1 Transformações lineares

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Em álgebra linear, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais 
que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear 
também é conhecida como aplicação linear. Se o domínio e o contradomínio coincidem, é usada a 
expressão operador linear.
Vamos revisar um pouco sobre aplicações:
Sejam U e V conjuntos não vazios. Uma aplicação F de U em V , indicada por F : U → V, é uma regra 
pela qual a cada elemento u ∈ U está associado um único elemento F(u) ∈ V, chamado de imagem de u. 
Algumas vezes indicamos uma aplicação por u →F(u). Os conjuntos U e V são chamados, 
respectivamente, de domínio e contradomínio da aplicação F . Duas aplicações F e G são iguais quando 
e somente quando F(u) = G(u), para todo u ∈ U .
Definição: Sejam F : U → V uma aplicação e W ⊂ U. Chamamos de imagem de W por F o subconjunto 
de V: F(W) = {F(u) ∈ V : u ∈ W}
Quando W = U, chamamos F(U) de imagem de F e denotamos por Im F. Ou seja
Im F = {F(u) ∈ V : u ∈ U}.
Observação: Pela definição de Im F temos que v ∈ Im F se, e somente se, existe u ∈ U tal que F(u) = v. 
Definição: Dizemos que uma aplicação F : U → V é
a. injetora ou 1-1(lê-se “um a um ”) quando para quaisquer 𝑢 , 𝑢 ∈ U, se F(𝑢 ) = F(𝑢 ), então 𝑢 = 𝑢 , 
(ou, equivalentemente, F(𝑢 ) = F(𝑢 ) ⇒ 𝑢 = 𝑢 ),
b. sobrejetora quando Im F = V, isto é, para todo v ∈ V, existe um u ∈ U tal que F(u) = v,
c. bijetora quando for sobrejetora e injetora.
Observação: Se F : U → V é bijetora, então cada elemento v ∈ V é do tipo v = F(u), para algum u ∈ U, 
pois F é sobrejetora. Desse modo, a cada v ∈ V podemos associar o elemento u ∈ U tal que v = F(u). Note 
que, como F é injetora, para cada v ∈ V existe um único u ∈ U tal que F(u) = v. Dessa forma, fica definida 
uma aplicação G : V → U dada por v → G(v). G é chamada de aplicação inversa de F, e é denotada por 
𝐹 .
Então
F(𝐹 (v)) = v e 𝐹 (F(u)) = u
Transformações Lineares
Geometricamente, as transformações lineares fazem uma conexão entre a álgebra linear (matrizes, 
coordenadas) com a geometria (imagens de vetores, figuras e espaços).
DEFINIÇÃO: Dados dois espaços vetoriais, reais ou complexos, dizemos que uma aplicação T:U→V é 
uma transformação linear (TL) de U em V, se, e somente se, as duas condições a seguir são satisfeitas:
(i) 𝑇(𝑢 + 𝑢 ) = 𝑇(𝑢 ) + 𝑇(𝑢 ), ∀𝑢 , 𝑢 ∈ 𝑈;
(i) 𝑇(𝛼𝑢 ) = 𝛼𝑇(𝑢 ), ∀𝑢 ∈ 𝑈, 𝛼 ∈ ℝ.
Quando U=V, dizemos que T é um operador linear em U. Quando V=ℝ dizemos que T é um funcional 
linear em U.
A ideia geométrica de uma TL é que:
(i) A origem nunca se move (sempre é levado em si mesmo)- veremos uma propriedade sobre isso;
(ii) Uma reta que passa pela origem sempre é transformada em outra reta que também passa pela origem;
(iii) Em dimensões maiores, planos que contêm a origem são levados em outros planos que também 
contêm a origem.
Transformações lineares
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De modo mais geral, em qualquer dimensão, podemos dizer que a TL preserva a origem, o alinhamento, 
pois pontos colineares permanecem colineares e a proporcionalidade, pois o ponto médio de um segmento 
continua sendo o ponto médio da imagem.
A TL tem a capacidade de transformar figuras geométricas em figuras do mesmo "tipo", só que 
"deformadas" linearmente, como por exemplo: quadrados → paralelogramos e cubos → paralelepípedos.
Geometricamente, se a transformação mover a origem de sua posição, não preservar a origem ou as retas, 
se uma reta for convertida em uma curva, a transformação não é linear
Exemplos de transformações lineares
1. Transformação linear nula é a transformação:
0: 𝑈 → 𝑉 definida por:
𝑢 ∈ 𝑈 ⟼ 0⏟ (𝑢)
çã
=⏞
.
0⏟ ∈ 𝑉
2. O operador identidade definido por:
𝐼: 𝑈 → 𝑈 definida por:
𝑢 ∈ 𝑈 ⟼ 𝐼(𝑢) = 𝑢 ∈ 𝑈
É um operador linear.
3. O operador definido por:
𝑇: ℝ → ℝ definida por:
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑧, 𝑦 + 𝑧)
Geometricamente, vemos que o domínio é espaço ℝ e o contradomínio é o plano ℝ . A TL coloca o 
"achata" o ℝ dentro do ℝ 
4. O operador definido por:
𝑇: ℝ → ℝ definida por:
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, 𝑥 + 𝑦)
Geometricamente, vemos que o domínio é o plano ℝ e o contradomínio é o espaço ℝ . A TL coloca o 
plano ℝ dentro do ℝ como um plano inclinado, dado pela equação 𝑧 = 𝑥 + 𝑦
Assim, T pega cada ponto (𝑥, 𝑦) do plano e o envia para o ponto (𝑥, 𝑦, 𝑥 + 𝑦) no espaço.
A TL mapeia o plano cartesiano como um plano inclinado no espaço tridimensional, definido exatamente 
pela equação 𝑧 = 𝑥 + 𝑦.
5. A aplicação
𝐷: 𝑃 (ℝ) → 𝑃 (ℝ) definida por:
𝐷 𝑝(𝑡) = 𝑝′(𝑡)
É um operador linear chamado de operador derivada.
6. A aplicação
𝑇: 𝐶([0,1], ℝ) → ℝ definida por:
𝑇(𝑓) = 𝑓(𝑠)𝑑𝑠
É um funcional linear ( sempre que for uma TL, com contradomínio Real)
7. A aplicação
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7. A aplicação
𝑇: 𝑀 (ℝ) → 𝑀 (ℝ) definida por:
𝑇(𝑋) = 𝑋 − 𝑋
É um operador linear
Propriedades: Sejam U e V espaços vetoriais reais e T:U→V uma TL. Então:
P1: T(0)=0, isto é, T transforma o vetor nulo de U no vetor nulo de V.
P2: 𝑇(−𝑢) = −𝑇(𝑢), ∀𝑢 ∈ 𝑈.
P3: 𝑇(𝑢 − 𝑢 ) = 𝑇(𝑢 ) − 𝑇(𝑢 ), ∀𝑢 , 𝑢 ∈ 𝑈.
P4: Se W é um subespaço vetorial de U, então o conjunto imagem de W por T, 𝑇(𝑊) = {𝑇(𝑤) ∈ 𝑉: 𝑤 ∈
𝑊} é um subespaço vetorial de V.
P5: 𝑇(∑ 𝑎 𝑢 ) = ∑ 𝑎 𝑇(𝑢 )
Demonstrações:
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Observação: As duas condições para que uma aplicação seja linear podem ser reescritas de um modo mais 
simples, dado pela proposição a seguir:
Proposição: Sejam U e V dois espaços vetoriais reais (ou complexos) e T:U→V uma aplicação. Então:
T:U→V é linear ⟺𝑇(𝛼𝑢 + 𝑢 ) = 𝛼𝑇(𝑢 ) + 𝑇(𝑢 ), ∀𝑢 , 𝑢 ∈ 𝑈, 𝛼 ∈ ℝ(𝑜𝑢 ℂ).
Dem:
Exercício 1: Verifique se as transformações a seguir são lineares
(𝑎) 𝑇: ℝ → ℝ tal que 𝑇(𝑢) = 𝛼𝑢
(𝑏) 𝑇: ℝ → ℝ tal que 𝑇(𝑢) = 𝑢
(𝑐) 𝑇: ℝ → ℝ tal que 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥, 0, 𝑥 + 𝑦)
(𝑑) 𝑇: 𝑀 (ℝ) → ℝ tal que 𝑇
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
(𝑒) 𝑇: ℝ → ℝ tal que 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦 + 1)
Considere β = {𝑢⃗, 𝑢⃗, … , 𝑢 ⃗} uma base de U e seja 𝑇: 𝑈 → 𝑉 uma aplicação linear. Suponha que se 
conheça as imagens dos vetores da base, 𝑇(𝑢⃗), 𝑇(𝑢⃗), … , 𝑇(𝑢 ⃗). Se �⃗� é um vetor qualquer de U, então:
�⃗� = 𝛼 𝑢⃗ + 𝛼 𝑢⃗ + ⋯ + 𝛼 𝑢 ⃗
E
𝑇(�⃗�) = 𝛼 𝑇(𝑢⃗) + 𝛼 𝑇(𝑢⃗) + ⋯ + 𝛼 𝑇(𝑢 ⃗)
Isso mostra que uma TL 𝑇: 𝑈 → 𝑉 fica completamente definida quando se conhecem as imagens dos 
vetores de uma base de U.
Exercício 2: Dê as transformações lineares a seguir:
𝑇: ℝ → ℝ tal que 𝑇(1, −1) = (1,1,2) e 𝑇(2,0) = (2, −1,1)a)
𝑇: ℝ → ℝ tal que 𝑇(1,1) = (3,2,1) e 𝑇(0, −2) = (0,1,0)b)
Exercício 3: Seja 𝐹: ℝ → ℝ um operador linear tal que 𝐹(−1,1) = (1, −8) e 𝐹(2,3) = (8, −9).
Determine 𝐹(𝑥, 𝑦), sendo (𝑥, 𝑦) um vetor genérico do ℝ .
Exercício 4: Existe um operador linear tal que 𝐹: 𝑃 (ℝ) → 𝑃 (ℝ) tal que:
𝐹(1 + 𝑡 + 𝑡 ) = 1 + 2𝑡 + 3𝑡 ;
𝐹(1 + 2𝑡 + 3𝑡 ) = 1 + 4𝑡 + 9𝑡 e
𝐹(2 + 3𝑡 + 4𝑡 ) = 1 + 8𝑡 + 27𝑡 ?
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Exercícios
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Referências Bibliográficas
[1] AMARO, B. D. Apostila de Álgebra Linear. Universidade Federal do Mato Grosso. 
Campo Grande, p.215.2020.
[2] ANTON, H., Álgebra Linear. Rio de Janeiro, Editora Câmpus, 1978.
[3] CALLIOLI, C.A.; DOMINGUES, H.H. e COSTA, R.C.F., Álgebra Linear e Aplicações. 
São Paulo, Atual Editora, 1990.
[4] LIPSCHUTZ, S., Álgebra Linear. São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1972. (Coleção 
Schãum)
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