Transformação de Tensões

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21/05/2026
Resistência dos Materiais
Engenharia Ambiental e Sanitária
Profª: Lorena da Silva Alves 
Transformação de tensão no plano
Transformação de tensões2
• Estado geral de tensões em um ponto 
caracterizado por seis componentes da tensão
normal e de cisalhamento;
• Na prática da engenharia  estado plano de
tensões simplificações das cargas
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Transformação de tensão no plano
Transformação de tensões3
• Caracterizado por componentes no plano:
• Duas componentes de tensão normal 𝜎 e 𝜎 ;
• Uma componente de tensão cisalhante 𝜏 ;
• “O estado plano de tensão em um ponto é
representado exclusivamente por três componentes
que agem sobre um elemento que tenha uma
orientação específica neste ponto.”
Transformação de tensão no plano
Transformação de tensões4
• Como representar as tensões em um ponto em
direções diferentes?
• Analogia às componentes de força em outra
direção...
• Entretanto tem-se que levar em consideração além
da direção da componente da força a direção da
componente da área.
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Equações gerais de transformação 
de tensões no plano
Transformação de tensões5
• Convenção de sinal:
• Tensão normal positiva age para fora de todas as faces;
• Tensão cisalhante positiva age para cima na face
direita;
• Todas as componentes de tensão devem manter o
equilíbrio do corpo.
Equações gerais de transformação 
de tensões no plano
Transformação de tensões6
• Quais as tensões atuantes no plano inclinado em θ?
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Equações gerais de transformação 
de tensões no plano
Transformação de tensões7
• Quais as tensões atuantes no plano inclinado em θ?
Equações gerais de transformação 
de tensões no plano
Transformação de tensões8
• Quais as tensões atuantes no plano inclinado em θ?
𝐹 = 0
𝜎 ∆𝐴 − 𝜏 ∆𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃 cosθ − 𝜎 ∆𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃
− 𝜏 ∆𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛θ − 𝜎 ∆𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
𝜎 = 𝜎 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝜎 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝜏 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐹 = 0
𝜏 ∆𝐴 + 𝜏 ∆𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃 senθ − 𝜎 ∆𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
− 𝜏 ∆𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠θ + 𝜎 ∆𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
𝜏 = 𝜎 − 𝜎 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜏 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 = 2 senθ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 /2
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 /2
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Equações gerais de transformação 
de tensões no plano
Transformação de tensões9
• Quais as tensões atuantes no plano inclinado em θ?
𝜎 =
𝜎 + 𝜎
2
+
𝜎 − 𝜎
2
𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏 𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜎 =
𝜎 + 𝜎
2
+
𝜎 − 𝜎
2
𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏 𝑠𝑒𝑛2𝜃′
𝜏 = −
𝜎 − 𝜎
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏 𝑐𝑜𝑠2𝜃
Tensões principais e tensão 
cisalhante máxima no plano
Transformação de tensões10
• Tensões principais (tensões normais máximas e
mínimas):
𝑑𝜎
𝑑𝜃
= 0 𝑡𝑔 2𝜃 =
𝜏
𝜎 − 𝜎 2⁄
Substituindo na equação da tensão normal anterior tem-se as tensões principais:
Duas raízes 2𝜃 e 2𝜃
afastadas em 180°
𝜎 , =
𝜎 + 𝜎
2
±
𝜎 − 𝜎
2
+ 𝜏
- Plano principal é aquele que ocorre as tensões principais;
- 𝜏 = 0 no plano principal
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Tensões principais e tensão 
cisalhante máxima no plano
Transformação de tensões11
• Tensão cisalhante máxima:
𝑑𝜏
𝑑𝜃
= 0 𝑡𝑔 2𝜃 =
− 𝜎 − 𝜎 2⁄
𝜏
Substituindo na equação da tensão normal anterior tem-se as tensões principais:
Cada raiz 2𝜃 está afastada em 
90° da 2𝜃
𝜏 á =
𝜎 − 𝜎
2
+ 𝜏
- Os planos para a tensão cisalhante máxima podem ser determinados orientando 
um elemento a 45º em relação à posição de um elemento que define os planos 
da tensão principal.
Círculo de Mohr – no plano
Transformação de tensões12
• Solução gráfica para as equações de transformação
de tensões no plano
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Círculo de Mohr – no plano
Transformação de tensões13
Exemplo 1
Transformação de tensões14
Defina as tensões em outro elemento orientado em 30°
no sentido horário.
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Exemplo 2
Transformação de tensões15
Para o elemento abaixo desenho o círculo de Mohr e
defina as tensões principais e tensão cisalhante
máxima.
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