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Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O balanço de potência – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 7 
 
II – O balanço de potência 
O objetivo fundamental de um sistema de energia elétrica é fornecer energia para as cargas existentes em 
uma determinada região geográfica. Quando o sistema é adequadamente planejado e operado, deve atender 
aos seguintes requisitos: 
• Fornecer energia nos locais exigidos pelos consumidores. 
• Como a carga demandada pelos consumidores varia ao longo do tempo (horas do dia, dias da semana e 
meses do ano), o sistema deve estar apto a fornecer potências ativa e reativa variáveis, conforme esta 
demanda. 
• A energia fornecida deve obedecer a certas condições mínimas, relacionadas com a “qualidade”. Entre os 
fatores que determinam esta qualidade se destacam: freqüência, magnitude da tensão, forma de onda e 
confiabilidade. 
• O sistema deve buscar custos mínimos (econômicos e ambientais). 
 
Neste capítulo, serão descritos os mecanismos que atuam no controle das potências ativa e reativa do sistema 
de energia elétrica. 
 
II.1 – Capacidade de transmissão 
Considere uma linha de transmissão do sistema elétrico, representada pela sua reatância série kmx , conectada 
entre duas barras, conforme mostrado na Figura II.1. 
 
 
k kmI kmkm jxZ = m 
kkk VV θ= mmm VV θ=
kmS
 
Figura II.1 – Linha de transmissão do sistema elétrico. 
 
Os fluxos de corrente kmI e potência kmS podem ser obtidos a partir dos fasores tensão das barras k e m 
( kkk VV θ= e mmm VV θ= , respectivamente): 
 
km
mk
km
mk
km jx
VV
Z
VVI −=−=
 
( ) ( ) ( )
( )[ ]
km
kmkmmkk
km
kmmkk
km
mkmkk
km
mmkkk
km
mkkj
j
km
mk
VV
kk
km
mk
k
km
mk
kkmkkm
x
jVVVj
x
VVVj
x
VVVj
x
VVVj
xj
VVVj
jx
VVVV
jx
VVVjx
VVVIVS
kk
θθ
θθθθθ
sencos2
222
2
*2
*****
*
22
+−
=
=
−
=
−−
=
−−
=
=
−





−
=
−
−
=








−
−
=







−
==






×
==
876
 
 
( )
km
kmmkkkmmk
km
x
VVVjVV
S
θθ cossen 2 −+
= (II.1) 
 
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Quando todas as tensões das expressões anteriores correspondem aos valores de linha em kV e reatância 
estiver em Ω, todas as potências obtidas serão os valores trifásicos dados em MW e Mvar. Obviamente, por 
outro lado, quando todas as grandezas estão representadas em pu, os resultados das expressões anteriores 
também estarão em pu (neste caso não há distinção entre valores de fase/linha e por fase/trifásico). 
 
Definindo mkkm θθθδ −== , como a abertura angular da linha de transmissão, e separando as partes real e 
imaginária, chega-se a: 
 
 { } δθ sensenRe
km
mk
km
km
mk
kmkm
x
VV
x
VVSP === (II.2) 
 { }
km
mkk
km
kmmkk
kmkm
x
VVV
x
VVVSQ δθ coscosIm
22
−
=
−
== (II.3) 
 
As equações (II.2) e (II.3) descrevem a forma pela qual as potências ativa e reativa são transferidas entre 
duas barras de um sistema. De acordo com (II.2), pode-se observar que para valores constantes1 de tensões 
terminais kV e mV o fluxo de potência ativa obedece à seguinte expressão: 
 
 δsenmaxkmkm PP = 
 
sendo 
km
mk
km
x
VV
P =max o maior valor de potência ativa transmitida pela linha de transmissão km (capacidade de 
transmissão estática) ou seu limite de estabilidade estática, somente atingido quando 1sen ±=δ , ou seja, 
quando o90±=δ . Assim, a potência ativa transmitida por uma linha de transmissão está intimamente 
relacionada com sua abertura angular δ, conforme ilustra a Figura II.2. 
-150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150
-100
-50
0
50
100
 [ ]max
 de % kmkm PP
][ okmθδ =
Potência 
transmitida de 
maneira estável 
de m para k 
Potência 
transmitida de 
maneira estável 
de k para m 
Região de 
instabilidade 
Região de 
instabilidade 
 
Figura II.2 – Potência ativa em uma linha de transmissão em função de sua abertura angular. 
 
1
 Observar que as tensões de operação em regime permanente dos sistemas de energia elétrica, usualmente, não sofrem 
variações acentuadas e permanecem próximas aos seus valores nominais. 
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A capacidade de transmissão de uma linha é proporcional ao quadrado da tensão de operação e inversamente 
proporcional à sua reatância. Tais características são muito importantes na especificação das linhas de 
transmissão, ou seja, na definição de suas características nominais (nível de tensão, geometria das torres e 
condutores). Entretanto, na prática, o sistema opera longe do limite de estabilidade estática, pois à medida 
que nos aproximamos deste limite o sistema torna-se eletricamente fraco, ou seja, cada vez são necessários 
maiores incrementos no ângulo de abertura para um mesmo incremento na potência transmitida. Assim, 
raramente as linhas operam com ângulos superiores a 30° ou 45°. 
 
 
Exemplo II.1 – Determinar a capacidade de transmissão estática de duas linhas de transmissão cujo 
comprimento é de 200 km: 
• Linha 1: 230 kV, 1 condutor por fase com reatância 0,5 Ω/km. 
• Linha 2: 765 kV, 4 condutores por fase com reatância 0,35 Ω/km. 
 
Solução Exemplo II.1: Para ambas as linhas, consideram-se que as tensões terminais são iguais aos seus 
valores nominais. 
Para a Linha 1, cuja reatância total é igual a Ω=×= Ω 100km 2005,0 km1x , a capacidade de transmissão 
trifásica é de: 
 
( ) MW 529
 100
kV 230 2
1
11max
1 =Ω
==
x
VV
P mk 
Para a Linha 2, cuja reatância total é igual a Ω=×= Ω 70km 20035,0 km2x , a capacidade de transmissão 
trifásica é de: 
 
( ) MW 8360
 70
kV 765 2
2
22max
2 =Ω
==
x
VV
P mk 
Desta forma, a linha de 765 kV é capaz de transportar o equivalente a mais de 15 linhas de 230 kV. 
 
II.2 – Dependência da carga com a tensão e freqüência 
Embora, individualmente, as cargas existentes no sistema elétrico sejam altamente aleatórias, quando 
concentradas por conjuntos de consumidores apresentam caráter previsível. Quanto maior o número de 
cargas agrupado, maior será a possibilidade de realizar tal previsão. Além disto, as cargas concentradas 
variam com o tempo de maneira também previsível, em função da hora do dia (horário de maior consumo e 
horário de menor consumo), do dia da semana (dia útil, final de semana e feriados) e das estações do ano, 
conforme ilustrado na Figura II.3 que representa a curva de carga diária de um alimentador. 
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
00:00 01:00 02:00 03:00 04:00 05:00 06:00 07:00 08:00 09:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
Alimentador RS--P 16/10/2002 (quarta-feira) kW
Alimentador RS--Q 16/10/2002 (quarta-feira) kvar
 
Figura II.3 – Curva de carga de um alimentador. 
 
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Na curva de carga de potência ativa da Figura II.3 observa-se um baixo consumo até as 7:00 horas, quando 
se inicia um processo de crescimento até o horário do almoço, por volta das 12:00 horas. A partir deste 
intervalo o consumo quase se estabiliza em um patamar para iniciar um novo processo de crescimento a 
partir das18:00 horas. O processo de redução inicia-se perto das 21:00 horas, sendo contínuo até as 24:00 
horas. A curva de potência reativa segue de forma aproximada a curva de potência ativa, sendo seu valor 
inferior à metade do anterior. Pode-se notar o caráter industrial/comercial da carga, em função do elevado 
consumo durante o horário comercial e também a presença de residências, em função do aumento de 
consumo no horário da ponta (freqüentemente evitado pelas indústrias em função da tarifa maior). 
 
Outra característica importante das cargas de uma maneira geral é seu caráter indutivo, ou seja, a carga típica 
consome potência reativa pois é a participação das cargas motoras é significativa. Desta forma, pode-se dizer 
que a carga típica de um sistema de energia elétrica pode ser representada de forma simplificada pela 
associação série RL da Figura II.4. 
 
L 
I
+ 
 
 
 
 
 
 
 
– 
V
R 
SISTEMA 
Fonte 
 
Figura II.4 – Carga RL série. 
 
Sendo fpiω 2= a velocidade angular da fonte, a potência complexa consumida pela carga RL é dada por: 
 ( ) ( )LjRLR
VZ
Z
V
Z
V
Z
VVIVS
Z
Z
ω
ω
+
+
===





==
×
22
2
2
2
*
2
*
*
 
Isolando as partes real e imaginária, tem-se: 
 { } ( ) ( ) 222,Re VLR
RVfSP
ω
ω
+
=== (II.4) 
 { } ( ) ( ) 222,Im VLR
LVgSQ
ω
ω
ω
+
=== (II.5) 
Assim, conclui-se que: 
• P e Q crescem com o quadrado da tensão, característica típica de cargas constituídas por impedâncias e 
• P diminui e Q aumenta com o aumento da freqüência. Uma carga típica deve possuir um fator de 
potência perto da unidade para evitar penalizações, logo o valor da resistência deve ser muito maior do 
que o da reatância indutiva, ou seja, ( ) 222 RLRLR →+⇒>> ωω . 
 
Para cargas compostas, uma relação funcional do tipo (II.4) e (II.5), via de regra, não é possível de ser 
determinada. Neste caso, para pequenas variações na velocidade angular, ∆ω, ou na magnitude da tensão, 
∆V, tem-se: 
 V
V
PPP ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
≈∆ ω
ω
 (II.6) 
 V
V
QQQ ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
≈∆ ω
ω
 (II.7) 
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sendo as quatro derivadas parciais 





∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
V
QQ
V
PP
 e , ,
ωω
 obtidas empiricamente. Estas derivadas fazem o 
papel dos parâmetros da carga, descrevendo a natureza desta em torno dos níveis nominais de freqüência e 
tensão. Um exemplo de uma carga típica pode apresentar a seguinte composição: 
 
• Motores de indução: 60% 
• Motores síncronos 20% 
• Outras: 20% 
 
Neste caso, os parâmetros correspondentes seriam: 
 
( )
3,11
disponível não1
≈
∂
∂
≈
∂
∂
∂
∂
≈
∂
∂
V
Q
V
P
QP
ωω
 
 
II.3 – O balanço de potência ativa e seus efeitos sobre a freqüência 
A freqüência em um sistema de energia elétrica deve ser mantida dentro de limites rigorosos pois: 
• A maioria dos motores de corrente alternada gira com velocidades diretamente relacionadas com a 
freqüência e 
• O sistema pode ser mais efetivamente controlado se a freqüência for mantida dentro de limites estreitos. 
 
O mecanismo carga-freqüência opera da seguinte maneira, envolvendo tempos da ordem de segundos: 
• Sob condições normais, os geradores operam em sincronismo, gerando a potência que a cada instante 
está sendo consumida mais as perdas ativas de transmissão. 
• Para um aumento de carga o sistema elétrico estaria, momentaneamente, com suas máquinas motrizes 
gerando pouca energia mecânica, o que provocaria uma redução na velocidade dos geradores, 
inversamente proporcional a sua inércia. Isto produziria uma redução na freqüência do sistema. 
• Para uma redução de carga o sistema elétrico estaria, momentaneamente, com suas máquinas motrizes 
gerando muita energia mecânica, o que provocaria um aumento na velocidade dos geradores, 
inversamente proporcional a sua inércia. Isto produziria um aumento na freqüência do sistema. 
 
Desta forma, o controle da velocidade dos geradores pode ser utilizado a cada instante de tempo para ajustar 
a quantidade de energia produzida à demanda do momento. Tal controle é realizado pelo regulador de 
velocidade das máquinas motrizes dos geradores (constituídas, principalmente, por turbinas hidráulicas e 
térmicas) que regulam a potência mecânica fornecida ao eixo do gerador de modo a manter sua velocidade 
constante (por intermédio do controle do fluxo de água ou vapor). Este controle é empregado para corrigir 
pequenos déficits ou superávits de potencia ativa no sistema; o despacho dos geradores, ou seja, a 
definição de quanto cada unidade irá produzir em cada hora do dia, é estabelecida a priori, considerando a 
carga prevista, a disponibilidade dos geradores, o melhor uso da água e o custo de geração. 
 
II.4 – O balanço de potência reativa e seus efeitos sobre a tensão 
De forma análoga ao caso anterior, no qual a manutenção da freqüência no sistema é a melhor garantia de 
que o balanço da potência ativa está sendo mantido no sistema, um perfil constante de tensão em todo 
sistema garante que o equilíbrio entre a potência reativa “produzida” e “consumida” está sendo mantido. 
 
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Considere o seguinte sistema, sem perdas ativas, no qual a tensão da barra k é mantida constante e igual a 
kV , a impedância da linha é kmkm jxZ = , conforme mostrado na Figura II.5. 
 
 
k kmI kmkm jxZ = m 
o0kk VV = mmm VV θ=
jQPS +=
 
Figura II.5 – Sistema de duas barras. 
 
Para o sistema da Figura II.5, a tensão na barra m pode ser obtida por: 
 
 kmkmkkmkmkm IjxVZIVV −=−= (II.8) 
 
Supondo que as perdas de potência reativa na linha sejam desprezíveis, a potência entregue para a carga é a 
mesma que está sendo transmitida de k para m e a corrente pela linha é dada por: 
 
 ⇒==
*
kmkkm IVSS
kkkk
km
V
jQP
V
jQP
V
jQP
V
SI −=−=−=






≈
o0*
*
 (II.9) 
 
Substituindo (II.9) em (II.8), tem-se a seguinte expressão, cujo diagrama fasorial encontra-se na Figura II.6: 
 
 
}
P
V
xjQ
V
xV
V
jQPjxVV
k
km
k
km
k
I
k
km
V
km
km
k
−−=
−
−=
48476o0
 
 
kmkm Ijx
o0kk VV =
Q
V
x
k
km
kmI
mmm VV θ=
P
V
xj
k
km
 
Figura II.6 – Diagrama fasorial do sistema de duas barras. 
 
Conclui-se, daí, que: 
• Uma variação na potência ativa P afeta o fasor queda de tensão que é perpendicular a kV , afetando 
significativamente a fase do fasor mV . 
• Uma variação na potência reativa Q afeta o fasor queda de tensão que está em fase com kV , afetando 
significativamente o módulo do fasor mV . 
 
 
Exercício II.1 – Considerando o sistema de duas barras da Figura II.5, completar a Tabela II.1 com o 
diagrama fasorial correspondente a cada uma das situações de carga (P e Q podendo ser positivos ou 
negativos) e sinal da reatância da linha de transmissão (indutiva, com 0>kmx , ou capacitiva, com 0<kmx ). 
Representar, no mínimo os fasores kV , kmI , mV e suas componentes. 
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Tabela II.1 – Diagramas fasoriais do Exercício II.1. 
 
 
0>kmx 0<kmx 
0>Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =
 
 
0>P 
0<Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =
 
 
0>Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =0<P 
0<Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =
 
 
 
 
Exercício II.2 – Efetuar análise similar à realizada na Seção II.4, supondo que a impedância da linha seja 
igual a kmkmkm jxrZ += . Considerar três casos distintos kmkm xr >> , kmkm xr ≈ e kmkm rx >> .