APOSTILA_RESUMO_ENEM

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Fala, pessoal! Tudo bem?
 Essa apostila é dedicada ao nosso querido RESUMÃO DO ENEM. Ao longo da 
Matemática Raiz, nós tivemos sessões que pautavam questões reais do enem 
para facilitar ainda mais o entendimento de vocês. 
 Pensando nisso, resolvi resumir o RESUMÃO e juntar todas essas sessões em 
uma apostila só. Então, a seguir, você terá desde o primeiro conteúdo de nossa
série, até última. 
Ah, não se preocupe, se você perdeu alguma coisa durante esse tempo, basta clicar 
escolher a apostila que queira revisitar. 
 Então vamos pro que interessa! 
APOSTILA 2 - Consumo, Proporções e Delícias Culinárias
APOSTILA 3 - Trabalho, Porcentagem e Poder de Compra
APOSTILA 1 - Pandemia, Funções e Crushs Zodiacos
APOSTILA 4 - Impostos boletos e funções (não muito) afins.
https://mailchi.mp/3377e7184342/matematicaraiz2
https://mailchi.mp/50f36534d6f8/matematica-raiz-3
https://mailchi.mp/a1aa6a62647c/matematica-raiz-apostila
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https://mailchi.mp/a017f0c9bb44/2iu55r5wrv
QUESTÃO 1
 Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas 
vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais 
vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com 
a equação:
na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o 
seu preço em reais. 
 A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma 
promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a 
quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem diminuir a média 
da arrecadação diária na vende desse produto. 
 O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo
q = 400 - 100p
]
a) R$ 0,50
b) R$ 1,50
c) R$ 2,50
d) R$ 3,50
e) R$ 4,50
p
p
p
p
p
R$ 1,50
R$ 2,50
R$ 3,50
R$ 4,50
R$ 5,50
_<
_<
_<
_<
_<
<
<
<
<
<
VAI QUE 
DÁÁÁÁ!
 Para entender o problema: a arrecadação diária é uma função do preço unitário 
(p) do pão especial. Em outras palavras: este preço corresponde à variável 
independente; a partir dele, podemos calcular a arrecadação, que corresponde 
à variável dependente.
 Sabemos, por exemplo, que para um preço p = 3 reais, a arrecadação é de 300 
reais. Ou seja: a IMAGEM do 3 nesta função é igual a 300. Este é o valor mínimo 
que queremos manter.
 No entanto, esse problema tem uma outra variável envolvida: a quantidade de 
pães vendidos (q) também varia de acordo com p. Finalmente, para saber o total 
arrecadado, seria necessário multiplicar p x q. 
 Sabendo isso, podemos pensar em dois caminhos de resolução. Um deles seria 
algébrico: substituindo q por 400 – 100p, como diz a fórmula, chegaríamos a uma 
função quadrática, e há uma fórmula para calcular seu valor mínimo.
 No entanto, entendemos que o método aritmético é bem mais simples: 
se o objetivo é fazer com que a quantidade vendida seja a MAIOR possível, 
é necessário que o preço seja o MENOR. Pelas alternativas dadas, verificamos 
que este preço deveria ser de R$ 0,50 ou mais. Vamos analisar alguns exemplos 
na tabela abaixo, em que as quantidades foram calculadas pela fórmula 
400 – 100p:
VAI QUE
VAI! 
R$ 0,50 350 pães 0,50 x 350 = 175 reais
0,80 x 320 = 256 reais
1,00 x 300 = 300 reais
1,50 x 250 = 375 reais
2,00 x 200 = 400 reais
320 pães
300 pães
250 pães
200 pães
Preço unitário Quantidade vendida Arrecadação
R$ 0,80
R$ 1,00
R$ 1,50
R$ 2,00
 Note que a arrecadação vai aumentando junto com o preço (pelo menos neste 
intervalo), podendo chegar a 400 reais. Mas esse gerente parece ser um cara bem 
gente boa, e ele não está preocupado só com o lucro, mas sim com o fluxo de 
clientes, desde que a arrecadação não seja inferior a 300 reais. Dá pra ver na 
tabela que isto é possível baixando o preço para 1 real! Por isso, a alternativa 
correta seria a letra A.
QUESTÃO 1
 O modelo predador-presa consiste em descrever a interação entre duas espécies, 
sendo que uma delas (presa) serve de alimento para outra (predador). A resposta 
funcional é a relação entre a taxa de consumo de um predador e a densidade 
populacional de sua presa. A figura mostra três respostas funcionais (f, g, h), 
em que a variável independente representa a densidade populacional da presa.
Disponível em: www.jornalivre.com.br.
Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).
Tabela gráfica representando os dados 
da densidade populacional da presa
Desidade populacional de presa
0,8
1
0,6
0,4
0,2
0
D ECBA0
f g h
 Qual o maior intervalo em que a resposta funcional f(x) é menor que as respostas 
funcionais g(x) e h(x), simultaneamente?
a) (0 ; B)
b) (B ; C)
c) (B ; E)
d) (C ; D)
e) (C ; E)
 Para entender o problema: a taxa de consumo de predador é uma função da 
densidade populacional da presa. Em outras palavras: a densidade corresponde à 
variável independente; a partir dela, podemos calcular a taxa de consumo, 
que corresponde à variável dependente. 
 O autor do artigo elaborou 3 modelos, correspondentes a 3 respostas 
funcionais diferentes: o f, que está representado no gráfico por uma linha 
contínua; o g, por uma linha mista de traços e pontos; e o h, por uma linha 
tracejada. As imagens correspondentes à cada densidade, em cada modelo, 
são representadas por f (x), g (x) e h (x) e são números de 0 a 1, que podem ser 
observados no eixo vertical da imagem. Por exemplo, para a densidade igual a 
“A”, f (x) é um número um pouco maior que 0,3 , enquanto g (x) e h (x) são um 
pouco menores que 0,2.
 Queremos, no entanto, que f (x) seja simultaneamente MENOR que as outras 
duas. Observamos que isto acontece para todos os valores de densidade a partir 
de C. Como a questão pede o MAIOR intervalo possível em que isso ocorre, 
podemos chegar até E. Ou seja, a alternativa correta é a E.
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAH!
Ator Leonardo Dicaprio batendo palmas em 
uma cena do filme O Lobo de Wall Street
QUESTÃO 2
 Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles é o gerente, que recebe 
R$ 1.000,00 por semana. Os outros funcionários são diaristas. Cada um deles 
trabalha 2 dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado. 
 Chamando de X a quantidade total de funcionários da empresa, a quantia Y, 
em reais, que esta empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionários é 
expressa por
 Para entender o problema: a quantia Y a ser paga é função da quantidade X de 
funcionários. Queremos encontrar uma fórmula matemática para encontrar Y 
(variável dependente), sabendo X (variável independente).
 Mais uma vez, podemos usar o método aritmético: sabemos que a empresa tem, 
no mínimo, três funcionários (gerente e diaristas). Por exemplo, se fossem 2 
diaristas, a empresa teria de pagar, por semana, 1320 reais (1000 do gerente + 
160 pra cada funcionário, já que são 80 por dia). Em outras palavras: para x = 3, 
a imagem (y) é 1320. Substituindo x por 3 em cada fórmula acima, encontraríamos 
y = 1320 nas opções C e D.
 Podemos agora variar o valor de x: por exemplo, aumentando 1 diarista. 
Nesse caso, o total pago aumentaria em 160 reais. Ou seja: a imagem, 
para x = 4, seria y = 1480. Concluímos, pois, que a opção correta é a D.
 A solução algébrica seria a seguinte: se cada funcionário ganhasse 160 reais 
por semana, em condições igualitárias, o total pago seria 160 x. No entanto, 
sabemos que o gerente ganha 1000 reais, o que corresponde a um “extra” de 
840 reais. Portanto, o total a ser pago deve ser 160x + 840.
a) Y = 80X + 920.
b) Y = 80X + 1.000.
c) Y = 80X + 1.080.
d) Y = 160X + 840.
e) Y = 160X + 1.000.
OLOKINHO
MEU!
QUEM SABE
FAZ AO VIVO!
 A expressão “Fórmula de Young” é utilizada para calcular a dose infantil de um 
medicamento, dada a dose do adulto:
 Uma enfermeira deve administrar um medicamento X a uma criança inconsciente, 
cuja dosagem de adulto é de 60 mg. Aenfermeira não consegue descobrir onde 
está registrada a idade da criança no prontuário, mas identifica que, algumas horas 
antes,foi administrada a ela uma dose de 14 mg de um medicamento Y, 
cuja dosagem de adulto é 42 mg. Sabe-se que a dose da medicação Y 
administrada à criança estava correta.
 Então a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do medicamento X, 
em miligramas, igual a
QUESTÃO 1
( (
idade da criança (em anos)
idade da criança (em anos) + 12
dose de criança = - dose do adulto 
a) 15.
b) 20.
c) 30.
d) 36.
e) 40.
GO
GO!
 Para entender o problema: a dose de criança, para cada medicamento, 
é uma fração da dose do adulto. Esta fração é uma função da idade da criança. 
Por exemplo, se a criança tem 2 anos, a fração é 2/14; se tem 3 anos, 3 / 15. 
Ou seja: o denominador é sempre 12 anos maior que o numerador. A enfermeira 
não sabe exatamente a idade da criança inconsciente, mas sabe que ela recebeu 
uma dose de 14 mg de um medicamento cuja dose de adulto é 42 mg.
 Podemos concluir, pois, que esta criança deve receber 1/3 da dose de adulto, 
para qualquer medicamento. Logo, se a dose fosse 60 mg, a criança deveria 
receber 20 mg, o que corresponde à opção B. 
 Observação: caso você tenha curiosidade de saber a idade da criança, poderia 
usar o método algébrico, chamando a idade, por exemplo, de “x”, e resolvendo 
a equação. Mas também poderíamos usar o método aritmético: sabemos que a 
diferença entre o denominador e o numerador deve ser igual a 12. Para chegar a 
esse número, devemos lembrar do conceito de equivalência de frações: multiplicar 
o numerador e o denominador pelo mesmo número. Assim, se a diferença é 2 
(ou seja, 3 – 1) e queremos que seja 12, devemos multiplicar ambos por 6. Esta, 
portanto, é a idade da criança.
Sabemos que 14 equivale a um terço de 42, isto é: 
=
14
42
1
3
RUN FORREST,
RUN!
Meme viral de uma estudante
 Em um laboratório, cientistas observam o crescimento de uma população de 
bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções 
de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após t 
horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial N(t) = N e , 
em que N é o número de bactérias no instante de início da observação (t = 0)
e representa uma contante real maior que 1, e k é uma constante real positiva.
 Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado. 
 Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao 
número inicial dessa cultura, foi
 Para entender o problema: o número de bactérias (variável dependente) é uma 
função do tempo (variável independente). Se você assistiu ao nosso vídeo sobre 
o coronavírus e a função exponencial, deve-se lembrar que o crescimento 
populacional costuma obedecer a este modelo exponencial, com a constante 
“e” servindo de base.
 O mais importante, nesta situação, é saber que este tipo de crescimento é 
MULTIPLICATIVO, isto é: a cada intervalo de uma hora, a população é 
multiplicada por 3. Assim, após 5 horas, o número de bactérias seria multiplicado 
por 3 , isto é, 3 x 3 x 3 x 3 x 3, o que dá 243, correspondendo à opção C.
5
0
QUESTÃO 3
kt
0
a) 3N
b) 15N
c) 243N
d) 360N
e) 729N
0
0
0
0
0
 Um mapa é a representação reduzida e amplificada de uma localidade. 
Essa redução, que é feita com o uso de uma escala, mantém a proporção 
do espaço representado em delação ao espaço real. 
 Certo mapa tem escala 1 : 58 000 000.
 Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o navio à marca do 
tesouro meça 7,6 cm.
A medida real, em quilômetro, desse segmento de reta é:
A) 4 408
B) 7 632
C) 44 080
D) 76 316
E) 440 800
Representação de 
um mapa que foi 
tema de um exercício 
do Enem 2018.
TO BE CONTINUED...
 A definição de “escala” (em um mapa ou qualquer representação gráfica) é bastante 
simples: a razão entre o tamanho do desenho e o tamanho do objeto real. A escala 
deste mapa nos diz que, para encontramos a medida real, devemos multiplicar a 
medida que está no mapa por 58 milhões.
 Mas há um outro detalhe importante: a medida usada no mapa é o centímetro, 
que equivale à centésima parte do metro (1 m = 100 cm). Queremos que a resposta 
esteja medida em quilômetros. O prefixo “quilo” indica mil vezes, ou seja, 
1 km = 1000 m. Portanto, 1 quilômetro equivale a 100 000 centímetros (100 x 1000). 
Assim, 58 milhões de centímetros seriam equivalentes a 580 km (você pode confirmar 
isso por meio de uma regra de três!). 
Em resumo: cada tracinho de 1 cm no mapa equivale a um percurso de 58 km. 
Portanto, para descobrir a medida do segmento de reta devemos multiplicar 580 
por 7,6. A notícia ruim é que não dá pra usar calculadora nas provas do ENEM 
(ao menos, por enquanto). Mas a boa notícia é que não precisamos encontrar o valor 
exato: os autores da prova costumam colocar alternativas não muito próximas, 
exatamente para que o estudante faça o cálculo por aproximação ou arredondamento. 
Por exemplo, poderíamos “arredondar” 580 para 600, e 7,6 para 7,5. Sabemos que 
60 X 7,5 = 4500. Então, é só procurar a alternativa mais próxima deste valor 
(que, neste caso, é a A).
 Alguns medicamentos para felinos s”ao administrados com base na superfície 
corporal do animal. Foi receitado a um felino pesando 3,0 kg um medicamento na 
dosagem diária de 250 mg por metro quadrado de superfície corporal.
 O quadrado apresenta a relação entre a massa do felino, em quilogramas, 
e a área de sua superfície corporal, em metros quadrados.
A dose diária, em miligramas, que esse felino deverá receber é de:
A) 0,642
B) 52,0
C) 156,0
D) 750,0
E) 1 201,9
Relação entre a massa de um felino 
e a área de sua superfície corporal
Massa (kg) Área (m )2
0,100
0,159
0,208
0,252
0,292
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
 Uma curiosidade: observe que a superfície corporal dos felinos NÃO é proporcional 
à sua massa (caso fosse, a tabela seria desnecessária). No início, a área vai 
aumentando rapidamente, mas à medida que ganha massa, sua superfície tende 
a se estabilizar.
 Pelas informações da tabela, concluímos que a superfície corporal mede 0,208 m². 
Portanto, basta multiplicar este valor por 250 mg, para obter a dose diária do 
medicamento.
 Vale a mesma dica de arredondamento que vimos na questão anterior. No entanto, 
caso você queira encontrar o valor exato, aqui vai uma dica: 250 mg equivale a ¼ de 
1 grama (lembre-se que 1 grama = 1000 mg). Portanto, poderíamos multiplicar 0,208 
por 1000 (o que equivale a deslocar a vírgula 3 casas para a direita) e depois dividir o 
resultado por 4, obtendo 52 (opção B).
MANDA BALA! 
 No tanque de um certo carro de passeio cabem até 50 L de combustível,
 e o rendimento médio deste carro na estrada é de 15 Km/L de combustível. 
Ao sair para uma viagem de 600 km o motorista observou que o marcador de 
combustível estava exatamente sobre uma das marcas da escala divisória do 
medidor, conforme figura a seguir:
 Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até a chegada a seu 
destino, cinco postos de abastecimento de combustível, localizados a 150 km, 
187 km, 450 km, 500 km e 570 km do ponto de partida.
 Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorrer até ser 
necessário reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem combustível 
na estrada?
A) 570
B) 500
C) 450
D) 187
E) 150
TÁ ACABANDO...
 Com o tanque cheio, seria possível caminhar 750 km sem parar para 
reabastecer, considerando que o carro faz 15 km por litro de combustível,
 e sua capacidade é de 50 litros.
 No entanto, a imagem mostra que o tanque está apenas ¼ cheio (metade da 
metade). Por isso, daria apenas para percorrer ¼ desta distância, isto é, 
187,5 km.
 Como há um posto no km 187, ou seja, 500 metros antes do limite, a opção 
correta é a D.
(mesmo assim, recomendamos não fazer isso numa viagem: o carro 
chegaria ao posto com o tanque praticamente vazio!)
CONTAGEM 
REGRESSIVA
 Uma escola lançou uma campanha para seusalunos arrecadarem, durante 30 
dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. 
Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas 
diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 
novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos 
dias seguintes até o término da campanha.
 Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de 
alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
 Este é um problema que envolve 4 variáveis: número de alunos, tempo (dias), 
ritmo de coleta (horas por dia) e quantidade de alimentos (kg). Para tornar a 
explicação mais didática, vamos combinar dois métodos: a redução à unidade e 
a composição de proporções (ou “regra de três composta”).
 A primeira fase da coleta nos traz uma informação importante: 20 alunos em 10 
dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. 
 Com essa informação, podemos reduzir a unidade de arrecadação, passando de 
horas para dias primeiramente:
a) 920 kg
b) 800 kg
c) 720 kg
d) 600 kg
e) 570 kg
CONTINUA
CONTINUA
CONTINUA
3 horas ---------------------------- 12 kg
20 alunos ------------------------ 4 kg / hora
1 aluno ---------------------- 0,2 kg / hora
(para 20 alunos)
1 hora ------------------------------- x = 4 kg
Depois calculamos o ritmo de coleta por aluno, da seguinte maneira:
Sabendo, portanto, que cada aluno consegue arrecadar 0,2 kg por hora 
trabalhada, podemos obter a solução fazendo o caminho inverso. 
Por exemplo:
Portanto, o total de alimentos arrecadados foi: 12 X 10 + 40 x 20 = 920 kg
Como o ritmo de trabalho aumentou para 4 horas diárias, 
podemos concluir que, na segunda fase da coleta (20 dias), 
foram arrecadados 40 kg de alimentos por dia.
1 aluno ------------------------- x = 0,2 kg / hora
50 alunos ------------------ x = 10 kg / hora
TÁ ACABANDO...
 Devido ao não cumprimento das metas definidas para a campanha de 
vacinação contra a gripe comum e o vírus H1N1 em um ano, o Ministério da 
Saúde anunciou a prorrogação da campanha por mais uma semana. A tabela 
apresenta as quantidades de pessoas vacinadas dentre os cinco grupos de 
risco até a data de início da prorrogação da campanha
 Qual é a porcentagem do total de pessoas desses grupos de risco 
já vacinadas?
Balanço parcial nacional da 
vacinação contra a gripe
GRUPO DE RISCO
Crianças 4,5 0,9
1,0
1,5
0,4
8,2
20
50
60
80
40
2,0
2,5
0,5
20,5
Profissionais da saúde
Gestantes
Indígenas
Idosos
POPULAÇÃO
(MILHÃO) (MILHÃO) %
POPULAÇÃO
JÁ VACINADA
A) 12
B) 18
C) 30
D) 40
E) 50
VEM NENEM! 
 Talvez você esteja pensando: “Leo, essa é fácil: é só somar tudo!”. 
Mas cuidado com esse “tudo”: se você somar as porcentagens, por exemplo, 
vai encontrar 250%, número que, NESTE CASO, não faz sentido, pois estamos 
nos referindo a uma fração parte/todo.
 Mas a solução realmente é fácil: basta somar as populações de grupos de 
risco (total de 30 milhões) e as já vacinadas (12 milhões). Dividindo 12 por 30 
encontramos 0,4, o que corresponde a 40%, como vimos anteriormente.
 Deseja-se comprar determinado produto e, após uma pesquisa de preços, 
o produto foi encontrado em 5 lojas diferentes, a preços variados.
• Loja 1: 20% de desconto, que equivale a R$ 720,00, mais R$ 70,00 de frete;
• Loja 2: 20% de desconto, que equivale a R$ 740,00, mais R$ 50,00 de frete;
• Loja 3: 20% de desconto, que equivale a R$ 760,00, mais R$ 80,00 de frete;
• Loja 4: 15% de desconto, que equivale a R$ 710,00, mais R$ 10,00 de frete;
• Loja 5: 15% de desconto, que equivale a R$ 690,00, sem custo de frete.
O produto foi comprado na loja que apresentou o menor preço total. 
Qual é a loja?
CONTINUA! 
CONTINUA! 
 Em cada caso, precisamos saber o preço do produto sem o desconto, para saber 
quanto vai ser pago efetivamente.
Loja 1: Se 20% equivalem a 720, 100% equivalem a 720 x 5 = 3600. Logo, o preço 
com desconto ficaria 3600 – 720 = 2880; o total com o frete: 2880 + 70 = 2950
Observação: como 80% (total – desconto) é o quádruplo de 20%, podemos concluir 
que o preço com desconto seria 4 vezes 720. Usaremos o mesmo raciocínio nos 2 
itens a seguir.
Loja 2: 740 x 4 = 2960; o total com o frete: 2960 + 50 = 3010
Loja 3: 760 x 4 = 3040; o total com o frete: 3120
Observação: mesmo sem fazer a conta, dava pra ver que a loja 3 era mais cara que a 
anterior: se o montante do desconto é maior, significa que o preço é maior. Além disso, 
o frete aqui é mais caro. Não caia nessa!
Loja 4: vale o mesmo raciocínio, se compararmos com a loja 4. Então nem vamos 
fazer essa conta, o tempo é precioso numa prova.
Loja 5: se 15% equivalem a 690, podemos concluir que 5% equivalem a 230. 
Logo, o preço sem desconto seria 20 vezes esse valor (4600). Nem pensar!
Assim, concluímos que a opção vantajosa é a Loja 1
TÁ CONCLUINDO! 
 Segundo dados apurados no Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de 
brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 
2010, a renda média mensal apurada foi de R$ 1202,00. 
 A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a apenas 
1,1% do total de rendimentos dessa população considerada, enquanto que a soma 
dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total.
 Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um brasileiro que 
estava na faixa dos 10% mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 10% 
mais pobres?
 Como já dissemos anteriormente, nas provas do ENEM utilizam-se dados reais não 
arredondados. Portanto, você pode (e deve!) arredonda-los para facilitar os cálculos.
Por exemplo; se arredondarmos a população para 100 milhões, e a renda média, 
para 1200 reais, chegaremos a um montante de 120 bilhões de reais. 
Isso corresponde ao total de rendimentos dessa população considerada.
 Os 10% mais pobres (ou seja, 10 milhões de habitantes) somaram apenas 1,1% 
desse total. Isto é: 1,1% x 120 bilhões = 1,32 bilhões. Para dividir esse total pela 
população, podemos usar a estratégia de dividir os números em partes. Assim, 
bilhão: milhão = 1000; 1,32 : 10 = 0,132. Multiplicando 0,132 x 1000 chegamos a 
132 reais. Pasmem: em 2010, havia pelo menos 10 milhões de brasileiros adultos 
sobrevivendo com uma renda média mensal de apenas 132 reais por mês!
A) 240,40
B) 548,11
C) 1 723,67
D) 4 026,70
E) 5 216,68
 Agora, você que é bem sagaz, já deve ter percebido o seguinte: se calculássemos 
11% (ou seja, 1,1 x 10%) de 1200 teríamos chegado diretamente ao número 132. 
Usaremos esse mesmo raciocínio na próxima conta.
 Multiplicando 44,5 x 10%, concluímos que os 10% mais ricos tinham uma 
média de renda equivalente a 445% de 1200. Já era de se esperar que essa 
porcentagem fosse bem maior que 100%, afinal estamos fazendo uma 
comparação com a média.
 Mais uma vez, podemos arredondar: fazer 450% de 1200 seria o mesmo que 
multiplicar 450 por 12, o que não é tão complicado. Dá até pra fazer de “cabeça”: 
450 x 10 = 4500; 450 x 2 = 900; agora, é só somar: o resultado é 5400.
 Assim, concluímos que a diferença entre a renda média mensal dos mais ricos e 
a dos mais pobres é de aproximadamente 5400 – 132 = 5268. A opção mais 
próxima desse valor é a letra E.
CHEGANDO LÁ...
 A quantidade x de peças, em milhar, produzidas e o faturamento y, em milhar de real, 
de uma empresa estão representados nos gráficos, ambos em função do número t de 
horas trabalhadas por seus funcionários.
O número de peças que devem ser produzidas para se obter um faturamento de 
R$ 10 000,00 é
A) 2 000. B) 2 500. C) 40 000. D) 50 000. E) 200 000.
TÁ CONCLUINDO! 
A)
B) D)
C) E)
 Reparem que ambas as variáveis (quantidade de peças e faturamento) são 
proporcionais ao tempo, já que os gráficos são lineares e, além disso, a imagem 
do zero corresponde a zero.
Pelo segundo gráfico, podemos observar que a empresa fatura 4 mil reais por 
hora (sim, isso mesmo quevocê leu!). Assim, para chegar aos 10 mil pretendidos, 
os pobres trabalhadores explorados pelo patrão opressor que provavelmente nunca 
trabalhou na vida funcionários precisam trabalhar duas horas e meia (basta dividir 
10 por 4).
Já o primeiro gráfico nos mostra que a empresa (ou melhor, os funcionários) fabrica 
20 mil peças por hora. Assim, após 2,5 horas, terão sido fabricadas 50 mil peças.
 Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta 
litros de combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma 
pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta 
no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no 
tanque é indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo automóvel é 
indicada no eixo x (horizontal).
 A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque 
e a distância percorrida pelo automóvel é
y = -10x + 500
y = + 50-x10
y = + 500-x10
y = + 50x10
y = + 500x10
 Note que o coeficiente linear da reta é b = 50, pois representa a quantidade 
inicial de litros no tanque. Além disso, sabemos que a função é decrescente: 
quanto maior a distância percorrida, menos combustível no tanque. Por isso, 
a taxa de variação é negativa, e a única alternativa possível passa a ser a letra b.
 Apenas para confirmar, vamos calcular a taxa de variação: Se o tanque se 
esvazia após 500 km, isso significa que o carro consome 10 litros por quilômetro, 
ou 1 litro a cada décimo de quilômetro. Por isso, a = -1/10.
 A raiva é uma doença viral e infecciosa, transmitida por mamíferos. 
A campanha nacional de vacinação antirrábica tem o objetivo de controlar a 
circulação do vírus da raiva canina e felina, prevenindo a raiva humana. 
O gráfico mostra a cobertura (porcentagem de vacinados) da campanha, 
em cães, nos anos de 2013, 2015 e 2017, no município de Belo Horizonte, 
em Minas Gerais. Os valores das coberturas dos anos de 2014 e 2016 não estão 
informados no gráfico e deseja-se estimá-los. Para tal, levou-se em consideração 
que a variação na cobertura de vacinação da campanha antirrábica, nos períodos 
de 2013 a 2015 e de 2015 a 2017, deu-se de forma linear.
CHEGANDO LÁ...
A) 62,3%
B) 63,0% 
C) 63,5%
D) 64,0%
E) 65,5%
 Essa questão é daquele tipo “tão fácil que as pessoas ficam desconfiadas e 
acabam errando”. Mas se você entendeu direitinho a explicação sobre funções 
afins, não tem mistério: De 2013 a 2015, a porcentagem caiu 8 pontos percentuais 
(falamos sobre esses pontos no Capítulo 3). Isso dá uma taxa de variação de -4 
pontos ao ano. Logo, a cobertura em 2014 foi de 67 – 4 = 63,0 %.
a a
 Após realizar uma pesquisa de mercado, uma operadora de telefonia celular 
ofereceu aos clientes que utilizavam até 500 ligações ao mês o seguinte plano 
mensal: um valor fixo de R$ 12,00 para os clientes que fazem até 100 ligações ao 
mês. Caso o cliente faça mais de 100 ligações, será cobrado um valor adicional 
de R$ 0,10 por ligação, a partir da 101 até a 300 , e caso realize entre 300 e 500 
ligações, será cobrado um valor fixo mensal de R$ 32,00.
 Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor apresenta a relação 
entre o valor mensal pago nesse plano e o número de ligações feitas é:
A)
B) D)
C)
E)
VAMOOOOS! 
https://mailchi.mp/50f36534d6f8/matematica-raiz-3
 Sabemos que o gráfico deve ser composto por dois trechos constantes (de 0 a 
100 e de 300 a 500 ligações) e um trecho crescente (entre 100 e 300 ligações). A 
única opção que apresenta tais características é a B.
 Apenas a título de curiosidade: podemos encontrar a lei de formação para 
calcular o valor mensal no segundo trecho. Seriam 12 reais mais 10 centavos 
por cada ligação que excede as 100 iniciais. Em linguagem algébrica:
Y = 12 + 0,1 (x – 100)
Aqui podemos usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição 
algébrica (vulgarmente conhecida como “propriedade do chuveirinho”)
Y = 12 + 0,1 x – 10
Y = 2 + 0,1 x
Assim, teríamos uma maneira alternativa para definir a função: o valor pago 
seria de 2 reais + 10 centavos por ligação, mas com duas restrições: mínimo de 
12 reais e máximo de 32. Verifique!
Bom, já falamos de trabalho, impostos, boletos...agora vamos 
falar de coisa boa? Não, não é a Tecpix (se você entendeu a 
referência, parabéns pela idade avançada!). Se, após pagar 
todas as contas, ainda sobrar um dinheirinho do final do mês, 
partiu comprar tudo de bala talvez seja interessante pensar no 
futuro, não? Ao contrário do que muita gente pensa, investir 
não é só coisa de rico. Quer saber mais sobre o assunto? 
Não perca nosso próximo capítulo: poupança, juros compostos 
e funções exponenciais!
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