do 
transformador, a tensão base para um circuito conectado do outro lado do transformador, fica determinada 
pela relação de transformação de tensões nominais. 
 
b) Banco de transformadores 
 
 Um transformador trifásico pode ser constituído a partir de 3 transformadores monofásicos idênticos 
formando um banco. A utilização de banco de transformadores é feita em casos especiais ou nas situações de 
transformadores com potências muito elevadas [3]. 
 As três unidades monofásicas são interligadas em cada lado usualmente na forma Y ou . Assim, 
tem-se como opções de ligações: Y-Y, -, Y- e -Y. Ao se avaliar os diagramas de impedância de 
sistemas com bancos de transformadores, o primeiro passo é a determinação das características do 
transformador trifásico equivalente, como ilustra o Exemplo 3.4. 
 
Exemplo 3.4: determinar a reatância em pu representativa de um banco de transformadores constituído por 3 unidades 
monofásicas. O lado de alta do transformador é ligado em delta e o lado de baixa em Y aterrado. Cada unidade 
monofásica é de 50 MVA, 230kV/79,7kV e reatância de dispersão de 5,1%. Adotar uma base de 100 MVA e 138 kV no 
lado de baixa do transformador trifásico equivalente. Despreze as resistências. 
Solução: 
• Potência do transformador trifásico equivalente: soma das três unidades monofásicas ou   13 3 SS = 150 MVA. 
• Lado : o lado de maior tensão do equivalente trifásico está em delta . Portanto, a tensão entre as fases neste lado 
corresponde a tensão da unidade monofásica que é de 230 kV, conforme mostra a figura. 
• Lado Y: O lado de menor tensão do equivalente trifásico está em estrela Y. Portanto, a tensão entre as fases é de 
1387,793  kV. 
• Logo, a relação de transformação do transformador equivalente é de 230 kV / 138 kV. 
 
 
230 kV 138 kV 
 
Transformador trifásico equivalente ao banco. 
 
 • A reatância em pu do transformador trifásico na base adotada é: 
puxX 0340,0
150
100
138
138
051,0
2












 
 O modelo equivalente monofásico em pu é: 
 
Modelo em pu por fase para o transformador equivalente, na base adotada. 
10 
 
c) Transformadores trifásicos 
 
 Na prática é mais usual um transformador trifásico ser formado colocando-se os enrolamentos de 
cada fase em um mesmo núcleo, ou seja, formando uma única unidade trifásica. Considerando as conexões  
e Y, tem-se as possibilidades de ligação lado 1–lado 2 como: -, -Y, Y-, Y-Y. 
 Para cálculos em pu segue-se o mesmo princípio que no caso monofásico, isto é, escolhe-se a tensão 
base em um dos lados do transformador e tensão base do outro lado é automaticamente determinada pela 
relação das tensões de linha [3]. 
 Informações sobre impedâncias são dadas em % ou em pu, em relação as bases determinadas por 
suas características nominais (dados de placa): Z%, VNominal e SNominal. Sua representação monofásica em pu é 
mostrada na fig. 3.11. 
Zpu
neutro 
Fig. 3.11. Modelo por fase em pu para transformador trifásico. 
 
Exemplo 3.5: um transformador trifásico de 100 MVA, 138 kV/13,8 kV tem valores percentuais de 
resistência e reatância dados por R = 8% e X = 10%, respectivamente. 
 a) Expressar R e X em pu. 
 
 b) Expressar R e X em ohms, referidos aos lados de baixa tensão e de alta tensão. 
 
 
 
d) Transformadores trifásicos de três enrolamentos 
 
 O transformador trifásico de três enrolamentos é composto por três lados que podem ser 
denominados de primário, secundário e terciário, sendo este último normalmente operando com tensão mais 
baixa que os demais. Por exemplo, 230/138/13,8 kV, conforme ilustra o esquema unifilar da fig. 3.12. 
 Este equipamento é usado como elo de ligação de três sistemas elétricos com níveis de tensão 
diferentes, como exemplificado na figura. Um outro exemplo prático é o suporte extra de reativos, como 
ocorre no sistema de transmissão de Itaipu, onde nas subestações de Ivaiporã e Itaberá, tem-se grandes 
transformadores de 1650 MVA e relação de transformação 765/525/69 kV [5]. 
 
 
Fig. 3.12. Aplicação prática de um transformador trifásico de três enrolamentos [4]. 
 
 Os enrolamentos de um transformador de três enrolamentos podem apresentar potências nominais 
diferentes. A impedância de cada enrolamento pode ser expressa em valor percentual ou em pu, tomando por 
base os valores nominais de seus próprios enrolamentos, ou podem ser realizados testes para determinar as 
impedâncias. Em qualquer caso, todas as impedâncias em pu no diagrama de impedâncias devem ser 
expressas em relação a uma mesma potência de base. As bases de tensão mudam de acordo com as relações 
das tensões de linha nominais entre os lados. 
 Como nos transformadores de doisenrolamentos a impedância nominal é obtida através do ensaio de 
curto-circuito, usando apenas dois enrolamentos de cada vez, enquanto o outro fica a vazio (com seus 
terminais abertos). O ensaio é feito de acordo com a tab. 3.1. 
11 
 
Tab. 3.1. Sequência de medição para determinar as impedâncias do transformador de três enrolamentos. 
Ensaio Aplica-se tensão Curto-circuito Fica aberto Mede-se 
01 no primário no secundário terciário psZ 
02 no primário no terciário secundário ptZ 
03 no secundário no terciário primário stZ 
 
psZ = impedância do primário ao secundário, referida ao primário; 
 
ptZ = medida no primário com o secundário aberto e o terciário em curto; 
 
stZ = impedância do secundário ao terciário, referida ao secundário. 
 
 As impedâncias supracitadas não são adequadas para compor um circuito equivalente por fase. A 
melhor representação é como indica a fig. 3.13, que faz uso das impedâncias Zp, Zs e Zt. 
 
 
 
Fig. 3.13. Circuito equivalente por fase de um transformador de três enrolamentos, 
com os terminais p, s, t (primário, secundário, terciário). 
 
 Essas impedâncias estão relacionadas às impedâncias obtidas dos ensaios referidos pela tab. 3.1 por: 
 )(
2
1
stptpsp ZZZZ  
)(
2
1
ptstpss ZZZZ  
)(
2
1
psstptt ZZZZ  
(3.18) 
 
Exemplo 3.6: os valores nominais de um transformador trifásico de três enrolamentos são: 
Primário: conexão Y, 66 kV, 15 MVA. 
Secundário: conexão , 13,2 kV, 10 MVA. 
Terciário: conexão , 2,3 kV, 5 MVA. 
 
Desprezando as resistências, as impedâncias percentuais são: 
 Zps = 7% na base 15 MVA, 66 kV. 
 Zpt = 9% na base 15 MVA, 66 kV. 
 Zst = 8% na base 10 MVA, 13,2 kV. 
 
Primário
Terciário
Secundário
Y


 
Calcule as impedâncias e desenhe o circuito equivalente tomando como base 15 MVA e 66 kV no primário. 
Solução: as bases de tensão para os lados secundário e terciário são dadas pelas relações de tensão de linha, 
isto é, 13,2 kV e 2,3 kV, respectivamente. Como Zps e Zpt são medidas no primário, já estão expressas na 
base apropriada. Para Zst será necessária mudança de base de potência. Com (3.9): 
pu
MVA
MVA
kV
kV
Zstnova 12,0
10
15
2,13
2,13
08,0
2






 
Aplicando (3.18) obtém-se: 
pujjZ p 02,0)12,009,007,0(
2
1
 
pujjZs 05,0)09,012,007,0(
2
1
 
pujjZt 07,0)07,012,009,0(
2
1
 
O diagrama de impedância por fase é: 
 
 
12 
 
3.4.3 Linhas de transmissão aéreas 
 
 Os parâmetros das linhas de transmissão são em geral: 
 • parâmetros em série: indutância e resistência; 
 • em shunt (paralelo ou derivação): condutância e capacitância. 
 
 Como as linhas aéreas trifásicas são suficientemente equilibradas nos sistemas de energia, podem ser 
representadas por circuitos unipolares, constituídos de fase e neutro. O neutro é representado sem parâmetros 
elétricos, pois INeutro = 0 em sistemas equilibrados. Em linhas aéreas a condutância pode ser desprezada, 
restando na parte shunt apenas o efeito capacitivo [3]. 
 As linhas de transmissão podem ser classificadas em linha curta, média e longa. Em [6] é proposta a 
classificação orientadora baseada no comprimento da linha e nível de tensão. Já na referência [3] a 
classificação é feita de forma mais simples, como: 
 a) linha curta: comprimentos até 80 km; 
 b) linha média: 80 a 240 km; 
 c) linha longa: mais de 240 km. 
 
 O emprego de uma ou outra classificação depende do grau de precisão desejado nos cálculos. Na 
dúvida, pode-se recorrer à classificação mais rigorosa. Cada tipo de linha está associado a um modelo de 
circuito a parâmetros concentrados, ou seja, tem-se um modelo para linha curta, outro para linha média e 
outro para linha longa. Estes modelos atendem aos propósitos de estudos como, por exemplo, fluxo de 
carga, curto-circuito e estabilidade [6]. 
 Vale ressaltar que nas linhas em geral a impedância série varia com o seu comprimento. Para 
sistemas com tensões elevadas, por exemplo, 500 kV ou 750 kV, a reatância série XL é bem maior que a 
resistência série R (da ordem de 20 a 30 vezes maior). Para níveis mais baixos, o valor relativo da resistência 
aumenta e, para sistemas de distribuição, estes valores são comparáveis [5]. 
 
a) Modelo para linha curta 
 
 A capacitância shunt para terra (também conhecida como line charging) das linhas curtas é pequena, 
e normalmente pode ser desprezada sem perda apreciável de precisão. Assim, considera-se como parâmetros 
concentrados a resistência em série R e a indutância em série L para todo o comprimento da linha, conforme 
ilustra a fig. 3.14 na qual XL = L. 
Z= R +jXL
 
Fig. 3.14. LT curta, onde R e XL são os valores totais da linha. 
 
b) Modelo para linha média 
 
 Uma linha aérea média pode ser representada por uma impedância composta por parâmetros 
concentrados R e L série e, por uma admitância em derivação que contempla o efeito capacitivo C. Um 
modelo muito utilizado é o modelo -nominal, no qual a admitância total é dividida em duas partes iguais, 
colocadas nas extremidades, ver fig. 3.15. 
Z= R +jXL
Y/2Y/2
 
Fig. 3.15. Modelo -nominal para uma LT média. 
13 
 
 • Sendo a admitância total: Y = j/Xc, em siemens, então em cada extremo: 
 
Y/2 = j/(2Xc) 
 
 Onde Xc é a reatância capacitiva total da linha (em ohms). 
 
 • Caso queira expressar usando a impedância (ohms) tem-se: 
 Impedância total da linha: ZcTotal = -jXc. Então, em cada extremo: 
 
Zc = -2jXc. 
 
c) Modelo para linha longa 
 
 Neste caso o circuito equivalente representa a linha com precisão desde que se esteja em interesse 
apenas as medidas dos valores de tensões, correntes, potências nas extremidades da linha. A maioria dos 
programas de computador adotam o modelo  para estudos de fluxo de potência, curto-circuito e 
estabilidade, mesmo para linhas longas. Nestas ocasiões, para manter-se a precisão, adota-se o circuito -
equivalente, o qual possui também uma impedância em série agora simbolizada por Ze duas admitâncias 
em derivação 2/Y em cada extremidade, como mostra a fig. 3.16. 
 
Z’
Y’/2 Y’/2
 
Fig. 3.16. Circuito -equivalente para LT longa. 
 
 Este modelo é adequado para a representação das linhas longas em regime permanente, sendo [6]: 
 
l
lsenh
ZZ




 )(
 (3.19) 
2/
)2/(
22 l
ltghYY






 (3.20) 
onde: ZYlzyl  ; Z e Y são a impedância e admitância totais da linha, respectivamente. 
 
3.4.4 Modelo para barramento, disjuntor e chave 
 
 Fisicamente, as barras ou barramentos são condutores elétricos com resistência desprezível, quando 
comparada com a impedância de linhas e transformadores. Isto justifica sua representação de circuito na 
forma de nós elétricos. Em geral as barras estão localizadas nas subestações e podem ser constituídas de 
várias seções de barras ligadas através de chaves seccionadoras ou disjuntores. 
 Disjuntores e chaves são dispositivos que permitem conectar ou desconectar condutores de uma rede 
elétrica. Na modelagem de circuitos a posição aberta representa uma impedância infinita e fechada um curto-
circuito. Embora tenham o mesmo papel lógico (abrir e fechar), sua construção e operações são bastante 
distintas: 
 • o disjuntor está ligado ao sistema de proteção e opera automaticamente quando algum evento é 
detectado pelo relé a ele associado; 
 • as chaves, manuais ou mecânicas, são usadas para reconfigurar o sistema e atender às necessidades 
de desenergização para manutenção. 
 
14 
 
 A fig. 3.17 exemplifica um barramento do tipo simples com chaves e disjuntores conectando a barra 
a uma linha que chega [5]. Existem diversos tipos de configurações de barramentos utilizados nas 
subestações, cujo estudo, todavia, foge ao escopo deste capítulo. 
 
 
Fig. 3.17. Barramento tipo simples [5]. 
 
3.4.5 Conceito de barramento infinito 
 
 Uma barra infinita representa um grande sistema de potência de tal forma que a tensão e a frequência 
nesta barra são constantes. Em termosde circuitos elétricos é modelada por uma fonte de tensão ideal (sem 
impedância interna), ver fig. 3.18. 
 
 
Fig. 3.18. Modelo da barra infinita. 
 
3.4.6 Modelos para cargas 
 
 No contexto de sistema elétrico, a carga, suas variações no tempo (ativa e reativa) e outras questões 
foram estudas no Capítulo 02 (ver Seção 2.1.7). Aqui se apresenta modelos para seu emprego em um circuito 
elétrico que representa um sistema de potência em estudo. Os modelos usuais para as cargas são: 
 
 • modelo de potência constante, no qual utiliza-se valores constantes de potências ativa e reativa 
(usado em estudos de fluxo de potência por exemplo), como ilustra o primeiro diagrama da fig. 3.19; 
 • impedância (ou admitância) constante, representado cargas passivas; 
 • impedância em série com força eletromotriz (representa máquinas rotativas as quais contribuem 
para alimentar correntes de curto-circuito); 
 • de corrente constante (não ilustrado na fig. 3.19). 
 
 
Fig. 3.19. Modelos de cargas. 
 
3.5 Resumo 
 
 Passando para pu, a potência de base é única para um determinado sistema. Por outro lado as bases 
de tensão e, por conseguinte, de corrente e impedância, mudam devido a relação de transformação dos 
transformadores do sistema. 
 
 As informações sobre o sistema no diagrama unifilar dependem do estudo requerido. Por exemplo: 
 • a localização de disjuntores e relés não é importante no estudo de regime permanente; 
 • em curto-circuito as capacitâncias shunts das linhas de transmissão podem ser desprezadas; 
 • em situações de falta, a estabilidade do sistema depende do tempo de atuação dos relés e 
disjuntores para isolar a parte do sistema com defeito, cujos dados devem estar disponíveis. 
 
15 
 
 Em resumo, o estudo é feito da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 Os valores no circuito monofásico equivalente são expressos em pu. Essa representação é mais 
simples e adotada mundialmente. As impedâncias em ohms das LTs são transformadas para pu usando a 
impedância de base Zbase calculada para cada Vbase, de cada local do sistema. Quando necessário, os valores 
das impedâncias em pu de equipamentos são adequados à nova base adotada no estudo (mudança de bases). 
 
3.6 Como escolher as bases? 
 
 O procedimento usual para a escolha das bases é: 
 a) Base de potência aparente: adota-se para todo o sistema uma única potência base Sbase. 
 b) Bases de tensão: escolhe-se uma tensão base Vbase em um certo local do sistema. Este valor 
determina as tensões base nos outros níveis de tensão, através da relação de transformação das tensões de 
linha dos transformadores presentes. A referência [7] fornece algumas dicas: 
 • as bases escolhidas inicialmente devem ser tais que conduzam à obtenção sempre que possível, de 
valores pu de tensões e correntes próximos de 1, para simplicidade de cálculo; 
 • por outro lado, haverá grande economia de tempo se a escolha for feita de modo a que poucos 
valores pu tenham que ser convertidos a novas bases. 
 
3.7 Vantagens do uso de pu 
 
 • simplifica os cálculos; 
 • fabricantes de equipamentos fornecem nos dados de placas os valores das impedâncias em % ou 
em pu, tendo como base seus valores nominais; 
 • traz uma familiaridade com os valores em pu para diferentes tipos de equipamentos, com diferentes 
tensões e potências nominais, podendo-se inclusive usar em estudos valores típicos disponíveis em tabelas 
(em termos ôhmicos os valores podem diferir bastante); 
 • nos computadores, os valores são da mesma ordem de grandeza, resultando em maior precisão; 
 • proporciona direta interpretação de resultados em pontos diversos do sistema como consumos de 
potência, elevações ou diminuições de tensões, correntes, etc., visto que os valores já são relativos. 
 
3.8 Elaboração do circuito em pu - exemplo completo e exercícios propostos 
 
 Apresenta-se a seguir um exemplo completo da elaboração de um circuito equivalente em 
pu, também conhecido como diagrama de impedância em pu. 
 
 São também propostos dois exercícios. 
 
 O texto foi extraído do capítulo 1 da referência [4] (porém, usando a 5ª edição modificada e 
ampliada de 2010). 
Sistema de potência Circuito monofásico equivalente 
• Diagrama unifilar 
• Modelos dos elementos 
16 
 
 
 
17 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
20 
 
 
21 
 
 
 
22 
 
Exercícios gerais 
 
Obs.: algumas respostas estão no final. 
 
(01) Seja uma parte de um sistema elétrico trifásico como mostra o diagrama unifilar abaixo. As 
resistências dos enrolamentos dos transformadores foram desprezadas. 
 
 
 
 
 Tomando como base 10 MVA e 138 kV no trecho da linha de transmissão: 
 
 (a) Indicar no diagrama unifilar as tensões de base Vb nos trechos conectados pelos 
transformadores; também calcular para cada trecho a impedância de base Zb e a corrente de base Ib. 
 (b) Determinar o circuito monofásico em pu do sistema. 
 
 
(02) Determinar o diagrama de impedâncias em pu do sistema abaixo, adotando como base 69 kV e 
100 MVA na linha de transmissão. Dados da carga: 8,0 MW, fator de potência FP = 0,92 (indutivo 
ou atrasado) e tensão de operação 13,2 kV. 
 
 
 
13,8 kV 
12 MVA 
X ’ = 30% 
13,8 / 69 kV 
1 5 MVA , X = 7 % 
69 / 13,8 kV 
1 5 MVA , X = 7 % 
90 km 
R = 0,24  /km 
X L = 0,50  /km 
X C = 3 00 k  *km 
E m 13,2 kV 
8,0 MW 
FP = 0,92 
(atrasado) 
 
 
(03) Seja o diagrama unifilar de um sistema radial. Defina as bases e calcule a tensão Vs em pu e 
seu módulo em kV (tensão fase-fase ou linha), que deve ser mantida na barra dos terminais do 
gerador, para que a carga seja alimentada com 30 kV (fase-fase ou de linha). 
 
 
Dados: 
 Gerador: 50 MVA, 11 kV, X = 10%. 
 Transformador Tr1: 50 MVA, 11/132 kV, X = 0,10 pu. 
 Linha de transmissão (LT): impedância Z = j100  (resistência desprezada). 
 Transformador Tr2: 50 MVA, 132/33 kV, X = 0,12 pu. 
 Carga trifásica em Y: operando com 36 MW em 30 kV e FP = 0,80 indutivo. 
 
23 
 
(04) Um sistema de potência trifásico é representado pelo diagrama unifilar abaixo. Dados: 
 Linhas de transmissão: LT1 = 0,1 + j0,5 Ω e LT2 = 1,0 + j2,5 Ω. 
 Transformador: 13,8 kV / 69 kV, 100 MVA, X = 10% (resistência desprezada). 
 Carga: operando com 40 MVA, FP = 0,95 indutivo e tensão 65,5 kV. 
 
 
 
Com as bases 100 MVA e 13,8 kV no trecho do gerador, calcule: 
 (a) A corrente em pu e seu módulo em kA, nos dois trechos separados pelo transformador. 
 (b) A tensão Vs nos terminais do gerador em pu e seu módulo em kV. 
 (c) As tensões nos terminais do transformador, nos lados de baixa e de alta, em pu e em kV. 
 (d) A potência aparente complexa fornecida pelo gerador em pu e em MVA. As potências 
ativa e reativa fornecidas pelo gerador em pu e em suas respectivas unidades. 
 
Sugestão: no final organize os resultados em uma tabela. 
 
 
(05) (a) Elabore o circuito equivalente em pu para o sistema de potência abaixo. Despreze as 
resistências e use uma base de 50 MVA e 138 kV na linha de 40 . Dados: 
 
 Gerador (1) e gerador (2): 20 MVA, 13,2 kV, X = 15%. 
 Motor síncrono (3): 30 MVA, 6,9 kV, X = 20%. 
 Transformadores YY: 20 MVA, 13,8 / 138 kV, X = 10%. 
 Transformadores Y: 15 MVA, 138Y / 6,9 kV, X = 10%. 
 
 
 
(b) Se a tensão na barra C do problema anterior for de 6,6 kV quando o motor absorver 24 MW 
com FP = 0,8 adiantado (capacitivo), calcule as tensões das barras A e B. Suponha que os dois 
geradores dividem a carga igualmente. Dê a resposta em pu e em volts em relação à base escolhida 
anteriormente. 
 
(c) Calcule as tensões nas barras A e B, quando o disjuntor que interliga o gerador 1 à barra A 
estiver aberto enquanto o motor solicita 12 MW na tensão de 6,6 kV com FP = 0,8 adiantado. Todos 
os outros disjuntores permanecem fechados. 
24 
 
(06) Um gerador trifásico é ligado, através de um banco de transformadores (três transformadores 
monofásicos) T1(Y), a uma LT de alta tensão. No outro extremo da linha tem-se um outro banco 
de transformadores T2 abaixador (YY) alimentando uma carga. Dados: 
 
 Gerador: 15 MVA, 8,5 kV, X = 20%. 
 T1: banco Y, com 3 transf. monof. de 6,67 MVA cada, tensões de fase 10 kV/100 kV, X = 10%. 
 T2: banco YY, com 3 transf. monof. de 6,67 MVA cada, tensões de fase 100 kV/10 kV, X = 10%. 
 Linha de transmissão: reatância X = 70  (resistência desprezada). 
 Carga trifásica: 10 MVA operando com 12,5 kV e FP = 0,80 indutivo. 
 
 
 
Determine: 
 (a) O circuito equivalente em pu. Adote como bases 10 MVA e 12,5 kV no circuito da carga. 
 (b) Calcule a tensão terminal do gerador Vs, em pu e seu módulo em kV. 
 
 
(07) Os valores nominais trifásicos de um transformador de potência com três enrolamentos são: 
 
Primário: 66 kV, 10 MVA; 
Secundário: 13,2 kV, 7,5 MVA; 
Terciário: 2,3 kV, 2,5 MVA. 
Desprezando as resistências, as impedâncias de dispersão são: 
 Zps = 7%, base 10 MVA e 66 kV; 
 Zpt = 9%, base 10 MVA e 66 kV; 
 Zst = 6%, base 7,5 MVA e 13,2 kV. 
 
 Se uma fonte de tensão constante (barramento infinito) é ligado ao primário do 
transformador, um motor síncrono ao secundário e uma carga resistiva ao terciário, determine o 
circuito equivalente em pu, para a base 10 MVA e 66 kV no primário. Os outros dados estão no 
diagrama unifilar abaixo. 
 
 50 km 
R = 0,20 /km 
XL = 0,50 /km 
 
2 km 
R = 0,50 /km 
XL= 0,50 /km 
2,3 kV 
5 MW 
FP = 1,0 
 
Motor síncrono: 
7,5 MVA, 
13,2 kV 
X = 20% 
Barra 
infinita 
(66 kV) 
p s 
 
t 
 
 
25 
 
Referências bibliográficas 
 
[1] ARAÚJO, C. A. S., SOUZA, F. C., CÂNDIDO, J. R. R., DIAS, M. P., Proteção de Sistemas Elétricos, 
Ligth/Interciência, Rio de Janeiro-RJ, 2002. 
 
[2] ARRUDA, C., Apostilas do Prof. Colemar Arruda – Curso de Eng. Elétrica, EEEC/UFG. 
 
[3] STEVENSON W. D. Jr., “Elementos de Análise de Sistemas de Potência”, McGraw-Hill, 2a Ed. em 
Português (4a Ed. americana), São Paulo–SP, 1986. 
 
[4] KINDERMANN G., “Curto-Circuito”, SAGRA-DC LUZZATTO, 1a Ed., Porto Alegre–RS, 1992. 
 
[5] MONTICELLI A., GARCIA A., “Introdução a Sistemas de Energia Elétrica”, Editora da Unicamp, 
Campinas–SP, 2000. 
 
[6] FUCHS R. D., “Transmissão de Energia Elétrica – Linhas Aéreas”, Livros Técnicos e Científicos (LTC) 
Editora S.A., 2a Ed., Rio de Janeiro–RJ, 1979. 
 
[7] COTRIM, A. A. M. B., “Instalações Elétricas”, Makron Books, 3a Ed., São Paulo, 1992. 
 
 
 
Algumas respostas dos exercícios gerais 
 
(03) Em kV: |Vs| = 14,03 kV (tensão fase-fase ou de linha). 
 
(04) Alguns resultados: 
Variável: Valor em por unidade: Na unidade: 
Corrente no lado de alta tensão do transformador: I = 0,4214-18,1949 pu Em módulo: 0,3526 kA 
Corrente no lado de baixa tensão do transformador: 
Tensão na barra de saída do gerador: Vs = 1,04518,6111 pu Em módulo:14,42 kV 
Tensão nos terminais de baixa do transformador: Vtb = 0,97953,4116 pu Em módulo: 13,52 kV 
Tensão nos terminais de alta do transformador: Em módulo: 66,57 kV 
Potência aparente complexa fornecida pelo gerador: SG = 39,31 + j19,86 MVA 
Potência ativa fornecida pelo gerador: 
Potência reativa fornecida pelo gerador: 
 
(05) (b) VA = 0,851810,8 pu. |VA| = 11,75 kV. 
 (c) VA = 0,91763,4 pu. |VA| = 12,66 kV. VB = 0,88366,9 pu. |VB| = 12,19 kV. 
 
(06) (b) Vs = 1,15789,4 pu. Em kV: |Vs| = 8,36 kV (tensão de linha).