Introdução à Propulsão Espacial

Prévia do material em texto

Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
10 
 
Aula 1 - Conceitos fundamentais 
Por que propulsão espacial é necessária? 
Foguetes (Figura 1) são dispositivos tecnológicos muito 
conhecidos pela capacidade que têm de colocar objetos no 
espaço. A propulsão espacial não é, entretanto, apenas 
usada em foguetes. Ela faz parte de diversos subsistemas 
espaciais que têm como objetivo estabelecer órbitas ou 
cumprir missões espaciais. 
São 4 as justi icativas ou funções espaciais para se utilizar 
propulsão espacial: 
1. Colocar cargas úteis em órbita da Terra: 
propulsão de lançamento. Sistema de 
ascensão com força necessária para, a partir 
da Terra, colocar em órbita terrestre a 
carga útil e seu combustível remanescente. 
2. Enviar cargas úteis até a lua ou a outros 
planetas: transporte espacial. Sistema de 
transporte capaz de levar cargas úteis da 
Terra a outros corpos celestes, chegando neles com velocidade apropriada para 
permitir sua descida até a superfície do corpo celeste ou permanecer em sua órbita. 
3. Para posicionar, ajustar e manter órbitas de engenhos espaciais: propulsão auxiliar. 
Sistema de deslocamento capaz de fazer a transição entre trajetórias diferentes, e. g., 
de uma órbita intermediária para uma órbita final. Para isso, não apenas foguetes, 
mas outros dispositivos não químicos, p. ex., propulsores elétricos podem ser usados. 
Também pode ser usada para manter uma determinada posição orbital (station 
keeping). 
4. Para orientar engenhos espaciais em atitude: propulsão de atitude. Sistema de 
posicionamento capaz de girar o engenho espacial em torno de um eixo pré-definido 
de forma a prepará-lo para sua função final. 
Para realizar essas funções, diferentes tecnologias de propulsão são utilizadas. A mais conhecida 
delas é a tecnologia de propulsão química (ver Aula 4), responsável por colocar em órbita imensas 
cargas úteis como propulsão de lançamento (1). Isso é feito por meio de veículos lançadores 
(launchers). 
Entretanto, essa tecnologia tem suas limitações. Quando se considera a ampla gama de 
aplicações necessárias no espaço e no futuro, a propulsão química foge aos requisitos. 
Por exemplo, fazer uma viagem interestelar e alcançar a estrela mais próxima do sol ( 
Centauro) não pode ser realizado usando tecnologia química, pois a quantidade de combustível 
envolvida é muito grande. É presentemente impossível viajar até as estrelas sem considerar o uso 
de tecnologias inovadoras de propulsão. Essas devem ser leves, e icientes e de alta durabilidade. 
Como as distâncias são imensas, elas precisam funcionar de forma intermitente por centenas de 
 
Figura 1 Fonte: pxhere.com (Licença CCO Public 
Domain). 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
11 
 
anos considerando que não é possível atingir velocidades próximas à da luz com toda tecnologia 
que existe. Viajar até as estrelas exigirá um salto tecnológico considerável! 
O mais razoável é esperar daqui para frente pequenos avanços na área de propulsão não química, 
como sistemas elétricos (Aula 6) que podem ser usados para as funções de posicionamento orbital 
e orientação de atitude (iii) e (iv). Uma aplicação relevante no futuro é a de sistemas de propulsão 
para realizar “limpeza” do lixo espacial acumulado em vastas regiões orbitais em torno da Terra. 
Para compreender cada uma dessas aplicações é 
necessário iniciar por aquela que é a principal 
função da propulsão e que exige a maior potência. 
Movimento parabólico na atmosfera 
Para deixar a Terra, um corpo precisa vencer não 
só uma grande distância, mas uma enorme força. 
Essa força é a gravidade mais a resistência do ar. 
A trajetória descrita pelo movimento de um 
projetil, lançado na atmosfera terrestre, é um 
exemplo de movimento orbital. 
Para isso, um projétil (p. ex., uma bola de ping-
pong, uma bala de revolver, uma pedra etc, ver 
Figura 2) é lançada com certa velocidade inicial 
𝑣 . A velocidade do projétil pode ser decomposta 
em duas componentes: a x ao longo do chão e a y 
na vertical. Ao ascender, a velocidade em y se reduz até atingir zero no chamado “apogeu” da 
trajetória. A velocidade em x permanece pouco alterada. 
Por causa da atmosfera, o projétil sofre ação de uma força de resistência do ar que reduz sua 
velocidade. Essa força tanto contribui para reduzir a altura do apogeu como o alcance determinado 
pela velocidade em x. 
O movimento se parece com uma seção de parábola e corresponde, na verdade, ao 
apogeu de uma órbita elíptica (Figura 3) cujo foco principal está no centro da 
distribuição de massa em torno da Terra. Desde que lançado com energia su iciente, um 
projétil poderia subir além da atmosfera terrestre, mas, para entrar em uma órbita útil, teria que ter 
seu movimento atuado por outra força a im de corrigir sua trajetória. Se lançado em uma órbita 
desse tipo, o projétil deixado por si, retornaria ao mesmo ponto, ou seja, entraria novamente na 
atmosfera terrestre ou permaneceria eternamente distanciado da Terra, a depender da energia 
fornecida a ele durante seu lançamento. 
Não é possível assim lançar um satélite em uma órbita útil em volta da Terra sem que um mecanismo 
de propulsão que atue ao longo de toda trajetória seja utilizado. 
 
Figura 2 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
12 
 
 
O movimento aproximado (para baixas velocidades de lançamento) pode 
ser descrito por um conjunto de equações com base na lei da queda dos 
corpos de Galileu Galilei (Figura 4, 1564 — 1642). 
A distância percorrida por um corpo em queda é diretamente 
proporcional ao quadrado do tempo que ele leva para cair. 
Essa lei também implica que a distância percorrida não depende da 
massa do corpo. Logo, em termos gerais, a trajetória de um projétil em 
lançamento balístico é a mesma e só depende da velocidade inicial e de 
seu ângulo de lançamento. 
Outros fatores interferem na curva de movimento parabólico que são de importância para viagens 
espaciais. Para ver isso, é necessário obter a equação do movimento parabólico sem levar em 
consideração a resistência do ar. Trata-se de uma aproximação, que não é completamente válida 
para um planeta com atmosfera relevante. 
Como a distância percorrida, 𝑠, é proporcional ao tempo, 𝑡, ou 𝑠 ∝ 𝑡 , então a velocidade em 
qualquer tempo é linearmente proporcional ao tempo ou 𝑣 ∝ 𝑡. 
 
Figura 3 A trajetória é aproximadamente “parabólica”. O movimento real durante o lançamento é elíptico. No apogeu, 
a velocidade radial se anula. 
 
 
Figura 4 Galieu Galilei. 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
13 
 
 A constante de proporcionalidade é a aceleração da gravidade. 
Em um sistema ortogonal de coordenadas ixo na Terra onde a 
gravidade desde a super ície não muda (é o modelo da “Terra 
Plana”), com o eixo y apontado para cima, ou seja, o vetor 
unitário dado em termos da tríade (𝒊, 𝒋, 𝒌), a velocidade do corpo 
no tempo será dada pela equação: 
𝒗 = −𝑔 𝑡 𝒋 + 𝒄 , 
onde grafamos em negrito quantidades que são vetores e 𝑔 é a 
aceleração da gravidade (= 9,806 m/s2) tomada como constante. 
No sistema de coordenadas designado, a velocidade inicial do 
corpo pode ser escrita como: 
𝒗 = 𝑣 (𝒊 cos 𝛼 + 𝑣 𝐣 sin 𝛼), 
onde 𝛼 é o ângulo inicial de lançamento e 𝑣 é o módulo da 
velocidade inicial. A constante vetor 𝒄 é a própria velocidade inicial. Logo, na ausência de 
resistência do ar, a posição do corpo a qualquer tempo será dada por: 
𝒔(𝑡) = 𝒗(𝑡′)𝑑𝑡′ = 𝒊 𝑣 𝑡 cos 𝛼 + 𝒋 𝑣 𝑡 sin 𝛼 −
1
2
𝑔 𝑡 . 
Nessa equação temos a manifestação da lei de Galileu: a distância percorrida em queda livre vertical 
(para 𝛼 = −90°) é proporcional ao quadrado do tempo. A velocidade ao longo de x permanece 
constante e igual à projeção 𝑣 cos 𝛼. A velocidade ao longo da altura y se reduz até o tempo 𝑡∗ tal 
que a componenteao longo de j seja nula, ou seja, quando 
𝑡∗ =
𝑣
𝑔
sin 𝛼, 
Esse é o tempo que o projétil leva para alcançar o apogeu. Na ausência de atmosfera, o tempo total 
da trajetória (quando o projétil retorna para a super ície) é o dobro de 𝑡∗ pois na fase de “queda 
livre” o movimento é idêntico ao de ascensão. A posição máxima do apogeu corresponde ao vetor 
𝒔(𝑡∗), ou seja 
𝒔(𝑡∗) = 𝒊
𝑣
𝑔
sin 𝛼 + 𝒋
𝑣
2𝑔
sin 𝛼 
O alcance 𝑠 (2𝑡∗) é a máxima distância (no caso 𝛼 > 0!) percorrida pelo corpo ao longo de x, ou 
seja, é o ponto onde o projétil poderá ser encontrado quando retornar à Terra. Essa distância ocorre 
em 2𝑡∗ ou seja, 
𝑠 (2𝑡∗) =
𝑣
𝑔
sin 2𝛼 
 
Figura 5 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
14 
 
Essas equações têm consequências importantes para voos espaciais, uma vez a trajetória de um 
corpo com propulsão pode ser decomposto por uma sequência de “movimentos aproximadamente 
parabólicos” em que, a cada instante de tempo, um acréscimo de velocidade é adicionado ao 
movimento. 
Para o projétil concluímos: 
 Com a energia que se imprime ao corpo de massa m é proporcional ao quadrado da 
velocidade (é sua energia cinética), então o apogeu e o alcance são proporcionais à 
energia inicial conferida ao projétil. 
 Como o alcance depende de sin 2𝛼, ele será máximo quando sin 2𝛼 = 1, ou 𝛼 = 45∘. 
 
Um fato importante, porém, é que há uma dependência do alcance e apogeu com o inverso da 
aceleração da gravidade 𝑔 . Mas não é assim em outros corpos celestes. Se um corpo celeste tem 
massa 𝑀, sua aceleração da gravidade (em sua super ície) será igual a 𝑔 = 𝐺𝑀 𝑅⁄ , onde 𝐺 é a 
constante da gravidade universal (6.674×10−11 m3⋅kg−1⋅s) e 𝑅 é o raio do corpo. A Tabela 1 fornece 
valores para a aceleração da gravidade em diversos corpos celestes, tendo a Terra como padrão 
(onde “g” =1). 
Dessa forma, um projétil lançado na Lua terá um alcance aproximadamente 6 vezes maior do que se 
lançado na Terra para a mesma velocidade (ou seja, energia) de lançamento. A máxima distância 
vertical também será aumentada na mesma razão. Isso não acontece com um projétil lançado na 
super ície de Júpiter, nesse caso o alcance e o apogeu são reduzidos em quase 3 vezes. 
Em uma viagem de ida e volta até um corpo celeste partindo da Terra, é necessário levar combustível 
tanto para a trajetória de ida como 
de volta. A energia contida nesse 
combustível precisa corresponder 
à energia cinética necessária para 
lançar o corpo em órbita. Usando 
o modelo de lançamento 
parabólico, ela é proporcional ao 
inverso de “g” Por exemplo, como a 
gravidade na super ície da Lua é 
Tabela 1 Acelerações de gravidade em diversos corpos do sistema solar. 
Corpo celeste g g/g0 
Terra 9,8 m/s2 1 
Lua 1,6 m/s2 1/6,25 
Júpiter 24,5 m/s2 2,54 
Asteroide Ceres 0.18 m/s2 ~1/50 
Marte 3,7 m/s2 1/2,63 
 
 
Figura 6 Força de arrasto devido à resistência de um luido. Pode ser 
considerada como proporcional ao quadrado da velocidade e depende da 
seção de área ortogonal à direção de movimento. 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
15 
 
menor do que na Terra, a energia cinética necessária para retornar de lá será consideravelmente 
menor: aproximadamente 1/6 da necessária para partir da Terra. Por outro lado, uma viagem até 
Júpiter enfrenta o empecilho de a quantidade ser mais que o dobro daquela necessária para sair da 
Terra. 
Essas conclusões precisam ser corrigidas depois com a introdução do movimento orbital, 
pois o valor de g também depende da distância do projétil do centro de gravidade, ou 
seja, ele não é constante. 
Como não levamos em consideração a resistência da atmosfera, os valores de energia de propulsão 
para lançamentos desde corpos celestes com atmosfera são maiores do que o modelo apresentado, 
inclusive para a Terra. A matemática apresentada aqui vale para a Lua, que é um corpo com 
densidade atmosférica desprezível. A força de 
resistência atmosférica (chamada “força arrasto” ou 
drag force, Figura 6) é proporcional ao quadrado da 
velocidade. Essa força depende também da forma do 
objeto. É possível aproximar essa força de arrasto 𝐹 
como dada por: 
𝐹 = −
1
2
𝐶 𝜌𝐴𝑣|𝑣|, 𝐸𝑞. 1.1(𝑎) 
onde 𝜌 é a densidade do luido onde o corpo se move, 
𝐴 é a seção de área (projeção no plano ortogonal à 
direção do movimento, ver Figura 6), 𝐶 é um 
parâmetro chamado “coe iciente de arrasto” e 𝑣 é a 
velocidade em relação a um referencial em repouso 
em relação ao luido. O arrasto desaparece se a 
densidade da atmosférica for muito pequena ou no 
limite em que ela vai a zero. Essa equação também 
mostra que se a velocidade é dobrada, a força de 
arrasto aumenta 4 vezes pois ela não é uma função 
linear da velocidade. Portanto, além da força de gravidade, o projétil é atuado por uma força de 
arrasto que diminui sua velocidade. 
O movimento realmente “balístico” de um projétil na atmosfera terrestre é de uma “parábola 
distorcida” semelhante à Figura 7. Sua trajetória tem um alcance real 𝑠′ menor que o alcance sem 
resistência e um apogeu 𝑠′ também reduzido, pois parte da energia do projétil é gasta para vencer 
a resistência do ar. A velocidade em x com que o projétil alcança seu apogeu é menor do que a 
velocidade inicial projetada 𝑣 cos 𝛼, o que faz com que o movimento tenha um alcance menor. Por 
causa da não linearidade da equação de movimento resultante, não é possível obter uma fórmula 
fechada que descreva de forma analítica o movimento. Porém, previsões de trajetórias numéricas 
são possíveis. O objetivo de um sistema de controle é minimizar o vetor de erro entre a trajetória 
real e a predita por meio da integração da velocidade medida. 
 
Figura 7 Movimento balístico real do projétil 
devido à resistência do ar (curva cheia). A curva 
pontilhada é o movimento sem arrasto 
atmosférico (densidade nula de luido). 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
16 
 
O movimento de projéteis (e de lançadores) que atingem grandes altitudes é ainda complicado pela 
dependência da densidade atmosférica com a altitude (para a Terra, ver a Figura 8 para essa 
dependência). Assim, a força de arrasto também depende da altitude. A 20 km da super ície da 
Terra, a densidade é aproximadamente 7% da densidade na super ície para a atmosfera padrão. Em 
viagens interplanetárias, é necessário conhecer antecipadamente a dependência da densidade com 
a altitude para ser possível planejar lançamentos a partir da super ície planetária. 
Uma parte considerável do trabalho 
de otimização de movimento em 
trajetórias sujeitas a resistência 
atmosférica precisa minimizar o 
coe iciente de arrasto 𝐶 . Essa 
constante depende não só da forma 
do corpo, mas de se posicionamento 
em relação ao vetor velocidade. Para 
ver isso, imaginemos uma folha de 
papel em queda: o arrasto que ela 
sofre é muito menor se seu plano 
estiver paralelo à sua velocidade do 
que ortogonal a ela. Portanto, a 
e iciência do alcance no movimento 
balístico (e forçado pela propulsão) 
depende do controle de atitude do 
projétil (ou foguete). 
Por outro lado, o coe iciente de arrasto é um parâmetro minimizável até certo ponto pelo desenho 
do chamado “nariz” do foguete. Em geral, corpos rombudos apresentam formas para reduzir 𝐶 que 
idealmente tem um limite inferior abaixo do qual não é mais possível reduzir a força de arrasto. 
Movimento orbital 
O movimento parabólico de um projétil é uma curva aproximada para a trajetória de um corpo. Não 
é sua trajetória na presença de arrasto atmosférico e apenas serve para aproximar o movimento 
quando não há propulsão ativa no objeto sendo lançado. Além disso, no espaço, o movimento é 
dominado pela força de gravidade que cria trajetórias peculiares de formato elíptico, parabólico ou 
hiperbólico. 
Essas trajetórias são “emendadas” no projeto de missões espaciaisde forma a reduzir o gasto de 
energia necessário para se atingir um determinado alvo no espaço. Por exemplo, antes de se 
acomodar em uma órbita circular em torno da Terra, um satélite segue o trajeto de seu lançador. 
Esse é formada pela junção de várias trajetórias que podem ou não incluir uma “seção balística”, 
mas que no ponto inal de “inserção em órbita” precisa suavemente ser transferida para a sua órbita 
circular. No movimento parabólico de um objeto lançado no polo da Terra (inicialmente tomamos 
dessa forma, pois não há qualquer componente de aceleração horizontal e o movimento é “vertical”, 
𝛼 = 90°), obteremos sempre um retorno do corpo de massa 𝑚 desde que a aceleração da gravidade 
 
Figura 8 Densidade atmosférica como função da altitude até 20 km. 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
17 
 
é constante. A aceleração da gravidade se reduz à medida que o corpo sobe. Para determinar seu 
movimento exato nesse caso, lembramos que a energia total do movimento 𝐸 pode ser escrita como 
a soma de dois termos: 
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣 − 𝐺
𝑀𝑚
𝑅⊕ + ℎ
 (𝐸𝑞. 1.1). 
Nessa equação, 𝑀 (=5,98 × 10 kg) é a massa da Terra, 𝑅⨁ (=6,37 × 10 m) é o raio “médio” da 
Terra, G é a constante gravitacional universal e ℎ é a distância do corpo da super ície da Terra. Nesse 
arranjo, existe uma velocidade 𝑣 acima da qual o corpo nunca mais retorna ao seu ponto de 
lançamento. Essa velocidade é obtida fazendo 𝐸 = 0 na equação acima, e corresponde a considerar 
toda a energia do corpo igual a sua energia potencial na super ície da Terra (ℎ = 0), ou seja, 
−𝐺𝑀𝑚/𝑅⨁. Temos então a velocidade inicial 
𝑣 =
2𝐺𝑀
𝑅⨁
, 
que é a velocidade de escape do corpo. Como 
toda a energia do corpo é gravitacional, ele 
abandonará a Terra e chegará no “in inito” (na 
prática uma região muito distante da Terra, 
ℎ ≫ 𝑅⨁, ver Figura 9) com velocidade nula 
(não há energia cinética residual). Essa 
velocidade não se aplica apenas a um 
movimento vertical, mas a qualquer ângulo, 
pois a velocidade inicial do corpo pode ser 
escrita como 𝑣 cos 𝛼 + 𝑣 sin 𝛼 = 𝑣 . 
A velocidade de escape é outra medida do 
grau de di iculdade em se deixar outros 
planetas. A Tabela 2 atualiza a tabela anterior 
com a velocidade de escape para diversos 
corpos celestes em km/s. Para obter a 
velocidade em km/h, basta multiplicar o valor da última coluna por 3600. Assim, a velocidade de 
escape da super ície da Terra é mais de 40.000 km/h. 
 
Figura 9 A velocidade de escape de um corpo é a velocidade 
necessária para que ele deixe o vínculo gravitacional com a 
massa maior 𝑀 que o abriga. 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
18 
 
 
Por comparação, uma bala de revolver viaja à velocidade inicial de 2700 km/h. Assim a velocidade 
de escape necessária, mesmo na Lua, é muito superior à velocidade de um projétil lançado por 
explosão em uma arma. É importante considerar que essa velocidade não leva em conta a potência 
perdida pelo arrasto atmosférico. Fazer lançamento por meio de um “tiro” desde a super ície da 
Terra envolveria energias muito maiores. Além disso, no tiro a aceleração sofrida pelo corpo poderia 
deformá-lo. 
Assim, não é prático lançar um corpo – e estamos falando de cargas úteis com equipamentos, 
humanos etc. – no espaço por meio de um estágio envolvendo um tiro único como no lançamento 
de um projétil. As acelerações envolvidas são muito grandes e a potência inicial exigida não pode 
ser produzida por nenhum mecanismo conhecido. 
Para outros tipos de movimento, partimos da mesma equação de energia Eq. 1. Escrevemos a 
velocidade em termos da posição, agora fazendo 𝑟 = 𝑅⨁ + ℎ, como sendo o módulo da posição do 
corpo no espaço em um referencial ixo ao centro da distribuição de massa em torno da Terra. 
Também, 𝑣 será o módulo de velocidade. Isolando a velocidade na Eq. 1 encontramos a equação da 
vis-viva: 
𝑣 = 2𝐺𝑀
1
𝑟
+
𝐸
𝐺𝑀𝑚
. 
Como visto, se 𝐸 = 0, a velocidade inicial obtida é a velocidade de escape. Essa equação mostra que 
há uma relação inversa entre a posição do corpo e sua velocidade: quando mais distante ele estiver 
de 𝑀, tanto menor será a velocidade. A forma da trajetória dependerá da energia total que o corpo 
dispõe. Se 𝐸 ≥ 0, sua trajetória não será ligada ao centro da Terra. 
Para órbitas fechadas é necessário que 𝐸 𝑅⨁). 
Substituindo na equação de velocidade encontramos 
𝑣 =
𝐺𝑀
𝑅
. 
A velocidade é circular em torno do centro, 𝑣 = 2𝜋𝑅/𝑇 , onde 𝑇 é o período orbital. Substituindo 
essa equação encontramos uma relação entre o período e a distância para a “órbita circular” 
𝑇 =
4𝜋 𝑅
𝐺𝑀
. 
Portanto, o quadrado do período cresce na razão do cubo da distância do corpo em sua órbita 
circular. A quantidade 𝑘 = 4𝜋 /𝐺𝑀 é uma constante (k =9,908× 10 s2/m3 ou 1.37×
10 dias2/km3) e só depende da massa da Terra (varia conforme o corpo central, p. ex., se o 
objetivo é estabelecer uma órbita em torno de outro corpo planetário). Assim, o período de 
revolução de um corpo a uma altitude ℎ da super ície da Terra será dado por 
𝑇 = 𝑘(𝑅⨁ + ℎ) 
Substituindo valores, para ℎ = 300 km, 
encontramos 𝑇 = 90,4 minutos. Esse é o período 
típico de um satélite em uma órbita baixa em 
torno da Terra. Um satélite geoestacionário se 
localiza a ℎ ≃ 35700 km, e o período resultante é 
próximo de 24 h, justamente para que o satélite 
possa “acompanhar” a rotação da Terra e 
permanecer estacionário sobre um ponto da 
super ície dela. 
Essa última equação (a chamada “3ª Lei de 
Kepler” ou “lei dos períodos”, ver Figura 10) é 
geral e vale para qualquer órbita com 𝐸ser escrita em termos de 𝑥 como 
∆𝐸 =
1
2
𝑚𝑣 =
2𝜋 𝑚𝑅⨁
𝑇
(1 + 𝑥) . 
visto que 𝑣 = 2𝜋(𝑅⨁ + ℎ)/𝑇. Dada a lei dos períodos, podemos eliminar 𝑇 em favor de 𝑥 na última 
equação, e a contribuição se torna 
∆𝐸 =
𝐺𝑀𝑚
2𝑅⨁
1
1 + 𝑥
. 
Logo, para 𝑥 ≪ 1, a energia total 
necessária para alcançar a órbita 
circular será ∆𝐸 = ∆𝐸 + ∆𝐸 , ou 
∆𝐸 ≈
𝐺𝑀𝑚
2𝑅⨁
(1 + 𝑥 − 𝑥 ). 
A energia mínima a ser provida 
pelo sistema de propulsão cresce 
inicialmente de forma linear com a 
distância a ser atingida (na 
aproximação em que 𝑥 ≲ 1/10). 
Exemplo: Para uma carga útil de 1 
kg, 𝐺𝑀𝑚/𝑅⨁ ≃ 6,25 × 10 J. Para 
comparação, um projétil com 1kg de massa viajando a 2000 m/s (velocidade típica de uma bala), 
tem energia cinética igual a 2 × 10 J. A uma altitude de 300 km (ou 𝑥 = 0,047), esse corpo está em 
uma órbita circular com velocidade 7728 m/s e ∆𝐸 = 2.98 × 10 J. 
 
Figura 11 ∆𝐸 (ou energia mínima total para inserção em órbita, Eq. 3) 
como função de x em unidades de 𝐺𝑀𝑚/𝑅⨁ . Note que x está em escala 
logarítmica. 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
21 
 
Essa velocidade orbital mínima tem implicações para a e iciência do sistema de 
propulsão para o último estágio de inserção orbital. 
Observe que, para 𝑥 = 0, ∆𝐸 = 0, porém a energia cinética não se anula, pois corresponde à energia 
de um corpo em órbita na super ície da Terra (ℎ = 0), imaginando que ela fosse uma esfera perfeita 
e não tivesse atmosfera. Para tal órbita, 𝑇 = 84,26 min e ∆𝐸 = 3,12 × 10 J para uma massa de 1 kg. 
A expressão não aproximada é 
∆𝐸 =
𝐺𝑀𝑚
𝑅⨁
𝑥 + 1/2
1 + 𝑥
. (𝐸𝑞. 1.3) 
Essa função está traçada na Figura 11 desde ℎ = 300 km. O valor ∆𝐸=1 no eixo y corresponde à 
energia 𝐺𝑀𝑚/𝑅⨁ que fornece uma escala para as energias típicas (corresponde a uma órbita 
circular in initamente distante do corpo principal, ou para ℎ → ∞). Para altitudes de órbita 10 vezes 
o raio da Terra, a energia necessária é 100 vezes o valor 𝐺𝑀𝑚/𝑅⨁ , o que já é bastante elevado. 
Como essa energia necessária crescem com ℎ (ou seja, com a distância desde o centro de massa), 
então para órbitas circulares mais elevadas, a energia necessária é maior. 
Manobras orbitais 
As operações de mudança orbital envolvem transferência de um corpo de uma órbita a outra. Por 
exemplo, essas mudanças são comuns em missões interplanetárias (ir da Terra até Marte), ou desde 
uma órbita baixa na Terra até a Lua etc. 
 
Figura 12 Ilustração da transferência do tipo Hohmann, com a energia de cada órbita, incluindo a de transferência. 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
22 
 
Dos tipos mais simples de acoplamentos, o uso de uma órbita elíptica entre órbitas circulares 
caracteriza uma transferência de Hohmann (Figura 12). Para essa órbita, um dos focos da elipse é o 
mesmo que o centro das órbitas de partida e chegada. Se a órbita não for circular, ao invés da Eq. 2 
a energia total será dada por 
𝐸 = −
𝐺𝑀𝑚
2𝑎
, (𝐸𝑞. 1.4) 
onde 𝑎 é o semieixo maior da órbita elíptica. Essa energia é negativa e caracteriza uma trajetória 
ligada ao corpo principal. A transferência se consegue com uma órbita que seja osculatriz tanto à 
órbita de partida como à de chegada como mostra a Figura 12. 
Isso envolve diferenças de energia que devem ser providas pelo sistema de propulsão. Para a órbita 
osculatriz 2𝑎 = 𝑅 + 𝑅 e, com isso, é fácil ver que 𝐸 > 𝐸 e 𝐸 > 𝐸 . Assim, para realizar a 
transferência é preciso que o corpo na órbita 1 receba um impulso 𝑚∆𝑣 adicional para atingir 
energia total 𝐸 maior que 𝐸 , e que, ao chegar na órbita 2, receba outro impulso 𝑚∆𝑣 para 
estabilizar sua energia em 𝐸 que é maior que 𝐸 . Isso está ilustrado na Figura 12. 
Impulsos são providos pelo sistema de propulsão 
auxiliar, por simplicidade, são supostos 
“instantâneos”, ou seja, ocorrem em um tempo 𝛿𝑡 
considerado muito menor do que qualquer dos 
períodos orbitais. A transferência inversa 
envolve uma redução de energia total, o que é 
conseguido por meio de “retro propulsores” 
(retro ires) que funcionam com 
“desaceleradores”. 
Para o planejamento da manobra, é importante 
conhecer as variações de velocidade, ∆𝑣 e ∆𝑣 , 
que são necessárias para se atingir o estado inal 
em cada caso. A e iciência energética depende do 
tipo de manobra utilizada e pode não ser o caso 
que uma manobra de Hohmann seja a mais 
e iciente. 
 
 
Figura 13 Diagrama esquemático de uma transferênica 
de Hohmann bielíptica. Em laranja e azul e vermelho as 
órbitas intermediárias usadas na transferência orbital. 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
23 
 
Uma outra maneira de se atingir a órbita superior é por meio de uma transferência de Hohmann 
bielíptica (Figura 13). Nesse caso, duas órbitas elípticas de transferência (daí o nome “bielíptica”) 
com focos comuns focos comuns são usados até se chegar à posição mais elevada. É possível ver que 
o total de energia gasto em cada manobra entre as órbitas depende da geometria usada, porém, em 
certas circunstâncias duas órbitas são mais e icientes do que uma. 
Alguns outros tipos de manobras possíveis 
são: 
 Manobra de faseamento (Phasing 
maneuver): para reposicionar um engenho 
espacial ao longo de sua órbita original (ver 
Figura 14). Para isso, a partir da órbita 
inicial (Órbita “0”) uma órbita osculatriz 
com período ligeiramente 
diferente (órbita de 
transferência) é 
parcialmente executada 
"atrasando" ou “adiantando” 
a posição o corpo. Na Figura 
14, o corpo em órbita 
inicialmente na posição A é 
levado até a órbita de 
transferência de maior 
energia (posição B). Ao atingir novamente o ponto onde se encontram, sua energia é 
reduzida para a mesma órbita inicial. O resultado é o corpo na posição C depois de 
algumas revoluções orbitais. Esse tipo de manobra é usada, por exemplo, durante as 
operações de aproximação entre dispositivos orbitais (como no caso de "docking" e 
“rendevouz”). Esse tipo de manobra não exige mudança de direção do vetor 
velocidade. 
 
 Rotação da linha dos apsides. As manobras não envolveram mudança de direção do 
vetor velocidade. Na rotação da linha dos apsides, a órbita destino tem seus eixos 
principais girados em relação à orbita inicial de certo ângulo 𝛼 como mostra a Figura 
15. Importante! Nessas manobras, as órbitas envolvidas são coplanares. Não há como 
se atingir a órbita destino a partir da órbita “0” por nenhum tipo de conexão de 
 
Figura 14 Exemplo de manobra de alteração de fase. 
 
 
Figura 15 Exemplo de rotação da linha dos apsides 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
24 
 
Hohmann. Mas, para órbitas fechadas que se cruzam, existem dois pontos de atuação 
dos propulsores. Um deles é mostrado como P na Figura 15. Nesse ponto, o vetor 
velocidade deve ser alterado em intensidade e direção conforme o vetor ∆𝒗. Isso pode 
ser visto como uma mudança no argumento da velocidade em relação à “linha do 
horizonte” ou plano tangencial à órbita inicial. 
 
 Manobra com mudança de plano 
orbital. Devido à conservação de 
momento como causa da 
centralidade da força 
gravitacional, um corpo colocado 
em órbita pertence a um plano 
orbital que não muda com o 
tempo. Manobras orbitais 
coplanares envolvem mudanças 
de velocidade com vetores 
colineares nesse plano. 
Entretanto, há situações em que é 
necessária uma mudança no plano 
orbital, o que envolve uma 
variação não-colinear de 
velocidade ∆𝒗 em um ponto ao 
longo da linha dos nodos (linha comum entre as duas órbitas). Como mostrado na 
Figura 16, podemos imaginar uma órbita inicial do tipo “polar” (com inclinação 
próximo a 90°) e uma órbita destino do tipo “equatorial” (inclinação próxima a 0°). 
Como situação prática de mudança de plano orbital, consideremos a finalizaçãode 
uma missão de um satélite geoestacionário. Por requisitos, esse satélite deve ter sua 
posição final em uma órbita equatorial (com período próximo ao tempo de rotação 
da Terra). Porém, quase sempre, a inserção em órbita é feito a partir de um centro de 
lançamento fora do plano do equador. Assim, uma mudança de plano orbital é 
necessária. Como muitas vezes o ∆𝑣 exigido é muito grande nesse tipo de manobra, 
para economizar combustível, a missão é planejada de forma que a órbita destino 
esteja o mais próximo possível da órbita inicial. 
Existem outros tipos de manobras orbitais que são tão mais complexas quanto mais complexos são 
os requisitos das missões. Por exemplo, em missões interplanetárias, diversas seções de órbitas 
fechadas podem ser usadas para se atingir a órbita em torno do planeta destino. Aproximações de 
órbitas não fechadas (hipérboles ou parábolas) podem ser usadas. Sistemas de propulsão são 
utilizados em arranjos especiais para permitir tais manobras. 
No planejamento de manobras orbitais as seguintes etapas devem ser utilizadas: 
1. Determinar a energia final de todas as órbitas que serão usadas na manobra; 
2. Calcular as diferenças de energia entre seções adjacentes; 
 
Figura 16 Manobra com mudança de plano orbital. 
 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
25 
 
3. Determinar os impulsos e vetores de posicionamento necessários com base nos elementos 
orbitais das seções orbitais do processo; 
4. Calcular o total de energia gasto em cada caso. 
5. Verificar cenários diversos e escolher o melhor deles (otimização de trajetória) em termos 
de: economia de combustível e outros requisitos da missão (p. ex., prazos definidos de 
finalização, janelas de lançamento etc.). 
Do ponto de vista da e iciência energética, é razoável otimizar o número e os impulsos necessários 
em termos de uso de combustível. Uma vez que qualquer sistema é colocado em órbita a partir da 
Terra, a massa de todo combustível deve ser levada desde a primeira seção de trajetória para 
viabilizar as manobras no espaço. Por exemplo, satélites geoestacionários devem ser abastecidos 
com combustível su iciente inclusive para que possam ser descartados em órbitas mais distantes no 
inal de suas vidas úteis. Entretanto, outros requisitos podem ser importantes como, por exemplo, 
as datas de início de operação em órbita e janelas de lançamento. 
Embora a complexidade da tarefa de se planejar as órbitas de uma missão espacial, esse 
planejamento pode ser feito com certa precisão. É viabilizado pelo fato de a teoria do movimento 
orbital ser bastante desenvolvida e a maior parte das equações serem tratáveis principalmente por 
métodos numéricos. Portanto, os valores para as cargas de combustível (depois de se considerar 
outros fatores igualmente quanti icáveis) são próximos do que se espera em testes no ambiente 
operacional. 
Revisão da Aula e considerações inais 
Para sistemas de propulsão, um primeiro parâmetro relevante é a própria energia necessária para 
colocar um engenho espacial em determinada órbita a partir da Terra. A energia mínima necessária 
envolve uma diferença de energia entre a órbita de destino e a órbita inicial. 
As noções de consumo de energia apresentadas aqui são apenas uma parte do total 
necessário tendo em vista a inerente ine iciência de máquinas de conversão de energia 
(propulsores) e a necessidade de vencer outras forças além da gravidade. 
As energias envolvidas são da ordem de ≳ 10 J para a um corpo de 1kg, e crescem linearmente com 
a massa. Isso tem implicações para a dimensão inal do sistema propulsivo. Sistemas de propulsão 
auxiliares são usados para realizar manobras orbitais. As velocidades orbitais que devem ser 
atingidas são da ordem de milhares de quilômetros por hora em órbita. 
A “injeção” de um corpo em órbita da Terra deve ser feita de forma que o corpo tenha a velocidade 
apropriada em sua órbita destino. Se ela for circular, será um vetor paralelo à super ície da Terra. 
Na descrição aqui apresentada é importante ressaltar as aproximações: 
1. A energia total precisa levar em consideração a energia potencial de outros corpos mais 
distantes – principalmente para viagens interplanetárias de longa duração. 
2. Outros tipos de força não foram incluídos. Por exemplo, o sol exerce com sua luz uma força 
de radiação repulsiva que, embora pequena, tem efeitos a longo prazo. O efeito da radiação 
do sol pode ser usado, porém, a favor das manobras orbitais em alguns sistemas especiais 
Curso “Introdução à Propulsão Espacial” – (AEB Escola Virtual). 
 
26 
 
com base em “velas solares”. Para lançamentos desde a Terra, a resistência do ar na baixa 
atmosfera consome potência e deve ser levado em consideração. 
3. Nas transferências entre órbitas, assume-se que a massa do engenho em manobra é 
constante. Mas não é assim, pois uma parte da massa é perdida na operação de propulsão.