Relatorio das equações de Navier Stokes

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FUNDAÇÃO ALAGOANA DE PESQUISA, EDUCAÇÃO E CULTURA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ALAGOAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
-----nome-----
FENÔMENOS DOS TRANSPORTES I
MACEIÓ – AL
2015
FUNDAÇÃO ALAGOANA DE PESQUISA, EDUCAÇÃO E CULTURA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ALAGOAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
------nome-------
FENÔMENOS DOS TRANSPORTES I
EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES
Relatório apresentado para obtenção de nota parcial na disciplina de Fenômenos dos Transportes I do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Tecnologia de Alagoas lecionada pelo prof. -----------.
MACEIÓ – AL
2015
SUMÁRIO
	1.0 _ Introdução......................................................................................................
	4
	2.0 _ Desenvolvimento............................................................................................
	5
	3.0 _ Referências....................................................................................................
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1.0 _ INTRODUÇÃO
As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão num escoamento. Foram denominadas assim após Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e gases. Estas equações estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o produto (resultado) das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção) atuando no fluido. Esta força viscosa se origina na interação molecular. Estas são um dos mais úteis conjuntos de equações, pois descrevem a física de um grande número de fenômenos de interesse econômico e acadêmico, inclusive em diversos ramos da engenharia.
2.0 _ DESENVOLVIMENTO
Equações de Navier-Stokes
As equações de Navier-Stokes são relações fundamentais para o estudo do escoamento de fluidos viscosos. Elas são o resultado da aplicação da segunda lei de Newton ao movimento do fluido e a descrição matemática básica de dinâmica de fluidos desenvolvida por Euler (1741) foi corrigida para incluir as forças de viscosidade por Navier (1827) e Stokes (1945).
  (equação de Navier-Stokes)
Aceleração
O conceito de derivada substancial pode ser explicado com auxílio de um exemplo que usa uma grandeza escalar (temperatura, neste caso): 
Seja um corpo aquecido, que é deixado em repouso num ambiente calmo. Nessa condição, a temperatura deverá ser apenas função do tempo T (t). Se esse corpo for arremessado em uma direção qualquer na atmosfera, a temperatura irá depender do tempo e das coordenadas físicas, uma vez que a temperatura da atmosfera varia de acordo com a posição. Assim, a função será T(t, x, y, z).
Uma variação de temperatura do corpo pode então ser dada pela soma das contribuições individuais:
ΔT = ΔTt + ΔTx + ΔTy + ΔTz #A.1#
Multiplicando e dividindo cada parcela por incrementos,
#A.2#
Tomando o limite da variação de temperatura em relação ao tempo,
#A.3#
No lado direito da igualdade acima, as frações que antecedem as variações em relação a x, y e z são os componentes da velocidade udo corpo, isto é, ux, uy e uz. Substituindo as variáveis, tem-se então a derivada substancial da grandeza T, simbolizada conforme se segue:
 #A.4#
No lado direito da relação acima, a primeira parcela indica a variação que ocorreria na ausência de movimento (variação local). E as três últimas parcelas formam a variação convectiva, isto é, a variação devido à variação de posição na atmosfera, que ocorreria mesmo se o corpo não fosse aquecido.
No caso de uma partícula de fluido, o uso da derivada substancial da velocidade em relação ao tempo (aceleração) é significativo, pois separa as partes dependente do tempo e dependente do local.
Desde que a velocidade u é uma grandeza vetorial, as equações da derivada substancial são mais complexas porque precisam ser feitas para cada componente. Seja então o vetor velocidade:
 #B.1#
Onde i j k são os vetores unitários nos eixos de coordenadas. Assim,
 #B.2#
Onde a é aceleração. E a igualdade #A.4# aplicada a cada componente resulta em:
#B.3#
Considerando as colunas indicadas A e B, a fórmula acima é representada na forma compacta:
#B.4#
Onde o operador do último termo equivale a:
#B.5#
Portanto, na igualdade #B.4#, o termo u·u representa a parte convectiva da aceleração.
Observação
A relação anterior #B.4# é genérica, podendo ser aplicada a uma função vetorial f:
#C.1#
A derivada substancial (também denominada derivada lagrangeana, derivada material ou derivada total) relaciona um sistema de referência langrageano com um sistema de referência euleriano. Numa analogia prática, o sistema lagrangeano seria o caso de um observador analisar o fluxo de um rio em um barco que acompanha a corrente e, no sistema euleriano, o observador estaria fixo, em um local na margem do rio.
Exemplo: o campo de velocidade de um escoamento é dado por:
ux = 3 x2 t + y
uy = x y t − t2
uz = 0
Com os dados acima e considerando unidades SI (m, s), determinar:
1) A aceleração medida por um observador estacionário a x = 2 m, y = 3 m e tempo t = 2 s.
2) A aceleração de um elemento fluido no mesmo local e tempo anteriores.
Solução: desde que uz é nulo, consideram-se apenas os eixos X e Y. As derivadas parciais em relação ao tempo são:
∂ux/∂t = 3 x2
∂uy/∂t = x y − 2 t
Para a pergunta 1, a resposta é a variação local da aceleração, ∂u/dt, coluna A de #B.3#:
∂u/dt = (∂ux/∂t) i + (∂uy/∂t) j. Substituindo as expressões com os valores dados de x, y e t,
∂u/dt = (3 22) i + (2 3 − 2 2) j = 12 i + 2 j
Para a pergunta 2, a resposta é a derivada substancial Du/Dt. Desde que a parcela local já está acima calculada, deve-se determinar a parcela convectiva u·u, conforme coluna B da relação #B.3#.
As derivadas parciais, com a substituição dos valores, são:
∂ux/∂x = 6 x t = 24
∂ux/∂y = 1
∂uy/∂x = y t = 3 2 = 6
∂uy/∂y = x t = 2 2 = 4
E as velocidades são:
ux = 3 x2 t + y = 3 22 2 + 3 = 27
uy = x y t − t2 = 2 3 2 − 22 = 8
Substituindo em B de #B.3#,
u·u = (27 24 + 8 1)i + (27 6 + 8 4)j = 656 i + 194 j
E o resultado final é
Du/Dt = ∂u/dt + u·u = 12 i + 2 j + 656 i + 194 j = 668 i + 196 j
3.0_REFERÊNCIAS
http://www.if.ufrj.br/~bertu/fis2/hidrodinamica/turbulencia/turbulencia.html
http://www.mspc.eng.br/fldetc/fld_navstk_10.shtml