Fisica Geral - Cinemática

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APOSTILA DE FÍSICA GERAL: 
CINEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Jheison Lopes dos Santos 
Referências Bibliográficas: Física I - 
“Enquanto houver chances de derrota, haverá chances de vitória.” 
 
 
Capítulo 1 – Posição, Deslocamento e Velocidade 
 
1.1 Referencial 
 
Um dos objetivos da Física é compreender os diversos tipos de movimento, bem 
como prevê-los e controla-los, e a finalidade da tecnologia é tornar esses estudos úteis à 
humanidade. 
A figura abaixo representa um ônibus se aproximando de um homem sentado. 
Como sua distância ao homem está mudando, o ônibus está em movimento em relação 
ao homem. Assim, o homem, chamado de observador, serve de referência ou referencial 
para verificarmos se, em relação a esse referencial, o ônibus está ou não em movimento. 
 
 
 
No entanto, se analisarmos os passageiros e o motorista, eles estão em repouso em 
relação ao referencial ônibus, mas continuará, com o ônibus, se movimentando em relação 
ao referencial homem sentado. 
Da mesma forma, sua escola está em repouso em relação à Terra e em movimento 
em relação ao Sol, pois a Terra gira em torno dele. Quando dois carros se movem juntos, 
isto é, mantendo constante a distância entre eles, um estará em repouso em relação ao 
outro. 
Um outro exemplo, ilustrado na figura a seguir, é o de um avião que lança uma 
bomba. Para o referencial avião-piloto, a bomba está se movendo junto com ele, descendo 
em linha reta. Porém, para alguém que observa do solo, o avião move-se normalmente na 
horizontal, enquanto a bomba descreve uma curva parabólica. 
 
 
 
De um modo geral, pode-se dizer que um corpo está em movimento em relação a 
um referencial quando a sua posição está variando em relação a ele. Quando isso não 
ocorre, o corpo está em repouso. 
 
Exercícios: 
 
 
1 – A janela de sala de aula abaixo está à sua direita ou à sua esquerda? E para o professor 
que está olhando para a turma? 
 
 
2 – Dê exemplos de um corpo que está em repouso em relação a um referencial e em 
movimento em relação a outro referencial. 
 
3 – Quando escrevemos, em relação a que a caneta está: a) em movimento e b) em 
repouso? 
 
4 – Se dois carros se movem sempre um ao lado do outro, podemos afirmar que um está 
parado em relação ao outro? 
 
1.2 Posição e Deslocamento 
 
Os marcos quilométricos nas rodovias servem para indicar as posições dos veículos 
que trafegam nelas. 
Se, por exemplo, um carro está no km 80 de uma rodovia, isso significa que ele está 
a 80 km do marco zero da rodovia. A medida do comprimento da estrada entre o marco 
zero e o km 80 é denominado posição (símbolo S), isto é, a posição desse carro no km 80 
é igual a 80 km: S = 80 km. 
A posição S de um móvel em um instante t é a medida do comprimento do trecho 
da trajetória em relação a um ponto O denominado origem das posições (marco zero). 
A seta na extremidade da trajetória indica que naquele sentido as posições são 
crescentes. Sendo S a posição de um móvel no instante t e S0 a posição anterior t0, 
denominamos variação de posição ou deslocamento a diferença S – S0 nesse intervalo 
de tempo t – t0. Essa diferença, chamada de deslocamento, será indicada por ΔS. 
 
 
Veja o exemplo. 
Imagine um ciclista que vai, inicialmente, do ponto A, cuja posição inicial S0 = 200 
m vai até a posição C, cuja posição S = 1000 m. Assim, 
 
∆𝑆 = 𝑆 − 𝑆0 = 1000 − 200 = 800 𝑚. 
 
 
 
Depois, ele resolve sair do ponto C e voltar, parando no ponto B, na posição S = 
600 m. Daí, 
 
∆𝑆 = 𝑆 − 𝑆0 = 600 − 1000 = −400 𝑚. 
 
Quando um móvel percorre uma trajetória no sentido das posições crescentes, como 
no primeiro exemplo, o movimento é denominado progressivo. Contudo, quando ele 
percorre a trajetória no sentido das posições decrescentes, como no segundo exemplo, o 
movimento é denominado retrógrado. 
Se quisermos analisar o deslocamento total, ou seja, os trajetos A-C e C-B, temos 
que: 
∆𝑆𝑇 = 𝑆 − 𝑆0 = 600 − 200 = 400 𝑚. 
 
É importante observar que, apesar do deslocamento total ter sido de 400 m, o 
ciclista percorreu um total de 800 + 400 = 1200 m, sendo esse total denominado de 
distância percorrida. Sendo assim, nem sempre distância percorrida é igual ao 
deslocamento. 
 
Exercícios: 
 
5 – Um carro percorre uma rodovia passando pelo km 20 às 9h e pelo km 45 às 9h e 30 
min. Determine as posições inicial e final, o deslocamento, e os instantes inicial e final. 
 
6 – Um objeto percorre uma trajetória desde uma posição igual a 0,50 m até uma posição 
0,30 m. Determine sua posição inicial, sua posição final, e o seu deslocamento 
 
1.3 Velocidade 
 
A noção de velocidade está ligada à maior ou menor rapidez com que uma 
determinada distância é percorrida. 
Comparando velocidades dos corpos podemos avaliar qual deles se movimenta com 
maior rapidez, isto é, maior velocidade. Um corpo com maior velocidade percorre, no 
mesmo intervalo de tempo, uma distância maior que o outro de menor velocidade. Isso 
também significa que o de maior velocidade percorre a mesma distância que o outro num 
intervalo de tempo menor. 
Por exemplo, um carro a 20 km/h percorre 20 km em 1 h, enquanto nesse mesmo 
intervalo de tempo um outro carro, a 10 km/h percorre apenas 10 km. Ou ainda, para 
percorrer a mesma distância de 10 km, o mais rápido gasta ½ hora enquanto o outro gasta 
1 h. 
Se um trem percorre 100 m em 10 s, isso significa que ele percorre, em média, 10 
m em cada segundo. 
A relação entre o deslocamento de um corpo e o correspondente intervalo de tempo 
é denominada velocidade média. 
 
𝑣𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡
 
 
Por exemplo, considere que, entre 1,2 s e 3,2 s, a posição de um objeto varie de 1,3 
m a 1,7 m. Determine a velocidade média desse objeto para esse intervalo de tempo. 
 
𝑣𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡
=
1,7 − 1,3
3,2 − 1,2
=
0,4
2
= 0,2 𝑚/𝑠 
 
Imagine agora que, em 30 min, ou seja, 0,5 h, um ônibus vai de uma cidade para 
outra com velocidade média de 90 km/h. Qual seria a distância entre essas cidades? 
 
𝑣𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡
⇒ ∆𝑆 = 𝑣𝑚∆𝑡 = 90𝑥0,5 = 45 𝑘𝑚 
 
Nesse caso, distância percorrida e deslocamento seriam iguais. 
 
 OLHO VIVO! 
Não misture as unidades! Por exemplo, posição em metro, tempo em segundo e 
velocidade em km/h. Nesse caso, transforme km/h em m/s, dividindo por 3,6; para 
passar de m/s para km/h, basta multiplicar por 3,6. 
 
Exercícios: 
 
7 – Em 12 s um caminhão percorre 360 m. Qual é a sua velocidade média nesse intervalo 
de tempo? 
 
8 – Em um certo local do Brasil, uma criança sai da sua casa às 5h, caminha 8 km e chega 
na escola às 7h e 30 min. 
a) Qual é o tempo gasto por ela para percorrer os 8 km? E em horas? 
b) Qual é a velocidade média dessa criança nesse percurso? 
 
9 – Um carro percorre uma estrada passando pelo km 12 às 9h e 20 min e pelo km 30 às 
9h e 35 min. 
a) Quanto tempo gastou para percorrer a distância entre esses marcos quilométricos? 
b) Qual é a variação de espaço entre o km 12 e o km 30? 
c) Qual é a velocidade média do carro entre os instantes dados? 
 
10 – Um trem do metrô percorre a distância entre duas estações em 50 s, desenvolvendo 
a velocidade média de 72 km/h. 
a) Transforme a velocidade em m/s. 
b) Determine a velocidade entre essas estações. 
 
Chama-se de velocidade instantânea de um corpo a velocidade em certo ponto P da 
trajetória em um instante de tempo t. Com mais cuidado, pode-se dizer que a velocidade 
instantânea é a velocidade média para ΔS e Δt muito pequenos. Na prática, a velocidade 
instantânea é fornecida pelos velocímetros.Questões Especiais: 
 
 
Q1 – Qual é a velocidade média de um trem que percorre 80 km em 30 min? 
 
Q2 – Um atleta percorre uma pista passando pela posição 20 m no instante 7 s e pela 
posição 12 m no instante 9 s. Determine a variação de posição e a velocidade média do 
atleta entre os instantes dados. 
 
Q3 – Uma motocicleta percorre uma distância de 150 m com velocidade média de 25 m/s. 
Qual é o tempo gasto para percorrer essa distância? 
 
Q4 – (FUVEST-SP) Após chover na cidade de SP, as águas da chuva descerão o rio Tietê 
até o rio Paraná, percorrendo certa de 1.000 km. Sendo a velocidade média das águas de 
4 km/h, o percurso será cumprido pelas águas da chuva em aproximadamente: 
a) 30 dias. b) 10 dias. c) 25 dias. d) 2 dias. e) 4 dias. 
 
Q5 – Um caminhão de 15 m de comprimento demora 60 s para atravessar completamente 
um túnel com velocidade média de 10 m/s. Qual é o comprimento do túnel? 
 
Q6 – Um trem devia percorrer 300 km em 5 h. Acontece que, ao fim de 4h, o maquinista 
é obrigado a parar durante 15 min. Qual deverá ser a velocidade média do trem no 
percurso restante para chegar ao destino sem atraso? 
 
Q7 – (UFRN) Ao fazer uma viagem de carro entre duas cidades, um motorista observa 
que sua velocidade média foi de 70 km/h, e que, em média, seu carro consumiu 1,0 litro 
de gasolina a cada 10 km. Se durante a viagem o motorista gastou 35 litros de gasolina, 
quantas horas demorou a viagem entre as duas cidades? 
 
Q8 – (UFPE) Numa corrida de Fórmula 1, um piloto faz uma volta no circuito num tempo 
médio de 1 min e 30 segundos com velocidade média de 280 km/h. Qual é a distância 
total que ele percorre na corrida, se ela tem 70 voltas? 
 
Q9 – (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do 
equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da 
Terra igual a 6.370 km, pode-se afirmar que um avião saído de Quito, voando em média 
800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: 
a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas. 
 
Q10 – Um veículo percorre 8 km com velocidade média de 80 km/h e os 12 km restantes 
com velocidade média de 30 km/h. Qual é a velocidade média do trajeto todo? 
 
Q11 – (UFPE) Durante o teste de desempenho de um novo modelo de automóvel, o piloto 
percorreu a primeira metade da pista na velocidade média de 60 km/h e a segunda metade 
a 90 km/h. Qual é a velocidade média, em km/h, desenvolvida no trajeto todo? 
 
Q12 – (UEL-PR) Popularmente conhecido como “lombada eletrônica”, o redutor de 
velocidade é um sistema de controle de fluxo de tráfego que reúne equipamentos de 
captação e processamento de dados. Dois sensores são instalados na pista no sentido do 
fluxo, a uma distância de 4m um do outro. Ao cruzar cada um deles, o veículo é detectado; 
um microprocessador recebe dois sinais elétricos consecutivos e, a partir do intervalo de 
tempo entre eles, calcula a velocidade média do veículo com alta precisão. Considerando 
que o limite máximo de velocidade permitida para o veículo é de 40 km/h, qual é o menor 
 
intervalo de tempo que o veículo deve levar para percorrer a distância entre os dois 
sensores, permanecendo na velocidade permitida? 
a) 0,066 s. b) 0,1 h. c) 0,36 s. d) 11,11 s. e) 900 s. 
 
 
RESPOSTAS 
1) Direita. Esquerda. 
2) Um piloto em relação ao jato está parado, mas em relação a quem está no chão, está 
em movimento, etc. 
3) a) Caderno. b) Mão. 
4) Sim. 
5) Posição inicial: km 20; posição final: km 45; deslocamento: ΔS = 45 – 20 = 25 km; 
instante inicial: 9h; instante final: 9h30. 
6) Posição inicial: S0 = 0,5 m; posição final: S = 0,2 m; deslocamento: ΔS = 0,2 – 0,5 = 
- 0,3 m. 
7) 30 m/s. 
8) a) 2 h e 30 min ou 2,5 h. b) 3,2 km/h. 
9) a) 15 min. b) 18 km. c) 1,2 km/min ou 72 km/h. 
10) a) 20 m/s. b) 1.000 m. 
 
Q1) 160 km/h 
Q2) -8m; -4 m/s. 
Q3) 6 s. 
Q4) b. 
Q5) 5885 m. 
Q6) 80 km/h. 
Q7) 5 h. 
Q8) 490 km. 
Q9) c. 
Q10) 40 km/h. 
Q11) 72 km/h. 
Q12) c. 
 
 
Capítulo 2 – Movimento Retilíneo Uniforme 
 
2.1 Apresentação 
 
Um carro percorre um determinado trecho de uma estrada com o velocímetro 
indicando sempre 90 km/h. Então, nesse trecho, a velocidade é constante, isto é, ela não 
varia em relação ao tempo. Um movimento, em linha reta, onde o valor da velocidade é 
constante denomina-se movimento retilíneo uniforme. 
O som propaga-se pelo espaço com velocidade constante de 340 m/s; isso quer dizer 
que, em menos de 1 s, a sua conversa chega no ouvido do seu colega. 
A luz do sol, com velocidade de 300.000 km/s, chega até nós em cerca de 8 minutos. 
Com essa informação, você é capaz de calcular a distância entre a Terra e o Sol? 
A teoria da Física é construída a partir de elementos mais simples. Assim, estamos 
iniciando o estudo do mais simples dos movimentos para, depois, entendermos o 
movimento em que a velocidade varia proporcionalmente ao tempo, como na queda de 
um corpo. 
 
2.2 Relação entre posição e tempo 
 
Em uma rodovia, uma placa indica que a velocidade máxima permitida é de 100 
km/h. Então, se o veículo trafega nela com o ponteiro do velocímetro indicando sempre 
essa velocidade, significa que ele percorre: 10 km em 0,1 h; 20 km em 0,2 h; 30 km em 
0,3 h; e assim por diante, mantendo a proporcionalidade entre a variação da posição 
(deslocamento) e o correspondente tempo de percurso. 
 
𝑣 =
10 𝑘𝑚
0,1 ℎ
=
20 𝑘𝑚
0,2 ℎ
=
30 𝑘𝑚
0,3 ℎ
=
40 𝑘𝑚
0,4 ℎ
= 100 𝑘𝑚/ℎ 
 
No movimento uniforme, incluindo o retilíneo, o qual estamos estudando agora, a 
velocidade instantânea v é a mesma da velocidade média vm. Isso quer dizer que, para o 
exemplo dado, qualquer que seja a variação de posição, a velocidade média é igual a 100 
km/h. 
A razão entre a variação de espaço e o intervalo de tempo é a velocidade de um 
corpo em movimento uniforme: 
 
𝑣 =
∆𝑆
∆𝑡
 
 
Se entre o instante inicial t0 = 0 s e o instante t, o móvel muda da posição inicial S0 
para uma posição S, tem-se: 
 
∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 = 𝑡 − 0 = 𝑡 e ∆𝑆 = 𝑆 − 𝑆0 
Então: 𝑣 =
𝑆−𝑆0
𝑡
⇒ 𝑆 − 𝑆0 = 𝑣𝑡 ⇒ 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣𝑡 
 
 
 
Como S0 e v são constantes, a expressão acima é chamada de Função Horária da 
Posição do movimento retilíneo uniforme, fornecendo a posição em função do tempo. A 
velocidade negativa é quando o corpo percorre a trajetória no sentido das posições 
decrescentes. 
Exemplo: A posição em função do tempo de um móvel é dada por: S = 8 + 4t. 
Comparando com S = S0 + vt, a posição inicial S0 é 8 m e a velocidade é de 4 m/s. Com 
essa função, podemos obter a variação da posição entre dois instantes, por exemplo, entre 
2 s e 5 s, procedendo assim: 
Para t1 = 2 s → S1 = 8 + 4t1 = 8 + 4x2 = 16 m. 
Para t2 = 5 s → S1 = 8 + 4t1 = 8 + 4x5 = 28 m. 
ΔS = 28 m – 16 m = 12 m, e Δt = 5 s – 2 s = 3 s. 
 
Exercícios: 
 
1 – Quando um corpo está em movimento uniforme? 
 
2 – O movimento de uma pedra lançada verticalmente para cima é uniforme? 
 
3 – Um veículo percorre uma estrada com velocidade constante de 60 km/h. Considerando 
que o motorista tenha ligado o cronômetro ao passar pelo km 30: a) determine a posição 
inicial; b) escreva a expressão da posição em função do tempo; c) determine a posição 
inicial no instante t = 0,3 h; d) qual é a variação de posição entre 0,3 h e 0,5 h? 
 
4 – A posição em função do tempo de um móvel é dado por: S = 10 – 5t. Determine: 
a) A posição inicial S0 e a velocidade; 
b) O instante em que o móvel passa pela origem das posições. 
 
5 – A posição de dois corpos A e B variam com o tempo conforme as expressões: AS = 
20t e SB = 30 + 10t. 
a)Determine suas posições iniciais e suas velocidades. 
b) No instante t = 0, qual deles está na frente? Está quantos metros na frente do outro? 
c) Sabendo que para haver o encontro entre dois móveis suas posições devem ser iguais, 
determine o instante em que eles se encontram. 
d) Qual é a distância percorrida por cada um deles até o ponto de encontro, desde o 
instante t = 0? 
 
2.3 Gráficos da Posição e da Velocidade em Função do Tempo 
 
Ao andarmos com velocidade constante, as distâncias percorridas são proporcionais 
aos respectivos intervalos de tempo. Se, por exemplo, um móvel tiver seu movimento 
descrito pela tabela abaixo: 
 
t (s) 0 1 2 3 4 
S (m) -5 0 5 10 15 
 
O comportamento do seu movimento pode ser visualizado por meio de um gráfico 
S x t. Esse gráfico é traçado colocando os dados do tempo no eixo das abscissas e os da 
posição no eixo das ordenadas: 
 
 
 
 
A partir do gráfico, que representa uma função crescente do 1º grau, é possível 
determinar a velocidade. Por exemplo, de 2 s a 3 s, o espaço varia de 5 m a 10 m. Logo: 
 
∆𝑡 = 𝑡3 − 𝑡2 = 3 − 2 = 1 𝑠 ∆𝑆 = 𝑆3 − 𝑆2 = 10 − 5 = 5 𝑚 
𝑣 =
∆𝑆
∆𝑡
=
5
1
= 5 𝑚/𝑠 
 
Assim, a função horária da posição desse móvel seria: S = -5 + 5t. Esse tipo de 
movimento é denominado progressivo (v > 0). 
A tabela a seguir representa os valores de tempos e posições de um veículo que está 
se movendo no sentido das posições decrescentes. 
 
t (s) 0 1 2 3 4 
S (m) 3 2 1 0 -1 
 
 
 
Nesse caso, também pode-se obter a velocidade por meio do gráfico, sendo este um 
representante de uma função decrescente do 1º grau. Por exemplo, de 1 s a 3 s, a posição 
diminui de 2 m para 0 m. Então: 
 
∆𝑡 = 𝑡3 − 𝑡1 = 3 − 1 = 2 𝑠 ∆𝑆 = 𝑆3 − 𝑆1 = 0 − 2 = −2 𝑚 
𝑣 =
∆𝑆
∆𝑡
=
−2
2
= −1 𝑚/𝑠 
 
Assim, a função horária da posição desse móvel seria: S = 3 - t. Esse tipo de 
movimento é denominado retrógrado (v < 0). 
 
Exercícios: 
 
 
6 – Trace o gráfico da posição em função do tempo com os dados das tabelas: 
 
a) t (s) 2 4 6 8 10 12 
S (m) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 
 
b) t (s) 3 6 9 12 15 18 
S (m) 12 10 8 6 4 2 
 
7 – Para cada gráfico abaixo, determine a velocidade média e a função horária da posição. 
 
 
No movimento uniforme, a velocidade é constante, ou seja, não varia com o tempo. 
Traçando o gráfico da velocidade em função do tempo, obtemos uma reta paralela ao eixo 
dos tempos. 
 
 
 
 
A partir do gráfico v x t, é possível observar que: 
 
 
 
 
O retângulo colorido tem a base Δt e a altura v. 
Como a área do retângulo: A = base x altura, e como 
𝑣 =
∆𝑆
∆𝑡
⇒ ∆𝑆 = 𝑣∆𝑡, conclui-se que, numericamente, A = ΔS. 
Isso quer dizer que o número que mede a área do retângulo compreendido entre o 
gráfico v x t e o eixo dos tempos é igual ao número que mede a variação de posição de 
um móvel! 
 
Exercícios: 
 
8 – Para cada gráfico abaixo, determine: a) a variação de posição entre o e 4 s; b) a 
velocidade média entre 0 e 4 s. 
 
 
Questões Especiais: 
 
Q1 – (PUC–SP) Para pesquisar a profundidade do oceano em certa região, usa-se um 
sonar instalado em um barco em repouso. O intervalo de tempo decorrido entre a emissão 
do sinal e a resposta ao barco (eco) é de 1 segundo. Supondo que a velocidade de 
propagação do som na água seja de 1.500 m/s, a profundidade do oceano na região 
considerada é de: 
a) 25 m. b) 50 m. c) 100 m. d) 750 m. e) 1.500 m. 
 
Q2 – Qual é a distância percorrida em 2 h por um navio que navega com velocidade 
constante de 30 nós? Dados: 1 nó = 1 milha marítima/h ; 1 milha marítima = 1.852 m. 
 
Q3 – Por que durante uma tempestade ouvimos o trovão penas alguns segundos depois 
do relâmpago? 
 
Q4 – As posições de dois ciclistas A e B percorrendo uma mesma pista variam com o 
tempo conforme as expressões: 𝑆𝐴 = 12𝑡 e 𝑆𝐵 = 10 + 8𝑡. Determine: 
a) As suas posições iniciais e as suas velocidades; b) A distância entre eles no instante t 
= 0; c) O instante e a posição do encontro; d) O deslocamento de cada um deles 
até o ponto de encontro, desde o instante t = 0. 
 
Q5 – Em uma noite de neblina, um carro, sem nenhuma sinalização, percorre um trecho 
retilíneo de uma estrada com velocidade constante de 6 m/s. Em certo instante, uma moto 
com velocidade constante de 8 m/s está 12 m atrás desse carro. Quanto tempo após esse 
instante a moto poderá chocar-se com o carro? 
 
Q6 – As posições de duas pessoas A e B percorrendo uma mesma rua, uma ao encontro 
da outra, variam conforme as expressões: 𝑆𝐴 = 1,2𝑡 e 𝑆𝐵 = 10 − 0,8𝑡. Determine: 
 
a) As suas posições iniciais e as suas velocidades; b) A distância entre elas no instante t 
= 0; c) O instante e a posição do encontro; 
 
Q7 – Dois ônibus com velocidades constantes de 15 m/s e 20 m/s percorrem a mesma 
estrada retilínea em sentidos opostos. Em determinado instante, a distância que os separa 
é de 700 m. Calcule a partir desse instante o tempo gasto até o encontro. 
 
Q8 – (ENEM) O gráfico a seguir modela a distância percorrida, em km, por uma pessoa 
em certo período de tempo. A escala de tempo a ser adotada para o eixo das abscissas 
depende da maneira como essa pessoa se desloca. Qual é a opção que apresenta a melhor 
associação entre meio ou forma de locomoção e unidade de tempo quando são percorridos 
10 km? 
a) Carroça – semana. 
b) Carro – dia. 
c) Caminhada – hora. 
d) Bicicleta - minuto. 
e) Avião - segundo. 
 
 
Q9 – (UFSCAR–SP) O gráfico da figura representa a distância percorrida por um homem 
em função do tempo. Qual é o valor da velocidade do homem quando: 
 
a) t = 5 s. 
b) t = 20 s. 
 
 
Q10 – O gráfico dado representa um movimento imaginário onde a velocidade salta 
bruscamente de 3 m/s para 5 m/s no instante t = 2s. 
a) Qual é o deslocamento entre 0 e 4 s? 
b) Qual é a velocidade média entre 0 e 4 s? 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) Quando possui velocidade com valor constante. 
2) Não. 
3) a) 30 km. b) S = 30 + 60t. c) 48 km. d) 12 km. 
4) a) S0 = 10; v = -5 m/s. b) t = 2 s. 
5) a) Corpo A: S0 = 0; v = 20 m/s e corpo B: S0 = 30; v = 10 m/s. b) B está 30 m na frente. 
c) t = 3 s. d) ΔSA = 60 m; ΔSB = 30 m. 
6) 
 
7) a) v = 2 m/s; S = 2t. b) v = -4 m/s; S = 12 – 4t. 
8) a) ΔS = 12 m; v = 3 m/s. b) ΔS = 18 m; v = 4,5 m/s. c) ΔS = 2 m; v = 0,5 m/s. 
 
Q1) d. 
Q2) 111.120 m. 
Q3) Porque a velocidade do som é menor do que a velocidade da luz. 
Q4) a) Ciclista A: S0 = 0 m e v = 12 m/s; Ciclista B: S0 = 10 m e v = 8 m/s. b) 10 m. c) 2,5 
s; 30 m. d) 30 m; 20 m. 
Q5) 6 s. 
Q6) a) Pessoa A: S0 = 0 m e v = 1,2 m/s; Pessoa B: S0 = 10 m e v = – 0,8 m/s. b) 10 m. c) 
5 s; 6 m. 
Q7) 20 s. 
Q8) c. 
Q9) a) 4 m/s. b) 0 m/s. 
Q10) a) 16 m. b) 4 m/s. 
 
 
Capítulo 3 – Movimento Retilíneo Uniformemente Variado 
 
3.1 Aceleração 
 
A relação entre a variação de velocidade e o intervalo de tempo é denominada 
aceleração. De um modo geral, sejam v0 e v as velocidades de um móvel nos instantes t1 
e t2, respectivamente. A sua aceleração a entre esses instantes é a razão entre a variação 
da velocidade Δv e o intervalo de tempo Δt. 
 
 
 
𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣 − 𝑣0
𝑡 − 𝑡0
 
Por exemplo, qual é a aceleração de um corpo cuja velocidade varia de 3 m/s a 7 
m/s entre os instantes 2 s e 7 s? 
 
𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
=
7 − 3
10 − 2
=
4
8
= 0,5 𝑚/𝑠² 
 
Um movimento em linha reta cuja aceleração é constante e diferente de zero 
denomina-se movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). 
 
Exercícios: 
 
1 – O que significa dizer que a aceleração de um corpo é constante? 
 
2 –Um corpo com aceleração nula pode estar em movimento? 
 
3.2 Relação entre velocidade e tempo 
 
Se um corpo está em movimento retilíneo uniformemente variado, sua aceleração 
é dada por: 
 
𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣 − 𝑣0
𝑡 − 𝑡0
 
 
Considerando o instante inicial t0 = 0 s, 
 
𝑎 =
𝑣 − 𝑣0
𝑡 − 0
=
𝑣 − 𝑣0
𝑡
⇒ 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎. 𝑡 
 
A expressão v = v0 + a.t é chamada de função horária da velocidade e fornece a 
velocidade em função do tempo. Exemplos: 
 v0 = 2 m/s e a = 5 m/s² → v = 2 + 5t 
 v0 = 0 m/s e a = 4 m/s² → v = 4t 
 v0 = 3 m/s e a = –7 m/s² → v = 3 – 7t 
 
Exercícios 
 
 
3 – Em uma prova de 100 m rasos, de 0 a 2 segundos um atleta sai do repouso e atinge 
uma velocidade de 8 m/s. Qual é a aceleração do atleta neste intervalo de tempo? 
 
4 – Uma bola solta de certa altura atinge a velocidade de 29,4 m/s em cerca de 3 s. Qual 
é a aceleração dessa queda? 
 
5 – Entre 0 e 3 s, a velocidade de um móvel varia uniformemente de 4 m/s para 19 m/s. 
a) Qual é a sua aceleração? b) Escreva a função horária da velocidade desse móvel. c) 
Qual é a sua velocidade no instante 4,8 s? 
 
6 – Um carro percorre uma estrada com velocidade de 12 m/s. Quando o motorista pisa 
no acelerador, a velocidade aumenta uniformemente até atingir 20 m/s em 4 s. 
a) Qual é a aceleração nesses 4 s? b) Em quanto tempo a velocidade aumenta de 15 m/s 
para 18 m/s? c) Considerando que o cronômetro foi ligado no início da aceleração, qual 
é a velocidade quando ele marca 2,5 s? 
 
7 – Um veículo a 30 m/s é freado uniformemente e para em 6 s. Determine: 
a) A aceleração durante a frenagem; b) A velocidade 4 s após o início da frenagem. 
 
8 – (PUC–SP) Um carro, partindo do repouso, assume movimento com aceleração 
constante de 1 m/s², durante 5 s. Desliga-se, então, o motor e, devido ao atrito, o carro 
volta ao repouso com retardamento constante de 0,5 m/s². A duração total desse 
movimento foi de: 
a) 5 s. b) 10 s. c) 15 s. d) 20 s. e) 25 s. 
 
3.3 Gráfico da velocidade em função do tempo 
 
Quando a aceleração é constante, a variação da velocidade é proporcional à 
respectiva variação de tempo. Por exemplo, a tabela a seguir apresenta um corpo cuja 
velocidade varia 5 m/s a cada segundo. 
 
t (s) 0 1 2 3 
v (m/s) 0 5 10 15 
 
A relação entre a velocidade e o tempo pode ser verificada pelo gráfico v x t. Esse 
gráfico é traçado colocando os dados dos tempos no eixo das abscissas, e os das 
velocidades no eixo das ordenadas, conforme: 
 
 
 
Com esse gráfico é possível determinar a aceleração. Por exemplo, de 1 s a 2 s, a 
velocidade varia de 5 m/s para 10 m/s, logo: 
 
𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
=
10 − 5
2 − 1
= 5 𝑚/𝑠² 
 
Um movimento com aceleração positiva, ou seja, com a velocidade aumentando 
com o tempo, é dito acelerado. 
Já a tabela a seguir, apresenta um corpo cuja velocidade diminui com o tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
t (s) 0 1 2 3 
v (m/s) 15 10 5 0 
 
 
Nesse caso, para o mesmo intervalo de tempo de 1 s a 2 s, a aceleração será: 
 
𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
=
5 − 10
2 − 1
= −5 𝑚/𝑠² 
 
Um movimento com aceleração negativa, ou seja, com a velocidade diminuindo 
com o tempo, é dito retardado. 
 
Exercícios: 
 
9 – Para cada um dos gráficos a seguir determine sua aceleração. 
 
 
3.4 Relação entre posição e tempo 
 
No movimento retilíneo uniformemente variado, a posição de um corpo em função 
do tempo é dada por: 
 
𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0𝑡 +
𝑎𝑡²
2
 
 
 
A função horária da posição do MRUV é do 2º grau, logo o gráfico S x t é uma 
parábola com os aspectos apresentados a seguir, conforme a orientação da trajetória do 
móvel. No instante de tempo correspondente ao vértice da parábola, o sentido do 
movimento do corpo muda, portanto, nesse ponto a velocidade é nula. 
 
 
 
Exercícios 
 
10 – Uma bola chutada com velocidade de 8 m/s rola sobre o gramado com aceleração 
constante de –2 m/s². Durante quanto tempo a bola rola sobre o gramado? Que distância 
ela percorre nesse intervalo de tempo? 
 
11 – Um veículo parte do repouso e adquire a aceleração constante de 6 m/s². 
a) Em quanto tempo ele atinge a velocidade de 30 m/s? 
b) Qual é o deslocamento realizado nesse intervalo de tempo? 
 
12 – Partindo do repouso, um corpo iniciou um MRUV e em 30 s percorreu 900 m. Qual 
é a aceleração e a velocidade atingida no fim do percurso? 
 
13 – Um veículo com velocidade de 40 m/s é freado uniformemente e para em 20 s. Qual 
é a aceleração e a distância percorrida nesses 20 s? 
 
14 – Determine a distância percorrida em cada um dos gráficos a seguir. 
 
 
3.5 Relação entre velocidade e deslocamento (Equação de Torricelli) 
 
Da função horária da velocidade, pode-se ver que: 
 
 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎. 𝑡 ⇒ 𝑡 =
𝑣 − 𝑣0
𝑎
 
 
Substituindo o tempo na função horária da posição 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0𝑡 +
𝑎𝑡²
2
, e isolando 
a velocidade, tem-se que: 
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎∆𝑆 
 
Exercícios: 
 
15 – A velocidade de um corpo em MRUV varia de 6 m/s para 9 m/s em um trajeto de 3 
m. Calcule a aceleração do corpo. 
 
16 – Um trem trafega com velocidade constante de 15 m/s. Em determinado instante, os 
freios produzem um retardamento de – 1,5 m/s². Quantos metros o trem percorre durante 
a frenagem até parar? 
 
3.6 Lançamento Vertical e Queda Livre 
 
Tanto quando um corpo é lançado verticalmente para cima ou quando ele cai em 
queda livre, na verdade trata-se de um movimento retilíneo uniformemente variado na 
direção vertical. A aceleração existente nesses dois movimentos é constante e 
denominada aceleração da gravidade g, que vale 9,8 m/s². 
Assim, o lançamento vertical será tratado como um MRUV na vertical e com seu 
sentido para cima; a queda livre será tratada como um corpo abandonado (v0 = 0) que se 
move em MRUV também na vertical, porém orientado para baixo, em direção ao solo. 
 
Lançamento Vertical: 
 
É um MRUV, seguindo todas as considerações adequadas apresentadas 
anteriormente. Para subir, todos os corpos precisam de uma velocidade inicial nessa 
direção vertical v0y. O deslocamento realizado é na direção vertical, e passa a ser chamado 
de altura h. 
Adotando o sentido ascendente como positivo: 
i) Considerar o ponto de partida como h0 = 0. 
ii) A aceleração da gravidade g é direcionada para baixo, possuindo sentido negativo. 
As equações são as mesmas do MRUV, porém com as devidas adaptações: 
(1) 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 
(2) ℎ = 𝑣0𝑦. 𝑡 −
𝑔𝑡2
2
 
(3) 𝑣𝑦
2 = 𝑣0𝑦
2 − 2𝑔∆ℎ 
 
Para se determinar o tempo que um corpo leva para subir, chamado de tempo de 
subida, deve-se entender que, no ponto mais alto, vy = 0, e por isso ele não sobe mais. 
Assim, 
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 → 0 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡𝑠 
𝑔𝑡𝑠 = 𝑣0𝑦 ∴ 𝒕𝒔 =
𝒗𝟎𝒚
𝒈
 
 
O ponto máximo que o objeto alcança ao ser lançado para cima, é denominado 
altura máxima (hmáx). A altura máxima é dada por: 
 
𝑣𝑦
2 = 𝑣0𝑦
2 − 2𝑔∆ℎ → 02 = 𝑣0𝑦
2 − 2𝑔(ℎ𝑚á𝑥 − ℎ0) 
 
Como h0 = 0, 
𝑣0𝑦
2 = 2𝑔ℎ𝑚á𝑥 → 𝒉𝒎á𝒙 =
𝒗𝟎𝒚
𝟐
𝟐𝒈
 
 
Queda Livre: 
 
Para a queda livre, vamos considerar que não há resistência do ar, e que o corpo foi 
abandonado, ou seja, v0y = 0. Como tanto o deslocamento ao longo da vertical quanto a 
aceleração da gravidade estão direcionados para baixo, ou seja, sentido descendente, tal 
sentido será o considerado como positivo. Assim, as equações bases são: 
(1) 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑔𝑡 
(2) ∆ℎ = 𝑣0𝑦. 𝑡 +
𝑔𝑡2
2
 
(3) 𝑣𝑦
2 = 𝑣0𝑦
2 + 2𝑔∆ℎ 
 
Em uma primeira análise, pode-se determinar o tempo de queda, que vem a ser o 
tempo que o objeto leva para atingiro solo. Em relação à altura, o tempo de queda é: 
 
∆ℎ = 𝑣0𝑦 . 𝑡 +
𝑔𝑡2
2
→ (ℎ − ℎ0) = 0 +
𝑔𝑡2
2
 
 
Considerando a variação de altura em relação ao nível do solo como sendo a própria altura 
de queda do objeto, 
 
ℎ =
𝑔𝑡𝑄
2
2
∴ 𝒕𝑸 = √
𝟐𝒉
𝒈
 
 
A velocidade com que o corpo toca o solo após uma variação de altura Δh: 
 
𝑣𝑦
2 = 𝑣0𝑦
2 + 2𝑔∆ℎ → 𝑣𝑦
2 = 0 + 2𝑔∆ℎ 
𝒗𝒚 = √𝟐𝒈∆𝒉 
 
Também é possível relacionar o tempo de queda com a velocidade com que ele toca o 
solo: 
 
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑔𝑡 → 𝑣𝑦 = 0 + 𝑔𝑡𝑄 
𝑔𝑡𝑄 = 𝑣𝑦 ∴ 𝒕𝑸 =
𝒗𝒚
𝒈
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) Que a velocidade varia com uma taxa constante. 
2) Sim. 
3) 4 m/s². 
4) 9,8 m/s². 
 
5) a) 5 m/s². b) v = 4 + 5t. c) 28 m/s. 
6) a) 2 m/s². b) 1,5 s. c) 17 m/s. 
7) a) - 5 m/s²; b) 10 m/s; 
8) c. 
9) a) 4 m/s². b) 1,5 m/s². c) –2 m/s². 
10) 4 s; 16 m. 
11) a) 5 s. b) 75 m. 
12) a = 2 m/s²; v = 60 m/s. 
13) a = – 2 m/s²; 400 m. 
14) a) 20 m. b) 18 m. 
15) 7,5 m/s². 
16) 75 m. 
 
 
Capítulo 4 – Vetores 
 
4.1 Grandezas Escalares e Vetoriais 
 
Quando dizemos que a temperatura de uma sala é de 24ºC, falta algo para 
caracterizar essa grandeza? Ou que essa sala possui uma área de 12 m²? Por exemplo, 
temos que pensar “em que direção” ou “para que lado” a temperatura é de 24ºC e a área 
de 12 m²? 
A resposta é não, pois só os valores números (24 e 12) e a unidade de medida (ºC e 
m²) caracterizam as grandezas temperatura e área. Grandezas caracterizadas somente por 
valor numérico e unidade de medida (módulo ou intensidade) são denominadas 
escalares. É o caso da massa, do volume, do tempo e etc. 
A maioria das grandezas escalares são somadas aritmeticamente. Por exemplo: 3 
kg + 4kg = 7 kg. 
No entanto, a adição de duas velocidades de 3 m/s e 4 m/s nem sempre é 7 m/s. Se, 
por exemplo, um vento de velocidade 3 m/s atingir um barco que está com velocidade de 
4 m/s, em uma lagoa, a velocidade resultante do barco vai depender da direção e do 
sentido do vento. 
Para entender esse tipo de questão, vejamos alguma noção de direção e sentido. 
Na figura abaixo, a e b possuem a mesma direção e sentido, já c e d possuem a mesma 
direção, porém sentidos contrários. 
 
 
Em uma mesma direção existem dois sentidos. Por exemplo: 
- Na direção vertical, há os sentidos para cima e para baixo. 
- Uma gaveta pode ser movimentada na direção horizontal e em dois sentidos: puxar e 
empurrar. 
- Na direção leste-oeste, o sentido pode ser para leste ou para oeste. 
- As direções de dois automóveis que se emparelham são as mesmas, mas os seus sentidos 
podem ser iguais ou contrários, conforme um esteja ultrapassando o outro, ou esteja 
cruzando com o outro. 
Em suma, é como se a direção fosse o “por onde”, o sentido fosse o “para onde”. 
Se um corpo se movimenta verticalmente para cima com velocidade de 5 m/s, essa 
velocidade é caracterizada por: {
módulo (intensidade): 5 m/s
direção: vertical
sentido: para cima
 
A aceleração de um corpo em queda livre nas proximidades da Terra é caracterizada 
por: {
módulo (intensidade): ~ 9,8 m/s²
direção: vertical
sentido: para baixo
 
Dessa forma, observa-se que velocidade e aceleração são grandezas caracterizadas 
por módulo ou intensidade (valor numérico e unidade de medida), direção e sentido. 
 
Grandezas caracterizadas dessa forma são chamadas de vetoriais. Como outros 
exemplos, temos a força, a posição, etc. 
 
4.2 Vetores 
 
Uma grandeza vetorial é representada por um vetor acompanhado de uma letra, 
sobre a qual se coloca uma pequena seta orientada para a direita. Na figura a seguir, estão 
representados os vetores �⃗�, �⃗�, �⃗�: 
 
 
Os módulos dos vetores são indicados por: |𝑋⃗⃗⃗⃗⃗|, |�⃗�| e |�⃗�| ou simplesmente por X, v 
e a. 
 
 
 
Capítulo 5 – Movimento de Projéteis: Lançamento 
Horizontal e Lançamento Oblíquo 
 
5.1 Apresentação 
 
Para discutir o movimento de projéteis em duas dimensões, vamos considerar duas 
situações: lançamento horizontal e lançamento oblíquo. 
 
5.2 Lançamento Oblíquo 
 
Galileu Galilei foi quem fez a análise correta deste tipo de movimento pela primeira 
vez, quando procurava estudar o movimento de um projétil disparado por um canhão. Ele 
conseguiu mostrar que o movimento do projétil poderia ser analisado considerando-se 
separadamente o movimento na direção horizontal e o movimento na direção vertical. 
Então, Galileu enunciou que “Se um móvel apresenta um movimento composto, cada um 
dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo 
intervalo de tempo”. 
Consideremos, então, um corpo lançado a partir do solo (altura inicial h0 = 0) com 
velocidade v0, com uma dada inclinação θ em relação à horizontal. Iremos desprezar a 
resistência do ar. 
 
 
O movimento descrito pelo corpo tem o formato de uma parábola, e pode ser 
considerado como a composição de dois movimentos simultâneos e independentes: um 
movimento vertical uniformemente acelerado, cuja aceleração é a gravitacional g = 10 
m/s², e um movimento horizontal uniforme. Ou seja, 
Direção Ox (horizontal) – MU, ou seja, velocidade constante. 
Direção Oy (vertical) – MUV, com aceleração gravitacional. 
No ápice do movimento, isto é, quando o corpo atinge a altura máxima, sua 
velocidade na vertical é nula. Assim, ele para instantaneamente e, logo em seguida, 
começa a descer. O lançamento oblíquo possui uma caraterística muito interessante: o 
que ocorre com o objeto até a chegada à altura máxima, ocorre de semelhante forma no 
retorno ao solo; levando o mesmo tempo para descer do que levou para subir, e 
tocando o solo com a mesma velocidade que partiu. 
Decompondo-se v0 nos eixos Ox e Oy, mostrados acima, tem-se: 
cos 𝜃 = 
𝑣𝑜𝑥
𝑣𝑜
∴ 𝒗𝒐𝒙 = 𝒗𝒐. 𝒄𝒐𝒔 𝜽 
sen 𝜃 = 
𝑣𝑜𝑦
𝑣𝑜
∴ 𝒗𝒐𝒚 = 𝒗𝒐. 𝒔𝒆𝒏 𝜽 
 
- Direção horizontal (Ox): Movimento uniforme, pois não há aceleração. 
 
 Para a posição: 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣𝑡 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜𝑥𝑡 ∴ 𝒙 = (𝒗𝒐. 𝒄𝒐𝒔 𝜽). 𝒕 
 
- Direção vertical (Oy): Movimento uniformemente variado, pois existe a ação da 
aceleração gravitacional constante. 
 Para a posição: 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0𝑡 +
𝑎𝑡²
2
 , onde S0 = h0 = 0; v0 = v0y = vo.sen θ; a = – g. 
Então: 𝒉 = (𝒗𝒐. 𝒔𝒆𝒏 𝜽). 𝒕 −
𝒈𝒕𝟐
𝟐
 
 Para a velocidade em função do tempo: 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑣𝑜𝑥𝑡 ⇒ 𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 + 𝑎𝑡 ∴ 𝒗𝒚 = 𝒗𝒐. 𝒔𝒆𝒏 𝜽 − 𝒈. 𝒕 
 Para a velocidade em função da altura: 𝑣 = 𝑣0
2 + 2𝑎∆𝑆 
𝑣 = 𝑣0
2 + 2𝑎∆𝑆 ⇒ 𝑣𝑦
2 = 𝑣0𝑦
2 + 2𝑎∆ℎ ∴ 𝒗𝒚
𝟐 = 𝒗𝟎
𝟐. 𝒔𝒆𝒏² 𝜽 − 𝟐𝒈∆𝒉 
 
Podemos utilizar as equações acima para obter parâmetros importantes sobre o 
lançamento, como: 
 
i) Tempo de subida: 
No ponto de altura máxima, a velocidade vertical vy é nula. Logo: 𝑡 = 𝑡𝑠; 𝑣𝑦 = 0; 
0 = 𝑣𝑜 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑔. 𝑡𝑠 ∴ 𝒕𝒔 =
𝒗𝒐. 𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝒈
 
O tempo total de movimento (ou tempo de voo ou tempo de trajetória) é o tempo 
total que o corpo leva para tocar o solo novamente (h = h0). Como ele leva o mesmo 
tempo para subir e para descer, então o tempo total é o dobro do tempo de subida. Daí: 
𝑡𝑇 = 2. 𝑡𝑠 ∴ 𝒕𝑻 = 𝟐.
𝒗𝒐. 𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝒈
 
 
ii) Altura máxima: 
No ponto de altura máxima (ℎ𝑀Á𝑋), a velocidade vertical vy é nula. Como o objeto 
partiu do solo, h0 = 0. Logo: 𝑣𝑦 = 0; ∆ℎ = ℎ𝑀Á𝑋 − ℎ0 = ℎ𝑀Á𝑋 − 0 = ℎ𝑀Á𝑋; 
0 = 𝑣0
2. 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 2𝑔ℎ𝑀Á𝑋 ∴ 𝒉𝑴Á𝑿 =
𝒗𝟎
𝟐. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝟐𝒈
 
 
iii) Alcance: 
O alcance (A) é dado pela máxima posição na direção Ox em relação à origem, ou 
seja, o quanto o corpo consegue se afastar horizontalmente da origem de seu lançamento,levando, para isso, o tempo total tT. Assim: 
𝑥𝑀Á𝑋 = 𝐴 = (𝑣𝑜 . cos 𝜃). 𝑡𝑇 = (𝑣𝑜 . cos 𝜃).2.
𝑣𝑜 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑔
 
𝑨 =
𝟐𝒗𝟎
𝟐. 𝐜𝐨𝐬 𝜽 . 𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝒈
 
Ou ainda, usando a relação sen 2θ = 2.sen θ. cos θ: 
𝑨 =
𝒗𝟎
𝟐. 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽
𝒈
 
 
Para um certo valor de velocidade inicial, o máximo alcance que pode ser obtido é com o 
lançamento a 45º com a horizontal. 
 
 
Exemplo: Um objeto foi lançado com uma velocidade inicial de 19,6 m/s, inclinado de 
30º com a horizontal. Determine o seu tempo de subida, a altura máxima e o seu alcance. 
𝑡𝑠 =
𝑣𝑜.𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑔
=
19,6.𝑠𝑒𝑛 30°
9,8
= 1 𝑠; ℎ𝑀Á𝑋 =
19,62𝑠𝑒𝑛230°
2𝑥9,8
= 4,9 𝑚; 
𝐴 =
𝑣0
2.𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝑔
=
19,62.𝑠𝑒𝑛 60°
9,8
≅ 17 𝑚. 
 
Exercícios: 
 
1 – (UNICAMP) Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta a bola parada de forma que 
ela alcance a maior distância possível. No chute, a bola atinge o campo a uma distância 
de 400 m. Despreze a resistência do ar. 
a) Qual o ângulo de tiro do chute do goleiro? b) Qual a intensidade do vetor velocidade 
da bola? 
 
2 – (UERJ) Um projétil é lançado segundo um ângulo de 30º com a horizontal e com uma 
velocidade de 200 m/s. Supondo a aceleração da gravidade igual a 10 m/s² e desprezando 
a resistência do ar, concluímos que o menor tempo gasto por ele, para atingir a altura de 
480 m acima do ponto de lançamento será de: 
(a) 8 s; (b) 10 s; (c) 9 s; (d) 14 s; (e) 12 s 
 
3 – (UECE) Num lugar onde g = 10 m/s², lançamos um projétil com a velocidade inicial 
de 100 m/s, formando com a horizontal um ângulo de elevação de 30°. A altura máxima 
será atingida após:. 
(a) 3 s; (b) 4 s; (c) 5 s; (d) 10 s 
 
5.3 Lançamento Horizontal 
 
Além de estudar a queda dos corpos, Galileu estudou o lançamento dos corpos na 
direção horizontal e demonstrou que os tempos de queda de um corpo abandonado e de 
um corpo lançado na horizontal da mesma altura eram iguais. Isso acontece porque eles 
caem com a mesma aceleração da gravidade. 
 
 
O estudo de um corpo lançado na horizontal é feito pela decomposição desse 
movimento nas direções horizontal (eixo x) e vertical (eixo y). O sentido do eixo x é o 
mesmo da velocidade de lançamento v0, e o eixo y é orientado para baixo. O movimento 
total é a composição dos dois movimentos x e y o que dá uma parábola. 
Resumo: 
 
- A projeção horizontal (x) do móvel descreve um Movimento Uniforme: O vetor 
velocidade no eixo x se mantém constante, sem alterar a direção, sentido e o módulo. 
- A projeção vertical (y) do móvel descreve um Movimento Uniformemente 
Variado: O vetor velocidade no eixo y mantém a direção e o sentido, porém o módulo 
aumenta à medida que se aproxima do solo. 
 
Para o eixo x, tem-se: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜𝑥𝑡 ∴ 𝒙 = 𝒗𝒐. 𝒕 
Para o eixo y, tem-se: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦𝑡 +
𝑔𝑡²
2
⟹ 𝑯 = 𝑯𝟎 +
𝒈𝒕²
𝟐
 
 
Podemos utilizar as equações acima para obter parâmetros importantes sobre o 
lançamento, como: 
 
i) Tempo de queda: 
Sendo 𝑡 = 𝑡𝑞; 
𝒕𝒒 = √
𝟐𝑯
𝒈
 
 
 
ii) Alcance: 
O alcance (A) é dado pela máxima posição na direção Ox em relação à origem, ou 
seja, o quanto o corpo consegue se afastar horizontalmente da origem de seu lançamento. 
É atingido ao tocar o solo novamente, levando, para isso, o tempo de queda tq. Assim, 
fazendo x = A: 
𝐴 = 𝑣𝑜 . 𝑡𝑞 ∴ 𝑨 = 𝒗𝒐. √
𝟐𝑯
𝒈
 
 
iii) Velocidade do corpo: 
A velocidade v (tangente à trajetória) do corpo em um instante t pode ser calculada 
por meio de seus componentes vx e vy nas direções horizontal e vertical, respectivamente: 
Na direção horizontal: 𝑣𝑥 = 𝑣0 
Na direção vertical: 𝑣𝑦 = 𝑔𝑡 
O módulo da velocidade v, pelo 
teorema de Pitágoras, é: 
𝒗 = √𝒗𝒙𝟐 + 𝒗𝒚𝟐 ∴ 𝒗 = √𝒗𝟎
𝟐 + 𝒈²𝒕² 
 
 
Exemplo: Um avião de salvamento, voando horizontalmente a uma altura de 125m do 
solo e com velocidade de 108km/h, deve deixar cair um pacote para um grupo de pessoas 
que ficaram isoladas após um acidente. Para que o pacote atinja o grupo, deve ser 
abandonado t segundos antes de o avião passar diretamente acima do grupo. Adotando g 
= 10m/s² e desprezando a resistência oferecida pelo ar, determine: 
a) O valor de t; 
b) À que distância horizontal estava o grupo do avião quando o pacote foi lançado; 
c) a velocidade com que o pacote atinge o solo. 
 
 
a) 𝑡𝑞 = √
2𝐻
𝑔
= √
2𝑥125
10
= 5 𝑠; b) 𝑣𝑜 =
108
3,6
= 30 𝑚/𝑠, então: 𝐴 = 𝑣𝑜. 𝑡𝑞 = 30𝑥5 = 150 𝑚 
c) 𝑣𝑥 = 𝑣0 = 30 𝑚/𝑠; 𝑣𝑦 = 𝑔𝑡 = 10𝑥5 = 50 𝑚/𝑠, então 𝑣 = √30² + 50² = √3400 𝑚/𝑠 
 
Exercícios: 
 
4 – Um projétil é atirado horizontalmente de uma torre de 50 m de altura com uma 
velocidade de 200 m/s. Considerando g = 10 m/s², calcule: a) A altura do projétil no 
instante t = 2 s; b) O alcance horizontal do projétil. 
 
5 – Uma bola é lançada horizontalmente de uma altura de 80 m do solo com velocidade 
de 20 m/s. Considerando g = 10 m/s², em quanto tempo ela atinge o solo? Qual é o seu 
alcance horizontal? Com que velocidade ela atinge o solo? 
 
6 – (FUVEST-SP) Uma bolinha rola sobre uma mesa de 80 cm de altura e atinge o chão 
à uma distância de 1,20 m do pé da mesa. Calcule a velocidade da bolinha quando ela: a) 
deixa a mesa; b) atinge o chão. 
 
RESPOSTAS 
1) a) 45º. b) 20 m/s. 
2) letra (a). 
3) letra (c). 
4) a) 201 m/s. b) 632,5 m. 
5) a) 4 s. b) 80 m. c) 44,7 m/s. 
6) a) 3 m/s. b) 5 m/s.