Escoamento em condutos forçados

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Escoamento em condutos forçados
Apresentação dos conceitos básicos de escoamento em tubulações: cálculo da perda de carga,
associação de tubos, sistemas de tubulações, cálculo de redes de distribuição e aplicações com o
EPANET.
Prof. Gabriel de Carvalho Nascimento, prof. Elson Antonio do Nascimento
1. Itens iniciais
Propósito
Examinar os conceitos necessários para o projeto, a análise e a verificação do escoamento em tubulações,
incluindo aplicação específica em redes de distribuição de água.
Preparação
Antes de iniciar este conteúdo, certifique-se de que tem acesso à calculadora do seu dispositivo e tenha em
mãos papel e caneta para a resolução dos exercícios. Para solução de alguns problemas, é necessário ter
acesso a um aplicativo de planilha eletrônica, como Google Planilhas, Excel e OpenOffice Calc. Será
necessário ter instalado o software EPANET, disponível pela UFPB (português) e pela USEPA (inglês).
Objetivos
Calcular a perda de carga.
 
Comparar tubos em série e em paralelo com condutos equivalentes.
 
Analisar o escoamento em tubulações, a perda em marcha e a sobrepressão em transiente hidráulico.
 
Calcular pressões e vazões em redes de distribuição de água.
Introdução
Assista ao vídeo sobre escoamento em condutos forçados.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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1. Cálculo da perda de carga
Perda de carga em tubulações
Assista ao vídeo para entender sobre o assunto.
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O escoamento de fluidos no interior de
tubulações tem inúmeras aplicações de
interesse econômico, como o transporte de
água, gás, minério e petróleo. Neste estudo, a
aplicação de conceitos da Mecânica dos
Fluidos culmina em um conjunto de equações e
métodos adotados para o projeto de
tubulações, pertencentes à disciplina
Hidráulica.
 
Nos tópicos a seguir, abordaremos os
conhecimentos requeridos para que o
engenheiro seja capaz de calcular pressões e
vazões no interior de condutos com escoamento forçado.
Classificações
Regime temporal
O primeiro passo na análise de qualquer escoamento consiste em classificá-lo, sob diferentes aspectos.
Vamos começar avaliando o regime temporal, que pode ser:
O regime temporal não permanente é subdividido em:
Quase-permanente
As condições de contorno se alteram ao longo do tempo (ex.: enchimento ou esvaziamento de
reservatórios), mas isso ocorre muito lentamente e as acelerações podem ser desprezadas.
Permanente (ou estacionário) 
Quando as velocidades e pressões não
variam no tempo.
Não permanente 
Quando há variações temporais.
Transiente
Quando há acelerações significativas no fluido, sendo subdividido em:
Transiente gradual: as variações de vazão e pressão são graduais, não ocorrendo ondas de
pressão. A compressibilidade do fluido é desconsiderada.
Transiente rápido (golpe de aríete): uma mudança brusca (ex.: fechamento rápido de válvula)
causa ondas de pressão que se propagam no interior do duto, portanto, a compressibilidade
do fluido deve ser considerada para cálculo da velocidade da onda de pressão.
Essa ordem também representa uma escala crescente de dificuldade de cálculo. Por exemplo, suponha que
você deve dimensionar a tubulação que interliga o reservatório A ao B, sendo o primeiro mais elevado (Figura
1).
Figura 1 – Tubulação de interligação de dois reservatórios.
Ao abrir a válvula V, que fica junto ao reservatório B (jusante), o fluido começará a escoar, constituindo, então,
um escoamento transiente gradual (Figura 2). Após determinado tempo, o equilíbrio será atingido, mas haverá
redução da vazão devido à mudança do nível da água (esvaziamento de A e enchimento de B), o que ocorrerá
de forma muito lenta e, consequentemente, em regime quase-permanente.
Dica
Se fecharmos a válvula V muito rápido, ocorrerá um transiente hidráulico. 
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Comportamento da pressão ao longo do tempo na abertura de uma válvula, seguida
de fechamento rápido.
Por sorte, a maioria dos projetos hidráulicos são feitos com base em análise de regime permanente, pois o
objetivo é calcular as características do escoamento quando o equilíbrio é alcançado, ou seja, não há mais
variações no tempo.
Turbulência
Quanto à turbulência, os escoamentos podem ser classificados em:
Laminares
Com predominância dos esforços viscosos, as
partículas se movem ao longo de trajetórias
bem definidas (lâminas).
Turbulentos
Campo de velocidade irregular, com flutuação
tridimensional da vorticidade e dissipação de
energia.
Transicional
Intermediário, não sendo laminar, mas também
não apresentando ainda todas as
características do turbulento.
A classificação é feita com base no número de Reynolds, o adimensional que mede a relação entre forças
inerciais e forças viscosas, definido por:
Onde (unidades no S.I.):
 
 é a massa específica do fluido ;
 
Eq. 1
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 é a viscosidade dinâmica (kg/m.s);
 
 é a viscosidade cinemática ;
 
 é a velocidade do escoamento ;
 
 é o diâmetro interno da tubulação (m).
 
As propriedades necessárias para o cálculo de е para fluidos comuns são listadas na Tabela 1:
Fluido Viscosidade, μ
(Pa.s)
Massa específica, ρ
(kg/m³)
Ar 1,80x10-5 1,20
Gasolina 2,92x10-4 680
Água 1,00x10-3 998
Óleo SAE 30W 2,90x10-1 891
Água do mar 1,07x10-3 1.025
Tabela 1 – Propriedades de fluidos comuns à 20°C e 1 atm.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
A classificação com base no valor de é feita de acordo com o exposto:
 
Classificação: Laminar
 
Classificação: Transição
 
Classificação: Turbulento 
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Quase todos os escoamentos de interesse econômico são turbulentos, mas devemos ficar atentos caso nos
deparemos com uma exceção, pois as fórmulas serão diferentes, conforme veremos nos próximos tópicos.
Exemplo
Qual é o regime de escoamento, turbulento ou laminar, em um tubo de aço com DN (diâmetro nominal) de 2”
(diâmetro interno de 54,3mm) por onde escoa água a 2,5L/s?
Chave de resposta
Conforme vimos, essa classificação é feita de acordo com o número de Reynolds, .
Para calcular a velocidade a partir da vazão, temos que :
Então, com base nas propriedades listadas anteriormente:
Portanto, como , trata-se de escoamento turbulento.
Observa-se que, mesmo variando os dados do problema, ainda dentro de limites encontrados na prática,
fica muito difícil alcançar um escoamento laminar.
Conduto forçado e conduto livre
Por último, vamos abordar a diferença entre:
Comentário
Neste estudo, apresentaremos apenas a análise de condutos forçados, típicos de tubulações. 
Fórmula universal: fator de atrito
Equação da energia
A carga (energia), , de um fluido em um ponto i da tubulação é determinada pela soma da carga de
pressão, da carga cinética e do potencial gravitacional (elevação):
Onde:
 
 é a pressão (Pa);
 
o peso específico é obtido por ;
 
Conduto forçado 
O fluido é impulsionado pela diferença de
pressão, portanto, ela será diferente da
atmosférica e variará ao longo da tubulação,
mas a gravidade também pode contribuir.
Conduto livre 
O fluido é impulsionado apenas pela
gravidade, e a pressão da sua superfície
livre é constante e igual à atmosférica.
Eq. 2
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 é o fator de correção da carga cinética (adimensional), sendo para escoamento laminar e 
 para turbulento;
 
 é a velocidade ( ) média ao longo da seção do ponto ;
 
 é a elevação ou cota (m) do ponto .
Em regime permanente (equilíbrio), a energia entre os pontos 1 e 2 de uma tubulação é relacionada por 
, onde a última parcela se refere à variação de energia (positivo para redução) entre os
pontos. Essa variação pode ser causada por turbina , bomba e perdas , portanto,
considerando regime turbulento:
Onde:
 
 é a carga de turbina (m);
 
 é a carga de bomba (m), subtraída da equação por se tratar de um ganho;
 
 é a soma de todas as perdas (m).
 
Observe, pela Equação (3), que, se desejarmos calcular a pressão no ponto 2, sabendo o valor no ponto 1,
será necessário prever a perdaobservado que elas permanecem dentro dos limites estabelecidos por norma.
Mão na Massa
Questão 1
Qual é a única alternativa verdadeira?
A As tubulações instaladas após o último reservatório são chamadas de adutoras.
B As redes malhadas apresentam um custo menor que as ramificadas.
C Em redes ramificadas, há apenas um caminho para o abastecimento de água.
D Problemas de dimensionamento são mais simples que de verificação.
E As redes ramificadas exigem método iterativo para cálculo das vazões.
A alternativa C está correta.
Vamos analisar cada uma das opções:
a) As adutoras ficam antes do reservatório, e o que vem depois dele é chamado de distribuição.
b) As redes malhadas têm maior custo, pois exigem tubulações adicionais para fechar as malhas.
c) Conforme abordado no tópico 1, essa afirmativa está correta.
d) Nos problemas de dimensionamento, ocorre justamente o contrário, pois o engenheiro deve escolher o
diâmetro que atenda às premissas e tenha menor custo.
e) Conforme detalhado no tópico 1, o seu cálculo é feito de maneira direta, através de tabelas.
Questão 2
Você foi designado para dimensionar a rede de abastecimento em um loteamento, com previsão para um total
de 250 habitantes. Se o consumo médio per capita da região é de 180L/hab.dia, calcule a vazão total a ser
distribuída em uma rede com abastecimento 8 horas por dia, considerando = 1,25 e = 1,50.
A 2,9L/s
B 1,9L/s
C 2,3L/s
D 1,0L/s
E 1,5L/s
A alternativa A está correta.
Pela Equação (24):
Questão 3
O traçado da rede referente à questão anterior totalizou 600m de tubulação, dos quais 20m iniciais não eram
ligados a pontos de consumo. Calcule a vazão em marcha resultante:
A 0,145L/sm
B 2,9L/sm
C 4,8x10-3L/sm
D 5,0x10-3L/sm
E 1L/sm
A alternativa D está correta.
Conforme vimos no tópico 1 (Redes ramificadas), a vazão em marcha é obtida pela divisão da vazão total
distribuída pelo comprimento de tubulação com fornecimento (ligadas aos pontos de consumo):
Questão 4
Ainda sobre a rede das questões anteriores, escolha o diâmetro em um trecho de 200m com ponta seca:
A 50
B 60
C 75
D 100
E 125
A alternativa A está correta.
Em um trecho com ponta seca, a vazão de jusante é nula . A vazão distribuída nesse trecho será:
Conforme explicado na Tabela 11, a vazão de montante é dada pela soma:
De acordo com a Tabela 12, o menor diâmetro que atende essa vazão é de 50mm.
Questão 5
Calcule a perda de carga com fórmula prática no trecho da questão anterior, se ele é de PVC. Considere que o
diâmetro interno é, aproximadamente, igual ao nominal.
A 1,23m
B 0,34m
C 0,006m
D 0,12m
E 0,45m
A alternativa E está correta.
Conforme vimos no Módulo 3 (tópico 2), Equação (19), quando se trata de um trecho com ponta seca 
, a vazão fictícia é calculada por:
Conforme vimos no Módulo 1 (tópico 3), a fórmula mais prática para calcular esse porte de diâmetro é a de
Hazen-Williams, sendo seu coeficiente para PVC (Tabela 5):
Questão 6
Seja a rede em tubulação de aço novo representada pelo esquemático a seguir.
Calculando as vazões pelo método de Hardy Cross, em determinada iteração, as vazões dos trechos AB, BC,
CD e DA são 76,4L/s; 26,4L/s; e -48,6L/s, respectivamente. Qual é a correção necessária,
em L/s, com precisão de uma casa decimal? Para a perda de carga, utilize a fórmula mais prática.
A 0,0L/s
B 18,3L/s
C -6,7L/s
D -23,6L/s
E 1,0L/s
A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo com o aálculo iterativo de redes malhadas.
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Teoria na prática
A topologia da rede mista de distribuição de água em um pequeno município é representada na figura a seguir.
A rede possui as seguintes características:
 
tubulação em PVC;
 
consumo per capita de 180L/hab.dia;
 
coeficiente de dia e hora de maior consumo de 1,20 e 1,50, respectivamente;
 
fornecimento em 10 horas por dia;
 
2.000 habitantes abastecidos por vazão em marcha ao longo dos tubos representados por linhas
tracejadas;
 
perda de carga entre o reservatório e o ponto A desprezível;
 
cotas dos pontos na tabela a seguir:
Ponto A B C D E F G H I J K
Cota(m) 65 80 75 40 55 50 70 80 90 85 82
 
os diâmetros da rede malhada (HIJK) estão indicados na figura;
 
um estudo de área abrangida por cada ponto da rede malhada mostrou que as vazões , , 
e são 4,0; 2,0; 12,0 e 6,0L/s, respectivamente.
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Calcule as vazões em todos os trechos da rede e determine qual deve ser a cota para que a pressão
mínima na rede seja de 12m.c.a.
Chave de resposta
Assista ao vídeo do cálculo de redes mistas.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
A rede de distribuição em um bairro, representada pela figura a seguir, possui as seguintes
características:
 
material da tubulação: PVC;
 
consumo médio per capita: 180L/hab.dia;
 
coeficientes de dia e hora de maior consumo: 1,20 e 1,50;
 
horas de funcionamento por dia: 10 horas;
 
população atendida: 2.000 habitantes;
 
distribuição em marcha nos trechos AB, BC e BD;
 
consumo de 12L/s de uma indústria ligada ao ponto D.
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Determine qual deve ser a cota do reservatório R para que a carga mínima de pressão seja de 15m.c.a.:
A 95,2m
B 80,2m
C 75m
D 15,1m
E 105,1m
A alternativa E está correta.
A vazão total distribuída é dada pela Equação (24):
E a vazão em marcha será:
Seguindo os passos descritos na Tabela 11, assim como resolvido no exemplo do tópico 1, teremos a tabela
a seguir:
Ressalta-se que, no trecho BD, em vez de termos uma ponta seca ( 0 ), há um consumo concentrado
de 12L/s.
Analisando a carga de pressão (colunas NeO ), observamos os pontos com menor carga de pressão, que,
de acordo com o enunciado, deverá ser igual a 15m.c.a.:
Questão 2
A rede de distribuição em um condomínio, feita com tubos de PVC, é representada pelo esquemático da figura
a seguir. As vazões fornecidas pelos pontos A, B e C são 4,0L/s; 2,0L/s e 5,0L/s, respectivamente. A perda de
carga entre R e A é desprezível.
Calcule de maneira prática a carga de pressão no ponto C:
A 17m.c.a.
B 10,8m.c.a.
C 15m.c.a.
D 23,2m.c.a.
E 26m.c.a.
A alternativa B está correta.
Trata-se de uma rede malhada cuja solução foi abordada no tópico 2, através do método de Hardy Cross.
O primeiro passo é arbitrar valores de vazão para a iteração inicial que respeitem o 1º Princípio, obtendo
soma nula de vazões em um nó. Depois, devemos calcular a correção necessária, conforme a Equação (27):
O cálculo mais prático da perda de carga é através da Equação de HazenWilliams (10), 
, onde (PVC Tabela 5). Sendo assim, na Equação (27), 
(expoente da vazão).
Partindo de valores arbitrados de 4, para os trechos , respectivamente, o cálculo
do método iterativo é apresentado na tabela a seguir:
Respeitando a NBR 12216, a convergência foi considerada quando 0,1L/s.
Para calcular a pressão no ponto C , aplicaremos a equação da energia entre R e C:
A pressão na superfície do reservatório é atmosférica (manométrica nula) . De acordo com o
enunciado, , então, será contabilizada apenas a perda entre AeC , já calculada na tabela
anterior:
5. Conclusão
Considerações finais
Iniciamos este estudo com a definição de escoamento em condutos forçados, em que tratamos de diversas
aplicações de tubulações na engenharia. Vimos que o cálculo da perda de carga é fundamental para prever as
pressões ou vazões em redes e que há diferentes métodos para isso, dependendo da praticidade e da
precisão necessária.
 
Mostramos o quanto a análise gráfica pode ser útil para a avaliação do comportamento de sistemas em
diferentes cenários. Por fim, aplicamos os conceitos abordados para o cálculo de redes de distribuição de
água.
 
Este conteúdo oferece, portanto, o conhecimento básico necessário aos engenheiros habilitados para projetos
de redes hidráulicas.
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Para saber mais sobre os assuntos estudados, leia os artigos:
 
Perda de carga localizada em gotejadores integrados em tubos de polietileno, de Anthony W. A.
Gomes, José A. Frizzone, Osvaldo R. Neto e Jarbas H. de Miranda.
 
Using EPANET for modelling water distribution systems with users along the pipes, de Giulia Farina,
Enrico Creaco e Marco Franchini.
 
Use of Granados method for looped hydraulic network optimization, de Antonio F. Leal e Heber P.
Gomes.
 
Pesquise na internet:
 
Instalações hidráulicas prediais.
 
Redes de distribuição.
 
Irrigação.
 
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Eclusas.
 
Sistemas de tubulações em grandes aquários.
 
Redes de água gelada para refrigeração.
 
Redes de resfriamento em processos industriais.
 
Oleodutos.
Referências
AZEVEDO NETTO, J. M.; FERNANDEZ, M. F.; ARAÚJO, R.; ITO, A. E. Manual de hidráulica. São Paulo: Blucher,
1998.
 
BAPTISTA, M. B.; COELHO, M. M. L. P.; CIRILO, J. A.; MASCARENHAS, F. C. B. (Orgs.). Hidráulica aplicada. 2.
ed. Porto Alegre: ABRH, 2003.
 
CHADWICK, A. Hidráulica para engenharia civil e ambiental. 5. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.
 
COUTO, L. M. M. Elementos da hidráulica: com EPANET e HEC-RAS. Rio de Janeiro: GEN-LTC, 2018.
 
HOUGHTALEN, R. J. Engenharia hidráulica. 4. ed. São Paulo: Pearson, 2012.
 
PORTO, R. M. Hidráulica básica. São Paulo: SEESC-USP, 2004.
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	Escoamento em condutos forçados
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Cálculo da perda de carga
	Perda de carga em tubulações
	Conteúdo interativo
	Classificações
	Regime temporal
	Quase-permanente
	Transiente
	Dica
	Turbulência
	Laminares
	Turbulentos
	Transicional
	Exemplo
	Conduto forçado e conduto livre
	Comentário
	Fórmula universal: fator de atrito
	Equação da energia
	Fórmula de Darcy-Weisbach (D-W) ou universal
	Exemplo
	Cálculo do fator de atrito
	Dica
	Resumindo
	Exemplo
	Conteúdo interativo
	Tipos de problemas
	Tipo 1
	Tipo 2
	Tipo 3
	Resumo dos tipos de problemas
	Exemplo
	Fórmulas empíricas
	Fórmula de Hazen-Williams (H-W)
	Atenção
	Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao (F-W-H)
	Saiba mais
	Escolha da fórmula a ser utilizada
	Perdas localizadas em singularidades
	Fórmula cinética da perda de carga
	Comprimento equivalente (ou virtual)
	Saiba mais
	Exemplo
	Aplicações com o software EPANET
	Ambiente de trabalho
	Atenção
	Unidades
	Dica
	Exemplo
	Conteúdo interativo
	Mão na Massa
	Questão 4
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	(ENADE – Engenharia − 2014) No dimensionamento de tubulações, fatores como rugosidade do material dos tubos ou, ainda, inclusão de peças especiais e conexões elevam a turbulência, provocam atritos e causam choque de partículas, o que origina perdas de carga. Essas perdas são classificadas em perdas contínuas ao longo dos condutos, por resistência, ocasionadas pelo movimento da água na própria tubulação, e em perdas locais, provocadas pelas peças especiais e demais singularidades de uma instalação.A figura I representa a vista lateral de um trecho de tubulação em regime permanente, com diâmetro constante de 200mm e para a qual há um desnível de 8m entre os trechos horizontais. As cargas de pressão disponíveis nas seções A e B são de, respectivamente, 24m.c.a. e 10m.c.a. O gráfico da figura II relaciona a vazão da tubulação com a perda de carga contínua para dois valores de diâmetro de tubos constituídos do mesmo material da tubulação.
	2. Tubos em série e em paralelo com condutos equivalentes
	Tubos em série
	Conteúdo interativo
	Exemplo
	Tubos em paralelo
	Exemplo
	Mão na Massa
	Questão 1
	(Petrobras – Engenheiro de Equipamentos Júnior – 2010)
	As figuras a seguir ilustram dois sistemas com múltiplos tubos. Com relação à vazão (Q) e à perda de carga (hp) dos dois sistemas, verifica-se que:
	Questão 2
	Questão 3
	Conteúdo interativo
	Questão 6
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	(INEA – Engenheiro Hidráulico − 2008) Na implantação de um canteiro de obras para uma usina, será construído um reservatório (1) que alimentará por gravidade outro reservatório (2) de uma estação de tratamento de água. Você foi encarregado de analisar as alternativas de ligação entre os reservatórios:I. Duas tubulações em paralelo, de mesmo diâmetro.II. Uma única tubulação de diâmetro constante.As duas soluções deverão apresentar o mesmo valor de perda de carga.Nas duas hipóteses, o comprimento (L) da linha de traçado da tubulação entre os dois reservatórios é o mesmo (figura), e as perdas de carga localizadas, nessa fase dos estudos, podem ser desprezadas.
	Questão 2
	3. Escoamento em tubulações
	Linhas de energia
	Conteúdo interativo
	Dica
	P.C.A. (plano de carga absoluta)
	P.C.E. (plano de carga efetiva)
	Conteúdo interativo
	Dica
	Distância até a L.C.E.
	Distância até a L.C.A.
	Atenção
	Atenção
	Saiba mais
	Exemplo
	Vazão em marcha
	Tubulações entre dois reservatórios
	Conteúdo interativo
	Exemplo
	Transiente hidráulico (golpe de aríete)
	Exemplo
	Mão na Massa
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 4
	Questão 5
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	(PORTO, 2004) O sistema de abastecimento de água de uma localidade é feito por um reservatório principal, com nível d'água suposto constante na cota 812,0m, e por um reservatório de sobras que complementa a vazão de entrada na rede, nas horas de aumento de consumo, com nível d'água na cota 800,0m. No ponto B, na cota 760,0m, inicia-se a rede de distribuição. Sabendo que o material das adutoras é aço galvanizado novo, utilizando os métodos mais práticos conhecidos e desprezando as cargas cinéticas, determine para qual valor de a linha piezométrica no sistema é a mostrada na figura a seguir:
	Questão 2
	4. Pressões e vazões em redes de distribuição de água
	Redes ramificadas
	Conteúdo interativo
	Conceitos
	Atenção
	Atenção
	Demanda de vazão
	Resolução de rede ramificada
	Dica
	Conteúdo interativo
	Saiba mais
	Exemplo
	Conteúdo interativo
	Atenção
	Redes malhadas
	1º Princípio
	2º Princípio
	Exemplo
	Aplicação com o EPANET
	Conteúdo interativo
	Mão na Massa
	Questão 6
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	A rede de distribuição em um bairro, representada pela figura a seguir, possui as seguintes características:
	Questão 2
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referênciasde carga entre esses pontos. Outra situação importante é quanto precisamos
descobrir para que vazão ocorrerá equilíbrio entre dois pontos cujas pressões já são conhecidas.
 
Em ambos os casos citados, fica evidente a necessidade de saber calcular a perda de carga (energia) em
tubulações. Há dois tipos de perda em tubulações:
Material
Rugosidade, ε
(μm = 10-3mm = 10-6m)
PVC 1,5 – 60
Cobre 1,5
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Eq. 3
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Perda distribuída (ou normal) 
Ocorre pelo “atrito” (tensão cisalhante) com
as paredes do duto ao longo do
comprimento, portanto, depende do tipo de
material (rugosidade, ε), conforme a Tabela 2.
Perda localizada (ou singular) 
Ocorre devido às recirculações e à
intensificação da turbulência causada
pela mudança da direção de fluxo em
acessórios como curvas, tês, válvulas e
reduções. Nesse caso, o tipo de material
não é significativo, mas o tipo
(geometria) da singularidade.
Material
Rugosidade, ε
(μm = 10-3mm = 10-6m)
Aço comercial e FoFo novo 45
Aço soldado e FoFo moderadamente oxidado 300 - 400
FoFo com elevada oxidação 1000 - 15000
Concreto centrifugado novo 160
Concreto armado liso antigo 200 - 300
Tabela 2 – Rugosidade absoluta de materiais comuns.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
Fórmula de Darcy-Weisbach (D-W) ou universal
A fórmula mais conhecida para o cálculo da perda de carga distribuída em tubulações é a Fórmula de Darcy-
Weisbach (D-W), que − por se aplicar a qualquer fluido e regime de escoamento − é também chamada de
fórmula universal, definida por:
Calculando a perda de carga unitária , definida pela energia perdida por comprimento de tubulação .
O é um parâmetro adimensional, porém, como seus valores são pequenos, usualmente adota-se 
(metro de carga perdida para cada quilômetro de tubulação) ou .
 
Essa equação, além da velocidade média da seção e do diâmetro interno , depende do fator de atrito 
, que é função de (número de Reynolds) e (rugosidade relativa).
 
Substituindo , a Equação (4) pode ser reescrita por:
Exemplo
Um tubo horizontal de 6 m de comprimento com diâmetro interno de 17 mm foi testado em laboratório,
aplicando-se um escoamento com velocidade de .
A diferença de pressão obtida entre o início e o fim do tubo foi de 12,4kPa.
 
Calcule:
 
a perda de carga absoluta, ;
 
Eq. 4
Eq. 5
• 
a perda de carga unitária, ;
 
o fator de atrito, .
• 
• 
Chave de resposta
Conforme a Equação (3):
Como os pontos 1 e 2 (início e fim da tubulação) estão na mesma altura (tubo horizontal), . Pelo
princípio da continuidade, temos e, como o diâmetro é constante .
Não há bomba nem turbina . Sendo assim, a equação anterior se resume a:
Substituindo-se a massa específica da água (Tabela 1), a perda de carga (absoluta):
A perda de carga unitária é definida por:
Para obter o fator de atrito, a Fórmula de Darcy-Weisbach (universal), Equação (4), deve ser aplicada:
No exemplo que acabamos de resolver, a perda de carga foi medida em laboratório, por meio da diferença
de pressão entre dois pontos. Determinamos, então, qual o fator de atrito correspondente.
Essa, porém, não é a sequência usual necessária em análise de tubulações, quando precisamos calcular a
perda de carga e, previamente, o fator de atrito. A seguir, veremos os métodos para obter o valor de .
Cálculo do fator de atrito
Para escoamento laminar, o fator de atrito é obtido com solução analítica, cujo desenvolvimento pode ser
consultado na bibliografia em referência, obtendo-se:
Em regime turbulento, décadas de pesquisa entre os séculos XIX e XX, envolvendo diversos cientistas,
levaram à Equação de Colebrook-White:
Trata-se de uma equação implícita, pois não pode ser calculado diretamente (explicitamente), porém, os
programas de computadores a resolvem por método iterativo em frações de segundo.
 
Caso você precise de uma maneira direta para calcular , uma alternativa aproximada é a Equação de
Swamee-Jain:
Essa fórmula fornece resultados com menos de 1\% de erro, para e 
, o que abrange a maioria dos escoamentos que ocorrem na prática.
Dica
Diagrama de Moody (Figura 4) era muito popular quando não tínhamos recursos computacionais para
resolver as equações citadas anteriormente, fornecendo o valor de de forma gráfica. 
Figura 4 – Diagrama de Moody.
Outra utilidade do Diagrama de Moody é a visualização de diferentes classificações do escoamento com base
no comportamento de (Figura 5).
Eq. 6
Eq. 7
Eq. 8
Figura 5 – Classificações do escoamento quanto à turbulência e a rugosidade.
Para região crítica, há diferentes formulações encontradas na literatura, que procuram ajustar a reta que vem
da região laminar para as curvas do regime turbulento. Uma delas é a expressão proposta por Swamee:
Resumindo
Para calcular o valor do fator de atrito , podemos utilizar, de acordo com o regime: Laminar: Equação
(6). Regime turbulento: Equação de Colebrook-White (7) ou a aproximação Swamee-Jain (8). Transição
entre laminar e turbulento (região crítica): Equação de Swamee (9). Qualquer regime: Diagrama de
Moody (Figura 4). 
Exemplo
Calcule o coeficiente de atrito, por diferentes métodos, para um escoamento onde e 
.
Chave de resposta
Como , trata-se de escoamento turbulento, e podemos utilizar:
Colebrook-White, Equação (6): 
Conforme já mencionado, essa equação exige uma solução iterativa. Portanto, vamos arbitrar um valor
inicial para , por exemplo, . Colocando esse valor no que está no argumento do 
completando os valores de e , obteremos .
Utilizando esse novo valor no argumento do log, obteremos 0,0163 . Repetindo o procedimento
anterior, teremos o mesmo valor, o que indica que foi alcançada a convergência (solução).
Então, .
Swamee-Jain, Equação (8):
Substituindo os valores de e , teremos .
Pelo Diagrama de Moody:
Conteúdo interativo
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O que resulta em = 0,016.
Tipos de problemas
Dependendo de que dados são conhecidos e quais resultados deseja-se calcular, a solução pode ser muito
diferente. Vamos classificar aqui três tipos de problemas.
Tipo 1
Nesse problema, o diâmetro e a vazão são conhecidos, consequentemente, pela relação , a
velocidade também é obtida. A incógnita será, então, a perda de carga, o que é necessário para o cálculo da
pressão (Figura 6). Com a velocidade, obtemos , utilizado para a determinação de e, por fim, da ,
constituindo uma solução direta. Um exemplo é quando desejamos verificar se as pressões em uma rede
estão acima do mínimo requerido por norma.
Figura 6 – Problema de perda de carga tipo 1 – pressão desconhecida.
Tipo 2
Aqui, desejamos descobrir qual a vazão para determinada perda de carga, o que ocorre, por exemplo, ao
calcular a vazão de equilíbrio na ligação entre dois reservatórios (Figura 7). A perda de carga será igual à
diferença dos respectivos níveis de água. Observando a equação de Darcy-Weisbach (4), percebemos que a
velocidade é implícita em , inviabilizando o cálculo direto do problema, requerendo uma solução iterativa.
Figura 7 – Problema de perda de carga tipo 2 – vazão desconhecida.
Tipo 3
Temos, ainda, o tipo de problema no qual devemos calcular qual diâmetro resultará em vazão e pressão dentro
de limites preestabelecidos (ex.: mínimo e máximo de norma). Nesse caso, pode haver mais de uma solução
com diâmetros comercialmente disponíveis, e o engenheiro deverá optar pela opção mais econômica. Assim
como no problema anterior, esse tipo também requer solução iterativa.
Resumo dos tipos de problemas
A Tabela 4 apresenta um resumo desses três tipos de problema:
Tipo
Dado além de ε, L, ρ e μ
Solução Exemplo
1 ✔️ ✔️ ✔️ 2 7
5 3 Direta Verificação de pressões
2 ✔️ 2 7
5 3
2 7
5 3 ✔️ Iterativa Vazão de equilíbrio entre dois reservatórios
3 2 7
5 3 ✔️ 2 7
5 3 ✔️ Iterativa Dimensionamento
Tabela 4 – Tipos de problema com perda de carga.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
Exemplo
A ligação entre dois reservatórios abertos, cujos níveis de água diferem em 26m, é feita por uma tubulação de
FoFo (ferro fundido)com leve oxidação, sendo ε = 0,3mm, DN (diâmetro nominal) 4”, diâmetro interno de
107mm e comprimento de 600m. Desconsiderando as perdas localizadas, determine a vazão transportada em
regime permanente.
Chave de resposta
Com base na Tabela 4, trata-se de um problema tipo 2, cuja solução com a equação de Darcy-Weisbach
(universal) requer cálculo iterativo. Para situação de equilíbrio (regime permanente), é válida a Equação (3):
Vamos definir os pontos 1 e 2 como as superfícies dos reservatórios, pois lá temos as informações
necessárias.
Como a pressão (manométrica) e a velocidade nesses pontos são nulas e não há bombas, nem turbinas, a
equação anterior se reduz a:
Perceba, então, que em problemas de ligação entre reservatórios a perda de carga será igual ao desnível
da água.
Aplicando a fórmula universal da perda de carga (4):
A segunda relação entre e pode ser obtida pela Equação de Swamee-Jain (8):
Onde:
i
ii
• 
• 
Conforme mencionado anteriormente, esse problema exigirá uma solução iterativa. Para começar,
precisamos arbitrar um valor inicial, digamos :
utilizando a Equação (ii), obteremos ;
aplicando esse valor na Equação (i), ;
voltando à Equação (ii), com esse novo valor, teremos 0,0266;
novamente na Equação (i), .
Observe que a diferença entre as duas últimas velocidades calculadas é muito pequena,
consequentemente, se calculássemos mais uma iteração, ela seria desprezível. Conclui-se, portanto, que
foi alcançada a convergência do método iterativo e o valor final é . É importante ressaltar
que, caso utilizássemos um valor arbitrado diferente (começamos com ), chegaríamos no
mesmo valor final.
Por fim:
Fórmulas empíricas
A fórmula universal é importante pois se aplica para qualquer fluido e condição. Você deve ter observado,
porém, o trabalho necessário para calculá-la.
 
Para contornar isso e tornar o cálculo da perda de carga mais prático, podem ser utilizadas as fórmulas
empíricas, tendo como formulação geral , cujas constantes e foram ajustadas com
base em experimentos. Consequentemente, a aplicabilidade fica restrita aos fluidos e às condições para os
quais suas constantes foram obtidas.
Fórmula de Hazen-Williams (H-W)
Foi obtida para água a , escoando em regime turbulento com rugosidade transicional em diâmetros
industriais (usualmente ):
 
• 
• 
• 
• 
Eq. 10
Onde:
 
 é a vazão ( , no S.I.);
 
 é o diâmetro (m, no S.I.);
 
 é o coeficiente de Hazen-Williams, com valores para materiais mais comuns listados na Tabela 5.
 
Observe que, ao contrário da rugosidade da Equação de D-W (4), quanto maior o valor de , menor a perda
de carga, pois ele se encontra no denominador da Equação de H-W (10).
Material C
PVC 150
Aço soldado ou FoFo novo 130
Aço soldado ou FoFo em uso 90
Aço corrugado (chapa ondulada) 60
Concreto com acabamento comum 120
Tabela 5 – Valores do coeficiente de Hazen-Williams, .
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
Atenção
A Equação de H-W se tornou muito popular, mas deve ser utilizada com cautela, pois pode resultar em
erros quando aplicada fora das condições para as quais foi ajustada. 
Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao (F-W-H)
Para diâmetros menores, tipicamente de instalações prediais, é válida a fórmula:
Com e no S.I. e cujas constantes e são listadas na Tabela 6:
Material K m n
Aço galvanizado novo (água fria) 0,002021 4,88 1,88
PVC rígido (água fria) 0,0008695 4,75 1,75
• 
• 
• 
Eq. 11
Material K m n
Cobre ou latão (água fria) 0,000874 4,75 1,75
Cobre ou latão (água quente) 0,000704 4,75 1,75
Tabela 6 – Constantes da fórmula de Fair-Whipple-Hsiao (F-W-H).
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
Para pequenos diâmetros, a precisão requerida é menor e há necessidade de maior praticidade no cálculo.
Saiba mais
Essa fórmula é amplamente utilizada em projetos de instalações prediais (ex.: residência) e recomendada
pela NBR 5626/98 – Instalação predial de água fria. 
Escolha da fórmula a ser utilizada
O engenheiro deve fazer uma análise prévia do problema, levando em conta a urgência do cálculo, a
disponibilidade de recurso computacional e a precisão requerida.
 
Quando você está no escritório e tem acesso a um computador, é recomendado utilizar planilhas eletrônicas
ou programas específicos para análise de escoamento em tubulações, capazes de calcular rapidamente e da
maneira mais precisa (fórmula universal).
 
Mas imagine que você está inspecionando uma instalação industrial, verificando as pressões em condição de
operação. Ao verificar a pressão em um manômetro, como saber se o valor medido é próximo ao esperado?
Nesse caso, a utilização da formulação empírica (ex.: H-W) pode ser muito útil, pois viabiliza o
cálculo no local com qualquer calculadora, inclusive a do seu celular.
Perdas localizadas em singularidades
Fórmula cinética da perda de carga
Além da perda distribuída ao longo da tubulação, devemos considerar também as perdas localizadas, que
ocorrem, a princípio, em qualquer tipo de singularidade na tubulação, entre elas: cotovelos, curvas, tês,
alargamento, redução, válvulas, entrada e saída em reservatório.
 
Uma das maneiras de se calcular a perda localizada é pela fórmula cinética da perda localizada:
Eq. 12
Onde é a velocidade média ( , no S.I.) e é uma constante adimensional, dependente do tipo de
singularidade (Tabela 7):
Acessório Acessório
Cotovelo de 90° raio curto 0,90 Válvula de gaveta aberta 0,20
Cotovelo de 45° 0,40 Válvula de ângulo aberta 5,0
Curva de 90° 0,40 Válvula de globo aberta 10
Tê, passagem direta 0,6-0,9 Válvula borboleta aberta 0,15-0,30
Tê, saída lateral 1,3-2,0 Válvula de pé com crivo 10
Entrada com borda 0,8-1,0 Válvula de retenção 2,5-3,0
Saída de tubulação 1,0 Válvula de boia 6
Tabela 7 – Valores de coeficiente de perda localizada.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
Comprimento equivalente (ou virtual)
Outro método de obter a perda localizada consiste em substituir a singularidade por um comprimento de tubo
que causaria a mesma perda de carga, ou seja, igualando-se as Equações (4) e (12):
Cancelando os termos repetidos e isolando :
Para determinado material (ex.: PVC ou aço), há uma considerável região visualizada no Diagrama de Moody
(Figura 5), ao longo da qual o tem valor constante. Portanto, podemos obter comprimentos equivalentes 
 pela Equação (13) para os diâmetros comerciais.
Saiba mais
Os valores são encontrados em diversos livros de Hidráulica, além de na NBR 5626. 
Os comprimentos equivalentes (ou virtuais) podem ser somados aos reais para calcular a perda de carga total
(soma da distribuída com localizada). Esse é um método prático e bastante utilizado em instalações prediais
devido à grande quantidade de perdas localizadas. No entanto, devido à simplificação adotada 
constante), pode levar a erros significativos.
Eq. 13
Exemplo
(Adaptado de PORTO, 2004).
 
Um trecho de tubulação interliga a coluna de distribuição a um chuveiro (figura a seguir, em plano vertical).
O trecho em análise é constituído de:
 
 de tubulação PVC com 17mm de diâmetro interno (DN 20);
 
3 joelhos (cada);
 
1 tê de passagem direta, ;
 
1 tê de passagem lateral, ;
 
2 registros de gaveta abertos, (cada).
 
Se a vazão é , calcule qual deve ser a pressão em para que a pressão em B seja, no mínimo, 
. a. Calcule da maneira mais prática possível.
Chave de resposta
• 
• 
• 
• 
• 
A perda de carga unitária, para tubo de PVC na vazão e no diâmetro interno do problema, pode ser obtida
pela equação de F-W-H (11):
O comprimento total de tubulação, incluindo as perdas localizadas, será:
E a perda de carga:
Aplicando a equação da energia em regime permanente (3) entre A e B:
O diâmetro é constante, portanto, e não há turbina nem bomba :
Aplicações com o software EPANET
O EPANET, software desenvolvido pela Agência de Proteção Ambiental dos EUA, Environmental Protection
Agency (EPA), é uma ferramenta gratuita capaz de calcular diversas situações de escoamento forçado em
tubulações. Ele pode serbaixado no site da EPA ou no site da UFPB (em português). Com o EPANET, é
possível:
 
Realizar o traçado da rede sobreposto a mapas em escala e baseados em sistema de informação
geográfica (GIS).
 
Modelar válvulas e bombas.
 
Simular escoamento estático, permanente e quase-permanente (tópico 1).
 
• 
• 
• 
Simular a qualidade da água.
Ambiente de trabalho
A barra de tarefas é a maneira mais prática de inserir novos componentes físicos, localizados nos últimos
botões (Figura 8):
Figura 8 - Ambiente de trabalho do EPANET.
O modelo é elaborado com base nos componentes físicos, entre eles: nós, RNF (reservatórios de nível fixo), 
trechos (tubulações), bombas e válvulas.
 
A rede deve possuir, no mínimo, um nó para que a simulação seja executada.
 
A fórmula de perda de carga a ser utilizada é definida no menu Projeto Opções de simulação:
 
H-W: Hazen-Williams.
 
D-W: Darcy-Weisbach.
 
C-M: Chezy-Manning.
Atenção
A fórmula configurada implicará no significado do parâmetro “Rugosidade” dos trechos (ex.: se H-W, o
parâmetro será o coeficiente C; se D-W, será ε). 
Unidades
As unidades consideradas pelo EPANET ficam atreladas ao sistema de unidades adotado (EUA ou SI), com
base na unidade de vazão escolhida no menu Projeto Opções de simulação.
• 
• 
• 
• 
Dica
Optando por LPS (litros por segundo), a rugosidade e o diâmetro de tubos estarão em milímetros, o
comprimento e a cota estarão em metros e a perda de carga unitária, em m/km. 
Exemplo
Vamos utilizar o EPANET para resolver o exemplo feito no item “Tipos de Problemas”:
Chave de resposta
O vídeo a seguir mostra a solução com a sequência: configuração da unidade e da fórmula, inserção dos
reservatórios e nó, inserção dos trechos, entrada de propriedades, simulação e, por fim, verificação dos
resultados. Teremos um trecho adicional com comprimento desprezível (0,01m) apenas porque deve haver,
ao menos, um nó para o funcionamento do programa.
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Compare com os resultados obtidos pelo cálculo manual do problema. Observe que a solução com o
EPANET é muito mais rápida, além de ser mais segura, pois reduz a chance de erros.
Mão na Massa
questão 1
O exemplo a seguir pode ser classificado como escoamento permanente:
A A partida de uma bomba de água.
B O esvaziamento lento de um reservatório.
C O fechamento de uma válvula.
D A transferência de água entre dois reservatórios de níveis constantes.
E A parada de uma bomba por falta de eletricidade.
A alternativa D está correta.
Nas opções "a", "b", "c" e "e" haverá variação da vazão ao longo do tempo, o que não pode ser classificado
como permanente. No exemplo citado na letra "d", por outro lado, após alcançado o equilíbrio, a vazão será
constante.
Questão 2
O escoamento é laminar em:
A Água μ = 10-3kg/m.s e ρ = 1000kg/m³, escoando em uma adutora de 10” a 1,5m/s.
B e , escoando em um duto de refrigeração de 40 cm a 
.
C Gasolina com , escoando em um duto de 50 mm a .
D Petróleo com e , escoando em um duto de a .
E Óleo SAE 30 W com , escoando em um duto de a .
A alternativa D está correta.
A classificação entre laminar e turbulento é feita por meio do número de Reynolds. Entre as alternativas
disponibilizadas pela questão, a que apresenta menor valor é a D:
Trata-se, portanto, de escoamento laminar. Testando para as demais opções, verifica-se que em todas o
valor de Reynolds é superior a 4000, classificados, então, como turbulentos.
Questão 3
(Companhia de águas de Joinville – Engenheiro Sanitarista – Projetos − 2018) Dentre as expressões usadas
para a determinação da perda de carga que ocorre no escoamento de fluidos ao longo de tubulações e
seções circulares de qualquer diâmetro, a fórmula de uso geral, que pode ser utilizada tanto para escoamento
em regime turbulento quanto para o laminar, conhecida também como fórmula universal, é denominada:
A Darcy-Weisbach
B Hazen-Williams
C Borda-Belanger
D Flamant
E Fair-Whipple-Hsiao
A alternativa A está correta.
A fórmula D-W utilizada para o cálculo da perda de carga distribuída em tubulações foi proposta pelo
engenheiro francês Henry Darcy e pelo matemático alemão Julius Weisbach.
Questão 4
(ENADE – Engenharia Civil − 2017) A maioria das aplicações da hidráulica na engenharia direciona-se à
utilização de tubos de seção transversal circular. Quando a pressão interna do escoamento nesses condutos
difere da atmosférica, com o fluido circulante preenchendo toda a área do conduto, diz-se que o escoamento
ocorre sob pressão ou conduto forçado.
 
As redes de distribuição de água das cidades, as instalações prediais e os sistemas de recalque são alguns
exemplos de escoamento em condutos forçados. Existem várias fórmulas empíricas aplicáveis para a
determinação da perda de carga unitária em condutos sob pressão nas tubulações de seção circular, e elas
podem ser, de maneira geral, representadas pela equação:
Em que os parâmetros K, n e m são inerentes a cada formulação e faixa de aplicação, em geral com valores de
K dependentes somente do tipo de material da parede do conduto.
 
Para n = 2 e m = 5, mantendo-se a mesma perda de carga unitária J e mesmo coeficiente de resistência K, se
o diâmetro D de uma tubulação for quadriplicado, então, a vazão Q:
A Diminuirá à metade.
B Permanecerá igual.
C Duplicará.
D Quadriplicará
E Aumentará em trinta e duas vezes.
A alternativa E está correta.
De acordo com o enunciado:
Quadriplicando o diâmetro, teremos uma nova vazão:
Igualando-se essas duas equações:
Questão 5
Na tubulação de uma adutora em aço novo com diâmetro nominal (DN) de , cujo
diâmetro interno correspondente é , escoa 1,5L/s de água. Calcule de maneira mais prática possível
a perda de carga ao longo de 100m dessa tubulação:
A 1,13m
B 1,48m
C 0,98m
D 10m
E 0,01m
A alternativa A está correta.
Conforme vimos no tópico 3, a maneira mais prática de calcular a perda de carga é por meio de fórmulas
empíricas. No diâmetro em questão, adota-se a Equação de H-W (10):
Então:
Questão 6
6. Continuando o problema anterior, o início da tubulação (montante) está na cota 12 m e tem pressão de 
, enquanto o fim (jusante) está na cota 18m. Há como singularidades (perdas localizadas) e
respectivos comprimentos equivalentes:
 
5 joelhos ;
 
2 registros de gaveta, (cada);
 
1 registro de ângulo, .
 
Calcule a pressão no ponto de jusante, da maneira mais prática possível.
A 18,7m.c.a.
 
• 
• 
• 
B 20,0m.c.a.
C 18,9m.c.a.
D 19,0m.c.a.
E 15,0m.c.a.
A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo da resolução.
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Teoria na prática
A rede hidráulica de uma indústria, contida em um plano horizontal e constituída de tubos de aço com
diâmetro nominal de 4” e diâmetro interno de 107mm, é representada pelo esquemático (fora de escala) da
figura a seguir, com as seguintes condições:
 
a válvula V1 está sempre fechada;
 
a válvula V2 é constantemente ajustada para manter a vazão = 8L/s constante;
 
inicialmente, a válvula V3 está fechada;
 
a válvula de ângulo está sempre totalmente aberta;
 
no ponto A, um sistema de pressurização mantém a pressão = 800kPa (manométrica) constante;
 
no ponto D, a tubulação está aberta para atmosfera (saída de tubulação);
 
a tubulação é de aço galvanizado;
 
o fluido é água a 20°C e o escoamento ocorre em regime permanente.
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Comprimentos equivalentes:
 
cotovelo raio curto 90°: 3,8m;
 
tê de passagem direta: 0,7m;
 
tê para saída lateral: 5,5m;
 
válvula de gaveta: 0,7m;
 
válvula de ângulo: 17,0m;
 
válvula de retenção pesada: 12,9m;
 
saída de tubulação: 3,2m.
 
Adotando métodos e fórmulas mais práticos possíveis e consultando a Tabela A, calcule:
 
a) Para a situação inicial, a pressão no ponto F.
 
b) Se a válvula for aberta e ajustada para que a vazão do respectivo ramal seja , as pressões
nos pontos B e C.
c) No mesmo cenário do item (b), o comprimentoequivalente da válvula .
d) No mesmo cenário do item (b), a pressão nos pontos E e F.
e) A queda percentual da pressão no ponto , entre os cenários dos itens (a) e (b).
Chave de resposta
Assista ao vídeo de resolução do cálculo de pressão e dimensionamento de válvula para rede industrial.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
(ENADE – Engenharia − 2014) No dimensionamento de tubulações, fatores como rugosidade
do material dos tubos ou, ainda, inclusão de peças especiais e conexões elevam a turbulência,
provocam atritos e causam choque de partículas, o que origina perdas de carga. Essas perdas
são classificadas em perdas contínuas ao longo dos condutos, por resistência, ocasionadas
pelo movimento da água na própria tubulação, e em perdas locais, provocadas pelas peças
especiais e demais singularidades de uma instalação.
A figura I representa a vista lateral de um trecho de tubulação em regime permanente, com
diâmetro constante de 200mm e para a qual há um desnível de 8m entre os trechos
horizontais. As cargas de pressão disponíveis nas seções A e B são de, respectivamente,
24m.c.a. e 10m.c.a. O gráfico da figura II relaciona a vazão da tubulação com a perda de carga
contínua para dois valores de diâmetro de tubos constituídos do mesmo material da
tubulação.
(Unidade da perda contínua em 10-3m/m = m/km)
Com base nos dados apresentados e considerando apenas as perdas de cargas contínuas, conclui-se que a
vazão na tubulação é de:
A 26L/s
B 33L/s
C 38L/s
D 43L/s
E 48L/s
A alternativa D está correta.
A equação da energia em regime permanente (3), aplicada entre os pontos A e B, dará:
Sendo o mesmo diâmetro, (da equação da continuidade, ), sem bomba, nem
turbina no trecho:
A perda de carga unitária, chamada de contínua no gráfico (sabemos pela unidade), é:
Observando os comprimentos de tubo, constatamos que eles são muito elevados, o que nos permite
desprezar as perdas localizadas, então:
Analisando o gráfico para esse valor de perda contínua, obtemos .
Questão 2
Em uma tubulação de aço novo com diâmetro nominal (DN) de , cujo diâmetro
interno correspondente é , escoa 1,5L/s de água. Calcule de maneira precisa a perda de carga ao
longo de 100m dessa tubulação:
A 10m
B 0,01m
C 0,98m
D 1,13m
E 1,48m
A alternativa C está correta.
O cálculo preciso da perda de carga é feito pela equação de D-W (4) ou (5):
O fator de atrito f pode ser obtido, com boa precisão, pela equação de Swamee-Jain (8):
Sendo a velocidade:
O número de Reynolds:
E a rugosidade relativa:
Substituindo na equação de Swamee-Jain:
E, por fim, em D-W:
2. Tubos em série e em paralelo com condutos equivalentes
Tubos em série
Assista ao vídeo sobre a associação de tubos em série e paralelo.
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Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Quando segmentos de tubo são ligados em sequência, garantindo que a vazão que atravessa todos é a
mesma, temos uma configuração de tubo em série (Figura 9):
Figura 9 – Tubos em série.
Consequentemente, a perda de carga do conjunto será igual à soma da perda de carga em cada segmento,
enquanto a vazão é a mesma, conforme a Equação (14):
Com o intuito de obter uma metodologia prática, vamos calcular a perda de carga pela Equação de H-W (10),
que vimos no Módulo 1, que se resume a , onde é constante. Substituindo na
Equação (14):
Com o cancelamento de e da vazão (iguais) nos dois lados:
Eq. 14
Eq. 15
Onde e são os parâmetros do duto equivalente e e são de cada trecho i real.
 
Trata-se de uma substituição matemática de segmentos em série por um único tubo. Devemos escolher
qual dos parâmetros ( ou ) será calculado pela Equação (15), sendo os demais arbitrados para
valores convenientes, ou seja, que facilitem a solução do problema.
Exemplo
Se a substituição dos segmentos em série por um único tubo com facilitar a resolução do problema,
podemos adotar e calcular o comprimento equivalente resultante. 
Tubos em paralelo
Em uma configuração oposta à anterior, imagine que todos os segmentos de tubo analisados saem de uma
mesma conexão (ponto 0) e chegam em outra também em comum (ponto 1), conforme a Figura 10:
Figura 10 – Tubos em paralelo.
Nesse caso, a vazão total transportada é a soma de cada trecho, enquanto a perda de carga em todos é igual,
pois ao calcular a diferença de energia (carga ) entre montante e jusante, todos terão o mesmo resultado.
Essa condição é resumida pela Equação (16):
A Equação de H-W (10), que vimos no Módulo 1, pode ser reescrita para explicitar a vazão, obtendo que se
resume a . Substituindo na Equação (16):
Eq. 16
Com o cancelamento de e (iguais) nos dois lados:
Assim como para tubos em série, o cálculo do equivalente dos tubos em paralelo parte da escolha de dois
parâmetros (entre e ) a serem estabelecidos para que um seja calculado.
Exemplo
Em uma planta industrial, 10 tubos com o mesmo comprimento , diâmetro e rugosidade estão ligados
em paralelo. Qual será o diâmetro do conduto equivalente, em função de , tendo o mesmo comprimento e
rugosidade dos tubos?
Chave de resposta
Para dutos em paralelo, utilizamos a Equação (17):
Como são 10 dutos com as mesmas propriedades:
Observe que o diâmetro equivalente não terá 1/10 do diâmetro dos tubos. Para tubos, teríamos:
Mão na Massa
Questão 1
Eq. 17
(Petrobras – Engenheiro de Equipamentos Júnior – 2010)
As figuras a seguir ilustram dois sistemas com múltiplos tubos. Com relação à vazão (Q) e à
perda de carga (hp) dos dois sistemas, verifica-se que:
A Sistema 1: .
Sistema 2: .
B Sistema 1: .
Sistema 2: .
C
Sistema 1: . 
Sistema 2: .
D
Sistema 1: ; . 
Sistema 2: .
E
Sistema 1: . 
Sistema 2: .
A alternativa A está correta.
O sistema 1 representa uma configuração de tubos em série, enquanto o sistema 2 representa uma
configuração de tubos em paralelo, conforme mencionado na definição de tubos em série e paralelo
definidas nos tópicos 1 e 2.
Questão 2
O trecho de uma rede hidráulica industrial de óleo representado na figura abaixo possui três válvulas (V1, V2 e
V3) e um equipamento (E).
Em que cenário o trecho entre B e C pode ser considerado como uma associação em paralelo de três dutos?
A V1 aberta, V2 fechada e V3 aberta.
B V1 fechada, V2 fechada e V3 aberta.
C V1 aberta, V2 fechada e V3 fechada.
D V1 aberta, V2 aberta e V3 aberta.
E V1 fechada, V2 aberta e V3 aberta.
A alternativa E está correta.
Para que as três derivações estejam em paralelo, é necessário que a vazão total seja a mesma, tanto antes
quanto após, por isso, V1 deve estar fechada. Para que haja três dutos em paralelo, deve haver escoamento
neles, portanto, V2 e V3 devem estar abertas.
Questão 3
Para que combinação de abertura ou fechamento das válvulas V1, V2 e V3, ilustradas na figura a seguir, o
trecho entre A e D pode ser substituído, por meio apenas de associação em série, por um único conduto?
A V1 aberta, V2 fechada e V3 aberta.
B V1 fechada, V2 fechada e V3 fechada.
C V1 aberta, V2 fechada e V3 fechada.
D V1 aberta, V2 aberta e V3 aberta.
E V1 fechada, V2 aberta e V3 aberta.
A alternativa B está correta.
Para que segmentos de tubos estejam em série, a vazão em cada um deles deve ser igual. No problema em
questão, isso só ocorrerá se todas as válvulas estiverem fechadas.
Questão 4
Um trecho de tubulação em PVC é composto por 3 segmentos em série, com as seguintes características:
 
Trecho 1: e .
 
Trecho 2: e .
 
Trecho 3: e .
 
• 
• 
• 
Qual seria o diâmetro do conduto equivalente com o mesmo material e comprimento total?
A 33mm
B 46mm
C 38mm
D 41mm
E 40mm
A alternativa A está correta.
Para dutos em série, de acordo com a Equação (15):
Como todos os dutos têm o mesmo material, o valor de C (coeficiente de Hazen-Williams) será igual e
cancelado nos dois lados da equação. A soma total dos comprimentos é .
Então:
Questão 5
Na rede fechada de água gelada para refrigeração de um shopping, um trecho é constituídopor 5 derivações,
todas de aço, diâmetro nominal de 2”, interno de 54,3mm e, aproximadamente, com o mesmo comprimento.
Para um cálculo prático da vazão total do sistema, esse trecho poderia ser substituído, por meio de
associação em paralelo, por uma tubulação com que diâmetro?
A 100mm
B 271mm
C 121mm
D 60mm
E 76mm
A alternativa A está correta.
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Questão 6
(NETTO, Cap. A-13, 2015) Uma canalização está constituída de três trechos em série, com as características
indicadas na tabela a seguir:
Trecho Diâmetro (mm) Comprimento (m)
Coeficiente de
rugosidade de
Hazen Williams
1 100 200 110
2 150 700 120
3 200 100 100
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
Qual o diâmetro de uma tubulação de diâmetro único e C = 140 que substitui o sistema em série descrito,
seguindo a mesma diretriz (mesmo traçado, ou seja, mesmo comprimento)?
A 150mm
B 145mm
C 118mm
D 269mm
E 138mm
A alternativa C está correta.
Pela equação de tubos em série:
Teoria na prática
(PORTO, 2004) A ligação de dois reservatórios mantidos em níveis constantes é feita pelo sistema de
tubulações mostrado na figura a seguir. Assumindo um coeficiente de atrito constante para todas as
tubulações e igual a , desprezando as perdas localizadas e as cargas cinéticas, determine a vazão
que chega ao reservatório , as vazões nos trechos de e e a pressão disponível no ponto B .
Chave de resposta
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Verificando o aprendizado
Questão 1
(INEA – Engenheiro Hidráulico − 2008) Na implantação de um canteiro de obras para uma
usina, será construído um reservatório (1) que alimentará por gravidade outro reservatório (2)
de uma estação de tratamento de água. Você foi encarregado de analisar as alternativas de
ligação entre os reservatórios:
I. Duas tubulações em paralelo, de mesmo diâmetro.
II. Uma única tubulação de diâmetro constante.
As duas soluções deverão apresentar o mesmo valor de perda de carga.
Nas duas hipóteses, o comprimento (L) da linha de traçado da tubulação entre os dois
reservatórios é o mesmo (figura), e as perdas de carga localizadas, nessa fase dos estudos,
podem ser desprezadas.
Qual será a relação entre os diâmetros das duas alternativas, considerando diâmetro da alternativa I e 
 diâmetro da alternativa II?
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Conforme vimos no exemplo do tópico 2 (Tubos em paralelo), se o material e o comprimento dos condutos
em paralelo e do conduto equivalente forem iguais:
O diâmetro equivalente corresponde à alternativa 2 (único duto), portanto:
O que é equivalente à letra E.
Questão 2
Seja um trecho de tubulação antiga composta por três segmentos em série:
Você foi designado para substituir esse trecho por uma tubulação nova de PVC com um único diâmetro e
seguindo o mesmo traçado (comprimento total). Qual diâmetro comercial mais próximo para que a perda de
carga seja a mesma? Por simplificação, considere o diâmetro interno como igual ao nominal.
A 50
B 75
C 100
D 125
E 150
A alternativa C está correta.
Com caso de dutos em série, conforme a Equação (15):
Para tubulação nova de PVC, (Tabela 5), o comprimento total é .
Portanto, o diâmetro comercial mais próximo é de 100mm (4”).
3. Escoamento em tubulações
Linhas de energia
Assista ao vídeo sobre a análise gráfica de escoamentos em tubulações.
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Conforme vimos anteriormente, a carga (energia) de um fluido em um ponto é definida por:
A soma da carga de pressão com a cota constitui o que é chamado de “cota piezométrica” (CP):
Portanto, a distância entre a linha de energia e a piezométrica equivale à carga cinética .
Dica
Em tubulações de água, normalmente, essas linhas são muito próximas, pois a velocidade costuma ser
inferior a 2m/s, resultando em carga cinética desprezível (≅ 0,2m). 
Na Figura 11, observamos a evolução da linha de energia e piezométrica em uma tubulação. A energia
decresce, devido à perda de carga.
Figura 11 – Diagrama de energia.
Esse tipo de imagem fornece informações importantes, por meio de análise gráfica, conforme abordaremos
adiante.
 
Os planos são definidos como horizontais (energia constante), partindo no valor de montante (inicial) e
divididos em:
P.C.A. (plano de carga absoluta)
Horizontal que parte do valor da energia (carga)
na montante, considerando pressão absoluta
para cálculo de , que será então 
.
P.C.E. (plano de carga efetiva)
Similar ao anterior, mas considerando pressão
manométrica, ou seja, a uma altura 
abaixo do P.C.A.
Como representam uma energia constante (horizontais), correspondem à situação hidrostática, ou seja, sem
perdas.
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abaixo.
Figura 12 – Linhas de energia.
As linhas, por sua vez, consideram a perda de carga (redução da energia ao longo do tubo), também divididas
em absoluta (L.C.A.) e efetiva (L.C.E.), pelo mesmo motivo. A declividade das linhas é calculada por ,
que, para ângulos de assentamento pequenos (menores que ), é aproximadamente igual a 
(perda de carga unitária).
Dica
Se medirmos a distância entre o ponto P da tubulação e uma linha de energia, teremos o equivalente à
carga de pressão, conforme demonstrado na Figura 13. 
Figura 13 – Análise gráfica da pressão – Cenário 1: traçado abaixo de L.C.E.
Distância até a L.C.E.
Medirá a pressão hidrodinâmica manométrica
(efetiva).
Distância até a L.C.A.
Fornecerá a pressão hidrodinâmica absoluta.
O P.C.E. e o P.C.A., por sua vez, medirão as pressões hidrostáticas.
 
No cenário da Figura 13, observa-se que todo o traçado da linha se encontra abaixo da L.C.E., portanto, terá
pressão manométrica positiva - devemos somar algo para ir de até a linha.
 
Agora vamos analisar o cenário da Figura 14.
O traçado permanece abaixo do P.C.E., o que significa que o sistema é capaz de encher a linha, pois
a pressão hidrostática é positiva.
No entanto, uma vez cheia e em regime permanente, o ponto P estará acima da L.C.E., o que implica em
pressão hidrodinâmica manométrica negativa.
Figura 14 – Análise gráfica da pressão – Cenário 2: traçado acima de L.C.E.
O escoamento é possível, porque permanece abaixo da L.C.A. (pressão hidrodinâmica absoluta positiva), o
que se faz necessário, pois fluido não resiste à tração (pressão absoluta negativa).
Atenção
Esse tipo de escoamento não é desejável, pois a pressão manométrica negativa tende a causar acúmulo
de ar. 
Uma solução seria colocar uma bomba logo na saída de R1, elevando a linha de energia naquele ponto (Figura
15 – linha verde).
Figura 15 – Análise gráfica da pressão – Cenário 2: soluções.
Lembrando que a declividade da linha equivale à perda de carga unitária , alternativamente, poderíamos
reduzir o diâmetro no trecho PL, o que aumentaria a partir de P (Figura 15 - linha vermelha). Uma terceira
solução seria construir outro reservatório, em P.
 
Mais um cenário é aquele em que o traçado tem um trecho acima do P.C.E. (Figura 16). A diferença em relação
ao anterior é que nesse cenário o sistema não será capaz de encher a linha, fazendo necessário o uso de uma
bomba. Mas, uma vez cheia, o escoamento poderá ocorrer, pois tem pressão absoluta positiva. Essa
configuração é chamada de "sifão".
Figura 16 – Análise gráfica da pressão – Cenário 3: traçado acima do P.C.E.
Atenção
Quando há pressão manométrica negativa, é fundamental garantirmos que a pressão absoluta
permaneça acima da pressão de vapor da água. Caso contrário, haverá evaporação e acúmulo, o que
obstruirá e, eventualmente, interromperá o escoamento. 
Saiba mais
O efeito sifão pode ser facilmente verificado em casa, ao tentarmos tirar água de um recipiente (ex.:
copo) com um canudo. Se estiver vazio, nada ocorrerá, mas, se “sugarmos” a água, enchendo o canudo
e mantendo sua extremidade de fora abaixodo N.A. no copo (P.C.E.), haverá escoamento. 
Exemplo
Válvulas ventosas são dispositivos que permitem a entrada e a saída de ar na tubulação, sendo, portanto,
importantes para evitar pressões negativas durante o esvaziamento e retirar o ar no enchimento. Seu
funcionamento é ilustrado na Figura 17.
Figura 17 – Funcionamento da válvula ventosa.
Considerando o sistema de ligação entre dois reservatórios da figura a seguir, qual seria o ponto mais indicado
para instalação de uma válvula ventosa?
Para que a ventosa retire o ar durante o enchimento da tubulação, é necessário que ela esteja em pontos de
acúmulo, ou seja, máximos locais, o que nos faz analisar os pontos C e D.
 
O ponto C está acima da L.C.E. (linha vermelha tracejada), levando-o a ter pressão manométrica negativa, em
regime permanente (condição de operação). A pressão manométrica negativa faria a válvula abrir, permitindo
a entrada de ar, o que só deveria ocorrer em condição de esvaziamento da linha. Portanto, a melhor opção é o
ponto D.
Vazão em marcha
É comum, em redes de distribuição e outros tipos de tubulações, haver diversos pontos de tomada d’água,
conforme ilustrado na Figura 18 e na Figura 19.
Figura 18 – Exemplo de vazão em marcha – tubulação de chafariz.
Essa característica nos permite reconhecer que, em vez de muitos pontos, temos uma saída contínua de água,
hipoteticamente como uma fenda ao longo do tubo.
Figura 19 – Tronco principal e derivações em uma rede de distribuição de água.
Esse conceito é chamado de vazão em marcha, (Figura 20):
Figura 20 – Variação da vazão num trecho com vazão em marcha.
Um trecho com distribuição em marcha terá vazão variável ao longo do seu comprimento, calculada por:
Sendo assim, que vazão devemos adotar para o cálculo da perda de carga?
 
Para responder a essa pergunta, vamos relembrar da fórmula universal (Darcy-Weisbach), estudada no
Módulo 1 (tópico 2):
Conforme vimos no Módulo 1 (tópico 3), a perda de carga pode ser reescrita genericamente por 
, que podemos alterar para , cuja integração será:
Eq. 18
Pode ser desenvolvido pela fatoração em diferença de cubos:
Conforme a Equação (18), substituindo :
E comparado com a expressão inicial:
Onde:
Isso significa que, em um trecho com vazão em marcha, a perda de carga pode ser calculada pelas fórmulas já
estudadas, utilizando como base uma vazão fictícia , calculada conforme a Equação (19).
Tubulações entre dois reservatórios
Uma das principais aplicações de análise gráfica da energia são os sistemas de interligação entre dois
reservatórios, em particular, quando há uma tomada d'água entre eles (Figura 21). Quando a vazão 
(tomada d'água) é nula, a vazão do trecho AB será igual à do BC . No entanto, a declividade da linha de
energia será diferente, pois , resultando na linha . 
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Quando se começa a retirar água em aumenta, tornando a declividade da L.C.E. maior, mas ocorre o
efeito contrário no trecho BC , até que a declividade entre B e C seja nula, o que significa que 
. Aumentando ainda mais o consumo em , haverá uma reversão do fluxo em , e a
L.C.E. nesse trecho passará a ter declividade contrária .
 
Dependendo do consumo, o que varia ao longo do dia em sistemas de abastecimento de água, o reservatório 
 pode ser abastecido ou contribuir para o fornecimento, tornando-se um "pulmão" para auxiliar nas horas
de pico.
Exemplo
Em determinado momento, a L.C.E. da interligação entre dois reservatórios corresponde à representação da
figura a seguir.
Se a tubulação é de PVC, calcule da maneira prática a vazão que sai no ponto , . Despreze as cargas
cinéticas.
Chave de resposta
Desprezando as cargas cinéticas, a linha de energia (carga, H) será coincidente com a linha piezométrica.
Então, a perda de carga será:
E a perda unitária:
Para cálculo prático, utilizamos a fórmula de Hazen-Williams (10):
Repetindo o mesmo procedimento para o trecho CB:
A vazão que sai por B será a soma:
Atente que soubemos que R2 era abastecedor, e não abastecido, pela declividade da linha de energia, que
decresce no sentido do escoamento.
Transiente hidráulico (golpe de aríete)
Já mencionamos no Módulo 1 (tópico 1) que variações nas condições de escoamento, como fechamento de
válvula e parada de bomba, podem causar transientes hidráulicos; estes se traduzem em oscilações bruscas
da pressão e, eventualmente, podem provocar danos à tubulação.
 
Um dos principais parâmetros para o cálculo do transiente hidráulico, também chamado de golpe de aríete, é
a velocidade com que a onda de pressão se propaga no interior do tubo, camada de celeridade. Para água,
seu valor, em m/s, pode ser calculado por (AZEVEDO NETTO, 1998):
Onde:
 
Dé o diâmetro da tubulação;
 
 é a espessura (em metros);
 
 (Tabela 8), sendo E o módulo de elasticidade.
Eq. 20
• 
• 
• 
Material
Aço 0,5
FoFo (ferro fundido) 1
Concreto 3
PVC 18
Tabela 8 – Coeficiente para equação da celeridade (20).
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
Outro parâmetro importante é o período da tubulação, τ, definido pelo tempo que a onda demora para partir
do ponto que provocou a variação do escoamento (ex.: válvula), ir até a extremidade oposta e voltar, ou seja:
Onde é o comprimento da tubulação.
 
Em se tratando de válvula, se o tempo de fechamento for inferior ao período , ele é classificado
como rápido, e a sobrepressão transiente pode ser calculada, com precisão, pela fórmula de Joukowski:
Onde é a gravidade e é o peso específico. Caso o fechamento seja lento , uma estimativa
pode ser obtida pela Fórmula de Michaud:
Exemplo
Em uma tubulação horizontal de PVC com 300m de comprimento, DN 150, diâmetro interno 156,4mm e
espessura de 6,8mm, escoa água a 1,5m/s. Devido a um vazamento, uma válvula de proteção, localizada na
jusante, é fechada em 1,0 segundo. Calcule a sobrepressão calculada pelo transiente hidráulico.
Chave de resposta
Conforme a Equação (20), sendo = 18 para PVC (Tabela 8):
Eq. 21
Eq. 22
Eq. 23
O período da tubulação será:
Como , trata-se de fechamento rápido, cuja sobrepressão é calculada por Joukowski:
Mão na Massa
Questão 1
(Petrobras – Engenheiro Civil Júnior − 2005) Considere os reservatórios 1 e 2 mantidos em níveis constantes e
interligados pela tubulação MNO, na qual N é uma tomada d’água, conforme representado na figura a seguir.
Nessas condições, é correto afirmar que:
A Os dois reservatórios podem ser abastecedores ou não, sendo, neste caso, reservatórios de
compensação.
B Para a cota piezométrica N1, o abastecimento é feito simultaneamente pelos reservatórios 1 e 2.
C Para a cota piezométrica N3, o abastecimento é feito apenas pelo reservatório 1.
D Se a vazão Qn for zero, a vazão do reservatório 1 chega integralmente ao reservatório 2.
E Se XN2 for uma linha horizontal, a vazão no trecho MN é nula.
A alternativa E está correta.
a) Falso: O reservatório 2 pode ser apenas abastecedor.
b) Falso: Na cota N1, a declividade da linha de energia decresce para o reservatório 1, sendo então
abastecido.
c) Falso: Na cota N3, o escoamento em MN ocorre no sentido de N (decrescimento da energia), portanto
ambos os reservatórios abastecem.
d) Falso: Se a vazão Qn for nula, ocorre o contrário dessa afirmação.
e) Verdadeiro: Uma linha energética horizontal significa que não há perda, ou seja, vazão nula.
Questão 2
A figura a seguir ilustra a tubulação de diâmetro constante entre dois reservatórios, com a tubulação que sai
de R1, passando em A, B, C, D e terminando em E, junto ao R2. A linha tracejada representa a L.C.E. (linha de
carga efetiva) em regime permanente.
Nessa situação, qual ponto terá a maior pressão?
A Ponto A
B Ponto B
C Ponto C
D Ponto D
E Ponto E
A alternativa A está correta.
Conforme vimos no tópico 1 deste módulo, a distância entre a tubulação e a linha de energia é equivalente
à carga de pressão. O ponto em que essa distância é maior (traçado abaixo da energia) é em A.
Questão 3
Para o mesmo sistema da questãoanterior, qual ponto terá a menor pressão?
A Ponto A
B Ponto B
C Ponto C
D Ponto D
E Ponto E
A alternativa B está correta.
O ponto de menor pressão é aquele em que o traçado estiver mais alto em relação à linha de energia, o que
ocorre para o ponto B, tendo pressão negativa (acima da linha de energia).
Questão 4
Na figura a seguir, é ilustrada a ligação entre dois reservatórios pela tubulação que passa em N, P, Q e L. A
linha tracejada corresponde à L.C.E. (linha de carga efetiva) caso a tubulação tivesse um único diâmetro.
Observa-se que, nesse caso, a pressão em P seria negativa, pois a tubulação ficaria acima da L.C.E.
Uma alternativa para evitar a pressão negativa seria reduzir o diâmetro a partir do ponto P. Qual das demais
linhas representa a L.C.E. com essa estratégia?
A Linha (a)
B Linha (b)
C Linha (c)
D Linha (d)
E Linha (e)
A alternativa A está correta.
Reduzindo o diâmetro entre P e L, a linha de energia teria uma declividade maior (maior perda unitária), mas
ainda haveria perda entre N e P. A única linha que atende a essa condição é a (a).
Questão 5
(INEA – Engenheiro Sanitarista − 2013) Um engenheiro deseja construir uma adutora do reservatório I ao
reservatório III, passando pelo ponto II. Para garantir que a adutora fique abaixo da linha piezométrica e evitar
escavações antieconômicas foi colocado um reservatório intermediário no ponto II. O esquema a seguir
mostra as cotas dos níveis de água dos reservatórios e os espaçamentos entre eles.
A tabela apresenta as perdas de carga para adução de uma vazão de 20L/s em tubulações de diferentes
diâmetros:
Diâmetros (mm) 50 75 100 150
Perdas de carga (m/100m) 232,24 32,18 7,92 1,10
 
O diâmetro dos trechos de I a II e de II a III são de:
A 150mm.
B 75mm.
C 50mm.
D 100mm e 75mm, respectivamente.
E 75mm e 50mm, respectivamente.
A alternativa D está correta.
A perda de carga unitária entre os pontos I e II é:
Entre os pontos II e III:
Essas perdas unitárias, de acordo com o quadro do enunciado, correspondem aos diâmetros de 100 e
75mm, respectivamente.
Questão 6
Na manobra entre setores de fornecimento de água, uma válvula é fechada em 10 segundos. Se a velocidade
do escoamento era de 0,8m/s, estime a sobrepressão causada por transiente hidráulica. (Dados da tubulação:
PVC com 500m de extensão, DN 300 e espessura de 13,1mm.) Considere que o diâmetro interno é,
aproximadamente, igual ao nominal.
A 37,6m.c.a.
B 8,3m.c.a.
C 15,5m.c.a.
D 70,6m.c.a.
E 50m.c.a.
A alternativa B está correta.
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Teoria na prática
O sistema de interligação entre dois reservatórios, representado esquematicamente pela figura a seguir, serve
a uma rede de distribuição pelo ponto B.
a) Se no ponto B a carga de pressão é de 15m.c.a., calcule as vazões nos trechos e , além da vazão
fornecida para rede de distribuição.
b) Qual será a carga de pressão em B quando ?
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Verificando o aprendizado
Questão 1
(PORTO, 2004) O sistema de abastecimento de água de uma localidade é feito por um
reservatório principal, com nível d'água suposto constante na cota 812,0m, e por um
reservatório de sobras que complementa a vazão de entrada na rede, nas horas de aumento
de consumo, com nível d'água na cota 800,0m. No ponto B, na cota 760,0m, inicia-se a rede
de distribuição. Sabendo que o material das adutoras é aço galvanizado novo, utilizando os
métodos mais práticos conhecidos e desprezando as cargas cinéticas, determine para qual
valor de   a linha piezométrica no sistema é a mostrada na figura a seguir:
A 30,3L/s
B 15,1L/s
C 12,5L/s
D 14,7L/s
E 25,4L/s
A alternativa D está correta.
Desprezando as cargas cinéticas, a linha de energia (L.C.E.) será coincidente com a linha piezométrica.
Como L.C.E. tem uma única declividade, a perda de carga unitária será igual em AB, BC e AC:
Para cálculo mais prático, utilizamos a fórmula de Hazen-Williams:
Sendo = 130 (Tabela 5). No trecho AB:
E no BC:
Nesse caso, a vazão nesse trecho ocorre no sentido de R2, conforme evidenciado pela declividade da linha
de energia.
A vazão fornecida em B será a diferença:
Questão 2
A ligação entre dois reservatórios é representada pela figura a seguir, onde .
Se a pressão de vapor da água para a temperatura local é . e a pressão atmosférica é 
. , calcule qual a altura máxima do ponto B para que não haja evaporação, com folga de
1,00m.c.a. Desconsidere as cargas cinéticas.
A 55,7m
B 46,7m
C 51,5m
D 61,5m
E 64,7m
A alternativa D está correta.
A perda de carga unitária é:
Desconsiderando as cargas cinéticas, a carga no ponto B será:
Em se tratando de pressão de vapor, devemos adotar as pressões absolutas para cálculo:
Isolando e adotando como pressão em B a mínima exigida (pressão de vapor mais folga):
4. Pressões e vazões em redes de distribuição de água
Redes ramificadas
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Conceitos
As redes de distribuição estão na última etapa do processo de fornecimento de água, que começa na
captação do manancial, passa pelo bombeamento, pela estação de tratamento de água (ETA), pelo
reservatório e, por fim, chega à distribuição para os pontos de consumo (Figura 22).
Figura 22 – Visão geral de um sistema de abastecimento.
Atenção
O reservatório se faz necessário para garantir uma pressão estável na rede. 
As tubulações que estão a montante (antes) do reservatório são chamadas de adutoras, enquanto a jusante é
chamada de distribuição.
 
Há dois tipos de rede: ramificada e malhada, conforme ilustrado na Figura 23. Adicionalmente, é possível
elaborar um projeto que mistura os dois tipos, adequando suas vantagens e desvantagens frente às
características topográficas, urbanísticas e de consumo.
Figura 23 – Rede ramificada, malhada e mista.
As redes ramificadas são caracterizadas por “pontas secas”, ou seja, tubulações que terminam sem conexão.
Nessas tubulações, a vazão de jusante é nula. Nas redes malhadas, há células (ciclos fechados) que
possibilitam sempre mais de um caminho para a água chegar em um mesmo ponto, melhorando a
uniformidade de pressões e facilitando eventuais interdições para manutenção, com a desvantagem de
apresentar um custo mais elevado.
 
Dependendo dos dados disponíveis para calcular as redes, podemos classificar o cálculo em
dimensionamento ou verificação, conforme detalhado na Tabela 9:
Tipo de cálculo Características
Dimensionamento
Diâmetros e traçados a serem definidos.
Premissas de projeto para pressões máximas e mínimas (ex.:
normas).
Mais de uma opção de diâmetro comercial que atende aos
requisitos.
O engenheiro deve optar pelo menor custo (otimização).
Verificação
Diâmetros e comprimentos definidos em fase anterior de projeto
ou de uma rede existente.
Cálculo de vazões e/ou pressões.
Única solução para cada cenário.
Tabela 9 – Tipos de problemas envolvendo redes de distribuição.
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
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Atenção
Os problemas de dimensionamento apresentam um desafio maior, pois há mais de uma solução. O
engenheiro deve fazer uma análise sofisticada para determinar a melhor opção, normalmente definida
como a de menor custo. 
Demanda de vazão
O primeiro passo do projeto de redes consiste em determinar qual é a vazão demandada, ou seja, a situação
de maior consumo possível a ser atendida:
Onde:
 
 é o consumo de pico de toda rede (L/s);
 
Pé o número de habitantes;
 
 é o consumo médio per capita (L/hab/dia);
 
 é a quantidade de horas de funcionamento do sistema por dia (h/dia);
 
 e são os coeficientes do dia e hora de maior consumo, respectivamente (adimensionais).
A Equação (24) é baseada no consumo médio per capita , que representa quanto cada pessoa
utiliza de água por dia.
Esse parâmetro deve contabilizartoda a água fornecida, incluindo o preparo de alimentos, a higiene pessoal, a
limpeza de ambientes internos e externos, a irrigação, a manutenção de piscinas e as perdas (ex.: vazamentos
da rede).
 
No Brasil, varia tipicamente entre 150 e 180 L/hab.dia (Tabela 10). Vale ressaltar que essas são médias
regionais, havendo municípios com consumos ainda maiores.
REGIÃO Consumo médio (L/hab.dia)
Norte 154.54
Nordeste 112.45
Sudeste 179.71
Eq. 24
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REGIÃO Consumo médio (L/hab.dia)
Sul 144.23
Centro-Oeste 148.53
TOTALIZAÇÃO NACIONAL 154.14
Tabela 10 – Consumo médio per capita nas regiões do Brasil em 2016.
Extraída de SNIS, 2016
Resolução de rede ramificada
O procedimento mais conhecido na literatura para dimensionamento e cálculo de pressões em redes
ramificadas está detalhado na Tabela 11 e na Tabela 12, que podem ser automatizadas por meio de planilhas
eletrônicas (ex.: Excel e Google Planilhas).
Dica
Devemos calcular a vazão total distribuída pela Equação (24) para, então, dividi-la pelo comprimento
total de tubulação com fornecimento para obter a vazão em marcha, . 
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Acesse a versão digital para ver mais detalhes da imagem
abaixo.
Tabela 11 – Cálculo de redes ramificadas.
 (mm)
50 0,68 1,34
60 0,69 1,95
75 0,71 3,14
 (mm)
100 0,75 5,89
125 0,79 9,69
150 0,83 14,67
200 0,90 28,27
250 0,98 47,86
300 1,05 74,22
350 1,13 108,72
400 1,20 150,80
500 1,35 265,10
Tabela 12 – Valores recomendados de diâmetro.
Extraída de Porto, 2004
Ao final do cálculo, são obtidas as pressões nos pontos da rede, que devem estar dentro de limites máximos e
mínimos.
Saiba mais
A norma NBR 12218 preconiza que a pressão mínima deve ser de 100 kPa (≅ 10 m.c.a.) e a máxima de
500 kPa (≅ 50 m.c.a.). 
A condição máxima é alcançada quando não há consumo (pressão estática), consequentemente, sem perda
de carga. Por outro lado, o valor mínimo é atingido na condição de consumo máximo (vazão de projeto),
quando a pressão é dinâmica.
Exemplo
(PORTO, 2004) Estabeleça os diâmetros da rede de distribuição de água ilustrada com traçado e topografia na
figura a seguir, determinando a cota do reservatório para que a carga mínima de pressão dinâmica seja 15
m.c.a.
A rede possui as seguintes características:
 
população: 2900 hab;
 
taxa de consumo per capita média: hab/dia;
 
coeficiente do dia de maior consumo: ;
 
coeficiente da hora de maior consumo: ;
 
horas de funcionamento diário do sistema: ;
 
material das tubulações em aço galvanizado novo, e o escoamento pode ser considerado totalmente
rugoso (independente de ) e com valor médio de ;
 
o trecho entre o reservatório e o ponto , onde inicia a rede, não terá distribuição em marcha.
Chave de resposta
O primeiro passo consiste em determinar a vazão total demandada, conforme a Equação (24):
Em seguida, precisaremos determinar a vazão em marcha – conceito abordado no Módulo 3 (tópico 2) –,
calculada pela divisão entre a vazão total e o comprimento de tubulação com distribuição. Perceba que no
trecho 5 não há distribuição, portanto, não deve ser contabilizado:
Em seguida, realizaremos o preenchimento da tabela de resolução conforme descrito na Tabela 11. Esses
passos são apresentados a seguir, aguarde alguns segundos entre os passos.
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Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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Atenção
No exemplo anterior, para fins didáticos, consideramos o fator de atrito constante. Conforme vimos no
Módulo 1 (tópico 2), porém, o fator de atrito deve ser calculado em função de Re por fórmulas como a de
Swamee-Jain (8). Uma alternativa prática é a Fórmula de Hazen-Williams (10), Módulo 1 (tópico 3), que
não requer o cálculo de . 
Redes malhadas
As redes malhadas apresentam uma dificuldade maior para cálculo, pois as vazões são desconhecidas. Para
determiná-las, são adotados métodos iterativos, como o de Hardy Cross, que veremos adiante.
Serão consideradas saídas (fornecimento) de vazão da rede nos nós, não sendo permitida a adoção
de vazão em marcha, como fizemos para redes ramificadas.
Partiremos de dois princípios básicos (Figura 25):
1º Princípio
A soma das vazões que chegam em um nó
(entrada + e saída -) é nula.
2º Princípio
A soma das perdas de cargas em uma célula é
nula, convencionando-se positivas as perdas
nos seguimentos cujas vazões seguem o
sentido horário e negativas para o caso
contrário.
Figura 25 – Soma de vazões em um nó e de perdas de carga em uma célula.
Para verificar o Princípio, vamos lembrar que a perda de carga pode ser calculada genericamente por 
 (Módulo 1 - tópico 3). Para cada trecho i:
Vamos assumir um valor arbitrado de vazão para um trecho, sendo as vazões dos demais determinadas
pelo Princípio. Dessa maneira, deverá ser aplicada uma correção para chegar à vazão correta 
 :
Lembrando do Binômio de Newton, calculado por:
Cuja substituição de e fornecerá:
Onde os termos e a ordem superior tendem a valores desprezíveis , pois reduz a cada iteração.
Substituindo a Equação (26) na (25):
E isolando :
Essa é, então, a correção que deve ser aplicada no valor arbitrado a cada iteração, até que se alcance a
convergência ( desprezível). De acordo com a NBR 12218, o resíduo final deve ser de .
Ressalta-se que n é o expoente da vazão na fórmula de perda de carga adotada, ou seja:
 
Darcy-Weisbach: .
 
Eq. 26
Eq. 27
• 
Hazen-Williams: .
Exemplo
A figura a seguir ilustra o projeto de uma rede de distribuição de água em PVC, cujas demandas foram
calculadas baseadas nos nós A, B, C e D, e os diâmetros (em mm) foram adotados em uma análise prévia. O
traçado foi definido a partir da planta urbanística da região e os comprimentos são indicados na figura.
Calcule de maneira prática as vazões em cada trecho e verifique se a velocidade se encontra dentro do limite
definido como premissa de projeto entre 0,5 e 2,0m/s.
Chave de resposta
A vazão total fornecida pelos nós é , vinda do reservatório para o ponto , onde há uma saída de
. A diferença entre esses dois valores ( ) corresponde ao total que se divide
entre e AD. Podemos arbitrar essa divisão em e . Os demais trechos
são obtidos pelo Princípio.
Ressalta-se que qualquer vazão inicial arbitrada é válida, desde que respeite o 1º Princípio.
No próximo passo, por praticidade, vamos adotar a Fórmula de Hazen-Williams (10) para o cálculo da perda
de carga:
Onde, para PVC, .
• 
Lembre-se de que as vazões com sentido anti-horário serão consideradas negativas, assim como suas
respectivas perdas de carga. Para simplificar, apresentaremos esse cálculo em partes, conforme a Tabela
13. As correções de cada iteração são calculadas conforme a Equação (27), onde (para H-
W).
Tabela 13 – Solução do exemplo de rede malhada.
O valor de calculado na iteração 1 é utilizado para obter as vazões da iteração 2, corrigindo as
anteriores, e assim por diante. iteração, obtivemos um , alcançando a convergência
preconizada pela NBR 12218.
Por fim, calculamos a velocidade por , obtendo 
 e , permanecendo todas dentro dos limites do
enunciado.
Aplicação com o EPANET
Para calcular uma rede malhada com o EPANET, precisaremos saber apenas mais um detalhe em relação ao
que foi apresentado no Módulo 1 (tópico 5): a vazão fornecida no nó deve ser digitada no campo “Consumo-
Base” de propriedades do nó.
 
Começaremos configurando a unidade em LPS (litro por segundo) e H-W como fórmula para perda de carga
(para comparar com o exemplo anterior). Em seguida, definiremos o reservatório, os nós e os trechos. O último
passo será entrar com as propriedades de cada elemento. Todos os passos são exibidos no vídeo a seguir.
 
Assista ao vídeo com solução do exemplo de Rede Malhada com uso do EPANE.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Por fim, temos os resultados de vazão em cada trecho, que são, praticamente, iguais aos que obtivemos de
forma manual (tópico 2 – Rede Malhada). Adicionalmente, também podemos avaliar as pressões em cada nó,