Lista 2

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MAT01167 - Equações Diferenciais II - 2026/2
Lista 2
1. Determine a solução geral da seguinte equação(
1 + ex
)
y −
(
x+ ex
)
y′ = 0
2. Encontre a solução geral das seguintes equações:
a) y′ + ay = x
b) x y′ − y = x2 cosx
c) (x2 + 1)
dy
dx
− x y = 1
d) 2x y + 3x2 + (x2 + 2) y′ = 0
e) y′ +
y
x
− senx = 0 .
3. Encontre a solução dos seguintes PVIs:
a)
{
y′ + y tg x = x senx cosx
y(0) = 2
b)
{
y′ = e2 x + y − 1
y(0) = 1
4. Às 23h30, o corpo de uma v́ıtima de assassinato foi encontrado em uma sala cuja temperatura per-
manecia constante em 20◦C. No momento em que foi encontrado, a temperatura do corpo era de 30◦C.
De acordo com a lei de resfriamento de Newton, a temperatura T (t), em graus Celsius, do corpo é
descrita pelo problema de valor inicial{
T ′ = −0,12
(
T − 20
)
T (0) = 36, 6
em que t é medido em horas a partir do instante em que o corpo foi encontrado e admitindo que, no
momento da morte, a temperatura corporal da v́ıtima era de 36,6◦C.
(a) Resolva o problema de valor inicial e determine a função que descreve a temperatura do corpo.
(b) Estime há quanto tempo ocorreu o assassinato e determine o horário aproximado da morte.
5. Seja u = u(t) a temperatura no instante t de um corpo imerso em um meio de temperatura constante
um. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de u é diretamente proporcional à
diferença u − um, isto é,
du
dt
= − k (u − um) . Considere um corpo aquecido a 120oC é posto em um
ambiente a 30oC e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de 90oC.
a) Determine a solução do PVI

du
dt
= − k (u− um)
u(0) = 120
, onde um = 30 e k é uma constante a ser
descoberta
b) Use o fato de que u(5) = 90 e a solução obtida no item anterior para descobrir o valor de k.
c) Determine em quantotempo será atingida a temperatura de 45oC?
6. No instante t0 = 0 um tanque contém 200 ℓ de solução contendo 1 grama de corante por litro. Água
pura entra no tanque à razão de 2 ℓ/min e mistura sai à mesma razão.
a) Encontre a função Q(t) quantidade de corante no tanque em cada instante t, sabendo que essa
função satisfaz Q′(t) = − 1
100
Q(t). Além disso, também temos que Q(0) = 1 grama.
b) Quanto tempo transcorre até que a concentração de corante atinja 1% da concentração original?
7. Uma população de mosquitos, na ausência de outros fatores, aumenta a uma razão em cada instante
proporcional à população corrente.
a) Sabendo que a população dobra a cada semana e que no instante inicia t0 = 0 é de 200.000
indiv́ıduos, encontre a expressão do número de indiv́ıduos em função do tempo. Observação: Os
dados do problema nos permitem dizer que
dN
dt
= λN, com N(t+ 1) = 2N(t).
b) Resolva o mesmo problema do item (a), supondo agora que exista uma espécie de pássaros predadores,
que comem 20.000 mosquitos por dia, isto é, para o mesmo λ encontrado no item anterior, a pop-
ulação de mosquitos satisfaz a EDO
dN
dt
= λN − 140000.
A população de mosquitos vai se tornar extinta ou não? Justifique sua resposta.
8. Uma força eletromotriz de 100 cos t é aplicada a um circuito RC em série no qual a resistência é de 100
ohms e o capacitor de 10−4 farad. (Num circuito RC em série com uma resistência R, um capacitor
C e força eletromotriz V (t) a carga Q(t) no capacitor satisfaz a equação RQ′(t) +
1
C
Q(t) = V (t). )
Determine a carga no capacitor no instante t, sabendo que a carga inicial é Q(0) = 0
9. Suponha que uma bactéria tem forma de esférica e seja r = r(t) seu raio em cada insntante t. Se ela
alimenta-se através de sua superf́ıcie, o seu volume aumenta a uma taxa, a cada momento, proporcional
à área da superf́ıcie. Além disto, o metabolismo da bactéria faz com que seu volume tenda a diminuir
a uma taxa, em cada momento, proporcional ao volume. Dessa forma, o o raio da bactéria satirfaz a
EDO
dr
dt
= a− b r (a > 0 , b > 0 constantes) .
Considerando a condição inicial r(0) = r0, responda:
a) Determine a solução do PVI.
b) Existe um valor limite para o raio?
c) Este limite é atingido em um tempo finito?
10. A concentração de CO2 no ar de uma sala com capacidade de 5000m3 é de 0,3%. Começa a ser
bombeado para dentro da sala ar contendo 0,1% de CO2 à razão de 100m3 por minuto. Após bem
misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala. Assim, a quantidade q(t) de CO2 em cada instante
satisfaz a equação
q′ =
1
10
− q
50
e a função concentração c(t) de CO2 é dada por c(t) =
q(t)
5000
.
a) Determine a solução q(t) do PVI.
b) Encontre a porcentagem de CO2 na sala depois de 10min.
c) Depois de quanto tempo será atingida uma concentração de CO2 de 0,2%?
RESPOSTAS
1) Fator integrante: µ(x) = (x+ ex)−2 Solução geral: y = C
(
x+ ex
)
2) a) Se a ̸= 0 , a solução geral é y =
x
a
− 1
a2
+ Ce−ax. Para a = 0 é y =
x2
2
+ C
b) y(x) = x (C + senx)
c) y = x+ C
√
1 + x2
d) y =
C − x3
x2 + 2
e) y = − cosx+
senx
x
+
C
x
3) a) y =
(
−x cosx+ senx+ 2
)
cosx
b) y = 1− ex + e2 x
4) a) T (t) = 20 + 16,6e−0,12t.
b) t =
ln(1,66)
0,12
≈ 4,22 horas. Portanto o assassinato ocorreu às 19h17.
5) a) u(t) = 30 + 90 · e−k t
b) u(t) = 30 + 90 · e−
t (ln 3−ln 2)
5 = 30 + 90 ·
(
3
2
)− t
5
c) t1 =
5 (ln 3 + ln 2)
ln 3− ln 2
≈ 22.09 min.
6) a) Q(t) = e−
t
100
b) 100 ln 100 ≈ 460.51 min.
7) a) Q(t) = 200 000 et ln 2 = 200 000 2t , t medido em semanas.
b) Q(t) =
(
200 000− 140 000
ln 2
)
et ln 2 +
140 000
ln 2
. Como o coeficiente da exponencial é negativo, para
um t suficientemente grande Q(t) vai se anular. Logo, a população de mosquitos se torna extinta.
Fazendo os cálculos, encontramos que ela se torna extinta em aproximadamente 6.67 semanas.
8) Q(t) = − 100
10001
e−100t +
100
10001
cos t+
1
10001
sen t .
9) a) r(t) =
a
b
+
(
r0 −
a
b
)
e−b t .
b) lim
t→∞
r(t) =
a
b
c) Este valor nunca é atingido em um tempo finito, a menos que o raio inicial r0 já tenha este valor,
10) a) q(t) = 5 + 10e−
t
50
b) 0,26% de CO2.
c) t = 50 ln 2 ≈34,65min.