Associação entre Variáveis

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Conteúdo
1 Introdução 2
1.1 Associação entre duas variáveis qualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Coeficientes de contingência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Associação entre duas variáveis quantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Coeficiente de correlação de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Reta de Regressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Associação entre uma variável qualitativa e uma quantitativa . . . . . . . . . . . . . 14
*
Lista de Tabelas
1 Distribuição conjunta: Nı́vel de atividade f́ısica por Sexo . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Distribuição conjunta das porcentagens em relação ao total geral das variáveis X e Y 2
3 Distribuição conjunta das porcentagens em relação aos totais de cada coluna das
variáveis X e Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Distribuição conjunta das porcentagens em relação aos totais de cada linha das
variáveis X e Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 Nı́vel de infecção por puccinia psiddi em eucalyptus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6 Nı́vel de infecção por puccinia psiddi em eucalyptus (frequências observadas e esperadas) 4
7 Desvios entre valores observados e esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
8 Teores de Nutrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9 Quarteto de Ascombe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
10 Quarteto de Ascombe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11 Tempo de Estudo(X) e Nota(Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
12 Medidas resumo das notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
13 Inibidores de ferrugem de 4 marcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 Medidas descritivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
1 Introdução
Analizaremos aqui inicialmente como medir a associação entre duas variáveis qualitativas, em se-
guida como medir essa associação quando as variáveis consideradas são ambas quantitativas e final-
mente quando as variáveis envolvidas são quantitativas e qualitativas.
1.1 Associação entre duas variáveis qualitativas
Suponha então que estamos interessados em analisar o comportamento conjunto de duas variáveis
qualitativas. A distribuição conjunta das frequências será um valioso instrumento para ajudar na
compreenção dos dados .
Exemplo 1 Queremos analisar o comportamento conjunto das variáveis ”Sexo”(X) e ”Nı́vel de
atividade f́ısica”(Y ), cuja tabela de frequências reproduzimos abaixo
Tabela 1: Distribuição conjunta: Nı́vel de atividade f́ısica por Sexo
X:Sexo
Y:Atividade Feminino Masculino Total
Ativo 0 4 4
Médio 5 6 11
Sedentário 12 18 30
Total 17 28 45
A linha dos totais fornece a distribuição da variável X e a coluna dos totais fornece a distribuição
da variável Y. As distribuições assim obtidas são chamadas de ”distribuições marginais”da variável
X e da variável Y. Podemos ainda construir tabelas de frequências relativas, como foi feito no caso
unidimensional.
Em uma distribuição conjunta podemos expressar a proporção de cada casela de três maneiras
diferentes: em relação ao total geral; em relação ao total de cada linha ou em relação ao total da
cada coluna. A mais conveniente a ser usada dependerá do objetivo da pesquisa. Construiremos a
seguir com os dados da Tabela 1 as três tabelas posśıveis:
Tabela 2: Distribuição conjunta das porcentagens em relação ao total geral das variáveis X e Y
Sexo
Atividade Feminino Masculino Total
Ativo 0% 8,9%∗ 8,9%
Médio 11,1% 13,3% 24,4%
Sedentário 26,6% 40,0% 66,7%
Total 37,8% 62,2% 100%
=⇒ 8,9% dos alunos são do sexo ”Masculino”e seu ńıvel de atividade f́ısico é ”Ativo”.
2
Tabela 3: Distribuição conjunta das porcentagens em relação aos totais de cada coluna das variáveis
X e Y
Sexo
Atividade Feminino Masculino Total
Ativo 0% 14,3% ∗ 8,9%
Médio 29,4% 21,4% 24,4%
Sedentário 70,6% 64,3% 66,7%
Total 100% 100% 100%
=⇒14,4% dos alunos do sexo ”Masculino”têm ńıvel de atividade f́ısica ”Ativo”.
Tabela 4: Distribuição conjunta das porcentagens em relação aos totais de cada linha das variáveis
X e Y
Sexo
Atividade Feminino Masculino Total
Ativo 0% 100,0%∗ 100%
Médio 45,5% 55,5% 100%
Sedentário 40% 60% 100%
Total 37,8% 62,2% 100%
=⇒ 100% dos alunos com ńı vel de atividade f́ısica ”Ativo”, são do sexo ”Masculino”.
O principal objetivo da distribuição conjunta é descrever o grau de associação entre as variáveis,
de modo que possamos prever melhor o resultado de uma delas quando conhecemos a realização da
outra.
Exemplo 2 Em um experimento para testar a resistência de eucalyptus à ferrugem causada por
puccinia psidii, um certo número de plantas de três espécies diferentes de eucalyptus foram infecta-
das artificalmente. Após certo tempo, contou-se o número de plantas doentes. Os resultados estão
na tabela abaixo.
Tabela 5: Nı́vel de infecção por puccinia psiddi em eucalyptus
Infecção E. citrioda E. urophylla E. cloeziana Total
Doentes 6 (5,5%) 10 (10%) 80 (72,7%) 96(30%)
Sadias 104 (94,5%) 90 (90%) 30 (27,3%) 224(70%)
Total 110(100%) 100(100%) 110(100%) 320(100%)
Os valores que aparecem entre parênteses na Tabela 5, mostram as porcentagens do ”tipo de
infecção”(Y ) em cada ”espécie”(X). Estas porcentagens foram calculadas para podermos comparar
a relação (ou grau de associação) entre estas variáveis
A partir desta tabela, podemos observar que, independentemente da espécie, 30% das plantas
adoeceram e 70% delas permaneceram sadias (ver coluna do Total ).
3
Vamos partir da Hipótese de que não existe diferença entre as espécies, isto é não havendo de-
pendência (ou associação) entre as variáveis, esperaŕıamos estas mesmas proporções para cada
uma das espécies.
Olhando atentamente as porcentagens calculadas dentro das caselas da Tabela 6, podemos ve-
rificar que as frequências observadas são bem diferentes das frequências esperadas o que nos leva
a pensar que existe uma associação entre estas variáveis. Por exemplo, na espécie E. citrioda es-
peraŕıamos 30% de plantas doentes e observamos 5,5%. Quanto mais perto os valores observados
estiverem dos valores esperados, mais forte será nossa hipotese.
Para facilitar a comparação entre as frequências esperadas e observadas, constrúımos a Tabela
abaixo.
Tabela 6: Nı́vel de infecção por puccinia psiddi em eucalyptus (frequências observadas e esperadas)
Espécie
E. citrioda E. urophylla E. cloeziana
Infecção oij eij oij eij oij eij
Doentes 6 33 10 30 80 33
Sadias 104 77 90 10 30 77
Em que:
• o ı́ndice i representa plantas doentes (i = 1) ou sadias (i = 2),
• o ı́ndice j representa a espécie (j = 1, 2, 3),
• oij representa a frequência observada e
• eij representa a frequência esperada.
O problema se torna então encontrar uma medida do grau de associação entre as variáveis.
1.1.1 Coeficientes de contingência
(Continuação do Exemplo 2). Para medirmos o grau de associação entre as variáveis X e Y ,
medimos inicialmente as diferenças entre o que teria sido obtido caso não existisse associação entre
elas, e o que foi de fato observado (veja Tabela 7).
Tabela 7: Desvios entre valores observados e esperados
Infecção E. citrioda E. urophylla E. cloeziana Total
Doentes -27 -20 47 0
Sadias 27 20 -47 0
Total 0 0 0 0
Note que tanto a linha quanto a coluna de total são nulas e que algumas caselas apresentam
desvios maiores da suposição de independência. Para quantificar estes desvios, vamos considerar
os desvios relativos, rij, que levam em conta o número diferente de plantas de cada espécie.
rij =
(oij − eij)
2eij
.
Assim, para a casela (Doentes , E. citrioda) , temos (−27)2/33 = 22, 1 e para a casela ( Doentes
, E. cloeziana), temos (−47)2/33 = 66, 9, indicando um desvio devido a esta última casela, maior
4
do que aquele da primeira.
Uma medida do afastamento global pode ser dada pela soma dos valores. Esta medida chama-se
χ2 (qui-quadrado) e é dada pela expressão,
χ2 =
∑
i
∑
j
(oij − eij)
2
eij
.
No nosso exemplo, teŕıamos,
χ2 =
(6− 33)2
33
+
(10− 30)2
30
+
(80− 33)2
33
+
(104− 77)2
77
+
(90− 70)2
70
+
(30− 77)2
77
= 146, 23.
Como é dif́ıcil dizer se este valor é alto ou não, (seria 0 se não houvesse associação), K. Pearson,
famoso estat́ıstico do começo do século, propôs a utilização do chamado Coeficiente de Contingência
C, definido por
C =
√
χ2
χ2 + n
,
em que n é o número total de observações. Este coeficiente é um número entre 0 e 1, sendo nulo
quando as variáveis não são associadas. Algumas vezes porém, mesmo existindo uma associação
perfeita, C pode não ser igual a 1.
Uma alternativa, então, é considerar como medida de associação o seguinte coeficiente, que chama-
remos de Coeficiente de contingência corrigido, dado por
C∗ =
C√
(t− 1)/t
,
em que t é o mı́nimo entre o número de colunas e o número de linhas da tabela.
Critérios de classificação para o coeficiente C∗ não são muito comuns de serem encontrados,
a maioria dos autores citam apenas que valores próximos de 0 representam associação fraca ou
nenhuma e quanto mais próximo de 1, mais forte é a associação. A dificuldade se estabelecer esses
critérios vem do fato de que a escala desse coeficiente não é linear, interferindo na interpretação.
Apesar da dificuldade em se encontrar uma classificação mais objetiva, praticamente todas as clas-
sificações indicam o valor 0.3 para associação moderada. Desta forma, vamos adotar a seguinte
classificação do site www.acastat.com/Statbook/chisqassoc.htm por ser o que mais discrimina.
� [0, 0.1) ⇒ associação fraca ou nenhuma
� [0.1, 0.3) ⇒ associação baixa
� [0.3, 0.5) ⇒ associação moderada
� ≥ 0.5 ⇒ associação forte
No exemplo acima, temos
C =
√
146, 23
146, 23 + 320
= 0, 56
e
C∗ =
0, 56√
1/2
= 0, 79
5
indicando que o grau de associação entre as variáveis neste caso é forte.
Observações
� Uma maneira fácil de se obter o valor esperado em cada casela é,
eij =
(Total da linha i)× (Total da coluna j)
(Total geral)
.
� O coeficiente de contingência de Pearson pode ser utilizado tanto para variáveis qualitativas
quanto para variáveis quantitativas agrupadas em classes.
1.2 Associação entre duas variáveis quantitativas
Pode ser que estejamos interessados em verificar se duas variáveis quantitativas têm alguma relação,
isto é, se valores altos (ou baixos) de uma das variáveis implicam em valores altos (ou baixos) da
outra variável. Por exemplo:
Podeŕıamos estar interessados em verificar se existe associação entre a taxa de desemprego e a
taxa de migração de moradores em uma cidade;
Ou, se existe associação entre verba investida em educação e taxa de desemprego;
Ou ainda, se existe associação entre Investimento em propagandas de um produto e retorno nas
vendas, etc.
Considere duas variáveis X e Y observadas conjuntamente. Então, uma amostra bivariada de
tamanho n, de pares (X, Y), é dada por:
(X, Y ) = {(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), . . . , (xn, yn)}.
O primeiro passo para verificar se existe alguma associação entre duas variáveis quantitativas
é fazer um gráfico de pontos dos dados observados, denominado de “diagrama de dispersão”. Esse
diagrama nada mais é do que a representação gráfica dos pares de valores (xi, yj) em um sistema
de eixos cartesiano.
Vamo analisar os seguintes exemplos:
Exemplo 3 Considere as Medidas diárias da qualidade do ar em Nova Iorque entre maio e setem-
bro de 1973. O conjunto de dados é formado por 154 observações em 6 variáveis. Excluindo-se os
dados perdidos (missing) este número caiu para 111.
Descrição dos dados:
Leituras diárias das seguintes medidas de qualidade do ar no peŕıodo de 1 de maio a 30 de setembro
de 1973.
1. Ozone: ozónio, em partes por bilhão;
2. Solar.R : radiação solar em Langleys, na banda de frequência de 4000-7700 Angstroms;
3. Wind: velocidade média do vento em milhas por hora;
4. Temp: tempartura máxima diária em graus Fahrenheit.
6
Fonte: Os dados foram obtidos do Departamento de Conservação (Department of Conservation)
e do Serviço Nacional de Meteorologia (National Weather Service) de Nova Iorque. Estes dados
encontram-se armazenados no R no arquivo airquality
As Figuras 2.1, 2.2 e 2.3 mostram os gráficos das associações entre as variáveis Wind, Ozone
e Solar.R
=⇒ Observada uma associação entre as variáveis quantitativas, desejamos quantificar o grau
desta associação. Estudaremos aqui a relação mais simples, que é a linear, isto é, vamos definir
uma medida que julga o quanto a nuvem de pontos do diagrama de dispersão aproxima-se de uma
reta.
A medida que utilizaremos para quantificar a associação entre duas variáveis quantitativas é o
Coeficiente de Correlação Linear ( ou Coeficiente de Correlação de Pearson).
1.2.1 Coeficiente de correlação de Pearson
Definição 1.1 Dados n pares de valores (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), chamamos de coeficiente de
correlação de Pearson entre as duas variáveis X e Y a relação,
r = ρXY = Cor(X, Y ) = Cor(X, Y ) =
1
n
∑n
i=1(xi − x̄)(yi − ȳ)
DP(X)DP(Y )
.
Costuma-se usar a seguinte fórmula equivalente de cálculo,
r = Cor(X, Y ) =
∑n
i=1 xiyi − nx̄ȳ√
(
∑n
i=1 x
2
i − nx̄2)(
∑n
i=1 y
2
i − nȳ2)
.
Propriedades do Coeficiente de Correlação:
=⇒ Se a relação entre X e Y é linear, do tipo Y = aX + b, então:
1. O coeficiente de correlação varia ente -1 e 1;
2. r = 1 correlação linear positiva e perfeita;
3. r = −1 correlação linear negativa e perfeita
4. r = 0 ausência de correlação liear. Neste caso, pode haver outro tipo de correlação entre as
variáveis.
Importante:
=⇒ Pontos extremos no diagrama de dispersão podem influenciar o valor do coeficiente de cor-
relação linear entre sas variáveis.
=⇒ Por esta razão devemos olhar conjuntamente o diagrama de dispersão e o coeficiente de
correlação linear.
Tabela de classificação da relação entre X e Y
7
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60 70 80 90
0
50
10
0
15
0
Figura1
Temp
O
zo
ne
Figura 1: Associação entre Temp e Ozone
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5 10 15 20
0
50
10
0
15
0
Figura2
Wind
O
zo
ne
Figura 2: Associação entre Wind e Ozone
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5 10 15 20
0
50
10
0
15
0
20
0
25
0
30
0
Figura3
Wind
S
ol
ar
.R
Figura 3: Associação entre Wind e Solar.R
8
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0 50 100 200
10
15
20
25
 Pótassio
Óxido de Potássio
k
●
●
●
●
●
●
0 50 100 200
5
6
7
8
9
10
 Magnésio
Óxido de Potássio
m
g
Figura 4: Diagrama de dispersão
Valor de r Classificação
0.90 ≤ |r|0.20 ≤ |r|para ser realizado em três turmas similares de 30 alunos. Para
14
●
A B C D
0
2
4
6
8
Box−plot de Metodologia x Teste
Metodologia
Te
st
e
cada uma das turmas usou uma metodologia diferente (A, B ou C) e, ao final, aplicou um mesmo
teste às três turmas.
Veja na tabela abaixo, um resumo dos resultados obtidos nos testes para as três turmas. Você diria
que as três metodologias são igualmente eficientes? Por quê?
Tabela 12: Medidas resumo das notas
Metodologia Média Desvio-padrão Mı́nimo Q1 Q2 Q3 Máximo
A (30) 6,316 0,993 3,666 5,876 6,262 6,952 8,132
B (30) 6,625 1,534 4,012 5,679 6,744 8,002 8,955
C (30) 3,829 2,374 0,311 1,983 3,537 5,004 8,658
A, B e C (90) 5,590 2,123 0,311 4,207 6,068 6,978 8,955
Avalia-se a variável quantitativa individualmente para cada uma das categorias da variável qua-
litativa, comparando-se os resultados. A análise pode ser feita através das medidas descritivas e
graficamente (histogramas, box-plot, gráficos de pontos).
Exemplo 7 Num estudo sobre a eficácia de inibidores de ferrugem, quatro marcas (A, B, C, D)
foram testadas. Ao todo, 40 corpos de prova foram distribúıdos entre as quatro marcas, sendo 10
unidades para cada uma. Os 40 corpos de prova passaram por um tratamento pelo respectivo inibidor
e foram expostos à severas condições de tempo. Os resultados são apresentados na tabela abaixo,
quanto maior o valor mais avaliado, mais eficaz é o inibidor de ferrugem. Ver tabela 13
Fonte: Neter, Wasserman, Kutner - Applied Linear Statistical Models, IRWIN, 3rd
Ed. (dados modificados).
15
Tabela 13: Inibidores de ferrugem de 4 marcas.
Unidade Marca A Marca B Marca C Marca D
1 43.9 59.8 53.4 36.2
2 39.0 57.1 54.3 45.2
3 46.7 62.7 53.5 40.7
4 43.8 60.6 51.4 40.5
5 44.2 57.7 55.0 39.3
6 47.7 62.4 53.1 40.3
7 43.6 56.1 55.6 43.2
8 38.9 58.1 50.2 38.7
9 43.6 60.8 48.8 40.9
10 40.0 59.1 54.2 39.7
●
●
A B C D
40
45
50
55
60
Box−plot de Corrosão x Marca
Marca
C
or
ro
sã
o
Tabela 14: Medidas descritivas.
Medidas Marca A Marca B Marca C Marca D
média 43.140 59.440 52.950 40.470
variância 9.000 4.920 4.703 5.936
cf.variação 6.954 3.732 4.096 6.020
Q1 40.900 57.800 51.825 39.400
mediana 43.700 59.450 53.450 40.400
Q3 44.125 60.750 54.275 40.850
skew -0.134 0.063 -0.628 0.282
kurt -1.384 -1.506 -1.045 -0.440
16