Lista de exercícios da Unidade IV

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Lista de exercícios do Capítulo IV 
 
Seção IV.1 
 
1) Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação 
(a) ∫( ) (b) ∫ (√ 
 
 
 
 √ 
 ) 
(c) ∫(√ 
 
 ) (d) ∫ (
 
 
) 
 
2) Determine uma solução particular ( ) que satisfaça a equação diferencial e a condição 
inicial. 
(a) ( ) √ ( ) (b) ( ) ( ) ( ) 
(c) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 (d) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
3) Determine a equação da solução particular que passa pelo ponto indicado. 
(a) 
 
 
 ( ) (b) 
 
 
 ( ) ( ) 
(c) ( ) √ ( ) (d) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
4) Determine uma função f que satisfaça as condições dadas. 
(a) ( ) ( ) ( ) 
(b) ( ) 
 
 ⁄ ( ) ( ) 
 
5) O Grand Canyon tem 1800 m de profundidade da parte mais funda. Dessa altura, deixa-se cair 
uma pedra. Expresse a altura da pedra em função do tempo (em segundos). Quanto tempo leva a 
pedra para chegar ao fundo do desfiladeiro? 
 
6) Com que velocidade deve ser arremessado um corpo a partir do solo para atingir a altura do 
morro do Pão de Açúcar (396 m)? 
 
7) Um balão, subindo verticalmente com uma velocidade de 5 m/s, deixa cair um saco de areia no 
instante em que o balão se encontra a 20 m acima do solo. 
(a) Quantos segundos o saco de areia leva para chegar ao solo? 
(b) Qual é a velocidade do saco de areia ao chegar ao solo? 
 
8) A inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto (x , y) na curva é igual a . 
Encontre uma equação da curva se ela contém o ponto (2 , 1). 
 
9) Uma partícula move-se sobre uma reta; s é o número de metros na distância orientada da 
origem até a partícula em t seg, v é o número de m/s na velocidade da partícula em t seg, e a é o 
número de m/s
2
 na aceleração da partícula em t seg. Se e v = 3 , e s = 4, quando t = 1, 
expresse v e s como função de t. 
 
Seção IV.2 
 
10) Defina u e du/dx para calcular uma integral da forma (
 
 
) . 
(a) ∫√ ( ) (b) ∫( √ )
 
 (
 
 √ 
) 
 
11) Use uma substituição para determinar a integral indefinida. 
(a) ∫ ( ) (b) ∫ ( )
 
 ⁄ 
(c) ∫
 
√ 
 (d) ∫
 
√ 
 
 
12) Determine a equação da função f cuja curva passa pelo ponto ( ⁄ ) e cuja derivada è: 
 ( ) √ 
 
13) O custo marginal de um produto é modelado pelas funções dadas. Para as condições iniciais 
informadas, determine as funções custo. 
(a) 
 
 
 
 
√ 
 (b) 
 
 
 
 
√ 
 
 
14) Uma loja de plantas vende um certo tipo de arbusto depois de cria-lo durante 5 anos. A taxa 
de crescimento do arbusto durante esses 5 anos pode ser modelada pela função: 
 
 
 
 
√ 
 
onde t é o tempo em anos e h é a altura em centímetros. As mudas têm 6 centímetros de altura 
quando são plantadas (t = 0). 
(a) Determine a função altura. 
(b) Qual é a altura dos arbustos quando são vendidos? 
 
Seção IV.3 
 
15) Use as regras da Exponencial para determinar a integral indefinida. 
(a) ∫ (b) ∫ 
(c) ∫ 
 
 (d) ∫( ) 
 
 
16) Use as regras do logaritmo para determinar a integral indefinida. 
(a) ∫
 
 
 (b) ∫
 
 
 (c) ∫
 
 
 (d) ∫
 
 
 
 
17) Use qualquer expressão básica de integração para determinar a integral indefinida. 
(a) ∫
 
 
 (b) ∫ (c) ∫
 
 
 
 
18) Uma população de bactérias está crescendo a uma taxa dada por 
 
 
 
 
 
 , onde t é o 
tempo em dias. No instante t = 0, existem 1000 bactérias. 
(a) Escreva uma equação para a população P em função do tempo t. 
(b) Qual será a população após 3 dias? 
(c) Após quantos dias a população terá aumentado para 12.000 bactérias. 
 
Seção IV.4 
 
19) Determine a integral definida: 
(a) ∫ ( ) 
 
 
 (b) ∫ 
 
√ 
 
 
 (c) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
(d) ∫ √ 
 
 
 (e) ∫ 
 
 
 
 
 
 
20) Uma empresa compra uma máquina nova cuja taxa de depreciação pode ser modelada pela 
função 
 
 
 ( ) 
onde V é o valor da máquina após t anos. Escreva e calcule uma integral definida que permita 
determinar a desvalorização da máquina nos primeiros 3 anos. 
 
21) A velocidade v do sangue a uma distância r do centro de uma artéria de raio R pode ser 
modelada pela função 
 ( ) 
onde k é uma constante. Determine a velocidade média do sangue em uma artéria. (Use 0 e R 
como limites de integração.) 
 
22) A taxa de variação da receita da indústria de computadores e processamento de dados nos 
Estados Unidos, entre 1985 e 1998, pode ser modelada pela função 
 
 
 
onde R é a receita (em bilhões de dólares) e t = 5 representa 1985. Em 1985, a receita foi de 45,1 
bilhões de dólares. 
(a) Escreva um modelo para a receita em função de t. 
(b) Qual foi a receita média no período de 1985 a 1998? 
 
23) A taxa de variação do número de coiotes N(t) em uma população é diretamente proporcional a 
650 – N(t), onde t é o tempo em anos. 
 
 
 [ ( )] 
Para t = 0, a população é 300; para t = 2 a população é 500. 
(a) Determine a função população. 
(b) Determine o número médio de coiotes durante os primeiros 5 anos. 
 
24) Verifique se a função é par, ímpar ou nem par nem ímpar. 
(a) ( ) (b) ( ) 
(c) ( ) (d) ( ) 
 
Seção IV.5 
 
25) Determine a área da região indicada: 
(a) 
 ( ) 
 ( ) 
 (b) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 ( ) ( )
 ( ) 
 (d) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26) Represente graficamente a região limitada pelas curvas das funções dadas e calcule a área da 
região. 
(a) 
 
 
 (b) ( ) √ 
 
 ( ) 
(b) (d) 
 
 
 
27) Uma empresa de aviação estima que os gastos com combustível (em milhões de reais por ano) 
entre 2000 e 2010 serão dados pela função , onde t = 0 representa 2000. Se a 
empresa comprar turbinas mais eficientes para os aviões, os gastos com combustível passarão a 
ser dados pela função . Qual será a economia da empresa com combustível, 
se comprar turbinas mais eficientes? Justifique sua resposta. 
 
28) Uma epidemia estava se disseminando de tal forma, que em t semanas havia infectado 
 ( ) 
 pessoas. Vinte e cinco semanas após o início da 
epidemia, uma vacina foi desenvolvida e aplicada na população. A partir desse momento, o 
número de pessoas infectadas passou a ser dado pela função ( ) 
 . 
Determine o número de pessoas que não foram infectadas durante a epidemia, graças à vacina. 
 
29) Entre 1980 e 1998, o consumo per capita de carne bovina nos Estados Unidos (em libras por 
ano) pode ser modelado pela função: 
 ( ) {
 
 
 
onde t = 0 representa 1980. 
(a) Use um programa de plotagem para representar graficamente esse modelo. 
(b) Suponha que o consumo de carne bovina entre 1990 e 1998 tivessecontinuado a seguir o 
modelo para 1980 a 1989. Quanta carne a mais ou a menos teria sido consumida entre 1990 e 
1998? 
 
Seção IV.6 
 
30) Use a Regra do Ponto Central com n = 4 para estimar a área da região limitada pela curva da 
função f e o eixo x no intervalo dado. Compare o resultado com a área exata. Represente 
graficamente a região. 
(a) ( ) [ ] (b) ( ) [ ] 
(c) ( ) [ ] (d) ( ) ( ) [ ] 
 
31) A tabela mostra a velocidade v (metros por segundo) de um carro de corrida durante um 
intervalo de 20 segundos. Use a Regra do Trapézio para estimar a distância em metros que o carro 
percorreu durante os 20 segundos. (A distância é dada por ∫ 
 
 
 .) 
Tempo 0 5 10 15 20 
Velocidade 0,0 29,3 51,3 66,0 73,3 
 
32) Para estimar a área de um lago, um agrimensor toma várias medidas, como mostra a figura. 
Estime a área do lago usando (a) a Regra do Ponto Central; (b) a Regra do Trapézio. 
 
 
Seção IV.7 
Nos exercícios de 33 a 38, determine o volume do sólido formado pela rotação da região limitada 
pelos gráficos das equações em torno do eixo x. 
 
33) 
 
34) 
 
35) √ 
 
36) √ 
 
37) 
 
38) 
 
 
 
 
 
39) O segmento de reta que liga os pontos ( ) e ( ) gira em torno do eixo x para formar um 
cone. Qual é o volume do cone? 
 
40) A metade direita da elipse gira em torno do eixo y para formar um 
elipsoide oblato (em forma de pastilha). Determine o volume do elipsoide. 
 
41) Determine o volume do sólido formado pela rotação da região limitada pelos gráficos das 
equações em torno do eixo x. 
 
Nos exercícios de 42 a 45, determine o volume do sólido formado pela rotação da região limitada 
pelos gráficos das equações em torno do eixo y. 
 
42) 
 
43) √ 
 
44) 
 
45) 
 
 
46) Um tanque na asa de um avião é modelado fazendo girar a região limitada pela curva da 
equação 
 
 
 √ e o eixo x em torno do eixo x, onde x e y são medidos em metros. 
Determine o volume do tanque. 
 
47) Uma tigela pode ser modelada por um sólido gerado pela rotação da curva da equação: 
 √
 
 
 
em torno do eixo x. Use esse modelo, onde x e y são medidos em centímetros, para determinar o 
volume da tigela. 
 
48) Pretende-se criar uma certa espécie de peixe em um lago. Os nutrientes contidos em 
do lago são suficientes para alimentar um peixe. O lago tem forma aproximadamente circular, 
com de profundidade no centro e de raio. O fundo do lago pode ser modelado pela 
função [( ) ]. 
a) Quanta água existe no lago? 
b) Quantos peixes o lago é capaz de sustentar?