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Capítulo 1 INTRODUÇÃO Neste capítulo apresentaremos uma breve revisão de alguns tópicos do ��� grau essenciais para o estudo do Cálculo de uma Variável Real. Admitiremos a familiaridade do leitor com o con- junto dos números reais, denotado por � , com as operações fundamentais e suas respectivas propriedades, bem como com a visualização geométrica de � como uma reta e dos números reais como pontos dessa reta. 1.1 Desigualdades A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados. Usando os símbolos usuais para maior ( � ), maior ou igual ( � ), menor ( � ), menor ou igual ( � ), podemos ver, por exemplo, que se � ��� �� e ����� , então ��������� ; no eixo coordenado temos que � está à esquerda de � . Para todo �� ��� �� temos: ou ����� , ou �ff��� , ou �flfiffi� . 1.2 Intervalos Muitos subconjuntos de � são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são os intervalos. Sejam � ��� �� tais que �ff��� . Intervalo aberto de extremidades � e � , denotado por � �� ��"! é definido por: � �� ��#!$fi&%(') ��+*,�)��'-���/.10 a b ( ) Figura 1.1: Intervalo aberto. Intervalo fechado de extremidades � e � , denotado por 2 �� ���3 é definido por: 2 �� ��435fi&%('- ��+*6�7��'-���/.10 9 10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO a b ][ Figura 1.2: Intervalo fechado. Intervalo semi-aberto e intervalo semi-fechado, são denotados e definidos, respectivamente, por: 2 � ��"! fi %(') ��+* � � ')���/. e � � ���3 fi %(') ��$* � � ')���/.10 a b [ ) a ( ] b Figura 1.3: Intervalos semi-abertos e semi-fechados. Os quatro intervalos assim definidos são ditos limitados. Introduzindo os símbolos � � e � � , os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados: � �� � � ! fi %(') ��$* � � ' . e � � � 4� 3 fi&%(') ��+* ' ��� .1 � � � 4� ! fi %(') ��$*6' ��� . e 2 � � � ! fi&%(') ��+* ' ��� .10 Note que � fi � � � � � ! . Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequa- ções, pois, a solução é, em geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos. Desigualdades Lineares: Determinemos o conjunto-solução de: �+' � ����� 0 �+' � ����� é equivalente a �$' � � � ; logo, se ����� , ')� � � � ; o conjunto-solução é 2 � � � � � ! . Se �ff��� , '-� � � � ; o conjunto-solução é � � � (� � � � 0 Desigualdades Quadráticas: Seja �+'�� � ��' � � fi � a equação de segundo grau. Denotemos por fi ��� � � � � o discri- minante da equação e � , � as raízes reais da equação ( �&��� ). O conjunto-solução � de uma desigualdade quadrática depende do sinal de � e de . Para ��� . Se ����� , a desigualdade �$' � � ��' ��� ��� tem conjunto-solução � � � �� 3��ff2 � � � ! e �+'�� � ��' ��� ��� tem conjunto-solução 2�� ��53 Se ����� , a desigualdade �+'�� � � ' ��� � � tem conjunto-solução 2�� �� 3 e �$'ff� � ��' �fi� ��� tem conjunto-solução � � � �� 3fl�72 �$ � � ! . 1.3. VALOR ABSOLUTO 11 Para fi � . Se �ff��� , a desigualdade �+' � � ��' � � ��� tem conjunto-solução � e �+' � � � ' � � ��� tem conjunto-solução % � . . Se �)� � , a desigualdade �$' � � � ' � � � � tem conjunto-solução % � . e �$' � � ��' � � � � tem conjunto-solução � . Para ��� . Se �ff��� , a desigualdade �+'ff� � ��' � � ��� tem conjunto-solução � e �+'ff� � � ' � � ��� tem conjunto-solução � . Se �)�&� , a desigualdade �$' � � ��' � � � � tem conjunto-solução � e �+'�� � ��' �fi� ��� tem conjunto-solução � . Exemplo 1.1. [1] Ache a solução de: '�� � ' . Fatorando '�� ��' fi ' � ' ��� ! � ' � � ! ; então, '�� � ' � � é equivalente a ' � ' ��� ! � '�� � ! ��� , da qual obtemos '7�&� � ou ����'7� � . O conjunto-solução é: � fi � � � (� � ! ��� � � ! 0 [2] Ache a solução de: '�� � ' � � �� 0 Note que a desigualdade não é equivalente a '�� � �� � ' � � ! . Se ' � � � � , isto é ' � � � ; então, '�� � � � ' � � ! , de onde obtemos ' � ��� . Se ' � � � � , isto é ' � � � ; então, '�� � �� � ' � � ! , de onde obtemos ���fl� ' . Logo, o conjunto-solução é: ��fi 2 ��� (� � ! 0 [3] Ache a solução de: ' � � 'ff� � � ' ' � � 0 Resolvemos ' � � '�� � � ' ' � � � � , que é equivalente a � ' ��� � 'ff� � ! � ' � � ! � � , da qual obtemos � � � ��'-� � ou '-� � � . Logo, o conjunto-solução é: ��fi�� � � (� ��� ��� � � � � �10 1.3 Valor Absoluto O valor absoluto ou módulo de um número real � , denotado por � ��� é definido como o maior número do conjunto %/�� � � . , ou equivalentemente: � ���,fi ff � se ����� � � se ����� 0 Observe que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo e possui as seguintes propriedades imediatas. Sejam � � �� ; então: 12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1. � � � fi � ��� , para todo �ff �� 2. � � � ��� se e somente se � � � � 4��! , �ff��� 3. � ���/� �1fi � ����� � � � 4. � � � ��� se e somente se � ��� ou ��� � �� ����� 5. � � � � � � � � � � fi � ��� � � � , se ���fi � 6. � � � � � � � ��� � � � � . Exemplo 1.2. [1] Achar a solução de: � '�� �7' � � � � � . Pelas propriedades anteriores, � 'ff� � ' � � � � � é equivalente a: '�� � ' � � � � ou '�� � ' � � � � � . Se ' � � ' � � � � , então ' � ' � � !���� e '-��� ou '-� � ; se ' � � ' � � � � � , então � ' � � � � � � � � ��� , o que é impossível. O conjunto-solução é: � � � 4� ! ��� � � � ! 0 [2] Achar a solução de: � � � � ' � � � � ' � . Pela propriedades anteriores, � ��� � ' ����� � ' � é equivalente a: ��� � ')��� � ' � ou ��� � ' � � � � ' � ; Se � � � '-��� � ' � , então � 'ff���fl� � ')��� � � ' ; logo, � � � � ')� � 0 Se � � � ')� � � � ' � , então � � � ' �fi� ' � � ' � � , que não possui solução. O conjunto-solução é: � � � � � � 0 1.3.1 Distância Usando o valor absoluto podemos definir a distância entre dois números reais. A distância entre os números reais � e �� é � � � � � . Então � ��� é a distância de � à origem. Exemplo 1.3. [1] A distância entre os números e �� é � ���� �� ! �1fi � . [2] A distância entre os números �� e � � é � � fl�&� � � ! � fi � � � fi e a distância entre os números � e � � é � � � � � � ! � fi � . [3] A distância entre os números � � e � é: � � � � � � � � � � � � fi � � � � � � � � � � � fi � � 0 1.4. PLANO COORDENADO 13 1.4 Plano Coordenado Um par ordenado de números reais é uma dupla de números reais � ' ���! , tais que � ' �� ! fi ��� ' ! se e somente se ' fi�� . O elemento ' do par ordenado é chamado primeira coordenada do par e � é chamado a segunda coordenada do par. De forma análoga à representação geo- métrica dos reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados. Para isto con- sideramos duas retas, que por conveniência impomos que se intersectem perpendicularmen- te. A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo dos ' e a reta vertical é chamada eixo das ordenadas ou eixo dos � . A interseção das retas é chamada origem, à qual asso- ciamos o par � � 4� ! e atribuimos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamado plano coordenado. As quatros regiões determinadas no plano por estas retas são chamadas quadrantes. A representação de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciproca- mente), é feita de forma análoga a do eixo coordenado. Por exemplo,os seguintes pontos � fi � � � ! �� fi � � � � ! �� fi � � � (� � ! fi � � (� � ! , tem a seguinte representação no plano coordenado: D A2 1 -1 -2 -2 10 x y B C Figura 1.4: Usando o teorema de Pitágoras podemos definir a distância entre dois pontos do plano coor- denado. B x y x y 1 2 1 2 A d y x Figura 1.5: 14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Sejam � fi � '��( ���� ! e � fi � ' � �� � ! pontos do plano. A distância � entre � e � é: � � � � !$fi � � ' � �7'�� ! � � ��� � � ��� ! � A distância possui as seguintes propriedades imediatas. Proposição 1.1. Sejam � , � e � pontos do plano, então: 1. � � � � ! ��� e � � � �fl!$fi � se e somente se � fi � . 2. � � � � !$fi � � �ff � ! . 3. � � � � ! � � � � � ! � � � �� � ! . Exemplo 1.4. [1] Calcule a distância entre os pontos � fi � � (� ! e � fi � � � � ! . Aplicando a fórmula: � � � �fl!+fi � � � � � � ! � � � � ��� � ! ! � fi � � 0 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 Figura 1.6: [2] Determine o ponto � , que divide na razão �� o segmento de reta que liga os pontos � � �� (� � ! e � � � � � ! . Sejam �&fi � � �� (� � ! , � fi � � � � � ! os pontos dados e � fi � ' ���! o ponto procurado e � fi � ' (� � ! , fi � � � (� � ! pontos auxiliares como no desenho: 1.5. EQUAÇÃO DA RETA 15 P Q S T R Figura 1.7: Os triângulos � � � e � � são semelhantes; logo: � � � � ! � � � ! fi � � � � ! � � � � ! e � � � � ! � � � ! fi � � � � ! � � � � ! 0 Por outro lado, � � � � ! fi � � � � ! � e � � � � !$fi � � � � ! � 0 Aplicando a fórmula da distância, temos que: � � � �$!�fi ' � � , � � �fl � ! fi � � � e � � � ! fi � � . Obtemos o sistema: ff ' � � fi � � � ��� fi � que tem como solução: '�fi � fi � ; logo �&fi � � � ! . 1.5 Equação da Reta 1.5.1 Equação Geral da Reta Sejam � ��fi � ' �( ���� ! e � � fi � ' � �� � ! dois pontos distintos no plano: x1 2 2 1 P P 1 2y y x x y Figura 1.8: A equação da reta que passa pelos pontos � � e � � é: �+' � � � ��� fi � 16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO onde � fi � � � � � , � fi ' � �7'�� e � fi '���� � ��' � ��� . Veja [TA], [LB]. Se � fi � a reta é horizontal; se ��fi � a reta é vertical. O ponto � � fi � ' � �� � ! pertence à reta �+' � � � ��� fi � se �+' � � � � � �fi� fi � . Exemplo 1.5. [1] Ache a equação da reta que passa pelos pontos � ��fi � � � ! e � � fi � � (� � ! . Neste caso: �flfi � � fi � , � fi � � � fi e � fi � � ; logo, a equação é: � ' � � � � fi � . -1 1 2 3 x -4 -2 2 4 y Figura 1.9: A reta � ' � �fl� � fiffi� . [2] Determine � tal que o ponto � fi � � ! pertença à reta ' � �fl� � � fiffi� . O ponto �&fi � � ! pertence à reta ' � � � � � fi � se, e somente se � � � � � � � fi � ; logo, � fi . -1 1 2 3 4 5 x -1 1 2 3 4 y Figura 1.10: A reta ' � � � � � fi � e o ponto � fi � * 1! . 1.5.2 Equação Reduzida da Reta Se uma reta não é paralela ao eixo dos � , então ���fi � . Fazendo: � fi � � � ��� ' � �7' � e � fi ' � � � �7'�� � � ' � �7' � 1.5. EQUAÇÃO DA RETA 17 obtemos a equação reduzida da reta: �flfi � ' � � � é chamado coeficiente angular da reta e � coeficiente linear da reta. É fácil ver que a equação da reta que passa pelo ponto � � fi � ' � �� � ! e tem coeficiente angular � é: � � � � fi � � '��7' � ! Exemplo 1.6. [1] Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos � � fi � � � ! e � � fi � � 1! . Neste caso: � fi � e fazemos � � fi � � ou � � fi � � ; então, se ' � fi � e � � fi � , temos, � �ff' � � fi � ou � fi 'ff� � . -1 1 2 3 x -2 -1 1 2 y Figura 1.11: A reta � fi '�� � . [2] Escreva na forma reduzida a equação: � ' � � � � fi � . A forma reduzida é do tipo �flfi � ' � � ; então, �flfi � � '���� � 1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas Sejam � fi � ��' � � � e ��fi � � ' � � � as equações de duas retas. As retas são paralelas se, e somente se: � �$fi � � 0 As retas são perpendiculares se, e somente se: � � � � � fi � � 0 Logo, as retas de equações � ��' � � � � � � � fi&� e � � ' � � � � �fi� � fi � são perpendiculares, se, e somente se: � � � � � � � � � fi � 0 18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Exemplo 1.7. [1] Ache o valor de � tal que as retas:: (a) � � � � � � ! ' � � � fi � e � � ' � � � � � � � fiffi� sejam paralelas. (b) � � fi ' � � � e � � � fi � � �#' sejam perpendiculares. (a) As retas são paralelas se os coeficientes angulares são iguais; logo, � � � � � � fi ; donde � fi � . (b) As retas são perpendiculares se: � � � � � � � � �/!$fi � � , donde � fi � � � . -0.4 -0.2 0.2 0.4 x -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 y -1.0 -0.5 0.5 1.0 x 0.5 1.0 1.5 2.0 y Figura 1.12: As retas do exemplo (a) e (b), respectivamente. [2] Determine a reta que passa pelo ponto de interseção das retas � '+� � � � fi � e ' � � � � fi � e é perpendicular a � '�� � ��� fi � . Primeiramente, determinemos o ponto de interseção das retas, resolvendo o sistema: ff � '�� � fi � � ' � � fi � � 0 Obtemos o ponto � � � � ! . A reta que procuramos tem equação � fi � � ' � � tal que � ��� � � fi � � , onde � �$fi � é o coeficiente angular da reta � ' � � � � fi � ; logo, � � fi � � � e � fi � ' � � � . Como a reta passa por � � � � ! , a reta procurada é ' � � � fi � . -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 Figura 1.13: As retas do exemplo [2]. 1.6. EQUAÇÕES DAS CÔNICAS 19 1.6 Equações das Cônicas A equação do segundo grau em duas variáveis: � ' � � � � � � �' ��� � ��� fiffi� sendo � e � não simultanemente nulas representa, em geral, uma curva no plano chamada cônica, cuja natureza depende dos coeficientes � , � , , � e � . Podemos considerar dois casos: � �fi � e � �fi � e � � fi � . Caso 1 : Se � �fi � e � �fi � , completando quadrados dos binômios nas variáveis ' e � , a equação acima pode ser escrita como: � � ' ��� ! � � ����� � � ! � fi�� onde � fi�� � , � fi�� �� e � fi � � � � � � � � � . Se � fi � , o lugar geométrico é um ponto. Se � e � ou � tem sinais opostos, não existe lugar geométrico. Se � �fi � , a equação pode ser escrita como: � � ! � ' ��� ! � � � ��� � � ! � � fi � 0 Se � � � � ( � e � tem o mesmo sinal) e � tem o mesmo sinal de � ou � , a equação � � ! pode ser escrita como: � � ! � ' ��� ! � � � � ��� �� ! � � � fi � onde � � fi � e � � fi � . A equação � � ! representa uma elipse centrada em � � � (� � ! e eixos paralelos aos eixos coordenados; no caso particular � fi � , a equação representa um círculo de raio � , centrado em � � � (� � ! : � ' ��� ! � � ��� � � ! � fi � � Se � � ��� ( � e � tem sinais opostos). Se � ��� e � ��� (ou � ��� e � ��� ), a equação � � ! pode ser escrita como: � ! � ' ��� ! � � � � ��� � � ! � � � fi � onde � � fi � e � � fi � � � � � . Se ����� e � ��� (ou � ��� e � ��� ), a equação � � ! pode ser escrita como: � � ! ��� � � ! � � � � � ' ��� ! � � � fi � onde � � fi � � � � � e � � fi � . As equações � ! e � � ! representam uma hipérbole de eixos paralelos aos eixos coordenados. Se �ffifi � , a equação pode ser escrita como: � � ' ��� ! � � ����� � � ! � fi � , que representa duas retas que se intersectam. Caso 2: Se � fi � ou � fiffi� . Supondo � fi � e � �fiffi� , a equação é: � � � � �' ��� � ��� fi � 20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO que representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos ' . Se � �fi � e �&fi � a equação é: � ' � � �' ��� � ��� fi � que é a equação de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos � . Se � fi � fi � , a equação representa uma reta. Exemplo 1.8. Diga o que representam as seguintes equações: [1] � ' � � � � � � '�� � � � ��� � fi � . [2] ' � � � � � � '�fi . [3] � �fl� � � '�� fi � . [4] � '�� � � �fl� � � � ' ��� �fl� � fi � . [5] ' � � � � � � '�� � � � fi � . [6] �fl����'ff� � fiffi� . [7] ' � � � � � fi � . Soluções: [1] � fi � , � fi � , � � � � ; fi � � , � fi � � � e � fi � � ; logo, � fi � � , � fi ��� , � fi � � , �fl� fi � e � � fi � � . A equação representa uma elipse centrada no ponto � �� �1! de equação: � 'ff� � ! � � � ���fl� �1! � � � fi � 0 [2] � fi � fi � , � � � � ; fi � � , � fi � e � fi � ; logo, ��fi � , � fi � � , � fi � e � � fi � � fi � . A equação representa um círculo centrado em � � 4� ! , de raio � e tem a forma: � '�� � ! � � �fl� fi � . 1 2 3 4 5 6 x 2 4 6 8 10 y -1 1 2 3 x -2 -1 1 2 y Figura 1.14: Desenhos do exemplo [1] e [2], respectivamente. [3] Como � fi � � , � fi � , fi � fi � e � fi � � , temos: � � � � , � fi � fi � , � fi � , � � fi �6� � �1fi � e � � fi � . A equação representa uma hipérbole e pode ser escrita como: � � � � '�� � fi � 0 1.6. EQUAÇÕES DAS CÔNICAS 21 [4] Como � fi � , � fi � � , fi � � � , � fi � e � fi � � , temos:, � � ��� , � fi � � , � fi � � , � fi � , � � fi � e � � fi � . A equação representa uma hipérbole: � '�� � ! � � � ��� � � ! � � fi � 0 -4 -2 2 4 x -3 -2 -1 1 2 3 y -2 2 4 x -4 -2 2 4 y Figura 1.15: Desenhos do exemplo [3] e [4], respectivamente. [5] Como � � fi � � � � e � fi � , a equação representa duas retas concorrentes; de fato: '�� � �fl� � � '�� � � � fi � '�� � ! � ����� � � ! � fi � . Logo, � '�� � ! � fi ��� � � ! � ; então, �flfi '�� ou � fi � '�� � . [6] Como � fi � , �&fi � , a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos ' . -4 -2 2 4 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 y -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 y Figura 1.16: Desenhos do exemplo [5] e [6], respectivamente. [7] Como �&fi � , a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos � . 22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO -3 -2 -1 1 2 3 x -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 y Figura 1.17: Desenho do exemplo [7]. 1.7 Trigonometria Inicialmente faremos uma revisão do conceito de radiano. Sabemos que arcos de círculos que subtendem o mesmo ângulo central são semelhantes e que a razão da semelhança é a razão entre os raios. Num círculo de centro � e raio � , seja � o comprimento do arco � � subtendido pelo ângulo central � . A B l r α O Figura 1.18: � é diretamente proporcional a � e à medida do ângulo � . Admitindo que o arco e o raio sejam medidos com a mesma unidade e denotando por ��� � � � ! a medida do ângulo � , temos � fi � � ��� � � � ! , onde a constante � depende da unidade de medida de ângulos escolhida. Radiano é a unidade de medida de ângulos para a qual � fi � , ou seja, tal que �fffi�� ��� � � � ! . Em resumo, a medida do ângulo � em radianos é dada pela razão: � *�� , onde � é o comprimento do arco subtendido no círculo cujo centro é o vértice do ângulo e � é o raio do círculo. Como o comprimento de um semi-círculo ou arco de � � � � é �� , então � � � � fi radianos; logo, � � � � fi � � � � � � � fi � � 0 Note que a medida de um ângulo em radianos não depende da unidade de comprimento consi- derada. No plano coordenado consideremos um círculo orientado no sentido anti-horário, centrado na origem e de raio igual a � . Este círculo é denominado círculo trigonométrico. O ponto � , interseção do círculo com o semi-eixo positivo das abscissas é chamado origem. Os pontos � , � , � , , interseções do círculo com os eixos coordenados o dividem em quatro partes congruentes. 1.7. TRIGONOMETRIA 23 B C A D III II I IV Figura 1.19: Como a equação do círculo é '�� � � �flfi � , seu comprimento é � fi � . Portanto, a medida de qualquer arco deste círculo é igual a sua medida em radianos. Considere o ângulo � que determina sobre o círculo de raio � , o arco de origem � fi � � 4� ! e extremidade � fi � ' ���! tais que � � � �,fi ' e � ��� �1fi � , como no desenho: M O α P A Figura 1.20: O seno do ângulo � é denotado por � � �$� � ! e definido por: � � �$� � !$fi ��0 O co-seno do ângulo � é denotado por ��� � � � ! e definido por: ��� � � � !$fi ' 0 A tangente do ângulo � é denotada por ��� � � ! e definida por: ��� � � ! fi � se ' �fi � ; equivalente- mente, ��� � � !$fi � � �$� � ! ��� � � � ! se ��� � � � ! �fi � 0 A co-tangente do ângulo � é denotada por ��� ��� � � ! e definida por ��� ��� � � !+fi � se � �fi � ; equiva- lentemente, ��� ��� � � !$fi ��� � � � ! � � �$� � ! se � � �$� � ! �fi � 0 Identidade Fundamental : Do triângulo ��� � e como ' � � � � fi � , tem-se: � � � � � � ! � ��� � � � � ! fi � 0 As definições de seno, co-seno, tangente e co-tangente de um ângulo agudo são coerentes com nossa definição. Por simetria, podemos obter os valores para os arcos maiores que * � . Como 24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO dois arcos são congruentes se suas medidas diferirem por um múltiplo de � , temos que dois arcos congruentes tem a mesma origem e a mesma extremidade, portanto o mesmo seno, co- seno, etc. É comum representar todos os arcos congruentes ao arco � por � � � � , onde � é um número inteiro. A partir das relações anteriores, definimos a secante e a co-secante do ângulo � por: � � � � � !+fi � ' fi � ��� � � � ! e ��� � � � � � !$fi � � fi � � � �$� � ! onde ��� � � � ! �fi � e � � �$� � ! �fi � , respectivamente. A seguir apresentamos algumas propriedades: Se � �fi � * � � �� : ��� � � ! ��� ��� � � !�fi � 0 Se � �fi * � � � � �� : � � � �,� � ! � ��� �1� � !�fi � 0 Se � �fi � � �� :��� � � � � � � ! � ��� ��� � � � ! fi � 0 Observamos que para qualquer ângulo � tem-se: � � � �$� � ! � � � e � ��� � � � ! ��� � 0 Adição dos arcos : � � �$� ��� � ! fi � � �$� � ! ��� � � � !�� � � �$� � ! ��� � � � ! 0 ��� � � ��� � ! fi ��� � � � ! ��� � � � ! � � � �$� � ! � � �$� � ! 0 ��� � � � � ! fi ��� � � !�� ��� � � ! � � ��� � � ! ��� � � ! 0 A verificação destas propriedades pode ser considerada como exercício. Usando as definições é possível deduzir muitas outras propriedades ou identidades trigonométricas. Por exemplo: 1. � � �$� � � !$fi � � � �$� � ! ��� � � � ! 2. ��� � � � � !$fi ��� � �1� � ! � � � � �,� � ! 3. � � � �6� � !$fi � � ��� � � � � ! � 4. ��� � � � � !$fi � ����� � � � � ! � 0 A seguir os valores mais utilizados de seno e co-seno: � � * � * � * * � * � � � �$� � ! � � * � � � * � � * � � � � * � � ��� � � � ! � � * � � � * � � * � � � � � * � � � � * � � * * � * � * � � � * � � � � �$� � ! � � � * � � � * � � � � � * � � � � * � � � * � � ��� � � � ! � � � * � � � * � � � * � � � * � � * � � 1.7.1 Aplicações Lei dos Senos Para qualquer triângulo � � � verifica-se: � � �$� � ! � fi � � �$� � ! � fi � � �$� �5! � onde �flfi�� � � � , � fi � � � � , � fi�� � � � são os lados opostos aos ângulos �7fi�� � � � , �7fi�� � � � e ��fi�� � � � , respectivamente. Considere o seguinte desenho: 1.8. EXERCÍCIOS 25 C B α β D b a A c γ Figura 1.21: Seja o ponto obtido pela interseção da reta que passa por � e é perpendicular ao lado � � . Logo: � � �$� � ! fi � � � � � � � � � �$� � ! fi � � � � � � � o que implica: � � � � � � �$� � ! fi � � ��fi � � � � � � �$� � ! . Portanto: � ������� � � fi � ������� � � . Analogamente, obtemos: � � �$� � ! � fi � � �$� � ! � fi � � �$� �5! � 0 Área de um triângulo : Como aplicação direta da lei dos senos, obtemos a área do triângulo � � � : � fi � � � � � � �$� � ! fi � � � � � � �$� � ! fi � � � � � � �$� � ! 0 1.8 Exercícios 1. Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto solução: (a) ' � �7' � ��� (b) '�� � � � ' (c) '�� � '-� � (d) � 'ff� 1! � � ' ��� � ! ��� (e) � ' � � � � � (f) � 'ff� � � � ' ��� � (g) � ' � ��� � '�� �fl��� (h) � 'ff� � � � � � � ' ��� � (i) '�� � ' � � � � (j) � '�� � � � � ' ��� ����� (k) � '�� � � � '�� ��' (l) � 'ff� � � � � 'ff� � ��� � � � 'ff� � � (m) '�� � � ' � � �&� 'ff� �1! � (n) � '�� ��'�� � � � � (o) � ' � � ' � � � � ' � � � � � � 26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO (p) � '�� � � � � ' � � � � � '�� � � � (q) � ' ��� � � � ' � � � ��� � � '�� � � (r) � ' � � � � � � '�� � � 2. Determine os valores de ' tais que: (a) � ' � fi ' (b) � � 'ff� � ! � fi '�� � (c) � ' � � � ' ��� fi � � ' (d) � ' � fi ' � (e) � ' ��� �1fi � '�� � � (f) � 'ff� � � � fi � � 'ff� � � (g) � ' �1fi � ' � � � (h) � '�� � � � fi � � ' ��� � 3. Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de serem falso: (a) Para todo ' , � e � : � ' � � � � �,fi � ' � � � � � � � � � e (b) para todo ' e � : � '�� � � � � ' � � � ��� . 4. Marque os seguintes pontos no plano coordenado e calcule a distância entre eles: (a) � �� 1!�� � � �� (�� 1! (b) � � �1!�� � � (���1! (c) � � � (� !�� � � � (���1! (d) � � !�� � � �� ! (e) � � � � !�� � � � ! (f) � � !�� � ! (g) � �� �1!�� � �� (� � ! (h) � � � (� � � !�� � � � � ! (i) � � �� 1!�� � � �� �1! (j) � � �,� � !�� � � � ! 5. Utilize a fórmula da distância para verificar que os pontos � � � � ! , � � � ! , � � � �� ! são coli- neares. 6. Utilize a fórmula da distância para verificar que os comprimentos das diagonais de um retângulo são iguais. 7. Verificar que os seguintes pontos: � (� ! , � � ! e � � � ! são os vértices de um triângulo equilátero. 8. Determine os pontos equidistantes dos pontos � � (� � ! e � � �� ! . 9. Verifique que a distância do ponto � ' � �� � ! à reta � ' � � � ��� fi � é � � ' � � � � � � � � � � � � � � 0 10. Determine a distância entre as retas �,' � � ��� � fi � e �,' � �fl� � fi � . 11. Ache a equação da reta que passa pelos pontos: 1.8. EXERCÍCIOS 27 (a) � ��fi � � !�� � � fi � � ! (b) � ��fi � � !�� � � fi � � 1! (c) � � fi � �� !�� � � fi � � �� ! (d) � ��fi � � (� � !�� � � fi � � � � ! (e) � ��fi � � !�� � � fi � �� � ! (f) f) � � fi � � � !�� � � fi � � � (� � ! 12. Obtenha a equação da reta paralela à reta � ' � � � � fi � e que passa pelo ponto � fi � (� � ! . 13. Ache a equação da reta perpendicular à reta � ' � ��� � fi � e que passa pelo ponto �&fi � � � ! . 14. Verifique que as retas � ' � � fi � e � '�� � � � � fi � são perpendiculares. 15. Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações: (a) �fl� � � '�� � � � ��� � fi � (b) � �6'�� � � �fl� fi � � � � (c) '�� � �fl� � � '�� � fi � (d) � ' � � �,' � �fl� � fi � (e) �6' � � � � � � � � 'ff� � � � � � � fi � (f) �6'�� � � � �fl� � �6'�� � �fl� � � � fi � (g) �6'�� ��� � �fl� fi � (h) '�� � � � ��� �6' ��� � � � � � fi � 0 (i) 6'�� � � 6' ��� � �fl� � fiffi� (j) '�� � � ' � � �fl� � � fi � 0 (k) ' � � � � � � '�� � � fi � (l) ' � � � � � � � '�� � � � ��� � fiffi� 0 (m) '�� � � � ��� ' ��� � � � �1� fi � (n) � '�� � � � � ��� � '�� � ��fi � � 0 16. Seja � um ponto numa parábola ou numa elipse. Uma reta que passe por � é dita tangen- te à parábola ou à elipse no ponto � se a parábola ou a elipse estão contidas inteiramente num dos semi-planos determinado pela reta. Verifique que a a reta � fiffi��' � � é tangente à parabola � fi �+' � � ��' ��� no ponto � � � ! . 17. Dada a reta �flfi ' � � e o círculo '�� � �fl� fi � , determine � tal que: (a) sejam secantes; (b) sejam tangentes. 18. Para que valores de � a reta � fi � ' é tangente ao círculo ' � � � � � � � � � � fi � ? 19. Obter o valor simplificado de: (a) � � ��� � � � � (b) ��� � � � � ��� � � (c) � � � � � � � ! (d) � � �$� � � � � ! (e) ��� � � � � � � � ! (f) � � ��� � � ��� � � ��� ��� � � � � � 28 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 20. Verifique as seguintes identidades trigonométricas: (a) ��� � '! � ��� ��� � ' !+fi � ��� � � � � � '5! (b) ��� � � � � ��� � � � ��� ��� � � � fi � ��� � � � ' ! (c) � � �$� ' ! ��� ��� � ' ! � � � � ' !�fi � (d) � � �$� ' ! ��� � � '5! � ��� � '5! �fi��� ��� � ' ! !+fi � (e) � � � � � ! � ��� � � ! fi ��� � ������� � � � � � ��� � � � 21. Prove as seguintes propriedades: (a) ��� � � � ! ����� � � � ! fi � ��� ��� � � � � � ��� � � ��� � � � (b) ��� � � � ! � ��� � � � ! fi � � � � ��� � � � � � � � ��� ��� � � � (c) � � �$� � ! � � � �$� � ! fi � � � ��� � � � � � ��� � � ��� � � � (d) � � �$� � ! � � � �$� � ! fi � � � ��� ��� � � � ��� � � � � � � � 22. Num triângulo de ângulos �$ � e � e lados �� � e � tal que �� fiffi� � � �fi� , verifique: (a) � fi � � � � ��� � � � � ��� � � � � ��� � � fi � � � � ��� � � � � ��� � � � � ��� � e � fi � � � � ��� � � � � ��� � � � � ��� � 0 (b) � � ��� � � � ! fi � � ������� � � � � � � � � ����� � � � !$fi � � � � � � � � � 0 (c) A área do triângulo é � � ����! � � �#! � � � ! . Esta expressão é chamada Fórmula de Herón. 23. Lei dos Co-senos: Para qualquer triângulo � � � , verifique: (a) � � fiffi� � ��� � � � � ����� � � � ! (b) � � fi � � ��� � � � � ����� � � � ! (c) � � fi � � � � ��� � ��� ��� � � � ! onde � fi � � � � , � fi � � � � , � fi � � � � são os lados opostos aos ângulos � fi � � � � , �7fi � � � � e ��fi � � � � , respectivamente. 24. Determine a área do triângulo � � � , se: (a) � fi � � � fi �)fi � � (b) � fi � �� fi ��fi � � (c) � fi � � fi ��fi � � (d) � fi �� � fi � � ��7fi � � 25. Sejam a reta �flfi � ' � � e � o ângulo formado pela reta e o eixo positivo dos ' . Verifique que � fi ��� � � ! . Determine a equação da reta que passa pelo ponto indicado e forme com o eixo dos ' o ângulo dado. 1.8. EXERCÍCIOS 29 (a) � fi � � � �&fi � � 1! (b) � fi ���� � �&fi � � 1! (c) � fi � � � �&fi � ' � �� � ! (d) �7fi � � �&fi � ' � �� � ! (e) �7fi � � � �&fi � � 4� ! (f) �7fi � � � �&fi � � (� � ! (g) �7fi � � � � fi � � � ! (h) �7fi � �&fi � � � ! 26. Dada a equação � ��� � � � � ! ' � � � ��� � � � ! ' � � ��� � � � � ! � � fiffi� , sendo � � � � : (a) Para que valores de � a equação tem soluções reais? (b) Para que valores de � a equação admite raízes reais negativas? 27. Resolva as inequações: (a) � � �$� '5! ����� � � ' ! � � � � (b) � ��� � ' ! ��� � (c) � � � � � ' ! � � (d) � � � �,� ' ! � � � se '- 2 � 3 28. Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a � de uma parede plana e vertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede. Saben- do que esta sombra tem � � � e que a altura do poste é � � � , determine a inclinação dos raios solares em relação ao plano horizontal. 29. Um retângulo com lados adjacentes medindo � � �$� � ! e ��� � � � ! com � ����� � � tem períme- tro igual a � � Calcule a área do retângulo. 30. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos � , � e � . O comandante, quando o navio está em � , observa um farol � e calcula o ângulo � � � � fi � � . Após navegar � milhas até � , verifica o ângulo � � � � fi � � � . Quantas milhas separa o farol do ponto � ? 30 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
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