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MATEMÁTICA BÁSICA
AULA 5
	REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
Resolver os diversos problemas do cotidiano aplicando a “Regra de Três”; 
Utilizar o conceito de porcentagem em grandezas e na resolução de problemas.
Regra de três
Denominamos de regra de três o dispositivo matemático envolvendo quatro grandezas, das quais conhecemos três e queremos encontrar o valor da quarta. Esse dispositivo é de grande importância, não só na matemática, mas também nas demais ciências.
Podemos classificar a regra de três como simples ou composta. Quando a regra de três é simples podemos classificá-la em direta ou inversa. Regra de três simples –São aquelas que envolvem apenas duas grandezas. Vejamos alguns exemplos da regra de três simples.
Primeiro exemplo: Um objeto custa R$ 3,50 em uma determinada loja. Uma pessoa deseja comprar 10 desses objetos. Sabendo que a loja não oferece nenhum tipo de desconto, quanto essa pessoa pagará por esses 10 objetos?
Solução: Observe que podemos construir uma proporção da seguinte maneira:
1 objeto = R$ 3,50
10 objetos = x
x= R$ 35,00
Podemos construir uma função que nos forneça o valor que se deve pagar pela compra de um determinado número de objetos. Chamando a quantia a ser paga de P, é fácil perceber que P é uma função da quantidade x, a ser comprada. Então, a função pode ser expressa por:
P(x) =3,50.x
Basta multiplicar 3,50 pela quantidade a ser comprada para se obter o quanto se deverá pagar, portanto, no nosso caso é suficiente multiplicar R$ 3,50 por 10, obtendo assim R$ 35,00.Voltaremos a tocar no assunto mais adiante quando  estivermos estudando funções.
Segundo exemplo: Para cercar um terreno retangular dando 1 volta são necessários 25 metros de arame farpado. Se desejarmos cercar esse terreno dando 3 voltas, quanto deveremos gastar de arame farpado?
Solução:
1 volta-------------------------25metros
3 voltas------------------------x metros
Podemos escrever que:
1/3 = 25/x => x = 3 x 25
x =75 metros
Os dois problemas utilizam regra de três direta, pois as grandezas variam mantendo a proporcionalidade. Vale a pena ressaltar que nem sempre que uma grandeza varia no mesmo sentido da outra podemos dizer que elas são proporcionais. Veja o exemplo:
A área de um círculo de 2 cm de raio é igual a cm³. (Área do círculo )
A área do círculo de 4cm é igual a cm².
Observe que o raio do círculo dobra, enquanto a área quadruplica. Assim, as grandezas não são diretamente proporcionais.
Terceiro exemplo: Para ir de uma cidade A para uma cidade B, um motorista gasta 4 horas com uma velocidade constante de 60 km/h. quanto tempo levaria esse motorista para realizar a mesma viagem com a velocidade constante de 80 km/h?
Solução: Nesse caso, a regra de três é inversa.
60km/h---------------------4 horas
80km/h-----------------------x horas
Vamos construir a proporção invertendo uma das razões. Veja:
60/80 = x/4
80x = 60.4
80x = 240
x = 3 horas
Observação: Podemos pensar em resolver o problema por uma outra via. Vejamos:
Se o motorista gasta para ir da cidade A  à  cidade B, em velocidade constante, 4 horas, isso significa dizer que a distância da cidade A à cidade B é de 240 Km. Observe que a velocidade constante é de 60 km/h, o que significa dizer que a cada hora ele percorre 60 km. O problema deseja saber quanto tempo ele levará se a velocidade passar a ser de 80 km/h. Bem, como a distância continua sendo a mesma e a velocidade é constante, é suficiente dividir 240 por 80, o que nos fornece o tempo de 3 horas.
Quarto exemplo: Dez operários terminam uma obra em 60 dias. Quanto tempo levarão 15 operários com a mesma capacidade de trabalho para terminar a mesma obra?
Solução: Nesse caso, a regra de três é inversa. Podemos escrever:
10 operários------------------60 dias
15 operários------------------ x dias
10/15 = x/60 => 15x = 600
x = 600/15
x = 40 dias
Podemos dar uma outra solução ao problema. Vamos admitir que cada operário contribua com uma parte diária  da obra que iremos chamar de P. Como todos apresentam a mesma capacidade de trabalho podemos escrever a seguinte equação:
10.P.60 = 15.P.x=> x = 40 dias
Quinto exemplo: em uma gráfica existem 3 impressoras que funcionam ininterruptamente, 10 horas por dia, durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-se quebrado uma das impressoras e necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por dia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes?
Solução: Estamos agora com um problema de regra de três composta, pois temos mais de duas grandezas distintas. A ideia é dividirmos a regra de três composta em várias regras de três simples onde a coluna da variável desconhecida estará sempre presente. Vejamos:
Impressoras	horas por dia	dias
Folhas				
3	10	4
240000			
2	x	6
480000
(i)	(ii)	(iii)
(iv)
Comparando a coluna (ii) com a coluna (i), sabemos  que diminuindo o número de impressoras seremos obrigados a aumentar o número de horas diárias de trabalho para fazermos frente ao trabalho. Logo, a regra de três é inversa. Comparando a coluna (ii) com a coluna (iii), temos que, aumentando a quantidade de dias podemos reduzir o número de horas trabalhadas por dia e então, a regra de três é inversa. Finalmente, comparando a coluna (ii) com a coluna(iii),verificamos que aumentando o número de folhas teremos, necessariamente, que aumentar o número de horas trabalhadas por dia, logo, esta regra de três é direta. Daí, vem:
10/x = 2/3 x 6/ x 424000/48000
x = 20 horas por dia
Quinto exemplo: Se 8 operários construíram em 6 dias um muro com 40 metros de comprimento, quantos operários serão necessários para, trabalhando 14 dias, fazerem um muro de 70 metros?
Solução:
Operários                 dias           metros de comprimento
8                                 6                         40
X                               14                         70
8/x = 14/6 x 40/70 => x = 6 operários
Historicamente, a expressão “por cento” aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento, utilizada nas operações mercantis. Clique no link para ver mais informações:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Porcentagem
Porcentagem
É toda razão onde o consequente é igual a 100.
Exemplos:
3/100 significa 3 em 100 ou 3 por cento.
15/100 significa 15 em 100 ou 15 por cento.
Obs.: Podemos expressar uma porcentagem na forma unitária, bastando, para isso, expressá-la como um número decimal. Por exemplo:
1) 3% = 3/100 = 0,03
2)15% = 15/100 = 0,15
Exemplos:
Uma casa com aluguel de valor R$ 200,00 teve esse valor reajustado para R$ 320,00. Qual foi o percentual de aumento?
Solução 1:
200 --------------- 100%
320 --------------- x
x = 320.100/200 = 160%
160% - 100% = 60%
Solução 2: Se o aluguel era de R$200,00 e passou a R$320,00, então sofreu um aumento de R$120,00. Como R$200,00 reais corresponde a 100%, isso significa que R$2,00 corresponde a 1%, logo,  R$120,00 corresponde a um aumento de 60%.
Solução 3: Se dividirmos o valor final de R$320,00 pelo inicial de R$ 200,00, encontraremos 1,6, o  que significa 100/100 +60/100. Portanto, o aumento foi de 60%. O valor 1,6 pode ser chamado de fator de atualização.
Veja mais algumas informações. Fique atento!
Certo artigo, que custava R$ 200 teve seu preço reajustado em 18%. Qual é o seu preço atual, em reais?
Solução 1:
200.......................100%
x..........................118%
x= (200.118)/100
x= R$ 236,00
Solução 2: Calculando 18% de R$ 200,00, encontramos R$ 36,00. Esse valor corresponde ao reajuste dado, então: R$ 200,00 + R$ 36,00 = R$ 236,00.
Solução 3: Podemos multiplicar o valor do aluguel pelo fator de atualização que é 1,18 (100%+18%). Portanto, temos:
R$ 200,00 x 1,18 = R$ 236,00
Solução 4: Devemos perceber que R$ 200,00 corresponde a 100% e isso significa R$ 2,00 em cada 1%. Se o reajuste dado é de 18%, então aumentaremos o aluguel em R$ 36,00. Logo, o novo aluguel será de R$ 200,00 + R$36,00 = R$ 236,00.
Exemplo 3: Para aumentar as vendas, o dono de uma loja de roupas resolveu dar 20% de desconto em qualquer peça de inverno. Qual era, em reais, o preço original de um casaco que, na promoção, estava sendo vendido por R$ 96,00?
Solução 1: Se na promoção o casaco estava sendo vendido por R$ 96,00, então esse valor corresponde a 80% do valor original.
80%.......................R$ 96,00
100%.................... x
x = 100.96/80
x= R$120,00
Solução 2: Seja P o preço do casaco sem desconto. Se o desconto dado foi de 20%, então o casaco está sendo oferecido por 80% do seu preço original, daí:
80% P = 96
0,8 P = 96
P = 96 :0,8
P = 120
Solução 3: Podemos montar a seguinte equação:
P = R$96,00 + 20%P
P - 0,2P = 96
0,8P = 96
P = R$120,00
Solução 4: Podemos utilizar o fator de atualização, que nesse caso é 0,8 (1-0,2). Logo:
0,8 P = 96
P = R$120,00
Exemplo 4: Eu gastava 20% do meu salário com aluguel. Recebi um aumento de salário de 50%, porém o aluguel aumentou 20%. Quanto passei a gastar com aluguel?
Solução: Seja P o meu salário inicial, portanto, eu gastava 0,2 P de aluguel. Como recebi um aumento de 50%, o meu salário passou a ser de 1,5 P, entretanto, o meu aluguel foi reajustado em 20% e passou para 1,2 x 0,2 P =0,24 P. Ganho 1,5 P e gasto de aluguel 0,24 P, logo, o problema quer saber quantos por cento 0,24 P é de 1,5 P. Basta dividir 0,24 P por 1,5 P, o que dá 16%.
Solução 2: Podemos estipular um valor qualquer para o salário, por exemplo, R$ 100,00. Logo, pago R$ 20,00 de aluguel. Com o aumento de 50% no salário e um reajuste de 20% no aluguel, passei a receber R$150,00 de salário e a pagar R$ 24,00 de aluguel, portanto se dividirmos R$ 24,00 por R$150,00, teremos a resposta do problema, que é 16%.
Exemplo 5: Sabe-se que em  3/8 do total de gavetas de um armário estão guardados documentos diversos e, nos demais, material de consumo. Que percentagem do total de gavetas desse armário está ocupada pelo material de consumo?
Solução 1: Como em 3/8 do total de gavetas estão guardados documentos diversos, 5/8
(8/8 – 3/8) estão ocupados com material de consumo, portanto, o percentual de gavetas ocupadas pelo material de consumo é 62,5%.
Solução 2: Podemos utilizar o recurso de estipular um valor para o número de gavetas, por exemplo, 800 gavetas. Então,  3/8 de 800, que dá 300 gavetas. Logo, as 500 restantes estão ocupadas por material de consumo. Dividindo 500 por 800 encontramos 0,625 que corresponde a 62,5%.
Exemplo 6: Numa certa cidade, 18% das pessoas têm planos de saúde. Entre as mulheres, 30% têm planos de saúde. Entre os homens, esse índice é de 10%. Qual a porcentagem de mulheres na população?
Solução1: Sejam M = número de mulheres e H = número de homens, logo podemos equacionar o problema da seguinte forma. Sejam x = número de mulheres e y = número de homens:
18/100 (x+y) = 30/100x + 10/100y
0,18 (x+y) = 0,3x + 0,1y
0,18x + 0,18y = 0,30x + 0,10y
18x + 18y = 30x + 10y
12x = 8y
x = 2/3y
2/3y / y + 2/3y
O resultado é 40%
Exemplo 7: Fernando foi ao mercado com o dinheiro exato para comprar 2 Kg de carne. Como o mercado estava oferecendo 20% de desconto no preço da carne, ele aproveitou para comprar uma quantidade maior. Se Fernando gastou todo o dinheiro que levou, quantos quilos de carne ela comprou?
Solução: Suponha que o preço do Kg de carne seja P reais. Podemos concluir que Fernando levou 2P reais para gastar em carne. Como o preço da carne estava com  20% de desconto, então o Kg da carne estava saindo por 0,8 P. Se dividirmos 2P (quantia que Fernando possui para gastar com a compra de carne)  por 0,8P ( preço do kg de carne com desconto e 20%), encontramos 2,5, que é a solução do problema. Ele comprou 2,5 Kg de carne.
SINTESE DA AULA
Nessa aula você:
Aprendeu o conceito de regra de três e porcentagem e suas aplicações nos mais variados contextos.