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Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O estudo do fluxo de carga – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 11 
 
O estudo do fluxo de carga 
• Fluxo de carga → ferramenta de análise de redes (regime permanente) 
• Utilização → operação em tempo real e planejamento da operação e expansão 
• Informações determinadas 
− Carregamento de LTs, TRs, geradores e equipamentos de compensação (var) 
− Tensão nas barras (magnitude) 
− Perdas de transmissão 
• Permite definir propostas de alterações para tornar a operação da rede mais segura e econômica. 
− Operação 
� Despacho dos geradores 
� Dispositivos de controle de tensão (injeções var e taps) 
� Intercâmbio com os sistemas vizinhos 
� Topologia 
− Planejamento da expansão 
� Localização plantas de geração 
� Seleção LTs e TRs 
� Dispositivos de controle do fluxo de potência (FACTS1) 
� Interconexão com outros sistemas 
 
 
1
 Flexible AC Transmission System. 
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O estudo do fluxo de carga – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 2 de 11 
 
Definição do problema do fluxo de carga 
Fluxo de carga (load flow) ou fluxo de potência (power flow) → obter condições de operação 
( kkV θ , kmkm jQP + ) em uma rede em RP com topologia e injeções ( kk jQP + ) conhecidas. 
 
São associadas quatro variáveis a cada barra da rede (nó elétrico) 
kV – Magnitude do fasor tensão nodal da barra k 
kθ – Ângulo de fase do fasor tensão nodal da barra k 
kP – Injeção líquida (geração menos carga) de potência ativa da barra k 
kQ – Injeção líquida de potência reativa da barra k 
 
Aos ramos da rede (cujos extremos são as barras k e m) associam-se 
kmI
 
– Fasor da corrente que sai da barra k em direção à barra m 
kmP – Fluxo de potência ativa que sai da barra k em direção à barra m 
kmQ – Fluxo de potência reativa que sai da barra k em direção à barra m 
 
Tabela – Tipos de barra no fluxo de carga convencional. 
Tipo de barra Notação Dados Incógnitas Observação 
Barra de carga PQ kP e kQ kV e kθ Mais freqüente 
Tensão controlada PV kP e kV kθ e kQ Instalações com controle de tensão 
Referência Vθ kV e kθ kP e kQ Necessária: referência angular 
 balanço de potência 
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Exercício 1 – Considere o sistema elétrico composto por duas barras e uma linha de transmissão 
ilustrado na Figura a seguir. Para este sistema, são conhecidos o fasor tensão na Barra 1 
(utilizada como referência angular pois 01 =θ ), 1V , e a demanda de potência da Barra 2 (que 
constitui uma barra de carga), 2S . Deseja-se determinar o fasor tensão na barra 2, 2V , e a 
injeção líquida de potência da barra 1, 1S . 
 pu 011 =V
1 2 
( ) pu 4,08,02 jS +=
222 θVV =
( ) pu 1,001,0 jZ LT +=
1S
12I
 
 
Exercício 2 – Refazer o Exercício 1 considerando que a carga na Barra 2 corresponde a uma 
impedância igual a ( )pu 4,08,02 jZ += . 
 
Exercício 3 – Determinar os dados e as incógnitas do problema de fluxo de carga convencional 
de um sistema composto por 4 barras ( )4,,1,,,, L=iVQP iiii θ , sabendo que a Barra 1 é a referência 
(Vθ), a Barra 3 é de tensão controlada (PV) e as demais barras são de carga (PQ). 
 
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Com a imposição da Primeira Lei de Kirchhoff (injeção = soma fluxos), tem-se duas equações: 
 
 
sh
kjQ
m 
11 kk jQP +
1 2 
22 kk jQP +
kmkm jQP +
kk jQP +
k 
 
( )∑
Ω∈
=
km
mkmkkmk VVPP θθ ,,,
 
 
( ) ( )∑
Ω∈
=+
km
mkmkkmk
sh
kk VVQVQQ θθ ,,,
 
 
NBk ,,2,1 L=
 – Índice das barras do sistema, sendo NB o número de barras do sistema; 
kΩ – Conjunto das barras vizinhas da barra k; 
mk VV , – Magnitude dos fasores das tensões terminais do ramo k-m; 
mk θθ , – Ângulo de fase dos fasores das tensões terminais do ramo k-m; 
kmkm QP , – Fluxo de potência ativa e reativa no ramo k-m; 
sh
kQ – Injeção de var do elemento em derivação (shunt) da barra k ( )2kshkshk VbQ = . 
 
 
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Com a imposição da Segunda Lei de Kirchhoff, os fluxos de potência ativa e reativa nos 
ramos (LTs e TRs): 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkmkkmkm bgVVagVaP ϕθϕθ +++−= sencos2 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmshkmkmkkmkm bgVVabbVaQ ϕθϕθ +−+−+−= cossen2 
 
Expressões gerais para os fluxos de corrente nos ramos: 
( ) ( ) mkmjkmkshkmkmkmkm VYeaVjbYaI kmϕ−−++= 2 
( ) ( ) mshkmkmkkmjkmmk VjbYVYeaI km ++−= + ϕ 
 
 
Tabela – Parâmetros para os diferentes equipamentos nas expressões gerais dos fluxos. 
Equipamento kma kmϕ shkmb 
Linha de transmissão 1 0 
Transformador em fase 0 0 
Transformador defasador puro 1 0 
Transformador defasador 0 
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As equações das correntes dos nós 
Injeção líquida de corrente na barra k (obtida aplicando-se a Primeira Lei de Kirchhoff): 
 
∑
Ω∈
=+
km
km
sh
kk III
 para NBk ,,2,1 L= 
onde: ( ) kshkkshkshk VjbVjbI −=−= 0 
( ) [ ] 22*** ImImImIm kshkkshkkshkkkshkkshkkshk VbVjbVjbVVjbVIVQ == = −=









=
 
 
A expressão para fasor corrente kmI depende do tipo de equipamento considerado, ou seja: 
Linha de transmissão: ( ) ( ) mkmkshkmkmkm VYVjbYI −++= ( ) ( ) mshkmkmkkmmk VjbYVYI ++−= 
Transformador em fase: ( ) ( ) mkmkmkkmkmkm VYaVYaI −+= 2 ( ) ( ) mkmkkmkmmk VYVYaI +−= 
Defasador puro: ( ) ( ) mkmjkkmkm VYeVYI kmϕ−−+= ( ) ( ) mkmkkmjmk VYVYeI km +−= ϕ 
 
Expressões gerais para os fluxos de corrente nos ramos: 
( ) ( ) mkmjkmkshkmkmkmkm VYeaVjbYaI kmϕ−−++= 2 ( ) ( ) mshkmkmkkmjkmmk VjbYVYeaI km ++−= ϕ 
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Exercício – Para o circuito de 4 barras e 5 ramos (3 linhas e 2 transformadores) da Figura, determinar 
as expressões das injeções de corrente obtidas com a aplicação da Primeira Lei de Kirchhoff. 
 
12Y
shjb12 shjb12
23Y
shjb23 shjb23
13Y
shjb13 shjb13
34:1 a
34Y
14:1 ϕje
14Y
1 2 3 4 
1I
3I
4I
2I1V 2V 3V 4V
shjb3
 














⋅














+−−
−+++++−−
−+++−
−−−++++
=













 −
4
3
2
1
3414343414
34343231334
2
3423132313
232312231212
1413121312141312
4
3
2
1
0
0
14
14
V
V
V
V
YYYaYe
YajbjbjbYaYYYY
YjbjbYYY
YeYYjbjbYYY
I
I
I
I
j
shshsh
shsh
jshsh
ϕ
ϕ
 
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Exercício – Para o circuito de 4 barras e 5 ramos (3 linhas e 2 transformadores) da Figura, determinar 
as expressões das injeções de corrente obtidas com a aplicação da Primeira Lei de Kirchhoff. 
 
12Y
shjb12 shjb12
23Y
shjb23 shjb23
13Y
shjb13 shjb13
34:1 a
34Y
1:41a
41Y
1 2 3 4 
1S
3S
4S
2S1V 2V 3V 4V
shjb3
 













⋅














+−−
−+++++−−
−+++−
−−−++++
=














4
3
2
1
3441
2
4134344141
34343231334
2
3423132313
232312231212
414113121312411312
4
3
2
1
0
0
V
V
V
V
YYaYaYa
YajbjbjbYaYYYY
YjbjbYYY
YaYYjbjbYYY
I
I
I
I
shshsh
shsh
shsh
 
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Formulação matricial 
Fluxo de corrente em um ramo: ( ) ( ) mkmjkmkshkmkmkmkm VYeaVjbYaI kmϕ−−++= 2 
Injeção de corrente em uma barra: ( ) ( )[ ]∑
Ω∈
−
−++=−
k
km
m
mkm
j
kmk
sh
kmkmkmk
sh
kk VYeaVjbYaVjbI ϕ2
 
( ) ( )∑∑
Ω∈
−
Ω∈
−+








++=
k
km
km
kk
k m
m
Y
km
j
kmk
Y
m
sh
kmkmkm
sh
kk VYeaVjbYajbI
44 844 76
44444 844444 76
ϕ2
 ou VYI = 
I
 
– Vetor das injeções de corrente (componentes são os fasores kI , NBk ,,2,1 L= ) 
V
 
– Vetor das tensões nodais (componentes são os fasores kkk VV θ= , NBk ,,2,1 L= ) 
jBGY +=
 
– Matriz admitância nodal, cujos elementos são: kmjkmkm YeaY kmϕ−−= 
 
km
j
kmkm
j
kmmk YeaYeaY kmmk
ϕϕ
−=−=
−
 
 
( )∑
Ω∈
++=
km
kmkm
sh
km
sh
kkk YajbjbY 2
 
• Matriz quadrada de ordem NB 
• Matriz esparsa para redes de grande porte 
• Matriz simétrica se a rede for constituída apenas por LTs e TR em fase (para LT 
kmmkkm YYY −== ; para um TR em fase kmkmmkkm YaYY −== . A presença de defasadores torna a 
matriz assimétrica pois kmjkm YeY kmϕ−−= e kmjmk YeY kmϕ−= . 
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A k-ésima componente da expressão matricial é: ∑∑
∈Ω∈
=+=
Km
mkm
m
mkmkkkk VYVYVYI
k
 
onde K é o conjunto de todas as barras adjacentes à barra k { }( )kkK Ω∪= . 
 
Sabendo que kmkmkm jBGY += e mmm VV θ= ( )∑
∈
+=
Km
mmkmkmk VjBGI θ
 
 
A injeção líquida de potência é dada por: 
 
( )
( ) ( )∑∑
∑
∈∈
∈
−−=−−=
=





+==+=
Km
mkkmkmmk
Km
mmkmkmkk
Km
mmkmkmkkkkkkk
jBGVVVjBGV
VjBGVIVjQPS
θθθθ
θθ
*
*
 
( )( )∑
∈
+−=
Km
kmkmkmkmmkk jjBGVVS θθ sencos
 
Separando as partes real e imaginária: 
( )∑
∈
+=
Km
kmkmkmkmmkk BGVVP θθ sencos
 
( )∑
∈
−=
Km
kmkmkmkmmkk BGVVQ θθ cossen
 
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Exercício – Para o sistema de 
4 barras da Figura anterior, 
escrever as expressões das 
injeções de potência de cada 
barra, considerando que a barra 
1 é a referência (Vθ), a barra 3 é 
de tensão controlada (PV) e as 
demais são barras de carga 
(PQ). Considerar a matriz 
admitância conhecida e dada 
por: 
 
jBGY +=
 
 












=
444341
34333231
232221
14131211
0
0
GGG
GGGG
GGG
GGGG
G
 
 












=
444341
34333231
232221
14131211
0
0
BBB
BBBB
BBB
BBBB
B
 
Exemplo (Provão 1998) – Questão relativa às matérias de Formação 
profissional Específica (Ênfase Eletrotécnica). 
 
 
 
 
Média (escala de 0 a 100) % escolha 
Brasil Região Sul Instituição Brasil Região Sul Instituição 
20,8 Não disponível 15,5 Não disponível