2 Teorema de Bernoulli

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Teorema de Bernoulli 
O Teorema de Bernoulli é uma aplicação do princípio da conservação da 
energia ao escoamento de um fluido. 
Ele estabelece que, para um fluido incompressível, em regime permanente, 
sem perdas de energia e ao longo de uma mesma linha de corrente, a soma das 
parcelas de energia permanece constante. 
 Equação de Bernoulli 
𝑃
𝛾
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑧 = constante 
 
Entre dois pontos: 
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑃2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 
 
Onde: 
Termo Nome Significado 
𝑃
𝛾
 Carga de pressão Energia associada à pressão 
𝑣2
2𝑔
 Carga cinética Energia associada à velocidade 
𝑧 Carga de elevação Energia associada à altura 
Sendo: 
• 𝑃= pressão [𝑃𝑎] 
• 𝛾 = 𝜌𝑔= peso específico [𝑁/𝑚3] 
• 𝑣= velocidade do fluido [𝑚/𝑠] 
• 𝑔= aceleração da gravidade [𝑚/𝑠2] 
• 𝑧= cota geométrica [𝑚] 
 
 O que acontece quando a velocidade aumenta? 
Imagine uma tubulação que fica mais estreita: 
 
 
 
Pela equação da continuidade: 
𝑄 = 𝐴𝑣 
 
Se a área 𝐴diminui, a velocidade 𝑣aumenta. 
Como: 
𝑃
𝛾
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑧 = 𝐶 
 
se a altura 𝑧permanece constante, o aumento da velocidade precisa ser 
compensado por uma redução da pressão. 
Portanto: 
menor a
ˊ
rea → maior velocidade → menor pressa
˜
o 
 
Isso é a base do efeito Venturi. 
 
 Bernoulli com perdas 
Na engenharia civil, principalmente em Hidráulica, frequentemente precisamos 
considerar perdas de carga. 
Nesse caso: 
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑃2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 + ℎ𝑓 
 
onde: 
ℎ𝑓 = perda de carga 
 
Também podemos ter bombas e turbinas: 
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 + 𝐻𝐵 =
𝑃2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 + ℎ𝑓 + 𝐻𝑇 
 
• 𝐻𝐵= carga adicionada pela bomba 
• 𝐻𝑇= carga retirada pela turbina 
• ℎ𝑓= perdas de carga 
 Para prova 
Uma forma muito boa de memorizar: 
𝑃
𝛾⏟
pressa
˜
o
+
𝑣2
2𝑔⏟
velocidade
+ 𝑧⏟
altura
= constante 
 
Bernoulli = pressão + velocidade + altura. 
Se uma aumenta, alguma das outras precisa diminuir, desde que não haja 
entrada/saída de energia ou perdas. 
 
 P 𝛾 + v 2 2 g + z = C
 P 𝛾 + v 2 2 g + z = constante
 [ m / s ]
 P 𝛾 ⏟ press a ˜ o + v 2 2 g ⏟ velocidade + z ⏟ altura = constante
 P 1 𝛾 + v 1 2 2 g + z 1 + H B = P 2 𝛾 + v 2 2 2 g + z 2 + h f + H T
 z
 P 1 𝛾 + v 1 2 2 g + z 1 = P 2 𝛾 + v 2 2 2 g + z 2
 P
 g
 menor  a ˊ rea → maior velocidade → menor press a ˜ o
 [ P a ]
 [ m / s 2 ]
 H B
 Q = A v
 P 𝛾
 𝛾 = 𝜌 g
 z
 H T
 v 2 2 g
 A
 [ N / m 3 ]
 P 1 𝛾 + v 1 2 2 g + z 1 = P 2 𝛾 + v 2 2 2 g + z 2 + h f
 [ m ]
 v
 h f
 z
 h f = perda de carga
 v