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ESTATÍSTICA 
por Concur se iro Fora da C ai xa 
RESUMO 
Estatística 
C o nc u rse i ro F o ra da Cai x a 
concurseiroforadacaixa.com.br | 01
Sumário 
Estatística Descritiva ...................................................................................................................................................................... 2 
Medidas de Posição ....................................................................................................................................................................................................2 
Medidas de Dispersão................................................................................................................................................................................................3 
Como são afetadas as medidas pelas oeprações matemátcas ........................................................................................................................4 
Probabilidade ................................................................................................................................................................................... 5 
Probabilidade da União ............................................................................................................................................................................................5 
Probabilidade Condicional ......................................................................................................................................................................................5 
Eventos Independentes ............................................................................................................................................................................................6 
Variáveis Aleatórias........................................................................................................................................................................ 7 
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Discretas ...............................................................................................................................7 
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Contínuas .............................................................................................................................8 
Amostragem................................................................................................................................................................................................................8 
Intervalo de Confiança .............................................................................................................................................................................................9 
Testes de Hipóteses ................................................................................................................................................................................................ 10 
Correlação e Regressão .......................................................................................................................................................................................... 11 
Extra – Questões (TEC) .................................................................................................................................................................. 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Estatística 
C o nc u rse i ro F o ra da Cai x a 
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
M ED I DA S D E P O SI ÇÃO 
T e n d ê n ci a C e n t ra l 
Moda: é a observação que MAIS se repete. 
 
Médias: 
Aritmética (MA) 
∑(𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖 )
𝑛
 
Geométrica (MG) 
√𝑥1 ∙ 𝑥2 … 𝑥𝑛
𝒏
 
Média Harmônica (MH) 
𝒏
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+
1
𝑥3
…
1
𝑥𝑛
 
Os valores das médias seguem o padrão: 
(MA > MG > MH) 
S e p a ra t ri z e s 
Mediana: 
• Divide a distribuição em 2 partes iguais 
• Quant. elementos PAR (ROL)? Média dos dois dados do centro da lista 
• Quanti. elementos ÍMPAR (ROL)? Elemento CENTRAL 
• Mediana na interpolação: divide-se a frequência total por 2 
 
Quartil: 
• Para uma tabela – interpolação linear 
• Distância interquartílica = (Q3 – Q1) 
• Distância semi-interquartílica = (Q3 – Q1)÷2 
Diagrama de Box-Plot: 
 
 
Relação entre Média, Mediana e Moda para distribuições com assimetria positiva ou negativa: 
 
 
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Estatística 
C o nc u rse i ro F o ra da Cai x a 
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M ED I DA S D E D I SP ER SÃ O 
A b so l u ta 
Amplitude (h) 
𝒉 = 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 − 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 
 
Variância (s² | σ²) 
Variância Populacional 
𝜎2 =
∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝒏
 
Variância Amostral 
𝑠2 =
∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝒏 − 𝟏
 
𝜎2 =
∑(𝑥𝑖
2)
𝑛
− 𝜇2 
Média dos quadrados MENOS quadrado da média 
Se amostra: multiplicar TUDO por N/(N-1) 
 
 
Quando xi for multiplicado ou dividido por um valor, a variância é afetada com o quadrado. 
Exemplo: se xi for multiplicado por 2 a variância fica multiplicada por 4, se por 3, fica multiplicada por 9. 
 
Desvio Padrão (s | σ) 
𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝑷𝒂𝒅𝒓ã𝒐 = √𝑽𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 
 
Desvio Médio (dM) 
Rol 
 
𝒅𝑴 =
∑|𝒙𝒊 − 𝝁|
𝒏
 
Tabela 
 
𝒅𝑴 =
∑|𝒙𝒊 − 𝝁| ∙ 𝒇𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒂
𝒏
 
Distrib. de Frequência 
 
𝒅𝑴 =
∑|𝑷𝒎𝒊 − 𝝁| ∙ 𝒇𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒂
𝒏
 
A soma dos desvios em relação a média aritmética é sempre 0 
 
R e l a t iv a 
Coeficiente de Variação (cv) 
𝒄𝒗 = 
𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝑷𝒂𝒅𝒓ã𝒐
𝒎é𝒅𝒊𝒂
 
• Quanto menor o cv, mais homogêneo são os valores 
• Para cvcomuns entre os conjuntos). Isso 
ocorrendo, dizemos que os eventos são mutuamente excludentes (ou exclusivos) ou que os conjuntos são disjunto. Nesse caso, 
P (A ∩ B) = 0. 
 
Atenção! As diretrizes acima também se aplicam a 3 ou mais conjuntos. A fórmula fica apenas maior, mas entendendo a 
lógica, você não precisa decorá-la, basta pensar que devemos somar os elementos de todos os grupos individualmente, e 
remover todas as intersecções possíveis (entre A e B, entre B e C, entre A e C e entre A, B e C). 
P R O BA BIL ID A D E CON D I CI ON AL 
Basicamente, a probabilidade condicional trata da probabilidade de um determinado evento ocorrer, sabendo que um evento 
condicionante já aconteceu. Matematicamente: 
P(A|𝐁) =
P(A ∩ B)
P(𝐁)
 
 
• A probabilidade condicional é a chance de o evento A acontecer, dado que B já aconteceu. 
• Se B é o condicionante, então, calculamos a chance de A acontecer na condição de o evento B ter acontecido. 
Exemplo: ao lançar dois dados, qual a probabilidade de o resultado da soma das faces superiores ser igual a 6, sabendo que o 
resultado do lançamento dos dados são dois números pares? 
1. “Soma das faces ser igual a 6” = A. 
2. “Sabendo que o resultado do lançamento dos dados são dois números pares” = condicionante = B 
3. Espaço amostral (todas as combinações possíveis) = 6 x 6 = 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Esquematizando, temos o quadro abaixo. Em amarelo estão os casos em comum (interseção), que ocorrem em A e em B: 
 
Casos Possíveis A Casos Possíveis B Portanto, aplicando a fórmula, temos: 
P(A|𝐁) =
P(A ∩ B)
P(𝐁)
=
2
36⁄
9
36⁄
=
𝟐
𝟗
 
 
Dado 1 Dado 2 Dado 1 Dado 2 
1 5 2 2 
2 4 2 4 
3 3 2 6 
4 2 4 2 
5 1 4 4 
1 5 4 6 
Total = 6 6 2 
 6 4 
 6 6 
 Total = 9 
 
Teorema da Multiplicação 
Nada mais é do que uma forma diferente de olhar para a fórmula da probabilidade condicional: 
 
P(A|𝐁) × P(𝐁) = P(A ∩ B) 
 
EV EN TO S I ND EP END EN TES 
Eventos independentes são aqueles que não influenciam uns nos outros. Ou seja, não interessa o que ocorreu em B, pois ele 
não tem influência sobre A. Matematicamente: 
P(A|𝐁) = P(A) 
Dessa forma, fazendo as substituições matemáticas necessárias, chegamos à fórmula abaixo, muito cobrada em prova: 
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 
Por exemplo, qual a probabilidade de, ao lançar uma moeda 3 vezes, ocorra 3 coroas? 
• Um lançamento é independente do outro 
• A chance de cara ou de coroa (para moedas não viciadas) é de 50% = ½ 
• Logo, três coroas = ½ x ½ x ½ = 1/8 ou 12,5% 
 
Dica! Questões que falam em “pelo menos um”, na resolução basta você fazer (1 – nenhum). Exemplo: em 3 lançamentos de uma 
moeda, qual a chance de sair pelo menos uma cara? 
• Chance de não sair nenhuma cara, é igual a dizer que só saiu coroa = 1/8, como calculamos acima. 
• Logo a de sair pelo menos uma cara = 1 – 1/8 = 7/8 = 87,5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
D I STR I BUI ÇÕ ES D E P R O BA BI LI D AD E P AR A VA R IÁ V EI S DI SCR ETA S 
 
 
Função Massa de Probabilidade - f(X) Média μ Variância σ2 Função Distribuição Acumulada – F(X) 
B
IN
O
M
IA
L
 
𝑷(𝒙 = 𝑺) = 𝑪𝒏,𝑺 ∙ 𝒑𝑺 ∙ (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝑺 𝒏𝒑 𝒏𝒑 ∙ (𝟏 − 𝒑) Calcular P(1), P(2), P(3),...., P(n) e somar 
Observação 
Probabilidade de se obter exatamente S sucessos em n tentativas? Sempre em pares, sendo os eventos 
complementares: cara ou coroa, menino ou menina, bola azul, não azul. A ordem NÃO é especificada (daí vir a 
combinação). Retiradas COM REPOSIÇÃO. 
 
 
Função Massa de Probabilidade - f(X) Média μ Variância σ2 Função Distribuição Acumulada – F(X) 
B
E
R
N
O
U
L
L
I 𝑷(𝒙 = 𝒌) = 𝒑𝒌 ∙ (𝟏 − 𝒑)𝟏−𝒌 𝒑 𝒑 ∙ (𝟏 − 𝒑) Calcular P(1), P(2), P(3),...., P(n) e somar 
Observação 
A variável x só assume valores 0 ou 1 (binário). É um caso especial da binomial. 
 
 
Função Massa de Probabilidade - f(X) Média μ Variância σ2 Função Distribuição Acumulada – F(X) 
P
O
IS
S
O
N
 
𝑷(𝒙) = 
𝝀𝒙 ∙ 𝒆−𝝀
𝒙!
 𝝀 𝝀 Calcular P(1), P(2), P(3),...., P(n) e somar 
Observação 
λ geralmente é dado na forma “a média...” ou “a variância...”. Cuidado! Quando a questão fala “a média (λ) é de 
5/h....qual a probabilidade de 10 em 3h? Transformar o λ = 5/h para λ = 15/h. 
 
 
Função Massa de Probabilidade - f(X) Média μ Variância σ2 Função Distribuição Acumulada – F(X) 
G
E
O
M
É
T
R
IC
A
 
𝑷(𝒙) = 𝒑(𝒇) × 𝒑(𝒇) … × 𝒑(𝒔) 
𝟏
𝒑(𝒔)
 
𝟏 − 𝒑(𝒔)
𝒑(𝒔)𝟐
 Calcular P(1), P(2), P(3),...., P(n) e somar 
Observação 
Situação: “fracasso, fracasso, ...sucesso”, ou seja, até se obter o 1º sucesso. A variável x é o número de tentativas. 
 
 
Função Massa de Probabilidade - f(X) Média μ Variância σ2 Função Distribuição Acumulada – F(X) 
H
IP
E
R
G
E
O
M
É
T
R
IC
A
 
𝑷(𝒙 = 𝒌) = 
𝑪𝑫,𝒌 × 𝑪(𝒏−𝑫),(𝒏−𝒌)
𝑪𝑵,𝒏
 𝒏𝒑 - Calcular P(1), P(2), P(3),...., P(n) e somar 
Observação 
Retiradas SEM REPOSIÇÃO 
 
 
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D I STR I BUI ÇÕ ES D E P R O BA BI LI D AD E P AR A VA R IÁ V EI S CO N TÍ N UA S 
 
 
Função Densidade de Probabilidade - f(X) Média μ Variância σ2 Função Distribuição Acumulada – F(X) 
U
N
IF
O
R
M
E
 
𝒇(𝒙) = {
1
𝑏 − 𝑎
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜
 
𝒂 + 𝒃
𝟐
 
(𝒃 − 𝒂)𝟐
𝟏𝟐
 É a área abaixo da reta (base x altura) 
E
X
P
O
N
E
N
C
IA
L
 
𝒇(𝒙) = 𝜶𝒆−𝜶𝒙 
𝟏
𝜶
 
𝟏
𝜶𝟐
 
𝑭(𝒙𝟎) = 𝟏 − 𝒆−𝜶𝒙𝟎 
P(0os 
indivíduos que participarão da entrevista serão sorteados. 
Um exemplo clássico é a pesquisa eleitoral. Primeiro seleciona-se os municípios, em seguida as 
categorias (exemplo, baixa renda, alta renda) e só então os indivíduos são selecionados. 
 
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I N TER V AL O D E CO N FI AN ÇA 
C O N CE I T O 
É uma amplitude de valores, derivados de amostras, que têm a probabilidade de conter o valor de um parâmetro populacional 
desconhecido. Devido à sua natureza aleatória, é improvável que duas amostras de uma determinada população irão render 
intervalos de confiança idênticos. Mas, se você repetir sua amostra várias vezes, uma determinada porcentagem dos 
intervalos de confiança resultantes conteria o parâmetro populacional desconhecido. 
 
Aqui, a linha preta representa o valor fixo da média desconhecida da população. Os intervalos de 
confiança azuis contêm o valor da média da população. O intervalo de confiança vermelho 
totalmente abaixo da linha horizontal não contém esse valor. Um intervalo de confiança de 95% 
indica que 19 em 20 amostras (95%) da mesma população produzem intervalos de confiança 
contendo o parâmetro da população. 
 
I N T E R VA LO DE CO N F I A NÇA P AR A A MÉD I A 
 
I N T E R VA LO DE CO N F I A NÇA P AR A A P RO P O RÇÃ O 
Bastante cobrado em prova. As questões, em regra, são de aplicação imediata da fórmula: 
𝒑 = 𝒑𝟎 ± 𝒛√
𝒑𝟎(𝟏 − 𝒑𝟎)
𝒏
 
 
Quando a banca não der p0, supõe-se que a variância é máxima, de forma que p0 = 50% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TESTES D E HI P Ó TESES 
P R E L IM I N AR E S 
 
 H0 verdadeira H0 falsa 
α: nível de significância, isto é, a probabilidade. de se cometer 
um Erro Tipo I. 
Pegadinha! A questão falar que há relação entre α e β, 
ou que α + β = 1. Isso é ERRADO. 
Aceitar H0 
NÃO HÁ ERRO 
(DECISÃO CORRETA) 
ERRO 
TIPO II (β) 
 
Rejeitar H0 
ERRO 
TIPO I (α) 
NÃO HÁ ERRO 
(DECISÃO CORRETA) 
 
 
 T E S T E D E H I PÓ T ES E PA RA A MÉ D IA 
 
Unilateral à esquerda 
{
𝐻0: 𝜇 ≥ 𝜇0
𝐻1: 𝜇 𝜇0
 
 
Bilateral 
{
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0
𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0
 
 
• O que determinar se o teste é à esquerda, direita ou bilateral é o SINAL da hipótese alternativa (H1) 
• O procedimento é exatamente o mesmo no caso de uma tabela t-Student 
• μ é o que eu quero testar (população) e μ0 é o da amostra que coletei. 
T E S T E D E H I PÓ T ES E PA RA A P R O PO RÇ ÃO 
 
𝒛𝐶𝐴𝐿𝐶 𝑜𝑢 𝒕𝐶𝐴𝐿𝐶 = 
𝑛(𝑝0 − 𝑝)
√𝑛𝑝(1 − 𝑝)
 
 p0: é a proporção da amostra (%) 
p: é a proporção da população (%) 
Procedimento: testar zCALC ou tCALC nas respectivas curvas (= na média). 
 
P - V AL O R ( N ÍV EL DE S CR I T I VO O U PR OB AB I L IDA DE DE S IG N I F I CÂ N CIA ) 
 
o p-valor α - então NÃO rejeita H0 
 
Portanto, α é o valor tabelado (área) de z ou t [população] já o p-valor é o valor 
tabelado (área) do zCALC ou tCALC [amostra]. 
 
 
 
 
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CO R R EL A ÇÃ O E R EGR ESSÃ O 
C O VA R IÂ N CI A 
Definição: medida do grau de interdependência numérica entre duas variáveis aleatórias. Assim, variáveis independentes têm 
covariância zero. Definição formal: 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐸[(𝒙 − 𝑬(𝒙)) × (𝒚 − 𝑬(𝒚))] pouco utilizada. Para a prova levar: 
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑬(𝒙𝒚) − 𝑬(𝒙) ⋅ 𝑬(𝒚) 
média dos produtos menos o produto das médias 
Obs: quando se tratar de covariância amostral também há a figura do fator de Bessel. 
Propriedades 
• Relação de 2 variâncias com respeito à covariância: 𝜎𝑥±𝑦
2 = 𝜎𝑥
2 ± 2𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) + 𝜎𝑦
2 
• Propriedade da covariância: 𝑐𝑜𝑣(𝒂𝑥 + 𝑏, 𝒄𝑦 + 𝑑) = 𝒂 ⋅ 𝒄 × 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) 
R E T A DE R EG R ES S ÃO ( RE T A D OS M Í N IM O S Q U AD RA DO S ) 
MMQ: técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando 
minimizar a soma dos quadrados das diferenças (resíduos) entre o valor estimado e os dados observados. 
𝒚𝒊 = 𝜶 ̂ + �̂�𝒙𝒊 + 𝝐𝒊 
Propriedades da Reta de Regressão: 
∑ 𝝐𝒊 = 𝟎 ∑ 𝝐𝒊
𝟐 = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝑬(𝝐𝒊) = 𝟎 
1º) Encontrando �̂�: formalmente temos que �̂� =
𝒄𝒐𝒗(𝒙,𝒚)
𝝈𝒙
𝟐 , porém, para fins de prova, a fórmula que mais cai é: 
𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜𝑠 − 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 − 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎
 
�̂� =
𝒏 ⋅ 𝑬(𝒙𝒚) − 𝑬(𝒙) ⋅ 𝑬(𝒚)
𝒏 ⋅ 𝑬(𝒙𝟐) − [𝑬(𝒙)]𝟐
 
2º) Encontrando �̂�: basta tirar a média de todos os termos da reta 𝒚𝒊 = 𝜶 ̂ + �̂�𝒙𝒊 + 𝝐𝒊, assim: 
�̂� = 𝐸(𝑦) − �̂� ⋅ 𝐸(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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C OE F I C IE N T E DE DE T E RM I NA ÇÃ O ( R² ) 
R²: é um valor que varia entre 0 e 1 e indica, em percentagem, o quanto o modelo consegue explicar os valores observados. 
Quanto maior o R², mais explicativo é o modelo, melhor ele se ajusta à amostra. 
𝑅2 =
𝑐𝑜𝑣2(𝑥, 𝑦)
𝜎𝑥
2 × 𝜎𝑦
2
 
 
Coeficiente de CORRELAÇÃO Linear de Pearson (r) 
• Medida do grau de relação linear entre duas variáveis quantitativas. 
• Este coeficiente varia entre -1 e 1. 
 
𝑟 =
𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)
𝜎𝑥 × 𝜎𝑦
 → {
𝑟 = 1: 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 
𝑟 = 0: 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝐿𝐼𝑁𝐸𝐴𝑅 
𝑟 = −1: 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
 
 
 
r = 1 
pontos sobre reta 
r = -1 
pontos sobre reta 
r = 0 
Correlação NÃO linear 
r = 0 
Variáveis independentes 
 
EXTRA – QUESTÕES (TEC) 
 
São questões de várias bancas (basta excluir das questões as bancas que não te interessam) e níveis (questões 
simples às complexas). Complemente esse caderno com questões que você já selecionou como favoritas / 
importantes, para revisar nas semanas anteriores à prova. Aliando este resumo com a resolução de questões 
você certamente estará MUITO bem preparado(a)! Link: https://www.tecconcursos.com.br/s/Qb403 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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