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Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 03 Limites

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Capítulo 3
LIMITE E CONTINUIDADE
3.1 Limites
O desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de limite.
Por exemplo, as definições de derivada e de integral definida, independente de seu significado
geométrico ou físico, são estabelecidas usando limites.
Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma
função ���������
	 nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu
domínio. Por exemplo, seja
�����
	����
��
��������
�����
�
�
�
������	����ff����	
����� fi
É claro que fl�ffi � �!�"	���#��%$&� ' . Estudaremos a função nos valores de � que ficam próximos de
� , mas sem atingir � . Para todo ��( fl�ffi � �!�"	 temos que �����
	)�
�
���*� . Vamos construir uma
tabela de valores de � aproximando-se de � , pela esquerda ( ��+�� ) e pela direita ( ��,-� ) e os
correspondentes valores de �����.	 :
�/+0� �����
	
1
�
1
fi32
�
1
fi54
�
fi76
1
fi38
�
fi39
1
fi3:
�
fi38
1
fi3:;:
�
fi3:;8
1
fi3:;:;:
�
fi3:;:;8
1
fi3:;:;:;:
�
fi3:;:;:;8
1
fi3:;:;:;:;:
�
fi3:;:;:;:;8
1
fi3:;:;:;:;:;:
�
fi3:;:;:;:;:;8
�<,0� �����.	
�
2
�
fi54 6=fi76
�
fi32 6
�
fi
� >
fi76
�
fi
1
:
>
fi
�
8
�
fi
1;1
:
>
fi
1
�
8
�
fi
1;1;1
:
>
fi
1;1
�
8
�
fi
1;1;1;1
:
>
fi
1;1;1
�
8
�
fi
1;1;1;1;1
:
>
fi
1;1;1;1
�
8
�
fi
1;1;1;1;1;1
:
>
fi
1;1;1;1;1
�
8
Observando as tabelas, podemos verificar que: “à medida que � vai se aproximando de � , os
valores de �����.	 vão aproximando-se de
>
”. A noção de proximidade pode ficar mais precisa
utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer �@?=�A(A# é B �C�%� B .
Assim a frase escrita entre aspas, pode ser expressa por: se B �D��� B aproxima-se de zero, então
99
100 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
B
�����
	 �
>
B também se aproxima de zero; em outras palavras: para que B �����.	"�
>
B seja pequeno é
necessário que B �ff��� B também seja pequeno. O número
>
é chamado limite de �����.	 quando �
está próximo de � . No exemplo, temos B �����.	��
>
B
�
�
B
� � �
B ; logo, a distância de �����
	 a
>
é igual
a duas vezes a distância de � a � . É claro que quando � aproxima-se de � , B �D��� B aproxima-se
de zero e consequentemente B �����
	 �
>
B também aproxima-se de zero. Mais ainda, poderemos
tornar �����
	 tão perto de
>
quanto desejarmos, bastando para tal considerar � suficientemente
próximo de � . Por exemplo, se desejarmos que B �����
	 �
>
B seja igual a
1
?
�
, basta considerar
B
��� �
B
�
1
? � ; agora, se desejarmos que B �����
	 �
>
B
+
1
?
1
�
, basta considerar B ��� � B +
1
?
1
� .
De um modo geral, considerando qualquer número real positivo � (letra grega epsilon), tão
pequeno quanto se deseje e definindo o número real
�
(letra grega delta),
�
�
�
�
, teremos que
a distância de �����.	 a
>
é menor que � , desde que a distância de � a � seja menor que
�
. Então
para todo número real positivo � existe outro número real positivo
�
, que depende de � , tal que
se
1
+
B
�D���
B
+
�
, então B �����
	 �
>
B
�
�
B
�D���
B
+
�
�
� � . Note que todos os intervalos abertos
que contém � intersectam #�� $&� ' de forma não vazia.
3
1
Figura 3.1:
Definição 3.1. Sejam ������� # uma função e 	 (�# tais que para todo intervalo aberto 
 , contendo
	 , tem-se 
�� �
�0� $ 	 ' 	����� . O número real � é o limite de �����
	 quando � aproxima-se de 	 quando
para todo número � ,
1
, existe
�
,
1
(
�
dependendo de � ), tal que, se � (�� e
1
+
B
�D�
	;B
+
�
então
B
�����
	 �
�)B
+
� . A notação é: �����
���ff�
�����
	��
�
A definição é equivalente a dizer:
Para todo � ,
1
, existe
�
,
1
tal que se �<( � 	 �
�
?
	
�
�
	
��fi
� ��$
	
'ffifl , então �����.	 (A� � � � ? � � � 	 .
b- bb δδ
L
L+
L- ε
ε
Figura 3.2:
3.1. LIMITES 101
Exemplo 3.1.
Verifique que
�����
�����
�
� �
9
.
Pela definição temos que, dado � ,
1
, devemos obter um
�
,
1
tal que se
1
+
B
���
6
B
+
�
então
B
� 
 � �
9
B
+ � . Mas B ��
 �0�
9
B
�
B
� �
6
B B
�D�
6
B e desejamos que este produto fique menor que
� para � suficientemente próximo de
6
. Intuitivamente, se � está próximo de
6
, B ���
6
B estará
próximo de
8
e B � �
6
B ficará próximo de zero. Logo B � �
6
B B
� �
6
B ficará próximo de zero; estamos,
pois em condições de tornar B �.
 ���
9
B
+ � desde que � fique suficientemente próximo de
6
. A
primeira coisa a fazer é limitar o fator B �C�
6
B . Há várias maneiras de fazer isto. Por exemplo,
se
>
+ � +
2
, teremos � � +�� �
6
+0� ou B ���
6
B
+0� ; logo, B � �
6
B
�
B
� �
6
�
8
B
�
B
� �
6
B
�
8
+
:
e B � �
6
B B
�C�
6
B
+
:
B
�ff�
6
B . Portanto, dado � ,
1
, considerando
�
o menor entre os números � e
�
� , teremos que, se
1
+
B
���
6
B
+
�
, então B �.
 ���
9
B
+ � . É recomendável fazer uma tabela, como
no exemplo anterior.
Observe que o limite de uma função � � �����.	 num ponto 	 , depende apenas dos valores que �
assume nas proximidades de 	 , ou seja, num pequeno intervalo aberto de centro 	 .
Proposição 3.1. Unicidade do limite Se
�����
��� �
�����
	��
��� e
��� �
��� �
�����
	 �
�
; ( ��� ? �
(ff# ), então
���
�
�
fi
Em outras palavras se o limite existe (é um número real), ele é único. Para a prova veja o
apêndice.
Corolário 3.1. Se as funções �����
	 e � ���
	 são tais que �����.	 � � ���.	 exceto num ponto 	 , então:
�����
��� �
�����
	��
�����
���ff�
�
���
	 ?
desde que exista um dos limites.
Esta propriedade nos permite "simplificar"antes de calcular o limite, como no primeiro exem-
plo.
Exemplo 3.2.
[1] Sejam �����.	�� �
�
�������
��� �
e � ���
	 �
�
� � � .
Logo, �����
	�� � ���.	 se ���� � ; então,
�����
���
�
�����
	��
�����
���
�
�
���
	 , como já foi verificado.
[2]
� ���
���
	���
��
fi
�
�
fl não existe.
Se
�����
���
	
��
��
fi
�
�
fl existisse, então para valores de � muito muito próximos de zero, a função
��
��
fi
�
�
fl
deveria se aproximar de um valor fixo, que seria o limite. Mas isto não ocorre. De fato, consi-
derendo � � �
�
�
�
� ��	��
(ff# , (
�
(�� ), � ficará próximo de zero se
�
for muito grande. Mas,
��
��
fi
�
�
fl
�
��
��
fi
�
�
�
� ��	��
�
fl
�
��
��
fi
�
�C�
�
�
fl
���
ffi
�
�
�
� 	 � � � ��	���?
102 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
e a função ficará oscilando entre � (se
�
é par) e � � (se
�
é ímpar). Logo, o limite de � não pode
existir.
-3 -2 -1 1 2 3
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figura 3.3: Gráfico de
��
��
�
�
�
	 .
[3] Se � ? 	 ? � (ff# , então:
� ���
�����
�
�
� �
	
	 �
�
� �
	
fi
De fato, devemos verificar que, para todo número � ,
1
, existe outro número
�
,
1
, tal que:
B
�
�
���
	
	 � �
�
� �
	
	
B
+
� se B �ff� � B +
�
fi
Mas, B � � ��� 	 	 ��� � � � 	 	 B � B � B B �D� � B ; logo basta
tomar
�
��
B � B
, se � ��
1
. Se � �
1
, todo
�
,
1
serve. logo, por exemplo:
��� �
�����
�
8
���
>
	 �
8
�
6
�
>
�
>
2 fi
[4] Seja
�����.	��
�
� �
2
se � �� �
�
� se � � �
fi
Calcule
�����
���
�
�����
	 .
Observemos que ��� ��	 �
�
� , mas o valor do limite da função quando � tende a � não depende
do valor da função no ponto � , pois �����.	���� �
2
se � �� � ; logo:
� ���
���
�
�����
	��
��� �
���
�
�����
2
	 �
9 fi
Proposição 3.2. Se
�����
�����
�����.	 e
�����
�����
�
���.	 , existem, então para todo � ?�� (ff# :
1.
� ���
���	��
�
�����.	.���
�
���.	�
 �
�
�����
�����
�����.	.���
� ���
�����
�
���
	
fi
2.
� ���
���	�
�����
	
�
���.	�
 �
� ���
���	�
�����
	�
�����
�����
�
���.	�
fi
3.
� ���
���	�
�����
	
�
���
	
�
�����
�����
�����.	
�����
���	�
�
���.	
, se
��� �
���	�
�
���.	 ��
1
fi
3.1. LIMITES 103
4.
� ���
����� 
�����
	�
�
�
�����
���	�
�����
	�
� , se
�
(�� .
5.
� ���
�����
�
�
�����
	/�
�
�
��� �
�����
�����
	 , se
��� �
�����
�����.	��
1
e
�
é qualquer natural, ou
�����
�����
�����.	 positivo,
negativo ou nulo e
�
é um natural ímpar.
6.
� ���
�������
�
�����.	�
��
�
�
�����
�����
�����.	�
 ? se
�����
�����
�����.	 ,
1
fi
7. Se
��� �
������	
���.	 �
� ���
�����
�
���
	 �
� e existe
�
,
1
tal que
	
���.	
�
�����.	
�
�
���
	 , para
1
+
B
����
B
+
�
,
então
�����
���	�
�����
	��
� .
Provas no apêndice.
Segue diretamente da proposição 10.3:
(a) Se � ���.	 é uma função polinomial, então:
�����
�����
�
���
	 �
�
�
 	
fi
(b) Se �����
	��
�
���.	
�
���
	
é uma função racional e 
�( fl�ffi � �!�"	 , então:
��� �
�����
�����
	 � ���
=	
fi
Exemplo 3.3.
Calcule os seguintes limites:
[1]
� ���
���
�
����� � �
�
�
�
��� � �
�
>
� � ��	 . Neste caso � ���.	 ��� � �%�
�
�
�
�
�
�%�
�
>
����� ; logo:
�����
���
�
���
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
>
� � ��	 �
��� �
���
�
�
���
	 �
�
� ��	 �
: fi
[2]
� ���
���
�
���
2
�
�
�
4
. Como
� ���
���
�
�������
4
	 �
�
1
��
1
, podemos aplicar a proposição 10.3; então,
�����
���
�
���
2
�
�
�
4
�
�����
���
�
�����
2
	
�����
���
�
���
�
�
4
	
� �
�
�
1
fi
[3]
��� �
���
�
� 
����
�����
. Como
�����
���
�
��� �A��	 �
1
, não podemos aplicar a proposição 10.3; mas fatorando o
numerador:
��
����
�����
�
��� ����	
��� � ��	
�����
��� � � ?
para todo � �� � . Logo:
��� �
���
�
�
���
� � �
�
��� �
���
�
����� ��	 �
�
fi
104 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
[4] Determine o valor de 
 tal que
� ���
�����
>
� 
 � 
 � � 
 �
>
�
�%���
�
exista.
Note que ��
 � �A�
�
� ���/�
�
	
��� � ��	 . Dividindo
>
�
 � 
 �<� 
��
>
por �<�
�
; obtemos,
>
� 
 � 
 � � 
 �
>
� ��� �
�
	
�
>
� � 
 �
9
	�� � �
2
� 
=	 ; logo, para que a divisão seja exata devemos
ter 
 � �
2
; logo,
>
��
 � 
 ��� 
 �
>
�
>
��� 
 �
2
� �
9
	 �
>
��� �
�
	
��� �
>
	 :
�����
�����
>
� 
 � 
 � � 
 �
>
�
� ���
�
�
>
� ���
�����
� �
>
�����
� � �
fi
[5]
��� �
���
	
�
� � � ���
�
.
Como
� ���
���
	
� �
1
, não podemos aplicar diretamente a proposição 10.3; mas racionalizando o
numerador: �
���
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
�
���
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
. Logo:
��� �
��� 	
�
� � � � �
�
�
�����
���
	
�
�
� � � � �
�
�
�
fi
-1 1 2 3 4
0.25
0.5
0.75
1
Figura 3.4: Gráfico de �����.	�� �
���
�
�
�
�
, perto da origem.
[6]
��� �
���
�
�
�
� � �
�
�
� � �
.
Para calcular este limite façamos a mudança de variáveis � �	� 
	
; então:
�
�
��� �
�
�
��� �
�
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
���
�
���
���"� ��	
�
������	
�
������	
�
�
�
���
���.� ��	
fi
Se � � � , então � � � ; logo:
�����
���
�
�
�
�����
�
�
�����
�
�����
�
�
�
�
���
�
��� 
����.� �
�
�
���
���"� �
�
2
6
fi
[7]
��� �
���
	
fi
�
��
��
fi
�
�
fl fl
�
1
.
3.1. LIMITES 105
De fato, � �
�
��
��
fi
�
�
fl
�
� , para todo � ( # � $
1
' ; logo ��� 
�
� 
��
��
fi
�
�
fl
�
� 
 , para todo
�/( # � $
1
' . Como
��� �
���
	
�
�
� ���
���
	
� ���
	��
1
; pela proposição 10.3, temos:
��� �
���
	
fi
�
��
��
fi
�
�
fl�fl
�
1
fi
-0.2 -0.1 0.1 0.2
0.01
-0.01
Figura 3.5: Gráfico de �����
	�� �
��
��
fi
�
�
fl , perto da origem.
[8] Seja �����.	 uma função tal que B �����
	 B
�
�
 ; então,
�����
��� 	
�����
	��
1
.
De fato. Pela proposição 10.3, ítem 7, temos:
��� �
��� 	
B
�����
	
B
�
1
, o que implica,
�����
��� 	
�����
	��
1
.
[9] Verifique que
� ���
�����
�
�
��
�
����
�
�
�
�
� , 
�( # .
Se
�
( � , então:
�
�
� �
�
� � �
� �
�
�
�
� 
 �
�
�
��
fi fi fi fi fi
� 
�
�
� , � �� 
 ; denotando por � ���.	 � � �
�
�
�
 �
�
�
 �
fi fi fi fi fi
� 
�
�
� , temos:
� ���
�����
�
�
� 
�
��� 
�
��� �
�����
�
���
	 �
�
�
 	 �
�
 �
�
�
fi
Se
�
(�� e
�
+
1
, fazendo
�
� �
�
?
�
(�� , temos:
�
�
� 
�
��� 
�
�
�
�
�
�
�
�
����
� �
�
��� 
��
�
�
� 
�
��� 
��
pelo caso anterior, temos:
�����
���	�
�
�
� 
�
��� 
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
 �
�
�
fi
Se
�
(�� ,
�
�
	� ; � ?�
 ( � ?�
 ��
1
. Fazendo � ���
�
e 
 � 	
�
, então � � ��� 	 e 
 � � 	 	 ; logo:
�
�
� 
�
� � 
�
�
	
�
	
	
�
�
�
	
�
�
�
	
�
	
	
� �
	
� �
	
�
�
�
	
�
�
do segundo caso:
�����
�����
�
�
� 
�
��� 
�
�����
� � �
�
	
�
	
	
� �
	
� �
	
�
�
�
	
�
�
�
	��
�
�
�
�
�
�
�
�
fi
106 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
3.2 Limites Laterais
Sejam � uma função definida em um domínio fl (que pode ser um intervalo ou uma reunião
de intervalos).
Definição 3.2.
1. Seja 
 (ff# tal que existem 	 (ff# e �
 ? 	 	�� fl�ffi � �!�"	 . O número real � é o limite à direita de �����
	 ,
quando � se aproxima de 
 pela direita se para todo � ,
1
, existe
�
,
1
tal que B �����.	 � �)B + � , se
 + �<+ 
 �
�
. Notação:
�����
���	���
�����
	��
�
2. Seja 
 (�# talque existem � ( # e � � ? 
=	�� fl�ffi � �!�"	 . O número real � é o limite à esquerda
de �����.	 , quando � se aproxima de 
 pela esquerda se para todo � ,
1
, existe
�
,
1
tal que
B
�����.	 �
� B
+
� , se 
 �
�
+ �/+ 
 . Notação:
�����
�������
�����.	��
�
.
.
a
+
L
.
.
-
a
L
Figura 3.6: Limite à direita e à esquerda, respectivamente.
Exemplo 3.4.
[1] Calcule
�����
���
�
�����
	 e
�����
���
�
�����
	 , se:
�����.	��
��
	
�
��
 � � se � +
�
�
se � �
�
���
�
:
se � ,
�
fi
Para calcular estes limites observemos que � �
�
�
significa que � fica perto de
�
, para valores
de � maiores que
�
e � �
�
�
significa que � fica perto de
�
, para valores de � menores que
�
.
Assim:
��� �
���
�
�����
	��
��� �
���
���
� ��	 �
2
e
� ���
���
�
�����
	��
� ���
���
� ���
�
:
	 �
2 fi
3.2. LIMITES LATERAIS 107
-4 -2 2 4
-2
2
4
6
8
Figura 3.7: Gráfico de � , perto de
�
.
[2] Calcule
�����
���
	 �
�����
	 e
�����
���
	 �
�����
	 , se:
�����.	��
�
	
B
�
B
�
se � ��
1
� se � �
1
fi
Novamente, para calcular estes limites observemos que � �
1
�
significa que � fica perto de
1
,
para valores � maiores que
1
e � �
1
�
significa que � fica perto de
1
, para valores � menores
que
1
. Primeiramente, escrevamos a função da seguinte maneira:
�����
	��
�
� se � �
1
� � se �/+
1
fi
Assim
�����
���
	 �
�����
	��
� ���
��� 	
� � � e
�����
���
	 �
�����.	��
�����
���
	
� � ��	 � � � .
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
Figura 3.8: Gráfico de � .
[3] Calcule
�����
���
�
�
�����
	 e
�����
���
�
�
�����
	 , se:
�����
	 �
�
��
 se �<+0�
>
� se � �0�
Calculando diretamente
��� �
���
�
�
�����
	��
��� �
���
�
�
>
�.	 �
>
e
��� �
���
�
�
�����
	��
� ���
���
�
�
� � .
108 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
-2 -1 1 2 3
2
4
6
8
Figura 3.9: Gráfico de � , perto de � .
[4] (Contração de Lorentz): Na teoria da relatividade especial, temos que o comprimento de
um objeto é função de sua velocidade:
�
��� 	 �
�
	
�
���
�
�
?
onde � 	 é o comprimento do objeto em repouso e � é a velocidade da luz. A velocidade da luz
é de aproximadamente
>
1��
�
1��
���
�
. Da teoria da relatividade é conhecido que nenhum objeto
pode ir além da velocidade da luz; logo � � �
�
:
�����
	 �	� �
�
��� 	 �
1
fi
Isto significa que para um observador parado o objeto desaparece.
Teorema 3.2. Seja �����.	 uma função com domínio fl nas condições das definições. Então
� ���
���	�
�����
	 �
�
se e somente se os limites laterais existem e
�����
�����
�
�����.	��
� ���
�����
�
�����
	 �
� .
Para a prova, veja o apêndice.
Teste para determinar quando não existe um limite
Se �����
�����
�
�����.	 ��
��� �
�����
�
�����
	
ou se um dos limites laterais não existe, então
�����
�����
�����.	 não existe.
Exemplo 3.5.
[1] Calcule
�����
���
�����
	 , se:
�����.	��
�
�
	
�
�
� � se � +
�
�
se � �
�
���
�
:
se � ,
�
fi
3.2. LIMITES LATERAIS 109
Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo1]
das páginas anteriores temos
��� �
���
�
�����.	 �
2
e
�����
���
�
�����.	��
2
. Pelo teorema, temos que
� ���
���
�����
	��
2
.
[2] Calcule
�����
���
	
�����
	 , se:
�����.	��
���
�
�
�
se � ��
1
� se � �
1
fi
Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes.
� ���
��� 	 �
�����
	��
� ���
��� 	
� � � e ���
�
�
�
 �
�
� �
�
��� �
��� 	 �
�����
	��
� ���
���
	
� � ��	 � � �
fi
Pelo teorema, temos que
�����
���
	
�����.	 não existe.
[3] Calcule
�����
���
	
�����
	 , se:
�����.	��
�
�
 se � +0�
>
� se � �0�
fi
Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo
[3] da página anterior, temos
��� �
���
�
�
�����
	��
>
e
� ���
���
�
�
�����
	�� �
fi
Logo,
�����
���
�
�����.	 não existe.
[4] A função degrau unitário é definida como:
�
�
���
	 �
�
1
se �<+ �
� se � � � ?
onde �)(D# . Logo,
��� �
�����
�
�
�
���.	 �
1
e
� ���
�����
�
�
�
���
	 � � ; logo,
�����
�����
�
�
���
	 não existe.
[5] Calcule
�����
�����
�	�
��
	
 . Veja o exercício 33 do capítulo anterior.
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
Figura 3.10: Gráfico de �����.	��
�	�
��
	
 .
Se 
 ( � ,
�����
����� �
�	�
��
	
 �
� � e
� ���
����� �
�	�
��
	
��
 ; logo,
�����
�����
�	�
��
	
 não existe. Se 
 ( #0� � , então
� ���
�����
�	�
��
	
 existe. (Por que?).
110 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
3.3 Limites no Infinito
Definição 3.3.
1. Seja � � �
 ? ����	)� � # . Diz-se que
�����
��� ���
�����
	 �
� quando para todo � ,
1
, existe � ,
1
tal
que B �����.	 � �)B + � se � , �
fi
2. Seja � � � ����? 	 	 � � # . Diz-se que
� ���
�������
�����.	��
� quando para todo � ,
1
, existe
�
,
1
tal
que B �����.	 � �)B + � se � + �
�
fi
Exemplo 3.6.
[1] Verifique que
��� �
��� ���
�
�
�
1
.
De fato, pois para todo � ,
1
existe � ,
�
�
,
1
, tal que se ��, � , então �
�
+
�
�
+
� e
�
�
�
�
�
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
+
� .
[2] Verifique que
��� �
�������
�
�
�
1
.
De fato, pois para todo � ,
1
existe
�
,
�
�
,
1
, tal que se �<+0�
�
, então
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
+
� .
Observe que � � ��� implica �<,
1
e � � ��� implica � +
1
.
Proposição 3.3. Para todo número natural
�
e para 	 (ff# � $
1
' , tem-se:
1.
��� �
��� ���
	
�
�
�
1
.
2.
��� �
��� ���
	
�
�
�
1
fi
1. Devemos provar que para todo � ,
1
existe � ,
1
tal que
�
�
�
�
�
�
�
+
� se � , � . De fato,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
+
� se
�
�
�
�
�
�
�
�
+
�
�
� , ou seja, se �<,
�
�
�
�
�
�
�
�
; logo basta considerar � �
�
�
�
�
�
�
�
�
. A prova de
2 é análoga a do item 1.
Figura 3.11: Gráficos de �����
	��
�
�
�
para diferentes
�
.
3.3. LIMITES NO INFINITO 111
Proposição 3.4. Se
�����
�������
�����
	 e
�����
�������
�
���
	 existem, então, para todo � ?��A(D# :
�
fi
� ���
�������
fi �
�����
	.���
�
���
	 fl �
�
�����
�������
�����
	"� �
�����
�������
�
���.	 ?
� fi
� ���
�������
fi
�����
	
�
���.	
fl
�
fi
�����
�������
�����.	
fl
fi
� ���
�������
�
���
	
fl
?
> fi
� ���
�������
�����
	
�
���
	
�
��� �
�������
�����.	
�����
�������
�
���.	
? se
�����
�������
�
���.	 ��
1
fi
As provas são análogas às das propriedades dos limites num ponto.
Exemplo 3.7.
[1] Calcule
�����
��� ���
fi
>
��
�
2
fl .
Aplicando diretamente a proposição anterior:
�����
��� ���
fi
>
�
�
�
2
fl
�
�����
��� ���
fi
>
�
�
fl
�
�����
��� ���
2
�
1
�
2
�
2 fi
5
Figura 3.12: Gráfico de � quando � � ��� .
[2] Calcule
�����
��� ���
2
�
.
Aplicando diretamente a proposição anterior :
�����
��� ���
2
�
�
2
�����
��� ���
�
�
�
1
fi
3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais
Proposição 3.5. Seja
�����.	��
�
���.	
�
���.	
?
onde � ���
	 � 
�
�
�
� 
�
�
�
�
�
�
�
�
fi fi fi fi fi
� 
	 e
�
���
	 �
	 �
�
�
�
	 �
�
�
�
�
�
�
�
fi fi fi fi fi
�
	
	 são polinômios
de coeficientes reais de graus
�
e � , respectivamente, isto é 
�
��
1
e 	 � ��
1
. Então:
�����
�������
�
���.	
�
���.	
�
�
	
�
	 �
se
�
�
�
1
se
�
+
�
112 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
De fato:
�
���.	
�
���
	
�
�
�
�
� 
�
�
�
�
�
�
�
�
fi fi fi fi fi fi fi fi
� 
	
	 �
� � �
	 �
�
�
���
�
�@�
fi fi fi fi fi fi fi fi
�
	
	
�
�
�
fi
�
�
�
�
���
�
�
fi fi fi fi fi fi fi fi
�
���
�
�
fl
� �
fi 	 �
�
�
�
���
�
�
fi fi fi fi fi fi fi fi
�
� �
�
�
fl
fi
Aplicando limite e as propriedades da proposição 3.4, obtemos o resultado. Para
�
,
� , veja o
próximo parágrafo.
Exemplo 3.8.
[1] Calcule
�����
��� ���
�
�
� �
�
�
�
2
�
�
�%� �
�
.
Como
�
+
� , temos:
�����
��� ���
�
�
� �
�
�
�
2
�
�
�%� �
�
�
1
fi
[2] Calcule
�����
�������
�
� �
>
>
� �
�
.
Como
�
�
� , temos:
�����
�������
�
���
>
>
���
�
�
�
>
fi
[3] Calcule
�����
��� ���
��� �
�
�
�
2
.
Neste problema, a função não é racional, mas utilizaremos a mesma idéia dos exercícios ante-
riores. Reescrevendo a expressão temos:
� � �
�
�
�
2
�
� � �
�
�
fi
� �
�
���
fl
�
� � �
�
�
� �
�
���
�
� �
�
�
�
� �
�
���
�
então:
�����
��� ���
� � �
�
�
�
2
�
�����
��� ���
� �
�
�
�
� �
�
���
� �
fi
[4] Calcule
�����
�������
��� �
�
�
�
2
.
Aparentemente este limite é análogo ao do exemplo [3]; mas devemos ter cuidado, pois, � �
��� , significa que �<+
1
; logo, consideramos
�
�
� ��� :
� ���
��� ���
� � �
�
�
�
2
�
�����
����� ���
� ���
�
�
�
� �
�
���
� � �
fi
[5] Fractal de Koch A seguinte curva é chamada de Koch e é obtida a partir da linha poligonal
constituída pelos lados de um triângulo equilátero de lado unitário. A cada passo substitui-se
o terço médio de cada segmento da linha poligonal por dois segmentos que formariam um
triângulo equilátero com o terço médio que foi retirado, conforme os desenhos abaixo:
3.4. LIMITES INFINITOS 113
Figura 3.13:
Denote por �
�
a área comprendida pela linha poligonal após
�
passos; logo, � 	 � � �� , � � �
�
>
>
, �
�
�
1
�
>
� 4
, �
�
� : 6
�
>
� 6 >
, � � � 8;9 �
�
>
�
�
8 4
, em geral:
�
�
�
�
>
6
� �
>
2
fi
� �
fi
6
:
fl
�
fl
?
se
�
�
1
; então, � � �
�����
�
� ���
�
�
�
�
�
>
2
. Fica como exercício interpretar o limite.
3.4 Limites Infinitos
Seja � uma função definida num domínio fl , que pode ser um intervalo ou uma reunião de
intervalos. Seja 
 um ponto que não pertence necessariamente a fl , mas tal que nas proximi-
dades de 
 existam pontos de fl ; em outras palavras, qualquer intervalo aberto que contem 
intersecta fl de forma não vazia.
Definição 3.4.
1. Diz-se que
�����
�����
�����.	 �0��� , quando para todo � ,
1
, existe
�
,
1
tal que �����
	�, � , se � ( fl e
1
+
B
����
B
+
�
.
2. Diz-se que
� ���
���	�
�����
	 � ��� , quando para todo
�
,
1
, existe
�
,
1
tal que �����
	 +0�
�
, se �<( fl
e
1
+
B
� � 
B
+
�
.
Exemplo 3.9.
[1]
� ���
���
�
�
����� ��	
�0��� .
Como
�
��������	
, � , se ��� � ��	 
 +
�
�
, isto é, se B � � � B +
�
�
�
, então para todo � ,
1
, existe
�
�
�
�
�
,
1
tal que �����.	 , � se
1
+
B
� ���
B
+
�
fi
[2]
� ���
���
	
�
�
�0� � .
114 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
Como
�
�
,
�
se B � B +
�
�
�
, então para todo
�
,
1
, existe
�
�
�
�
�
,
1
tal que �����
	 ,
�
se
1
+
B
�
B
+
�
.
Analogamente podemos definir limites laterais infinitos. Assim:
Diz-se que
�����
�������
�����.	 � ��� , quando para todo � ,
1
, existe
�
,
1
tal que �����
	%, � se
 �
�
+ � + 
fi
Diz-se que
�����
�������
�����.	C� ��� , quando para todo
�
,
1
, existe
�
,
1
tal que �����
	D+ �
�
se
�+ � + 
 �
�
.
Proposição 3.6. Para todo número natural
�
, temos:
1.
��� �
��� 	 �
�
�
�
�0��� .
2.
� ���
��� 	
�
�
�
�
�
�
��� se
�
é par
��� se
�
é ímpar
Proposição 3.7. Sejam �����
	 e � ���.	 funções tais que
�����
�����
�����
	 ��
1
e
�����
�����
�
���.	 �
1
. Então
1.
� ���
���	�
�����
	
�
���
	
� ��� se
�����.	
�
���.	
,
1
para valores de � próximos de 
 .
2.
� ���
���	�
�����
	
�
���
	
� ��� se
�����.	
�
���.	
+
1
para valores de � próximos de 
 .
As provas das proposições são deixadas como exercícios.
Exemplo 3.10.
[1] Calcule
�����
���
�
>
� �
�
��������	
.
Como
�����
���
�
�
>
� �
�
	�� � e
��� �
���
�
��������	
�
1
, observando que se � , 
�
, mas � �� � , então �
� �
�
� �
���
�
,
1
e aplicando o teorema, logo:
�����
���
�
>
� �
�
��������	
� ��� .
[2] Calcule
�����
���
�
� �
2
�����
�
	
.
Como
��� �
���
�
�
���
2
	 � � � e
� ���
���
�
�����
�
	
�
1
, observando que se ��+ �
, mas � ��
�
, então
� �
�
�
� �
�
�
+
1
e aplicando o teorema, temos:
� ���
���
�
���
2
��� �
�
	
� � � .
Analogamente podemos definir outros tipos de limites. Como exercício, defina os seguintes
limites:
�����
��� ���
�����.	��0����?
��� �
��� ���
�����.	�� ��� e
�����
�������
�����.	��0����?
� ���
��� ���
�����
	�� ��� .
3.4. LIMITES INFINITOS 115
Corolário 3.3. Para funções racionais, temos:
��� �
�������
�
���
	
�
���
	
�
�
�
�
	
�
�
�
� se
�
,
�
�
	 �
se
�
�
�
1
se
�
+
�
fi
Exemplo 3.11.
[1]
� ���
��� ���
fi
��� �
>
��� �%� � �
fl . Como
� ���
��� ���
fi
� � >
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fl
� � ; temos,
�����
��� ���
fi
��� �
>
��� � � ��� fl �
�����
��� ���
���
fi
� � >
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fl �
�����
��� ���
����� ��� .
[2]
� ����������
fi
�
�
�
>
�
�
�%� � �
fl . Como
� ���
�������
fi
� � >
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fl
� � ; temos,
�����
�������
fi
�
�
�
>
�
�
� � ���
fl
�
�����
�������
�
�
fi
� �
>
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fl
�
�����
�������
�
�
� ��� .
[3]
� ���
�������
fi
��� �%�
�
� �
fl . Como
�����
�������
fi
� �
�
�
�
�
�
�
�
fl
� � ; temos,
�����
�������
fi
�
�
� �
�
� �
fl
�
��� �
�������
�
�
fi
� �
�
�
�
�
�
�
�
fl
�
�����
�������
�
�
�0� � .
[4]
� ���
��� ���
fi
�
�
� �
�
�
�
2
�
�
�
�
fl .
Como
�
,
� , pelo corolário anterior:
��� �
��� ���
fi
�
�
� �
�
�
�
2
�
�
�
�
fl
�0� �
fi
[5] Na teoria da relatividade especial, a massa de uma partícula é função de sua velocidade:
�
���=	 �
�
�
	
�
�
� �
?
onde � 	 é a massa da partícula em repouso e � é a velocidade da luz. Logo,
� ���
	 ��� �
�
��� 	 � ��� �
em outras palavras, se a velocidade de uma partícula aumenta, sua massa aumenta em ralação
a sua massa inicial � 	 .
[6] Considere o fractal de Koch e denote por �
�
o perímetro da linha poligonal após
�
passos;
logo:
�
	
�
>
?
� �
�
6
?
�
�
�
9
>
�
em geral, �
�
�
>
fi
6
>
fl
� , se
�
�
1
; então, � � �
� ���
�
� ���
�
�
� ��� . Fica como exercício interpretar
o limite.
116 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
3.5 Símbolos de Indeterminação
Nas operações com limites, muitas vezes aparecem os símbolos:
� � � ?��
�
1
?
�
�
?
1
1
?
1
	
? �
�
?��
	
chamados símbolos de indeterminação. Quando aparece um destes símbolos no cálculo de
um limite, nada se pode dizer sobre este limite. Ele poderá existir ou não, dependendo da
expressão da qual se está calculando o limite.
Exemplo 3.12.
[1] Se �����
	�� � �
�
��� ����	
e � ���
	 �
�
��������	
, onde � e � são definidas em # � $&� ' , então,
��� �
���
�
�����.	��
�����
���
�
�
���.	 �0��� ?
mas
�����
���
�
fi
�����
	 �
�
���
	
fl
� � .
[2] Se �����
	 �
��
��
�
�
�����
fl
�
�
��������	
e � ���
	 �
�
��� ����	
, onde � e � são definidas em # ��$&� ' ,
então,
�����
���
�
�����.	 �
�����
���
�
�
���.	 �0� � , mas
�����
���
�
fi
�����
	 �
�
���.	
fl não existe.
[3] Se �����.	 �
�
�
e � ���.	��
�
�
���.	 , onde � e � são definidas para � ,
1
, então,
�����
��� ���
�����.	��
1
e
� ���
��� ���
�
���
	 �0��� , mas
�����
��� ���
fi
�����.	
fl
fi
�
���
	
fl
�
1
. De fato,
�
�
���.	C+ � para todo � ,
1
; então
�
�
���
	 �
�
�
�
�
�
�
�.	 �
�
�
�
�
�
�.	C+
�
�
� para � � � ; logo,
1
+��
�
�
�
�
�
+
�
�
. Aplicando limite a
ambas partes e usando o item [7] da proposição 10.3, válida também para limites no infinito,
temos o resultado.
[4] Se �����
	��
�
�
e � ���
	 � � 
��
��
�
�
�
	 , onde � e � são definidas em # ��$
1
' , então,
�����
���
	
�����
	�� ���
e
�����
���
	
�
���
	 �
1
, mas
�����
���
	
fi
�����
	
fl
fi
�
���
	
fl , não existe.
3.6 Limites Fundamentais
[1] Primeiro limite fundamental:
� ���
��� 	
��
��
���
	
�
� �
Antes de provar este limite faremos uma tabela, usando o fato de que �����
	�� ��� �
�
�
�
�
é uma
função par:
� ��
1
�����
	
�
�
1
fi38 6
�
6
� 1
fi32
1
fi3:;2;8;8
� 1
fi
�
1
fi3:;:
>;>
� 1
fi
�
1
fi3:;:;8
>
� 1
fi
1
�
1
fi3:;:;:;:;8
� 1
fi
1;1
�
1
fi3:;:;:;:;:
3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 117
Prova: Considere o seguinte desenho:
O Q S
T
P
Θ
Figura 3.14:
Denotemos por � � e �
as áreas dos triângulos
���
� e �
���
respectivamente e por � a área do
setor circular �
�
� . Claramente � � + � + �
fi
Por outro lado, se
1
+�� +��
,
�
�
�
�
�
��
��
�	� 	��
ffi
�
�	� 	 ? �
�
�
�
��
��
�	� 	
��
� �	� 	 e � �
�
�
�
fi
Então, da desigualdade acima:
��
��
�	� 	��
ffi
�
�	� 	�+
� +
��
��
�	� 	
��
� �	� 	 ; e, como
��
��
�	� 	�,
1
se
� (-�
1
?��
	 , temos � ffi
�
�	� 	ff+ �
� �
�
�
�
�
+
��
� �	� 	 , ou � ffi
�
�	� 	D+
� �
�
�
�
�
�
+
��
�;�	� 	 se
1
+
� +
�
. Co-
mo
�����
�
�
	 �
�
ffi
�
�	� 	��
�����
�
�
	 �
��
�;�	� 	 � � , segue que
�����
�
�
	 �
� �
�
�
�
�
�
� � . Por ser � � �
�
�
�
�
uma função par:
�����
�
�
	
�
��
��
�	� 	
�
� � ; logo,
� ���
�
�
	
��
��
�	� 	
�
� � .
1
Figura 3.15: Gráfico da função �����.	�� ��� �
�
�
�
�
se ����
1
e ���
1
	�� � .
[2] Segundo limite fundamental:
�����
�������
fi
� �
�
�
fl
�
118 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
Façamos uma tabela usando a função �����
	�� fi � �
�
�
fl
�
�<,
1
�����
	
�
1
�
� fi32;: > 4 6
�
1
� fi54
1
6&8
�
�
1
�
� fi54
�
9;: �
�
1
�
� fi54
�
8
�
2
�<+
1
�����.	
� �
1
�
� fi38;9 4 : 4
� �
1
� fi54 >;�
1;1
� �
1
�
� fi54
�
:;9 6
� �
1
�
� fi54
�
8 6 �
-4 -2 2 4
1
2
3
4
5
6
Figura 3.16: Gráfico de �����.	�� fi � �
�
�
fl
�
para ����
1
.
É possível provar que:
� ���
�������
fi
� �
�
�
fl
�
�
?
onde
��
�
fi54
�
8
�
8 fi fi fi
é o número de Euler. A prova direta desta propriedade poderá ser encon-
trada na bibliografia intermediária ou avançada.
[3] Terceiro limite fundamental. Seja 
 (ff# ? 
�,
1
?�
 �� � , então:
��� �
��� 	
fi
�
���
�
fl �
�
�
�
 	
Em particular,
é a única base da exponencial tal que:
�����
���
	
fi
�
���
�
fl
�
�
�
�
	 � �
Veja o próximo exemplo, item [7].
Exemplo 3.13.
[1] Calcule
�����
���
	
�
�
���
	
�
.
��� �
��� 	
�
�
���.	
�
�
�����
���
	
fi
��
��
���
	
� �
ffi
�
���.	
fl
�
��� �
��� 	
fi
��
��
���
	
�
fl
�����
���
	
fi
�
�
ffi
�
���.	
fl
� �
fi
3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 119
[2] Calcule
�����
���
	
��
��
�
�
�
	
��
��
�
>
�
	
.
� ���
��� 	
��
��
�
�
�
	
��
��
�
>
�
	
� �
>
� ���
���
	
�
��
��
�
�
�
	
�
�
	
� ���
���
	
� >
�
��
��
�
>
�
	
	�� �
>
fi
[3] Calcule
�����
���
	
fi
� �%� fl
�
� . Seja �ff� � 
 ; se � �
1
então � �
�
� ; logo:
�����
���
	
fi
� � �
fl
�
�
�
�����
�����
fi
� �
�
�
fl
�
fi
[4] Calcule
�����
�������
fi
� �
	
�
fl
�
, onde 	 é um número real.
Seja
�
�
�	� , então:
�����
�������
fi
� �
	
�
fl
�
�
fi
�����
�����
fi
� �
�
�
fl
fl
�
�
�
fi
[5] Calcule�����
�������
fi
� �
�
���
	
fl
�
, onde 	 é um número real.
Seja � � 	 �	� , então:
�����
�������
fi
� �
�
� �
	
fl
�
�
�����
�����
fi
� �
�
�
fl
� �
�
fi
[6] Sabemos que se uma quantia � 	 é investida a uma taxa � de juros compostos, capitalizados
� vezes ao ano, o saldo � �
� 	 , após � anos é dado por � �
� 	 � � 	 � � ���
�
	
�
. Se os juros forem
capitalizados continuamente, o saldo deverá ser:
� �
� 	 �
�����
�
� ���
�
	
fi
� �
�
�
fl
�
� �
	
� ���
�
� ���
fi�fi
� �
�
�
fl
�
fl
� �
	
�
fi
[7] Calcule
�����
�������
fi
� �
�
�����
fl
��� �
, onde 	 é um número real.
��� �
�������
fi
� �
�
�����
fl
��� �
�
�����
�������
fi
� �
>
�����
fl
�
� ���
�������
fi
� �
>
� ���
fl
�
�
�
fi
[8] Verifique que
��� �
���
	
�
� �
�
�
�
�
�
 	 .
Seja � � 
�
��� ; então
�
�
�
�
	��
�
�
�
�=�%��	 ; logo �
�
�
�
 	 �
�
�
�
� �%��	 e � � � �
�
�"� ��	
�
�
�
=	
. Quando � �
1
temos que � �
1
e:
�����
���
	
�
� �
�
�
� ���
�
	
�
�
�
�
�"� ��	
�
�
�
=	
�
�
�
�
 	
��� �
�
	
�
�
�
�
�
�
�.� ��	
�
�
�
�
 	
�����
� 	
�
�
�
� � � ��� 	
�
�
	
�
�
�
�
 	
fi
[9] Calcule
�����
���
	
�
�
	
�
�
, onde 
 ? 	 ,
1
e 
 ? 	 �� � .
�����
���
	
�
�
	
�
�
�
� ���
���
	
�
��� � � �
	
�
�
�
�����
���
	
fi
�
���
�
�
	
�
���
�
fl
�
�
�
�
=	 �
�
�
�
	
	��
�
�
fi
	
fl
fi
[10] Se
�
�
�
�
� �
�
� �
:
�
e
�����
��� ���
� � �
�
	
� �
�
� , determine
�
�
�
�
	 .
Primeiramente, note que � �
�
�
; então,
�
�
�
�
	�� 
 
 . Por outro lado
�
�
�
�
� �
�
�
>
�
�
� �
� ; logo,
>
�
�
� �
�
� �
:
�
, donde
�
� �
�
�
�
� e 
 �
4
. Portanto,
�
�
�
�
	 �
6&:
.
120 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
3.7 Assíntotas
Definição 3.5. A reta �<� 	 é uma assíntota horizontal ao gráfico da função �<� �����.	 se pelo menos
uma das seguintes afirmações é verdadeira:
� ���
��� ���
�����
	��
	 ou
� ���
�������
�����
	 �
	
fi
Exemplo 3.14.
[1] Esboce o gráfico da função logística:
�
�
� 	 �
�
� �
�
���
 onde � ?
�
?�� (ff#
fi
fl�ffi �
�
�
	 � # e a curva passa por �
1
?��
�
���
	 . Por outro lado
�����
� ���
�
�
� 	 � � ; logo, �<� � é uma
assíntota horizontal.
� ���
�����
�
�
� 	 �
1
; logo, ���
1
é uma assíntota horizontal. No caso em que
�
�
�
�
� 	 descreve o crescimento de uma população, o valor � é dito valor limite da população
e corresponde ao número máximo de indivíduos que um ecossistema pode suportar.
x
y
Figura 3.17: Gráfico da função logística.
[2] A função �����
	 �
��
�
	
���
	 possui uma assíntota horizontal ���
1
.
Definição 3.6. A reta � � 
 é uma assíntota vertical ao gráfico da função � �0�����
	 se pelo menos uma
das seguintes afirmações é verdadeira:
�����
���	���
�����
	 �
�
� ou
�����
����� �
�����
	��
�
�
fi
Em geral, se o fl�ffi � �!�"	���# , então o gráfico de � não possui assíntotas verticais.
3.7.1 Esboço Aproximado de Funções Racionais
Seja �����
	)�
�
���
	
�
���.	
tal que 
 �( fl�ffi � �!�"	 , isto é,
�
�
 	)�
1
; então,
�
���.	 � ��� � 
=	
�
�
�
���
	 ,
�
,-�
e
�
�
�
 	 ��
1
; analogamente � ���
	 � ���<� 
=	 � � � ���.	 , � �
1
e � � �
=	 ��
1
. Se � +
�
, fazendo
�
�
�
� , temos �����
	��
�
����� 
 	
�
�
�
���
	 , onde � � ���
	��
� �
���
	
�
�
���
	
é uma função definida em 
 .
Então
�����
�������
B
�����.	
B
� � .
3.7. ASSÍNTOTAS 121
a
a
Figura 3.18: Gráficos de � ao redor do ponto 
 , para 
 ímpar e 
 par e � � �
=	 ,
1
.
a
a
Figura 3.19: Gráficos de � ao redor do ponto 
 , para 
 ímpar e 
 par e � � �
=	 +
1
.
Logo, a função possui uma assíntota vertical em cada raiz do polinômio
�
���
	 .
Exemplo 3.15.
[1] Esboce o gráfico de � �
�
�
���
.
fl�ffi �
�!�"	 � # ��$&� � ? � ' e a curva passa por �
1
?
1
	 . Por outro lado �����
	 �
�
�
���
	
�����
, onde � � ���
	 �
�
� � �
; 
 � � e � � � ��	D,
1
; então,
� ���
���
�
�
�����.	 � ��� ,
�����
���
�
�
�����.	�� ��� , Analogamente: �����
	��
�
���
�
�
�
���
	 , onde � � ���.	 �
�
��� �
; 
 � � e � � � � ��	 ,
1
, então:
��� �
�����
�
�
�����
	��0� � e
�����
��� �
�
�
�����
	�� ��� ;
logo, �ff� � e � � � � são assíntotas verticais. Por outro lado,
�����
�������
�����
	��
1
; logo, ���
1
é uma
assíntota horizontal.
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
Figura 3.20: gráfico de ���
�
��� �
�
.
[2] Esboce o gráfico de � �
�
�
���
.
122 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
fl�ffi �
�!�"	�� #�� $&� � ? � ' e a curva passa por �
1
?
1
	 . Por outro lado �����.	 �
�
�
���.	
�����
, onde � � ���
	 �
� 
� � �
; 
 � � e � � � ��	�,
1
; então,
�����
���
�
�
�����
	��0� � ,
�����
���
�
�
�����.	�� ��� . Analogamente: �����
	 �
�
� � �
�
�
���
	 , onde � � ���
	 �
��
�����
; 
 � � e � � � � ��	 +
1
; então,
�����
�����
�
�
�����.	�� ��� e
��� �
�����
�
�
�����.	��0��� ;
logo �D� � e � � � � são assíntotas verticais. Por outro lado,
�����
�������
�����.	�� � ; logo, ��� � é uma
assíntota horizontal.
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
Figura 3.21: gráfico de ���
�
�
��� �
�
.
3.8 Continuidade de Funções
A noção de continuidade em Matemática é a que utilizamos no dia a dia, isto é, onde não há
interrupção ou, então, onde não existem partes separadas umas das outras. Nos parágrafos
anteriores, estudamos o comportamento de uma função � � �����
	 para valores de � próximos
de um ponto 
 . Pode acontecer que o limite de �����.	 quando � tende a 
 exista, mas que � não
seja definida em 
 ; ou ainda, pode acontecer que o limite seja diferente de ���
 	 . Estudaremos,
agora, uma classe especial de funções, onde se verifica que:
��� �
�����
�����
	�� ���
=	
fi
Definição 3.7. Seja � uma função e 
�( fl�ffi � �!�"	 , onde fl�ffi � �!�"	 é um intervalo aberto ou uma reunião
de intervalos abertos. � é dita contínua em 
 , se:
1.
� ���
���	�
�����
	 existe.
2.
� ���
���	�
�����
	��0���
 	 .
Se � não verifica qualquer das condições da definição, � é dita descontínua em 
 .
Exemplo 3.16.
[1] Considere:
�����.	 �
�
	
��
����
�����
se ���� �
� se �ff� �
fi
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 123
Note que fl�ffi � �!�"	 � # , mas � não é contínua em � . De fato,
� ���
���
�
�����.	��
�����
���
�
��� � ��	 �
�
�� ��� ��	 .
Veja o desenho:
1
2
Figura 3.22:
Observe que se redefinirmos a função, fazendo ��� ��	 �
�
, a função será contínua em todos os
pontos de # . Verifique este fato.
[2] Seja:
�
�
���.	 �
�
� se � � �
1
se �<+ �
fi
A funçãodegrau unitário ��� � � ���
	 não é contínua em � , pois não existe
�����
�����
�
�
���
	 .
c
1
Figura 3.23: Função degrau unitário.
Intuitivamente, a continuidade de uma função em um ponto indica que o gráfico da função
não apresenta saltos nesse ponto (veja o desenho anterior).
[3] �����.	��
�
���
�����
é uma função contínua em todo ponto de seu domínio.
De fato �����.	���� � � se � �� � e
��� �
��� �
�
�����.	����
	
� �)� �����
	
	 .
[4] O potencial � de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos � é dado por:
124 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
� ���
	 �
�
�
���
fi
�
�
� 
��� fl se � �
1
�
���
fi
�
�
� 
�%�
fl se � +
1
fi
 ?���,
1
; � é contínua em
1
.
De fato, como
�����
���
	 �
�@���.	 �
��� �
���
	 �
� ���.	��
�
��� 
 ,
� ���
���
	
� ���
	 existe e
�����
���
	
� ���
	 � �@�
1
	 . Então, � é
contínua em
1
.
[5] Seja
�����.	��
��
	
�
�
���
�
se �/+0� �
� � �
�
se �/(
�
� � ? � 
2
� �
4
se �/,0�
fi
Ache � e
�
tais que � seja uma função contínua em # .
Os pontos problemáticos do domínio de � são �0� � � e � � � . Utilizando a definição, � é
contínua se:
�
	
�����
�����
�
�
�����
	��
�����
�����
�
�
�����.	
��� �
���
�
�
�����
	��
��� �
���
�
�
�����
	 ?
que é equivalente ao sistema:
�
���
�
�
6
� �
�
� �
�
�
logo, � �
8
e
�
�
6
. Então:
�����.	��
�
�
	
�
�
���
�
se �<+0� �
8
� �
6
se � �
�
�
�
�
2
� �
4
se �<,0�
fi
-3 -2 -1 1 2 3
-10
-5
5
10
15
20
Figura 3.24:
A continuidade também pode ser expressa em função de � e
�
. De fato,
� ���
�����
�����
	�� ���
=	 sig-
nifica que: para todo � ,
1
existe
�
,
1
tal que, se � ( fl�ffi � �!�"	 e B ��� 
 B +
�
, então
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 125
B
�����
	 � ���
=	
B
+ � . Em outras palavras, � é contínua em 
 quando para todo � ,
1
, existe
�
,
1
tal que �����.	 (A�!���
=	 � � ? ���
=	"� � 	 desde que �<( �
 �
�
? 
 �
�
	
��fl�ffi �
�!�"	 .
Proposição 3.8. Sejam � e � funções contínuas no ponto 
 . Então:
1. � ����� � são contínuas em 
 , para todo � ?��A(ff# .
2. � � é contínua em 
 .
3.
�
�
é contínua em 
 , se 
�( fl�ffi � fi
�
�
fl .
As provas destas propriedades decorrem imediatamente das definições.
Definição 3.8. Uma função � é dita contínua em � �*# se � é contínua em cada ponto de � . Se � é
contínua em � e
�
� � , então, � é contínua em
�
.
Exemplo 3.17.
[1] Os polinômios são funções contínuas em # , pois são expressos por somas e produtos de
funções contínuas em # .
[2] As funções racionais são funções contínuas no seu domínio.
[3] As funções �����.	��
��
��
���
	 e �����.	�� � ffi
�
���
	 são contínuas em # .
[4] As funções exponenciais são funções contínuas em # .
[5] As funções logarítmicas são funções contínuas em �
1
? ����	 .
[6] A seguinte função é contínua em # :
�����.	��
�
	
�
��
��
fi
�
�
fl se ����
1
1
se �ff�
1
fi
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura 3.25: Gráfico de [6]
[7] A função �����
	��
�	�
��
	
 é descontínua para cada � (�� . Veja exercício 33 do capítulo anterior.
126 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
-1-2-3 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 3.26: Gráfico de �����.	��
�	�
��
	
 .
[8] A função �����.	 � � �
���
	.� 
 � � �
�
���
	
�
���
é contínua em �
1
? ��	���� � ? ����	 . De fato,
�
�
���
	 é contínua
em �
1
? ����	 e 
 � � � � ���
	 é contínua em # , logo
�
�
���
	���
 � � �
�
���
	 é contínua em �
1
? ����	 ; o polinô-
mio � 
 � � possui raízes reais �<�
�
� e � � �(��
1
? ��� 	 , então � é contínua em �
1
? ��	�� � � ? ����	 ,
que é o domínio de � .
1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
Figura 3.27:
Proposição 3.9. Sejam � e � funções tais que
� ���
�����
�����
	 �
	 e � é contínua no ponto 	 . Então:
�����
�����
fi
���
�
fl
���.	 �
�
fi
�����
�����
�����.	
fl
A prova segue das definições.
Exemplo 3.18.
Como aplicação direta desta propriedade temos:
[1] A função � ���
	 �
�
é contínua em # ; logo, se existe
��� �
�����
�����.	 , então:
��� �
�����
�
�
�
�
�
�����
�����
�����.	
fi
[2] As funções � ���
	/�
��
��
���
	 e
	
���
	/� �
ffi
�
���
	 são funções contínuas em # ; logo, se existe��� �
�����
�����
	 , então:
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 127
�����
�����
��
��
fi
�����
	
fl
�
��
��
fi
�����
�����
�����.	
fl
�
� ���
���	�
�
ffi
�
fi
�����.	
fl
� �
ffi
�
fi
��� �
�����
�����
	
fl
fi
[3] A função � ���
	 �
�
�
���
	 é contínua em �
1
? ����	 ; logo, se
�����
�����
�����
	 (A�
1
? � ��	 , então:
�����
����� �
�
fi
�����.	 fl �
�
�
fi
� ���
�����
�����
	 fl
fi
[4]
� ���
���
�
�
�
fi
�
�
� �
�
� �
�
� �
fl
�
�
�
fi
�����
���
�
�
�
�%�
�
� �
�
� �
fl
�
�
�
fi
>
�
fl .
[5]
�����
�����
�
�
�
fi
��
��
���
	
fl
�
�
�
fi
�����
�����
�
��
��
���.	
fl
�
�
�
fi
��
��
fi
�
�
fl fl
�
�
�
� ��	 �
1
.
[6]
� ���
���
�
�
�
���
�
� �
�
� ���
���
�
��������	
�
	
� � .
[7]
� ���
���
	
�
ffi
�
fi
�
�
��
��
���
	.� �
fl
� �
ffi
�
� � 	 � � � .
Teorema 3.4. Sejam � e � funções tais que � � � esteja bem definida. Se � é contínua no ponto 
 e � é
contínua em ���
=	 , então � � � é contínua em 
 .
Prova: 
 � �!�"	 � fl�ffi � � � 	 . Como � é contínua em 	 � ���
=	 , para todo � ,
1
existe
�
�
,
1
tal que
se � ( 
 � �!�"	 e B ��� 	;B +
�
� , então B � ���=	 � � � 	 	 B + � . Por outro lado � é contínua em 
 ; logo,
existe
�
,
1
tal que se ��( fl�ffi � �!�"	 e B � ��
 B +
�
, então B �����
	 �A���
=	 B � B �����.	 � 	;B +
�
� . Logo,
se � ( fl�ffi � �!�"	 � �
 �
�
? 
 �
�
	 , B � �!�����
	 	 � � �!���
=	 	 B + � .
Exemplo 3.19.
[1] A função
	
���
	 �
B
�
�
�
���D�
B é uma função contínua em # , pois
	
é a composta das seguintes
funções: �����.	 ����
 �
�
��� � e � ���
	 � B � B ; ambas funções são contínuas em # . (Verifique !).
[2] A função
	
���.	 �
�
�
�
�
���
 é contínua. (Verifique !).
[3] A função
	
���.	 �
��
��
fi
�
�
���
�
�
6
fl é contínua. (Verifique !).
O teorema seguinte estabelece que com hipóteses adequadas, uma função � , definida num
intervalo fechado
�
 ?
	
 , assume todos os valores entre ���
=	 e ��� 	 	 ; em outras palavras, para
que � passe de ���
 	 a ��� 	 	 tem que passar por todos os valores intermediários. A definição
anterior de continuidade foi feita considerando como domínios intervalos abertos ou reunião
de intervalos abertos; então necessitamos da seguinte definição:
Definição 3.9. Seja � �
�
 ?
	
 � # ; � é contínua em
�
 ?
	
 se:
1. � é contínua em �
 ? 	 	 .
2.
�����
�����
�
�����.	 existe e
��� �
�����
�
�����
	�� ���
=	 .
3.
�����
��� �
������
	 existe e
� ���
��� �
�
�����.	�� ���
	
	 .
128 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
As condições 2 e 3, são chamadas continuidades laterais, à direita e à esquerda, respectivamen-
te.
Teorema 3.5. (do Valor Intermediário)
Se � �
�
 ?
	
 � # é uma função contínua em
�
 ?
	
 e ���
=	�+ � +���� 	 	 ou ��� 	 	�+ � + ���
 	 , então existe
� ( �
 ?
	
	 tal que ��� � 	�� � .
Para a prova, veja [TA], [RC] ou [WR].
Exemplo 3.20.
Seja � �
�
� � ? � 
 � # tal que �����
	 ��� � � � ffi
�
� �
�.	�� � ; então � assume o valor >
�
. De fato � é
contínua e � � ��� � ��	 + >
�
+ ��� ��	 �
>
; logo, do teorema, temos que existe �C(�� � � ? ��	 tal que
��� � 	 ��>
�
.
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Figura 3.28:
Corolário 3.6. Seja � �
�
 ?
	
 � # uma função contínua em
�
 ?
	
 . Se ���
=	 e ��� 	 	 tem sinais opostos,
ou seja ���
=	 ��� 	 	 +
1
, então existe � (A�
 ? 	 	 tal que ��� � 	 �
1
.
a
cc
c b
Figura 3.29:
Este resultado pode ser utilizado para localizar as raízes reais de um polinômio de grau ímpar.
De fato, seja �����
	�� � � � 
 � � �
�
�
�
fi fi fi fi fi fi fi
� 
�
�
�
� � 
�
uma função polinomial de grau
�
ímpar,
�� (ff# . Para os � ��
1
, escrevemos:
�����
	 ��� �
fi
� �
�
�
�
fi fi fi fi fi fi fi
�
�
�
�
fl
fi
3.8. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 129
Como
� ���
�������
fi
� �
�
�
�
fi fi fi fi fi fi fi
�
�
�
�
fl � � ; então,
� ���
��� ���
�����.	��0��� e
�����
�������
�����
	 � ����? pois,
�
é
ímpar. Logo, existem � � + �
tais que ����� � 	�+
1
e �����
	 ,
1
. � é contínua no intervalo
�
�
�
? �
 ;
pelo corolário, existe � ( ��� � ? �
	 tal que ��� � 	 �
1
. Se
�
é par, a conclusão é falsa. O polinômio
�����
	 ��� 
 � � não possui raízes reais.
Exemplo 3.21.
[1] A equação � � �
6
� �
�
�
1
possui
>
raízes reais distintas.
De fato, a função �����
	 �0� � �
6
�C�
�
é contínua em # ; logo, é contínua em qualquer intervalo
fechado. Como ��� �
>
	 ��� �
�
	 �-�
� 9
, existe � � (�� �
>
? �
�
	 tal que ��� � � 	 �
1
. Como ��� ��	 ���
1
	 �
�
�
, existe �
(A�
1
? ��	 tal que ��� �
	 �
1
. Como ��� ��	 ���
�
	 � �
�
, existe �
�
( � � ?
�
	 tal que ��� �
�
	 �
1
.
-1-2 1 2
2
Figura 3.30: Exemplo [1]
[2] A equação
�
�
�
�
���
� ��	@���
�
�
ffi��
�
�
���
	��
�
�
1
�
1
possui pelo menos
6
raízes reais distintas
no intervalo
�
� � ?
�
 .
De fato, a função é contínua em
�
� � ?
�
 e ��� � ��	
�
�
1
fi
�;>
, ��� �
1
fi32
	
�
1
fi
1
4
�
, ���
1
	 � �
1
fi
1
2
,
���
1
fi32
	
�
1
fi
�;>
e ���
�
	
�
�
8 fi32 4
; logo: ��� � ��	 ��� �
1
fi32
	 +
1
, existe � � ( � � � ? �
1
fi32
	 tal que ��� � � 	 �
1
.
Se ��� �
1
fi32
	 ���
1
	�+
1
, existe �
( � �
1
fi32
?
1
	 tal que ��� �
	 �
1
. Se ���
1
	 ���
1
fi32
	�+
1
; então, existe
�
�
(A�
1
?
1
fi32
	 tal que ��� �
�
	 �
1
. Se ���
1
fi32
	 ���
�
	�+
1
; então, existe � � (A�
1
fi32
?
�
	 tal que ��� � � 	 �
1
.
-1 1 2
Figura 3.31: Exemplo [2]
[3] A função �����
	�� � �
�
��
 � 
 � � �
�
���.	 , atinge o valor
�
�
no intervalo
�
1
? � 
 .
Considere a função � ���
	 �0�����
	 �
�
�
; � é função contínua no intervalo
�
1
? � 
 e
�
�
1
	
�
� ��	 � �
�C�
9
8
�
130 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
logo, existe � � ( �
1
? ��	 tal que � � � � 	��
1
, isto é, ��� � � 	��
�
�
.
1
0.5
Figura 3.32:
O seguinte algoritmo serve para determinar aproximadamente as raízes de uma equação, uti-
lizando o corolário:
i) Seja � contínua em
�
 ?
	
 . Se ���
=	 ��� 	 	 +
1
, então, existe pelo menos um ��( �
 ? 	 	 tal que
��� � 	 �
1
.
ii) Considere � � �
 �
	
�
; se ��� � � 	 �
1
, achamos a raiz. Caso contrário, ���
=	 ��� � � 	C+
1
ou
���
� �
	 ���
	
	 +
1
.
iii) Se ���
 	 ��� � � 	�+
1
, então, �����
	 �
1
tem solução em
�
 ?
� �
 . Considere �
�
 �
�
�
�
; se
���
�
	 �
1
, achamos a raiz. Caso contrário ���
 	 ��� �
	 +
1
ou ��� �
	 ���
�
�
	 +
1
.
iv) Se ��� �
	 ���
�
�
	<+
1
, então, �����.	ff�
1
tem solução em
�
�
?
�
�
 ; seja �
�
�
� �
�
�
�
, se
���
�
�
	 �
1
, achamos a raiz. Caso contrário ��� �
�
	 ���
�
	 +
1
ou ��� �
�
	 ���
� �
	�+
1
.
Continuando obtemos �
�
tal que B ��� � 	 � ��� �
�
	
B é menor que a metade do comprimento do
último intervalo.
Exemplo 3.22.
No exemplo [1] temos �����
	�� � � �
6
� �
�
.
i) ��� ��	 ���
�
	 +
1
; seja � � � �
, como ��� � � 	 ��
1
e ��� � � 	 ���
�
	 +
1
, então, procuramos a solução
no intervalo
�
� �
?
�
 ; seja �
�
�
�
�
���
�
.
ii) Como ��� �
	 ��
1
e ��� � � 	 ��� �
	D+
1
, então, procuramos a solução no intervalo
�
� �
?
�
 ;
seja �
�
�
� �
�
�
�
�
�
>
8
. Assim, continuando podemos, por exemplo, obter � � � � � 4 6;6&2
�
9
>
8 6
�
�
�
fi39 4 2
�
1
:
no intervalo
�
�
fi39 4 2
1
6
? �
fi39 4 2
�
4
 e tal que ��� � � � 	�� �
1
fi
1;1;1;1
:
�
8
.
3.9 Exercícios
1. Calcule os seguintes limites usando tabelas:
3.9. EXERCÍCIOS 131
(a)
�����
���
�
�
>
���
8
	
(b)
�����
���
�
�
>
���
�
	
(c)
�����
���
�
�����
�
�����
(d)
�����
�����
2
� �
�
�
� �
>
(e)
�����
���
�
�
�
� �
(f)
� ���
���
�
�
�
�
�
� 
 �
2
���
6
�����
(g)
� ���
���
	
fi
�
� �
�
�
1;1;1
fl
(h)
� ���
���
	
�
�
�
6
�
	
�
(i)
� ���
���
�
�����
�
	 
�
(j)
�����
���
	
�
�
� �
(k)
�����
���
	
>
�
���
�
�%� �
�
(l)
�����
���
�
����
�����	
�����
2. Determine 
 tal que:
(a)
�����
���
�
�
>
�
�
2
� �
>
� ��	 ��>
�
(b)
� ���
�����
���
�
2
� �
9
	 �
1
(c)
�����
���
�
2
�
�
�
>
�
�
�
� �
�
	 �
(d)
�����
���
�
���
� �
� � �
3. Verifique se são corretas as seguintes afirmações:
(a)
�
�%���
9
���
�
��� �
>
(b)
�����
���
�
� ���
9
���
�
�
�����
���
��� �
>
	
4. Calcule os seguintes limites:
(a)
�����
���
�
6
�
�
�
:
���
4
>
�
�
�%�
�
� �
(b)
�����
���
�
�
�
>
��
��
:
���
�
�
�
� ���
9
(c)
�����
���
�
� 
��
:
�
�
>
�
(d)
�����
���
�
�
� 
��
>
��� �
��� �
(e)
�����
���
	
��
 � 
 
�
�
�
 � � 
(f)
�����
���
	
�
�
�
�
�
1
��
�
�
(g)
�����
���
�
�/�
�
�
�
�
�
(h)
��� �
�
�
	
�
� �
	
	 
�� � 
	
(i)
�����
���
�
�
�
� �
>
�
�
6
��� �
(j)
�����
���
8
���
�
�
�
�
�
(k)
�����
�����
�
�����
�
9
�
�
>
�
>
�
(l)
�����
���
	
�
:
�
2
� �
6
�
�
>
�
(m)
�����
���
	
�
� �
6
�
�
�
(n)
�����
���
�
�
�
�
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(q)
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(r)
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(s)
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132 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
(t)
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(u)
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2
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4
(v)
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5. Calcule os seguintes limites laterais:
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�
	
	
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��� �
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6. Verifique se os seguintes limites existem:
(a)
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���
�
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B
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B
(b)
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���
�
B
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B
(c)
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(d)
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9
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2
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(e)
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(f)
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(g)
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(h)
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(i)
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	 �
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�
�
	
�
�
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(j)
�����
���
	 �
�	�
�
	
7. Calcule os seguintes limites no infinito:
(a)
�����
��� ���
�
�
�
�
2
��� �
�
�
�
2
�
�
�
>
(b)
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>
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>
���
6
(c)
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(d)
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(e)
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(f)
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(g)
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(h)
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(i)
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(j)
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(k)
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(l)
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(m)
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(n)
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(o)
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(p)
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(q)
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(r)
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8
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(s)
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6
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3.9. EXERCÍCIOS 133
(t)
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>
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2
(u)
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(v)
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(x)
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4
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>
	
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8. Calcule os seguintes limites infinitos:
(a)
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>
��� �
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�
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(b)
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(c)
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(e)
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9
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(f)
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(h)
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(i)
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(k)
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(m)
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(n)
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(o)
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(p)
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(q)
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(r)
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B
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(s)
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6
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(t)
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(u)
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(v)
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9. Se �����
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2
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, calcule:
(a)
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(b)
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(c)
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(d)
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(e)
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(f)
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(h)
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(i)
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(j)
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B
	
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(l)
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(m)
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fi
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�
���.	
fl
(n)
�����
���
	
� �
ffi
�
�
fi
�
�
���
	
fl
10. Calcule os seguintes limites:
(a)
�����
���
	
��
��
�
>
�
	
�
(b)
�����
���
	
�
��
��
���
	
(c)
�����
���
	
�
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�
>
�
	
��
��
�
6
�.	
(d)
�����
���
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���
��
��
���
	
�
� � �
134 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
(e)
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���
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��
��
���.	
��� �
(f)
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(g)
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(h)
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(i)
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(j)
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(k)
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(l)
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���
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(m)
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2
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(n)
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(o)
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(p)
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(q)
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(r)
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��� �
(s)
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�
	
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11. Calcule
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(b) �����
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(c) �����
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(d) �����
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(e) �����
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(f) �����
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(g) �����
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(h) �����
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	 ? 
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(j) �����
	��
�
? 
��
1
12. Se B �����
	 �A����� 	 B
�
B
�����
B
 , para todo �@?=��(D# , verifique que:
� ���
�����
�����.	 �A���
=	
��� 
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1
.
13. Verifique que
�����
��� ���
�
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���
�
���
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�
	 � �
fi
14. No problema 51 do capítulo II, foi visto que o custo para remover ��� de resíduos tóxicos
num aterro é dado por � ���
	 �
1
fi38
�
�
1;1
���
,
1
+�� +0�
1;1
.
(a) Calcule
��� �
���
�
	 	 �
�
���
	 .
(b) Interprete o resultado obtido.
15. Suponha que
�
1;1;1
reais são investidos a uma taxa de juros anual de
9
� e os juros são
capitalizados continuamente.
(a) Qual é o saldo ao final de �
1
anos? E de
2
1
anos?
3.9. EXERCÍCIOS 135
(b) Que quantia deveria ser investida hoje a uma taxa anual de
4
� de juros capitalizados
continuamente, de modo a se transformar, daqui a 20 anos, em
�
1;1;1;1
reais?
16. Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram, num certo bair-
ro, após � dias é dado por � �
� 	 �
�
1;1;1;1;1
� ���
:;:
1;1
� 	��
�
 .
(a) Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença.
(b) Esboce o gráfico de � .
17. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) ���
�
��� � ��	
���
�
����	
(b) ���
�
��� � ��	
���
�
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(c) ���
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� ��	
(f) � �
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��� �
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���
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18. Use a continuidade da função para calcular os seguintes limites:
(a)
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���
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(b)
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(d)
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fi
�
ffi
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	"� �
�
�
���
����	
fl
19. Verifique se as seguintes funções são contínuas:
�
 	 �����
	 � 
 �
�
��
��
	
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�
�
	 �
	
	 �����
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� se � , �
�
	
	 �����
	��
�
	
� 
 �
6
� �
�
se � ��
�
6
se � �
�
Esboce os gráficos correspondentes.
136 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
20. Seja �����
	���� � �%� . Verifique que:
�
=	
B
�����
	 �A���
�
	
B
�
�
1
B
�ff�
�
B se
1
�
�
�
>
�
	
	 � é contínua em
�
.
21. Determine o valor de � para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
�
=	 �����.	��
�
	
��
 � �
�
se � ��
1
� se � �
1
, no ponto � �
1
.
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	 �����
	��
�
	
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���
>
se � ��
>
� se � �
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, no ponto � �
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 se � +0� �
, no ponto � � � � .
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>
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1
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1
, no ponto �ff�
1
.
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1
� se �ff�
1
, no ponto �ff�
1
.
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	��
�
6
��� �%�
� se
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�
:
�
�
� 
 se � ,0�
, no ponto � � � .
22. Verifique se as seguintes funções são contínuas.
�
=	 �����.	��
�
	
��
��
���.	
�
� ��
1
1
� �
1
�
	
	 �����
	��
��
�
�
	
�
�
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B
��
��
2
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B
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2
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2
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	 �����
	��
�
	
�	�
���
>
	
 � +
1
����� ��	
�
���
�
� ,
1
23. Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:
3.9. EXERCÍCIOS 137
(a) �����.	�� 
 � � � � fi
�
ffi
�
���
	"�
��
��
���
	
�
�
�%�
� �
fl
(b) �����.	�� � ffi
�
�
�
�
�
�
�
�
6
�
	 	
(c) �����.	��
�
�
� �
�
��� 
 � �
��
�;���
� ��	
(d) �����
	�� ��
��
 ����
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�
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��� 
 � ��	
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 � � �
�
���.	
(e) �����
	�� 
�
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�
�
�
�
���
�
9
	��
�
� ��	
(f) �����
	��
�
ffi
�
�
�	�
��
	
�	
�	�
��
	
24. Verifique se as seguintes equações admitem, pelo menos, uma raiz real:
(a) � � �%� 
��
6
�����
2
�
1
(b) � ffi
�
���.	 �/�D�
1
(c)
��
��
���.	 ��� � �)�
1
(d)
�
�
�%��
��
1
(e) � � � � � �%� 
 �
1
(f) � � � � � � � �
1
25. Seja �����
	 � � ���
��
��
fi
�
�
fl , ����
1
. Como escolher o valor de ���
1
	 , para que a função � seja
contínua em � �
1
?
26. Sendo �����
	 � 
 � � � � fi
�
���
�
fl , � ��
�
, é possível escolher o valor de ���
�
	 tal que a função �
seja contínua em �ff�
�
?
27. Determine ���
1
	 de modo que as seguintes funções sejam contínuas em � �
1
:
(a) �����
	 �
� � �
ffi
�
���.	
�
; (b) �����.	����
�
�
��������	 ���
�
�
��������	 ;
c) �����
	�� � � ffi � � ���.	 .
28. A função sinal de � é definida por:
�
�
�
���
	 �
�
�
	
�
� se �<,
1
1
se �ff�
1
� � se �<+
1
fi
Verifique se �����.	��
�
�
�
���
	 e � ���
	 ���
�
�
�
���
	 são funções contínuas.
29. Dê um exemplo de duas funções descontínuas cuja soma seja contínua.
30. Verifique que a equação �ff�	� � ���
	 tem uma infinidade de raízes reais.
31. Seja �����
	��
�
�
6
�
��
��
� � �
	 �
>
. A função � atinge o valor 4
>
no intervalo
�
�
�
?
�
 ? Justifique
sua resposta.
138 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE
32. Uma esfera oca de raio
�
está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A
intensidade de um campo elétrico � ���.	 num ponto � localizado a � unidades do centro
da esfera é determinada pela função:
�
���.	 �
�
�
�
	
�
�
1
se
1
+ �<+
�
�
>
�
se �ff�
�
�
�
 se �<,
�
fi
Verifique se a função � � � ���.	 é contínua. Esboce o gráfico de � .
33. A função de Heaviside é utilizada no estudo de circuitos elétricos para representar o
surgimento de corrente elétrica ou de voltagem, quando uma chave é instantaneamente
ligada e, é definida por:
�
�
� 	 �
�
1
se � +
1
� se � �
1
(a) Discuta a contínuidade de ���
� 	��
�
�
� 
 ����	 e de � �
� 	 �
�
�
��
��
� � � 	 	 . Esboce os respec-
tivos gráficos em
�
�
2
?
2
 .
(b) A função
�
�
� 	�� � �
�
�
� 	 ( � ,
1
) é chamada rampa e representa o crescimento gradual
na voltagem ou corrente num circuito elétrico. Discuta a continuidade de
�
e esboce seu
gráfico

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