Guia Prático de Matemática Avançada

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Guia Prático: Matemática Avançada
Prova presencial · cada cartão tem a pergunta, a resposta oficial com a letra da alternativa, o raciocínio passo a passo, a
conferência e o método de cabeça passo a passo. Etiqueta no canto superior direito: ★ SIMULADO + EXERCÍCIO =
caiu nos dois e vem primeiro no guia · SIMULADO = só no simulado · EXERCÍCIO = só nas listas.
Prioridade: simulado + exercícios
1 Variação no capacitor ★ SIMULADO + EXERCÍCIO
? C0 = C1 + C2·C3/(C2 + C3). C1 e C2 aumentam 0,1 μF/s; C3 diminui 0,1 μF/s. Variação de C0 quando C1 = C2 =
10 e C3 = 15:
✔ 0,12 μF/s
Alternativa → Lista 3, questão 7: letra C · Simulado, questão 8: letra C
C1' = 0,1; C2' = 0,1; C3' = −0,1 ➜ taxas do enunciado (C3 diminui → negativo)
parte 1: C1 ➜ a variação de C1 entra direto: 0,1
parte 2: a fração C2·C3/(C2 + C3) ➜ derivada pronta: (C3²·C2' + C2²·C3') / (C2 + C3)²
C3² = 15² = 225; C2² = 10² = 100 ➜ quadrados
(C2 + C3)² = 25² = 625 ➜ soma ao quadrado
(225 · 0,1 + 100 · (−0,1)) / 625 ➜ troco os valores
(22,5 − 10)/625 = 12,5/625 = 0,02 ➜ conta
0,1 + 0,02 = 0,12 ➜ somo as duas partes
✔✔ Conferindo: 12,5 ÷ 625: 625 × 0,02 = 12,5. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. O C1 entra direto: +0,1.
2. Fração: (225 × 0,1 − 100 × 0,1)/625 = (22,5 − 10)/625 = 12,5/625.
3. 625 × 2 = 1.250, então 12,5 é 2 centésimos de 625 → 0,02.
4. 0,1 + 0,02 = 0,12.
⚠ Onde trava: Esquecer que C3 diminui (taxa negativa).
2 Energia cinética ★ SIMULADO + EXERCÍCIO
? A energia cinética é k = ½mv2. Determine a expressão da taxa de variação de k com o tempo.
✔ dk/dt = m · v · a
Alternativa → Lista 3, questão 9: letra E · Simulado, questão 9: letra E
derivo em relação ao tempo ➜ m é constante; v muda com o tempo
v2 → 2v · dv/dt ➜ tombo + cadeia (v depende do tempo)
½ · m · 2v · dv/dt ➜ o ½ que estava na frente continua
½ · 2 = 1 ➜ o ½ corta com o 2
dv/dt = a ➜ variação da velocidade é a aceleração
dk/dt = m · v · a ➜ resposta
✔✔ Conferindo: Não sobrou ½ nem v²: só m · v · a (alternativa E). ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Derivo ½mv²: o 2 do expoente desce e corta o ½ → m·v.
2. Multiplico pela derivada da velocidade, que é a aceleração → m·v·a.
⚠ Onde trava: Marcar m · v · a / 2.
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3 Região entre curvas ★ SIMULADO + EXERCÍCIO
? Calcule a área limitada por cima por g(x) = 8√x e por baixo por f(x) = x2, x ≥ 0.
✔ 64/3
Alternativa → Lista 5, questão 1: letra D · Simulado, questão 3: letra D
onde as curvas se encontram? ➜ x2 = 8√x → testo x = 4: 16 = 8 · 2 ✔; e x = 0
área = ∫ (cima − baixo) de 0 a 4 ➜ ∫ (8√x − x2) dx
8√x = 8x1/2 → 8x3/2/(3/2) = (16/3)x3/2 ➜ tombo ao contrário
x2 → x3/3 ➜ tombo ao contrário
x = 4: (16/3) · 43/2 − 43/3 ➜ 43/2 = (√4)³ = 8; 4³ = 64
128/3 − 64/3 = 64/3 ➜ resposta (alternativa D)
✔✔ Conferindo: 64/3 ≈ 21,3. Um retângulo 4 × 16 tem 64; a área é bem menor, faz sentido. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Encontro: testo x = 4 → 4² = 16 e 8√4 = 16. Batem → de 0 a 4.
2. 8√x integrado: (16/3)x√x; em 4 → 16/3 × 8 = 128/3.
3. x² integrado: x³/3; em 4 → 64/3.
4. 128/3 − 64/3 = 64/3.
⚠ Onde trava: Fazer baixo − cima.
4 Valor no ponto ★ SIMULADO + EXERCÍCIO
? f(x, y, z) = ln(x2 + y2 − z2). O valor no ponto (√2, −√2, √3) é:
✔ 0
Alternativa → Lista 6, questão 2: letra E · Simulado, questão 1: letra E
x = √2, y = −√2, z = √3 ➜ leio o ponto na ordem (x, y, z)
x2 = (√2)2 = 2 ➜ quadrado desfaz a raiz
y2 = (−√2)2 = 2 ➜ menos ao quadrado vira mais
z2 = (√3)2 = 3 ➜ quadrado desfaz a raiz
2 + 2 − 3 = 1 ➜ conta de dentro do ln
ln 1 = 0 ➜ resposta (letra E)
✔✔ Conferindo: ln 1 = 0 porque e⁰ = 1. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Elevo cada um ao quadrado: (√2)² = 2, (−√2)² = 2, (√3)² = 3.
2. 2 + 2 − 3 = 1.
3. ln 1 = 0.
⚠ Onde trava: Achar que (−√2)² = −2.
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5 Derivadas parciais no ponto ★ SIMULADO + EXERCÍCIO
? P(x, y) = −0,02x2 − 15y2 + xy + 39x + 25y − 20.000. Calcule as derivadas parciais em (4.000, 150).
✔ Px = 29; Py = −475
Alternativa → Lista 6, questão 8: letra C · Simulado, questão 6: letra C
Px: derivo só o x ➜ o y fica parado, como se fosse número
−0,02x2 → −0,04x; xy → y; 39x → 39 ➜ −15y², 25y e −20.000 não têm x: somem
Px = −0,04 · 4.000 + 150 + 39 ➜ x = 4.000 e y = 150
−160 + 150 + 39 = 29 ➜ Px
Py: −15y2 → −30y; xy → x; 25y → 25 ➜ agora o x fica parado
Py = −30 · 150 + 4.000 + 25 ➜ troco
−4.500 + 4.000 + 25 = −475 ➜ Py (letra C)
✔✔ Conferindo: Px positivo (29) e Py negativo (−475): só a alternativa C tem os dois sinais assim. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Px = −0,04x + y + 39: 4% de 4.000 = 160 → −160 + 150 + 39 = 29.
2. Py = −30y + x + 25: 30 × 150 = 4.500 → −4.500 + 4.000 + 25 = −475.
3. Procuro 29 e −475.
⚠ Onde trava: Trocar x e y de lugar.
Limites
6 Limite no infinito EXERCÍCIO
? Calcule a assíntota horizontal: lim (x → ∞) de (2x2 + x − 5) / (3x2 − 7x + 2).
✔ 2/3
Alternativa → Lista 1, questão 1: letra E
x → ∞ ➜ o x vai ficando gigante: 10, 1.000, 1 milhão...
em cima, quem manda é 2x2 ➜ com x = 1.000: 2x2 = 2.000.000, x = 1.000, 5 = 5. Os outros viram "migalha"
embaixo, quem manda é 3x2 ➜ mesma ideia: −7x e +2 ficam pequenos demais
sobra 2x2 / 3x2 ➜ o x2 de cima corta com o x2 de baixo
= 2/3 ➜ sobram só os números da frente
✔✔ Conferindo: Faço com x = 1.000: em cima 2.000.995, embaixo 2.993.002. Divido: ≈ 0,668 ≈ 2/3. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Olho só o termo de maior expoente em cima (2x²) e embaixo (3x²).
2. Os expoentes são iguais (2 e 2)? Então a resposta é a divisão dos números da frente: 2 ÷ 3 = 2/3.
3. Guardo a regra: expoente de cima maior → ∞; expoente de baixo maior → 0; iguais → divide os números.
⚠ Onde trava: Responder 0 ou ∞ (isso só acontece quando os expoentes dos chefes são diferentes).
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7 Função contínua EXERCÍCIO
? Para uma função f ser contínua em x = x₀, quais condições devem ser satisfeitas?
✔ f(x₀) ser definida e o lim (x → x₀) f(x) existir e ser igual a f(x₀)
Alternativa → Lista 1, questão 2: letra B
penso no desenho ➜ contínua = desenho sem tirar o lápis do papel
1º: o ponto existe? ➜ f(x₀) tem que ter valor (sem buraco)
2º: o limite existe? ➜ chegando pela esquerda e pela direita, vou para o mesmo lugar
3º: são iguais? ➜ o lugar para onde a curva vai é exatamente o ponto
✔✔ Conferindo: Procuro a alternativa que tem as 3 coisas juntas: "definida" + "limite existe" + "igual". ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Penso no lápis: dá para desenhar sem tirar do papel?
2. Para isso preciso de 3 coisas: o ponto existir (definida), a curva chegar nele (limite existe) e chegar exatamente nele
(igual).
3. Procuro a alternativa que fala das 3 juntas.
⚠ Onde trava: Marcar alternativa que fala de derivada ou de função linear.
8 Substituição direta EXERCÍCIO
? Polinômios são contínuos. Determine lim (x → 2) de (3x2 − 5x + 4).
✔ 6
Alternativa → Lista 1, questão 3: letra B
é polinômio? ➜ sim (só x com expoentes e números): posso trocar x por 2 direto
3 · 22 ➜ primeiro a potência: 2² = 4; depois 3 × 4 = 12
5 · 2 = 10 ➜ segundo termo
12 − 10 + 4 ➜ monto a conta com os sinais
= 6 ➜ resposta
✔✔ Conferindo: Refaço: 12 − 10 = 2; 2 + 4 = 6. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Troco x por 2 começando pela potência: 2² = 4.
2. 3 × 4 = 12 e 5 × 2 = 10.
3. 12 − 10 = 2; 2 + 4 = 6.
⚠ Onde trava: Fazer (3 · 2)² = 36 em vez de 3 · 2².
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9 Limite com raiz EXERCÍCIO
? Assinale o valor de lim (x → 1⁺) de (√x − 1) / (x − 1).
✔ 1/2
Alternativa → Lista 1, questão 4: letra B
tento trocar x por 1 ➜ (√1 − 1)/(1 − 1) = 0/0 → conta "travada", preciso de truque
olho o de baixo: x − 1 ➜ x é o mesmo que (√x)², então x − 1 = (√x)² − 1²
(√x)² − 1² = (√x − 1)(√x + 1) ➜ diferença de quadrados, como 9 − 1 = (3 − 1)(3 + 1)
(√x − 1) / [(√x − 1)(√x + 1)] ➜ reescrevo a fração
corto (√x − 1) ➜ aparece em cima e embaixo
1 / (√x + 1) ➜ agora troco x por 1: 1/(1 + 1) = 1/2
✔✔ Conferindo: Calculadora: x = 1,01 → (1,005 − 1)/(0,01) = 0,5. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Escolho umnúmero perto de 1 com raiz fácil: 1,21 (porque √1,21 = 1,1).
2. Em cima: 1,1 − 1 = 0,1. Embaixo: 1,21 − 1 = 0,21.
3. 0,1 ÷ 0,21 ≈ 0,48, quase 0,5 → 1/2.
4. Atalho: depois de cortar sobra 1/(√x + 1) → 1/(1 + 1) = 1/2.
⚠ Onde trava: Parar no 0/0 e responder 0.
10 Limite com raiz (truque da letra) EXERCÍCIO
? O valor de lim (x → 4) de (x − 4) / (x − √x − 2) é:
✔ 4/3
Alternativa → Lista 1, questão 5: letra E
troco x por 4 ➜ (4 − 4)/(4 − 2 − 2) = 0/0 → travou
dou apelido: a = √x ➜ então x = a2; e quando x = 4, a = √4 = 2
(a2 − 4) / (a2 − a − 2) ➜ reescrevo a conta só com a letra a
em cima: a2 − 4 = (a − 2)(a + 2) ➜ diferença de quadrados
embaixo: a2 − a − 2 = (a − 2)(a + 1) ➜ dois números que multiplicam −2 e somam −1: −2 e +1
corto (a − 2) ➜ sobra (a + 2)/(a + 1)
(2 + 2)/(2 + 1) = 4/3 ➜ troco a por 2
✔✔ Conferindo: Calculadora: x = 4,01 → 0,01 / (4,01 − 2,0025 − 2) ≈ 0,01/0,0075 ≈ 1,33 = 4/3. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Depois do truque, a conta vira (√x + 2)/(√x + 1).
2. √4 = 2.
3. (2 + 2)/(2 + 1) = 4/3.
⚠ Onde trava: Desistir no 0/0.
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11 Teorema de Leibniz EXERCÍCIO
? Quando a variável tende a zero, o polinômio é equivalente ao seu:
✔ Termo de menor grau
Alternativa → Lista 1, questão 6: letra B
penso num x pequeno: 0,1 ➜ x = 0,1 · x2 = 0,01 · x3 = 0,001
quanto maior o expoente, menor fica ➜ perto de zero, potência grande vira poeira
quem sobra? ➜ o termo de MENOR expoente
no infinito é o contrário ➜ manda o de maior expoente
✔✔ Conferindo: Exemplo: x³ + 5x com x = 0,01 → 0,000001 + 0,05. Quem manda é o 5x (menor grau). ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Imagino x = 0,1: x² = 0,01 e x³ = 0,001 → quanto maior o expoente, menor fica.
2. Então perto do zero quem "aparece" é o de menor grau.
3. Guardo o par: zero → menor grau; infinito → maior grau.
⚠ Onde trava: Marcar "termo de maior grau".
12 Assíntota vertical EXERCÍCIO
? A reta x = p é assíntota vertical do gráfico de f(x) quando:
✔ Ao menos um dos limites laterais em p resulta em +∞ ou −∞
Alternativa → Lista 1, questão 7: letra C
assíntota vertical = parede em pé ➜ a curva chega perto e dispara
"chega perto de p" ➜ é o limite com x → p
"dispara" ➜ o resultado vai para +∞ ou −∞
basta UM lado ➜ esquerda OU direita já basta
✔✔ Conferindo: Exemplo: 1/x perto de 0 vai para +∞ pela direita → x = 0 é assíntota vertical. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Assíntota vertical = parede em pé no x = p.
2. Parede acontece quando o valor explode (vai para ∞) ao chegar perto de p.
3. Procuro a alternativa com limite lateral dando +∞ ou −∞.
⚠ Onde trava: Marcar "f(p) = 0".
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13 Limite com buraco EXERCÍCIO
? f(x) = (x − 1)/(x2 − 1) para x ≠ 1 e f(x) = 3 para x = 1. Determine lim (x → 1) f(x).
✔ 1/2
Alternativa → Lista 1, questão 8: letra C
o limite olha o caminho ➜ uso a fórmula de x ≠ 1, não o valor 3
troco x por 1 ➜ 0/0 → preciso de truque
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) ➜ diferença de quadrados
corto (x − 1) ➜ sobra 1/(x + 1)
1/(1 + 1) = 1/2 ➜ agora troco x por 1
✔✔ Conferindo: x = 1,01 → 0,01/0,0201 ≈ 0,497 ≈ 1/2. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Vejo x² − 1 e lembro que é (x − 1)(x + 1).
2. Corto o (x − 1): sobra 1/(x + 1).
3. Troco x = 1: 1/2. O valor 3 do ponto não entra.
⚠ Onde trava: Responder 3.
14 Propriedades do limite EXERCÍCIO
? lim f(x) = 4, lim g(x) = −2 e lim h(x) = 0 (x → a). Qual é lim de 1/[f(x) + g(x)]2?
✔ 1/4
Alternativa → Lista 1, questão 9: letra A
posso trocar cada limite pelo seu
valor
➜ regra das propriedades
f → 4 e g → −2 ➜ pego esses números do enunciado
4 + (−2) = 2 ➜ soma dentro do colchete
22 = 4 ➜ eleva ao quadrado
1/4 ➜ o 1 dividido pelo resultado
e o h? ➜ nem aparece na conta: está lá só para confundir
✔✔ Conferindo: Refaço: [4 − 2]² = 4 → 1/4 = 0,25. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Troco: f + g = 4 + (−2) = 2.
2. Elevo ao quadrado: 2 × 2 = 4.
3. Um sobre isso: 1/4. O h não aparece na conta.
⚠ Onde trava: Usar o h = 0 e achar que é divisão por zero.
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15 Assíntotas de x + 1/x^2 EXERCÍCIO
? Sobre f(x) = x + 1/x2, definida de R* em R, podemos afirmar que f:
✔ Possui uma única assíntota inclinada
Alternativa → Lista 1, questão 10: letra D
olho perto de x = 0 ➜ 1/x2 = 1/0,0001 = 10.000 → explode: tem parede (vertical) em x = 0
olho no infinito ➜ 1/x2 vira migalha (1/1.000.000)
sobra f ≈ x ➜ a curva fica colada na reta y = x
y = x é inclinada ➜ e só existe uma reta assim
alternativa oficial ➜ "possui uma única assíntota inclinada"
✔✔ Conferindo: x = 100 → f = 100,0001, quase igual a 100. A curva gruda em y = x. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Onde o de baixo zera? x² = 0 → x = 0 → uma parede vertical.
2. O que sobra com x enorme? 1/x² some, sobra y = x → uma reta inclinada.
3. Escolho a oficial: "uma única assíntota inclinada".
⚠ Onde trava: Marcar "duas verticais" (só x = 0 zera o denominador).
16 Limites laterais SIMULADO
? h(x) = 3ex−1 − 1 (x ≤ 1); 8 (x = 1); 2 + ln x (x > 1). Calcule lim (x → 1) h(x) pelos limites laterais.
✔ 2
Alternativa → Simulado, questão 5: letra B
limite lateral esquerdo ➜ uso a fórmula de x ≤ 1: 3e^(x−1) − 1
troco x por 1: 3e0 − 1 ➜ 1 − 1 = 0, e e0 = 1 (todo número elevado a 0 dá 1)
3 · 1 − 1 = 2 ➜ esquerda dá 2
limite lateral direito ➜ uso a fórmula de x > 1: 2 + ln x
2 + ln 1 = 2 + 0 = 2 ➜ ln 1 = 0 sempre
esquerda = direita = 2 ➜ limite existe e vale 2; o 8 é só o ponto e não muda o limite
✔✔ Conferindo: Os dois lados deram o mesmo número (2). ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Esquerda: em 3e^(x−1) − 1 troco x = 1: o expoente vira 0 e e⁰ = 1 → 3 − 1 = 2.
2. Direita: 2 + ln 1, e ln 1 = 0 → 2.
3. Os dois lados deram 2 → limite 2.
⚠ Onde trava: Responder 8.
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17 Pontos de descontinuidade SIMULADO
? f(x) = x/(x2 + 1), g(x) = x/(x2 − 1) e h(x) = 1/√x. Pontos de descontinuidade, respectivamente:
✔ nenhum; +1 e −1; x ≤ 0
Alternativa → Simulado, questão 10: letra B
procuro o que "quebra" a conta ➜ divisão por zero e raiz de negativo
f: x2 + 1 = 0? ➜ x2 nunca é negativo, então x2 + 1 é no mínimo 1 → nunca quebra: nenhum
g: x2 − 1 = 0? ➜ x2 = 1 → x = 1 ou x = −1
h: √x embaixo ➜ raiz de negativo não existe e √0 = 0 daria divisão por zero
h quebra em x ≤ 0 ➜ zero e negativos
✔✔ Conferindo: Teste: g(1) = 1/0 ✖; h(−4) = 1/√−4 ✖; f(5) = 5/26 funciona ✔.
☁ De cabeça, passo a passo:
1. f: x² + 1 vale no mínimo 1 → nunca zera → nenhum ponto.
2. g: x² − 1 zera quando x² = 1 → x = 1 ou x = −1.
3. h: raiz embaixo só aceita positivo → quebra em x ≤ 0.
4. Procuro "nenhum; +1 e −1; x ≤ 0".
⚠ Onde trava: Achar que x² + 1 pode dar zero.
Derivadas: regras e cálculos
18 Regra do tombo EXERCÍCIO
? Determine a taxa de crescimento de f(x) = x3 + 4x2 + 2 no ponto x = 2.
✔ 28
Alternativa → Lista 2, questão 1: letra E
taxa de crescimento = derivada ➜ então primeiro acho f'(x)
x3 → 3x2 ➜ regra do tombo: o 3 desce para a frente e o expoente diminui 1
4x2 → 8x ➜ o 2 desce e multiplica o 4 (= 8); expoente vira 1
2 → 0 ➜ número sozinho não varia, some
f'(x) = 3x2 + 8x ➜ derivada pronta
3 · 22 + 8 · 2 ➜ troco x por 2 NA DERIVADA
12 + 16 = 28 ➜ resposta
✔✔ Conferindo: Taxa média de 2 a 2,01: f(2,01) − f(2) ≈ 0,28; ÷ 0,01 = 28. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Derivo cada termo com o tombo: x³ → 3x²; 4x² → 8x; o 2 some.
2. Troco x = 2: 3 × 4 = 12 e 8 × 2 = 16.
3. 12 + 16 = 28.
⚠ Onde trava: Trocar x por 2 na função original (dá 26).
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19 Segunda derivada EXERCÍCIO
? f(x) = sen(4x2). Calcule a segunda derivada de f.
✔ −64sen(4x2)x2 + 8cos(4x2)
Alternativa → Lista 2, questão 2: letra A
1ª derivada (cadeia) ➜ derivo o "de fora" e multiplico pela derivada do "de dentro"
sen(...) → cos(4x2) ➜ fora: seno vira cosseno
4x2 → 8x ➜ dentro: tombo
f' = 8x · cos(4x2) ➜ junto
2ª derivada (produto) ➜ tenho 8x vezes cos(...): uso a regra do produto
(8x)' · cos = 8cos(4x2) ➜ derivo o 1º e mantenho o 2º
8x · [cos(4x2)]' = 8x · (−sen(4x2) · 8x) ➜ mantenho o 1º e derivo o 2º(cos vira −sen, vezes 8x de dentro)
= −64x2sen(4x2) ➜ 8 × 8 = 64 e x × x = x²
✔✔ Conferindo: A resposta tem dois pedaços: um com cos (8cos) e um com −sen (−64x²sen). Bate com a alternativa A.
✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Sei que a 2ª derivada de sen(algo) tem 2 pedaços: um com −sen e um com cos.
2. Número do −sen: (8x) × (8x) = 64x² → −64x²sen(4x²).
3. Número do cos: a derivada de 8x é 8 → 8cos(4x²).
4. Procuro a alternativa com −64 e +8.
⚠ Onde trava: Esquecer o sinal de menos.
20 Regra da cadeia (boneca russa) EXERCÍCIO
? A derivada de f(x) = cos5(x6) vale:
✔ f'(x) = −30x5 cos4(x6) · sen(x6)
Alternativa → Lista 2, questão 3: letra E
vejo 3 camadas ➜ (potência 5) de (cosseno) de (x6)
camada de fora: ( )5 ➜ tombo: 5 · cos4(x6)
camada do meio: cos ➜ derivada do cos é −sen: −sen(x6)
camada de dentro: x6 ➜ tombo: 6x5
multiplico as 3 ➜ 5 · (−1) · 6 = −30 → −30x5cos4(x6)sen(x6)
✔✔ Conferindo: Conto as peças da resposta: −30 (5 × 6 com menos), x⁵, cos⁴, sen. Tudo presente. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Conto as camadas: potência 5, cosseno, x⁶.
2. Números que caem: 5 (da potência) e 6 (do x⁶) → 5 × 6 = 30.
3. Sinal: cosseno derivado vira −sen → menos.
4. Expoentes que sobram: cos⁴ (5 − 1) e x⁵ (6 − 1) → −30x⁵cos⁴(x⁶)sen(x⁶).
⚠ Onde trava: Esquecer a camada de dentro (6x5).
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 11
21 Regra da cadeia em um ponto EXERCÍCIO
? Determine a derivada de f(x) = sen(cos x) + cos(sen x) no ponto x = π.
✔ 0
Alternativa → Lista 2, questão 4: letra A
derivo sen(cos x) ➜ fora: cos(cos x); dentro: (cos x)' = −sen x
derivo cos(sen x) ➜ fora: −sen(sen x); dentro: (sen x)' = cos x
f' = cos(cos x)(−sen x) − sen(sen
x)cos x
➜ junto os dois
troco x por π ➜ sen π = 0 e cos π = −1
1º pedaço: ... · (−sen π) = ... · 0 = 0 ➜ qualquer coisa vezes zero
2º pedaço: −sen(sen π) · cos π =
−sen(0) · (−1) = 0
➜ sen 0 = 0
0 + 0 = 0 ➜ resposta
✔✔ Conferindo: Os dois pedaços têm "sen π" ou "sen 0" multiplicando, e os dois valem 0. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Decoro: sen π = 0 e cos π = −1.
2. Na derivada, cada pedaço aparece multiplicado por sen π ou por sen(sen π) = sen 0 = 0.
3. Tudo vezes zero dá 0.
⚠ Onde trava: Achar que cos π = 1.
22 Regra do quociente EXERCÍCIO
? Calcule a derivada de f(x) = x / sen(x).
✔ (sen(x) − x·cos(x)) / sen2(x)
Alternativa → Lista 2, questão 5: letra A
é uma divisão ➜ uso a regra do quociente
u = x (cima); v = sen x (baixo) ➜ dou nome às partes
u' = 1; v' = cos x ➜ derivo cada uma
(u'·v − u·v') / v2 ➜ fórmula
(1 · sen x − x · cos x) / sen2x ➜ troco as letras
✔✔ Conferindo: A ordem importa: começa com o de BAIXO (sen x), e tem o menos no meio. Igual à alternativa A. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Repito a frase: "baixo × derivada de cima − cima × derivada de baixo, sobre baixo²".
2. Baixo (sen x) × derivada de cima (1) = sen x.
3. Cima (x) × derivada de baixo (cos x) = x cos x.
4. Monto: (sen x − x cos x)/sen²x.
⚠ Onde trava: Inverter a ordem (x·cos x − sen x).
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 12
23 Onde a função é derivável EXERCÍCIO
? No gráfico de g(x): em x = 3 é descontínua, em x = 4 não é definida e em x = 5 as derivadas laterais são
diferentes. Qual intervalo é derivável?
✔ ]4, 5[
Alternativa → Lista 2, questão 6: letra B
pontos "ruins" ➜ 3 (salto), 4 (buraco) e 5 (bico)
o intervalo não pode ter nenhum
deles
➜ nem nas pontas fechadas
]4, 5[ ➜ colchete virado para fora = aberto: não inclui 4 nem 5 → ✔
[5, 8] e ]4, 6] ➜ incluem o 5
[3, 5[ e ]2, 4[ ➜ incluem o 3
✔✔ Conferindo: Testo um ponto de dentro, 4,5: não é 3, 4 nem 5. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Anoto os pontos ruins: 3, 4 e 5.
2. Em cada alternativa vejo se algum deles está dentro (colchete [ ou ] fechado inclui o ponto).
3. ]4, 5[ é aberto nas duas pontas → não pega nenhum → certa.
⚠ Onde trava: Não perceber que [ inclui o ponto.
24 Regra do produto EXERCÍCIO
? Determine a derivada de f(x) = x · ln x no ponto de abscissa x = 1.
✔ 1
Alternativa → Lista 2, questão 7: letra B
é multiplicação de x por ln x ➜ regra do produto
(x)' · ln x = 1 · ln x ➜ derivo o 1º, mantenho o 2º
x · (ln x)' = x · 1/x = 1 ➜ mantenho o 1º, derivo o 2º (ln x vira 1/x)
f'(x) = ln x + 1 ➜ somo
ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1 ➜ troco x por 1; ln 1 = 0
✔✔ Conferindo: O gráfico do gabarito mostra a reta tangente a 45°: inclinação 1. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Produto: 1 × ln x + x × (1/x).
2. x × 1/x = 1 → f' = ln x + 1.
3. ln 1 = 0 → 0 + 1 = 1.
⚠ Onde trava: Esquecer o +1 e responder 0.
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 13
25 Colar dois pedaços EXERCÍCIO
? h(x) = px2 + 2 se x· pág. 15
Derivadas: aplicações
29 Mínimo local EXERCÍCIO
? g(x) é contínua; em x 1 é crescente. Pode-se concluir que:
✔ x = 1 é um ponto de mínimo local de g(x)
Alternativa → Lista 3, questão 1: letra A
antes de 1: decrescente ➜ o gráfico desce
depois de 1: crescente ➜ o gráfico sobe
desce e depois sobe ➜ x = 1 é o fundo do vale = mínimo
✔✔ Conferindo: Desenho um "V": desce, toca o fundo em 1, sobe. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Desenho uma setinha descendo (antes de 1) e uma subindo (depois de 1).
2. Forma um "V" → fundo do vale.
3. Fundo = mínimo.
⚠ Onde trava: Marcar máximo.
30 Máximo e mínimo global EXERCÍCIO
? Determine os pontos de máximo e mínimo global, respectivamente, de f(x) = √(9 − x2) com x ∈ [−2, 1].
✔ 0 e −2 (máximo em x = 0; mínimo em x = −2)
Alternativa → Lista 3, questão 2: letra B
candidatos ➜ as pontas do intervalo (−2 e 1) e o "topo" da curva (x = 0)
x = 0 ➜ √(9 − 0) = √9 = 3
x = −2 ➜ √(9 − 4) = √5 ≈ 2,24
x = 1 ➜ √(9 − 1) = √8 ≈ 2,83
maior = 3 (x = 0) ➜ máximo global
menor = √5 (x = −2) ➜ mínimo global
✔✔ Conferindo: Ordem: 2,24 (x = −2) 0.
✔ A asserção I está incorreta e a II está correta
Alternativa → Lista 3, questão 6: letra D
I: derivada negativa ➜ significa que DESCE → I diz "crescente": errada
II: 2ª derivada positiva ➜ concavidade para cima (sorriso) → certa
procuro "I incorreta e II correta" ➜ alternativa D
✔✔ Conferindo: Lembro: 1ª derivada = sobe/desce; 2ª derivada = sorriso/careta. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Leio a I: "derivada negativa → crescente". Negativa é descendo → errada.
2. Leio a II: "2ª derivada positiva → concavidade para cima" → certa.
3. Procuro "I incorreta e II correta".
⚠ Onde trava: Achar que derivada negativa é crescente.
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 18
35 Mínimo de e^x / x EXERCÍCIO
? f(x) = ex/x admite um mínimo local. Determine o ponto onde isso ocorre.
✔ (1; e)
Alternativa → Lista 3, questão 8: letra D
mínimo: f' = 0 ➜ acho a derivada
f' = (ex·x − ex·1)/x2 ➜ quociente: baixo × derivada de cima − cima × derivada de baixo
f' = ex(x − 1)/x2 ➜ coloco eˣ em evidência
zera quando x − 1 = 0 ➜ eˣ nunca é zero → x = 1
f(1) = e¹/1 = e ➜ troco x = 1 na função para achar o y
ponto (1; e) ➜ resposta
✔✔ Conferindo: x = 0,5: f' negativa (desce); x = 2: f' positiva (sobe) → mínimo. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Em eˣ/x, a derivada zera quando x − 1 = 0 → x = 1.
2. Valor: e¹ ÷ 1 = e.
3. Ponto (1; e).
⚠ Onde trava: Responder (1; 1/e).
36 Reta pela origem EXERCÍCIO
? Determine a equação da reta normal a y = x√(9 + x2) e a origem.
✔ y = 3x (resposta oficial do gabarito)
Alternativa → Lista 3, questão 10: letra D
preciso da inclinação no ponto (0, 0) ➜ derivada
produto: (x)'·√(9 + x2) + x·(√(9 + x2))' ➜ 1º termo: 1 · √(9 + x²)
x = 0 ➜ √9 + 0 · (...) = 3
reta pela origem com inclinação 3 ➜ y − 0 = 3(x − 0) → y = 3x
✔✔ Conferindo: A reta passa na origem: x = 0 → y = 0 ✔.
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Na origem x = 0: o pedaço com x some.
2. Sobra √(9 + 0) = √9 = 3 → inclinação 3.
3. Passa pela origem → y = 3x (gabarito oficial).
⚠ Onde trava: A "normal de livro" teria inclinação −1/3, mas o gabarito oficial marca y = 3x (letra D). Na prova, marque D.
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 19
Integrais: técnicas
37 Integral pedaço por pedaço EXERCÍCIO
? Determine ∫ (2sec2y + 3/(1 + y2) + 2y) dy.
✔ 2tg y + 3arctg y + y2 + k, k real
Alternativa → Lista 4, questão 1: letra A
integro cada pedaço separado ➜ pergunto: "quem, derivado, dá isso?"
2sec2y ➜ derivada de tg y é sec2y → 2tg y
3/(1 + y2) ➜ derivada de arctg y é 1/(1 + y2) → 3arctg y
2y ➜ derivada de y2 é 2y → y2
+ k ➜ integral indefinida sempre ganha + k
✔✔ Conferindo: Derivo a resposta: 2sec²y + 3/(1 + y²) + 2y. Voltou à pergunta. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Em cada pedaço pergunto: "quem, derivado, dá isso?".
2. sec² → tg; 1/(1 + y²) → arctg; 2y → y².
3. Mantenho os números da frente: 2tg y + 3arctg y + y² + k.
⚠ Onde trava: Confundir arctg com arcsen.
38 Completar quadrado EXERCÍCIO
? Calcule ∫ de 0 a 1 de 1/(4x2 − 4x + 5) dx.
✔ (1/(2√5)) · arctg(1/√5) (resposta oficial, letra E)
Alternativa → Lista 4, questão 2: letra E
4x2 − 4x + 1 = (2x − 1)2 ➜ completo o quadrado: (2x − 1)² dá 4x² − 4x + 1
4x2 − 4x + 5 = (2x − 1)2 + 4 ➜ o 5 é 1 + 4
u = 2x − 1 ➜ x = 0 → u = −1; x = 1 → u = 1
formato 1/(u2 + número) ➜ esse formato sempre dá arctg
resposta oficial ➜ fração com √5 na frente e arctg(1/√5)
✔✔ Conferindo: Pelo formato: só uma alternativa tem "1/(2√5)" na frente e "1/√5" dentro do arctg: a E. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Vejo 4x² − 4x + 5 e sei que vira (2x − 1)² + 4 → formato de arctg.
2. Elimino as alternativas sem arctg ou com outra forma.
3. Fico com a oficial: 1/(2√5) · arctg(1/√5), letra E.
⚠ Onde trava: Os passos do próprio gabarito são confusos: decore a letra E.
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 20
39 Integral definida com cosseno EXERCÍCIO
? Determine o valor de ∫ de 0 a π/3 de (3 + cos(3x)) dx.
✔ π
Alternativa → Lista 4, questão 3: letra B
separo em 2 integrais ➜ ∫3 dx + ∫cos(3x) dx
∫3 dx = 3x ➜ número vira número vezes x
∫cos(3x) dx = sen(3x)/3 ➜ cos vira sen e divido pelo 3 de dentro
em x = π/3 ➜ 3 · π/3 +sen(π)/3 = π + 0 = π
em x = 0 ➜ 0 + sen(0)/3 = 0
π − 0 = π ➜ fim − começo
✔✔ Conferindo: Derivo sen(3x)/3: cos(3x) · 3 / 3 = cos(3x). ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. ∫3 de 0 a π/3 = 3 × π/3 = π.
2. ∫cos 3x vira sen 3x/3; em π/3 dá sen π = 0 e em 0 dá 0 → não soma nada.
3. Total: π.
⚠ Onde trava: Esquecer de dividir por 3.
40 Substituição (u) EXERCÍCIO
? Determine o valor de ∫ sen3(t) cos(t) dt.
✔ sen4(t)/4 + k
Alternativa → Lista 4, questão 4: letra A
vejo sen e cos juntos ➜ cos é a derivada do sen: dá para substituir
u = sen t ➜ apelido
du = cos t dt ➜ o "cos t dt" da conta vira du
∫u3 du ➜ a conta ficou simples
u4/4 ➜ tombo ao contrário: expoente +1 e divide por ele
sen4t / 4 + k ➜ volto u para sen t
✔✔ Conferindo: Derivo: 4sen³t · cos t / 4 = sen³t cos t. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. sen e cos juntos → a resposta é uma potência de sen.
2. O expoente 3 vira 4 e divido por 4.
3. sen⁴t/4 + k.
⚠ Onde trava: Esquecer de dividir por 4.
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 21
41 Integral definida de potências EXERCÍCIO
? Calcule a integral definida de f(x) = x2 + 3x − 2 de 0 a 2.
✔ 4,67
Alternativa → Lista 4, questão 5: letra B
x2 → x3/3 ➜ tombo ao contrário: +1 no expoente e divide
3x → 3x2/2 ➜ mesma regra
−2 → −2x ➜ número vira número vezes x
troco x = 2 ➜ 23/3 + 3 · 22/2 − 2 · 2 = 8/3 + 6 − 4
8/3 ≈ 2,67 ➜ 2,67 + 2 = 4,67
troco x = 0 ➜ tudo dá 0 → 4,67 − 0
✔✔ Conferindo: Derivo x³/3 + 3x²/2 − 2x: x² + 3x − 2. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Integro: x³/3 + 3x²/2 − 2x.
2. Em x = 2: 8/3 ≈ 2,67; 3 × 4 ÷ 2 = 6; 2 × 2 = 4.
3. 2,67 + 6 − 4 = 4,67.
⚠ Onde trava: Derivar em vez de integrar.
42 Frações parciais (truque da tampa) EXERCÍCIO
? Usando frações parciais, indique a integral de f(x) = 4x2/((x − 1)(x − 2)(x − 3)).
✔ ln[(x − 1)2(x − 3)18/(x − 2)16] + k
Alternativa → Lista 4, questão 6: letra E
quebro em 3 frações ➜ A/(x − 1) + B/(x − 2) + C/(x − 3)
A: tampo (x − 1) e troco x = 1 ➜ 4 · 1²/((1 − 2)(1 − 3)) = 4/((−1)(−2)) = 4/2 = 2
B: tampo (x − 2) e troco x = 2 ➜ 4 · 4/((2 − 1)(2 − 3)) = 16/(1 · (−1)) = −16
C: tampo (x − 3) e troco x = 3 ➜ 4 · 9/((3 − 1)(3 − 2)) = 36/2 = 18
∫ A/(x − a) = A · ln(x − a) ➜ 2ln(x − 1) − 16ln(x − 2) + 18ln(x − 3)
número na frente do ln vira expoente ➜ positivos em cima, negativo (−16) embaixo
✔✔ Conferindo: Somo as frações com x = 0: 2/(−1) − 16/(−2) + 18/(−3) = −2 + 8 − 6 = 0, igual a f(0) = 0. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Tampa no 1: em cima 4 × 1 = 4; resto (1 − 2)(1 − 3) = (−1)(−2) = 2 → 4 ÷ 2 = 2.
2. Tampa no 2: em cima 4 × 4 = 16; resto (1)(−1) = −1 → −16.
3. Tampa no 3: em cima 4 × 9 = 36; resto (2)(1) = 2 → 18.
4. Números viram expoentes: positivos em cima, negativo embaixo → (x − 1)²(x − 3)¹⁸/(x − 2)¹⁶.
⚠ Onde trava: Colocar o 16 em cima.
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 22
43 Integração por partes EXERCÍCIO
? Indique a integral da função f(x) = x2ex.
✔ ex(x2 − 2x + 2) + k
Alternativa → Lista 4, questão 7: letra D
fórmula: ∫u dv = uv − ∫v du ➜ integração por partes
u = x2 (du = 2x dx) ➜ escolho para u quem fica mais simples ao derivar
dv = exdx (v = ex) ➜ eˣ não muda
x2ex − ∫2x exdx ➜ aplico a fórmula
∫2x exdx = 2(xex − ex) ➜ partes de novo: u = x, dv = eˣ dx
x2ex − 2xex + 2ex ➜ abro o parêntese com cuidado no sinal
ex(x2 − 2x + 2) + k ➜ coloco eˣ em evidência
✔✔ Conferindo: Derivo: eˣ(x² − 2x + 2) + eˣ(2x − 2) = eˣ · x². ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Sigo derivando o x² até sumir: x² → 2x → 2.
2. Coloco esses termos com sinais alternados: + x², − 2x, + 2.
3. Multiplico por eˣ: eˣ(x² − 2x + 2).
⚠ Onde trava: Errar o +2 no final.
44 Substituição + frações EXERCÍCIO
? Calcule ∫ (3e2x + 2ex) / ((ex − 2)(e2x + 4)) dx.
✔ ln(ex − 2) − ln(e2x + 4)/2 + arctg(ex/2)/2 + k
Alternativa → Lista 4, questão 8: letra D
u = ex ➜ du = exdx; e2x = u2
∫ (3u + 2)/((u − 2)(u2 + 4)) du ➜ a conta vira frações comuns
A/(u − 2) + (Bu + C)/(u2 + 4) ➜ quebro em pedaços
A = 1, B = −1, C = 1 ➜ resolvendo o sistema do gabarito
1/(u − 2) → ln(u − 2) ➜ pedaço 1
−u/(u2 + 4) → −ln(u2 + 4)/2 ➜ pedaço 2 (metade porque a derivada de u² + 4 é 2u)
1/(u2 + 4) → arctg(u/2)/2 ➜ pedaço 3 (fórmula 1/(u² + a²) → arctg(u/a)/a, com a = 2)
troco u por ex ➜ resposta
✔✔ Conferindo: A resposta certa tem os dois "/2" e eˣ − 2 (não − 3 nem − 4): letra D. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Troco eˣ por u e penso em 3 pedaços: ln, ln e arctg.
2. Os pedaços com u² + 4 sempre vêm divididos por 2.
3. A certa tem ln(eˣ − 2) e os dois "/2" → letra D.
⚠ Onde trava: Esquecer os "/2".
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 23
45 Frações parciais simples EXERCÍCIO
? Usando frações parciais, calcule ∫ 8/(4 − x2) dx.
✔ 2(ln(2 + x) − ln(2 − x)) + C
Alternativa → Lista 4, questão 9: letra B
4 − x2 = (2 + x)(2 − x) ➜ diferença de quadrados
1/(4 − x²) = A/(2 + x) + B/(2 − x) ➜ quebro em 2
A: x = −2 → 1/(2 + 2) = 1/4 ➜ tampa
B: x = 2 → 1/(2 + 2) = 1/4 ➜ tampa
8 × 1/4 = 2 ➜ o 8 da frente multiplica cada fração
2ln(2 + x) − 2ln(2 − x) ➜ o menos vem da derivada de (2 − x), que é −1
✔✔ Conferindo: Derivo: 2/(2 + x) + 2/(2 − x) = 2(2 − x + 2 + x)/(4 − x²) = 8/(4 − x²). ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. 4 − x² = (2 + x)(2 − x).
2. Cada fração vale 1/4; o 8 da frente × 1/4 = 2.
3. 2ln(2 + x) − 2ln(2 − x) = 2(ln(2 + x) − ln(2 − x)).
⚠ Onde trava: Esquecer o 2 na frente.
46 Substituição com raiz EXERCÍCIO
? Determine ∫ 3 / raiz cúbica de (4x − 5) dx.
✔ (9/8) · raiz cúbica de (4x − 5)² + k
Alternativa → Lista 4, questão 10: letra A
u = 4x − 5 ➜ apelido para o de dentro
du = 4dx → dx = du/4 ➜ derivo e isolo dx
raiz cúbica embaixo = u−1/3 ➜ raiz vira expoente fração; embaixo vira negativo
3 · (1/4) ∫u−1/3du ➜ o 3 da frente e o 1/4 do dx
u2/3 / (2/3) ➜ tombo ao contrário: −1/3 + 1 = 2/3
3/4 × 3/2 = 9/8 ➜ dividir por 2/3 é multiplicar por 3/2
✔✔ Conferindo: Derivo (9/8)u^(2/3): 9/8 · 2/3 · u^(−1/3) · 4 = 3u^(−1/3). ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Raiz cúbica embaixo = expoente −1/3. Somo 1: −1/3 + 1 = 2/3.
2. Divido por 2/3 → multiplico por 3/2. E divido pelo 4 do 4x.
3. 3 × 3/2 ÷ 4 = 9/8 → (9/8)·∛(4x − 5)².
⚠ Onde trava: Esquecer o 1/4.
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 24
47 Frações com fator repetido SIMULADO
? Determine a família de funções representada por ∫ 36/((x − 1)(x + 5)2) dx.
✔ 6/(x + 5) + ln|x − 1| − ln|x + 5| + k
Alternativa → Simulado, questão 7: letra A
A/(x − 1) + B/(x + 5) + C/(x + 5)2 ➜ fator ao quadrado ganha 2 frações
A: tampo (x − 1), x = 1 ➜ 36/(1 + 5)2 = 36/36 = 1
C: tampo (x + 5)2, x = −5 ➜ 36/(−5 − 1) = 36/(−6) = −6
B = −A = −1 ➜ para não sobrar x² em cima (A + B = 0)
∫1/(x − 1) = ln|x − 1|; ∫−1/(x + 5) =
−ln|x + 5|
➜ pedaços com ln
∫−6/(x + 5)2 = +6/(x + 5) ➜ quadrado embaixo: tombo ao contrário, o sinal troca
✔✔ Conferindo: Alternativa A tem exatamente "6/(x + 5) + ln|x − 1| − ln|x + 5|". ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Tampa em x = 1: 36 ÷ (1 + 5)² = 36 ÷ 36 = 1 → ln|x − 1|.
2. O pedaço simples do (x + 5) tem sinal contrário: −ln|x + 5|.
3. Tampa em x = −5: 36 ÷ (−6) = −6; integrando fica +6/(x + 5).
4. Procuro "6/(x + 5) + ln|x − 1| − ln|x + 5|".
⚠ Onde trava: Escrever 36/(x + 5).
Integrais: áreas e volumes
48 Região que cruza o eixo EXERCÍCIO
? Área da região entre a reta f(x) = 4 − 2x e o eixo x no intervalo 1 ≤ x ≤ 3.
✔ 2
Alternativa → Lista 5, questão 2: letra B
onde a reta cruza o eixo? ➜ 4 − 2x = 0 → x = 2
de 1 a 2: acima do eixo ➜ triângulo: base 1 (de 1 a 2), altura f(1) = 2 → 1 × 2 ÷ 2 = 1
de 2 a 3: abaixo do eixo ➜ triângulo: base 1, altura |f(3)| = 2 → área 1
área nunca é negativa ➜ 1 + 1 = 2
✔✔ Conferindo: Pela integral do gabarito: A1 = 1 e A2 = 1 → 2. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Desenho a reta: em x = 1 vale 2, em x = 2 vale 0, em x = 3 vale −2.
2. São dois triângulos de base 1 e altura 2: cada um 1 × 2 ÷ 2 = 1.
3. 1 + 1 = 2.
⚠ Onde trava: Integrar direto de 1 a 3 (dá 0).
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 25
49 Volume com furo (arruela) EXERCÍCIO
? Região limitada por y = x3, y = 8 e x = 0. Volume ao girar em torno do eixo x = −1.
✔ 216π/5
Alternativa → Lista 5, questão3: letra E
eixo em pé (x = −1) ➜ integro em y, de 0 a 8; preciso de x em função de y
y = x³ → x = raiz cúbica de y ➜ = y1/3
raio de fora = y^(1/3) + 1 ➜ distância da curva até o eixo (que está 1 à esquerda)
raio do furo = 1 ➜ distância do x = 0 até o eixo
V = π∫[(y1/3 + 1)2 − 12] dy ➜ disco grande − furo
= π∫(y2/3 + 2y1/3) dy ➜ abro o quadrado: o +1 cancela com o −1
= π[(3/5)y5/3 + (3/2)y4/3] ➜ tombo ao contrário
y = 8: π[(3/5)·32 + (3/2)·16] ➜ 85/3 = 2⁵ = 32 e 84/3 = 2⁴ = 16
π(96/5 + 24) = π(96/5 + 120/5) =
216π/5
➜ resposta
✔✔ Conferindo: 216/5 = 43,2. O cilindro "maior" possível (raio 3, altura 8) teria 72π; nossa região é menor. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Uso raio de fora (∛y + 1) e furo de raio 1, integrando em y de 0 a 8.
2. Sobra ∫(y^(2/3) + 2y^(1/3)) → em 8: 3/5 × 32 + 3/2 × 16.
3. 3/5 × 32 = 19,2 e 3/2 × 16 = 24 → 43,2.
4. 43,2 = 216/5 → 216π/5.
⚠ Onde trava: Esquecer de tirar o furo.
50 Volume de disco EXERCÍCIO
? Volume do sólido ao girar em torno do eixo x a região sob f(x) = 2ex, 0 ≤ x ≤ 2.
✔ 2π(e4 − 1)
Alternativa → Lista 5, questão 4: letra B
V = π ∫ f2 dx ➜ fórmula do disco: π × raio²
(2ex)2 = 4e2x ➜ 2² = 4 e (eˣ)² = e²ˣ
∫4e2x dx = 2e2x ➜ divido pelo 2 do expoente: 4/2 = 2
x = 2: 2e4; x = 0: 2e0 = 2 ➜ e⁰ = 1
π(2e4 − 2) = 2π(e4 − 1) ➜ coloco o 2 em evidência
✔✔ Conferindo: Derivo 2e^(2x): 4e^(2x). ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Elevo ao quadrado: (2eˣ)² = 4e²ˣ.
2. Integro dividindo pelo 2 do expoente → 2e²ˣ.
3. Em 2: 2e⁴; em 0: 2 → 2(e⁴ − 1), vezes π.
⚠ Onde trava: Não elevar ao quadrado (e2 no lugar de e4).
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 26
51 Volume entre duas parábolas EXERCÍCIO
? Volume gerado pela rotação da região limitada por f(x) = x2 e g(x) = 2 − x2, x ∈ [−1, 1].
✔ 16π/3
Alternativa → Lista 5, questão 5: letra A
onde se encontram? ➜ x2 = 2 − x2 → 2x2 = 2 → x = ±1
quem está por fora? ➜ g = 2 − x² (em x = 0 vale 2) é a de fora; f = x² é a de dentro
V = π∫(g2 − f2) dx ➜ arruela: quadrado de fora − quadrado de dentro
(2 − x2)2 = 4 − 4x2 + x4 ➜ abro o quadrado
menos x4 ➜ o x4 cancela → 4 − 4x2
∫ = 4x − 4x3/3 ➜ tombo ao contrário
de −1 a 1 ➜ (4 − 4/3) − (−4 + 4/3) = 8 − 8/3 = 16/3
vezes π ➜ 16π/3
✔✔ Conferindo: 8 − 8/3 = 24/3 − 8/3 = 16/3. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Encontros: x² = 2 − x² → x = ±1.
2. Fora² − dentro²: (2 − x²)² − x⁴ = 4 − 4x² (o x⁴ some).
3. ∫ de −1 a 1: 4 × 2 = 8 e 4 × 2/3 = 8/3.
4. 8 − 8/3 = 16/3 → 16π/3.
⚠ Onde trava: Subtrair antes de elevar.
52 Volume de disco com raiz EXERCÍCIO
? Volume ao girar em torno do eixo x a região limitada por f(x) = 2√x e o eixo x, 0 ≤ x ≤ 1.
✔ 2π
Alternativa → Lista 5, questão 6: letra B
V = π∫f2dx ➜ disco
(2√x)2 = 4x ➜ 2² = 4 e (√x)² = x
∫4x dx = 2x2 ➜ tombo ao contrário: 4x²/2
x = 1 → 2; x = 0 → 0 ➜ fim − começo = 2
2 × π = 2π ➜ resposta
✔✔ Conferindo: Derivo 2x²: 4x. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. (2√x)² = 4x.
2. ∫4x de 0 a 1 = 2x² → 2.
3. Vezes π → 2π.
⚠ Onde trava: Esquecer o π.
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 27
53 Superfície de revolução EXERCÍCIO
? Área da superfície gerada ao girar h(x) = ½sen(2x), 0 ≤ x ≤ π/2, ao redor do eixo x.
✔ π(√2 + ln(√2 + 1))
Alternativa → Lista 5, questão 7: letra C
A = 2π∫ h · √(1 + (h')2) dx ➜ fórmula: 2π × raio × pedacinho de comprimento
h' = ½ · cos(2x) · 2 = cos(2x) ➜ cadeia: o 2 de dentro corta o ½
2π∫ ½sen(2x) · √(1 + cos2(2x)) dx ➜ troco na fórmula
u = cos(2x) ➜ substituição
resultado oficial ➜ π(√2 + ln(√2 + 1)), letra C
✔✔ Conferindo: Das parecidas, a certa tem π (não 2π) e (√2 + 1) dentro do ln. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Fórmula: 2π × f × √(1 + f'²).
2. Com h = ½sen 2x, o ½ corta o 2 do 2π → fica só π na frente.
3. Escolho a alternativa com π (não 2π) e ln(√2 + 1).
⚠ Onde trava: Marcar a versão com 2π ou com (√2 − 1).
54 Superfície de um cone EXERCÍCIO
? Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar h(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1, ao redor do eixo x.
✔ √2π
Alternativa → Lista 5, questão 8: letra C
h' = 1 ➜ derivada de x
√(1 + 1²) = √2 ➜ pedacinho de comprimento
A = 2π∫ x · √2 dx ➜ fórmula
∫ x dx de 0 a 1 = 1/2 ➜ x²/2 em 1
2π · √2 · 1/2 = √2π ➜ o 2 corta com o 1/2
✔✔ Conferindo: É um cone de raio 1 e geratriz √2: área lateral = π · r · g = π · 1 · √2. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Girar y = x de 0 a 1 faz um cone de raio 1 e lado inclinado √2 (diagonal do quadrado 1 × 1).
2. Área lateral do cone = π × raio × lado = π × 1 × √2.
3. = √2π.
⚠ Onde trava: Esquecer o √2.
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55 Região com 3 curvas EXERCÍCIO
? Calcule a área delimitada pelas curvas y = 1/x, y = x e y = x/4, x > 0.
✔ ln 2
Alternativa → Lista 5, questão 9: letra C
encontros ➜ x = x/4 em 0; 1/x = x em 1; 1/x = x/4 em 2
de 0 a 1: cima y = x, baixo y = x/4 ➜ ∫(x − x/4) = ∫3x/4 = 3x²/8 → 3/8
de 1 a 2: cima y = 1/x, baixo x/4 ➜ ∫(1/x − x/4) = ln x − x²/8
de 1 a 2 vale ➜ (ln 2 − 4/8) − (0 − 1/8) = ln 2 − 3/8
somo ➜ 3/8 + ln 2 − 3/8 = ln 2
✔✔ Conferindo: Os 3/8 se cancelam: sobra ln 2 (≈ 0,69). ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Divido em 2 partes: de 0 a 1 (entre y = x e y = x/4) → 3/8.
2. De 1 a 2 (entre 1/x e x/4) → ln 2 − 3/8.
3. Somo: os 3/8 se anulam → ln 2.
⚠ Onde trava: Usar uma integral só de 0 a 2.
56 Região com parábolas e reta EXERCÍCIO
? Calcule a área delimitada por y = 1 − x2, y = 1 + x2, y = −3x/2 + 2 e x = 1.
✔ 5/16
Alternativa → Lista 5, questão 10: letra D
de 0 a ½ ➜ cima: 1 + x2; baixo: 1 − x2 → diferença 2x2
∫2x2 de 0 a ½ ➜ 2x3/3 → 2 · (1/8)/3 = 1/12
de ½ a 1 ➜ cima: −3x/2 + 2; baixo: 1 − x2 → x2 − 3x/2 + 1
∫ de ½ a 1 ➜ gabarito: 17/48 − 6/48 = 11/48
somo ➜ 1/12 = 4/48 → 4/48 + 11/48 = 15/48
simplifico por 3 ➜ 15/48 = 5/16
✔✔ Conferindo: 15 ÷ 3 = 5 e 48 ÷ 3 = 16. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Parte 1 (entre as parábolas): diferença 2x²; de 0 a ½: 2 × (1/8) ÷ 3 = 1/12.
2. Parte 2 (do gabarito): 11/48.
3. 1/12 = 4/48 → 4 + 11 = 15 → 15/48; divido por 3 → 5/16.
⚠ Onde trava: Não simplificar 15/48.
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 29
57 Volume com cascas SIMULADO
? Volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região de g(x) = 2x6 e o eixo x, 0 ≤ x ≤ 2.
✔ 128π
Alternativa → Simulado, questão 4: letra E
gira em torno do eixo y ➜ uso cascas de cebola: V = 2π∫ x · g(x) dx
x · 2x6 = 2x7 ➜ raio (x) × altura (g)
2π∫2x7dx = 4π∫x7dx ➜ 2π × 2 = 4π
∫x7 = x8/8 ➜ tombo ao contrário
4π · 28/8 = 4π · 256/8 ➜ 2⁸ = 256
= 4π · 32 = 128π ➜ resposta (letra E)
✔✔ Conferindo: 256 ÷ 8 = 32; 32 × 4 = 128. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Cascas: 2π × x × 2x⁶ = 4πx⁷.
2. Integro: x⁸/8 → 4π ÷ 8 = π/2 → (π/2)x⁸.
3. 2⁸ = 256; 256 ÷ 2 = 128 → 128π.
⚠ Onde trava: Usar disco (π g²).
Funções de várias variáveis
58 Domínio com duas letras EXERCÍCIO
? Qual é a condição que define o domínio de f(x, y) = xy/(x − y)?
✔ D = {(x, y) ∈ R² | x ≠ y}
Alternativa → Lista 6, questão 1: letra C
divisão ➜ o de baixo não pode ser zero
x − y = 0 ➜ acontece quando x = y
domínio ➜ tudo menos x = y → x ≠ y
✔✔ Conferindo: Teste (3, 3): 9/0 ✖. Teste (3, 1): 3/2 ✔.
☁ De cabeça, passo a passo:
1. O de baixo é x − y, que zera quando x = y.
2. Tiro esses pontos: x ≠ y.
⚠ Onde trava: Marcar x > y.
Matemática Avançada · Guia Prático · pág. 30
59 Domínio com raiz EXERCÍCIO
? O domínio da função g(s, t) = √(s2 + t2) será:
✔ D = {(s, t); s ∈ R e t ∈ R}
Alternativa → Lista 6, questão 7: letra C
raiz quadrada ➜ precisa de número ≥ 0 dentro
s2 ≥ 0 e t2 ≥ 0 ➜ quadrado nunca é negativo
soma de dois não negativos ≥ 0 ➜ sempre pode → todos os reais
✔✔ Conferindo: Teste s = −3, t = −4: 9 + 16 = 25, √25 = 5 ✔.
☁ De cabeça, passo a passo:
1. s² e t² nunca são negativos.
2. Soma de dois não negativos nunca é negativa.
3. A raiz sempre funciona → todos os reais.
⚠ Onde trava: Marcar s ≥ 0 e t ≥ 0.
60 Receita de dois produtos EXERCÍCIO
? Batata: p = 20 − 0,005x − 0,001y; inhame: q = 15 − 0,001x − 0,003y. Determine a receita total R(x, y).
✔ R = 20x + 15y − 0,005x2 − 0,003y2 − 0,002xy
Alternativa → Lista 6, questão 3: letra D
R = preço × quantidade de cada um ➜ R = p · x + q · y
p· x = 20x − 0,005x2 − 0,001xy ➜ o x multiplica os 3 termos
q · y = 15y − 0,001xy − 0,003y2 ➜ o y multiplica os 3 termos
somo ➜ os dois −0,001xy viram −0,002xy
✔✔ Conferindo: A certa tem 20x, 15y, −0,005x², −0,003y² e −0,002xy: letra D. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Receita = preço × quantidade de cada produto.
2. Termos simples: 20x (batata) e 15y (inhame). Quadrados: −0,005x² e −0,003y².
3. Cruzados: −0,001xy − 0,001xy = −0,002xy. Procuro a alternativa com os 5 termos.
⚠ Onde trava: Esquecer de juntar os xy.
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61 Derivadas parciais de segunda ordem EXERCÍCIO
? f(x, y) = 3x2 + 4y3 + 5x3y2. Derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem:
✔ fx = 6x + 15x2y2; fy = 12y2 + 10x3y; fxx = 6 + 30xy2; fyy = 24y + 10x3; fxy = fyx = 30x2y
Alternativa → Lista 6, questão 4: letra D
fx (y parado) ➜ 3x² → 6x; 4y³ → 0; 5x³y² → 15x²y²
fy (x parado) ➜ 3x² → 0; 4y³ → 12y²; 5x³y² → 10x³y
fxx: derivo fx em x ➜ 6 + 30xy2
fyy: derivo fy em y ➜ 24y + 10x3
fxy: derivo fx em y ➜ 15x²·2y = 30x²y (fyx dá igual)
✔✔ Conferindo: As cruzadas fxy e fyx deram iguais (30x²y). ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. fx: derivo só os x (tombo) e trato y como número.
2. fy: derivo só os y.
3. As cruzadas são sempre iguais (fxy = fyx = 30x²y) → descarto alternativas com cruzadas diferentes.
⚠ Onde trava: Achar fxy diferente de fyx.
62 Ponto de sela EXERCÍCIO
? No teste da segunda derivada, D(a, b) = fxx·fyy − (fxy)². Se D(a, b) 0 ➜ máximo ou mínimo
D 0 e ∂g/∂a > 0
Alternativa → Lista 6, questão 9: letra B
∂f/∂b ➜ quanto muda a demanda de A quando o preço de B muda
substitutos ➜ B ficou caro → compro mais A → aumenta → positivo
∂g/∂a ➜ A ficou caro → compro mais B → positivo
✔✔ Conferindo: Exemplo: café e chá. Café subiu, chá vende mais. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. Penso em café e chá: o café subiu → compro mais chá.
2. Preço de um sobe, demanda do outro sobe → derivada positiva nas duas.
⚠ Onde trava: Marcar sinais negativos (complementares).
65 Volume com integral dupla EXERCÍCIO
? Volume do sólido limitado por 2x + 4y + z = 8, z = 0, y = 0 e x = 0. José e Maria montaram a integral dupla em
ordens diferentes.
✔ Ambos estão corretos
Alternativa → Lista 6, questão 10: letra C
o sólido ➜ um "canto" cortado pelo plano: uma pirâmide de base triangular
José: integra primeiro em x ➜ Maria: integra primeiro em y
ordem diferente ➜ mesmo sólido, mesmo volume
cilíndricas/esféricas ➜ não precisa: só há planos retos
✔✔ Conferindo: Base no chão: x vai até 4 e y até 2 → área 4; altura z = 8 → volume = 4 × 8 ÷ 3 = 32/3 pelas duas
ordens. ✔
☁ De cabeça, passo a passo:
1. O volume não depende da ordem de fatiar.
2. Se os dois montaram os limites certos, os dois estão certos.
3. Não tem curva redonda → não precisa de cilíndricas ou esféricas.
⚠ Onde trava: Achar que precisa de coordenadas cilíndricas.